Методы измерения квантовых систем гарантированной точности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кузнецов Юрий Александрович

• Кузнецов Юрий Александрович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецов Юрий Александрович

Введение

Глава 1. Разработка метода гарантированной оценки точности

томографии квантовых состояний и процессов

1.1 Томография квантовых состояний

1.2 Томография квантовых процессов

1.3 Выводы по главе

Глава 2. Прецизионная томография оптических

поляризационных кубитов в условиях хроматической

аберрации квантовых преобразований

2.1 Волновые пластины как инструмент для схемы измерений протокола томографии

2.2 Фундаментальные основы взаимно-дополнительных квантовых измерений

2.3 Описание нечетких операторов измерения в условиях хроматической аберрации

2.4 Результаты моделирования

2.5 Карта функции потерь для чистых состояний

2.6 Полнота протокола измерений

2.7 Численные эксперименты

2.8 Выводы по главе

Глава 3. Протоколы квантовых измерений Лоренца и контроль

квантовых состояний кудитов

3.1 Преобразование протокола измерений с помощью преобразований Лоренца

3.2 Квантовые измерения для однокубитовых состояний

3.3 Численное моделирование сверхэффективных протоколов

3.4 Адаптивное отслеживание эволюции квантового состояния кудита

3.5 Протоколы томографии ионных кудитов

Стр.

3.6 Физическая реализация протоколов томографии ионных кудитов

3.7 Протоколы томографии на основе двухуровневых преобразований

3.8 Протокол томографии системы кудитов

3.9 Реконструкция состояний ионных кудитов

3.10 Псевдо-инверсия с проецированием

3.11 Корневой подход и метод максимального правдоподобия

3.12 Анализ протоколов томографии кудитов

3.13 Томография двухкутритного аналога вентиля ОКЭХ

3.14 Влияние фазовой релаксации на точность томографии кудитов

3.15 Выводы по главе

Заключение

Словарь терминов

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Управление поляризацией света с

использованием гаджета из полуволновой и четвертьволновой пластинок

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы измерения квантовых систем гарантированной точности»

Введение

Квантовая информатика представляет собой новую, быстро развивающуюся область науки и технологии, основанную на использовании квантовых систем для реализации принципиально новых методов вычислений и передачи сообщений (квантовые компьютеры и симуляторы, квантовые каналы связи, квантовая криптография) [1—3].

Фундаментальная проблема заключается в создании процессора с высокой производительностю, способного выполнять квантовые алгоритмы в экспоненциально большом вычислительном пространстве. В настоящее время предложены многие десятки различных физических платформ, на которых могут быть реализованы квантовые вычисления. Среди наиболее перспективных платформ можно выделить некоторые, в том числе системы на основе ионов в ловушках [4—8], системы на основе атомов в ловушках [9—13], сверхпроводниковые процессоры [14; 15] и фотонные чипы [16—18].

Осенью 2019 года группа ученых под руководством Джона Мартини-са (J. Martinis) из компании Google заявила о достижении так называемого квантового превосходства (quantum supremacy), которое было получено с использованием сверхпроводникового квантового процессора Sycamore, состоящего из 53 кубит. В статье [14], опубликованной в Nature в октябре 2019 года утверждалось, что процессор Sycamore выполнил за 200 секунд задание, на которое самому мощному на тот момент классическому суперкомпьютеру Summit потребовалось бы 10 тысяч лет. Однако, одновременно с публикацией результатов Google, специалисты компании IBM выступили с попыткой их опровержения, утверждая, что в такой вычислительной классической системе, как Summit, рассматриваемая задача может быть решена всего 2,5 дня или даже быстрее. Вопрос о степени состоятельности претензий Google на достижение квантового превосходства остаётся актуальной темой научных исследований.

В декабре 2020 года группа китайских ученых из the University of Science and Technology of China (USTC) с целью продемонстрировать квантовое превосходство реализовала бозонные выборки на 76 фотонах с помощью фотонного квантового компьютера Jiuzhang [16]. Авторы утверждают, что классическому современному суперкомпьютеру потребуется 600 миллионов лет вычислительного времени, чтобы сгенерировать количество отсчетов, которое их квантовый

процессор может сгенерировать за 20 секунд. В настоящее время активные работы в области квантовых информационных технологий ведутся и в России [19].

В 2021 году исследователи из Университета Инсбрука представили демонстрационный образец для квантовых вычислений [5], который умещается в двух 19-дюймовых серверных стойках и представляет собой первый в мире компактный квантовый компьютер с захваченными ионами, отвечающий высоким стандартам качества [5].

В недавнем препринте [20], опубликованном в апреле 2023 большим авторским коллективом исследователей Google (более 150 человек), говорится о создании квантового компьютера Google следующего поколения, содержащего 70 кубит. Утверждается, что новый квантовый процессор способен за 6,7 секунд выполнить вычисления, на которые у самого мощного на сегодня суперкомпьютера Frontier ушло бы 47 лет. По мнению исследователей, споры о том, достиг ли процессор Google квантового превосходства, теперь разрешены в пользу Google.

Несмотря на интенсивное развитие квантового компьютинга в течение более, чем четверть века, создание полномасштабного квантового компьютера всё ещё остаётся недостижимой мечтой для современных технологий. Вместе с тем, исследования, выполненные в последние годы, показали, что квантовое ускорение достижимо в реальной системе и не запрещено никакими скрытыми физическими законами. Можно констатировать, что существенный прогресс в области экспериментальных и технологических исследований вселяет реальную надежду на создание в среднесрочной перспективе квантовых вычислительных устройств, способных решать практически важные задачи.

Достигнутый уровень квантовых информационных разработок провозглашает новую эру зашумлённых квантовых технологий промежуточного масштаба NISQ (Noisy Intermediate Scale Quantum). Такие технологии, сами по себе, ещё до создания полномасштабных квантовых компьютеров, открывают новые довольно широкие вычислительные возможности, которые включают в себя методы оптимизации, машинное обучение, материаловедение, химию, а также ряд других научных и практических областей.

Необходимо обеспечить непрерывное совершенствование NISQ - технологий с тем, чтобы с течением времени открывались бы возможности для решения всё более сложных задач. Для решения поставленных задач критически важно разработать систему непрерывного мониторинга и прогнозирования характеристик точности и эффективности квантовых информационных устройств в

зависимости от степени их интеграции для вычислительных задач различной сложности и для различных уровней декогерентизации и квантовых шумов [21—23].

Создание квантовых аналогов классических алгоритмов, решающих различные алгебраические задачи, является важным направлением развития методов квантовой обработки информации [24]. Замечательно, что программирование на квантовых компьютерах IBM обеспечивает реальную площадку для практического тестирования такого рода алгоритмов [25—27].

Наряду с математическим моделированием квантовых операций и алгоритмов необходимо осуществлять их контроль в условиях реального эксперимента. Основным инструментом для этих целей служит томография квантовых состояний и процессов [28—40]. Квантовая томография призвана обеспечить интерфейс между разработкой элементной базы квантовых компьютеров и симуляторов и ее практическим воплощением. Методы численного анализа и статистического моделирования с учётом влияния квантовых шумов, а также результатов технологических и экспериментальных исследований позволяют дать исчерпывающую оценку качеству и эффективности проектируемых квантовых регистров, сформулировать требования к экспериментальному оборудованию и технологии, посредством обратной связи развиваемый подход позволяет наилучшим образом распорядиться имеющимися ресурсами для оптимизации процесса разработки квантовых информационных технологий [21; 41—44].

Математическая теория квантовых операций основана на использовании вероятностных операторно-значных мер (разложений единицы) и вполне положительных отображений операторных алгебр в гильбертовом пространстве [45; 46]. Квантовые операции сводятся к описанию редуцированной динамики открытых квантовых систем, в основе которой лежит концепция полной положительности, которая была обоснована А.С. Холево [47] в квантовой теории сообщений. Позже эта концепция была развита рядом исследователей в статистической механике (Краус [48], Линдблад [49], Горини и др. [50], Эванс и Льюис [51]).

Важно подчеркнуть, что концепция полной положительности может быть формализована посредством различных практически эквивалентных процедур, в том числе: на основе расширенной унитарной динамики открытой квантовой

системы, взаимодействующей с окружением; посредством операторного разложения Крауса; на основе изоморфизма Чоя-Ямилковского, а также на основе формализма квантовой марковской динамики.

В квантовых технологиях важную роль играет квантовая память, которая представляет собой квантово-механическую версию обычной компьютерной памяти. В то время как обычная память хранит информацию в виде двоичных классических состояний (представленных в виде логических 0 и 1), квантовая память хранит целое квантовое состояние для последующего извлечения. Квантовая память может использоваться в самых разных областях, включая квантовые вычисления и квантовую связь [52—55].

Ключевую роль в задачах контроля квантовых информационных технологий играют реалистичные измерительные системы, в которых измерения сопровождаются процессами декогерентизации. При этом целью исследователей является разработка таких методов и алгоритмов прецизионных квантовых измерений, которые обеспечивали бы точность, близкую к фундаментальному пределу, допускаемому квантовой механикой. На разработку методов прецизионных квантовых измерений в условиях сильной декогерентизации и шумов нацелена концепция нечётких квантовых измерений, предложенная и обоснованная в работах [56—59]. В рассматриваемой концепции формализованы понятия идеальных и неидеальных квантовых измерений. Показано, что неидеальные квантовые измерения могут быть представлены как смеси идеальных измерений. На основе корневого подхода был развит метод реконструкции квантовых состояний, подверженных декогерентизации. Была предложена информационная теория точности неидеальных квантовых измерений, основанная на мониторинге количества информации о параметрах квантового состояния, включая анализ деградации информации под действием шумов. Развитый подход позволяет выполнить исследование предельно достижимой точности, которая может быть достигнута в неидеальных квантовых измерениях. С математической точки зрения подход основан на том, что рассматривается зашумлённая квантовая операция, описываемая некоторыми операторами Крауса. Нечёткие измерения позволяют в определённом смысле полностью избавиться от декогерентизации квантовых состояний в задачай квантовой томографии, перенося влияние шума на операторы измерения. Вместо того, чтобы рассматривать, как шум в канале портит исходные состояния, производится измерение исходного неиспорченного состояния посредством модифицированных

операторов измерения, которые несут в себе всю информацию об имевшей место декогерентизации.

