Методы моделирования, анализа стационарности и оценивания производительности систем параллельной обработки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Румянцев Александр Сергеевич

• Румянцев Александр Сергеевич
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Румянцев Александр Сергеевич

Введение

Глава 1. Стационарность многосерверных систем

обслуживания с локально однородными переходами

1.1 Стационарность структурированных цепей Маркова с непрерывным временем и локально однородными переходами

1.1.1 Основные определения

1.1.2 Стационарность структурированных цепей Маркова

1.1.3 Марковский входной поток

1.1.4 Использование вложенной цепи Маркова

1.1.5 Структурированное фазовое пространство

1.2 Исследование стационарности модели суперкомпьютера

1.2.1 Стационарность суперкомпьютера с большим числом серверов

1.2.2 Стационарность суперкомпьютера с малым числом серверов и изменяемой скоростью обслуживания

1.2.3 Заключительные замечания

Глава 2. Стационарность многоклассовых систем

обслуживания с повторными вызовами

2.1 Предельные распределения регенерирующих процессов

2.1.1 Свойство PASTA для случайных процессов

2.2 Анализ многоклассовой многоорбитной односерверной системы

2.2.1 Односерверная многоклассовая система с повторными вызовами постоянной интенсивности со

специализированных орбит

2.2.2 Анализ базовых характеристик системы в стационарном режиме

2.2.3 Анализ стационарности системы

2.2.4 Марковская модель

2.2.5 Заключительные замечания

Глава 3. Исследование систем с управлением скоростью

обслуживания

3.1 Стохастические рекуррентные соотношения

3.1.1 Стохастическая монотонность

3.1.2 Свойство PASTA для стохастических рекурсий

3.1.3 Анализ стационарности на основе регенеративного баланса

3.2 Модели на основе стохастических рекурсий

3.2.1 Модель суперкомпьютера

3.2.2 Суперкомпьютер с пороговым управлением скоростью обслуживания

3.2.3 Анализ односерверной системы

3.2.4 Заключительные замечания

Глава 4. Анализ марковских моделей с малым фазовым

пространством

4.1 Анализ в стационарном режиме

4.1.1 Явный метод для малого фазового пространства

4.1.2 Оценка спектра матрицы R

4.1.3 Способ нахождения граничных значений

4.1.4 Расщепление состояний для получения явного решения

4.2 Стационарные распределения моделей параллельной обработки

4.2.1 Модель когнитивного радио

4.2.2 Энергоэффективность малой системы с изменяемой скоростью обслуживания

4.2.3 Явное решение для системы с повторными вызовами

4.3 Заключительные замечания

Глава 5. Анализ моделей с групповым поступлением и

обслуживанием

5.1 Моментные свойства и порядковые статистики

5.1.1 Распределение времени обслуживания фазового типа

5.1.2 Порядковые статистики для распределений с тяжелым хвостом

5.1.3 Моментные свойства вектора нагрузки многосерверной

системы обслуживания

5.2 Вычислительные сети из персональных компьютеров

5.2.1 Модель типа MAP/РН

5.2.2 Модель типа G/G, в которой распределение времени обслуживания имеет тяжелый хвост

5.3 Система с исчерпывающим групповым обслуживанием

5.3.1 Метод вложенного марковского процесса восстановления

5.3.2 Анализ периода занятости

5.3.3 Матрично-аналитическая модель

5.4 Система обслуживания-запасания

5.5 Заключительные замечания

Глава 6. Специальные методы моделирования систем

параллельного обслуживания

6.1 Методы имитационного моделирования и оценивания

6.1.1 Обобщенные полумарковские процессы

6.1.2 Регенеративное оценивание

6.1.3 Искусственная регенерация за счет расщепления плотности

6.2 Модели на основе обобщенных полумарковских процессов

6.2.1 Система со многими орбитами

6.2.2 Модель суперкомпьютера с асинхронным управлением скоростью обслуживания

6.2.3 Искусственная регенерация в модели суперкомпьютера

6.3 Заключительные замечания

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы моделирования, анализа стационарности и оценивания производительности систем параллельной обработки»

Введение

Хранение, передача, обработка данных осуществляется с помощью множества вычислительных, телекоммуникационных систем и систем хранения. Объединяющим свойством таких систем является использование параллельной обработки, целью внедрения которой является обеспечение высокой производительности [1], преодоление фундаментальных физических проблем при производстве микросхем [2], повышение пропускной способности каналов связи [3; 4], снижение задержек в облачных системах доставки контента [5] и центрах обработки данных [6], обеспечение надежности распределенных вычислительных систем [7] и систем хранения [8]. При этом каждый класс таких систем (далее объединенных термином системы параллельной обработки) обладает рядом особенностей.

Высокопроизводительные вычислительные системы, такие как вычислительные кластеры (суперкомпьютеры), обеспечивают потребность научных и промышленных организаций в большой вычислительной мощности, достаточной для выполнения трудоемких расчетов, таких, например, как моделирование климата, гидро- и газодинамики, анализ больших данных. Большое число процессорных ядер обеспечивает высокое пиковое быстродействие, а быстрая сеть передачи данных позволяет использовать систему как единый аппаратный ресурс, разделяемый между многими пользователями. Ключевой особенностью таких систем является возможность совместного использования устройств, при котором одна задача может одновременно использовать множество ресурсов (ядер, узлов, серверов), занятие и освобождение которых происходит одновременно [1]. Высокая стоимость такого специализированного оборудования [9] приводит к необходимости оценивания характеристик системы (производительности, эффективности) как на стадии создания, так и на стадии эксплуатации.

Альтернативой дорогостоящим и труднодоступным суперкомпьютерам являются системы распределенных вычислений, такие как вычислительные сети из персональных компьютеров (Desktop Grid), в которых ресурсом являются времена простоя серверов, персональных компьютеров и носимых устройств (смартфоны, планшеты), объединение которых происходит с помощью локальной/беспроводной/глобальной сети, а для распределения заданий используется управляющий сервер [10]. К преимуществам систем распределенных вычисле-

ний можно отнести доступность ресурсов для исследователя и потенциально высокое быстродействие. Недостатками являются низкая надежность, высокая степень неоднородности ресурсов (с точки зрения вычислительной мощности, доступного объема памяти, используемой операционной системы, канала связи), труднопрогнозируемые времена завершения расчетов, а также существенное ограничение на класс решаемых задач, решение которых можно разделить на множество слабосвязанных подзадач, не требующих межпроцессорного обмена [11]. Для нахождения баланса между надежностью и скоростью получаемого результата необходимо использовать доступные для управления параметры таких сетей, например число одновременно решаемых копий (реплик) одного подзадания, а также число результатов, необходимых для успешного прохождения валидации и фиксации результата (кворум).

Развитие каналов связи и коммуникационных сетей позволяет осуществлять перенос части задач в так называемые облачные системы, в которых вычисления производятся удаленно, на оборудовании поставщика услуг, на гибко выделяемой части ресурсов из общего пула серверов (как правило, расположенных в нескольких центрах обработки данных) [12; 13]. При этом, для пользователя облачных систем возникает необходимость оценивания затрат на работу с ресурсами [14], как правило предполагающими гибкую тарификацию, зависящую от выделяемых ресурсов, в то время как владельца таких устройств интересует управление энергопотреблением и энергоэффективность центра обработки данных [15] и обеспечение качества обслуживания [16]. В этом случае требуется нахождение компромиссного решения, при котором минимизация затрат происходит при контролируемом качестве обслуживания [17]. Подобная задача возникает и в малых устройствах, имеющих ограниченный ресурс электропитания, таких как узлы сети интернета вещей (Internet of Things, IoT), а также носимых компьютерах (ноутбуках). При этом компромисс достигается за счет управления скоростью работы и режимами работы устройства для снижения затрат (например, средней потребляемой мощности) [18].

Передача данных от облачной системы до конечного потребителя в современных сетях также предполагает согласованную работу нескольких устройств, а также работу с несколькими каналами, в том числе для решения задач снижения задержек и оптимизации пропускной способности. Для обеспечения надежной передачи данных между узлами вычислительных систем используются сети передачи данных (в том числе беспроводные), предусматривающие

избыточность, групповое поступление и групповое обслуживание (например, пакетную передачу [19]), для обеспечения высокой пропускной способности и отказоустойчивости. В этой связи возникает задача нахождения подходящей конфигурации параметров системы передачи данных, в том числе за счет управления скоростью передачи, уровнем дублирования информации [5]. Подобная задача возникает и в передовых системах хранения, основанных на технологии твердотельных накопителей, которые, в отличие от традиционных систем, обладают значительным внутренним резервом параллелизма, встроенной избыточностью, но существенно меньшим временем наработки на отказ отдельных модулей хранения [20].

Анализ и оценивание показателей эффективности (в том числе производительности, качества обслуживания, энергоэффективности) систем параллельной обработки должно проводиться на основе предварительного анализа и моделирования, поскольку проведение экспериментов на системе в режиме эксплуатации сложно, либо невозможно. В то же время указанные системы обладают, как правило, большим числом взаимодействующих устройств (серверов или узлов вычислительной сети), сложной структурой и случайным характером исследуемых процессов (одновременное занятие и одновременное освобождение нескольких узлов вычислительного кластера на одно и то же случайное время; отправка нескольких копий подзадания и ожидание кворума распределенной вычислительной системы), большим числом механизмов управления (настройки менеджера очереди, дисциплины обслуживания, параметров энергоэффективности, числа активных устройств, порогов переключения скорости обслуживания, числа рассылаемых копий при выполнении репликации и уровня кворума и т.п.). Это приводит к необходимости построения адекватных стохастических моделей, на основе которых можно принимать решение об изменении параметров исследуемых систем.

Исследование характеристик качества обслуживания, надежности, энергоэффективности систем параллельной обработки наиболее целесообразно проводить методами теории массового обслуживания. Модели систем параллельной обработки в рамках теории массового обслуживания относятся, как правило, к классу многосерверных. Современное изложение основных методов прикладного вероятностного анализа многосерверных систем обслуживания представлено, например, в фундаментальных работах С. Асмуссена [21], П. П. Бочарова и др. [22], Х. Арталехо и А. Гомес-Коррала [23], М. Харколь-Бал-

тер [24], П. Брилля [25]. Среди используемых методов, для анализа марковских моделей систем параллельной обработки со сложной структурой широко применяется матрично-аналитический метод, представленный, например, в работах М. Ньютса [26], Г. Латуша и В. Рамасвами [27], Ч.-М. Хэ [28], М. Бладта и Б. Нильсена [29], В. Наумова и др. [30]. Указанный метод опирается на результаты из алгебры матриц, ключевые для понимания данного метода результаты представлены в работах Ф. Гантмахера [31], Е. Сенеты [32], И. Гохберга и др. [33]. В отсутствии марковского свойства, анализ соответствующих моделей можно проводить с использованием теории регенерирующих процессов, представленной, в частности, в работах Х. Торрисона [34] Р. Серфозо [35], Е. В. Морозова и Б. Стюарта [36]. Наконец, в наиболее трудных для анализа случаях необходимо использовать имитационное моделирование, основы которого приведены в монографиях Ш. Росса [37], С. Асмуссена и П. Глинна [38].

В указанных работах широко представлены классические методы теории массового обслуживания и, более широко, прикладной теории вероятностей, однако во многих случаях для анализа систем параллельной обработки необходима адаптация, модификация существующих, либо разработка новых методов, что объясняется особенностями стохастических моделей таких систем. Остановимся более подробно на особенностях анализа классов моделей, представленных и исследованных в диссертации.

Ключевые особенности высокопроизводительных вычислительных систем учтены в особом подклассе многосерверных моделей. В отличие от классических многосерверных систем [39], в указанных моделях предполагается, что клиент одновременно занимает не менее одного сервера, при этом выделяют подклассы систем без ожидания (систем с потерями) [40—45], а среди систем с ожиданием выделяют два подкласса [44]: системы с независимым освобождением серверов (сервера, требующиеся клиенту, начинают обслуживание одновременно, но времена обслуживания на каждом сервере являются независимыми) [46—53], а также с одновременным освобождением серверов [43; 47; 48; 54—56]. Последний класс является наиболее трудным для анализа. Отметим, что матрично-аналитическая модель такой системы впервые была предложена в работе [54]. Возобновление интереса к модели с одновременным освобождением серверов мотивировано новыми приложениями к суперкомпьютерным системам. Можно выделить работы [57; 58], посвященные анализу моделей малой размерности, а также работы [59; 60], в которых выполнен анализ чувстви-

тельности условия стационарности к распределению времени обслуживания клиента. Наконец, открытые проблемы в данном классе моделей представлены в недавних работах [61; 62]. Среди таких проблем можно отметить нахождение условий стационарности моделей, а также анализ характеристик в стационарном режиме. Модели данного класса и методы их исследования представлены в Главах 1, 3, 4 и 6.

