Методы моделирования и синтеза стохастических динамических процессов с инвариантами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Карачанская Елена Викторовна

• Карачанская Елена Викторовна
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Карачанская Елена Викторовна

Введение

1 Некоторые сведения из теории случайных процессов

1.1 Стохастические уравнения с винеровскими возмущениями

1.1.1 Уравнение Ито

1.1.2 Формула Ито

1.1.3 Формула Ито - Вентцеля

1.2 Уравнение с пуассоновскими возмущениями

1.2.1 Пуассоновская мера

1.2.2 Обобщённое уравнение Ито

1.2.3 Обобщённая формула Ито

1.3 Инварианты стохастической системы

1.3.1 Стохастический первый интеграл и первый интеграл системы ОСДУИто

1.3.2 Необходимые и достаточные условия ПИ стохастической системы

1.4 Выводы по первой главе

2 Построение моделей для динамической системы с инвариантами

2.1 Системы дифференциальных уравнений Ито с заданным набором первых интегралов

2.1.1 Построение системы ОСДУ Ито

2.1.2 Построение системы СДУ Ито. Полнота множества систем

2.2 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданным набором первых интегралов

2.2.1 Построение системы ОДУ

2.2.2 Полнота множества систем ОДУ

2.3 Примеры построения моделей динамических систем с инвариантами

2.3.1 Модели с одним первым интегралом

2.3.2 Модели с двумя первыми интегралами

2.4 Программное управление с вероятностью

2.4.1 РСР1 : определение и построение

2.4.2 РСР1 для стохастической системы при наличии винеров-ских и пуассоновских возмущений

2.4.3 РСР1 для системы с винеровскими возмущениями по части переменных

2.4.4 РСР1 для системы с пуассоновскими скачками по части переменных

2.4.5 РСР1 для детерминированной системы

2.5 Выводы по второй главе

3 Программная реализация алгоритма построения системы дифференциальных

уравнений и её численного решения

3.1 Описание алгоритма в М2

3.1.1 Построение системы обыкновенных ДУ - алгоритм 20Би

3.1.2 Построение системы дифференциальных уравнений Ито -алгоритм

3.1.3 Построение системы дифференциальных уравнений Ито со скачками - алгоритм 2SDUWP

3.2 Численное решение системы дифференциальных уравнений в М2

3.2.1 Классический метод Эйлера

3.2.2 Метод Эйлера - Маруямы

3.2.3 Стохастический метод Эйлера для уравнения со скачками

3.3 Описание алгоритма в М3

3.3.1 Построение системы обыкновенных ДУ - алгоритм 30DU

3.3.2 Построение системы дифференциальных уравнений Ито -алгоритм 3SDUW

3.3.3 Построение системы дифференциальных уравнений Ито со скачками - алгоритм 3SDUWP

3.4 Программный комплекс для построения системы дифференциальных

уравнений в М2 и М3

3.5 Выводы по третьей главе

Нелинейные стохастические аналоги классических динамических моделей с инвариантами и численно-аналитическое моделирование вспомогательных

систем дифференциальных уравнений

4.1 SIR - модель распространения эпидемии

4.1.1 Классическая модель

4.1.2 Стохастическая модель

4.1.3 Результаты численно-аналитического моделирования

4.2 Многостадийная полиферментная реакция

4.2.1 Классическая модель многостадийной полиферментной -реакции

4.2.2 Стохастическая модель с управлением для многостадийной полиферментной реакции

4.2.3 Моделирование стохастической трёх-ферментной многостадийной реакции

4.2.4 Результаты численно-аналитического моделирования

4.3 Модель Лотки - Вольтерры

4.3.1 Классическая модель

4.3.2 Стохастическая модель

4.3.3 Результаты численно-аналитического моделирования

4.4 Криволинейное движение автомобиля

4.4.1 Классическая модель

4.4.2 Стохастическая модель

4.4.3 Результаты численно-аналитического моделирования

4.5 Идея для модели управляемого (PCP1) движения воздушного судна

в условиях сильной турбулентности

4.6 Выводы по четвертой главе

5 Стохастические ряды как универсальная основа для моделирования -реальных процессов

5.1 Гармонические функции и модели реальных процессов

5.2 Стохастические иерархически-коррелированные ряды - SHCS

5.2.1 Моделирование реальных процессов с помощью SHCS-рядов

5.2.2 Обобщение модели «флюгера» и частный случай SHCS-ряда

5.2.3 Динамическая модель генерации вертикальной скорости случайного порыва при турбулентной пульсации

5.2.4 Фазовая и амплитудная модуляция. Магнитные шумы

5.2.5 Стационарные случайные процессы

5.3 Аналитические модели на основе SHCS-рядов

5.3.1 Случайное блуждание с неслучайной скоростью

5.3.2 Вращательная диффузия под действием пуассоновских скачков на окружности

5.3.3 Динамика диффузии точки на сфере

5.4 Выводы по пятой главе

6 Моделирование полимерной цепи и случайных блужданий

6.1 Полимерная цепь (макромолекула)

6.2 Аналитическая модель динамики полимерной цепи в М2

6.3 Моделирование динамики стохастической цепи на основе SHCS-рядов

6.3.1 Динамика стохастической цепи в М2

6.3.2 Динамика стохастической цепи в М3 и случайное блуждание

по пространственной решётке

6.4 Другие модели на основе ориентированной стохастической цепи

6.4.1 Полет объекта в условиях сильной турбулентности

6.4.2 Колебание мачты корабля

6.5 Численные алгоритмы моделирования динамики (полимерной) цепи

и случайного блуждания

6.5.1 Моделирование стохастической цепи

6.5.2 Моделирование случайного блуждания

6.5.3 Численное моделирование динамики стохастической цепи

в М2

6.5.4 Численное моделирование динамики полимерной цепи (в М3)

6.5.5 Блуждание по пространственной решётке

6.6 Выводы по шестой главе

7 Теоретическое обоснование: стохастические интегральные инварианты, обобщённая формула Ито - Вентцеля

7.1 Интегральный инвариант, ядро интегрального инварианта. Единственность

решения

7.2 Уравнение для стохастического ядра стохастического интегрального инварианта

7.3 Обобщённая формула Ито - Вентцеля

7.3.1 Эволюция правила дифференцирования сложной функции

7.3.2 Получение обобщённой формулы Ито - Вентцеля на основе уравнения для ядер интегральных инвариантов

7.3.3 «Прямой» метод получения обобщённой формулы Ито -Вентцеля: функция и плотность нормального распределения

7.3.4 «Прямой» метод получения обобщённой формулы Ито -Вентцеля: финитные функции

7.4 Стохастический первый интеграл и его представления

7.4.1 Уравнение для стохастического первого интеграла

7.4.2 Единственность представления стохастического дифференциала для стохастического первого интеграла

7.4.3 Критерии функции - стохастического первого интеграла

7.5 Локальная стохастическая плотность стохастического интегрального

инварианта

7.6 Выводы по седьмой главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список использованных источников

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы моделирования и синтеза стохастических динамических процессов с инвариантами»

Актуальность темы исследования

При математическом моделировании динамических процессов одной из важных проблем является построение адекватной аналитической модели. Поскольку реальные процессы протекают в открытых системах (т.е. обладающих особенностью обмениваться с внешней средой массой, энергией, информацией) и подвержены влиянию сильных случайных возмущений, соизмеримых с параметрами самой системы, необходимо учитывать эти возмущения при построении математической модели.

Существование инвариантов в любой системе означает существование возможности изучения её свойств, прогнозирования её развития. Традиционно изучавшиеся и применяемые математические модели являются детерминированными, без случайностей. Такие модели относятся к системам, в которых существуют некоторые законы сохранения (в той или иной форме). Инварианты могут быть привлечены в качестве исходных моделей-ограничений при исследовании моделей реальных процессов. Для описания, например, физических процессов, это могут быть уравнения для законов сохранения, плотности, конечной скорости и т. п. [28]. В открытых системах также могут существовать глобальные инварианты (аналоги законов сохранения). Эти инварианты выделяют класс уравнений, которые согласуются с их существованием. Такие задачи возникают, например, в теории турбулентности, теории полимерных цепей и др. При этом известный инвариант, например, длина полимерной цепи, являясь важной характеристикой, не оказывает влияния на построение модели, и, кроме того, важное свойство — корреляция положений соседних элементов цепи вносит существенные затруднения при изучении конформаций полимерной цепи.

При переходе от существующей детерминированной модели какого-либо динамического процесса к стохастической, учитывающей сильные внешние случайные возмущения, появляются задачи построения математической модели с управлением, обеспечивающим сохранение множества выбранных инвариантов. Включение случайных возмущений в математическую модель процесса вносит неопределённость: появление множества траекторий эволюции этого процесса. Обычно рассматривают усреднённые (вероятностные) характеристики и на их

основе переходят в решению задач оптимизации. При сильных возмущениях основой становится конкретная реализация развития этой системы: учёт только усреднённых характеристик неизбежно ведет к несохранению выбранных важных параметров (катастрофе). Такие ситуации необходимо и возможно исключить достоверно (в терминах теории вероятностей - с вероятностью 1). Рассмотрение конкретной траектории развития динамической системы даёт возможность ввести управление, которое достоверно позволит сохранить инварианты математической модели этой системы даже при неблагоприятной ситуации.

Изучение динамических систем и построение их математических моделей на основе стохастических дифференциальных уравнений Ито обусловлено тем, что неизолированная система подвержена случайным возмущениям не только в виде непрерывных возмущений (винеровских), но и возмущений в виде случайных (пуассоновских) скачков. Эти скачки могут привести к резкому изменению текущих параметров изучаемой динамической системы и, в дальнейшем -привести к нарушению инвариантных соотношений этой системы, нежелательному развитию ситуации.

В математических моделях, описывающих случайные процессы, обычно используются инварианты, полученные на основе предельных теорем теории вероятностей - например, в виде законов больших чисел. Это означает, что априори моделируемая система бесконечное число степеней свободы. Реальные системы имеют конечное число степеней свободы, и теория первых интегралов [60] указывает на то, что возможно существование сохраняющихся функционалов в таких, в общем случае - стохастических, системах.

Следовательно, наличие инвариантов, присущих изучаемых динамическим процессам, влечет ряд вопросов, определяющих актуальность темы исследования:

• Можно ли построить математическую модель изучаемого динамического процесса, протекающего в условиях сильных случайных возмущений и обладающего инвариантами, не используя переход к предельным соотношениям?

• Каковы должны быть требования к математической модели реального процесса, протекающего в открытой системе при условии сильных случайных возмущений?

• Как влияет наличие инварианта изучаемого стохастического динамического процесса на построение математической модели этого процесса?

