Методы Монте-Карло для решения задач теории переноса поляризованного излучения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Ухинов, Сергей Анатольевич

• Ухинов, Сергей Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ухинов, Сергей Анатольевич

Введение

1. Математическая модель переноса поляризованного излучения и соответствующие оценки метода Монте-Карло

1.1. Конус вектор-функций Стокса.

1.2. Система уравнений переноса излучения с поляризацией

1.3. Векторные оценки метода Монте-Карло.

1.4. Несмещенность и дисперсия векторных оценок, уравнение для матрицы вторых моментов оценки сопряженного решения

1.5. Исследование спектрального радиуса оператора Кр уравнения для матрицы вторых моментов

1.6. Теория дифференцирования векторных оценок.

1.6.1. Треугольные системы интегральных уравнений.

1.6.2. Вычисление параметрических производных решения сопряженного уравнения переноса путем дифференцирования исходного уравнения.

1.6.3. Первые производные векторных оценок по произвольным параметрам.

1.6.4. Прямое дифференцирование векторных оценок по коэффициентам поглощения и рассеяния.

1.7. Оценка первого собственного числа оператора методом Монте-Карло.

1.8. Постановка и решение прямых задач атмосферной оптики в сферической и плоскопараллельной геометриях

1.8.1. Общий алгоритм моделирования переноса поляризованного излучения и его весовыс модификации.

1.8.2. Локальная и двойная локальная векторные оценки метода Монте-Карло.

1.8.3. Вычисление производных модифицированной двойной локальной оценки метода Монте-Карло по коэффициентам поглощения и рассеяния.

1.8.4. Вычисление степени поляризации и ее параметрических производных.

1.8.5. Оценки производных однократно рассеянного излучения в сферической геометрии.

1.9. Сравнительный анализ метода зависимых испытаний и метода прямого дифференцирования для вычисления производных по параметрам.

1.10. Методы уменьшения дисперсии параметрических производных векторных оценок.

1.10.1. Билинейное представление параметрических производных

1.10.2. Метод рандомизации.

1.10.3. Представление коэффициентов взаимодействия в виде линейной комбинации функций специального вида

2. Решение обратных задач атмосферной оптики Д

2.1. Определение вертикального распределения коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы

2.1.1. Постановка задачи и метод решения.

2.1.2. Влияние погрешностей оценок элементов системы уравнений на погрешность решения.

2.2. Определение индикатрисы аэрозольного рассеяния атмосферы с учетом поляризации излучения.

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Итерационные методы решения обратной задачи

2.2.3. Матрицы Якоби операторов итерационных методов

2.2.4. Исследование сходимости методов.

2.2.5. Алгоритм вычисления интенсивности излучения и ее производных.

2.2.6. Алгоритм восстановления индикатрисы итерационными методами.

2.2.7. Алгоритм расчета матриц Якоби для итерационных методов

3. Нестационарные задачи. Определение временной асимптотики поляризованного излучения

3.1. Значение параметра экспоненциальной временной асимптотики для бесконечного однородного пространства.

3.2. Методы Монте-Карло для оценки параметров асимптотики решения уравнения переноса излучения с поляризацией

3.2.1. Интегральное уравнение переноса в модифицированном фазовом пространстве

3.2.2. Оценка параметра экспоненциальной временной асимптотики с помощью итераций резольвенты

3.2.3. Оценка параметров временной асимптотики на основс параметрических производных по времени.

3.2.4. Оценка параметров временной асимптотики на основе специального аналитического осреднения.

4. Решение модельных и прикладных задач, численные результаты 159 4.1. Вычисление спектральных радиусов операторов.

4.1.1. Вычисление спектрального радиуса и первого собственного элемента оператора С°.

4.1.2. Оценка первого собственного числа оператора Кр в средах с различными оптическими толщинами.

4.2. Численное исследование дисперсии стандартной векторной оценки метода Монте-Карло при значениях коэффициента поглощения, близких к критическому.