В анализе систем распределенных вычислений, передачи данных и хранения важную роль играют параметры избыточности (репликации), с помощью которых обеспечивается снижение времени отклика, повышение надежности системы. Данный класс систем относится к многосерверным системам с разделяющимися заявками (системы типа Fork-Join, Split-Merge и другие) [8; 63]. Одной из первых работ, в которой рассмотрены системы данного класса, является работа [64]. Классические системы Fork-Join предполагают независимое выполнение подзаданий на серверах системы с последующей сборкой результата [65—68] и являются наиболее трудными для анализа; в обобщенных Fork-Join системах окончание обслуживания клиента происходит при сборке части результатов выполнения подзаданий [69]; системы типа Fork-Early-Cancel позволяют выполнять раннюю отмену избыточных подзаданий [5; 69]; наконец, системы обобщенного Split-Merge типа позволяют обслуживать группы подзаданий на серверах, ожидая окончания обслуживания части группы, но не допуская начала обслуживания новой группы ранее окончания обслуживания старой. Последний класс систем можно рассматривать как классические многосерверные системы, в которых времена обслуживания клиентов определяются с помощью порядковых статистик [70]. Модели и методы анализа таких систем представлены в Главе 5.

В облачных вычислительных системах, центрах обработки данных, а также на малых устройствах компромисс между затратами (в том числе энергетическими) и производительностью исследуется с помощью моделей систем с управлением режимами, скоростью работы серверов. Механизмы управления включают управление частотой работы процессоров и напряжением [18], пороговое управление скоростью по нагрузке [71], управление доступной вычислительной мощностью [72], управление режимом пониженного энергопотребления (сон, гибернация) [73—76], либо комбинацию этих техник [77]. Модели и методы анализа таких систем представлены в Главах 3, 4 и 6.

Наконец, при анализе систем передачи данных, а также отдельных критических процессов в вычислительных сетях (в частности, процессов обработки результатов вычислений) применяют модели систем с повторными вызовами, систем с групповым обслуживанием и групповым поступлением, систем обслуживания-запасания. В частности, в классе систем беспроводной передачи типа когнитивного радио, допускающей одновременное обслуживание нескольких классов абонентов на одном устройстве, широко применяются методы теории массового обслуживания [3], и, в частности, матрично-аналитический метод [78—80]. Системы с повторными вызовами подразделяют на системы с постоянной интенсивностью орбит (так называемых орбит-очередей), а также с классическими орбитами (интенсивность попыток пропорциональна числу клиентов) [23; 81]. Первый из указанных подклассов сложнее с точки зрения анализа стационарности [82—85]. В моделях с групповым обслуживанием [86—88] важную роль играет размер обслуживаемой группы [89—91]. Часто указанные виды моделей имеют несколько особенностей, например, повторные вызовы и групповое обслуживание [92; 93], повторные вызовы в системах обслуживания-запасания [94], случайный объем поступающих клиентов [95], отказы [96]. Для анализа таких моделей применяют матрично-аналитический, регенеративный [97], асимптотический [98] и иные [99] методы. Модели и методы анализа таких систем представлены в Главах 2-6.

Указанные особенности моделей систем параллельной обработки приводят к необходимости создания новых и развития существующих методов анализа их стационарности, оценивания характеристик производительности и эффективности в стационарном, переходном режиме, а также разработки соответствующих алгоритмов и реализующих их комплексов программ.

Целью диссертационной работы является решение фундаментальной научной проблемы создания теоретических основ, разработки комплекса новых методов анализа и расчета показателей эффективности систем параллельной обработки на основе развития приложений структурированных марковских, обобщенных полумарковских и регенерирующих процессов.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Разработан и исследован комплекс моделей систем параллельной обработки, учитывающий характеристики современных высокопроизводительных и распределенных вычислительных систем и систем хранения;

2. Предложены, разработаны и развиты методы анализа и оценивания эффективности систем массового обслуживания, указанные методы применены к разработанному комплексу моделей;

3. Разработаны алгоритмы и программы, реализующие предложенные методы для расчета характеристик моделей систем параллельной обработки.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

— разработан и исследован комплекс моделей систем параллельной обработки на основе структурированных цепей Маркова с непрерывным временем, стохастических рекуррентных соотношений, положительно возвратных регенерирующих процессов, обобщенных полумарковских процессов, учитывающий ключевые характеристики современных высокопроизводительных и распределенных вычислительных систем и систем хранения, в том числе использование многих серверов/каналов для расчета задания/передачи данных, групповое поступление/обслуживание заданий, избыточность обслуживания/хранения;

— предложены, разработаны, развиты и применены методы анализа и оценивания эффективности систем массового обслуживания, в том числе метод получения явного вида критерия стационарности матрично-ана-литических моделей, модифицированный метод расщепления состояний и новый способ совместного применения матрично-аналитического и регенеративного методов для анализа их стационарных характеристик, новый способ регенеративного оценивания характеристик обобщенных полумарковских процессов с использованием расщепления плотности, параллельных и распределенных вычислений;

— разработаны алгоритмы и программы, реализующие предложенные методы для расчета характеристик комплекса моделей систем параллельной обработки, учитывающие сложный характер зависимости характеристик исследуемых процессов, в том числе коррелированный групповой марковский входной поток, распределения времени обслуживания с тяжелым хвостом, либо фазового типа, позволяющие получать характеристики в стационарном и переходном режимах, выполнять оценивание с использованием параллельных и распределенных вычислений, предназначенные для поддержки исследований систем параллельной обработки.

Совокупность предложенных и развитых в диссертации методов составляет теоретическую основу трехуровневого подхода к построению моделей систем обслуживания. При таком подходе, используется согласованная система из модели аналитического (например, на основе матрично-аналитической модели), имитационного (например, на основе обобщенного полумарковского процесса) и технического (например, малая техническая система в контролируемой среде) уровней, различающиеся по степени общности получаемых выводов и степени применимости результатов на практике. Согласованность моделей обеспечивается с помощью проведения попарной валидации моделей всех уровней, а также совместной валидации всех трех уровней моделирования в таких модельных предположениях, при которых модели соответствующих уровней существуют. В такой системе, высокая степень общности получаемых на аналитическом уровне теоретических результатов дополняется гибкостью имитационных моделей, а также высокой прикладной значимостью модели технического уровня.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Предложен явный вид критерия стационарности многоклассовых многосерверных моделей систем параллельной обработки. Для класса моделей, обладающих свойством локальной однородности переходов, доказано достаточное условие, позволяющее получать критерий стационарности в явном виде в форме произведения вероятностей. Доказанное условие применено для матрично-аналитической модели суперкомпьютера, в том числе допускающей зависимость интенсивности входного потока от состояния системы (обратную связь) неоднородность классов по интенсивности обслуживания, а также для многосерверной модели системы параллельной обработки с исчерпывающей дисциплиной обслуживания группы однотипных клиентов.

2. Предложен способ совместного применения матрично-аналитического и регенеративного методов для нахождения стационарных вероятностей в моделях систем обслуживания. Способ применен для анализа многоклассовой модели системы с повторными вызовами постоянной интенсивности, модели односерверной системы с управлением скоростью обслуживания.

3. Предложен метод нахождения явного вида матрицы интенсивностей структурированной цепи Маркова с непрерывным временем, обладающей блочной почти верхнетреугольной матрицей, в условиях малого

размера блоков, обобщающий известные ранее методы получения явного решения для случая малого фазового пространства. Метод применен для анализа стационарных характеристик ряда стохастических моделей, в том числе матрично-аналитической модели когнитивного радио, модели односерверной системы с управлением скоростью обслуживания, модели вычислительной сети из персональных компьютеров.

4. Предложена модификация метода расщепления состояний для анализа матрично-аналитических моделей систем в стационарном и переходном режиме. Модификация применена для анализа двухсерверной модели суперкомпьютера с неоднородными классами, а также модели когнитивного радио.

5. Разработаны алгоритмы и программы, реализующие предложенные методы для расчета характеристик комплекса моделей систем параллельной обработки.

Теоретическая и практическая значимость Результаты диссертации вносят вклад в развитие фундаментальных основ и прикладных вероятностных методов исследования систем массового обслуживания применительно к системам параллельной обработки. Прикладной характер полученных результатов обеспечивается разработанными и примененными комплексами программ, которые позволяют научно-исследовательским организациям и инновационным компаниям заблаговременно выполнять анализ характеристик эффективности разрабатываемых или исследуемых вычислительных, телекоммуникационных систем, систем хранения и обработки данных.

Основные результаты диссертационной работы получены при выполнении ряда научно-исследовательских проектов, где автор диссертационной работы являлся руководителем и исполнителем, в том числе, при исследованиях по грантам РФФИ, РНФ, Президента РФ, Московского Центра фундаментальной и прикладной математики МГУ им. М. В. Ломоносова, а также НИР, выполняемых по приоритетным научным направлениям в ИПМИ КарНЦ РАН, Программе стратегического развития ПетрГУ.

Методология и методы исследования. Основу анализа составляют прикладные методы теории вероятностей, в том числе методы теории массового обслуживания. В диссертации предложены новые методы и развиты оригинальные модификации методов и процедур в теории массового обслуживания:

— метод анализа стационарности в матрично-аналитической модели на основе локальной однородности (раздел 1.1.5);

— комбинация регенеративного и матрично-аналитического методов (раздел 4.1.3), а также модификация матрично-аналитического метода (раздел 4.1.1), модификация метода расщепления состояний (раздел 4.1.4) для нахождения стационарных и переходных характеристик систем в явном виде;

— способ регенеративного оценивания стационарных характеристик моделей систем обслуживания на основе обобщенных полумарковских процессов и расщепления плотности, с использованием параллельных и распределенных вычислений (раздел 6.1).

Применяются в диссертации также классические методы исследования, в том числе:

— матрично-аналитический метод для анализа стационарности, а также характеристик в стационарном и переходном режиме структурированных цепей Маркова с непрерывным временем,

— регенеративный метод для анализа стационарности и получения базовых стационарных вероятностей моделей,

— методы теории вероятностей, комбинаторики, линейной алгебры, статистического оценивания.

Разработка программ и программных комплексов, выполнение численных экспериментов и анализ их результатов осуществлялись в программных средах R и Wolfram Cloud. Для выполнения расчетов применялись современные высокопроизводительные и распределенные вычислительные ресурсы (в том числе вычислительная сеть из персональных компьютеров, построенная на основе технологии BOINC), а также методы параллельных многоядерных и распределенных вычислений, доступные в языке R с помощью пакетов расширения, разработчиком которых в том числе является автор диссертации.

Достоверность полученных результатов подтверждается математически корректными выводами и доказательствами теорем и других утверждений, опубликованных в ведущих отечественных и международных журналах, корректностью разработанных численных методов исследования, корректным использованием известных фундаментальных методов, соответствием полученных теоретических результатов данным вычислительных экспериментов.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа выполнена в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» и включает оригинальные результаты в области разработки фундаментальных основ и применения математического моделирования, численных методов и комплексов программ для оценки производительности широкополосных беспроводных сетей с централизованным управлением. Диссертационная работа соответствует следующим разделам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

1. Разработка новых математических моделей и методов компьютерного моделирования явлений, объектов, систем и процессов;

2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей;

8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.

Апробация работы. Основные результаты работы представлялись на международных и всероссийских научных конференциях и семинарах по тематике исследований:

— International Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN): 2010, 2015-2019, 2021 г.

— International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems (ICUMT): 2010, 2015-2017 г.

— Annual International Workshop on Advances in Methods of Information and Communication Technology: 2010, 2011 г.

— International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models (ISSPSM) and Workshop «Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics related to modeling of information systems»: 2011, 2014, 2015, 2020, 2021 г.

— «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах»: 2011, 2012 г.

— «Параллельные вычислительные технологии»: 2011, 2013 г.

— «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем»: 2011 г.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Румянцев Александр Сергеевич, 2022 год

Список литературы

1. Feitelson, D. G. Workload Modeling for Computer Systems Performance Evaluation [Текст] / D. G. Feitelson. —Cambridge : Cambridge University Press, 2015. —551 с.

2. Sutter, H. The Free Lunch Is Over: A Fundamental Turn Toward Concurrency in Software [Текст] / H. Sutter // Dr. Dobb's Journal. —2005. — Т. 30, № 3. — С. 202—210.

3. Queueing Models for Cognitive Radio Networks: A Survey [Текст] / F. Palun-cic [et al.] // IEEE Access. — 2018. — Vol. 6. — P. 50801—50823.