Степень разработанности темы исследования

Математические модели, используемые при решении многих прикладных задач, например, в финансовой математике и экономике [72, 106, 191, 208, 251, 258], управлении [73, 110, 114, 115, 122, 131, 184, 207, 223, 255], в задачах информационного анализа [46, 47] и др., представлены в виде стохастических дифференциальных уравнений и систем таких уравнений. В настоящее время все больше математических моделей, связанных с воздушными судами, имеют стохастический характер. Например, для расчёта параметров визуального контакта [78], для описания модели объекта наблюдения [157], для модели движения воздушного судна [11,202], для исследования проблем точности посадки и безопасности полетов [161] и др. Во всех этих случаях (за исключением первого), используются стохастические дифференциальные уравнения Ито. Такие задачи часто связаны с поиском оптимального решения и/или управления. Очень много задач связаны с управлением системы, описываемой СДУ Ито с винеровским процессом (напр., [11, 38, 48, 111, 114, 122, 157, 161, 166, 174, 186, 202] и др.).

Исследования по теории стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) показали, что существует целый класс задач, связанный с поиском принципов организации, самоорганизации открытых динамических систем, позволяющих с вероятностью 1 (достоверно) сохранить необходимые функциональные связи, жизненно важные показатели на любой траектории эволюции открытых динамических систем (В. А. Дубко, 1978, 1989, 1995, 2002 [51, 56, 58, 60]) и эти соотношения и уравнения могут быть взяты в качестве основы для поиска принципов функционирования реальных систем.

Классическая теория инвариантности базируется на свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В СДУ входят недифференци-руемые случайные возмущения, и в процессах, ими описываемых, появляется ряд особенностей, не позволяющих использовать выводы классической теории инвариантов. Поэтому важным этапом исследования моделей, построенных на основе стохастических уравнений, является построение дифференциалов для функций, зависящих от случайного процесса, который подчинен стохастическим уравнениям. Такими являются формула Ито (1950, 1951, 1967) [227, 228, 249] - дифференциал неслучайной функции от случайного процесса, и формула

Ито - Вентцеля (1965) [26], позволяющая построить дифференциал для функции, которая сама является решением стохастического уравнения.

В последнее время появляются задачи, в которых математическая модель процесса включает в описание наряду с непрерывными случайными (вине-ровскими) компонентами еще и скачкообразные, вызванные пуассоновским процессом - обобщенное уравнение Ито (ОСДУ Ито). Традиционно это модели финансовой математики, например [36, 204, 210, 261], систем радиоэлектроники, например, [3], и новые модели, описывающие, например, динамику систолического артериального давления в моменты стрессовых ситуаций [32]. Для их исследований с точки зрения наличия инвариантов, необходимо получение аналога формулы Ито - Вентцеля. В 2002 г. В. А. Дубко [58] предложил подход и построил аналог формулы Ито - Вентцеля для ОСДУ Ито с центрированной пуассоновской мерой (ЦПМ), которую назвал «обобщенной формулой Ито -Вентцеля». Строгого доказательства, обосновывающего полученный результат, не было. Отметим, что «центрированная пуассоновская мера» есть идеализированное понятие, в реальном мире для процессов, связанных с пуассоновской мерой, «центрирование» отсутствует. При моделировании реальных систем и процессов необходимо рассмотрение математических моделей, связанных с нецентрирован-ной (стандартной) пуассоновской мерой.

Отметим, что существуют формулы, являющиеся в некоторой степени вариантами представленной в диссертации обобщённой формулы Ито - Вентцеля, полученные позже, другими методами и для более частных случаев. Например B. 0ksendal и T. Zhang [256] (2007) рассмотрели случай для одномерного уравнения с пуассоновской центрированной мерой, без винеровской части; они же вместе с А. Sulem [253] (2013) привели формулу (без доказательства) для одномерного случайного процесса, подчинённого стохастическому уравнению Ито и функции с винеровской и пуассоновской составляющими (названа указанными авторами «формула Ито - Вентцеля со скачками»).

Первым, кто обратил внимание на практическую значимость задач, связанных с инвариантностью к возмущениям, был Г. В. Щипанов [192]. Он доказал возможность создание регуляторов, полностью компенсирующих внешние воздействия для линейных систем. Для нелинейных систем вопрос открыт и находится в развитии. Для систем управления проблема инвариантности состоит

в нечувствительности системы к внешним воздействиям и установлении условий, обеспечивающих нечувствительность (инвариантность) переменных показателей, определяющих динамику этих систем по отношению к внешним воздействиям. В задачах управления инвариантом может быть многообразие, по которому должна двигаться управляемая система. Для описания, например, физических процессов, это могут быть уравнения для законов сохранения, плотности, конечной скорости и т. п. (напр., [28, 179] и др.). Отметим также, что инвариантность траектории лежит в основе построения управления движения летательного аппарата [81]. Учитывая, что математическая модель изучаемого динамического процесса может быть описана с помощью системы дифференциальных уравнений, то соответствующее множество (или подмножество) первых интегралов можно рассматривать как некоторое интегральное многообразие.

Для стохастических моделей динамических систем также существуют интегральные инварианты: первый интеграл для системы СДУ Ито (В. А. Дубко, 1978 [60]), и прямой и обратный первые интегралы для системы СДУ Ито (Н. В. Крылов и Б. Л. Розовский, 1982 [118]).

Эволюцию управляемого динамического процесса, отраженного в математической модели с дифференциальными уравнениями, можно отождествить с движением по заданным свойствам движения. Исследования, связанные с построением уравнений движения и устойчивостью этого движения, отражены, например, в работах А. С. Галиулина [33-35], С. А. Горбатенко [40], А. В. Кряжимского [119, 120] и др. Традиционно используется метод, предложенный Н. П. Еругиным [68], далее развитый Р. Г. Мухарлямовым, И. А. Мухаметзяновым [133] и их учениками. Предложенные методы основаны во многом на линеаризации функций правой части, что не всегда даёт адекватный результат.

Для исследования устойчивости систем используются методы, основанные на функциях А. М. Ляпунова [8, 77, 129, 183, 185]. В работах М. И. Тлеубергенова (например, [170-173]) обратные задачи динамики рассматриваются при дополнительном предположении о наличии случайных возмущений. В 2001 г. М. И. Тлеубергенов при рассмотрении обратных задач подошёл к построению систем СДУ Ито, содержащих случайную составляющую только в виде винеровского процесса [170]. В его работах строится уравнение второго порядка вида Ито с винеровскими возмущениями. Во всех работах М. И. Тлеубергенова

используется метод Н. П. Еругина, применённый к СДУ, и метод квазиобращения [133], предложенный Р. Г. Мухарлямовым. Разработанный Н. П. Еругиным [68] алгоритм построения систем ОДУ основан на существовании интегральной кривой, связанной с определёнными частными условиями, т. е. использует локальный инвариант.

Теория первых интегралов [51, 56, 58, 60] позволила исследовать вопрос существования устойчивых многообразий для моделей динамических систем практически в рамках теории обыкновенных дифференциальных уравнений и позволяет решать задачи построения и исследования математических моделей, как стохастических, так и детерминированных. Подход к построению систем стохастических дифференциальных (диффузионных) уравнений Ито, основанный на применении первого интеграла системы СДУ - глобального инварианта, был предложен В. А. Дубко [51]. Для систем с пуассоновскими возмущениями подобных работ не было.

При построении математических моделей с управлением требуется не только получить уравнения движения (поведения) системы, но и дать достаточно полное описание целей управления и разнообразных ограничений, предъявляемых к системе. Для разных задач приходится искать и строить специфические методы их изучения. Не являются исключением и вопросы построения управлений для нелинейных стохастических систем, подверженных винеровским и пуассоновским возмущениям, общих методов поиска управлений и их устойчивости.

Традиционно программное управление в динамических системах рассматривается как управление режимом работы по заданной ранее программе. При этом функция 8 = 8^ (Ь, х; ¿0), переводящая систему в заданное состояние, называется программным управлением. Вопросы построения программного управления для детерминированных систем рассматривались, например, в работах В. И. Зубова, А. С. Галиуллина, И. А. Мухаметзянова, Р. Г. Мухарлямова [69, 70, 76, 134, 135, 148], В. Д. Фурасова [134, 135, 148], В. И. Ёлкина [69, 70] и др.

Р. Г. Мухарлямов и его ученики в качестве инварианта для системы с управлением рассматривают структуры, подобные лагранжиану. В. И. Ёлкин в [69] рассматривал математическую модель управляемой системы с ограничениями на часть переменных, сводя её с помощью редукции к математической модели без ограничений, для которой строится последовательность индуцируемых

многообразий, определяющая, в итоге, искомое управление; далее в [70] он решает проблему инвариантности к возмущениям с помощью декомпозиции управляемой системы. В. И. Зубов [76] рассматривает задачу построения ПУ как движение по заданным реперным точкам, траектории между которыми определяются в соответствии с критериями оптимальности. Задачи построения управлений, обеспечивающих движение по гладкой непрерывной траектории, описываемой функцией, зависящей от пространственно-временных характеристик управляемого объекта, не изучались. Отдельно стоит выделить управление, связанное со стохастической оптимизацией: рассматривается оптимальное управление, определяемое минимизацией (чаще всего) некоторого функционала - критерия качества, связанного с усредненными характеристиками системы (напр., [48, 114, 117,142,150,181,186,197,205,217,219, 226] и др.), либо с учетом вероятностных характеристик (напр., [65, 76, 82, 105, 141, 156, 250].

Для исследования математических моделей стохастических систем, описываемых уравнениями Ито с пуассоновской составляющей используются разнообразные методы. А. Б. Пиуновский и В. М. Хаметов рассматривают управления скачкообразными случайными процессами, используя сведение задачи с ограничениями к задачам линейного программирования [144-147]. Построение математических моделей с управлением для стохастических систем с диффузией и скачками (пуассоновскими возмущениями), и их компьютерное моделирование изучается в работах Б. Оксендаля, Т. А. Авериной, К. А. Рыбакова [1,2, 224, 225, 254].

При построении математических моделей реальных явлений, связанных со случайными процессами, полагалось, что основной интерес представляют распределения и средние, полученные на их основе. В то же время при моделировании реальных систем важно учитывать не только «осредненные» (вероятностные) характеристики, но и конкретные реализации. Внимание на то, что характеристики, связанные с конкретной траекторией, существенно отличаются от средних (вероятностных) характеристик, обращали например, Н. В. Крылов [117], А. Н. Колмогоров, Ю. В. Прохоров, А. Н. Ширяев [111]. При этом дальнейшие их исследования, проведённые в этих работах, касаются именно «средних» и распределений. Вопрос о важности рассмотрения и изучения конкретных траекторий (т.е. реализующихся достоверно при заданных начальных

условиях в уже сложившейся ситуации), по-видимому, впервые был поднят В. А. Дубко в статье [55], затем получил идейное развитие применительно к развитию сложных систем и сохранению в них инвариантов в [57], с более строгим математическим обоснованием в [56, §5].

