Методы исследования локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Муртазина, Сария Аширафовна

• Муртазина, Сария Аширафовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Муртазина, Сария Аширафовна

Оглавление

Введение

1 Операторный метод исследования бифуркационных задач

1.1 Задача о вынужденных колебаниях

1.2 Бифуркации отображений и периодических орбит

1.3 Бифуркации малых решений операторных уравнений

1.4 Доказательства основных утверждений

2 Исследование основных сценариев бифуркаций вынужденных колебаний

2.1 Признаки бифуркации вынужденных колебаний

2.2 Асимптотические формулы

2.3 Алгоритм локализации языков Арнольда

2.4 Доказательства основных утверждений

3 Устойчивость бифурцирующих решений

3.1 Задача об устойчивости бифурцирующих решений

3.2 Основные положения метода исследования устойчивости

3.3 Анализ устойчивости бифурцирующих решений

3.4 Доказательства основных утверждений

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы исследования локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах»

Введение

Актуальность темы. В общей теории динамических систем важное место занимают системы, описываемые дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Такие уравнения возникают при изучении колебательных процессов в механике, физике, биологии, химии, экономике и др. Теория дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами является хорошо развитой составной частью общей теории дифференциальных уравнений, благодаря работам A.M. Ляпунова [33], [34], А. Пуанкаре [47], H.H. Боголюбова и Ю.А. Митро-польского [10], [11], [29], [72], В. Г. Веретенникова [14], [15], И.Г. Малкина [40], [41], В.А. Плисса [44], [45], М. Розо [48], Ж. Флоке, Л. Чезари [56], И. 3. Штокало [59], В.А. Якубовича [61] и многих других математиков.

Одной из наиболее актуальных задач в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами представляется исследование поведения системы в окрестностях стационарных и периодических решений. Здесь особо актуальными представляются исследования поведения системы в предположении, что стационарное или периодическое решение является негиперболическим. В этом случае в системе могут происходить различные бифуркационные явления, возникать новые периодические или квазипериодические решения, становится возможным хаотическое поведение системы. Исследованию этого случая посвящены работы Андронова A.A. [1-3], В.И. Арнольда [4], [5], М.А. Красносельского [25], A.M. Красносельского [24], А.П. Кузнецова и С.П. Кузнецова [30], [31], [70], B.C. Козякина [21], [22], H.A. Магницкого [35], [36], [37], М.Т.Терехина [52], Ж.К. Хейла [55], [65], [66], Л.П. Шильникова [58], [74] и других математиков. Здесь получен ряд важных результатов, связанных с признаками бифуркаций и субфуркаций, построением периодических решений, анализом их устойчивости, исследованием вопросов синхронизации и др. При этом большая часть полученных результатов относится к задачам о бифуркациях коразмерности один. Существенно

меньше изучены задачи о локальных бифуркациях коразмерности два и выше. Здесь особо актуальными являются получение достаточных признаков различных сценариев бифуркаций, разработка методов приближенного построения возникающих колебаний, исследование их устойчивости.

Основной целью диссертационной работы является разработка качественных и приближенных методов анализа бифуркационных явлений коразмерности два в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка операторных методов исследования основных сценариев бифуркационного поведения многопараметрических неавтономных динамических систем в окрестностях стационарных решений;

2. Получение достаточных признаков основных сценариев локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных динамических системах и их дискретных аналогах;

3. Получение асимптотических формул для вынужденных и субгармонических колебаний неавтономных динамических систем в задачах о бифуркации коразмерности два;

4. Анализ устойчивости вынужденных и субгармонических колебаний, возникающих в неавтономных динамических системах при бифуркациях коразмерности два.

Краткое содержание работы.

Основным объектом исследования работы является система дифференциальных уравнений, зависящих от скалярного или векторного параметра /л, с Т -периодической по i правой частью:

ж'=/(ж, г, , же^, ¡1еВк) (1)

где функция /(ж, /х) непрерывна по £ и непрерывно дифференцируема по х и д. Пусть система (1) при всех значениях параметра ¡1 имеет нулевую точку равновесия х = 0, т.е. /(О, /¿) = 0. Уравнение (1) может быть представлено в виде

х' = ¡1)х + а(х, д), (2)

где /¿) = /¿(0, /1) - матрица Якоби вектор-функции /(ж, ¿, /2), вычисленная в точке х = 0, а нелинейность а(ж, ¡1) равномерно по £ и [1 удовлетворяет соотношению ||а(ж,£, /х)|| = 0(||ж||2) при ||ж|| —>• 0; здесь и ниже через || • || обозначена евклидова норма векторов в пространстве Я".

