Методы Монте-Карло для оценки параметров асимптотики решения уравнения переноса излучения с учетом поляризации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Трачева, Наталья Валерьевна

• Трачева, Наталья Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трачева, Наталья Валерьевна

Введение

1. Вопросы теории и алгоритмов метода Монте-Карло

1.1. Вводная информация

1.2. Общая теория решения системы интегральных уравнений методом Монте-Карло.

1.3. Локальные оценки.

1.4. Значение параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики для бесконечного однородного изотропного пространства

1.5. Оценка параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики с помощью итераций резольвенты.

1.6. Оценка параметров А* и а: временной асимптотики на основе параметрических производных по времени

1.7. Оценка параметров А* и а временной асимптотики на основе специального аналитического осреднения.

2. Вычислительные алгоритмы

2.1. Общий алгоритм моделирования траекторий.

2.2. Алгоритм пересчета вектора Стокса.

2.3. Алгоритм моделирования для решения задач лазерного зондирования

3. Решение модельных и прикладных задач

3.1. Модельная задача вычисления параметра А* экспоненциальной временной асимптотики в бесконечной среде.

3.2. Вычисление параметра А* экспоненциальной временной асимптотики в плоском слое

3.3. Вычисление параметров А* и а: временной асимптотики освещенности границы полупространства

3.4. Вычисление параметров Л* и а временной асимптотики интенсивности отраженного средой света в задачах оптического зондирования

А. Генераторы псевдослучайных чисел и распределенные вычисления методом Монте-Карло

А.1. Параллельная реализация расчетов методом Монте-Карло

А.2. Генераторы псевдослучайных чисел.

А.2.1. Мультипликативный конгруэнтный генератор псевдослучайных чисел.

А.2.2. Модификация генератора с параметрами М = 5100109 и г = 128.

А.2.3. Векторизация генераторов псевдослучайных чисел . 67 А.2.4. Генератор псевдослучайных чисел "Вихрь Мерсенна"

А.2.5. Тест на ^-равномерность.

А.З. Вычислительные программы, константы, инструкции для использования.

Б. Таблицы результатов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы Монте-Карло для оценки параметров асимптотики решения уравнения переноса излучения с учетом поляризации»

Существует ряд задач теории переноса, при решении которых исследователей интересует асимптотическое поведение интенсивности излучения на больших временах в светорассеивающих средах.

Для практических приложений важным оказывается исследование свойств временной асимптотики интенсивности излучения отраженного веществом, которое определяет "помеху обратного рассеяния" при оптическом зондировании среды. Получение оценок параметров асимптотики для данной задачи с учетом поляризации является актуальной и до сих пор мало исследованной проблемой.

Диссертационная работа посвящена разработке и обоснованию алгоритмов вычисления асимптотических параметров интенсивности многократно рассеянного поляризованного излучения.

Математическое описание распространения поляризованного излучения, изложенное в работах [7, 38], предоставляет нам удобный инструмент для исследования процесса переноса поляризованного излучения. Этим инструментом являются вектор-функции Стокса, характеризующие свойства излучения в каждой конкретной точке, и интегральное уравнение переноса с обобщенным ядром, описывающее сам процесс переноса.

Интенсивность и состояние поляризации излучения полностью определяются четырехкомпонентной вектор-функцией Стокса, компоненты которой определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения.

Процесс переноса излучения с поляризацией описывается интегральным уравнением второго рода (см., например, [9, 19, 21, 27]), оператор которого, в силу физических особенностей задачи, оставляет инвариантным множество вектор-функций Стокса. Исследованию свойств подобных операторов посвящены, например, работы [5, 14].

Изучению уравнения переноса посвящена обширная литература (см., например, [8, 18, 39, 32]). В ней содержатся математические постановки задач теории переноса, вывод интегро-дифференциального уравнения переноса. Обоснование условий существования собственных значений дается в работах [10, 39]. Численные методы решения соответствующих задач рассмотрены в известных монографиях [3, 17, 18]. Среди них существенное место занимает метод Монте-Карло [9, 17, 23].

Физико-математическая модель переноса поляризованного излучения строится на основе феноменологического предположения о том, что в результате рассеяния ассоциируемый с "фотоном" вектор Стокса преобразуется заданной матрицей рассеяния [19]. Таким образом, процесс распространения света можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с веществом, которые приводят либо к рассеянию (с пересчетом вектора Стокса), либо к поглощению фотонов. Метод Монте-Карло заключается в моделировании траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистических оценок для искомых функционалов.

Отметим, что алгоритмы численного статистического моделирования естественным образом распараллеливаются путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам, поэтому, в связи с ростом мощностей вычислительных систем, их исследование приобретает особое значение.

Итак, основными целями диссертационной работы являются:

• Разработка и обоснование алгоритмов вычисления параметров временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения.

• Разработка комплекса программ, реализующих предложенные алгоритмы.

• Проведение численного исследования временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения для сред различной геометрии, с различными коэффициентами рассеяния и поглощения, с матрицами аэрозольного и молекулярного рассеяния.