В качестве кубитов можно использовать поляризационные состояния света из-за их устойчивости к внешним воздействиям и возможности передавать информацию на большие расстояния. Поляризация света находит широкое применение в задачах как классической оптики (поляризационные фильтры, LCD-дисплеи, фазовые модуляторы), так и в квантовых информационных технологиях (квантовая связь, квантовая память, квантовые вычисления и квантовые симуляторы) [60—62]. В основе математического аппарата поляризационной квантовой оптики лежит квантомеханическое описание поляризационных квантовых состояний на основе векторов в гильбертовом пространстве. Измерение таких состояний в общем случае следует описывать на языке POVM-измерений (positive operator-valued measure - положительных операторо-значных измерений).

Фундаментальная по своей природе поляризационная степень свободы фотона одновременно является весьма удобным средством для кодирования и передачи квантовой информации посредством поляризационных кубитов. Однако, наличие у света спектральной степени свободы приводит к хроматической аберрации поляризационных квантовых преобразований, вызванной неодинаковым поведением различных спектральных компонент в материалах с двулучепреломлением [63—65]. Результатом такого влияния является возникновение систематических ошибок и существенное снижение точности квантовой томографии [66].

Основываясь на подходе нечётких квантовых измерений, был разработан метод реконструкции поляризационных квантовых состояний, устойчивый к хроматической аберрации, вызванной конечной спектральной шириной излучения [67]. Применение полученных результатов позволяет устранить систематические ошибки томографии, вызванные рассматриваемым эффектом.

К числу наиболее трудных задач квантовой томографии относится проблема восстановления смешанных состояний, близких к чистым [68]. Со статистической точки зрения, проблема заключается в следующем. Малость весов компонент смеси, добавляющихся к исходному чистому состоянию, приводит к весьма малому изменению регистрируемых статистических данных, что,

в свою очередь приводит к тому, что количество новой информации, возникающей в квантовых измерениях, оказывается недостаточным для прецизионной реконструкции смешанного состояния.

Эффективный путь решения рассматриваемой задачи может быть найден с использованием протоколов квантовых измерений Лоренца, основанных на методах специальной теории относительности [69]. В простейшем случае однокубитовых состояний оказывается, что помимо трехмерных вращений на сфере Блоха можно рассматривать четырехмерные псевдовращения, подобные преобразованиям, характерным для специальной теории относительности. Рассматриваемая теория базируется на спинорном представлении группы Лоренца [70; 71]. Оказывается, что протоколы квантовых измерений, основанные на преобразованиях Лоренца, не сводятся к разложению единицы (РОУМ) и могут быть сверхэффективными, обеспечивая более высокую точность, чем любые стандартные РОУМ-протоколы. В то же время, посредством введения дополнительного оператора измерений протоколы Лоренца могут быть дополнены до РОУМ. В случае состояний, которые обладают малой засоренностью и близки к чистым, дополнительный оператор измерения, соответствует слабому возмущению состояния, в то время как операторы измерения исходного протокола Лоренца задают сильные возмущения (таким образом, обратная связь обеспечивает реальный эффективный контроль квантовой системы, внося при этом только слабые возмущения в квантовое состояние). Для повышения точности реконструкции можно использовать алгоритмы адаптивной томографии.

Наряду с системами с одним кубитом, теория преобразований Лоренца, может быть, применена и к многоуровневым квантовым системам (кудитам) [72; 73]. На основе такой теории может быть разработан метод прецизионного контроля эволюции состояний кудитов посредством слабо возмущающих адаптивных квантовых измерений.

Заметим, что кудиты представляют собой перспективную платформу для масштабируемых квантовых вычислений [74; 75]. Квантовая томография и прецизионный контроль многоуровневых систем представляют собой актуальную задачу квантовых информационных технологий [76; 77]. С математической точки зрения измерение квантовых состояний кудитов произвольных размерностей связано с измерением квантовых состояний частиц с произвольным спином [78].

Высокая точность измерений состояний кудитов может быть обеспечена посредством реализации высокосимметричных протоколов квантовых измерений [79;

Сказанное выше обосновывает актуальность исследований, направленных на разработку методов квантовых измерений и томографии, обладающих высокой эффективность в условиях ограниченной выборки данных и способных учитывать неидеальный характер квантовых состояний, процессов и измерений.

Целью настоящего исследования является разработка методов томографии квантовых систем, в условиях декогерентизации и эволюции квантовых состояний во времени.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать метод гарантированной оценки точности квантовых операций, получаемой при измерениях.

2. Разработать адекватную модель измерений поляризационных квантовых состояний в условиях хроматической аберрации.

3. Разработать протокол томографии для реконструкции почти чистых квантовых состояний в условиях ограниченной выборки .

4. Разработать модель измерения ионных кудитов в условии эволюции состояний во времени.

Научная новизна:

1. Был разработан новый метод гарантированной оценки точности реализации квантовых операций, опирающийся на количественную оценку информации, получаемой при измерениях.

2. Был предложен новый протокол томографии, на основе формализма Джонса и подхода нечётких измерений, обеспечивающий создание адекватной модели поляризационных квантовых измерений в условиях хроматической аберрации, вызываемой паразитной дисперсией двулу-чепреломления.

3. Разработан метод адаптирования протокола измерений под томографию почти чистых квантовых состояний, основанный на формализме преобразований Лоренца и псевдовращениях Минковского-Стокса в 4-х мерном пространстве.

4. Предложен новый метод контроля эволюции состояний многомерных квантовых систем посредством слабо возмущающих адаптивных квантовых измерений. Метод включает в себя протокол томографии на основе двухуровневых преобразований ионных кудитов, обеспечивающий высокую точность реконструкции с низким уровнем систематических ошибок.

Практическая значимость. Полученные результаты имеют существенное значение для разработки, мониторинга и прогнозирования характеристик высокоточного контроля квантовых информационных систем на основе кубитов и многоуровневых систем (кудитов) различной физической природы.

Для существенного повышения адекватности и точности оптических поляризационных технологий может быть применена модель поляризационных квантовых измерений в условиях хроматической аберрации, вызываемой паразитной дисперсией двулучепреломления, с учетом конечной спектральной ширины света. В частности, применение разработанной модели измерений вместо модели стандартных проекционных измерений позволяет подавить систематические ошибки квантовой томографии даже при использовании волновых пластин высокого порядка.

Для повышения качества и эффективности квантовых информационных технологий на основе ионных кудитов имеют важное значение предложенные в настоящей работе протоколы, позволяющие оптимизировать томографию кудитов различной размерности, а также систем кудитов. Такая оптимизация

возможна на основе разработанной в настоящем исследовании методологии сравнительного анализа различных протоколов квантовой томографии кудитов с использованием матрицы полной информации и универсального распределения для точности статистической реконструкции квантовых состояний.

Протоколы квантовых измерений, основанные на преобразованиях Лоренца, позволяют осуществлять прецизионный контроль оптических поляризационных кубитов, а также кудитов на базе ионов и атомов в ловушках. Посредством слабо возмущающих адаптивных квантовых измерений разработанные алгоритмы позволяют осуществлять прецизионный контроль эволюции состояний кудитов.

Разработанный общий метод гарантированной оценки точности реализации квантовых операций, опирающийся на количественную оценку информации, получаемой при измерениях, имеет важное значения для контроля как сверхпроводниковых, так и оптических квантовых информационных технологий благодаря способности обеспечивать гарантированную точность томографии, близкую к фундаментальному физико-статистическому пределу.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод гарантированной оценки обеспечивает точность томографии, близкую к фундаментальному физико-статистическому пределу. Использование методов математической статистики позволяет осуществлять полный анализ информации и определять достижимый уровень точности томографии. Разработанный подход был применен для оценки качества преобразований на сверхпроводниковом квантовом процессоре компании IBM.

2. Протокол томографии на основе формализма Джонса и нечётких измерений обеспечивает значительное увеличение точности реконструкции поляризационных состояний по сравнению с стандартными методами. Показано, что при использовании волновых пластин в условиях хроматической аберрации, точность реконструкции стандартного протокола достигает определенного уровня и далее не растёт при увеличении выборки. Применение разработанной модели измерений вместо стандартной модели позволяет подавить систематические ошибки и повысить точность квантовой томографии даже при использовании волновых пластин высокого порядка.

3. Протокол томографии на основе четырехмерных псевдовращений обеспечивает высокую точность реконструкции почти чистых квантовые состояний по сравнению с стандартными протоколами. Данный протокол Лоренца не сводится к разложению единицы (РОУМ), но может быть дополнен посредством введения дополнительного оператора измерений до такового. Полученные аналитические оценки показывают, что протоколы квантовых измерений, основанные на преобразованиях Лоренца обеспечивая более высокую точность, чем любые стандартные РОУМ.