4. Daoud, S. Spread Spectrum-Based Underlay Cognitive Radio Wireless Networks [Текст] / S. Daoud, D. Haccoun, C. Cardinal // COCORA 2017 : The Seventh International Conference on Advances in Cognitive Radio. —

2017. — P. 20—24.

5. Joshi, G. Efficient Redundancy Techniques for Latency Reduction in Cloud Systems [Текст] / G. Joshi, E. Soljanin, G. Wornell // ACM Transactions on Modeling and Performance Evaluation of Computing Systems. — 2017. — Apr. — Vol. 2, no. 2. — P. 1—30.

6. Ganesh, A. A Model of Job Parallelism for Latency Reduction in Large-Scale Systems [Текст] / A. Ganesh, A. Mukhopadhyay // arXiv e-prints. —2022. — Март. —arXiv:2203.08614. —arXiv: 2203.08614 [math.PR].

7. Heien, E. M. Computing Low Latency Batches with Unreliable Workers in Volunteer Computing Environments [Текст] / E. M. Heien, D. P. Anderson, K. Hagihara // Journal of Grid Computing. — 2009. — Dec. — Vol. 7, no. 4. — P. 501—518.

8. Thomasian, A. Analysis of Fork/Join and Related Queueing Systems [Текст] /

A. Thomasian // ACM Computing Surveys. — 2014. — Vol. 47, no. 2. — P. 1—71.

9. Gigler, B.-S. Financing the future of supercomputing: How to increase investments in high performance computing in Europe [Текст] : tech. rep. /

B.-S. Gigler, A. Casorati, A. Verbeek ; Innovation Finance Advisory. —

2018. — P. 154.

10. Anderson, D. P. BOINC: A System for Public-Resource Computing and Storage [Текст] / D. P. Anderson // Proceedings of the 5th IEEE/ACM International Workshop on Grid Computing. —Washington, DC, USA : IEEE Computer Society, 2004. — С. 4—10. — (GRID '04).

11. Chernov Ilya. Task Scheduling in Desktop Grids: Open Problems [Текст] / Chernov Ilya, Nikitina Natalia, Ivashko Evgeny // Open Engineering. —

2017. — Т. 7, № 1. — С. 343.

12. The Estimation of Probability Characteristics of Cloud Computing Systems with Splitting of Requests [Текст] / A. Gorbunova [и др.] // Distributed Computer and Communication Networks / под ред. V. M. Vishnevskiy, K. E. Samouylov, D. V. Kozyrev. — Springer International Publishing, 2016. — С. 418—429.

13. Zaryadov, I. The Analysis of Cloud Computing System as a Queueing System with Several Servers and a Single Buffer [Текст] / I. Zaryadov, A. Kradenyh, A. Gorbunova // Analytical and Computational Methods in Probability Theory / под ред. V. V. Rykov, N. D. Singpurwalla, A. M. Zubkov. —Springer International Publishing, 2017. — С. 11—22.

14. Atar, R. MDP based optimal pricing for a cloud computing queueing model [Текст] / R. Atar, I. Cidon, M. Shifrin // Performance Evaluation. —2014. — Т. 78. — С. 1-6.

15. Power management in virtualized data centers: state of the art [Текст] / A. Al-Dulaimy [et al.] // Journal of Cloud Computing. — 2016. — Dec. — Vol. 5, no. 1.

16. Melikov, A. Z. Queuing Management with Feedback in Cloud Computing Centers with Large Numbers of Web Servers [Текст] / A. Z. Melikov, A. M. Rustamov, J. Sztrik // Developments in Language Theory. Vol. 11088 / ed. by M. Hoshi, S. Seki. — Cham : Springer International Publishing,

2018. — P. 106—119. — Series Title: Lecture Notes in Computer Science.

17. Mebrek, A. Energy-efficient solution using stochastic approach for IoT-Fog-Cloud Computing [Текст] / A. Mebrek, L. Merghem-Boulahia, M. Esseghir // 2019 International Conference on Wireless and Mobile Computing, Networking and Communications (wimob). —New York : Ieee,

2019.

18. Pierson, J.-M. Large-scale distributed systems and energy efficiency: a holistic view [Текст] / J.-M. Pierson. —Hoboken, New Jersey : Wiley, 2015. —(Wiley series on parallel and distributed computing).

19. Dynamic frame aggregation scheduler for multimedia applications in IEEE 802.11n networks [Текст] / E. Charfi [и др.] // Transactions on Emerging Telecommunications Technologies. —2017. — Т. 28, № 2. —e2942.

20. Van Houdt, B. On the necessity of hot and cold data identification to reduce the write amplification in flash-based SSDs [Текст] / B. Van Houdt // Performance Evaluation. —2014. — Дек. — Т. 82. — С. 1—14.

21. Asmussen, S. Applied probability and queues [Текст] / S. Asmussen. — New York : Springer, 2003. — 452 p.

22. Bocharov, P. P. Queueing Theory [Текст] / P. P. Bocharov, C. D'Apice, A. V. Pechinkin. —DE GRUYTER, 12.2003. —460 с. —(Modern Probability and Statistics).

23. Artalejo, J. R. Retrial Queueing Systems: A Computational Approach [Текст] / J. R. Artalejo, A. Gomez-Corral. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008. —341 с.

24. Harchol-Balter, M. Performance modeling and design of computer systems: queueing theory in action [Текст] / M. Harchol-Balter. — Cambridge : Cambridge University Press, 2013. —574 с.

25. Brill, P. H. Level crossing methods in stochastic models [Текст] / P. H. Brill. — New York, NY : Springer Berlin Heidelberg, 2017. — 574 p.

26. Neuts, M. F. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: An Algorithmic Approach [Текст] / M. F. Neuts. — Baltimore : Johns Hopkins University Press, 1981. — 352 p.

27. G. Latouche. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling [Текст] / G. Latouche, V. Ramaswami. — Philadelphia : ASA-SIAM, 1999. — 349 p.

28. He, Q.-M. Fundamentals of Matrix-Analytic Methods [Текст] / Q.-M. He. — Springer New York, 2014. —349 с.

29. Bladt, M. Matrix-Exponential Distributions in Applied Probability [Текст]. Т. 81 / M. Bladt, B. F. Nielsen. —Boston, MA : Springer US, 2017. —753 с. — (Probability Theory and Stochastic Modelling).

30. Matrix and Analytical Methods for Performance Analysis of Telecommunication Systems [Текст] / V. Naumov [et al.]. — Cham : Springer International Publishing, 2021. — 329 p.

31. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц [Текст] / Ф. Р. Гантмахер. —2-е изд. — Москва : Наука, 1966. —576 с.

32. Seneta, E. Non-negative matrices and Markov chains [Текст] / E. Seneta. — Rev. print. — New York : Springer, 2006. — 296 p. — (Springer series in statistics). — OCLC: ocm66320616.

33. Gohberg, I. Matrix polynomials [Текст] / I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman. —SIAM ed., [Classics ed.] —Philadelphia : Society for Industrial, Applied Mathematics, 2009. —409 с. —(Classics in applied mathematics ; 58).

34. Thorrison, H. Coupling, stationarity, and regeneration [Текст] / H. Thomson. — New York : Springer-Verlag, 2000. — 536 p.

35. Serfozo, R. Basics of Applied Stochastic Processes [Текст] / R. Serfozo ; ed. by J. Gani [et al.]. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2009. — 457 p. — (Probability and Its Applications).

36. Morozov, E. Stability Analysis of Regenerative Queueing Models Mathematical Methods and Applications [Текст] / E. Morozov, B. Steyaert. — Springer, Cham, 2021. — 185 p.

37. Ross, S. M. Simulation [Текст] / S. M. Ross. — 4th ed. — Amsterdam ; Boston : Elsevier Academic Press, 2006. —298 с. —OCLC: ocm69672100.

38. Asmussen, S. Stochastic simulation: algorithms and analysis [Текст] / S. As-mussen, P. W. Glynn. — New York : Springer, 2007. — 490 p. — (Stochastic modelling and applied probability ; 57). — OCLC: ocn123113652.

39. Kiefer, J. d. On the theory of queues with many servers [Текст] / J. d. Kiefer, J. Wolfowitz // Transactions of the American Mathematical Society. — 1955. — С. 1—18.

40. Тихоненко, О. М. Модели массового обслуживания в системах обработки информации [Текст] / О. М. Тихоненко. — Минск : Университетское, 1990. —191 с.

41. Kaufman, J. Blocking in a shared resource environment [Текст] / J. Kaufman // Communications, IEEE Transactions on. —1981. — Т. 29, № 10. — С. 1474—1481.

42. Arthurs, E. Sizing a Message Store Subject to Blocking Criteria [Текст] / E. Arthurs, J. S. Kaufman // Proceedings of the Third International Symposium on Modelling and Performance Evaluation of Computer Systems: Performance of Computer Systems. — Amsterdam, The Netherlands, The Netherlands : North-Holland Publishing Co., 1979. — С. 547—564.

43. Whitt, W. Blocking when service is required from several facilities simultaneously [Текст] / W. Whitt // AT&T Technical Journal. — 1985. — Vol. 64, no. 8. — P. 1807—1856.

44. Van Dijk, N. M. Blocking of finite source inputs which require simultaneous servers with general think and holding times [Текст] / N. M. Van Dijk // Operations research letters. —1989. — Т. 8, № 1. — С. 45—52.

45. Tikhonenko, O. Generalized Erlang Problem for Service Systems with Finite Total Capacity [Текст] / O. Tikhonenko // Problems of Information Transmission. — 2005. — Vol. 41, no. 3. — P. 243—253.

46. Green, L. Queues which Allow a Random Number of Servers per Customer [Текст] : PhD thesis / Green L. — Yale University, 1978.

47. Green, L. A Queueing System in Which Customers Require a Random Number of Servers [Текст] / L. Green // Operations Research. — 1980. — Vol. 28, no. 6. — P. 1335—1346.

48. Green, L. Comparing operating characteristics of queues in which customers require a random number of servers [Текст] / L. Green // Management Science. — 1980. — Vol. 27, no. 1. — P. 65—74.

49. Seila, A. F. On Waiting Times for a Queue in Which Customers Require Simultaneous Service from a Random Number of Servers [Текст] / A. F. Seila // Operations Research. — 1984. — Vol. 32, no. 5. — P. 1181—1184.

50. Federgruen, A. An M/G/c Queue in Which the Number of Servers Required Is Random [Текст] / A. Federgruen, L. Green // Journal of Applied Probability. —1984. — Т. 21, № 3. — С. 583.

51. Ittimakin, P. Stationary Waiting Time Distribution of a Queue in Which Customers Require a Random Number of Servers [Текст] / P. Ittimakin,

E. P. C. Kao // Operations Research. —1991. — Т. 39, № 4. — С. 633—638.

52. Schaack, C. An N Server Cutoff Priority Queue Where Arriving Customers Request a Random Number of Servers [Текст] / C. Schaack, R. C. Larson // Management Science. —1989. — Т. 35, № 5. — С. 614—634.

53. Gillent, F. Semi-explicit solutions for M/PH/1-like queuing systems [Текст] /

F. Gillent, G. Latouche // European Journal of Operational Research. — 1983. — Т. 13, № 2. — С. 151—160.

54. Kim, S. S. M/M/s Queueing System Where Customers Demand Multiple Server Use [Текст] : PhD thesis / Kim S. S. — Southern Methodist University, 1979.

55. Brill, P. H. Queues in which customers receive simultaneous service from a random number of servers: a system point approach [Текст] / P. H. Brill, L. Green // Management Science. —1984. — Т. 30, № 1. — С. 51—68.

56. Fletcher, G. Y. A queueing system where customers require a random number of servers simultaneously [Текст] / G. Y. Fletcher, H. Perros, W. Stewart // European Journal of Operational Research. — 1986. — Vol. 23, issue 3. — P. 331—342.

57. Filippopoulos, D. An M/M/2 parallel system model with pure space sharing among rigid jobs [Текст] / D. Filippopoulos, H. Karatza // Mathematical and Computer Modelling. — 2007. — Vol. 45, no. 5/6. — P. 491—530.

58. Chakravarthy, S. R. Two-server parallel system with pure space sharing and Markovian arrivals [Текст] / S. R. Chakravarthy, H. D. Karatza // Computers & Operations Research. —2013. — Т. 40, № 1. — С. 510—519.

59. Afanaseva, L. Stability Analysis of a Multi-server Model with Simultaneous Service and a Regenerative Input Flow [Текст] / L. Afanaseva, E. Bashtova, S. Grishunina // Methodology and Computing in Applied Probability. — 2019. — July.