Ранее в наших работах [59, 61, 187, 188] доказано, для моделей стохастических систем в виде уравнения, подобного уравнению Ланжевена, существуют сохраняющиеся функции или функционалы. Определение или установление сохраняющихся функций или функционалов позволяет ставить и решать новые задачи, связанные с моделированием стохастических систем. Такие задачи появляются в теории случайных блужданий, в теории диффузии в случайных средах (В. Н. Тутубалин, А. В. Скороход, В. С. Королюк [112, 113, 126, 162, 177, 203] и др. Развитие трещин, рассматриваемое М. Д. Юдиным в [195], также можно отнести к диффузии в случайных средах. Математические модели случайного блуждания исследовалось А. Ф. Турбиным, Колесником А. [243, 244, 247], Э. Орсингером (E. Orsingher), A. de Grigorio [109, 218, 257], X. Chen и1. Duan [214], W. Stadje, S. Zacks [259, 260, 262], A. Di Crescenzo [220], Н. Б. Енгибаряном и А. Г. Барсегяном [66] и другими. При этом математические модели описывали, в основном, либо движение вдоль прямой, либо в какой-либо плоскости. Хотя есть рассмотрение случайного блуждания и в пространствах более высокой размерности. Изучаются при этом статистические вероятностные характеристики этого движения. Динамика случайного блуждания на плоскости и в трёхмерном пространстве не рассматривалась.

К задачам о случайной цепи примыкают и задачи случайного блуждания с конечной скоростью (М. Кац [104], А. Ф. Турбин, А. Колесник, Э. Орсингер [213, 245, 246], S. K. Floong [222], И. C. Борисов и Н. Н. Никитина [206] и др.), в т. ч. и по решёткам. При этом имеются достаточно существенные ограничения в моделях и опять определяются средние характеристики. Конкретные реализации случайных блужданий и их динамика не изучались. Как показано В. Феллером [178], средний размер случайной цепи фиксированной длины зависит от длины звеньев и угла между соседними звеньями. Кроме того, установлено, что при большом числе звеньев полимерные цепи под действием случайных внешних сил создают некоторую устойчивую структуру - глобулу (М. В. Волькенштейн, Г. Иос [30, 79] и др.).

Основополагающими в этой области являются работы Р. Дебая [45], М. В. Волькенштейна [29-31], Г. Иоса [79], П. Флори [182], А. Ю. Гросберга и А. Р. Хохлова [43], де Жена [44], М. Дой и С. Эдвардс [49] и другие. Среди работ последних лет можно выделить работу F. Ferrari, J. Paturej и T. A. Vilgis [221] и ссылки в ней, в которой рассматривается динамика цепи в выделенной плоскости. Чаще всего изучались свободно-сочлененные молекулы, например, [49, 214]. Однако объективно реальные молекулы не являются таковыми, их звенья имеют некое подобие иерархии [42].

Г. Иос в [79] гигантскую молекулу высокополимерного соединения рассматривает как цепь, состоящую из конечного числа сегментов одинаковой длины, которые могут быть повернуты друг относительно друга на произвольные углы. Форма цепи характеризуется величиной концевого вектора - расстоянием по прямой от начала до конца цепи. Для конечной точки цепи определяется вероятность нахождения ее в некоторой сфере. Исследования при постоянной длине концевого вектора показали, что упругость резиноподобных тел целиком определяется тепловым движением, которое приводит к тому, что клубкообразная форма («глобула») молекулы более вероятна, чем вытянутая.

Традиционно исследуются математические модели полимерных молекул, обладающих, в основном, однородной структурой [128]. Такой подход не совсем корректно описывает полимеры. Отмечено, что при быстром охлаждении полимер не успевает кристаллизоваться равномерно - возникают неоднородные структуры [12]. Кроме того, современные полимерные молекулы могут априори обладать негомогенной структурой, главной «бусиной» - ведущим элементом, например, тяжёлым ядром [6], или может рассматриваться растяжение цепи за оба конца [44]. Также реальный интерес представляет ориентация молекул, связанная с поляризацией (например, [45]), которая может быть случайной. Математические модели таких структур с учётом неоднородности цепи не рассматривались. Изучались, в основном, средние характеристики, такие как средний квадрат длины (традиционно, начиная с [178]) или корреляция между сегментами цепи [30]. Задача о глобуле решалась всегда только на уровне средних характеристик в стационарном установившемся режиме, без построения уравнений динамики и моделирования.

Представление случайных блужданий в виде суммы случайных величин и

предельные теоремы для них рассматривались в монографии А. В. Скорохода и Н. П. Слободенка [164]. Изучению сумм случайных величин посвящено множество работ. Этими задачами занимались В. В. Булдыгин [18, 209], Ж. Жакод и А. Н. Ширяев [71], О. В. Русаков [155], А. В. Булинский [19, 21, 22], В. В. Петров [143], А. А. Боровков [14, 15], С. В. Нагаев [7, 136], Б. Л. Розовский [152, 153], С. Ю. Новак [139] и др. В основном рассматривались суммы независимых случайных величин. Следует отметить, например, работы А. В. Булинского [13, 20], посвященные изучению сумм случайных величин с малой корреляцией, О. В. Русакова [154] - с остаточной зависимостью слагаемых, А. А. Рябинина [158] - с определением характеристической функции суммы слагаемых со случайными знаками, подчинёнными марковской зависимости. Суммы случайного числа случайных слагаемых, их сходимость, числовые характеристики и приближения смесями нормальных законов исследовались В. М. Кругловым и В. Ю. Королевым [116]. Для таких сумм А. А. Боровков и С. А. Утев [16, 17] изучали оценки распределений. Следует отметить, что суммы сильно коррелированных случайных величин и их связь с инвариантами не рассматривались.

В турбулентном течении частицы жидкости или газа совершают хаотическое движение по сложным траекториям, а скорость, давление и плотность среды испытывают флуктуации (пульсации). Для выделенной частицы турбулентное движение можно рассматривать как специфический вид случайного блуждания. Турбулентное перемешивание приводит к диффузии содержащихся в потоке примесей, как растворенных, так и взвешенных, а также тех свойств, которыми поток обладает, например, теплоты. Поиск удобного для применения на практике математического описания турбулентных течений до сих пор представляет проблему, несмотря на существующие многочисленные модели [37].

Для численного моделирования случайных блужданий традиционно используется метод Монте - Карло. Координаты каждой следующей точки обычно определяются случайным выбором из множества уже заданных точек. Существует множество способов построения этого набора точек: задание целочисленных решёток (Е. М. Ермишкина, Е. Б. Яровая) [67], фрактальные множества (Канторово, ковер Серпинского) и случайные бинарные последовательности (Д. А. Зенюк, Н. А. Митин, Ю. Н. Орлов [74, 75]), моделирование случайного блуждания на основе решения дифференциальных уравнений дробного порядка с применением

метода Монте - Карло (E. Andries, S. Umarov, S. Steinberg [199]), узлы численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (J. Mushkin, B. Katz [252]), узлы случайной сети [216], вершины случайного графа [215] и т. п.

Ориентация последующего звена цепи относительно предыдущего не учитывалась, несмотря на то, что при моделировании, например, полимерной цепи, следует учитывать взаимное расположение соседних мономеров. Из-за цепного строения полимера вращение вокруг одной связи не может происходить независимо от вращений соседних связей, то есть во вращение вокруг данной связи должны вовлекаться и вращения вокруг соседних связей [10]. Отметим, что генерация методом случайных блужданий молекул полимера фиксированной длины позволяет, например, проводить численное моделирование деформирования и разрушения полимерных нанокомпозитов, содержащих асимметричные включения [41].

Для моделирования динамики полимерных цепей разработаны многочисленные комплексы программ, такие как PUMA, GROMACS, CHARMM, AMBER и другие, в основе которых лежит метод молекулярной динамики (B. J. Alder, T. E. Wainwright, С. В. Лущекина, С. Д. Варфоломеев, Н. К. Балабаев, И. С. Борисов [127, 132, 140, 198] и др.). Этот метод заключается в решении классических уравнений движения Ньютона для упрощённых механических моделей молекул и является основным методом моделирования полимерных и биополимерных систем на наноуровне.

Проведённый анализ показывает, что, несмотря на наличие работ, в которых изучаются стохастические динамические системы, за рамками исследований остались вопросы моделирования динамических процессов с инвариантами, сохраняющимися в условиях сильных случайных возмущений. Таким образом, практически все представленные в диссертационной работе задачи ранее не рассматривались либо имели сложный или с большими ограничениями способ моделирования.

Цель и задачи диссертационной работы

Целью диссертационного исследования является разработка, развитие и применение теоретических положений для построения моделей стохастических динамических процессов с инвариантами.

Для достижения этой цели были решены задачи:

1. Разработать математический аппарат для установления условий существования инвариантов стохастических процессов со скачками, вызванными пуассоновскими процессами: построить и доказать аналог формулы Ито -Вентцеля для уравнений Ито со стандартной пуассоновской мерой; получить уравнение для стохастического первого интеграла системы стохастических дифференциальных уравнений Ито со скачками.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Карачанская Елена Викторовна, 2023 год

Список использованных источников

1. Аверина Т. А. Алгоритм анализа систем управления ансамблем траекторий с учетом случайного изменения структуры и скачков / Т. А. Аверина // Вестник Томского государственного университета. - 2012. - № 3(20). -С. 22-31.

2. Аверина Т. А. Два метода анализа стохастических систем с пуассонов-ской составляющей / Т. А. Аверина, К. А. Рыбаков // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2013. - № 3. - С. 85-116.

3. Аверина Т. А. Новые методы анализа воздействия пуассоновских дельта-импульсов в задачах радиотехники / Т. А. Аверина, К. А. Рыбаков // Журнал радиоэлектроники (Электронный журнал). - 2013. -№1. - С. 85-116.

4. Аверина Т. А. Моделирование и анализ линейных инвариантных стохастических систем / Т.А. Аверина, Е.В. Карачанская, К.А. Рыбаков // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2018. - № 1. - 23 с. -URL: https://diffjournal.spbu.ru/pdf/rybakov7.pdf. (дата обращения: 15.02.2023).

5. Аверина Т. А. Моделирование траекторий стохастических динамических систем на заданном многообразии / Т. А. Аверина, Е. В. Карачанская, К. В. Рыбаков // Материалы XX Юбилейной Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 24-31 мая 2017 г. - Москва, 2017. - С. 28-31.

6. Аверко-Антонович И. Ю. Методы исследования структуры и свойств полимеров : учебное пособие / И. Ю. Аверко-Антонович, Р. Т. Бикмуллин. -Казань : КГТУ, 2002. - 604 с.

7. Алешкявичене А. К. Переходные явления в случайном блуждании / А. К. Алешкявичене, С. В. Нагаев // Теория вероятностей и ее применение. -2003. - Т. 48, № 1. - С. 3-21.