4.3. Определение высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния по сумеречным наблюдениям с поверхности Земли

4.3.1. Исследование производных двойной локальной оценки

4.3.2. Использование приемов уменьшения дисперсии оценок производных.

4.3.3. Численные результаты восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния.

4.4. Определение индикатрисы рассеяния по наблюдениям в альмукантарате Солнца.

4.4.1. Оценка и исследование потоков поляризованного излучения

4.4.2. Восстановление индикатрисы рассеяния различными методами; сравнение результатов.

4.4.3. Исследование матриц Якоби и сходимости методов

4.5. Численные результаты определения параметров временной асимптотики

4.5.1. Модельная задача вычисления параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики в бесконечной среде

4.5.2. Вычисление параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики в плоском слое.

4.5.3. Вычисление параметров Л* и а временной асимптотики освещенности границы полупространства.

4.5.4. Вычисление параметров Л* и а временной асимптотики интенсивности отраженного средой света в задачах оптического зондирования.

4.5.5. Таблицы результатов.

А. Реализация расчетов методом Монте-Карло на многопроцессорной ЭВМ

А.1. Датчики псевдослучайных чиссл.

А.2. Общий алгоритм моделирования с использованием технологии MPI.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы Монте-Карло для решения задач теории переноса поляризованного излучения»

Имеется целый ряд физических проблем, требующих достаточно точного решения задач теории переноса излучения с учетом поляризации. Это, прежде всего, задачи интерпретации оптических наблюдений в атмосферах планет.

Диссертационная работа посвящена исследованию свойств поляризованного излучения и разработке методов решения обратных задач атмосферной оптики по определению параметров взаимодействия излучения с рассеивающей и поглощающей средой (коэффициентов взаимодействия, индикатрисы рассеяния).

Физико-математическое описание процесса переноса поляризованного излучения, изложенное в работах [11, 59], предоставляет удобный инструмент для исследования этого процесса. Базовыми при этом являются вектор-функции Стокса, характеризующие свойства излучения в каждой конкретной точке фазового пространства, и интегро-дифференциальное уравнение переноса, описывающее процесс переноса.

Интенсивность и состояние поляризации излучения полностью определяются четырехкомпонентной вектор-функцией Стокса, компоненты которой имеют размерность интенсивности и определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения. Процесс переноса излучения в этом случае может быть описан некоторым интегральным уравнением второго рода (см., например, [19, 32, 36, 45]), оператор которого, в силу физических особенностей задачи, оставляет инвариантным множество вектор-функций Стокса. Исследованию свойств подобных операторов посвящены, например, работы [9, 26].

Изучению уравнения переноса излучения посвящена обширная литература (см., например, [12, 31, 52, 54, 60]). В ней содержатся математические постановки задач теории переноса и вывод интегро-дифференциального уравнения переноса. Обоснование условий существования собственных значений дается в работах [20, 60]. Численные методы решения соответствующих задач рассмотрены в известных монографиях [6, 30, 31]. Среди них существенное место занимает метод статистического моделирования (метод Монте-Карло), см., например, [5, 19, 25, 32, 38, 53, 68], так как уравнение переноса трудно разрешимо классическими методами вычислительной математики, если учитываются реальные индикатрисы и неоднородность среды. Во многих случаях практически это можно осуществить методом Монте-Карло.

Процесс распространения света можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с веществом, которые приводят либо к рассеянию (с пересчетом вектора Стокса), либо к поглощению фотонов. Метод Монте-Карло заключается в моделировании траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистических оценок для искомых функционалов. Построение случайных траекторий для "физической" модели процесса принято называть прямым моделированием. При этом в скалярном варианте веса не используются и дисперсии оценок метода Монте-Карло заведомо конечны [32]. Указанный выше пересчет вектора Стокса уже предполагает использование матричного веса. В связи с этим в [32] были построены и предварительно исследованы общие матрично-весовые алгоритмы для решения систем интегральных уравнений теории переноса излучения с учетом поляризации.