4. Предложен метод прецизионного контроля эволюции состояний многомерных квантовых систем (кудитов) посредством слабо возмущающих адаптивных квантовых измерений. Выполнена разработка методов томографии ионных кудитов. Выполнен сравнительный анализ различных протоколов квантовой томографии кудитов, включая протоколы, основанные на высокосимметричных наборах векторов состояний, на взаимно несмещенных базисах, а также на двухуровневых преобразованиях. Основываясь на матрице полной информации и универсальном распределении для точности статистической реконструкции квантовых состояний, количественно отслежена точность и эффективность квантовых измерений для кудитов различных размерностей применительно к набору случайных состояний, равномерно распределенных по мере Хаара.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением современных методов квантовой теории и математической статистики, а также сравнением результатов с работами других авторов. Выводы полученных теоретических результатов находятся в согласии с результатами численных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих российских и международных научных конференциях:

— Конференция по фотонике и квантовым технологиям (Россия, Казань, Свияжские Холмы, 16 — 18 декабря 2018г.);

— Международной конференции «Микро- и наноэлектроника — 2018» 1СМКЕ-2018 (Россия, Звенигород, 1 — 5 октября 2018г.);

— Международный форум Микроэлектроника - 2020 (Россия, Ялта 28 сентября — 3 октября 2020г.);

— Международной конференции «Микро- и наноэлектроника — 2021> (Россия, Звенигород, 4 — 8 октября 2021г.);

Личный вклад. Все представленные в работе результаты были либо получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Автор принимал прямое участие в постановке задач и анализе полученных результатов, а также в подготовке публикаций в научных журналах и докладов на тематических конференциях.

В Главе 1 разработан метод гарантированной оценки точности квантовой томографии, опирающийся на количественную оценку информации, получаемой при измерениях. Произведена томография однокубитового преобразования на сверхпроводниковом квантовом процессоре компании IBM. Описаны методы моделирования квантовых операций с учётом квантовых шумов, основанные на формализме квантовых операций: метод операторной суммы и изоморфизм Чоя-Ямилковского. Рассмотрена томография квантовых состояний, основанная на корневом подходе и методе максимального правдоподобия.

В Главе 2 разработан алгоритм формирования адекватной модели поляризационных квантовых измерений в условиях хроматической аберрации, вызываемой паразитной дисперсией двулучепреломления, с учетом конечной спектральной ширины света. С использованием подхода на основе матрицы полной информации, выполнен анализ влияния хроматической аберрации на достижимую точность реконструкции однокубитовых состояний в зависимости от ширины спектра излучения и объёма выполненных квантовых измерений.

В Главе 3 исследована связь между процедурой квантовых измерений с использованием формализма преобразований Лоренца и задачей контроля квантовой системы посредством её слабого возмущения. Показано, что помимо трехмерных вращений на сфере Блоха можно рассматривать четырехмерные псевдовращения, подобные преобразованиям Лоренца, характерным для специальной теории относительности. Наряду с системами с одним кубитом, теория преобразований Лоренца может быть применена и к системам произвольных размерностей. Показано, что протоколы квантовых измерений, основанные на преобразованиях Лоренца, не сводятся к разложению единицы (POVM) и могут быть сверхэффективными, обеспечивая более высокую точность, чем любые стандартные POVM-протоколы. Предложен метод прецизионного контроля эволюции состояний многомерных квантовых систем (кудитов) посредством слабо возмущающих адаптивных квантовых измерений. Показано,

что в совокупности с обеспечением контроля квантовой системы посредством её слабого возмущения, разработанные алгоритмы контроля эволюции состояний кудитов могут быть сверхэффективными. Представлена разработка методов томографии ионных кудитов. Предложены протоколы, позволяющие выполнять томографию кудитов различной размерности, а также систем кудитов. Выполнен сравнительный анализ различных протоколов квантовой томографии кудитов. Основываясь на матрице полной информации и универсальном распределении для точности статистической реконструкции квантовых состояний, количественно отслежена точность и эффективность квантовых измерений для кудитов различных размерностей.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных изданиях, 9 из которых изданы в журналах, входящих в перечень ВАК, в базы RSCI и Scopus, 4— в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 113 страниц, включая 25 рисунков и 7 таблиц. Список литературы содержит 115 наименований.

Глава 1. Разработка метода гарантированной оценки точности томографии квантовых состояний и процессов

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецов Юрий Александрович, 2024 год

Список литературы

1. Валиев, К. А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность / К. А. Ва-лиев, А. А. Кокин. — Ижевск : РХД, 2001. — 352 с.

2. Нильсен, М. Квантовые вычисления и квантовая информация / М. Нильсен, И. Чанг. — Мир, 2006. — 824 с.

3. Прескилл, Д. Квантовая информация и квантовые вычисления. Т. 1 / Д. Прескилл. — М.-Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2008. — С. 464.

4. Observation of a many-body dynamical phase transition with a 53-qubit quantum simulator / J. Zhang, G. Pagano, P. W. Hess, [et al.] // Nature. 2017. — Vol. 551, no. 7682. — P. 601—604.

5. Compact Ion-Trap Quantum Computing Demonstrator / I. Pogorelov, T. Feldker, C. D. Marciniak, [et al.] // PRX Quantum. — 2021. — June. -Vol. 2, issue 2. — P. 020343. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PRXQuantum.2.020343.

6. Определение скорости нагрева и температуры ионных цепочек в линейной ловушке Пауля по дефазировке осцилляций Раби / Н. В. Семенин, А. С. Борисенко, И. В. Заливако, И. А. Семериков, М. Д. Аксенов, К. Ю. Хабарова, Н. Н. Колачевский // Письма в ЖЭТФ. — 2022. -Т. 116, вып. 2. — С. 74—79.

7. Оптимизация достоверности считывания квантового состояния оптического кубита в ионе иттербия 171Yb+ / Н. В. Семенин, А. С. Борисенко, И. В. Заливако, И. А. Семериков, К. Ю. Хабарова, Н. Н. Колачевский // Письма в ЖЭТФ. — 2021. — Т. 114, вып. 8.

8. Экспериментальное исследование оптического кубита на квадрупольном переходе 435 нм в ионе 171Yb+ / И. В. Заливако, И. А. Семериков, А. С. Борисенко, М. Д. Аксенов, К. Ю. Хабарова, Н. Н. Колачевский // Письма в ЖЭТФ. — 2021. — Т. 114, вып. 2. — С. 53—59.

9. Quantum computing with neutral atoms / L. Henriet, L. Beguin, A. Signóles, T. Lahaye, A. Browaeys, G.-O. Reymond, C. Jurczak // Quantum. — 2020. — Sept. — Vol. 4. — P. 327. — URL: https://doi.org/10.22331/q-2020-09-21-327.

10. Probing many-body dynamics on a 51-atom quantum simulator / H. Bernien, S. Schwartz, A. Keesling, [et al.] // Nature. —2017. — Vol. 551, no. 7682. — P. 579—584.

11. Coupled dynamics of spin qubits in optical dipole microtraps: Application to the error analysis of a Rydberg-blockade gate / L. V. Gerasimov, R. R. Yusupov, A. D. Moiseevsky, [et al.] // Phys. Rev. A. — 2022. Oct. — Vol. 106, issue 4. — P. 042410. — URL: https://link.aps.org/doi/ 10.1103/PhysRevA.106.042410.

12. Dynamics of a spin qubit in an optical dipole trap / L. V. Gerasimov, R. R. Yusupov, I. B. Bobrov, D. Shchepanovich, E. V. Kovlakov, S. S. Straupe, S. P. Kulik, D. V. Kupriyanov // Phys. Rev. A. — 2021. — June. Vol. 103, issue 6. — P. 062426. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevA.103.062426.

13. Raman sideband cooling of a single atom in an optical dipole trap: Toward a theoretical optimum in a three-dimensional regime / V. M. Porozova, L. V. Gerasimov, I. B. Bobrov, S. S. Straupe, S. P. Kulik, D. V. Kupriyanov // Phys. Rev. A. — 2019. — Apr. — Vol. 99, issue 4. — P. 043406. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.99.043406.

14. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor / F. Arute, K. Arya, R. Babbush, [et al.] // Nature. — 2019. — Oct. — Vol. 574, no. 7779. — P. 505—510. — URL: https://doi.org/10.1038/s41586-019-1666-5.

15. Planar Architecture for Studying a Fluxonium Qubit / I. N. Moskalenko, I. S. Besedin, I. A. Tsitsilin, [et al.] // JETP Letters. — 2019. — Oct. — Vol. 110, no. 8. — P. 574—579. — URL: https://doi.org/10.1134/ S0021364019200074.

16. Quantum computational advantage using photons / H.-S. Zhong, H. Wang, Y.-H. Deng, [et al.] // Science. — 2020. — Vol. 370, no. 6523.

P. 1460—1463.

17. Linear optical circuits characterization by means of thermal field correlation measurement / K. G. Katamadze, G. V. Avosopiants, A. V. Romanova, Y. I. Bogdanov, S. P. Kulik // Laser Physics Letters. — 2021. — Vol. 18, no. 7. — P. 075201.

18. Time-domain Hong-Ou-Mandel interference of quasi-thermal fields and its application in linear optical circuit characterization / A. V. Romanova, K. G. Katamadze, G. V. Avosopiants, [et al.] // Optics Letters. — 2022. -Vol. 47, no. 18. — P. 4708—4711.

19. Quantum technologies in Russia / A. K. Fedorov, A. V. Akimov, J. D. Bi-amonte, [et al.] // Quantum Sci. Technol. — 2019. — Vol. 4, no. 4.

P. 40501.

20. Phase transition in random circuit sampling / A. Morvan, B. Villalonga, X. Mi, [et al.] // arXiv preprint arXiv:2304.11119. — 2023.

21. Методы анализа качества элементной базы квантовых информационных технологий / Ю. И. Богданов, Д. В. Фастовец, Б. И. Бантыш [и др.] // Квантовая электроника. — 2018. — Т. 48, № 11. — С. 1016—1022.