8. Анапальский Л. Ю. Способы построения функций Ляпунова / Л. Ю. Анапальский, В. Д. Иртегов, В. М. Матросов // Общая механика. - М. : Наука, 1975. - Т. 2.1. - С. 53-111.

9. Антипенский Р. Разработка моделей случайных сигналов / Р. Антипенский // Компоненты и технологии. - 2007. - № 11. - С. 146-151.

10. Аржаков М. С. Высокомолекулярные соединения : учебник и практикум для академического бакалавриата / М. С. Аржаков, др. ; Под ред. А. Б. Зезин. - М. : Юрайт, 2019. - 340 с.

11. Байрамов А. Б. Динамическое моделирование движения воздушного судна в продольной плоскости в неспокойной атмосфере на участке подхода к аэропорту / А. Б. Байрамов, А.А. Тронь, Г.М. Петухов // Научный вестник МГТУ ГА. - 2015. - № 218. - С. 56-59.

12. Бартенев Г. М. Физика полимеров / Г. М. Бартенев, С. Я. Френкель ; Под ред. д-ра физ.-мат. наук А. М. Ельяшевича. - Л. : Химия, 1990. - 432 с.

13. Бахтин Ю. Ю. Моментные неравенства для сумм зависимых мульти-индексированных случайных величин / Ю. Ю. Бахтин, А. В. Булинский // Фундаментальная и прикладная математика. - 1997. - Т. 3, № 4. - С. 1101-1108.

14. Боровков А. А. Оценки для распределения сумм и максимумов сумм случайных величин при невыполнении условия Крамера / А. А. Боровков // Сибирский математический журнал. - 2000. - Т. 41, № 5. - С. 997-1038.

15. Боровков А. А. Большие уклонения сумм случайных величин двух типов / А. А. Боровков // Математичесик труды. - 2001. - Т. 4, № 2. - С. 3-26.

16. Боровков А. А. Оценки для распределений сумм, остановленных в марковский момент времени / А. А. Боровков, С. А. Утев // Теория вероятностей и ее применение. - 1993. - Т. 38, № 2. - С. 259-272.

17. Боровков А. А. Неулучшаемые экспоненциальные оценки распределений сумм случайного числа случайных величин / А. А. Боровков, С. А. Утев // Теория вероятностей и ее применение. - 1995. - Т. 40, № 2. - С. 260-269.

18. Булдыгин В. В. Сходимость случайных элементов в топологических пространствах / В. В Булдыгин. - Киев : Наук. Думка, 1980. - 239 с.

19. Булинский А. В. Неравенства для моментов сумм ассоциированных мультииндексированных величин / А. В. Булинский // Теория вероятностей и ее применение. - 1993. - Т. 38, № 2. - С. 417-425.

20. Булинский А. В. Статистический вариант центральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей / А. В. Булинский, М. А. Вронский // Фундаментальная и прикладная математика. - 1996. - Т. 2, №4. -С. 999-1018.

21. Булинский А. В. Универсальная нормировка в законе повторного логарифма / А. В. Булинский, С. В. Дильман // Успехи математических наук. -2002. - Т. 57, № 2(344). - С. 193-194.

22. Булинский А. В. Линейные выборочные оценки сумм / А. В. Булинский, А. Н. Колмогоров // Теория вероятностей и ее применение. -1979. - Т. 24, № 2. - С. 241-251.

23. Бурцев Г. А. Библиография. Магнитные шумы / Г. А. Бурцев // Успехи Физических наук. - 1972. - Т. 106, № 4. - С. 741-742.

24. Валиев К. А. Вращательное броуновское движение / К. А. Валиев, Е. Н. Иванов // Успехи физических наук. - 1973. - Т. 109, № 1. - С. 31-64.

25. Варфоломеев С. Д. Устойчивость в химических и биологических системах. Многостадийные полиферментные реакции / С. Д. Варфоломеев, А. В. Луковенков // Журнал физической химии. - 2010. - Т. 84, № 8. -С. 1448-1457.

26. Вентцель А. Д. Об уравнениях теории условных марковских процессов / А. Д. Вентцель // Теория вероятностей и ее применение. - 1965. -Т. Х, № 2. - С. 390-393.

27. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов / А. Д. Вентцель. -М. : Наука, Физматлит, 1996. - 399 с.

28. Визгин В. П. Развитие принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике / В. П. Визгин. - М. : Наука, 1972. - 240 с.

29. Волькенштейн М. В. Проблемы теоретической физики полимеров / М. В. Волькенштейн // Успехи физических наук. - 1959. - Т. ЬХУП, № 1. -С. 131-161.

30. Волькенштейн М. В. Конфигурационная статистика полимерных цепей / М. В. Волькенштейн. - Москва-Ленинград : Изд-во АН СССР, 1959. - 466 с.

31. Волькенштейн М. В. Биофизика / М. В. Волькенштейн. - М. : Наука, 1981. -575 с.

32. Гаврилова М. С. Математическая модель динамики систолического артериального давления в моменты стрессовых ситуаций у здорового человека / М. С. Гаврилова // Молодой ученый. - 2009. - № 8. - С. 6-8.

33. Галиуллин А. С. Построение уравнений движения / А. С. Галиуллин // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. XIII, № 1. - С. 195-237.

34. Галиуллин А. С. Обратные задачи динамики / А. С. Галиуллин. - М. : Наука,1981. - 224 с.

35. Галиуллин А. С. Методы решения обратных задач динамики / А. С. Галиуллин. - М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 224 с.

36. Гальперин В. А. Динамическое управление инвестиционным портфелем на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами / В. А. Гальперин, В. В. Домбровский, Е. Н. Федосов // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 5. - С. 175-189.

37. Гарбарук А. В. Моделирование турбулентности в расчетах сложных течений : учебное пособие / А. В. Гарбарук, М. Х. Стрелец, М. Л. Шур. - СПб : Изд-во Политехн. ун-та, 2012. - 88 с.

38. Герасимов Е. С. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов / Е. С. Герасимов, В. В. Домбровский // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 7. - С. 77-86.

39. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гихман, А. В. Скороход. - Киев : Наук. думка, 1968. - 354 с.

40. Горбатенко С. А. Синтез закона управления многомерной динамической системой на основе методов обратных задач динамики / С. А. Горбатенко, В. Н. Баранов // Вестник Московского авиационного института. - 2008. - Т. 15, № 1. - С. 195-237.

41. Громов С. В. Проведение численного моделирования деформирования и разрушения полимерных нанокомпозитов, содержащих асимметричные включения / С. В. Громов // Интернет-журнал «Науковедение». - 2013. - № 5. URL: https://naukovedenie.ru/PDF/50tvn513.pdf. (дата обращения: 15.02.2023).

42. Гросберг А. Ю. Физика цепных молекул / А. Ю. Гросберг, А. Р. Хохлов. - М. : Знание, 1984. - 64 с. - (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Физика»; № 8).

43. Гросберг А. Ю. Статистическая физика макромолекул: учебное руководство / А. Ю. Гросберг, А. Р. Хохлов. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 344 с.

44. Де Жен П. Идеи скейлинга в физике полимеров, пер. с англ. / П. Де Жен. - М. : Мир, 1982. - 269 с.

45. Дебай Р. Полярные молекулы / Р. Дебай - М. : ГНТИ, 1931. - 247 с.

46. Демин Н. С. Информационный анализ в совместной задаче фильтрации, интерполяции и экстраполяции по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью / Н. С. Демин, С. В. Рожкова // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 293. - С. 18-24.

47. Демин Н. С. Информационный анализ в совместной задаче непрерывно-дискретной фильтрации и обобщенной экстраполяции. Ч. I. общий случай / Н. С. Демин, С. В. Рожкова, О. В. Рожкова // Известия ТПУ. - 2010. -№ 5. - С. 6-11.

48. Дигайлова И. А. Задача достижимости при стохастических возмущениях / И. А. Дигайлова, А. Б. Куржанский // Дифференциальные уравнения. -2004. - Т. 40, № 11. - С. 1494-1499.

49. Дой М. Динамическая теория полимеров. Пер. с англ. / М. Дой, С. Эдвардс. - М. : Мир, 1998. - 440 с.

50. Дубко В. А. 1нтегральш шварианти для одного класу систем стохастичних диференщальних р1внянь / В. А. Дубко // Доклады АН УССР. -1984. - № 1. - С. 18-21.

51. Дубко В. А. Вопросы теории и применения стохастических дифференциальных уравнений / В. А. Дубко. - Владивосток : ДВНЦ АН СССР, 1989. -185 с.

52. Дубко В. А. Классификация и моделирование случайных гармонических процессов на основе БНСБ-рядов / В. А. Дубко, Е. В. Карачанская // Математические заметки ЯГУ. - 2011. - Т. 18, № 1. - С. 36-54.

53. Дубко В. А. Модель динамики цепи с ведущим элементом / В. А. Дубко, Е. В. Карачанская, А. В. Карачанский // Обчислювальна та прикладна математика : матер1али IV М1жнародно! конференцп 1меш академжа I. I. Ляшка. Кшв, 08-10 вересня 2011 р. - Кшв, 2011. - С. 75.

54. Дубко В. А. Ориентированные стохастические цепи. Модели и применение / В. А. Дубко, Е. В. Карачанская, А. В. Карачанский // Математические заметки ЯГУ. - 2012. - Т. 19, № 1. - С. 170-182.

55. Дубко В. А. Открытые динамические системы и их моделирование / В. А. Дубко // Вестник ДВО РАН. - 1993. - № 4-5. - С. 55-64.

56. Дубко В. А. Открытые динамические системы / В. А. Дубко // В поисках скрытого порядка (Методологические проблемы изучения региона) / В. А. Дубко, Ф. Н. Рянский и др. / Под ред. В. А. Дубко, В. В. Юшманова. -Владивосток : Дальнаука, 1995. - С. 94-116.

57. Дубко В. А. Открытые динамические системы / В. А. Дубко // Интегральные характеристики территориальных систем. - Владивосток : Изд-во ДВО РАН, 1995. - С. 36-42.

58. Дубко В. А. Открытые эволюционирующие системы / В. А. Дубко // Перша м1жнародна науково-практична конференщя "Вщкрит еволюцюнуюч1 системи" (26-27 кшт. 2002 р.), Ктв. - Кшв : ВНЗ ВМУРоЛ, 2002. - С. 14-31. -(Додаток).

59. Дубко В. А. О существовании устойчивых структур (многообразий) в сильно стохастизированных средах / В. А. Дубко, Е. В. Чалых // Международный симпозиум « Человеческое измерение в глобальном развитии». Тезисы. -Биробиджан, 19-24 сентября 1993 г. - Т. 1. - Биробиджан, 1993. - С. 93-94.

60. Дубко В. А. Первый интеграл системы стохастических дифференциальных уравнений / В. А. Дубко. - Киев : Ин-т математики АН УССР, 1978. - 22 с.