60. Afanaseva, L. G. Stability conditions for a multiserver queueing system with a regenerative input flow and simultaneous service of a customer by a random number of servers [Текст] / L. G. Afanaseva, S. A. Grishunina // Queueing Systems. — 2020. — Apr. — Vol. 94, no. 3/4. — P. 213—241.

61. Harchol-Balter, M. Open problems in queueing theory inspired by datacenter computing [Текст] / M. Harchol-Balter // Queueing Systems. — 2021. — P. 155—169.

62. Harchol-Balter, M. The multiserver job queueing model [Текст] / M. Harchol-Balter // Queueing Systems. —2022. — Март.

63. Fiorini, P. M. Exact Analysis of Some Split-Merge Queues [Текст] / P. M. Fiorini, L. Lipsky // ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review. — 2015. — Sept. — Vol. 43, no. 2. — P. 51—53.

64. Evans, R. V. Queuing when Jobs Require Several Services which Need Not be Sequenced [Текст] / R. V. Evans // Management Science. — 1964. — Jan. — Vol. 10, no. 2. — P. 298—315.

65. Baccelli, F. The fork-join queue and related systems with synchronization constraints: stochastic ordering and computable bounds [Текст] / F. Baccelli, A. M. Makowski, A. Shwartz // Advances in Applied Probability. — 1989. — Vol. 21, no. 3. — P. 629—660.

66. Queueing with redundant requests: exact analysis [Текст] / K. Gardner [et al.] // Queueing Systems. — 2016. — Vol. 83, no. 3/4. — P. 227—259.

67. Kim,, C. Analysis of the fork-join queue [Текст] / C. Kim, A. Agrawala // IEEE Transactions on Computers. —1989. — Т. 38, № 2. — С. 250—255.

68. Nelson, R. Approximate analysis of fork/join synchronization in parallel queues [Текст] / R. Nelson, A. Tantawi // IEEE Transactions on Computers. —1988. — Т. 37, № 6. — С. 739—743.

69. Joshi, G. Queues with redundancy: Latency-cost analysis [Текст] / G. Joshi, E. Soljanin, G. Wornell // ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review. —2015. — Т. 43, № 2. — С. 54—56.

70. Горбунова, А. В. Обзор систем параллельной обработки заявок. Часть II [Текст] / А. В. Горбунова, И. С. Зарядов, К. Е. Самуйлов // Вестник Российского университета дружбы народов. —2018. — Т. 26, № 1. — С. 13—-27. —(Математика. Информатика. Физика.)

71. Bekker, R. Queues with state-dependent rates [Текст] : дис. ... канд. / Bekker Rene. — Eindhoven : Technische Universiteit Eindhoven, 2005.

72. Optimal Service Elasticity in Large-Scale Distributed Systems [Текст] / D. Mukherjee [et al.] // Proceedings of the ACM on Measurement and Analysis of Computing Systems. — 2017. — June. — Vol. 1, no. 1. — P. 1—28.

73. Gebrehiwot, M. E. Optimal sleep-state control of energy-aware M/G/1 queues [Текст] / M. E. Gebrehiwot, S. A. Aalto, P. Lassila // Proceedings of the 8th International Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools. — ICST (Institute for Computer Sciences, Social-Informatics, Telecommunications Engineering), 2014. — С. 82—89.

74. Gandhi, A. Server Farms with Setup Costs [Текст] / A. Gandhi, M. Harchol-Balter, I. Adan // Perform. Eval. —2010. — Нояб. — Т. 67, № 11. — С. 1123—1138.

75. Gandhi, A. The case for sleep states in servers [Текст] / A. Gandhi, M. Harchol-Balter, M. A. Kozuch // Proceedings of the 4th Workshop on Power-Aware Computing and Systems - HotPower '11. — Cascais, Portugal : ACM Press, 2011. — P. 1—5.

76. Optimality analysis of energy-performance trade-off for server farm management [Текст] / A. Gandhi [и др.] // Performance Evaluation. — 2010. — Т. 67, № 11. — С. 1155—1171.

77. Horvath, T. Multi-Mode Energy Management for Multi-Tier Server Clusters [Текст] / T. Horvath, K. Skadron // Proceedings of the 17th International Conference on Parallel Architectures and Compilation Techniques. — New York, NY, USA : Association for Computing Machinery, 2008. — С. 270—279. — (PACT '08). —event-place: Toronto, Ontario, Canada.

78. Analysis of priority retrial queue with many types of customers and servers reservation as a model of cognitive radio system [Текст] / A. Dudin [et al.] // IEEE Transactions on Communications. — 2016. — P. 1—1.

79. Zhu, D. B. Performance Analysis of CSMA in an Unslotted Cognitive Radio Network under Non-saturation Condition [Текст] / D. B. Zhu, H.-M. Wang, Y.-N. Xu // 2012 Second International Conference on Instrumentation, Measurement, Computer, Communication and Control. — Harbin City, Hei-longjiang, China : IEEE, 12/2012. — P. 1122—1126.

80. Oklander, B. Modeling and analysis of system dynamics and state estimation in cognitive radio networks [Текст] / B. Oklander, M. Sidi // 2010 IEEE 21st International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio Communications Workshops. — Istanbul, Turkey : IEEE, 09/2010. — P. 49—53.

81. Yang, T. A survey on retrial queues [Текст] / T. Yang, J. G. C. Templeton // Queueing systems. —1987. — Т. 2, № 3. — С. 201—233.

82. Artalejo, J. R. Analysis of multiserver queues with constant retrial rate [Текст] / J. R. Artalejo, A. Gomez-Corral, M. F. Neuts // European Journal of Operational Research. —2001. — Т. 135, № 3. — С. 569—581.

83. Avrachenkov, K. Stability analysis of GI/GI/c/K retrial queue with constant retrial rate [Текст] / K. Avrachenkov, E. Morozov // Mathematical Methods of Operations Research. —2014. — Июнь. — Т. 79, № 3. — С. 273—291.

84. STABILITY ANALYSIS AND SIMULATION OF N-CLASS RETRIAL SYSTEM WITH CONSTANT RETRIAL RATES AND POISSON INPUTS [Текст] / K. Avrachenkov [et al.] // Asia-Pacific Journal of Operational Research. — 2014. — Apr. — Vol. 31, no. 02. — P. 1440002.

85. Avrachenkov, K. Sufficient stability conditions for multi-class constant retrial rate systems [Текст] / K. Avrachenkov, E. Morozov, B. Steyaert // Queueing Systems. — 2016. — Feb. — Vol. 82, no. 1/2. — P. 149—171.

86. Bailey, N. T. J. On Queueing Processes with Bulk Service [Текст] / N. T. J. Bailey // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). —1954. — Т. 16, № 1. — С. 80—87.

87. Banerjee, A. Analysis of a finite-buffer bulk-service queue under Marko-vian arrival process with batch-size-dependent service [Текст] / A. Banerjee, U. Gupta, S. Chakravarthy // Computers & Operations Research. — 2015. — Aug. — Vol. 60. — P. 138—149.

88. Sasikala, S. Bulk service queueing models - A survey [Текст] / S. Sasikala, K. Indhira // International Journal of Pure and Applied Mathematics. — 2016. — Vol. 106, no. 6. — P. 43—56.

89. Banik, A. D. Single server queues with a batch Markovian arrival process and bulk renewal or non-renewal service [Текст] / A. D. Banik // Journal of Systems Science and Systems Engineering. — 2015. — Sept. — Vol. 24, no. 3. — P. 337—363.

90. Analysis of a batch-service queue with variable service capacity, correlated customer types and generally distributed class-dependent service times [Текст] / J. Baetens [et al.] // Performance Evaluation. — 2019. — Nov. — Vol. 135. — P. 102012.

91. Zeng, Y. Optimal bulking threshold of batch service queues [Текст] / Y. Zeng, C. H. Xia // Journal of Applied Probability. —2017. — Т. 54, № 2. — С. 409—423.

92. Dudin, A. N. A Single Server Retrial Queuing Model with Batch Arrivals and Group Services [Текст] / A. N. Dudin, S. R. Chakravarthy // Advances in Stochastic Modelling / ed. by J. R. Artalejo, A. Krishnamoorthy. — New Jersey : Notable Publications, Inc., 2002.

93. Analysis of a retrial queue with group service of impatient customers [Текст] / M. P. D'Arienzo [et al.] // Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing. — 2019. — May.

94. Krishnamoorthy, A. On a queueing-inventory with reservation, cancellation, common life time and retrial [Текст] / A. Krishnamoorthy, D. Shajin,

B. Lakshmy // Annals of Operations Research. —2016. — Дек. — Т. 247, № 1. — С. 365—389. —WOS:000387592600015.

95. Heterogeneous System MMPP/GI(2)/to with Random Customers Capacities [Текст] / E. V. Pankratova [et al.] // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2019. — Apr. — Vol. 12, no. 2. — P. 213—239.

96. Применение многоканальных систем массового обслуживания с отказами к конструированию телекоммуникационных сетей [Текст] / Г. Ш. Цици-ашвили [и др.] // Дальневост. матем. журн. —2018. — Т. 18, № 1. —

C. 123—126.

97. Morozov, E. A multiserver retrial queue: regenerative stability analysis [Текст] / E. Morozov // Queueing Systems. — 2007. — Aug. — Vol. 56, no. 3/4. — P. 157—168.

98. Danilyuk, E. Asymptotic Diffusion Analysis of an Retrial Queueing System M/M/1 with Impatient Calls [Текст] / E. Danilyuk, S. Moiseeva, A. Nazarov // Distributed Computer and Communication Networks. Vol. 1552 / ed. by V. M. Vishnevskiy, K. E. Samouylov, D. V. Kozyrev. — Cham : Springer International Publishing, 2022. — P. 233—246.

99. A simple analysis of system characteristics in the batch service queue with infinite-buffer and Markovian service process using the roots method: GI/C — MSP(aь)/1/ж [Текст] / M. L. Chaudhry [и др.] // RAIRO - Operations Research. —2016. — Сент. — Т. 50, № 3. — С. 519—551.

100. Potakhina, L. Optimizing performance in a heavy-tailed system: a case study [Текст] / L. Potakhina, A. S. Rumyantsev // Proceedings of AMICT 2010-2011 Advances in Methods of Information and Communication Technology. — Helsinki, Finland : University of Helsinki, 2012. — P. 67—74.

101. Румянцев, А. С. Задача оптимизации времени выполнения проекта в вычислительной сети из персональных компьютеров [Текст] / А. С. Румянцев // Программные системы: теория и приложения. —2014. — Т. 5, № 1. — С. 175—182. —URL: http://www.mathnet.ru/rus/ps112.

102. Rumyantsev, A. Stabilization of a high performance cluster model [Текст] / A. Rumyantsev // Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), 2014 6th International Congress on. — IEEE, 2014. — P. 518—521.

103. Rumyantsev, A. Simulating Supercomputer Workload with Hpcwld Package for R [Текст] / A. Rumyantsev // Parallel and Distributed Computing, Applications and Technologies (PDCAT), 2014 15th International Conference on. — IEEE, 2014. — P. 138—143.

104. Rumyantsev, A. An HPC Upgrade/Downgrade that Provides Workload Stability [Текст] / A. Rumyantsev // Parallel Computing Technologies. Vol. 9251. — Springer International Publishing, 2015. — P. 279—284. — (Lecture Notes in Computer Science).

105. Rumyantsev, A. Accelerated Verification of Stability of Simultaneous Service Multiserver Systems [Текст] / A. Rumyantsev, E. Morozov // Proceedings of 2015 7th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), Brno, Czech Republic, 6-8 October 2015. — IEEE, 2015. — P. 239—242.

106. Morozov, E. Stability Analysis of a MAP/M/s Cluster Model by Matrix-Analytic Method [Текст] / E. Morozov, A. Rumyantsev // Computer Performance Engineering: 13th European Workshop, EPEW 2016, Chios, Greece, October 5-7, 2016, Proceedings. Vol. 9951. — Cham : Springer International Publishing, 2016. — P. 63—76. — (Lecture Notes in Computer Science).

107. Румянцев, А. С. Стохастическое моделирование вычислительного кластера с гистерезисным управлением скоростью обслуживания [Текст] / А. С. Румянцев, К. А. Калинина, Т. Е. Морозова // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. —2017. — № 8. — С. 76—85.

108. Румянцев, А. С. Стохастическое моделирование вычислительного кластера с пороговым управлением скоростью обслуживания [Текст] / А. С. Румянцев, К. А. Калинина, Т. Е. Морозова // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2017): материалы Двадцатой междунар. науч. конфер. — Москва : М.: Техносфера, 2017. — С. 286—290.