22. Решение уравнения Шредингера на квантовом компьютере методом Залки-Визнера с учетом квантовых шумов / Ю. И. Богданов, Н. А. Богданова, Д. В. Фастовец, В. Ф. Лукичев // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2021. — Т. 114, № 6. — С. 391—399.

23. Continuous monitoring for noisy intermediate-scale quantum processors / Y. F. Zolotarev, I. A. Luchnikov, J. A. Lpez-Saldvar, A. K. Fedorov, E. O. Kik-tenko // Physical Review Applied. — 2023. — Vol. 19, no. 1. — P. 014027.

24. Harrow, A. W. Quantum algorithm for linear systems of equations / A. W. Harrow, A. Hassidim, S. Lloyd // Physical review letters. — 2009. — Vol. 103, no. 15. — P. 150502.

25. Doronin, S. I. Solving systems of linear algebraic equations via unitary transformations on quantum processor of IBM Quantum Experience / S. I. Doronin, E. B. Fel'dman, A. I. Zenchuk // Quantum Information Processing. — 2020. — Vol. 19, no. 2. — P. 68.

26. Doronin, S. I. Simulation of three-spin evolution under XX Hamilto-nian on quantum processor of IBM-Quantum Experience / S. I. Doronin, E. B. Fel'dman, A. I. Zenchuk // Quantum Information Processing. 2021. — Vol. 20, no. 8. — P. 264.

27. Calculation of n on the IBM quantum computer and the accuracy of one-qubit operations / G. A. Bochkin, S. I. Doronin, E. B. Fel'dman, A. I. Zenchuk // Quantum Information Processing. — 2020. — Vol. 19, no. 8. — P. 257.

28. Banaszek, K. Focus on quantum tomography / K. Banaszek, M. Cramer,

D. Gross// New Journal of Physics. —2013. — Vol. 15, no. 12. — P. 125020.

29. Kiktenko, E. O. Estimating the precision for quantum process tomography /

E. O. Kiktenko, D. N. Kublikova, A. K. Fedorov // Optical Engineering. -2020. — Vol. 59, no. 6. — P. 061614—061614.

30. Towards higher precision and operational use of optical homodyne tomograms / M. Bellini, A. S. Coelho, S. N. Filippov, V. I. Man'ko, A. Zavatta // Physical Review A. — 2012. — Vol. 85, no. 5. — P. 052129.

31. Filippov, S. N. Optical tomography of Fock state superpositions / S. N. Filippov, V. I. Man'ko // Physica Scripta. — 2011. — Vol. 83, no. 5.

P. 058101.

32. Filippov, S. N. Measuring microwave quantum states: Tomogram and moments / S. N. Filippov, V. I. Man'ko // Physical Review A. — 2011. Vol. 84, no. 3. — P. 033827.

33. D'Ariano, G. M. Quantum state estimation / G. M. D'Ariano, M. G. Paris, M. F. Sacchi // Lecture Notes in Physics. — 2004. — Vol. 649. — P. 9.

34. Vogel, K. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase / K. Vogel, H. Risken // Physical Review A. — 1989. — Vol. 40, no. 5. — P. 2847.

35. Measurement of qubits / D. F. James, P. G. Kwiat, W. J. Munro, A. G. White // Physical Review A. — 2001. — Vol. 64, no. 5. — P. 052312.

36. Богданов, Ю. И. Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем / Ю. И. Богданов, Л. А. Кривицкий, С. П. Кулик // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2003. — Т. 78, № 6. — С. 804—809.

37. Богданов, Ю. И. Основные понятия классической и квантовой статистики: корневой подход / Ю. И. Богданов // Оптика и спектроскопия. -2004. — Т. 96, № 5. — С. 735—746.

38. Qutrit state engineering with biphotons / Y. I. Bogdanov, M. V. Chekhova, S. P. Kulik, G. A. Maslennikov, A. A. Zhukov, C. H. Oh, M. K. Tey // Physical Review Letters. — 2004. — Vol. 93, no. 23.

39. Statistical reconstruction of qutrits / Y. I. Bogdanov, M. V. Chekhova, L. A. Krivitsky, [et al.] // Physical Review A. — 2004. — Vol. 70, no. 4. — P. 042303.

40. Fedorov, A. K. Feynman integral and perturbation theory in quantum tomography / A. K. Fedorov // Physics Letters A. — 2013. — Vol. 377, no. 37. — P. 2320—2323.

41. Богданов, Ю. И. Унифицированный метод статистического восстановления квантовых состояний, основанный на процедуре очищения / Ю. И. Богданов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2009. — Т. 135, № 6. — С. 1068—1078.

42. Statistical estimation of the efficiency of quantum state tomography protocols / Y. I. Bogdanov, G. Brida, M. Genovese, S. P. Kulik, E. V. Moreva, A. P. Shurupov // Physical review letters. — 2010. — Vol. 105, no. 1. — P. 010404.

43. Statistical estimation of quantum tomography protocols quality / Y. I. Bogdanov, G. Brida, I. D. Bukeev, [et al.] // Phys. Rev. A. — 2011. Vol. 84. — P. 042108.

44. Богданов, Ю. И. Исследование адекватности, полноты и точности протоколов квантовых измерений / Ю. И. Богданов, И. Д. Букеев, А. К. Гаври-ченко // Оптика и спектроскопия. — 2011. — Т. 111, № 4. — С. 680—689.

45. Холево, А. С. Квантовые системы, каналы, информация / А. С. Холево // М.: МЦНМО. — 2010. — Т. 328. — С. 13.

46. Holevo, A. S. Quantum channels and their entropic characteristics / A. S. Holevo, V. Giovannetti // Reports on progress in physics. — 2012. — Vol. 75, no. 4. — P. 046001.

47. Холево, А. С. К математической теории квантовых каналов связи / А. С. Холево // Проблемы передачи информации. — 1972. — Т. 8, № 1. -

C. 62—71.

48. States, Effects, and Operations Fundamental Notions of Quantum Theory: Lectures in Mathematical Physics at the University of Texas at Austin / K. Kraus, A. Bohm, J. D. Dollard, W. Wootters. — Springer, 1983.

49. Lindblad, G. Completely positive maps and entropy inequalities / G. Lind-blad // Communications in Mathematical Physics. — 1975. — Vol. 40. — P. 147—151.

50. Properties of quantum Markovian master equations / V. Gorini, A. Frige-rio, M. Verri, A. Kossakowski, E. Sudarshan // Reports on mathematical physics. — 1978. — Vol. 13, no. 2. — P. 149—173.

51. Evans, D. E. Dilations of irreversible evolutions in algebraic quantum theory /

D. E. Evans, J. T. Lewis. — Dublin Institute for Advanced Studies, 1977.

52. Lvovsky, A. I. Optical quantum memory / A. I. Lvovsky, B. C. Sanders, W. Tittel // Nature photonics. — 2009. — Vol. 3, no. 12. — P. 706—714.

53. Le Go^t, J.-L. Quantum memory / J.-L. Le Go^t, S. A. Moiseev // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2012. — Vol. 45, no. 12. — P. 120201.

54. Миннегалиев, М. М. Реализация протокола квантовой памяти на основе восстановления сигнала подавленного эха в ортогональной геометрии на телекоммуникационной длине волны / М. М. Миннегалиев, К. И. Герасимов, С. А. Моисеев // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2023. — Т. 117, № 11. — С. 867—875.

55. Моисеев, С. А. Многорезонаторная квантовая память с одиночными атомами / С. А. Моисеев, Н. С. Перминов, А. М. Желтиков // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2022. — Т. 115, № 6. — С. 353—359.

56. Quantum states tomography with noisy measurement channels / Y. I. Bog-danov, B. I. Bantysh, N. A. Bogdanova, A. B. Kvasnyy, V. F. Lukichev // International Conference on Micro-and Nano-Electronics 2016. Vol. 10224. — SPIE. 2016. — P. 696—705.

57. Tomography of multi-photon polarization states in conditions of non-unit quantum efficiency of detectors / Y. I. Bogdanov, B. I. Bantysh, N. A. Bog-danova, V. F. Lukichev // Laser Physics. — 2018. — Vol. 28, no. 2.

P. 025204.

58. Bantysh, B. I. High-fidelity quantum tomography with imperfect measurements / B. I. Bantysh, D. V. Fastovets, Y. I. Bogdanov // International Conference on Micro-and Nano-Electronics 2018. Vol. 11022. — SPIE. 2019. — P. 697—708.

59. Прецизионная томография квантовых состояний в условиях нечетких квантовых измерений / Б. И. Бантыш, Ю. И. Богданов, Н. А. Богданова, Ю. А. Кузнецов // Труды ФТИАН. — 2020. — Т. 29. — С. 18—42.

60. Goldstein, D. H. Polarized light / D. H. Goldstein. — CRC press, 2017.

61. Slussarenko, S. Photonic quantum information processing: A concise review / S. Slussarenko, G. J. Pryde // Applied Physics Reviews. — 2019. — Vol. 6, no. 4.

62. Long-distance free-space quantum key distribution in daylight towards inter-satellite communication / S.-K. Liao, H.-L. Yong, C. Liu, [et al.] // Nature Photonics. — 2017. — Vol. 11, no. 8. — P. 509—513.

63. Ghosh, G. Dispersion-equation coefficients for the refractive index and birefringence of calcite and quartz crystals / G. Ghosh // Optics communications. — 1999. — Vol. 163, no. 1—3. — P. 95—102.

64. Quantum polarization transformations in anisotropic dispersive media / Y. I. Bogdanov, A. A. Kalinkin, S. P. Kulik, E. V. Moreva, V. A. Shershulin // New Journal of Physics. — 2013. — Vol. 15, no. 3. — P. 035012.