61. Дубко В. А. Построение аналитического решения для одного класса уравнений типа Ланжевена с ортогональными случайными воздействиями / В. А. Дубко, Е. В. Чалых // Украинский математический журнал. - 1998. -Т. 50, № 4. - С. 666-668.

62. Дубко В. А. Специальные разделы теории стохастических дифференциальных уравнений : учебное пособие / В. А. Дубко, Е. В. Карачанская. -Хабаровск : Издательство Тихоокеанского государственного университета, 2013. - 91 с.

63. Дубко В. А. Стохастические дифференциальные уравнения в некоторых задачах математической физики : дис. . . . канд. наук / В. А. Дубко. - Киев, 1979. - 75 с.

64. Дубко В. А. Стохастические первые интегралы, ядра интегральных инвариантов и уравнения Колмогорова / В. А. Дубко, Е. В. Карачанская // Дальневосточный математический журнал. - 2014. - Т. 14, №2. - С. 200-216.

65. Дынкин Е. Б. Управляемые марковские процессы и приложения / Е. Б. Дынкин, А. А. Юшкевич. - М. : Наука, 1975. - 338 с.

66. Енгибарян Н. Б. Случайные блуждания и смеси гамма-распределений / Н. Б. Енгибарян, А. Г. Барсегян // Теория вероятностей и ее применение. - 2010.

- Т. 55, № 3. - С. 71-577.

67. Ермишкина Е. М. Моделирование ветвящихся случайных блужданий по многомерной решётке / Е. М. Ермишкина, Е. Б. Яровая // Фундаментальная и прикладная математика. - 2018. - Т. 22, № 3. - С. 37-56.

68. Еругин Н. П. Построение всего множества дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую / Н. П. Еругин // Прикладная математика и механика. - 1952. - Т. 16, № 6. - С. 658-670.

69. Ёлкин В. И. Редукция нелинейных управляемых систем. Дифференциально-геометрический подход / В. И. Ёлкин. - М. : Наука. ФИЗМАТЛИТ, 1997.

- 316 с.

70. Ёлкин В. И. Синтез инвариантных по возмущениям нелинейных управляемых систем / В. И. Ёлкин // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45, № 5. - С. 673-678.

71. Жакод Ж. Предельные теоремы для случайных процессов (в двух томах). Том 2 : Пер. с англ. / Ж. Жакод, А. Ширяев. Теория вероятностей и математическая статистика. Вып. 48. - М. : Физматлит, 1994. - 368 с.

72. Журов А. Н. Поиск оптимальных инвестиционных стратегий в случае степенной и логарифмической функций полезности капитала /А. Н. Журов // Управление риском. - 2011. - № 4. - С. 38-42.

73. Задача оптимального стохастического управления потоком данных по неполной информации / Б. М. Миллер, К. Е. Авраченков, К. В. Степанян, Г. Б. Миллер // Проблемы передачи информации. - 2011. - Т. 41, № 2. -С. 89-110.

74. Зенюк Д. А. Моделирование случайных блужданий на регулярных фрактальных множествах / Д. А. Зенюк // Математическое моделирование. -2014. - Т. 26, № 11. - С. 101-104.

75. Зенюк Д. А. Моделирование случайного блуждания на канторовом множестве / Д. А. Зенюк, Н. А. Митин, Ю. Н. Орлов // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2013. - № 31. - 18 с.

76. Зубов В. И. Динамика управляемых систем: Учебное пособие для вузов / В. И. Зубов. - М. : Высшая школа, 1982. - 285 с.

77. Зубов В. И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение): учебное пособие для мех.-мат. спец. ун-тов / В. И. Зубов. - 2-е изд., перераб. и доп. изд. - М. : Высш. шк., 1984. - 232 с.

78. Зырянов Ю. Т. Оценка эффективности комплексов светосигнального оборудования аэродромов на основе моделирования процесса посадки в условиях ограниченной видимости / Ю. Т. Зырянов, В. М. Дмитриев // Научный вестник МГТУ ГА. - 2014. - № 207. - С. 82-88.

79. Иос Г. Курс теоретической физики. Часть 2. Термодинамика, статистическая физика, квантовая теория, ядерная физика. Перевод с десятого немецкого издания / Г. Иос ; Под ред. проф. Б. М. Яворского. - М. : Просвещение, 1964. - 350 с.

80. К вопросу о моделировании турбулентных термических потоков / К. А. Зудов, М. А Кудров, Г. Ю. Толкачев, К. И. Малюткина // Научный вестник МГТУ ГА. - 2016. - № 223. - С. 63-70.

81. Кабанов С. А. Управление траекторией летательного аппарата при действии возмущений на основе принципа двуканальности / С. А. Кабанов, Ф. В. Митин // Научный вестник МГТУ ГА. - 2015. - № 221. - С. 52-54.

82. Кан Ю. С. Оптимальное управление линейной системой по квантиль-ному критерию / Ю. С. Кан, А. И. Кибзун // Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 1. - С. 37-42.

83. Карачанская Е. В. Доказательство обобщенной формулы Ито -Вентцеля с помощью дельта - функции и плотности нормального распределения / Е. В. Карачанская // Математические заметки СВФУ. - 2014. - Т. 21, № 3. -С. 46-59.

84. Карачанская Е. В. Интегральные инварианты стохастических систем и программное управление с вероятностью 1 : монография / Е. В. Карачанская. -Хабаровск : Издательство Тихоокеанского государственного университета, 2015. - 148 с.

85. Карачанская Е. В. Моделирование с вероятностью 1 динамики движущегося объекта в условиях сильных возмущений / Е. В. Карачанская // Дифференциальные уравнения и математическое моделирование : сборник тезисов российско-французского семинара. Ханты-Мансийск, 25-29 августа 2019 г. - Ханты-Мансийск, 2019. - С. 32.

86. Карачанская Е. В. Моделирование с вероятностью 1 развития стохастической системы при наличии сохраняющихся свойств / Е. В. Карачанская // VI Международная конференция по математическому моделированию: тезисы докладов. Якутск, Россия, 03-08 июля 2011 г. - Якутск, 2011. - С. 138-139.

87. Карачанская Е. В. Моделирование систем дифференциальных уравнений с динамическими инвариантами / Е. В. Карачанская // Математическое моделирование и численные методы. - 2019. - № 1. - С. 98-117.

88. Карачанская Е. В. О моделировании случайных блужданий в пространстве / Е. В. Карачанская // VII Международная конференция по математическому моделированию : тезисы докладов. Якутск, 30 июня - 04 июля 2014 г. - Якутск, 2014. - С. 150-152.

89. Карачанская Е. В. Обобщенная формула Ито - Вентцеля для случая нецентрированной пуассоновской меры, стохастический первый интеграл и первый интеграл / Е. В. Карачанская // Математические труды. - 2014. - Т. 17, № 1. - С. 99-122.

90. Карачанская Е. В. Построение множества дифференциальных уравнений с заданным набором первых интегралов / Е. В. Карачанская // Вестник Тихоокеанского университета. - 2011. - № 3(22). - С. 47-56.

91. Карачанская Е. В. Построение программных управлений динамической системы на основе множества ее первых интегралов / Е. В. Карачанская // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2011. - № 42. -С. 125-133.

92. Карачанская Е. В. Построение программных управлений с вероятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возмущениями / Е. В. Карачанская // Вестник Тихоокеанского государственного университета. -2011. - № 2(21). - С. 51-60.

93. Карачанская Е. В. Применение 5-функции для получения формулы дифференцирования сложного случайного процесса / Е. В. Карачанская // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений : тезисы докладов международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева. Новосибирск, 18-24 августа 2013 г. - Новосибирск, 2013. - С. 389.

94. Карачанская Е. В. Применение программного управления с вероятностью 1 для некоторых задач финансовой математики / Е. В. Карачанская, А. П. Петрова // Математические заметки СВФУ. - 2018. - Т. 25, № 1. -С. 25-38.

95. Карачанская Е. В. Применение характеристических функций в теории вероятностей и теории случайных процессов : учебное пособие / Е. В. Карачанская, В. А. Дубко. -Хабаровск : Издательство Тихоокеанского государственного университета, 2010. - 67 с.

96. Карачанская Е. В. Программное управление с вероятностью 1 для динамических систем со скачками / Е. В. Карачанская // Международная конференция по математической теории управления и механике : тезисы докладов. Суздаль, 07-11 июля 2017. - Владимир, 2017. - С. 78-79.

97. Карачанская Е. В. Программное управление стохастическими системами с вероятностью единица как применение метода инвариантов / Е. В. Карачанская // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем : тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 23-27 апреля 2012 года. - Москва, 2012. - С. 285-287.

98. Карачанская Е. В. Программные управления с вероятностью 1 для систем со случайными возмущениями / Е. В. Карачанская // Аналитическая механика, устойчивость и управление : труды XI Международной Четаевской конференции. Казань, 13-17 июня 2017 г. - Казань, 2017. - Т. 3. Секция 3. Управление, Ч. III. - С. 242-248.

99. Карачанская Е. В. «Прямой» метод доказательства обобщенной формулы Ито - Вентцеля для обобщенного стохастического дифференциального уравнения / Е. В. Карачанская // Математические труды. - 2015. - Т. 18, № 1. -С. 27-47.

100. Карачанская Е. В. Случайные процессы с инвариантами : монография / Е. В. Карачанская. - Хабаровск : Издательство Тихоокеанского государственного университета, 2014. - 148 с.

101. Карачанская Е. В. Стохастизация классических моделей с динамическими инвариантами / Е. В. Карачанская // Математические заметки СВФУ. - 2020. - Т. 27, № 1. - С. 69-87.

102. Карачанская Е. В. Управляемые стохастические модели с инвариантами в экономике / Е. В. Карачанская, А. П. Петрова // IX Международная конференция по математическому моделированию, посвященная 75-летию Владимира Николаевича Врагова : тезисы докладов. Якутия, 27 июля -01 августа 2020 г. - Якутск, 2020. - С. 17.

103. Кахан Ж. П. Случайные функциональные ряды / Ж. П. Кахан. - М. : Мир, 1973. - 303 с.

104. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики : Пер. с польского / М. Кац. - М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 176 с.

105. Кибзун А. И. Задача управления линейной стохастической системой по критерию вероятности / А. И. Кибзун, А. Н. Сотский // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 5. - С. 78-85.

106. Клебанер Ф. К. Диффузионная модель разорения. асимптотический анализ / Ф. К. Клебанер, Р. Ш. Липцер // Теория вероятностей и ее применение. - 2010. - Т. 55, № 2. - С. 350-356.

107. Козлов Н. Физика полимеров: учебное пособие / Н.А. Козлов,

A.Д. Митрофанов. - Владимир : Владимирский государственный унниверситет, 2001. - 345 с.

108. Колачевский Н. Н. Магнитные шумы / Н.Н. Колачевский. - М. : Наука, 1971. - 136 с.