Отметим, что алгоритмы численного статистического моделирования естественным образом распараллеливаются путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам, поэтому, в связи с ростом мощностей вычислительных систем, их исследование приобретает особое значение.

Рассматриваемая математическая модель позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем. Рассматривается некоторый линейный функционал X от решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.

Конкретный вид функционала X, разз^меется, зависит от поставленной задачи. Так, для определения характеристик поляризованного излучения "в точке" используются локальные оценки [32]. Обладая же возможностью вычисления характеристик излучения можно ставить и решать задачи определения параметров рассеивающей среды по некоторым заданным результатам наблюдений [2, 3, 32].

Заметим, что для успешного применения метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала X необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечивающие существование математического ожидания оценки ее несмещенность и конечность дисперсии. В общем случае эти условия оказываются достаточно жесткими, однако специфика рассматриваемой системы интегральных уравнений позволяет существенно их ослабить [35, 58]. При этом оказывается, что дисперсия векторных оценок метода Монте-Карло может быть бесконечной даже в том случае, когда соответствующие скалярные оценки (без учета поляризации) имеют конечную дисперсию [43|. Это, естественно, приводит к необходимости проведения дополнительного теоретического и численного анализа условий конечности дисперсии в векторном случае.

Однако, даже если диспераш оценки £ конечна, она может оказаться довольно большой и полученный алгоритм окажется практически неприменимым. В этом случае необходимо применять специальные весовые модификации моделирования переноса излучения с поляризацией, приводящие к уменьшению дисперсии оценок метода Монте-Карло.

Рассмотрение обратных задач и применительно к ним итерационных процессов (Ньютона-Канторовича и других) приводит к необходимости получения оценок параметрических производных соответствующих линейных функционалов. В этом случае целесообразным представляется использовать уже имеющиеся стандартные оценки сведя задачу к вычислению параметрических производных этих оценок. При этом опять возникает необходимость рассмотрения условий несмещенности и конечности дисперсии полученных оценок производных. Однако, как показали исследования, результаты которых приведены в диссертационной работе, условия несмещенности и конечности дисперсии оценок налагаемые на интегральный оператор, практически совпадают с условиями, обеспечивающими несмещенность и конечность дисперсии оценки

Отметим, что использование итерационного процесса Ньютона-Канторовича обладает, помимо всего прочего, еще одной особенностью. А именно, его применение сопряжено с обращением матриц, элементы которых рассчитываются с использованием реализаций оценок производных При этом обращаемые матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. В этом случае на первый план выступают вопросы уменьшения дисперсии оценок производных и исследования других итерационных методов, которые также рассмотрены в диссертации.

В диссертации рассмотрены три задачи оптического зондирования атмосферы, имеющие практическое значение. Две из них относятся к так называемому пассивному зондированию, когда по измерениям приходящего в приемник рассеянного солнечного излучения требуется определить параметры аэрозольной составляющей атмосферы.

Первая задача состоит в определении высотного хода (распределения) коэффициента аэрозольного рассеяния в атмосфере.

Наиболее информативными наблюдениями в этой задаче считаются наблюдения из космоса, моделированию которых методом Монте-Карло и сравнению с экспериментальными данными посвящены, например, работы [65, 66], выполненные на основе разработанного с непосредственным участием автора Пакета прикладных программ "Атмосфера" [46].

Очевидно, что наземные наблюдения рассеянного солнечного излучения являются менее дорогостоящими, однако их информативность возможна только в сумерках [49]. Исследованию сумеречного метода зондирования с поверхности Земли, моделированию наблюдений методом Монте-Карло и сравнению с экспериментом посвящены работы [13, 14, 15, 16, 17, 18, 47]. В диссертационной работе приведены результаты исследований различных подходов к решению обратной задачи по определению распределения аэрозоля в атмосфере по наземным измерениям поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения.