109. Rumyantsev, A. Stability criterion of a multiserver model with simultaneous service [Текст] / A. Rumyantsev, E. Morozov // Annals of Operations Research. — 2017. — Vol. 252, no. 1. — P. 29—39.

110. On Distributed R Computations over BOINC [Текст] / A. Rumyantsev [et al.] // Proceedings of the Third International Conference BOINC:FAST 2017. Vol. 1973. — CEUR-WS, 2017. — P. 108—113. — URL: http://ceur-ws.org/Vol-1973/paper14.pdf.

111. Rumyantsev, A. Split-Merge Model of Workunit Replication in Distributed Computing [Текст] / A. Rumyantsev, S. Chakravarthy // Proceedings of the Third International Conference BOINC:FAST 2017. Vol. 1973. — CEUR-WS, 2017. — P. 27—34. — URL: http://ceur-ws.org/Vol-1973/paper03.pdf.

112. Evaluating a Single-Server Queue with Asynchronous Speed Scaling [Текст] / A. Rumyantsev [et al.] // Measurement, Modelling and Evaluation of Computing Systems. Vol. 10740. — Springer International Publishing, 2018. — P. 157—172. — (Lecture Notes in Computer Science).

113. Cost and Effect of Replication and Quorum in Desktop Grid Computing [Текст] / A. Rumyantsev [et al.] // Information Technologies and Mathematical Modelling. Queueing Theory and Applications. Vol. 912. — Cham : Springer International Publishing, 2018. — P. 143—156. — (Communications in Computer and Information Science).

114. Garimella, R. M. On an exact solution of the rate matrix of G/M/1 -type Markov process with small number of phases [Текст] / R. M. Garimella, A. Rumyantsev // Journal of Parallel and Distributed Computing. — 2018. — Vol. 119. — P. 172—178.

115. A. Rumyantsev. Discrete-Event Modeling of a High-Performance Computing Cluster with Service Rate Control [Текст] / A. Rumyantsev, T. Morozova, R. Basmadjian // 2018 22nd Conference of Open Innovations Association (FRUCT). — 2018. — P. 224—231.

116. Rumyantsev, A. Artificial Regeneration Based Regenerative Estimation of Multiserver System with Multiple Vacations Policy [Текст] / A. Rumyant-sev, I. Peshkova // Information Technologies and Mathematical Modelling. Queueing Theory and Applications. Vol. 1109. — Springer International Publishing, 2019. — P. 38—50. — (Communications in Computer and Information Science).

117. Latency/Wearout in a Flash-Based Storage System with Replication on Write [Текст] / A. Rumyantsev [et al.] // 2019 24th Conference of Open Innovations Association (FRUCT). — 2019. — P. 360—366.

118. Rumyantsev, A. Stability of Multiclass Multiserver Models with Automata-type Phase Transitions [Текст] / A. Rumyantsev // Proceedings of the Second International Workshop on Stochastic Modeling and Applied Research of Technology (SMARTY 2020). Vol. 2792. — 2020. — P. 213—225. — URL: http://ceur-ws.org/Vol-2792/#paper16.

119. Ivashko, E. Discrete Event Simulation Model of a Desktop Grid System [Текст] / E. Ivashko, N. Nikitina, A. Rumyantsev // Supercomputing. Vol. 1331. — Cham : Springer International Publishing, 2020. — (Communications in Computer and Information Science).

120. Rumyantsev, A. Steady-State and Transient Analysis of a Single Channel Cognitive Radio Model with Impatience and Balking [Текст] / A. Rumyant-sev, R. M. Garimella // Applied Probability and Stochastic Processes. — Singapore : Springer Singapore, 2020. — P. 77—90. — (Infosys Science Foundation Series in Mathematical Sciences).

121. A Three-Level Modelling Approach for Asynchronous Speed Scaling in High-Performance Data Centres [Текст] / A. Rumyantsev [et al.] // Proceedings of the Twelfth ACM International Conference on Future Energy Systems. — New York, NY, USA : Association for Computing Machinery, 2021. — P. 417—423. — (e-Energy '21).

122. Morozov, E. Heavy-tailed Distributions with Applications to Broadband Communication Systems [Текст] / E. Morozov, M. Pagano, A. Rumyant-sev // Proceedings of AMICT'2007 Advances in Methods of Information and Communication Technology. Vol. 9. — Petrozavodsk: PetrSU, 2008. — P. 157—174.

123. Morozov, E. Moment properties of queueing systems and networks [Текст] / E. Morozov, A. Rumyantsev // 2010 International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, ICUMT 2010. — Moscow : IEEE, 2010. — P. 1056—1061. — (2010 International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, ICUMT 2010).

124. Морозов, Е. В. Регенерация и корреляционные свойства стационарной задержки в одноканальной очереди [Текст] / Е. В. Морозов, А. С. Румянцев // Proceedings of International Workshop Distributed Computer and Communication Networks. Theory and Applications (DCCN-2010). — Moscow : R&D Company «Information, Networking Technologies», 2010. — С. 58—67.

125. Морозов, Е. Некоторые модели многопроцессорных систем обслуживания с тяжелыми хвостами [Текст] / Е. Морозов, А. Румянцев // Параллель-

ные вычислительные технологии 2011: сборник трудов Международной научной конференции. — Челябинск : ЮУрГУ, 2011. — С. 555—-566.

126. Морозов, Е. В. Модели многосерверных систем для анализа вычислительного кластера [Текст] / Е. В. Морозов, А. С. Румянцев // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. — 2011. — Т. 5. — С. 75—86.

127. Морозов, Е. В. Вероятностные модели многопроцессорных систем: стационарность и моментные свойства [Текст] / Е. В. Морозов, А. С. Румянцев // Информатика и ее применения. —2012. — Т. 6, № 3. — С. 99—106. — URL: http://mi.mathnet.ru/ia222.

128. Morozov, E. V. Moment properties and long-range dependence of queueing processes [Текст] / E. V. Morozov, A. S. Rumyantsev // Proceedings of AMICT 2010-2011 Advances in Methods of Information and Communication Technology. — Helsinki, Finland : University of Helsinki, 2012. — P. 31—38.

129. Ивашко, Е. Е. Задача прогнозирования нагрузки для повышения энергетической эффективности вычислительного кластера [Текст] / Е. Е. Ивашко, А. С. Румянцев, А. Л. Чухарев // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2013): труды международной научной конференции (г. Челябинск, 1-5 апреля 2013 г.) — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2013. — С. 363—370.

130. Задача повышения энергоэффективности центров обработки данных [Текст] / Е. Е. Ивашко [и др.] // Перспективные информационные технологии (ПИТ 2014): труды Международной научно-технической конференции. — Самара: Издательство Самарского научного центра РАН, 2014. — С. 327—331.

131. Morozov, E. A State-Dependent Control for Green Computing [Текст] / E. Morozov, A. Rumyantsev // Information Sciences and Systems 2015. Vol. 363. — Springer International Publishing, 2015. — P. 57—67. — (Lecture Notes in Electrical Engineering).

132. Morozov, E. Monotonicity and stochastic bounds for simultaneous service multiserver systems [Текст] / E. Morozov, A. Rumyantsev, I. Peshkova // Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), 2016 8th International Congress on. — IEEE, 2016. — P. 294—297.

133. Morozov, E. On regenerative envelopes for high performance cluster simulation [Текст] / E. Morozov, I. Peshkova, A. Rumyantsev // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2016): материалы Девятнадцатой международной научной конференции. Т. 3. — Издательство РУДН, 2016. — С. 343—347.

134. Morozov, E. Stability Analysis and Simulation of a State-Dependent Transmission Rate System [Текст] / E. Morozov, L. Potakhina, A. Rumyantsev // Man-Machine Interactions 4. Vol. 391. — Springer International Publishing, 2016. — P. 673—683. — (Advances in Intelligent Systems and Computing).

135. Morozov, E. On Regenerative Envelopes for Cluster Model Simulation [Текст] / E. Morozov, I. Peshkova, A. Rumyantsev // Distributed Computer and Communication Networks: 19th International Conference, DCCN 2016, Moscow, Russia, November 21-25, 2016, Revised Selected Papers. Vol. 678. — Cham : Springer International Publishing, 2016. — P. 222—230. — (Communications in Computer and Information Science).

136. A Regeneration-Based Estimation of High Performance Multiserver Systems [Текст] / E. Morozov [et al.] // Computer Networks: 23rd International Conference, CN 2016, Brunow, Poland, June 14-17, 2016, Proceedings. Vol. 608. — Cham : Springer International Publishing, 2016. — P. 271—282. — (Communications in Computer and Information Science).

137. A Gaussian Approximation of Runtime Estimation in a Desktop Grid Project [Текст] / E. Morozov [et al.] // 2017 9th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). — Munich, Germany : IEEE, 2017. — P. 107—111.

138. Morozov, E. On artificial regeneration for stochastic simulation of the high performance cluster model [Текст] / E. Morozov, I. Peshkova, A. Rumyantsev // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2017): материалы Двадцатой междунар. науч. конфер. — Москва : М.: Техносфера, 2017. — С. 95—97.

139. Morozov, E. Inequalities for Workload Process in Queues with NBU/NWU Input [Текст] / E. Morozov, A. Rumyantsev, K. Kalinina // Man-Machine Interactions 5: 5th International Conference on Man-Machine Interactions,

ICMMI 2017 Held at Krakow, Poland, October 3-6, 2017. Vol. 659. — Cham : Springer International Publishing, 2017. — P. 535—544. — (Advances in Intelligent Systems and Computing).

140. Garimella, R. M. On an Exact Solution of the Rate Matrix of Quasi-Birth-Death Process With Small Number of Phases [Текст] / R. M. Garimella, A. Rumyantsev // Proceedings: 31st European Conference on Modelling and Simulation ECMS 2017, May 23rd - May 26th, 2017. — Budapest, Hungary, 2017. — P. 713—719.

141. Румянцев, А. С. Методы регенеративного моделирования для анализа многосерверных систем обслуживания [Текст] / А. С. Румянцев, И. В. Пешкова // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. —2018. — № 7. — С. 68—82.

142. Simulation of multi-orbit retrial queue with constant retrial rates [Текст] / E. V. Morozov [и др.] // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети : управление, вычисление, связь (DCCN-2018): материалы XXI Международной научной конференции. —2018. — С. 203—-207.

143. Survey on Deduplication Techniques in Flash-Based Storage [Текст] / I. Chernov [et al.] // 2018 22nd Conference of Open Innovations Association (FRUCT). — 2018. — P. 25—33.

144. Garimella, R. M. On Rate Matrix R of G/M/1-type Markov Process [Текст] / R. M. Garimella, A. Rumyantsev // Proceedings of the First International Workshop on Stochastic Modeling and Applied Research of Technology (SMARTY). Vol. 2278. — 2018. — P. 90—95. — (CEUR Workshop Proceedings). — URL: http://ceur-ws.org/Vol-2278/#paper10.

145. Chakravarthy Srinivas R. Efficient Redundancy Techniques in Cloud and Desktop Grid Systems using MAP/G/c-type Queues [Текст] / Chakravarthy Srinivas R., Rumyantsev Alexander // Open Engineering. — 2018. — Vol. 8, no. 1. — P. 17—31.

146. Performance analysis and stability of multiclass orbit queue with constant retrial rates and balking [Текст] / E. Morozov [et al.] // Performance Evaluation. — 2019. — Vol. 134. — P. 102005.

147. Flash-Based Storage Deduplication Techniques: A Survey [Текст] / Ilya A. Chernov [et al.] // International Journal of Embedded and Real-Time Communication Systems (IJERTCS). — 2019. — Vol. 10, no. 3. — P. 32—48.

148. Morozov, E. On Failure Rate Comparison of Finite Multiserver Systems [Текст] / E. Morozov, I. Peshkova, A. Rumyantsev // Distributed Computer and Communication Networks. Vol. 11965. — Cham : Springer International Publishing, 2019. — P. 419—431. — (Lecture Notes in Computer Science).

149. R. Nekrasova. Regenerative Estimation of a Simultaneous Service Multiserver System with Speed Scaling [Текст] / R. Nekrasova, A. Rumyantsev // 2020 26th Conference of Open Innovations Association (FRUCT). — 2020. — P. 346—351.

150. Garimella, R. M. Autocorrelation Function Characterization of Continuous Time Markov Chains [Текст] / R. M. Garimella, D. G. Down, A. Rumyantsev // Proceedings of the Second International Workshop on Stochastic Modeling and Applied Research of Technology (SMARTY 2020). Vol. 2792. — 2020. — P. 226—234. — URL: http://ceur-ws.org/Vol-2792/#short2.