109. Колесник А. Анализ двумерного случайного блуждания с конечной скоростью и отражением / А. Колесник, Э. Орсингер // Теория вероятностей и ее применение. - 2001. - Т. 46, № 1. - С. 138-147.

110. Колмановский В. Г. Задачи управления при неполной информации /

B. Г. Колмановский // Соросовский образовательный журнал. - 1999. - № 4. -

C. 122-127.

111. Колмогоров А. Н. Вероятностно-статистические методы обнаружения спонтанно возникающих эффектов / А. Н. Колмогоров, Ю. В. Прохоров, А. Н. Ширяев // Труды МиАН СССР. - 1988. - Т. 182. - С. 4-23.

112. Королюк В. С. Стохастичш модел1 систем / В. С. Королюк. - Киев : Либщь, 1993. - 136 с.

113. Королюк В. С. Математические основы фазового укрупнения сложных систем / В. С. Королюк, А. Ф. Турбин. - Киев : Наукова думка, 1978. -200 с.

114. Красовский Н. Н. Одна задача об устойчивом отслеживании движения / Н. Н. Красовский, А. Н. Котельникова // Труды ИММ УрО РАН. - 2006. -Т. 12, № 1. - С. 142-156.

115. Красовский Н. Н. Стохастическое управление в детерминированной дифференциальной игре сближения-уклонения / Н. Н. Красовский,

A. Н. Котельникова // Автоматика и телемеханика. - 2011. - Т. 72, № 2. -С. 93-110.

116. Круглов В. М. Предельные теоремы для случайных сумм /

B. М. Круглов, В. Ю. Королев. - M. : Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 269 с.

117. Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа / Н. В. Крылов. - М. : Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1977. - 400 с.

118. Крылов Н. В. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и диффузионные процессы / Н. В. Крылов, Б. Л. Розовский // Успехи математических наук. - 1982. - Т. 37, № 6. - С. 75-95.

119. Кряжимский А. В. О моделировании управления в динамической системе / А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1983. - № 2. - С. 51-60.

120. Кряжимский А. В. Устойчивые решения обратных задач динамики управляемых систем / А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов // Труды Математического института АН СССР. - 1988. - Т. 185. - С. 126-146.

121. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения / Д. Ф. Кузнецов. - СПб. : Изд-во Поли-техн. ун-та, 2010. - 816 с.

122. Кузнецов Н. А. Оптимальное управление и обработка информации в непрерывном времени (линейная система, квадратичный функционал) / Н. А. Кузнецов, Р. Ш. Липцер, А. П. Серебровский // Автоматика и телемеханика. - 1980. - № 10. - С. 47-53.

123. Кук Ч. Радиолокационные сигналы. Пер. с англ. под ред. В. С. Кельзона / Ч. Кук, М. Бернфельд. - М. : Советское радио, 1971. - 568 с.

124. Кулш1ч Г. Про швар1антш множини систем другого порядку стохастичних диференщальних р1внянь 1то / Г.Л.Кулш1ч // Доповщ Нацюналь-но! Академи наук Украны!. - 1997. - № 10. - С. 35-39.

125. Кулшч Г. 1нвар1антш множини систем стохастичних диференщальних р1внянь без тсляди / Г.Л. Кулш1ч, С.В. Кушшренко // Теор. ймов1р. та матем. статист. - 2000. - С. 112-118.

126. Липцер Р. Ш. Умеренные уклонения для процесса диффузионного типа в случайной среде / Р. Ш. Липцер, П. Чиганский // Теория вероятностей и ее применение - 2009. - Т. 54, № 1. - С. 39-62. 127. Лущекина С. В. Методы компьютерного моделирования для исследования полимеров и биополимеров / С. В. Лущекина, С. Д. Варфоломеев, Н. К. Балабаев. - М. : Либроком, 2009. -581 с.

128. Майер Д. Статистическая механика / Дж. Майер, М. Гепперт-Майер.

- 2-е, перераб. изд. - М. : Мир, 1980. - 544 с.

129. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. - 2-е, испр. изд. - М. : Наука, 1966. - 530 с.

130. Мачехин Ю. П. Оценка результатов измерений нестабильности частоты лазеров, на основе фрактальных свойств диффузионных процессов / Ю. П. Мачехин // Системи обробки шформаци. - 2008. - № 4 (71). - С. 139-142.

131. Миллер Б. М. Методы синтеза оптимального управления марковским процессом с конечным множеством состояний при наличии ограничений / Б. М. Миллер, Г. Б. Миллер, К. В. Семенихин // Автоматика и телемеханика. -2011. - Т. 72, № 2. - С. 111-130.

132. Молекулярная динамика полимерной цепи из взаимодействующих звеньев. времена релаксации / Н. К. Балабаев, Ю. Я. Готлиб, А. А. Даринский, И. М. Неелов // Высокомолекулярные соединения. Серия А. - 1978. - Т. 20, № 10.

- С. 2194-2201.

133. Мухаметзянов И. А. Уравнения программных движений: учебное пособие / И. А. Мухаметзянов, Р. Г. Мухарлямов. - M. : Изд-во УДН, 1986. -88 с.

134. Мухарлямов Р. Г. О построении дифференциальных уравнений оптимального движения к заданному многообразию / Р. Г. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения. - 1971. - Т. VII, № 10. - С. 1823-1834.

135. Мухарлямов Р. Г. О построении уравнений программных движений / Р. Г. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. XIII, № 5. -С. 869-873.

136. Нагаев С. В. Нижние оценки для вероятностей больших уклонений сумм независимых случайных величин / С. В. Нагаев // Теория вероятностей и ее применение. - 2001. - Т. 46, № 1. - С. 50-73.

137. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. - 3-е, испр. изд. - М. : Едиториал УРСС, 2004.

- 552 с.

138. Никольский С. М. Курс математического анализа / С. М. Никольский.

- 3-е, перераб. и доп. изд. - М. : Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1983. - Т. 1. -464 с.

139. Новак С. Ю. O самоноpмиpованных суммах случайных величин и статистике Стьюдента / С. Ю. Новак // Теория вероятностей и ее применение. -2004. - Т. 49, № 2. - С. 365-373.

140. Основы физики макромолекул: Учебное пособие / О. В. Борисов, Е. Б. Жулина, А. А. Полоцкий [и др.]. - СПб. : Университет ИТМО, 2015. - 74 с.

141. Острем К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления : Пер. с англ. / К. Ю. Острем ; Под ред. Н. С. Райбмана. - М. : Мир, 1973. - 321 с.

142. Пантелеев А. В. Синтез оптимальных нелинейных стохастических систем управления спектральным методом / А. В. Пантелеев, К. А. Рыбаков // Информатика и ее применение. - 2011. - Т. 5. - С. 69-81.

143. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин / В. В. Петров.

- М. : Наука, 1972. - 414 с.

144. Пиуновский А. Б. Управление случайными последовательностями в задачах с ограничениями / А. Б. Пиуновский // Теория вероятностей и ее применение. - 1993. - Т. 38, № 4. - С. 891-903.

145. Пиуновский А. Б. Управление скачкообразными процессами в задачах с ограничениями / А. Б. Пиуновский // Автоматика и телемеханика. - 1994. -№ 4. - С. 75-89.

146. Пиуновский А. Б. Оптимальное управление случайными последовательностями в задачах с ограничениями / А. Б. Пиуновский. - М. : Финансы и статистика, 1996. - 304 с.

147. Пиуновский А. Б. Управляемые случайные последовательности: методы выпуклого анализа и задачи с функциональными ограничениями /

A. Б. Пиуновский // Успехи математических наук. - 1998. - Т. 53, № 6 (324). -С. 129-192.

148. Построение систем программного движения / А. С. Галиуллин, И. А. Мухаметзянов, Р. Г. Мухарлямов, В. Д. Фурасов. - М. : Наука, 1971. -352 с.

149. Радиолокационные станции с цифровым синтезированием апертуры антенны / В. Н. Антипов, В. Т. Горяинов, А. Н. Кулин [и др.] ; Под ред.

B. Т. Горяинова. - М. : Радио и связь, 1988. - 304 с.

150. Родина Л. И. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем / Л. И. Родина // Известия ИМИ УдГУ. - 2012.

- С. 3-164.

151. Розовский Б. Л. О формуле Ито-Вентцеля / Б. Л. Розовский // Вестник МГУ. Сер. матем. механ. - 1973. - № 1. - С. 26-32.

152. Розовский Б. Л. О сверхбольших уклонениях суммы независимых случайных величин с общим абсолютно непрерывным распределением,

удовлетворяющим условию Крамера / Б. Л. Розовский // Теория вероятностей и ее применение. - 2003. - Т. 48, № 1. - С. 78-103.

153. Розовский Б. Л. О малых уклонениях рядов независимых неотрицательных случайных величин с гладкими весами / Б. Л. Розовский // Теория вероятностей и ее применение. - 2013. - Т. 58, № 1. - С. 133-151.

154. Русаков О. В. Функциональная предельная теорема для случайных величин с сильной остаточной зависимостью / О. В. Русаков // Теория вероятностей и ее применение. - 1995. - Т. 40, № 4. - С. 813-832.

155. Русаков О. В. Суммы независимых пуассоновских субординаторов и их связь со строго «-устойчивыми процессами типа Орнштейна-Уленбека / О. В. Русаков // Записки научного семинара ПОМИ. - 2008. - Т. 361. -С. 123-137.

156. Рыбаков К. А. Оптимальное управление стохастическими системами при импульсных воздействиях, образующих эрланговские потоки событий / К. А. Рыбаков // Программные системы: теория и приложения : электрон. научн. журн. - 2013. - Т. 4. - С. 3--20. - URL: http://psta.psiras.ru. (дата обращения: 15.02.2023).

157. Рыбаков К. А. Приближенный метод фильтрации сигналов в стохастических системах диффузионно-скачкообразного типа / К. А. Рыбаков // Научный вестник МГТУ ГА. - 2014. - № 207. - С. 54-60.

158. Рябинин А. А. О характеристических функциях вероятностных распределений сумм со случайной расстановкой знаков / А. А. Рябинин // Теория вероятностей и ее применение. - 2000. - Т. 45, № 4. - С. 773-776.

159. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019663154. Построение системы дифференциальных уравнений с заданным набором первых интегралов в R2 и R3 // Карачанская Е. В.; правообладатель: Карачанская Е. В. (RU). Заявка №2019661734, дата поступления - 27.09.2019; дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ -10.10.2019.

160. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019662771. Моделирование полимерных цепей и случайных блужданий в Я2 и Я3 // Карачанская Е. В.; правообладатель: Карачанская Е. В. (ЯИ). Заявка №2019661773, дата поступления - 27.09.2019; дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ - 02.10.2019.