Следует отметить, что решение задач переноса излучения в сумерках является значительно более сложной проблемой, чем в дневной области. Во-первых, необходимо рассматривать сферическую геометрию атмосферы Земли, что усложняет алгоритмы, а во-вторых, в этих задачах присутствуют большие оптические толщи среды на пути света от Солнца к приемнику, которые приводят к необходимости учета вкладов от рассеяний многих порядков. Погрешности метода Монте-Карло в сумеречных расчетах, при этом, оказываются на порядок больше погрешностей расчетов в дневной области Земли, а погрешности расчетов параметрических производных от функционалов па порядок больше погрешностей расчета самих функционалов. Поэтому важными этапами решения обратных задач являются как разработка и исследование алгоритмов расчёта соответствующих параметрических производных, так и анализ погрешностей соответствующих оценок.

Учет поляризации излучения еще больше усложняет решение обратной задачи, но дает возможность ее решения не только по данным измерений интенсивности излучения, но и по измерениям других компонент вектор-параметра Стокса.

Вторая задача состоит в определении индикатрисы аэрозольного рассеяния по наблюдениям с поверхности Земли в альмукантарате Солнца, то есть в различных направлениях, составляющих с зенитом тот же угол, что и направление на Солнце [2, 3]. Учет поляризации излучения в этой задаче, сделанный в диссертационной работе, как и ожидалось, увеличил точность ее решения. При этом был предложен новый итерационный процесс, являющийся комбинаций двух известных в скалярном варианте методов, который показал лучшие результаты при определенных параметрах атмосферы. В работе дано обоснование сходимости предложенного метода,- теоретически и на основе численного изучения свойств матрицы Якоби оператора этого метода.

Третья задача состоит в исследовании временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы. В диссертации разработаны алгоритмы оценки параметров экспоненциальной и степенной асимптотик, проведены численные расчеты и определены значения параметров для различных сред и функционалов от интенсивности поляризованного излучения. Полученные параметры оказались согласованными с розультатамрт работ других авторов [21, 50].

Далее следует краткое содержание диссертации по главам.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ухинов, Сергей Анатольевич

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Теоретически обосновано применение метода Монте-Карло для расчета функционалов и их параметрических производных от решения системы интегральных уравнений переноса поляризованного излучения. Получены условия несмещенности и конечности дисперсий соответствующих статистических оценок. Проведено теоретическое и численное исследование величины спектрального радиуса матрично-интегрального оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Показано, что эта величина приближенно равна произведению соответствующих спектральных радиусов для однородной среды и для скалярного варианта.

2. Разработаны и численно апробированы алгоритмы решения задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы по результатам измерений поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.

3. Для решения задачи восстановления индикатрисы рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям яркости поляризованного излучения в альмукантарате Солнца предложен новый итерационный метод, эффективно учитывающий отражение от подстилающей поверхности. Сходимость этого метода исследована с помощью теоретических и численных оценок элементов соответствующей матрицы Якоби. Сравнение результатов, полученных разными методами показало преимущество нового метода и целесообразность учета поляризации излучения.

4. Проведено исследование временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы. Разработаны и обоснованы алгоритмы оценки параметров экспоненциальной и степенной асимптотик, проведены численные расчеты и определены значения этих параметров для различных сред и функционалов от интенсивности поляризованного излучения.

5. На основе рассмотренных задач, разработанных методов и алгоритмов создан комплекс программ, с помощью которого проведено численное исследование эффективности и применимости алгоритмов, получены новые практически важные результаты. Программы, реализующие алгоритмы переноса поляризованного излучения для определения параметров его асимптотики, являются параллельными и предназначены для выполнения прецизионных вычислений методом Моите-Карло на многопроцессорных компьютерных системах.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ухинов, Сергей Анатольевич, 2010 год

1. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием технологии MP1. M.: Изд-во МГУ, 2004. 71 с.