65. Оптическое поляризационное эхо: проявление и исследование методами квантовой томографии состояний и процессов / Ю. И. Богданов, Б. И. Бантыш, А. А. Калинкин, С. П. Кулик, Е. В. Морева, В. А. Шершу-лин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2014. — Т. 145, № 6. — С. 963—975.

66. Error-compensation measurements on polarization qubits / Z. Hou, H. Zhu, G.-Y. Xiang, C.-F. Li, G.-C. Guo // JOSA B. — 2016. — Vol. 33, no. 6. — P. 1256—1265.

67. Precise tomography of optical polarisation qubits under conditions of chromatic aberration of quantum transformations / B. I. Bantysh, Y. I. Bogdanov, N. A. Bogdanova, Y. A. Kuznetsov // Laser Physics Letters. — 2020. Vol. 17, no. 3. — P. 035205.

68. Статистическое восстановление смешанных состояний поляризационных кубитов / Ю. И. Богданов, А. К. Гавриченко, К. С. Крав^в, С. П. Кулик, Е. В. Морева, А. А. Соловьев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2011. — Т. 140, № 2. — С. 224—235.

69. The concept of weak measurements and the super-efficiency of quantum tomography / Y. I. Bogdanov, N. A. Bogdanova, B. I. Bantysh, Y. A. Kuznetsov // International Conference on Micro-and Nano-Electron-ics 2018. Vol. 11022. — SPIE. 2019. — P. 709—720.

70. Wigner, E. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group / E. Wigner // Annals of mathematics. — 1939. — P. 149—204.

71. Naimark, M. A. Representations of groups and algebras in spaces with indefinite metric / M. A. Naimark, R. S. Ismagilov // Mathematical Analysis. — 1971. — P. 73—109.

72. Преобразование Лоренца и его обобщения в задачах прецизионного контроля состояний многоуровневых квантовых систем / Ю. И. Богданов, Н. А. Богданова, Ю. А. Кузнецов, В. Ф. Лукичев // Микроэлектроника. — 2022. — Янв. — Т. 51. — С. 83—94.

73. High-fidelity tracking of the evolution of multilevel quantum states / Y. I. Bogdanov, N. A. Bogdanova, Y. A. Kuznetsov, V. F. Lukichev // International Conference on Micro-and Nano-Electronics 2021. Vol. 12157. — SPIE. 2022. — P. 623—631.

74. Single qudit realization of the Deutsch algorithm using superconducting many-level quantum circuits / E. O. Kiktenko, A. K. Fedorov, A. A. Strakhov, V. I. Man'ko // Physics Letters A. — 2015. — Vol. 379, no. 22/23.

P. 1409—1413.

75. Scalable quantum computing with qudits on a graph / E. O. Kiktenko, A. S. Nikolaeva, P. Xu, G. V. Shlyapnikov, A. K. Fedorov // Physical Review A. — 2020. — Vol. 101, no. 2. — P. 022304.

76. Квантовая томография ионных кудитов / Б. И. Бантыш, Ю. И. Богданов, Д. В. Фастовец, Ю. А. Кузнецов // Наноиндустрия. — 2020. — Т. 13, S5—3. — С. 790—793.

77. Bantysh, B. I. Quantum tomography of noisy ion-based qudits / B. I. Bantysh, Y. I. Bogdanov // Laser Physics Letters. — 2020. — Vol. 18, no. 1.

P. 015203.

78. Bogdanov, Y. I. Quantum tomography of arbitrary spin states of particles: root approach / Y. I. Bogdanov // Quantum Informatics 2005. Vol. 6264. — SPIE. 2006. — P. 23—32.

79. Bogdanov, Y. I. Finite frames constructed by solving Fekete problem and accuracy of quantum tomography protocols based on them / Y. I. Bogdanov, L. V. Belinsky // International Conference on Micro-and Nano-Electronics 2014. Vol. 9440. — SPIE. 2014. — P. 494—501.

80. Богданов, Ю. И. Оптимизация протоколов томографии квантовых состояний на основе решения задачи Томсона / Ю. И. Богданов, Л. В. Белинский // Труды ФТИАН. — 2015. — Т. 25. — С. 90—98.

81. Kiktenko, E. O. Confidence polytopes for quantum process tomography / E. O. Kiktenko, D. O. Norkin, A. K. Fedorov // New Journal of Physics. — 2021. — Vol. 23, no. 12. — P. 123022.

82. Математическое моделирование влияния квантовых шумов на качество элементной базы квантовых компьютеров / Ю. И. Богданов,

B. Ф. Лукичев, С. А. Нуянзин, А. А. Орликовский, А. С. Холево, А. Ю. Чернявский // Труды ФТИАН. М. Наука. — 2012. — Т. 22. —

C. 39—77.

83. Bohr, N. Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics / N. Bohr. — 1949.

84. Analysis of quantum tomography protocol efficiency for triphoton polarization states / Y. I. Bogdanov, Y. A. Kuznetsov, G. V. Avosopyants, K. G. Kata-madze, L. V. Belinsky, N. A. Borshchevskaya // International Conference on Micro-and Nano-Electronics 2016. Vol. 10224. — SPIE. 2016.

P. 724—734.

85. Fisher, R. A. On the mathematical foundations of theoretical statistics / R. A. Fisher // Philosophical transactions of the Royal Society of London. Series A, containing papers of a mathematical or physical character. — 1922. — Vol. 222, no. 594—604. — P. 309—368.

86. Боровков, А. А. Математическая статистика. Проверка гипотез. Оценка параметров / А. А. Боровков. — 1984.

87. Chuang, I. L. Prescription for experimental determination of the dynamics of a quantum black box / I. L. Chuang, M. A. Nielsen // Journal of Modern Optics. — 1997. — Vol. 44, no. 11/12. — P. 2455—2467.

88. On mutually unbiased bases / T. Durt, B.-G. Englert, I. Bengtsson, K. Zy-czkowski // International journal of quantum information. — 2010. —Vol. 8, no. 04. — P. 535—640.

89. Planat, M. A survey of finite algebraic geometrical structures underlying mutually unbiased quantum measurements / M. Planat, H. C. Rosu, S. Perrine // Foundations of Physics. — 2006. — Vol. 36. — P. 1662—1680.

90. Wootters, W. K. Optimal state-determination by mutually unbiased measurements / W. K. Wootters, B. D. Fields // Annals of Physics. — 1989. Vol. 191, no. 2. — P. 363—381.

91. Преобразование Лоренца и его обобщения в задачах прецизионного контроля состояний многоуровневых квантовых систем / Ю. И. Богданов, Н. А. Богданова, Ю. А. Кузнецов, В. Ф. Лукичев // микроэлектроника. — 2022. — Т. 51, № 2. — С. 83—94.

92. Прецизионная томография кудитов / Ю. И. Богданов, Н. А. Богданова, К. Б. Кокшаров, Ю. А. Кузнецов, В. Ф. Лукичев // Микроэлектроника. — 2023. — Т. 52, № 3. — С. 174—182.

93. Прецизионная томография кудитов / Ю. И. Богданов, Н. А. Богданова, Ю. А. Кузнецов, В. Ф. Лукичев // Наноиндустрия. — 2023. — Т. 16, № 119. — С. 433—436.

94. Прецизионный контроль эволюции состояний кудитов / Н. А. Богданова, Ю. И. Богданов, Ю. А. Кузнецов, И. А. Дмитриев, В. Ф. Лукичев // Наноиндустрия. — 2020. — Т. 13, S4. — С. 661—662.

95. Symmetric informationally complete quantum measurements / J. M. Renes, R. Blume-Kohout, A. J. Scott, C. M. Caves // Journal of Mathematical Physics. — 2004. — Vol. 45, no. 6. — P. 2171—2180.

96. Scott, A. J. Symmetric informationally complete positive-operator-valued measures: A new computer study / A. J. Scott, M. Grassl // Journal of Mathematical Physics. — 2010. — Vol. 51, no. 4.

97. Qudit quantum-state tomography / R. T. Thew, K. Nemoto, A. G. White, W. J. Munro // Physical Review A. — 2002. — Vol. 66, no. 1. — P. 012303.

98. Experimental realization of quantum tomography of photonic qudits via symmetric informationally complete positive operator-valued measures / N. Bent, H. Qassim, A. A. Tahir, D. Sych, G. Leuchs, L. L. Sánchez-Soto, E. Karimi, R. Boyd // Physical Review X. — 2015. — Vol. 5, no. 4. — P. 041006.

99. Experimental characterization of qutrits using symmetric informationally complete positive operator-valued measurements / Z. D. Medendorp, F. A. Torres-Ruiz, L. K. Shalm, G. M. Tabia, C. A. Fuchs, A. M. Steinberg // Physical Review A. — 2011. — Vol. 83, no. 5. — P. 051801.

100. Minimum tomography of two entangled qutrits using local measurements of one-qutrit symmetric informationally complete positive operator-valued measure / W. M. Pimenta, B. Marques, T. O. Maciel, R. O. Vianna, A. Delgado,

C. Saavedra, S. Pádua // Physical Review A. — 2013. — Vol. 88, no. 1. -P. 012112.

101. Bengtsson, I. Three ways to look at mutually unbiased bases / I. Bengtsson // AIP Conference Proceedings. Vol. 889. — American Institute of Physics. 2007. — P. 40—51.

102. Klappenecker, A. Constructions of mutually unbiased bases / A. Klappenecker, M. Rotteler // Finite Fields and Applications: 7th International Conference, Fq7, Toulouse, France, May 5-9, 2003. Revised Papers. — Springer. 2004. — P. 137—144.

103. Five measurement bases determine pure quantum states on any dimension /

D. Goyeneche, G. Cañas, S. Etcheverry, E. S. Gómez, G. B. Xavier, G. Lima, A. Delgado // Physical Review Letters. — 2015. — Vol. 115, no. 9.