В диссертационной работе рассматривается подробное описание алгоритма метода Монте-Карло для расчета интенсивности многократно рассеянного поляризованного излучения. Отметим, что соответствующий алгоритм моделирования переноса излучения из физических соображений был предложен в [42]. В этой же работе было указано, что "более точной", по отношению к первой компоненте вектора Стокса, является угловая переходная плотность, пропорциональная новому значению этой компоненты. Однако, соответствующая случайная векторная оценка является нестандартной; ее математическое исследование, а также использование для решения ряда прикладных задач затруднительно. В частности, рассматриваемая в настоящей работе стандартная оценка сравнительно эффективна для вычисления изменения изучаемых функционалов при изменении матрицы рассеяния.

Рассматриваемая математическая модель позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем [9, 22, 21, 33]. Рассматривается некоторый линейный функционал J от решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.

Конкретный вид функционала J, разумеется, зависит от поставленной задачи. Так, например, для определения характеристик поляризованного излучения "в точке" используются локальные оценки [19, 27].

Заметим, что для применения метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала J необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечивающие существование математического ожидания оценки ее несмещенность и конечность дисперсии [26]. Однако, даже если дисперсия оценки £ конечна, она может оказаться настолько большой, что полученный алгоритм окажется практически неприменимым. В этом случае приходится применять некоторые приемы уменьшения дисперсии оценок метода Монте-Карло (см., например, [22]).

Далее следует краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена вопросам теории и алгоритмов метода Монте-Карло.

В разделе 1.1 приводится вводная информация о вектор-функции Стокса и интегро-дифференциальное уравнение переноса с учетом поляризации

В разделе 1.2 рассматривается интегральное уравнение второго рода с обобщенным матричным ядром. Приводятся сведения из общей теории весовых оценок метода Монте-Карло для вычисления линейных функционалов от решения матричного интегрального, уравнения и их параметрических производных. Далее рассматриваются условия несмещенности и конечности дисперсии этих оценок.

В разделе 1.3 описывается построение векторных локальных оценок.

В разделе 1.4 автором доказана теорема о главном характеристическом числе однородного интегро-дифференциального уравнения переноса поляризованного излучения в изотропной однородной среде. Показано, что в случае пространственно-однородной задачи для изотропной среды поляризация не влияет на асимптотику излучения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Трачева, Наталья Валерьевна

Основные результаты диссертационной работы:

1. Разработан и обоснован алгоритм вычисления параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения, основанный на реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса.

2. Разработан и обоснован алгоритм вычисления параметров А* и а временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения, основанный на параметрическом дифференцирования по времени специального представления решения нестационарного уравнения переноса с поляризацией.

3. С помощью прецизионных расчетов разработанными методами показано, что для ограниченных сред значения параметров экспоненциальной временной асимптотики интенсивности излучения в случае учета поляризации и без ее учета, не совпадают, т.е. деполяризация потока частиц несколько запаздывает относительно прехода к асимптотике.

4. Для задач лазерного зондирования полубесконечной среды осуществлена численная реализация алгоритма расчета параметров Л* и о; временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения с использованием модифицированной двойной локальной оценки и метода, основанного на вычислении параметрических производных по времени.

5. Для задачи оценки параметров Л* и а временной асимптотики потока излучения, выходящего из полубесконечного слоя рассеивающего и поглощающего вещества при освещении его внешним источником, на основе метода параметрического дифференцирования по времени и модифицированной локальной оценки, с помощью прецизионных расчетов показано, что параметры асимптотики с учетом поляризации и без ее учета совпадают с точностью до статистической погрешности.

6. Для вычисления параметров временной асимптотики освещенности и интенсивности на границе рассеивающей и поглощающей среды предложен вариант аналитического осреднения с использованием финитной весовой функции. Проведенные расчеты показали эффективность данного подхода.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трачева, Наталья Валерьевна, 2008 год

1. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MP1. М.: Издательство Московского университета, 2004.

2. Бирман М.Ш. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972.

3. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. // Тр.МИАН СССР. 1961. - Т. 61.

4. Владимиров В. С. О применении метода Монте-Карло для отыскания наименьшего характеристического числа и соответствующей собственной функции линейного интегрального уравнения // Теор. вероятн. и ее примен. 1956. - Т. 1, № 1. - С.113-130.

5. Гермогенова Т. А., Коновалов Н. В. Спектр характеристического уравнения с учетом поляризации. ИПМ АН СССР, Препринт № 62, М., 1978.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы (общая теория). М.: ИЛ, 1962.

7. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами. М., Мир; 1971.

8. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. -М.:Атомиздат, 1960.

9. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М., Наука; 1982.

10. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Математические основы теории переноса Т.1. -М.:Энергоатомиздат, 1985.

11. Зеге Э.П., Кацев И.Л. Временные асимптотические решения уравнения переноса излучения и их применения. Минск, 1973. - (Препринт/АН БССР ИФ).

12. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М., Наука; 1973.

13. Крейн С. Г., ред. Функциональный анализ. М., Наука; 1972.

14. Кузьмина М. Г. Общие функциональные свойства уравнения переноса поляризованного излучения // Докл. АН СССР, 1978, т. 238, № 2, стр. 314-317.

15. Лотова Г. 3., Михайлов Г. А. Новые методы Монте-Карло для решения нестационарных задач теории переноса излучения// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2002. - Т. 42, № 4. - С. 569-579.

16. Марченко М.А. Михайлов Г.А. Распределенные вычисления по методу Монте-Карло// Автоматика и телемеханика. 2007, Ns 5. С. 157-170.17 1819