2. Антюфеев В. С., Михайлов Г. А., Лифшиц Г. Ш., Иванов А. И. Определение аэрозольных индикатрис рассеяния безоблачной атмосферы в спектральных областях 0.55Н-2.4 мкм //Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1980. Т. 16, № 2. С. 146-155.

3. Антюфеев В. С., Назар&яиев М. А. Обратные задачи атмосферной оптики (постановки, алгоритмы, результаты). Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. 156 с.

4. Булавский Ю. В. Метод рандомизации интегрального оператора для решения уравнений второго рода // Докл. АН СССР, 1985. Т. 283, № 4. С. 797-800.

5. Владимиров В. С. О применении .метода Монте-Карло для отыскания наименьшего характеристического числа и соответствующей собственной функции линейного интегрального уравнения // Теор. вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1, № 1. С. 113-130.

6. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1961. Т. 61. 158 с.

7. Воеводии В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

8. Войтишек А. В., Ухинов С. А. Использование существенной выборки в методе Монте-Карло// Сиб. журн. вычисл. матем. 2001. Т. 4, № 2. С. 111-122.

9. Гермогенова Т. А., Коновалов Н. В. Спектр характеристического уравнения с учетом поляризации // Препринт ИПМ АН СССР. 1978. № 62.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы (общая теория). М.: ИЛ, 1962. 896 с.

11. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами. М.: Мир, 1971. 302 с.12J Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1960. 520 с.

12. Егорова Л. А., Кардополов В. И., Павлов В. Е., Рспаев Ф. К., Ухинов С. А. Поляризация многократно рассеянного света сумеречного неба в зените// Изв. РАН. Физ. атмосф. и океана. 1994. Т. 30, № 4. С- 478-484.

13. Егорова Л. А., Павлов В. Е., "Ухинов С. А. О выборе физической модели атмосферы при сумеречном зондировании с поверхности Земли// Вестник АН Каз. ССР. 1991. № 9. С. 37-41.

14. Егорова Л. А., Павлов В. Е., Ухинов С. А. Об интерпретации поляризационных наблюдений сумеречного света неба в зените// Изв. НАН РК, сер. физ-мат. 1992. № 6. С. 70-76.

15. Егорова Л. А., Павлов В. Е., Ухинов С. А. Расчеты яркости первичных сумерек в вертикали Солнца// Изв. НАН РК, сер. физ-мат. 1993. № 4. С. 18-22.

16. Егорова Л. А., Павлов В. Е., Ухинов С. А. О влиянии мезосферного аэрозольного слоя на яркость сумеречного неба// Вестник НАН РК. 1994. № 1. С. 41-46.

17. Егорова Л. А., Павлов В. Е., Теп А. П., Ухинов С. А. Упрощенный способ учета многократно рассеянного света в исследованиях атмосферы сумеречным методом// Изв. НАН РК, сер. физ-мат. 1995.

18. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. 294 с.

19. Ершов Ю. И., Шихов С. Б. Математические основы теории переноса. Т. 1. М.: Энергоатомиздат, 1985. 317 с.

20. Зеге Э. П., Кацев И. Л. Временные асимптотические решения уравнения переноса излучения и их применения //Препринт ИФ АН БССР. Минск, 1973. 20 с.

21. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. 466 с.

22. Красносельский М. А., Вайнико Г. М., Забрейко П. П. и др. Приблиоюенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

23. Крейн С. Г., ред. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972. 544 с.

24. Креков Г. М. Метод Монте-Карло в проблемах атмосферной оптики// Оптика атмосферы и океана. 2007. Т. 20, № 9. С. 826-836.

25. Кузьмина М. Г. Общие функциональные свойства уравнения переноса поляризованного излучения Ц Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 2. С. 314-317.