Обозначим через матрицу монодромии линейной системы

х'= А{г,[л)х. (3)

Пусть при ¡1 = /хо система (3) имеет один или несколько мультипликаторов, равных по модулю 1; тогда точка равновесия х = 0 системы (1) при ц = до является негиперболической. В этом случае значение до будем называть точкой бифуркации системы (1).

В частности, при близких к до значениях д у системы (1) в окрестности точки равновесия х — 0 могут возникать Т-периодические решения (вынужденные колебания), кТ-периодические решения при к ^ 2 (субгармонические колебания), квазипериодические решения и др. Описанию возможных сценариев бифуркационного поведения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, получению достаточных признаков того или иного сценария бифуркации, разработке схем приближенного исследования бифуркаций, исследованию устойчивости возникающих колебаний и посвящена диссертационная работа.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе приводятся необходимые сведения из теории неавтономных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, из теории локальных бифуркаций динамических систем, описываются основные сценарии таких

бифуркаций. Также приводятся модели динамических процессов описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Основное содержание главы составляет обоснование метода качественного и приближенного исследования задачи о бифуркациях малых решений операторных уравнений. Глава носит вспомогательный характер.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В параграфе 1.1 приводятся известные сведения из теории систем с периодическими коэффи-циетами. В параграфе 1.2 приводится постановка задачи о бифуркациях в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, зависящих от параметров, описываются необходимые условия локальных бифуркаций и их основные сценарии. В параграфе 1.3 главы излагаются операторные методы исследования задачи о локальных бифуркациях динамических систем.

Основные результаты работы содержатся во второй и третьей главах. Во второй главе приведены новые достаточные признаки бифуркаций вынужденных и субгармонических колебаний системы (1), а также получены асимптотические формулы для возникающих колебаний. Приведем основные результаты второй главы.

Пусть система (3) при ¡2 — цо имеет один или несколько мультипликаторов равных по модулю 1, т.е. матрица V(fio) имеет собственные

значения вида е±21тдг, где 0 < в ^ -. В диссертации основное внимание

Át

уделяется рассмотрению случаев, когда матрица V{¡iо) имеет:

51) простое собственное значение 1;

52) пару простых собственных значений е±2уг^г, где 0 ^ в ^ — и в

2

р

рационально: в =--несократимая дробь.

q

Во обоих случаях предполагается, что остальные собственные значения матрицы V(fio) не равны 1 по модулю.

В зависимости от этих случаев возможны различные сценарии локальных бифуркаций в окрестности состояния равновесия системы (1).

В случае 31) коразмерность бифуркации равна одному; в этом случае естественным будет предположение, что параметр д является скалярным. Здесь основным сценарием бифуркации является возникновение у системы (1) в окрестности точки равновесия х = 0 при переходе параметра д через до (т.е. либо при д ^ до, либо при д ^ До) ненулевых Т-периодических колебаний малой амплитуды. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение до параметра д назовем точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (1), если каждому £ > 0 соответствует такое д = д(б:), при котором система (1) имеет ненулевое Т-периодическое решение , причем д(е) —> д0 и шах ||ж(£, г)|| —> 0 при г —> 0.

В случае Б2) коразмерность бифуркации равна двум. Поэтому здесь естественным будет предположение, что параметр д является двумерным, т.е. д = (а, Р), где а и ¡3 - скалярные параметры. Здесь в окрестности точки равновесия х = 0 при переходе параметра д через до могут возникать или исчезать периодические решения различных периодов кТ, где к ^ q. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение до параметра д назовем бифуркацией субгармонических колебаний периода с[Г системы (1), если каждому е > 0 соответствует такое д = д(е), при котором система (1) имеет ненулевое дТ-периоди-ческое решение причем д(е) —»• до и тах \\xit, £:)|| —»• 0 при

£ —>■ 0 .

В параграфе 2.1 приведены достаточные признаки того или иного сценария бифуркации системы (1) в виде теорем, которые являются одними из основных утверждений данной работы.