P. 090401.

104. Zambrano, L. Improved estimation accuracy of the 5-bases-based tomographic method / L. Zambrano, L. Pereira, A. Delgado // Physical Review A. 2019. — Vol. 100, no. 2. — P. 022340.

105. Choice of measurement sets in qubit tomography / M. D. De Burgh, N. K. Langford, A. C. Doherty, A. Gilchrist // Physical Review A. — 2008. -Vol. 78, no. 5. — P. 052122.

106. Maximum-likelihood estimation of the density matrix / K. Banaszek, G. D'ariano, M. Paris, M. Sacchi // Physical Review A. — 1999. — Vol. 61, no. 1. — P. 010304.

107. Projected gradient descent algorithms for quantum state tomography / E. Bolduc, G. C. Knee, E. M. Gauger, J. Leach // npj Quantum Information. — 2017. — Vol. 3, no. 1. — P. 44.

108. Chapman, R. J. Experimental demonstration of self-guided quantum tomography / R. J. Chapman, C. Ferrie, A. Peruzzo // Physical review letters. — 2016. — Vol. 117, no. 4. — P. 040402.

109. Smolin, J. A. Efficient method for computing the maximum-likelihood quantum state from measurements with additive gaussian noise / J. A. Smolin, J. M. Gambetta, G. Smith // Physical review letters. — 2012. — Vol. 108, no. 7. — P. 070502.

110. Shang, J. Superfast maximum-likelihood reconstruction for quantum tomography / J. Shang, Z. Zhang, H. K. Ng // Physical Review A. — 2017. — Vol. 95, no. 6. — P. 062336.

111. Quantum tomography via compressed sensing: error bounds, sample complexity and efficient estimators / S. T. Flammia, D. Gross, Y.-K. Liu, J. Eisert // New Journal of Physics. — 2012. — Vol. 14, no. 9. — P. 095022.

112. Penrose, R. A generalized inverse for matrices / R. Penrose // Mathematical proceedings of the Cambridge philosophical society. Vol. 51. — Cambridge University Press. 1955. — P. 406—413.

113. Zyczkowski, K. Induced measures in the space of mixed quantum states / K. Zyczkowski, H.-J. Sommers // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2001. — Vol. 34, no. 35. — P. 7111.

114. Randomizing quantum states: Constructions and applications / P. Hayden, D. Leung, P. W. Shor, A. Winter // Communications in Mathematical Physics. — 2004. — Vol. 250. — P. 371—391.

115. О связи булевой алгебры с квантовой информатикой / Ю. И. Богданов, Н. А. Богданова, Д. В. Фастовец, В. Ф. Лукичев // Микроэлектроника. — 2020. - Т. 49, № 1. - С. 3-17.

Список рисунков

1.1 Хи-матрицы для вентиля Н. Рисунки а) и в) - действительные части, б) и г) - мнимые. Диаграммы а) и б) соответствуют идеальному случаю, диаграммы в) и г) - амплитудно-фазовой релаксации с параметрами Т\ = 3, Т2 = 5 (время операции выбрано

за единицу) ................................ 18

1.2 Хи-матрицы для вентиля СКОТ. Верхняя строка соответствует действительным частям матрицы, а нижняя - мнимым. Левые диаграммы соответствуют идеальному случаю. Средние диаграммы отражают действие деполяризующего шума с уровнем зашумлённости р = 0,6. Правые диаграммы соответствуют амплитудно-фазовой релаксации с параметрами Т\ = 5, Т2 = 3

(время операции выбрано за единицу) ................. 19

1.3 а) протокол, основанный на симметрии тетраэдра; б) теоретическое распределение функции потерь Ь = п(1 — Р) для протокола тетраэдра, полученное на основе анализа матрицы информации: цветом обозначено значение функции потерь для чистого квантового состояния на сфере Блоха ................. 21

1.4 Результат численных экспериментов по томографии двухкубитового запутанного состояния (100) + г|11))/л/2 с использованием протокола октаэдра; сплошная кривая -теоретическое распределение потерь точности, построенное с использованием матрицы информации; число численных экспериментов - 500, объём выборки в каждом эксперименте - 106 . 22

1.5 Хи-матрицы для вентиля Z. Рисунки а) и в) - действительные части, б) и г) - мнимые. Диаграммы а) и б) соответствуют идеальному случаю, диаграммы в) и г) - хи-матрице, полученной в

результате томографии вентиля на квантовом процессоре ibmqxA

(кубит Q1) компании IBM, протокол куба................ 24

1.6 Фидуциальное распределение для вероятности совпадения (fidelity) разработанной модели для вентиля Z квантового процессора ibmqxA по отношению к неизвестной точной квантовой операции................................... 24

2.1 Измерение поляризационного состояния в произвольном базисе: HWP - полуволновая пластина, QWP - четвертьволновая пластина, PBS - поляризационный делитель пучка, Dy и Dя -детекторы фотонов ............................ 28

2.2 Распределение функции потерь для чистых однокубитовых состояний cos(9/2)|0) + sin(6/2)ei9|1). Протокол измерений с симметрией куба. Вверху - случай монохроматического спектра,

внизу - ширина спектра АЛ = 0.01 цт ................. 33

2.3 Зависимость минимальных и максимальных значений функции потерь (а) и числа обусловленности матрицы измерений (б) от ширины спектрального распределения фотонов............. 34

2.4 Сравнение нечёткой модели измерений (АЛ = 0,01 ц,т) с моделью идеальных проекционных измерений а). Точность реконструкции в зависимости от полного объёма выборки. Отражены медиана, а также нижний и верхний квартили по 1000 независимым численным экспериментам б). Результаты 1000 численных экспериментов с = 1000 в каждом. Вверху - гистограммы величины хи-квадрат и распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы. Внизу - гистограммы потерь точность и теоретическое

распределение, полученное на основе информационной матрицы. . . 35

3.1 Распределение точности реконструкции. Гистограммы численное моделирование, кривая - теоретическое распределение точности реконструкции............................... 47

3.2 Эффективность протокола на сфере Блоха для заданного квантового состояния........................... 48

3.3 Пример распределение точности реконструкции для двухкубитового состояния ........................ 49

3.4 Распределение потерь точности для томографии квантового состояния восьмиуровневого кудита. Сравнение теории (кривая) и численных экспериментов (гистограмма). ............... 50

3.5 Эволюция характеристики качества отслеживания квантового состояния кудита посредством слабых измерений и обратной связи. а) - точность реконструкции квантового состояния, б) -эффективность (фактически сверхэффективность) протокола квантовых измерений. .......................... 54

3.6 Оценка степени обратного воздействия квантовых измерений на измеряемое состояние. Вверху- доля сильно-возмущённых представителей; внизу- точность сохранения состояния (Fidelity)

для слабо-возмущённых представителей................. 54

3.7 Схематичное изображение измерения 2-го уровня кукварта (d = 4) . 60

3.8 Эффективность а) и отношение эффективностей б) MUB и двухуровнего протоколов томографии 10000 случайных (по мере Хаара) чистых состояний кутритов (d = 3) .............. 69

3.9 Эффективность а) и отношение эффективностей б) MUB и двухуровнего протоколов томографии 10 000 случайных (по мере Хаара) чистых состояний куквартов (d = 4).............. 69

3.10 Эффективность а) и отношение эффективностей б) двухуровнего и сокращённого двухуровнего протоколов томографии 10000 случайных (по мере Хаара) чистых состояний кутритов (d = 3) . . . 70

3.11 Эффективность а) и отношение эффективностей б) двухуровнего и сокращённого двухуровнего протоколов томографии 10 000 случайных (по мере Хаара) чистых состояний кукварта (d = 4) . . . 70

3.12 Действительная (а) и мнимая (б) части матрицы процесса х. Действительная (в) и мнимая (г) части разницы между теоретической матрицей х и реконструированной. Двухуровневый протокол томографии. Полный объём выборки равен 1 000 000. Представлен результат одного численного эксперимента........ 73

3.13 Исследование точности томографии 8-ми уровневого кудита (s=8) в условиях фазовой релаксации. Представлено сравнение стандартной томографии (вверху) с томографией в рамках модели нечетких измерений (внизу)........................ 78

А.1 Картография северного полушария сферы Блоха посредством HQ-

гаджета...................................107

А.2 Потери протокола октаэдра .......................110

Список таблиц

1 Характеристики протоколов томографии................ 71

2 Результаты численных экспериментов (в каждом эксперименте 10 тысяч случайных состояний, равномерно распределённых по мере Хаара) .................................... 76

3 Сравнение модели нечетких квантовых измерений со стандартной моделью в приложении к сверхпроводниковым кубитам на

облачном квантовом процессоре IBM................... 77

4 Некоторые состояния в северном полушарии и на экваторе (точки внутри и на границе параллелограмма).................108

5 Куб (ветвь к = 0) .............................108

6 Октаэдр: направления в северном полушарии (точки внутри параллелограмма).............................108

7 Октаэдр: направления в северном полушарии (ветвь k=0))......108

Приложение А

Управление поляризацией света с использованием гаджета из полуволновой и четвертьволновой пластинок

Рассматривается гаджет из двух оптических поляризационных пластинок (полуволновой и четвертьволновой). Оказывается, что использование этого простого гаджета совместно с измерением вертикальной поляризации фотона позволяет нам реализовать томографическое проецирование на произвольное состояние на сфере Блоха. Цель рассматриваемой математической задачи: сопоставить произвольному состоянию на сфере Блоха, задаваемому сферическими координатами 6 и ф, углы поворота а и в полуволновой и четвертьволновой пластинок соответственно. Унитарные матрицы соответственно для полуволновой пластинки ( Н - Half wave plate, обеспечивает вращение на сфере Блоха на угол 6 = п) и четвертьволновой пластинки ( Q- Quarter wave plate, обеспечивает вращение на угол 6 = п) имеют следующий вид:

н_ /cos(2a) sin(2a) \ _ 1 /cos(2e)+i sin(2£) \ , . ysin(2a) - cos(2a)y = V2 \ sin(2£) - cos(2p) + i)'

Считаем, что фотон пролетает вначале через полуволновую пластину, а затем через четвертьволновую. Тогда, произведение матриц есть (последовательность действий надо читать справа налево):

и = QH = ^L [cos(Y)+icos(6) - sin(Y)+ ^sin(6M (А2)

л/2 I sin(y) + i sin(6) cos(y) — fcos(6) /

Здесь мы ввели обозначения: у = 2(в — а, 5 = 2а. Обратные преобразования углов есть: а = |, в = ^Г.