151. Chakravarthy, S. R. Analytical and simulation studies of queueing-inven-tory models with MAP demands in batches and positive phase type services [Текст] / S. R. Chakravarthy, A. Rumyantsev // Simulation Modelling Practice and Theory. — 2020. — Vol. 103. — P. 102092.

152. Chakravarthy, S. R. Analysis of a Queueing Model with Batch Markovian Arrival Process and General Distribution for Group Clearance [Текст] / S. R. Chakravarthy, Shruti, A. Rumyantsev // Methodology and Computing in Applied Probability. — 2020. — Vol. 23. — P. 1551—1579.

153. Sensitivity Analysis and Simulation of a Multiserver Queueing System with Mixed Service Time Distribution [Текст] / E. Morozov [et al.] // Mathematics. — 2020. — Vol. 8, no. 8. — P. 1277.

154. Morozov, E. V. Far-End-Tail Estimation of Queueing System Performance [Текст] / E. V. Morozov, I. V. Peshkova, A. S. Rumyantsev // Journal of Mathematical Sciences. — 2020. — Vol. 248, no. 1. — P. 80—91.

155. A Multi-Server Heterogeneous Queuing-Inventory System with Class-Dependent Inventory Access [Текст] / K. Rasmi [et al.] // Mathematics. — 2021. — Vol. 9, no. 9.

156. Astafiev, S. Distributed Computing of Embarrassingly Parallel R Applications using RBOINC Package [Текст] / S. Astafiev, A. Rumyantsev // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2021): материалы XXIV Междунар. научн. кон-фер, 20-24 сент. 2021 г., Москва. — М.: Ин-т проблем упр. им. В.А. Трапезникова Рос. акад. наук Минобрнауки РФ, 2021. — С. 155—160.

157. Astafiev, S. N. Distributed Computing of R Applications Using RBOINC Package with Applications to Parallel Discrete Event Simulation [Текст] / S. N. Astafiev, A. S. Rumyantsev // Distributed Computer and Communication Networks. — Cham : Springer International Publishing, 2022. — P. 396—407.

158. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Пакет hpcwld для программной среды вычислений R [Текст] / А. С. Румянцев ; А. С. Румянцев. — № 2011618397 ; заявл. 02.11.2011 ; опубл. 10.01.2012, 2012610210 (Рос. Федерация).

159. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Комплекс модулей для оценки энергоэффективности центров обработки данных [Текст] / Е. Е. Ивашко, А. С. Румянцев, А. Л. Чухарев ; И. К. РАН. — № 2014617049 ; заявл. 18.07.2014 ; опубл. 08.09.2014, 2014619073 (Рос. Федерация).

160. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Система визуализации использования вычислительного кластера [Текст] / Е. Е. Ивашко, А. С. Головин, А. С. Румянцев ; И. К. РАН. — № 2016616145 ; заявл. 14.06.2016 ; опубл. 05.08.2016, 2016618690 (Рос. Федерация).

161. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Клиент-серверная модель управления энергоэффективностью однопроцессорной системы массового обслуживания [Текст] / П. С. Зуева, А. С. Румянцев, А. С. Головин ; И. К. РАН. — № 2017616705 ; заявл. 10.07.2017 ; опубл. 01.09.2017, 2017619738 (Рос. Федерация).

162. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Веб-сервис визуализации состояния вычислительного кластера [Текст] /

А. Е. Шварц, А. С. Румянцев ; И. К. Р. ПетрГУ. — № 2016663684 ; заявл. 13.12.2016 ; опубл. 01.02.2017, 2017611265 (Рос. Федерация).

163. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Клиент-серверная модель управления энергоэффективностью многосерверной системы массового обслуживания [Текст] / А. С. Румянцев, А. С. Головин, К. А. Калинина ; И. К. РАН. — № 2018663208 ; заявл. 23.11.2018 ; опубл. 13.12.2018, 2018666193 (Рос. Федерация).

164. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Программный комплекс для стохастического моделирования систем параллельного обслуживания [Текст] / А. С. Румянцев ; А. С. Румянцев. — № 2020668108 ; заявл. 15.12.2020 ; опубл. 21.01.2021, 2021611099 (Рос. Федерация).

165. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Модуль статистической проверки цепи Маркова на нестационарность InstabilityTest [Текст] / С. Н. Астафьев, А. С. Румянцев ; И. К. РАН. — № 2021610459 ; заявл. 19.01.2021 ; опубл. 26.01.2021, 2021611329 (Рос. Федерация).

166. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Программный пакет simulate для программной среды вычислений R [Текст] / А. С. Румянцев [и др.] ; И. К. РАН. — № 2022611099 ; заявл. 28.01.2022 ; опубл. 07.02.2022, 2022612052 (Рос. Федерация).

167. Боровков, А. А. Теория вероятностей [Текст] / А. А. Боровков. —1999. — 470 с.

168. Dudin, A. N. The Theory of Queuing Systems with Correlated Flows [Текст] / A. N. Dudin, V. I. Klimenok, V. M. Vishnevsky. — Cham : Springer International Publishing, 2020. — 432 p.

169. Bremaud, P. Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation and Queues [Текст]. Vol. 31 / P. Bremaud. — Cham : Springer International Publishing, 2020. — 455 p. — (Texts in Applied Mathematics).

170. Meyn, S. P. Markov chains and stochastic stability [Текст] / S. P. Meyn, R. L. Tweedie. —Springer Science & Business Media, 2012. —567 с.

171. Melamed, B. On Markov Jump Processes Imbedded at Jump Epochs and Their Queueing-Theoretic Applications [Текст] / B. Melamed // Mathematics of Operations Research. — 1982. — Feb. — Vol. 7, no. 1. — P. 111—128.

172. Melamed, B. The ASTA Property [Текст] / B. Melamed, D. D. Yao // Advances in Queueing: Theory, Methods and Open Problems. —CRC Press, 1995. — С. 195—224.

173. Cohen, J. W. The Single Server Queue [Текст]. Vol. 8 / J. W. Cohen. — Elsevier, 1982. — 694 p. — (North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics).

174. Foster, F. G. On the Stochastic Matrices Associated with Certain Queuing Processes [Текст] / F. G. Foster // Ann. Math. Statist. — 1953. — Sept. — Vol. 24, no. 3. — P. 355—360. — Publisher: The Institute of Mathematical Statistics.

175. Pakes, A. G. Some Conditions for Ergodicity and Recurrence of Markov Chains [Текст] / A. G. Pakes // Operations Research. — 1969. — Дек. — Т. 17, № 6. — С. 1058—1061. — Publisher: INFORMS.

176. Bremaud, P. Event and time averages: a review [Текст] / P. Bremaud, R. Kan-nurpatti, R. Mazumdar // Advances in Applied Probability. — 1992. — June. — Vol. 24, no. 2. — P. 377—411.

177. Вишневский, В. М. Системы массового обслуживания с коррелированными входными потоками и их применение для моделирования телекоммуникационных сетей [Текст] / В. М. Вишневский, А. Н. Дудин // Автоматика и Телемеханика. —2017. — № 8. — С. 3—59.

178. Lucantoni, D. M. Numerical Methods for a Class of Markov Chains Arising in Queueing Theory [Текст] : tech. rep. / D. M. Lucantoni, M. F. Neuts. — 1978. — P. 107. — DTIC ADA055946.

179. Наумов, В. А. Мультипликативные решения конечных цепей Маркова [Текст] / В. А. Наумов, К. Е. Самуйлов, Ю. В. Гайдамака. — Москва : РУДН, 2015. —159 с.

180. Ефросинин, Д. Вычисление характеристик гибридного канала связи с пороговым управлением в случайной среде [Текст] / Д. Ефросинин // XII всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014, Москва, 16-19 июля 2014 года. — Москва:Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. — С. 8554—8565.

181. Szpankowski, W. Stability Conditions for Multidimensional Queueing Systems with Computer Applications [Текст] / W. Szpankowski // Operations Research. —1988. — Т. 36, № 6. — С. 944—957. —Publisher: INFORMS.

182. Rosberg, Z. A Positive Recurrence Criterion Associated with Multidimensional Queueing Processes [Текст] / Z. Rosberg // Journal of Applied Probability. — 1980. — Т. 17, № 3. — С. 790—801. —Publisher: Applied Probability Trust.

183. Miyazawa, M. A Markov Renewal Approach to M/G/1 Type Queues with Countably Many Background States [Текст] / M. Miyazawa // Queueing Systems. — 2004. — Jan. — Vol. 46, no. 1/2. — P. 177—196.

184. Foss, S. An overview of some stochastic stability methods [Текст] / S. Foss, T. Konstantopoulos // Journal of the Operations Research. — 2004. — Vol. 47, no. 4. — P. 275—303.

185. Bini, D. Numerical methods for structured Markov chains [Текст] / D. Bini, G. Latouche, B. Meini. — Oxford ; New York : Oxford University Press, 2005. —327 с. —(Numerical mathematics and scientific computation).

186. Rodriguez, J. M. A. Markovian arrivals in stochastic modelling: a survey and some new results [Текст] / J. M. A. Rodriguez, A. Gomez-Corral, Q.-M. He // SORT: statistics and operations research transactions. —2010. — Т. 34, № 2. — С. 101—156.

187. Lucantoni, D. M. New results on the single server queue with a batch markovian arrival process [Текст] / D. M. Lucantoni // Communications in Statistics. Stochastic Models. — 1991. — Jan. — Vol. 7, no. 1. — P. 1—46.

188. Neuts, M. An Algorithm for the P(n,t) Matrices of a Continuous BMAP [Текст] / M. Neuts, J.-M. Li // Matrix-Analytic Methods in Stochastic Models. — CRC Press, 1996. — С. 7—19.

189. Shanthikumar, J. G. Uniformization and Hybrid Simulation/Analytic Models of Renewal Processes [Текст] / J. G. Shanthikumar // Operations Research. — 1986. — Aug. — Vol. 34, no. 4. — P. 573—580.

190. Jensen, A. Markoff chains as an aid in the study of Markoff processes [Текст] / A. Jensen // Scandinavian Actuarial Journal. — 1953. — Jan. — Vol. 1953, sup1. — P. 87—91.

191. Грэхем, Р. Конкретная математика. Основание информатики [Текст] / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. —3-е изд. — Москва : Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. —703 с.

192. Nishimura, S. EIGENVALUE EXPRESSION FOR A BATCH MARKOVIAN ARRIVAL PROCESS [Текст] / S. Nishimura, H. Sato // Journal of the Operations Research Society of Japan. —1997. — Т. 40, № 1. — С. 122—132.

193. Chakravarthy, S. R. Markovian Arrival Processes [Текст] / S. R. Chakravarthy // Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. — American Cancer Society, 2011.

194. Chakravarthy, S. R. The batch Markovian arrival process: A review and future work [Текст] / S. R. Chakravarthy // Advances in Probability Theory and Stochastic Processes. — Notable Publications Inc., 2001. — P. 21—39.

195. Chakravarthy, S. R. Matrix-analytic queueing models [Текст] / S. R. Chakravarthy //An introduction to queueing theory: modeling and analysis in applications / под ред. U. N. Bhat. —2nd Edition, Birkhauser, 2015. — Гл. 8. С. 177—199.

196. Neuts, M. F. A versatile Markovian point process [Текст] / M. F. Neuts // Journal of Applied Probability. — 1979. — Dec. — Vol. 16, no. 04. — P. 764—779.

197. Lucantoni, D. M. A single-server queue with server vacations and a class of non-renewal arrival processes [Текст] / D. M. Lucantoni, K. S. Meier-Hellstern, M. F. Neuts // Advances in Applied Probability. — 1990. — Sept. — Vol. 22, no. 3. — P. 676—705.

198. Neuts, M. F. Structured stochastic matrices of M/G/1 type and their applications [Текст] / M. F. Neuts. —New York : Marcel Dekker, 1989. — 512 с. —(Probability, pure and applied ; 5).

199. Neuts, M. F. Models based on the Markovian arrival process [Текст] / M. F. Neuts // IEICE Transactions on Communications. — 1992. — Т. E75B. — С. 1255—1265.

200. Агафонов, В. Н. Нормальные последовательности и конечные автоматы [Текст] / В. Н. Агафонов // Доклады Академии наук СССР. —1968. — Т. 179, № 2. — С. 255—256.

201. Becher, V. Normal numbers and finite automata [Текст] / V. Becher, P. A. Heiber // Theoretical Computer Science. — 2013. — Vol. 477. — P. 109—116.