Рассмотрим сначала случай 31). Обозначим через еже*- собственные векторы, соответствующие простому собственному значению 1 матриц У(до) и У*(до) соответственно; здесь У(д) - транспонированная к У(д) матрица. Векторы е и е* можно выбрать в соответствии с равенствами ||е|| = 1, (е, е*) = 1. Обозначим через д) решение задачи

Коши

х' = A(t, ц)х, ж(0) = е,

и положим

6=

Теорема 0.1 Пусть выполнено условие S1 и ^о 0. Тогда ¡iq является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (2.1).

Рассмотрим теперь случай S2). Положим В{¡j) — Vq(/i); тогда матрица B{fiо) (а вместе с ней и транспонированная матрица B*(¡iо)) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Обозначим через е, g и е*, д* соответствующие линейно независимые собственные векторы матриц B{¡iо) и В*(fio). Векторы е, д, е* и д* будем считать выбранными в соответствии с соотношениями

Теорема 0.2 Пусть выполнено условие и (о ^ 0 . Тогда /хо = («о, ¡Зо) является точкой бифуркации субгармонических колебаний периода дТ системы (1).

В параграфе 2.2 второй главы приведены асимптотические формулы для существующих в условиях теорем 0.1 и 0.2 бифурцирующих решений. Полученные в работе асимптотические формулы используют квадратичную и кубическую нелинейности, входящие в правые части основных дифференциальных уравнений. Здесь ограничимся приведением асимптотических формул для уравнения (2.2), когда нелинейность а(х, ¡л) представима в виде

а(ж, t, /л) = ü2(x, í, ¡л) -f а3(ж, t, /л),

(5)

где a,2{x,t,ii) содержит квадратичные по х слагаемые, а нелинейность оз(ж, í, >l¿) удовлетворяет соотношению \\аз(х, t, /¿)|| = 0(||ж||3) при х —> 0 равномерно по t и ¡i.

Теорема 0.3 Существующие в условиях теоремы 0.1 бифурцирующие решения x(t,e) системы (1) и соответствующие значения параметра ¡i{e) представимы в виде:

x(t,e) = ee(t) + £2ei(t) + ец(г,е), = ßo + e ßi + ßii(e). (6)

Здесь e(t) = x(t, ¡jlq) ; для функции e\(t) и числа в диссертации также получены расчетные формулы, а функции рп(£), eu(t,e) удовлетворяют соотношениям ||/in(^)|| = 0{е2) , max ||en(í, в)|| = 0(е3) при е —0 .

Теорема 0.4 Существующие в условиях теоремы 0.2 бифурцирующие решения x{t,e) системы (1) и соответствующие значения параметра ц{е) = (a(£),ß(e)) представимы в виде:

x(t, £) = ee(t) + £2ei(t) + en(t, e), a(e) = a0 + £аг + ац(е)} = ßo + eßi + /?п(е)-

Здесь e(t) = x(t,ßо); Для функции e\(t), чисел ai, Д в диссертации также получены расчетные формулы, а функции огц(£), ßn(£)> ец(í, £:) удовлетворяют соотношениям ||ап(е)Ц = 0(£2), ||/?ц(£)|| = 0(е2), max ||en(í, г)|| = 0(е3) при е—>0.

В параграфе 2.3 приведен алгоритм локализации языков Арнольда системы (1).

Основной задачей исследования в третьей главе является анализ устойчивости бифурцирующих решений возникающих в условиях теорем 0.1 и 0.2. Предлагаемая схема анализа устойчивости использует общие методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, восходящие к Л. Чезари, Ж.К. Хейлу, И.З. Штокало и М. Розо, основные положения которого изложены в параграфе 3.2. Критерии устойчивости приведены в параграфе 3.3.

Ограничимся приведением критерия устойчивости бифурцирующих решений для случая S1). Здесь основным объектом исследования является система (2), в которой матрица A(t,fi) представима в виде

A{t, ti) = Ao + {/j,- ¡ю)A1(t) + A2(t, /i).