26. Лившиц Г. Ш., Назаралиев М. А., "Ухинов С. А. Фотометрический шар для исследований аэрозольного поглощения// Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1988. Т. 24, Л* 1. С. 83-88.

27. Лотова Г. 3., Михайлов Г. А. Новые методы Монте-Карло для решения нестационарных задал теории переноса излучения// Журн. вычисл. математики и маг. физики. 2002. Т. 42, № 4. С. 569-579.

28. Марченко М. А. Михайлов Г. А. Распределенные вычисления по методу Монте-Карло/ / Автоматика и телемеханика. 2007, № 5. С. 157-170.

29. Марчук Г.И. Методы, расчета ядерных реакторов. М.: Гоеатомиздат, 1961. 666 с.

30. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981. 456 с.

31. Марчук Г. И., Михайлов Г. А., Назаралиев М. А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Паука, 1976. 284 с.

32. Михайлов Г. А. Некоторые задачи теории и приложений методов Монте-Карло//Препринт ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1978.

33. Михайлов Г. А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 248 с.

34. Михайлов Г. А. Весовые алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2003. 184 с.

35. Михайлов Г. А., Войгишек А. В. Численное статистическое моделирование. М.: Учебно-издательский центр "Академия", 2006. 368 с.

36. Михайлов Г. А., Лотова Г. 3. Новые методы Монте-Карло для решения нестационарных задач теории переноса излучения // Докл. РАН. 2000. Т. 372, № 4. С. 459-462.

37. Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Исследование асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Докл. Академии Наук. 2007. Т. 414, № 6. С. 727-731.

38. Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Исследование вре.менной асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, jV® 7. С. 1264-1275.

39. Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Оценка методом Монте-Карло параметров асимптотики помехи обратного рассеяния с учетом поляризации // Оптика атмосферы и океана. 2010. Т. 23, № 9. С. 739-748.

40. Михайлов Г. А., Ухинов С. А.,Чимаева А. С. Дисперсия стандартной векторной оценки метода Монте-Карло в теории переноса поляризованного излучения //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 11. С. 2199-2212.

41. Михайлов Г. А., Ухинов С. А., Чимаева А. С. Алгоритмы, метода Монте-Карло для восстановления индикатрисы рассеяния с учетом поляризации// Докл. Академии Наук. 2008. Т. 423, №2. С. 161-164.

42. Назаралиев М. А. Статистическое моделирование радиационных процессов в атмосфере. Новосибирск: Наука, 1990. 227 с.

43. Назаралиев М. А., Плотникова Г. А., Ухинов С. А. Пакет прикладных программ для решения прямых задач атмосферной оптики методом Монте-Карло (АТМОСФЕРА)// Алгоритмы и программы. М.: ВНТИЦ. 1986, №6, per. № 5086000022.

44. Назаралиев М. А., Ташенов Б. Т., Толканчинов К. К., Ухинов С. А. Влияние стратосферного аэрозоля на яркость неба при низком Солнце// Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1988. Т. 24, № 12. С. 1293-1297.

45. Пригарин С. М. Введение в численное моделирование случайных процессов и полей. Новосибирск: Изд-во Новосибирского гос. ун-та, 1999. 301 с.

46. Розенберг Г. В. Сумерки. М.: Физматгиз, 1963. 380 с.

47. Романова JI. М. Предельные случаи функции распределения по пробегам фотонов, выходящих из толстого светорассеивающего слоя //Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1965. Т. 1, № 6. С. 599-606.

48. Сибирский суперкомпыотерный центр. URL: http://www2.sscc.ru.

49. Смелов В. В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978. 216 с.

50. Спанье Дж., Гельбард Э. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1972. 270 с.

51. Сушкевич Т. А. Математические модели переноса излучения. М.: изд-во БИНОМ, 2005. 661 с.

52. Трачева Н. В. Мет,оды Монте-Карло для оценки параметров асимптотики решения уравнения переноса излучения с учетом поляризации // Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. паук / Науч. рук-ль Ухииов С. А. Новосибирск, ИВМиМГ СО РАН, 2008.