202. Andrews, G. E. The Theory of Partitions [Текст] / G. E. Andrews. — Cambridge University Press, 1984. —269 с.

203. Erd\Hos, P. On an elementary proof of some asymptotic formulas in the theory of partitions [Текст] / P. Erd\Hos // Annals of Mathematics. Second Series. — 1942. — Vol. 43. — P. 437—450.

204. Brualdi, R. A. Introductory Combinatorics [Текст] / R. A. Brualdi. — 5-е изд. — Pearson, 2009. — 648 с.

205. Brillinger, D. R. Time series: data analysis and theory [Текст] / D. R. Brillinger. — Philadelphia : Society for Industrial, Applied Mathematics, 2001. — 560 p. — (Classics in applied mathematics ; 36).

206. Downey, A. B. A parallel workload model and its implications for processor allocation [Текст] : tech. rep. / A. B. Downey ; Computer Science Division (EECS), University of California. — Berkeley, California 94720, 1996. — P. 31. — UCB/CSD-96—922.

207. Barbu, V. Discrete-Time Renewal Processes [Текст] / V. Barbu, N. Limnios // Semi-Markov Chains and Hidden Semi-Markov Models toward Applications: Their use in Reliability and DNA Analysis. — New York, NY : Springer New York, 2008. — С. 1—25.

208. Feller, W. Fluctuation theory of recurrent events [Текст] / W. Feller // Transactions of the American Mathematical Society. — 1949. — Jan. — Vol. 67, no. 1. — P. 98—98.

209. Beslin, S. J. Cofactor matrices [Текст] / S. J. Beslin // Linear Algebra and its Applications. — 1992. — Mar. — Vol. 165. — P. 45—52.

210. Hill, R. D. On the Matrix Adjoint (Adjugate) [Текст] / R. D. Hill, E. E. Underwood // SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods. — 1985. — Oct. — Vol. 6, no. 4. — P. 731—737.

211. Plemmons, R. J. M-matrix characterizations. I—nonsingular M-matrices [Текст] / R. J. Plemmons // Linear Algebra and its Applications. —1977. — Т. 18, № 2. — С. 175—188.

212. Grosof, I. Stability for Two-class Multiserver-job Systems [Текст] / I. Grosof, M. Harchol-Balter, A. Scheller-Wolf // arXiv:2010.00631 [cs]. — 2020. — arXiv: 2010.00631.

213. Fourneau, J. Product form for Stochastic Automata Networks [Текст] / J. Fourneau, B. Plateau, W. Stewart // Proceedings of the 2nd International ICST Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools. — Nantes, France : ICST, 2007.

214. Reversibility Checking for Markov Chains [Текст] / P. H. Brill [et al.] // Communications on Stochastic Analysis. — 2018. — Vol. 12, no. 2.

215. Taylor, P. Quasi-reversibility and networks of queues with nonstandard batch movements [Текст] / P. Taylor // Mathematical and Computer Modelling. — 2000. — Vol. 31, no. 10—12. — P. 335—341.

216. Walrand, J. Interconnections of Markov chains and quasi-reversible queuing networks [Текст] / J. Walrand, P. Varaiya // Stochastic Processes and their Applications. —1980. — Сент. — Т. 10, № 2. — С. 209—219.

217. Miyazawa, M. Reversibility in Queueing Models [Текст] / M. Miyazawa // Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. — American Cancer Society, 2013. — С. 1—19.

218. Kipnis, C. A dynamic storage process [Текст] / C. Kipnis, P. Robert // Stochastic processes and their applications. —1990. — Т. 34, № 1.

219. Vlasiou, M. Regenerative Processes [Текст] / M. Vlasiou // Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. —American Cancer Society, 2011.

220. Sigman, K. A review of regenerative processes [Текст] / K. Sigman, R. W. Wolff // SIAM Review. — 1993. — Vol. 35, no. 2. — P. 269—288.

221. Sigman, K. A note on the existence of regeneration times [Текст] / K. Sigman, H. Thorisson, R. W. Wolff // Journal of Applied Probability. —1994. — Т. 31, № 4. — С. 1116—1122.

222. Tijms, H. C. A first course in stochastic models [Текст] / H. C. Tijms. — New York : Wiley, 2003. — 478 p.

223. Billingsley, P. Probability and measure [Текст] / P. Billingsley. — 3rd ed. — New York : Wiley, 1995. — 593 p. — (Wiley series in probability and mathematical statistics).

224. Wolff, R. W. Poisson Arrivals See Time Averages [Текст] / R. W. Wolff // Operations Research. — 1982. — Т. 30, № 2. — С. 223—231. — Publisher: INFORMS.

225. El-Taha, M. Filtration of ASTA: a weak convergence approach [Текст] / M. El-Taha, S. Stidham // Journal of Statistical Planning and Inference. — 2002. — Feb. — Vol. 100, no. 2. — P. 171—183.

226. Miyazawa, M. Further Results on ASTA for General Stationary Processes and Related Problems [Текст] / M. Miyazawa, R. W. Wolff // Journal of Applied Probability. —1990. — Т. 27, № 4. — С. 792^04.

227. Konig, D. Extended and conditional versions of the PASTA property [Текст] /

D. Konig, V. Schmidt // Advances in Applied Probability. — 1990. — June. — Vol. 22, no. 2. — P. 510—512.

228. Artalejo, J. Single server retrial queues with two way communication [Текст] / J. Artalejo, T. Phung-Duc // Applied Mathematical Modelling. — 2013. — Feb. — Vol. 37, no. 4. — P. 1811—1822.

229. Sakurai, H. Two-way communication retrial queues with multiple types of outgoing calls [Текст] / H. Sakurai, T. Phung-Duc // TOP. — 2015. — July. — Vol. 23, no. 2. — P. 466—492.

230. Morozov, E. Regenerative Analysis of Two-Way Communication Orbit-Queue with General Service Time [Текст] / E. Morozov, T. Phung-Duc // Queueing Theory and Network Applications / под ред. Y. Takahashi [и др.]. —Springer International Publishing, 2018. — С. 22—32.

231. Avrachenkov, K. A retrial system with two input streams and two orbit queues [Текст] / K. Avrachenkov, P. Nain, U. Yechiali // Queueing Systems. — 2014. — May. — Vol. 77, no. 1. — P. 1—31.

232. Borovkov, A. A. Asymptotic Methods in Queueing Theory [Текст] / A. A. Borovkov. — New York : Wiley, 1984. — 303 p.

233. Morozov, E. Stability analysis of regenerative queueing systems [Текст] /

E. Morozov, R. Delgado // Automation and Remote Control. — 2009. — Т. 70, № 12. — С. 1977—1991.

234. Sigman, K. Queues as Harris recurrent Markov chains [Текст] / K. Sigman // Queueing Systems. —1988. — Т. 3, № 2. — С. 179—198.

235. Whitt, W. Embedded Renewal Processes in the GI/G/s Queue [Текст] / W. Whitt // Journal of Applied Probability. —1972. — Сент. — Т. 9, № 3. — С. 650.

236. Shaked, M. Stochastic orders [Текст] / M. Shaked, J. G. Shanthikumar. — New York : Springer, 2007. — 474 p. — (Springer series in statistics).

237. Billingsley, P. Convergence of probability measures [Текст] / P. Billingsley. — New York : Wiley, 1999. —287 с.

238. Koole, G. Resource allocation in grid computing [Текст] / G. Koole, R. Righter // Journal of Scheduling. — 2008. — June. — Vol. 11, no. 3. — P. 163—173.

239. Melamed, B. On Arrivals That See Time Averages [Текст] / B. Melamed, W. Whitt // Operations Research. — 1990. — Feb. — Vol. 38, no. 1. — P. 156—172.

240. Shanthikumar, J. G. INEQUALITIES BETWEEN EVENT AND TIME AVERAGES [Текст] / J. G. Shanthikumar, M. A. Zazanis // Probability in the Engineering and Informational Sciences. — 1999. — July. — Vol. 13, no. 3. — P. 293—308.

241. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах [Текст]. Т. 2 / В. Феллер. — М.: Мир, 1984. —738 с.

242. Morozov, E. The tightness in the ergodic analysis of regenerative queueing processes [Текст] / E. Morozov // Queueing Systems. —1997. — Т. 27, № 1/ 2. — С. 179—203.

243. Rinne, H. The Weibull distribution: a handbook [Текст] / H. Rinne. —Boca Raton : CRC Press, 2009. —808 с. —OCLC: 399755324.

244. Barlow, R. E. Mathematical Theory of Reliability [Текст] / R. E. Barlow, F. Proschan. — Society for Industrial, Applied Mathematics, 01.1996. — 274 с. — (Classics in Applied Mathematics).

245. Whitt, W. Comparing counting processes and queues [Текст] / W. Whitt // Advances in Applied Probability. — 1981. — Vol. 13, no. 1. — P. 207—220.

246. Wallace, V. L. The Solution of Quasi Birth and Death Processes Arising from Multiple Access Computer Systems [Текст] : дис. ... канд. / Wallace Victor L. —University of Michigan, 1969.

247. Evans, R. V. Geometric Distribution in Some Two-Dimensional Queuing Systems [Текст] / R. V. Evans // Operations Research. — 1967. — Vol. 15, no. 5. — P. 830—846.

248. DANIELLE, L. Determination of explicit solution for a general class of Markov processes [Текст] / L. DANIELLE // Matrix-Analytic Methods in Stochastic Models. —1996. — С. 343.

249. Rama Murthy, G. Equilibrium analysis of skip free markov chains: nonlinear matrix equations [Текст] / G. Rama Murthy, M. Kim, C. Edward J // Communications in Statistics. Stochastic Models. — 1991. — Jan. — Vol. 7, no. 4. — P. 547—571.

250. Gail, H. R. Spectral Analysis of M/G/1 and G/M/1 Type Markov Chains [Текст] / H. R. Gail, S. L. Hantler, B. A. Taylor // Advances in Applied Probability. — 1996. — Vol. 28, no. 1. — P. 114.

251. Bini, D. A. Solving matrix polynomial equations arising in queueing problems [Текст] / D. A. Bini, G. Latouche, B. Meini // Linear Algebra and its Applications. —2002. — Янв. — Т. 340, № 1. — С. 225—244.

252. Serfozo, R. F. Little laws for utility processes and waiting times in queues [Текст] / R. F. Serfozo // Queueing systems. — 1994. — Т. 17, № 1/2. — С. 137—181.

253. Keilson, J. A distributional form of Little's Law [Текст] / J. Keilson, L. D. Servi // Operations Research Letters. — 1988. — Т. 7, № 5. —

C. 223—227.

254. Fralix, B. H. A new look at transient versions of Little's law, and M/G/1 preemptive last-come-first-served queues [Текст] / B. H. Fralix, G. Riano // Journal of Applied Probability. —2010. — Т. 47. — С. 459—473.

255. Zwillinger, D. Standard mathematical tables and formulae [Текст] /

D. Zwillinger. —31st ed. —Boca Raton London New York [etc.] : Chapman & Hall/CRC, 2003. —857 с.

256. Goldberg, K. Upper bounds for determinant of a row stochastic matrix [Текст] / K. Goldberg // Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B Mathematics and Mathematical Physics. — 1966. — Apr. — Vol. 70B, no. 2. — P. 157.

257. Beuerman, S. L. State space expansions and the limiting behavior of quasi-birth-and-death processes [Текст] / S. L. Beuerman, E. J. Coyle // Advances in Applied Probability. — 1989. — June. — Vol. 21, no. 02. — P. 284—314.

258. Feldman, R. M. Utilization of the Method of Linear Matrix Equations to Solve a Quasi-Birth-Death Problem [Текст] / R. M. Feldman, B. L. Deuermeyer, C. Valdez-Flores // Journal of Applied Probability. —1993. — Т. 30, № 3. — С. 639—649. —Publisher: Applied Probability Trust.

259. Silvester, J. R. Determinants of block matrices [Текст] / J. R. Silvester // The Mathematical Gazette. — 2000. — Nov. — Vol. 84, no. 501. — P. 460—467.

260. Zhang, J. Transient analysis of quasi-birth-death processes [Текст] / J. Zhang, E. J. Coyle // Communications in Statistics. Stochastic Models. — 1989. — Jan. — Vol. 5, no. 3. — P. 459—496.

261. Principles of Cognitive Radio [Текст] / E. Biglieri [et al.]. — Cambridge : Cambridge University Press, 2012.

262. Ngaru, L. Energy-Efficient LoRaWAN Controlled Water Meter [Текст] / L. Ngaru, S. Masunda, T. Marisa // Proceedings of International Conference on Communication and Computational Technologies / ed. by S. Kumar [et al.]. — Singapore : Springer Singapore, 2021. — P. 35—47. — Series Title: Algorithms for Intelligent Systems.