161. Семаков С. Л. Выбросы случайных процессов: приложения в авиации / С. Л. Семаков. - М. : Наука, 2005. - 200 с.

162. Скороход А. В. Елементи теорп ймов1рностей та випадкових процеЫв / А. В. Скороход. - Киев : Вища школа, 1975. - 295 с.

163. Скороход А. В. Стохастические уравнения для сложных систем / А. В. Скороход. - М. : Наука, Гл.ред. физ.-мат. лит., 1983. - 192 с.

164. Скороход А. В. Предельные теоремы для случайных блужданий /

A. В. Скороход, Н. П. Слободенок. - Киев : Наук. Думка, 1970. - 304 с.

165. Сосулин Ю. Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации: учебное пособие для вузов / Ю. Г. Сосулин. - М. : Радио и связь, 1992. -304 с.

166. Спокойный В. Г. О построении оптимальных стратегий оценивания параметра для управляемых систем / В. Г. Спокойный // Статистика и управление случайными процессами, 2011. - Т. 202 из Тр. МИАН. - С. 258-281.

167. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. - 8-е, стереотип. изд. - М. : Физматгиз, 1959. - 465 с.

168. Сутягин В. М. Основные свойства полимеров: учебное пособие /

B. М. Сутягин, О. С. Кукурина, В. Г. Бондалетов. - Томск : Изд-во Томского политехн. ун-та, 2010. - 96 с.

169. Тарасик В. П. Теория движения автомобиля / В. П. Тарасик. - СПб. : БХВ-Петербург, 2006. - 478 с.

170. Тлеубергенов М. И. Об обратной задаче восстановления стохастических дифференциальных систем / М. И. Тлеубергенов // Дифференциальные уравнения. - 2001. - Т. 37, № 5. - С. 714-716.

171. Тлеубергенов М. И. О разрешимости основной обратной задачи динамики при наличии случайных возмущений / М. И. Тлеубергенов // Математический журнал. Алматы. - 2003. - Т. 3, № 3(9). - С. 114-119.

172. Тлеубергенов М. И. О решении стохастической задачи восстановления методом квазиобращения в сочетании с методом разделения / М. И. Тлеубергенов // Математический журнал. Алматы. - 2005. - Т. 5, № 1(15).

- С. 112-117.

173. Тлеубергенов М. И. О стохастической обратной задаче управления / М. И. Тлеубергенов // Математический журнал. Алматы. - 2006. - Т. 6, № 3(21).

- С. 102-108.

174. Тригуб М. В. Синтез управления нелинейными стохастическими системами / М. В. Тригуб // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 2. -С. 101 - 111.

175. Труфанов В. А. R-гармонические случайные процессы / В. А. Труфанов. - Благовещенск : Амурский гос. ун-т, 2006. - 165 с.

176. Турбин А.Ф. Свойства R-гармонических случайных процессов / А.Ф. Турбин, В. А. Труфанов // Дальневосточный математический сборник. -1997. - № 4. - С. 34-38.

177. Тутубалин В. Н. Многоволновые волноводы и распределение вероятностей на симплектической группе / В. Н. Тутубалин // Теория вероятностей и ее применение - 1971. - Т. 16, № 4. - С. 649-659.

178. Феллер В. Теория вероятностей и ее приложения / В. Феллер. - М. : Мир, 1967. - Т. 1. - 498 с.

179. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А. А. Фельдбаум. - М. : Физматгиз, 1963. - 552 с.

180. Фетисов Г. П. Материаловедение и технология материалов / Г. П. Фетисов, Ф. А. Гарифуллин ; Под ред. Г.П.Фетисова. - 7-е, перера. и доп. изд. - М. : Юрайт, 2014. - 767 с.

181. ФлемингУ. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами: Пер. с англ. / У. Флеминг, Р. Ришел ; Под ред. А. Н. Ширяева. - М. : Мир, 1978. - 316 с.

182. Флори П. Статистическая механика цепных молекул: Пер. с англ. / П. Флори. - М. : Мир, 1971. - 440 с.

183. Халил Х. К. Нелинейные системы / Х. К. Халил. - М.-Ижевск : НИЦ «Регулярная и стохастическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. - 832 с.

184. Хаметов В. М. Оптимальное управление с запаздыванием скачкообразными случайными процессами / В. М. Хаметов // Автоматика и телемеханика

- 1990. - № 2. - С. 75-86.

185. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р. З. Хасьминский. - М. : Наука, 2009. - 368 с.

186. Хрусталев М. М. Синтез оптимальных и устойчивых управляемых стохастических систем при неполной информации о состоянии на неограниченном интервале времени / М. М. Хрусталев // Автоматика и телемеханика. - 2011.

- № 11. - С. 174-190.

187. Чалых Е. В. Об одном обобщении уравнений Ланжевена с детерминированным модулем скорости / Е. В. Чалых // Украинский математический журнал. - 1998. - Т. 50, № 7. - С. 1004-1006.

188. Чалых Е. В. Применение стохастических дифференциальных уравнений к исследованию недетерминированных процессов, обладающих сохраняющимися функционалами : дис. . . . канд. наук / Е. В. Чалых - Биробиджан, 1998.

- 102 с.

189. Чалых (Карачанская) Е. В. Построение множества программных управлений с вероятностью 1 для одного класса стохастических систем / Е. В. Чалых (Карачанская) // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 8. -С. 110-122.

190. Чалых (Карачанская) Е. В. Построение программного управления с вероятностью 1 для стохастических динамических систем / Е. В. Чалых (Карачанская) // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений : тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева. Новосибирск, 5 -12 октября 2008 г. - Новосибирск, 2008. - С. 227.

191. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики (в двух томах) / А. Н. Ширяев. - М. : Фазис, 1998. - 512 с.

192. Щипанов Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов / Г. В. Щипанов // Автоматика и телемеханика. - 1939. - № 1. -С. 49-66.

193. Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты / А. Эйнштейн // Броуновское движение. Эйнштейн А., Смолуховский М., пер. с нем., фр., с доп. статьями Ю. А. Круткова и Б. И. Давыдова. - М.-Л: ОНТИ, 1936. - 602 с.

194. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. - М. : Наука, 1969. - 424 с.

195. Юдин М. Д. Сложное пуассоновское распределение в теории деформаций и разрушений / М. Д. Юдин // Известия вузов. Математика. - 1993. - Т. 373, № 6. - С. 62-64.

196. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций / А. М. Яглом. - Ленинград : Гидрометеоиздат, 1981. - 280 с.

197. Agaeva C. On the stochastic optimal control problem with variable delay/ Ch. Agaeva // Theory of Stochastic Processes. - 2007. - Vol. 13(29), № 1-2. -P. 1-12.

198. Alder B. J. Molecular dynamics by electronic computers / B. J. Alder, T. E. Wainwright // Proc. International Symposium on Transport Processes in Statistical Mechanics (Brussel, 1956) / Ed. by I. Prigogine. - New York : Wiley Interscience, 1957. - P. 97-131.

199. Andries E. Monte-Carlo random walk simulations based on distributed order differential equations with applications to cell biology / E. Andries, S. Umarov, S. Steinberg // Fractional Calculus and Applied Analysis. - 2006. - Vol. 6, № 4. -P. 351-369.

200. Averina T. Statistical analysis of diffusion systems with invariants / T. Averina, E. Karachanskaya, K. Rybakov // Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2018. - Vol. 33. - P. 1-13. - URL: https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/rnam-2018-0001/html (access date: 15.02.2023).

201. Averina T. Statistical modelling of random processes with invariants / T. Averina, E. Karachanskaya, K. Rybakov // 2017 International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON), Novosibirsk, Russia , September 18-22, 2017. - 2017. - P. 34 - 37.

202. Babak V. Using generalized stochastic method to evaluate probability of conflict in controlled air traffic / V. Babak, V. Kharchenko, V. Vasylyev // Aviation. - 2007. - Vol. 11, № 2. - P. 31-36.

203. Barndorff-Nielsen O. E. A stochastic differential equation framework for the time wise dynamics of turbulent velocities / O. E. Barndorff-Nielsen, J. Schmiegel // Теория вероятностей и ее применение. - 2007. - Т. 52. -С. 541-561.

204. Becherer D. Bounded solutions to backward SDE's with jumps for utility optimization and indifference hedging / D. Becherer // The Annals of Applied Probability. - 2006. - Vol. 16, № 4. - P. 2027-2054.

205. Bismut J. Control of jump processes and applications / J. M. Bismut // Bulletin de la Societe Mathematique de France. - 1978. - Vol. 106, № 1. - P. 25-60.

206. Borisov I. S. The distribution of the number of crossings of a strip by paths of the simplest random walks and of a Wiener process with drift / I. S. Borisov, N. N. Nikitina // Theory of Probability and its Applications. - 2012. - Vol. 56, № 1. -P. 126-132.

207. Borkar V. S. Controlled diffusion processes / Vivek S. Borkar // Probability Surveys. - 2005. - Vol. 2. - P. 213-244.

208. Brace A. An hilbert space approach for a class of arbitrage free implied volatilities models / A. Brace, G. Fabbri, B. Goldys. - 2007. - URL: http://mpra.ub.uni-muenchen.de/id/eprint/6321. (access date: 15.02.2023).

209. Buldygin V. Asymptotic Behaviour of Linearly Transformed Sums of Random Variables / V.V. Buldygin, S.A. Solntsev. - Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1997. - 512 c.

210. Burger P. Jump diffusion models for option pricing vs. the black scholes model / P. Burger, M. Kliaras // Working Paper Series by the University of Applied Sciences bfi Vienna. - 2013. - № 81. - P. 1-73.

211. Chalykh (Karachanskaya) E. The construct of the program control with probability is equaled to 1 for the some class of stochastic systems / E. Chalykh (Karachanskaya) // Journal of Ubiquitous Convergence Technology (JUCT). - 2008. - Vol. 2, № 2. - P. 105-108.

212. Chalykh (Karachanskaya) E. V. The construct of program control by probability equal 1 for some class of stochastic systems programmed control with probability 1 for stochastic dynamical systems / E. V. Chalykh (Karachanskaya) // IWUCT-2008. Proceedings of International Workshop on UTC. August 11-12, 2008. Khabarovsk, Russia. - [S. l.], 2008. - P. 13-15.

213. CammarotaV. Angular processes related to cauchy randomwalks / V. Cammarota, E. Orsingher // Theory of Probability and its Applications. - 2010. -Vol. 55, № 3. - P. 395-410.

214. Chen X. Random chain recurrent sets for random dynamical systems / X. Chen, J. Duan // Dynamical Systems. - 2009. - Vol. 24, № 4. - P. 537-546.

215. Comparison of multiple random walks strategies forsearching networks / Zh. Zheng, H. Wang, Sh. Gao, G. Wang // Mathematical Problems in Engineering. -2013. - Vol. 2013. - URL: https://doi.org/10.1155/2013/734630. (access date: 15.02.2023).