53. Трачева Н. В., Ухинов С. А., Чимаева А. С. Расчет параметров временной асимптотики выходящего из полубескопечного слоя, поляризованного излучения // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. Специальный выпуск 4. С. 120-130.

54. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. 632 с.

55. Ухинов С. А., Юрков Д. И. Оценки методов Монте-Карло для параметрических производных поляризованного излучения // Сиб. журн. вычисл. матем. 2002. Т. 5, № 1. С. 40-56.

56. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 432 с.

57. Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов (линейный анализ). М.: Атомиздат, 1973. 310 с.

58. Chimaeva A. S., Mikhailov G. A. Study of polarization estimates variance by the Monte Carlo method// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006. V. 20, N 3. P. 305-317.

59. Cliimaeva A. S., Mikhailov G. A., Ukhiniov S. A. Monte Carlo algorithms for reconstruction of the scattering indicatrix adjusted for polarization // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009. V. 24, N 5. P. 455-465.

60. Collins D. G, Blattner W. G., Wells M. В., Horac H. G. Backward Monte Carlo Calculations of the Polarization Characteristics of the Radiation Emerging from Spherical-Shell Atmospheres// Applied Optics. 1972. V. 11. J 11. P. 2684-2696.

61. Dyadkin I. G., Hamilton K. G. A study of 128-bit multipliers for congruential pseudorandom number generators// Сотр. Phys. Comm. 2000. V. 125. P. 239-258.

62. Grechko G. M., Elansky N. Ph., Plotkin M. E., Postylyakov O. V., Ukhinov S. A. OZAFS space experiment for observing the fine structure of the ozone and aerosol distribution in the atmosphere // Adv. Space Res. 1992. V. 12, N 10. P. (10)157-(10)160.

63. IntelR Math Kernel Library. Vector Statistical Library Notes. URL: http:// download.intel.com/software/products/mkl/docs/vslnotes.pdf.

64. Kattawar G. W., Plass G. N. Radiation and polarization of multiple scattered light from haze and clouds// Applied Optics. 1968. V. 7, N. 8. P. 1519-1527.

65. Lorentz G. G., ed. Approximation theory: Poceedings of an International Symposium conducted by the University of Texas // New York: Acad. Press, 1973. xiii+525 p.

66. Marsaglia Random Number CDROM including the Diehard Battery of Tests of Randomness. URL: http://stat.fsu.edu/pub/dieh.ard/.

67. Mikhailov G. A., Tracheva N. V., Ukhinov S. A. Time asymptotics of the intensity of polarized radiation. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. V. 22, N 5. P. 487-503.

68. Mikhailov G. A., Tracheva N. V., Ukhinov S. A. The Monte Carlo method and analytic averaging for estimation of parameters of polarized radiation asymptotics // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008. V. 23, N 3. P. 239-250.

69. MVAPICH: MPI over InfiniBand. URL: http://mvapich.cse.ohio-state.edu/.

70. Rakimgulov K. B, Ukhinov S. A. Local estimates in Monte Carlo method for the ocean atmosphere system with a random interface // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1994. V. 9, N. 6. P. 547-564.

71. Ukhinov S. A. Determination of spacial distribution of tcrmal radiation sources by Monte Carlo Method // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1992. V. 7, N. 2. P. 169-186.

72. Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Monte Carlo method of calculating the derivatives of polarized radiation // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. V. 13, N 5. P. 425-444.

73. Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Estimation of special parametric derivatives for transfer equation with polarization // Proc. of the 4th Int. Workshop on Simulation. 2001. P. 481-485.

74. Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Computation of the parametric derivatives of polarized radiation and the solution of inverse atmosphere optic problems// Russ. J. Nuiner. Anal. Math. Modelling. 2002. V. 17, N 3. P. 283-303.