263. Guy, L. A note on two matrices occurring in the solution of quasi-birth-and-death processes [Текст] / L. Guy // Stochastic Models. —1987. — Т. 3, № 2. — С. 251—257.

264. Valsa, J. Approximate formulae for numerical inversion of Laplace transforms [Текст] / J. Valsa, L. Brancik // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. — 1998. — May. — Vol. 11, no. 3. — P. 153—166.

265. Retrial queues with balanced call blending: analysis of single-server and multiserver model [Текст] / T. Phung-Duc [et al.] // Annals of Operations Research. — 2016. — Vol. 239, no. 2. — P. 429—449.

266. Balakrishnan, N. Permanents, Order Statistics, Outliers, and Robustness [Текст] / N. Balakrishnan // Revista Matemática Complutense. — 2007. — Vol. 20, no. 1. — P. 7—107.

267. Balakrishnan, N. A note on order statistics from Weibull distribution [Текст] / N. Balakrishnan, P. C. Joshi // Scandinavian Actuarial Journal. —1981. — Апр. — Т. 1981, № 2. — С. 121—122.

268. Buchholz, P. Input Modeling with Phase-Type Distributions and Markov Models [Текст] / P. Buchholz, J. Kriege, I. Felko. — Cham : Springer International Publishing, 2014. —127 с. —(SpringerBriefs in Mathematics).

269. Arnold, B. C. A first course in order statistics [Текст] / B. C. Arnold, N. Balakrishnan, H. N. Nagaraja. — Philadelphia, PA : SIAM, 2008. — 302 с. —(Classics in applied mathematics ; 54). —OCLC: ocn191882183.

270. Shao, Z. Scheduling heavy-tailed data traffic over the wireless internet [Текст] / Z. Shao, U. Madhow // Vehicular Technology Conference, 2002. Proceedings. VTC 2002-Fall. 2002 IEEE 56th. Т. 2. — IEEE, 2002. — С. 1158—1162.

271. Daley, D. The moment index of minima (II) [Текст] / D. Daley, C. M. Goldie // Statistics & Probability Letters. — 2006. — Vol. 76, no. 8. — P. 831—837.

272. Daley, D. J. The moment index of minima [Текст] / D. J. Daley // Journal of Applied Probability. — 2001. — Vol. 38, A. — P. 33—36.

273. Malik, H. J. Exact moments of order statistics from the Pareto distribution [Текст] / H. J. Malik // Scandinavian Actuarial Journal. —1966. — Т. 1966, № 3/4. — С. 144—157.

274. Huang, J. S. A Note on Order Statistics from Pareto Distribution [Текст] / J. S. Huang // Scandinavian Actuarial Journal. — 1975. — Vol. 1975, no. 3. — P. 187—190.

275. Embrechts, P. Modelling Extremal Events [Текст] / P. Embrechts, C. Klüp-pelberg, T. Mikosch. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1997. — 663 p.

276. Lieblein, J. On Moments of Order Statistics from the Weibull Distribution [Текст] / J. Lieblein // Ann. Math. Statist. — 1955. — Vol. 26, no. 2. — P. 330—333.

277. Sultan, K. S. Moments of Order Statistics from Weibull Distribution in the Presence of Multiple Outliers [Текст] / K. S. Sultan, M. E. Moshref // Communications in Statistics - Theory and Methods. — 2014. — Т. 43, № 10—12. — С. 2214—2226.

278. Scheller-Wolf, A. Sink or swim together: necessary and sufficient conditions for finite moments of workload components in FIFO multiserver queues [Текст] / A. Scheller-Wolf, R. Vesilo // Queueing Systems. — 2011. — Vol. 67, no. 1. — P. 47—61.

279. Joshi, G. Efficient redundancy techniques to reduce delay in Cloud systems [Текст] : дис. . . . канд. / Joshi Gauri. — Massachusetts Institute of Technology, 2016.

280. Hardy, G. H. Inequalities [Текст] / G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya. — 2nd ed. —Cambridge [etc.] : Cambridge university press, 1991. —340 с. — (The Cambridge mathematical library).

281. Kendall, D. G. Stochastic Processes Occurring in the Theory of Queues and their Analysis by the Method of the Imbedded Markov Chain [Текст] / D. G. Kendall // The Annals of Mathematical Statistics. —1953. — Т. 24, № 3. — С. 338—354.

282. Chakravarthy, S. R. Busy Period Analysis of $$\textit{GI/G/c}$$GI/G/c and $$\textit{MAP/G/c}$$MAP/G/c Queues [Текст] / S. R. Chakravarthy // Performance Prediction and Analytics of Fuzzy, Reliability and Queuing Models / ed. by K. Deep, M. Jain, S. Salhi. — Singapore : Springer Singapore, 2019. — P. 1—31.

283. Asmussen, S. Calculation of the steady state waiting time distribution in GI/PH/c and MAP/PH/c queues [Текст] / S. Asmussen, J. R. M0ller // Queueing systems. —2001. — Т. 37, № 1—3. — С. 9—29.

284. Feuillet, M. A scaling analysis of a transient stochastic network [Текст] / M. Feuillet, P. Robert [и др.] // Advances in Applied Probability. —2014. — Т. 46, № 2. — С. 516—535.

285. Glynn, P. W. Simulation methods for queues: An overview [Текст] / P. W. Glynn, D. L. Iglehart // Queueing Systems. —1988. — Т. 3, № 3. — С. 221—255.

286. Glynn, P. W. On Transience and Recurrence in Irreducible Finite-State Stochastic Systems [Текст] / P. W. Glynn, P. J. Haas // ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. — 2015. — May. — Vol. 25, no. 4. — P. 1—19.

287. Glynn, P. W. Laws of Large Numbers and Functional Central Limit Theorems for Generalized Semi-Markov Processes [Текст] / P. W. Glynn, P. J. Haas // Stochastic Models. — 2006. — Июль. — Т. 22, № 2. — С. 201—231. — Publisher: Taylor & Francis.

288. Crane, M. A. Simulating stable stochastic systems, I: General multiserver queues [Текст] / M. A. Crane, D. L. Iglehart // Journal of the ACM (JACM). —1974. — Т. 21, № 1. — С. 103—113.

289. Fourneau, J. M. Tradeoff between Accuracy and Efficiency in the Time-Parallel Simulation of Monotone Systems [Текст] / J. M. Fourneau, F. Quessette // Computer Performance Engineering. Vol. 7587 / ed. by D. Hutchison [et al.]. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2013. — P. 80—95. — Series Title: Lecture Notes in Computer Science.

290. Glynn, P. W. Some topics in regenerative steady-state simulation [Текст] / P. W. Glynn // Acta Applicandae Mathematicae. — 1994. — Feb. — Vol. 34, no. 1/2. — P. 225—236.

291. Whitt, W. The Efficiency of One Long Run versus Independent Replication in Steady-State Simulation [Текст] / W. Whitt // Manage. Sci. —1991. — Июнь. — Т. 37, № 6. — С. 645—666. —Place: Linthicum, MD, USA Publisher: INFORMS.

292. Andronov, A. Artificial regeneration points for stochastic simulation of complex systems [Текст] / A. Andronov // Simulation Technology: Science and Art. 10th European Simulation Symposium ESS'98. —SCS, Delft, The Netherlands, 1998. — С. 34—40.

293. Glynn, P. W. A central-limit-theorem version ofL= AW [Текст] / P. W. Glynn, W. Whitt // Queueing Systems. — 1986. — Т. 1, № 2. — С. 191—215.

294. Müller, A. Comparison Methods for Stochastic Models and Risks [Текст] / A. Müller, D. Stoyan. —Wiley, 2002. —352 с. — (Wiley Series in Probability and Statistics).

Список рисунков

1.1 Зависимость относительной ошибки (1.103) от глубины аппроксимации д для распределения лог-равномерного типа, распределения Ципфа с параметром ^ = 0.5 и равномерного распределения числа серверов, требующихся клиенту.......... 61

1.2 Зависимость максимальной пропускной способности Л(р(а),р^)) от параметров политики энергосбережения р (а),р(¿) £ (0,1] при

р1 = 0.5, Ц4 = 1,^2 = 10,¡1 = 1,¡2 = 3. Линии уровня

демонстрируют нелинейный характер зависимости........... 69

2.1 Зависимость оценки корреляции еог(Х(2)) величины орбит от вероятности 2 попадания клиента второго класса на орбиту в двухклассовой модели с параметрами, определенными в (2.42). ... 88

3.1 Иллюстрация выполнения неравенства (3.17) (при а = 1) и равенства (3.11) (при а = 1) в модели суперкомпьютера на основе рекурсий (3.27) и (3.28) в системе типа С/М/10, в которой время между приходами имеет распределение Вейбулла (3.29)........109

3.2 Зависимость оптимального порога К, решения задачи оптимизации (3.81), от допустимого отклонения у £ [0.05,1.5] в системе типа М/М/1 с переключением скорости обслуживания в моменты прихода клиентов в соответствии с уровнем незавершенной работы, при параметрах

¡1 = 1.25, ¡2 = 2.5, е(0) = 1, е{1 = 2, е^ = 4, Л = ^ = 1.........125

4.1 Решение (4.90) в переходном режиме для модели когнитивного радио при Л1 = 3, Ц4 = 5, = 2,р = 0.2, в = 4 и параметре Л2, выбранном в соответствии с (4.99). Сплошная линия: среднее число клиентов в момент £ ^ 0 (в изначально пустой системе),

пунктирная линия: среднее число клиентов в стационарном режиме. 158

4.2 Зависимость 8(р*а),Р{а)^ (слева) и ЕХ^'{а),Р{л)) (справа) от р( ¿) для р£ (0,1), где (Р(а),Р(^) ~ (0.79,0.75) является решением задачи (4.103). Сплошная линия: исследуемая характеристика, пунктирная вертикальная линия: оптимальное решение р((]] ~ 0.75. . 165

4.3 Сходимость EX(£) (сплошная линия) к EX (прерывистая) для модели суперкомпьютера типа М/М/2 с параметрами, определенными в (4.128)..........................168

4.4 Зависимость среднего числа клиентов первого класса ЕХе от интенсивности обслуживания клиентов второго класса

Ц-2 ^ [0.005,1] в модели системы с повторными вызовами постоянной интенсивности и одной орбитой, параметры системы указаны в (2.42), Ь2 = 0. Масштаб по оси абсцисс логарифмический. 170

5.1 Зависимость ECr,q (5.33), от параметров д = 1,... ,5; г = д,... ,5 в системе (с,г,д) — БМ МАР/РН-типа с распределением подзадания, имеющим фазовый тип и единичное среднее. Сплошная линия: гиперэкспоненциальное распределение с представлением (5.42), пунктирная линия: распределение Эрланга с 5 фазами и представлением (5.43)............................188

5.2 Зависимость ECrл (5.44), от параметров д = 1,... ,10; г = д,... ,10 в системе (с,г,д) — БМ МАР/С-типа с подзаданиями, имеющими распределение Парето с единичным средним и параметрами

х0 = 0.6, а = 2.5. На графике отмечены минимальные значения

цены при заданном фиксированном д в соответствии с (5.47).....191

5.3 Зависимость р из условия стационарности (5.107) от параметра

ц,2 = 0.5,1,... ,10 в двухклассовой системе обслуживания-запасания с параметрами системы (5.108) и параметрами входного ММАР-потока (5.109), для в = 5,3,1...................212

5.4 Зависимость = 0} (сплошная линия) и = 12} (прерывистая линия) от параметра ц2 = 0.5,1,... ,10 в двухклассовой системе обслуживания-запасания с параметрами системы (5.108) и параметрами входного ММАР-потока (5.109), для

в = 5,3,1...................................213

5.5 Зависимость ENl (сплошная линия) и EN2 (прерывистая линия) от параметра у = 1,... ,10 в двухклассовой системе обслуживания-запасания с параметрами системы (5.108) и параметрами входного ММАР-потока (5.109), при й = 5 и ц,2 = 10. . 214

6.1 Зависимость оценки средней потребляемой мощности £(р(-а),Р(-^ от параметров политики энергосбережения р(а),р(¿) £ (0,1) в 8-серверной модели суперкомпьютера, параметры которой заданы в разделе 6.2.2. Символ окружности малого радиуса определяет допустимые, а черная точка соответствует оптимальной конфигурации в задаче (4.103)....................... 231

6.2 Оценка и 95 % доверительный интверал для среднего числа клиентов в системе в 1000-серверной модели суперкомпьютера, параметры которой заданы в разделе 6.2.3, в зависимости от параметра / распределения Вейбулла (3.29), параметр Ь которого определен в (6.25).............................. 233