216. Complex networks: structure and dynamics / S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno [et. al.] // Physics Reports. - 2006. - T. 144. - P. 175-308.

217. Confortola F. Backward stochastic differential equations and optimal control of marked point processes / F. Confortola, M. Fuhrman // SIAM Journal of Control and Optimization. - 2013. - Vol. 51, № 5. - P. 3592-3623.

218. De Gregorio A. Stochastic velocity motions and processes with random time / A. De Gregorio // Advances in Applied Probability. - 2010. - Vol. 42, № 4. -P. 1028-1056.

219. Debussche A. Optimal control of a stochastic heat equation with boundary-noise and boundary-control / A. Debussche, M. Fuhrman, G. Tessitore // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. - 2007. - Vol. 13, № 1. -P. 178-205.

220. Di Crescenzo A. On random motions with velocities alternating at Erlang-distributed random times / A. Di Crescenzo // Advances in Applied Probability .2001. - Vol. 33, № 3. - P. 690-701.

221. Ferrari F. Dynamics of a three-dimensional inextensible chain / F. Ferrari, J. Paturej, T. A. Vilgis // Acta Physica Polonica B. - 2009. - Vol. 40. -P. 1369-1382.

222. Foong S. K. Properties of the telegrapher's random process with or without a trap / S. K. Foong, S. Kanno // Stochastic Processes and their Applications. - 1994. - № 53. - P. 147-173.

223. Fuhrman M. Stochastic maximum principle for optimal control of SPDEs / M. Fuhrman, Y. Hu, G. Tessitore. - 2013. - 27 p. - URL: http://arxiv.org/abs/1302.0286v1. (access date: 15.02.2023).

224. Hanson F. B. Applied Stochastic Processes and Control for Jump-Diffusions Modeling, Analysis and computation / F. B. Hanson. SIAM Books: Advances in Design and Control Series (No. 13). - [S. l.] : SIAM, 2007. - 643 p.

225. Hanson F. B. Dynamic Programming, Control, and Computation / F. B. Hanson // Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. - New York, NY : John Wiley & Sons, Inc., 2011. - P. 1-6.

226. Iourtchenko D. V. On the LQG theory with bounded control / D. V. Iourtchenko, J.-L. Menaldi, A. S. Bratus // NoDEA : Nonlinear Differential Equations and Applications. - 2010. - Vol. 17, № 5. - P. 527-534.

227. Ito K. Stochastic differential equations in a differentiable manifold / K. Ito // Nagoya Mathematical Journal. - 1950. - Vol. 1. - P. 35-47.

228. Ito K. On a formula concerning stochastic differentials / K. Ito // Nagoya Mathematical Journal. - 1951. - Vol. 3. - P. 55-65.

229. Karachanskaya (Chalykh) E. Dynamics of random chains of finite size with an infinite number of elements in R2 / E. Karachanskaya (Chalykh) // Theory of Stochastic Processes. - 2010. - Vol. 16 (32), № 2. - P. 58-68.

230. Karachanskaya E. Invariants for a dynamical system with strong random perturbations / E. Karachanskaya // Advances in Dynamical Systems Theory, Models, Algorithms and Applications. - IntechOpen, 2021. - 21 p. - URL: https://www.intechopen.com/chapters/75359. (access date: 15.02.2023).

231. Karachanskaya E. V. Construction of programmed controls for a dynamic system based on the set of its first integrals / E.V. Karachanskaya // Journal of Mathematical Sciences. - 2014. - Vol. 199, № 5. - P. 547-555.

232. Karachanskaya E. Construction of stochastic transport models with a constant function / E. Karachanskaya, T. Tagirova // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. - 2019. - Vol. 403 : 12th International Scientific Conference on Agricultural Machinery Industry, INTERAGROMASH 2019. Rostov-on-Don, Russia, September 10-13, 2019. - Article number 012211. - 8 p. - URL: https://iop-science.iop.org/article/10.1088/1755-1315/403/1/012211/pdf. (access date: 15.02.2023).

233. Karachanskaya E. V. Programmed control with probability 1 for stochastic dynamical systems / E. V. Karachanskaya // Journal of Mathematical Sciences (United States). - 2020. - Vol. 248, №. 1. - P. 67-79.

234. Karachanskaya E. Random Harmonic Processes with New Properties / E. Karachanskaya // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics - 2021. -Vol. 358 : International scientific conference on modern methods, problems and applications of operator theory and harmonic analysis, OTHA 2020. Rostov-on-Don, Russia, April 26-30, 2020. - P. 243-252.

235. Karachanskaya E. The Ito - Wentzell formula with jumps (generalized Ito

- Wentzell formula): proofs and applications / E. Karachanskaya // International Conference on Stochastic analysis of dynamical systems, Stochastic control and games : List of Abstracts. Leeds, UK, October 24-26, 2016. - [S. l.], [S. a.], 2016. - P. 13.

236. Karachanskaya E. The construction of the program control with probability one for stochastic dynamic systems with jumps / E. Karachanskaya // IMS-China International Conference on Statistics and Probability : abstracts. Chengdu, China. June, 30 - July, 04, 2013. -Chengdu, 2013. - P. 44.

237. Karachanskaya E. The generalized Ito - Wentzell formula for Ito's process and the first stochastic integral / E. Karachanskaya // 2nd Pacific Rim Mathematical Association Congress : abstracts. Shanghai, China. June, 24-28, 2013. -[S. l], 2013. - P. 59.

238. Karachanskaya E. V. The generalized Ito-Wentzell's formula for generalized Ito equation / E. V. Karachanskaya // Modern Stochastics: Theory and applications III : International conference materials. Kyiv, Ukraine, September 10-14, 2012.

- [S. l.], [S. a.], 2012. - P. 104.

239. Karachanskaya E. V. The generalization of random trigonometric processes and their classification from the SHCS-series basis / E. V. Karachanskaya // Modern Stochastics : Theory and applications II : abstracts of International conference. Kyiv, Ukraine, September 7 - 11, 2010. - [S. l.], [S. a.], 2008. - P. 122.

240. Karachanskaya E. Random walks in 3-D space / E. Karachanskaya // 7th International Conference on Stochastic Analysis and its Applications : abstract book. Seoul, South Korea, August, 06-11, 2014. - [S. l.], 2014. - P. 38.

241. Karachanskaya E. Program control with probability one / E. Karachanskaya // The 10th AIMS Conference on Dynamical Systems Differential Equations and Applications : abstracts. Madrid, Spain, July 07-11, 2014. - [S. l.], 2014. -P. 73.

242. Karachanskaya E. V. Programmed control with probability 1 for stochastic dynamical systems / E. V. Karachanskaya // XXXV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models : Book of abstrats. Perm, Russia, September 24--28, 2018. - Perm, 2018. - P. 44-48.

243. Kolesnik A. D. Cyclic planar random evolution with four directions / A. D. Kolesnik // Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica.

- 2004. - № 2(45). - P. 27-32.

244. Kolesnik A. D. Discontinuous term of the distribution for markovian random evolution in R3 / A. D. Kolesnik // Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. - 2006. - № 2(51). - P. 62-68.

245. Kolesnik A. D. A planar random motion with an infinite number of directions controlled by the damped wave equation / A. D. Kolesnik, E. Orsingher // Journal of Applied Probability. - 2005. - Vol. 42, № 4. - P. 1168-1182.

246. Kolesnik A. D. The equation of symmetric markovian random evolution in a plane / A. D. Kolesnik, A. F. Turbin // Stochastic Processes and their Applications.

- 1998. - № 75. - P. 67-87.

247. Kolesnik A. D. Weak convergence of the distributions of Markovian random evolutions in two and three dimensions / A. D. Kolesnik // Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. - 2003. - № 3(43). -P. 41-52.

248. Kulinich H. L. Invariant sets of systems of stochastic differential equations with jumps / H. L. Kulinich, S. V. Kushnirenko // Nonlinear Oscillations. - 2005. -Vol. 8, № 2. - P. 233-239.

249. Kunita H. On square integrable martingales / H. Kunita, S. Watanabe // Nagoya Mathematical Journal - 1967. - № 30. - P. 209-245.

250. Lin X. hm control for stochastic systems with poisson jumps / Xi. Lin, R. Zhang // Journal of Systems Science and Complexity. - 2011. - Vol. 24. -P. 683-700.

251. Merton R. C. Continuous-Time Finance / R. C. Merton. - Oxford : John Wiley and Sons Ltd, 1992. - 754 p.

252. Mushkin J. A simple random-walk model explains the disruptionprocess of hierarchical, eccentric 3-body systems / J. Mushkin, B. Katz. - 2020. - URL: https://arxiv.org/pdf/2005.03669.pdf. (access date: 15.02.2023).

253. 0ksendal B. A stochastic HJB equation for optimal control of forward-backward SDEs / B. 0ksendal, A. Sulem, T. Zhang // Osaka Journal of Mathematics

- 2013. - URL: http://arxiv.org/abs/1312.1472v1. (access date: 15.02.2023).

254. 0ksendal B. Applied Stochastic Control of Jump Diffusions / B. 0ksendal, A. Sulem. - Berlin Heidelberg New York : Springer, 2005. - 208 p.

255. 0ksendal B. Optimal control of stochastic delay equations and time-advanced backward stochastic differential equations / B. 0ksendal, A. Sulem, T. Zhang // Advances in Applied Probability. - 2011. - Vol. 43, № 2. - P. 572-596.

256. 0ksendal B. The Ito - Ventcel formula and forward stochastic differential equation driven by poisson random measures / B. 0ksendal, T. Zhang // Osaka Journal of Mathematics. - 2007. - Vol. 44. - P. 207-230.

257. Orsingher E. Random flights in higher spaces / E. Orsingher, A. De Gregorio // Journal of Theory Probability. - 2007. - № 20. - P. 769-806.

258. Sennewald K. "Ito's lemma" and the Bellman equation for Poisson processes: An applied view / K. Sennewald, K. Wälde // Journal of Economics. - 2006.

- Vol. 89, № 1. - P. 1-36.

259. StadjeW. Asymptotic normality in a two-dimensional random walk model for cell motility / W. Stadje // Journal of Statistical Physics. - 1988. - Vol. 51, № 3/4. - P. 615-635.

260. Stadje W. Telegraph processes with random velocities / W. Stadje, S. Zacks // Journal of Applied Probability. - 2004. - Vol. 41, № 3. - P. 665-678.

261. Yan G. Option pricing for a stochastic-volatility jump-diffusion model with log-uniform jump-amplitudes / Guoqing Yan, Floyd B. Hanson // Proceedings of2006 American Control Conference, 14 June 2006. - Minneapolis : [S. N.], 2006. - P. 29892994.

262. Zacks S. Generalized integrated telegraph processes and the distribution of related stopping times / S. Zacks // Journal of Applied. Probability. - 2004. -Vol. 41, № 2. - P. 497-507.