В томографическом эксперименте с квантовым состоянием |ф) измерению вертикальной проекции |У) = ^^ отвечает амплитуда вероятности

(У |ф). Дополнительные измерения возникают, если мы осуществим над нашим состоянием |ф) унитарное преобразование посредством матрицы и = QH. Соответствующая амплитуда вероятности, отвечающая измерению вертикальной проекции |У), теперь есть ( У|иф). Мы видим, что состояние |ф) теперь проецируется на следующий вектор (бра): (ф^| = ( У|и

Введем матрицу эрмитово-сопряженную по отношению к исходном матрице U:

иt = -_ / cos(y) - i cos(6) sin(y) - i sin(6 М А 3)

л/2 I — sin(y) — i sin(6) cos(y) + i cos(6) /

Тогда, проекционное кет-состояние \ф^), отвечающее измерению поляризации IV), есть

\Ф.) = Ut\V) = -= ( C0S(Y)— ^Y (А.4)

л/2 у — sin(y) — г sin(o) J

Мы видим, что рассматриваемое состояние есть комплексная суперпозиция двух действительных кубитов:

1

") = —=(\фу) — i\Фб)), (А.5)

( C0s(y^ . . /C0s(6)\

где |"фу) = - гамма-кубит,\фб) = - дельта-кубит, причем

у— sin(yW ysin(6) у

= ("Фб|"Фб) = 1.

С другой стороны, стандартное представление на сфере Блоха есть:

|ф) = exp(ix)( . ^. V (А.6)

ysm(U ехр(гф)у

Здесь, наряду со сферическими координатами 6 и ф на сфере Блоха, мы ввели глобальную фазу x, которая по своей природе связана с геометрической (топологической) фазой Панчаратнама-Берри (Pancharatnam-Berry). Математическая тригонометрическая задача состоит в том, чтобы подобрать такую глобальную фазу x, которая превращает (2) в (1). Представим (2) в виде:

) ( Соs(§) c0s(x) + i C0s(I) sin(X) \ (А7)

ysin(I) шз(ф + x) + i sin(I) sin^ + x)y Из условия нормировки (1а) следует:

cos2(§) cos2(x) + sin2(§) cos2(x + ф) = 1. (А.8)

Отсюда получаем основной результат для тангенса 2x:

, ч cos2( I ) + sin2( I )шз(2ф) /д x

tg(=x) =- • 2(s) -7= )( ф)• (А.9)

sin2(T^) Sin(2ф)

in Из (3) следует:

1 , ч cos2 (I )+sin2( 66 )^(2ф) rn7 1

X = - arctan(2x) =-(2! 2,Si • 70 / + ^к,к = 0,1,2,3. (А.10)

2 sin2(1 )sin(2ф) 2

Выражение (4) описывает четыре возможных неэквивалентных решения рассматриваемой задачи, отвечающих к = 0,1,2,3. Любые другие целые не дадут новых, физически значимых решений, поскольку приведут к сдвигу глобальной фазы X на целое число полных периодов 2п по отношению к уже найденным решениям.

Важно также правильно осуществлять предельный переход в условиях, когда знаменатель аргумента арктангенса обращается в ноль. Действительно, если sin2(I) sin(2ф) = 0, то возникает деление на ноль. Для устранения проблемы можно ввести небольшие сдвиги углов 6 и/или ф (например, на величину порядка 10-7). Фактически, в рассматриваемом (сингулярном) случае арктангенс равен ±п (в зависимости от обращения аргумента в плюс или минус бесконечность).

Теперь, зная х, находим вначале параметры у = 2(в — а), 6 = 2а, а затем и исходные углы а и в.

Параметр у находим по его косинусу и синусу:

cos у = л/2 cos - cos(x), sin у = -V2

Отсюда следует, что y = arccos (cos y), если sin y ^ 0 и y = — arccos (cos y) в противном случае.

Аналогично, для косинуса и синуса параметра 6 имеем:

cos 6 = —V2cos^cos(x), sin 6 = —V2sin^sin^ + х). (А.12)

Отсюда следует, что 6 = arccos (cos 6), если sin6 ^ 0 и 6 = — arccos (cos 6) в противном случае.

Для окончательного решения используем обратные преобразования углов: а = 6, 6 = y++6 Для однозначного (стандартизованного) представления углов условимся, наконец, приводить их к интервалу [0,п]. Другими словами, все значения углов рассматриваем по модулю п.

Перейдём от HQ-гаджета к QH - гаджету, т.е. поменяем пластинки местами. Теперь считаем, что фотон пролетает вначале через четвертьволновую

пластину Q, а затем через полуволновую Н . Можно показать, что решение рассматриваемой задачи теперь будет следующим. Параметр 6 не изменится, а параметр поменяет у знак. Отсюда следует, что угол а поворота полуволновой пластинки не изменится, а угол для поворота четвертьволновой пластинки теперь будет в1 = 2 а — в (по модулю п). Здесь а - угол поворота полуволновой пластинки , в - угол поворота четвертьволновой пластинки для представленного выше исходного HQ - гаджета. Заметим, что глобальная фаза х также не изменится.

Мы рассмотрели задачу о проектировании на произвольное состояние на сфере Блоха, Согласно формуле (1), такое проектирование осуществляется с помощью матрицы Рассмотрим теперь задачу о приготовлении произвольного состояния на сфере Блоха с использованием начального состояния IV). Такое приготовление осуществляется с помощью матрицы U. Нетрудно видеть, что матрицы U и U t переходят друг в друга при преобразовании: у — —у, 6 — —6 + п. Рассматриваемое преобразование порождает следующее преобразование углов поворота пластин: а = а + |, | = 2а — в + п . Здесь помеченные волной углы поворота а и | полуволновой и четвертьволновой пластинок обеспечивают решение новой задачи о приготовлении произвольного состояния на сфере Блоха, задаваемого сферическими координатами 6 и ф. Углы поворота а и в - параметры решения исходной задачи о проецировании на тоже самое состояние на сфере Блоха. Заметим, что и обратное преобразование от углов а и | к углам а и в можно задавать теми же формулами: а = а + П, в = 2а — | + |. Это нетрудно получить, если учесть, что добавление к углам поворота величин, равных пп, где п - целое число, не меняет физически решения.

Рассмотренное преобразование у — —у, 6 — 6 + п эквивалентно тому, что вместо представленных выше формул для нахождения косинусов и синусов углов у и 6 теперь следует использовать следующие формулы:

cos у = cos(x), sin у = sin^ + х). (А.13)

cos6 = V2cos^cos(x), sin6 = V2sin^sin^ + х). (А.14)

Весь остальной алгоритм остается без изменений. При расчете протоколов томографии нам целесообразно поворачивать исходное состояние вертикальной

поляризации \У)(северный полюс) так, чтобы полученное в результате такого поворота состояние |"фу), всё-таки, оставалось в верхнем полушарии сферы Блоха. При таком повороте состояние \Н) будет превращаться в состояние

м \ ггИт 1 -1 ^(¿Л п

\"Фя) = и ) = -тц \ и оставаться в нижнем полушарии. Со-

1/2 \С08(у) + г 008(6) I стояния \"фу) и \"фя) образуют ортонормированный базис. Соответствующие им проекторы \"фу)(фу \ и \"фя)(Ф#\ задают ортогональное разложение единицы и определяют вероятности срабатывания детекторов, отвечающих вертикальной и горизонтальной поляризации излучения.

Кроме этого, целесообразно выбрать такую ограниченную область углов поворота а и в полуволновой и четвертьволновой пластинок, которая позволяла бы обеспечить проекцию на любое заданное состояние \"фу) северного полушария сферы Блоха и при этом решение было бы единственным.

Решение рассматриваемой задачи схематично представлено на рисунке

Рисунок А.1 — Картография северного полушария сферы Блоха посредством

HQ- гаджета

Параллели (линии постоянного 6, начиная с ноля (северный полюс), до п = /2 (экватор)) представляют собой овалы. При 6 = 0 (северный полюс) овал вырождается в точку, а при 6 = п/2 (экватор) овал вырождается в параллелограмм. На рисунке параллели представлены сплошными кривыми, заданными с шагом п/16.

Таблица 4 — Некоторые состояния в северном полушарии и на экваторе

(точки внут

эи и на границе параллелограмма)

Состояние 0 ф а 13

> 0 = 0 Любое а = п/2 в = п/2

|Я> 0 = п/2 ф = 0 а = 5п/8 в = п/2

0 = п/2 ф = п а = 3п/8 в = п/2

|Д> 0 = п/2 ф = п/2 а = 5п/8 в = 3п/4

0 = п/2 ф = 3п/2 а = 3п/8 в = п/4

Таблица 5 — Куб (ветвь к = 0)

01 = п/2 ф1 = 0 а1 = 5п/8 в = п/2

02 = п/2 ф ю п/ 2 а1 = 11п/16 в = 3п/4

03 = 0 фз = 0 а1 = п/2 в = п/2

Таблица 6 — Октаэдр: направления в северном полушарии (точки внутри параллелограмма)

Состояние 0 ф а 13

1 асов(1/ у/3) п/4 1.92101579481186 1.87853618113009

2 асов(1/л/3) 3п/4 1.52831671311313 1.87853618113009

3 асов(1/у/3) 5п/4 1.22057685877794 1.2630564724597

4 асов(1/ л/3) 7п/4 1.61327594047666 1.2630564724597

Меридианы (линии постоянного ф, 0 ^ ф < 2п) представляют собой лучи (вообще говоря, изогнутые). При ф = п/2 и ф = 3п/2 лучи становятся прямыми отрезками. При ф = 0 и ф = п лучи тоже являются прямыми отрезками, которые, однако, бифуркационно растекаются по верхней и нижней сторонам параллелограмма соответственно. На рисунке меридианы представлены штриховыми линиями, заданными с шагом п/8.

Нижняя сторона параллелограмма отвечает углам п/4 ^ а < п/2 и в = п/4, для верхней стороны параллелограмма имеем п/2 ^ а < 3п/4 и в = 3п/4.

Таблица 7 — Октаэдр: направления в северном полушарии (ветвь к=0))

01 = асов(1/у/3) ф1 = рг/4 а1 = 1.92101579481186 в1 = 1.87853618113009

02 = асой(1/л/3) ф2 = 3рг/4 а2 = 1.52831671311313 в2 = 1.87853618113009

03 = асой(1/л/3) фз = 5рг/4 аз = 1.22057685877794 вз = 1.2630564724597

04 = асой(1/л/3) ф4 = 7рг/4 а4 = 1.61327594047666 в4 = 1.2630564724597

С учетом опущенных фазовых множителей для исходных полуволновой и четвертьволновой пластин результирующая лишняя набегающая фаза есть не X, а х + п. Заметим также, что в состояние на сфере Блоха со сферическими координатами 6 и ф можно попасть из состояния |0), совершив поворот на угол 6 относительно оси п = (— sin ф, cos ф,0), причём такой поворот не будет давать лишнего фазового сдвига. Рассмотрим замкнутую область, задаваемую указанным поворотом и исходной совокупностью полуволновой и четвертьволновой пластин.

На Рисунке 2.6 показаны результаты моделирования томографии одно-кубитового поляризационного состояния в условиях хроматической аберрации квантовых преобразований. В качестве протокола измерений рассмотрен протокол с симметрией октаэдра.

Для АЛ = 0,01 ц.т (Рисунок 2.6а) имеем Lmin = 1.1679, Lmax = 1.5360. Теперь, как и в случае протокола с симметрией куба, минимальные потери точности (1,1679) оказались выше по сравнению с максимальными потерями точности для монохроматического света (1,125), что привело к существенной перестройке картины в целом.

На Рисунках 2.6б и 2.6в представлены зависимости минимальных и максимальных значений функции потерь и числа обусловленности матрицы измерений от ширины спектра. При АЛ — 0 максимальные потери точности стремятся к величине 4/3, что выше теоретического значения 1,125 для стандартных проекционных измерений, когда АЛ = 0. Как и в случае протокола с симметрией куба, данное отличие имеет место лишь для бесконечно малых окрестностей. В данном случаи эти окрестности располагаются вблизи точек, отвечающих идеальным проекторам протокола с симметрией октаэдра (всего 8 точек). Результаты на рисунках 2.5г |ф) = cos(6/2)|0) + sin(6/2)e^|1), где 6 = 0,9111, ф = 2,4504. Данное состояние характеризуется потерями точности, близким к максимальным при спектральной ширине излучения АЛ = 0,01ц,т.

Любая матрица плотности р, описывающая смешанное состояние в гильбертовом пространстве размерности s, может быть представлена в виде вектора чистого состояния с в пространстве большей размерности. Переход от р к одному из возможных с может быть выполнен следующим образом. Составим блочную матрицу ф = ,...^\/=krvr) размерности s 0 г где г - ранг матри-

цы плотности, \ - её ненулевые собственные значения, а v¡ - соответствующие им собственные векторы. Вектор-столбец очищенного состояния формируется

- (1 - Р)

0 0.5 1 1.5 2

р/*

Рисунок А.2 — Потери протокола октаэдра

посредством вытягивания прямоугольной матрицы ф в один столбец в полной аналогии с процедурой, описанной нами ранее. Заметим, что описание состояния с помощью матрицы ф и вектора с являются полностью эквивалентными. Отличие заключается лишь в способе записи амплитуд вероятности.

Очевидно, что р = фф^. Отсюда видно, что очищение является неоднозначной процедурой и определяется с точностью до широкого унитарного произвола. В частности, если ввести унитарную матрицу V размерности г 0 г, то матрицы ф и фУ будут описывать одно и то же квантовое состояние, поскольку будут описываться одной и той же поляризационной матрицей плотности. В случае чистого состояния (г =1) такая неоднозначность связана только с неопределённостью в выборе глобальной фазы вектора состояния.

Рассмотрение очищенной матрицы ф вместо матрицы плотности даёт существенное преимущество при томографии квантовых состояний методом максимального правдоподобия, поскольку получаемая в результате матрица

плотности квантового состояния является заведомо неотрицательно определённой [39], а само уравнение правдоподобия может быть решено численно посредством довольно простой квазилинейной процедуры.

Для статистической обработки результатов взаимно-дополнительных измерений уравнение для ф имеет следующий вид:

1ф = J (ф)ф, (А.15)

где i = Е, щл и J(ф) = л.

Здесь kj - число экспериментальных исходов события, соответствующего оператору измерения Aj, pj(ф) = Тг(фф^А^)- вероятность регистрации данного события, а rij - соответствующее число измерений. Суммирования производятся по всем I • s операторам измерения всех I измерительных схем. Для рассматриваемых в данной работе POVM-измерений имеем I = Е, где Е -единичная матрица размерности s 0 s.

Заметим, что оценка параметров статистических распределений методом максимального правдоподобия является асимптотически эффективной [82]. Это, в частности, позволяет строить количественные теоретические оценки точности реконструкции параметров квантового состояния на основе информационной матрицы).

Пусть в результате одного отдельного эксперимента по томографии была получена оценка матрицы плотности ф, отвечающая очищенному состоянию . Проверка адекватности такой модели квантового состояния может быть выполнена с использованием критерия хи-квадрат [82]. Для этого вычислим величину

х2 = V - ЩPj(ф))2

Х V П'Р' (ф) '

Здесь njPj - ожидаемые, а kj - реально наблюдаемые числа отсчетов.

К числу асимптотически оптимальных оценок относятся и оценки по методу максимального правдоподобия. При этом соответствующее асимптотическое условие на языке информации имеет вид: hj ^ 1 для всех j = 1,...,vp.

Здесь hj есть собственные значения матрицы информации Н Уровень значимости (p-value) критерия хи-квадрат рассчитывается как площадь под кривой плотности распределения хи-квадрат правее полученного значения Х по следующей формуле:

р - value = Pr[X ^ х2М, (А.17)

Детальные асимптотические статистические характеристики точности измерения параметров квантового состояния при использовании того или иного протокола квантовых измерений могут быть получены до проведения каких либо реальных или численных экспериментов на основе одной только аналитической теории [39]. Для этого рассмотрим очищенный вектор состояния с, заданный в гильбертовом пространстве размерности гв, и перейдём к вещественному евклидову пространству размерности 2гв:

- - («:;). (А18)

Операторы измерения при этом преобразуются следующим образом:

/Л7 0 0\ / _

I /Ке(Л7) - 1ш(Л7)\ /д ,

Л7 — 0 ... 0 — 3> 3> . (А.19)

' 0 0 \1ш(Л7) Ие(Л7) ) 1 ;

\0 0 Л,/ \ ( 3) ( 3) /

Отличие реконструированного вектора состояния от точного можно характеризовать как проявление статистических флуктуаций, связанных с фундаментальной вероятностной природой квантовых явлений. Инструмент для количественного описания уровня таких флуктуаций дает матрица полной информации [39]. В рамках представленных выше обозначений она имеет вид:

Н =2 £ „,. (ММ. (А.20)

Р]

з 7

Данная матрица является симметричной, неотрицательно определённой матрицей размерности 2вг 0 2вг. В случае томографически полных протоколов, сводящихся к разложению единицы, она содержит одно собственное значение, равное 2щ0г, и г2 нулевых собственных значений. Остальные ур = (2й — г)г — 1 собственных значений определяют количество информации о независимых действительных параметрах очищенного состояния е, которая может быть получена из проводимых измерений. Обозначим их 4(к = 1,...,Ур) и определим величины

^ = ,к = 1,...,^. (А.21)

1

йк

Тогда потери точности томографии для очищенного состояния е оказываются случайной величиной, имеющей обобщённое распределение хи-квадрат:

1 — ^ - £ 4Е2. (А.22)

к=1

где каждая из случайных величин ^ имеет нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Среднее значение рассматриваемой случайной величины равняется (1 — Р) = ^к йк, а её дисперсия есть а2р = 2Ек . Заметим, что в случае асимптотически оптимальных оценок матрица информации пропорциональна полному объёму выборки п^. В связи с этим величина (1 — Р) обратно пропорциональна п^. Поэтому удобно вводить функцию потерь Ь = п^оъ(1 — Р), которая не зависит от объёма выборки, а зависит только от томографируемого состояния и эффективности используемого протокола измерений.

Для того, чтобы рассматриваемая здесь асимптотическая теория точности была адекватной, необходимо, чтобы информация, приходящаяся на каждую степень свободы оцениваемого квантового состояния, была достаточно велика, поэтому должно быть ^ 1 для всех ] = 1,...,ур. В этом случае dj ^ 1, а также (1 — Р) ^ 1.