Предполагается, что постоянная матрица Aq имеет простое собственное значение 0, матрицы Ai(t) и A2(t, ¡1) являются Т-периодическими, причем max||A2(i,/i)|| = 0{\ц - ¿¿0|2), при |/i-/io| -*0. Определим число

т

m = ( J[Mi-^i(r) + Û2x(e(r), г, Цо)]дте, е*). о

Теорема 0.5 Пусть нелинейность a(x,t,/i) имеет вид (5). Тогда при всех малых значениях £ > 0 бифурцирующие решения x(t, е) системы (2), существующие в условиях теоремы 0.1, асимптотически устойчивы, если щ < 0, и неустойчивы, если щ > 0.

Здесь a2x(x,t,fi) - матрица Якоби квадратичной нелинейности a2(x,t,/i).

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Муртазина, Сария Аширафовна

Заключение

В настоящей диссертационной работе исследованы следующие задачи:

1. Разработан операторный метод исследования основных сценариев бифуркационного поведения двупараметрических неавтономных динамических систем в окрестностях стационарных решений;

2. Получены достаточные признаки локальных бифуркаций коразмерности два неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов;

3. Разработаны и обоснованы асимптотические формулы, позволяющие определить основные гармоники вынужденных и субгармонических колебаний неавтономных динамических систем в задачах о бифуркации коразмерности два;

4. Проведен анализ устойчивости вынужденных и субгармонических колебаний, возникающих в неавтономных динамических системах при бифуркациях коразмерности два;

5. Предложены асимптотические формулы в задаче о локализации языков Арнольда неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов в основных резонансах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Муртазина, Сария Аширафовна, 2012 год

Литература

[1] Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Физматгиз, 1959, 560 с.

[2] Андронов A.A., Леонтович Е.В., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. - М.: Наука, 1966.

[3] Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1967, 488 с.

[4] Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва-Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 400 с.

[5] Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М: Наука, 1978, 304 с.

[6] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 368 с.

[7] Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю. С., Шилъников Л. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.// Динамические системы V. - М.: ВИНИТИ, 1986, Т.5, С. 5-218.

[8] Варбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1967, 223 с.

[9] Бобровски Д. Введение в теорию динамических систем с дискретным временем. - Москва-Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006, 360 с.

[10] Боголюбов H.H., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974, 223 с.

[11] Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // Собрание научных трудов. М.: Математика и нелинейная механика, 2005, Т. 3, 605 с.

[12] Боровских А. В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2004, 540 с.

[13] Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М: Наука, 1969, 529 с.

[14] Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. - М.: Наука, 1984, 320 с.

[15] Веретенников В.Г., Маркеев А.П. Исследование устойчивости нелинейных систем. - М.: МАИ, 1980, 87 с.

[16] Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 560 с.

[17] Ибрагимова JI.C, Юмагулов М.Г. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 2007, № 4, С. 3-12.

[18] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977, 742 с.

[19] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1975, 740 с.

[20] К am,ок А. Б., Хасселблат, Б. Введение в теорию динамических систем. - М.: МЦНМОб, 2005, 464 с.

[21] Козякин B.C., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации. // Доклады АН СССР. 1980, Т. 254, № 5, С. 1061-1064.

[22] Козякин B.C. Субфуркация периодических колебаний. // ДАН СССР. 1977, Т. 232, № 1, С. 25-27.

[23] Козякин B.C., Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О языках Арнольда в задаче о периодических траекториях больших амплитуд. // Доклады АН. 2006, Т. 411, № 3, С. 1-7.

[24] Красносельский A.M. Системы с периодическими нелинейностя-ми. // Доклады Академии наук, 2011, Т.438, №2, С. 176-180.

[25] Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1966, 332 с.

[26] Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969, 456 с.

[27] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975, 512 с.

[28] Красносельский М. А., Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений. // ДАН России. 1995, Т. 365, № 2, С. 162-164.

[29] Крылов Н. М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. - Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

[30] Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин U.M.. Нелинейные колебания. (Сер. Современная теория колебаний и волн). - М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2005, 292 с.

[31] Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001.

[32] Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1983, 328 с.

[33] Ляпунов A.M. Общая задача устойчивости движения. - M.-JI.: Изд-во АН СССР, 1956, С. 7-263.

[34] Ляпунов А. М. Собрание сочинений. M.-JL: Гостехиздат, 1956, Т.2, 542 с.

[35] Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. - М.: ЛЕНАНД, 2011, 320 с.

[36] Магницкий H.A., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. - М.: Едиториал УРСС, 2004, 336 с.

[37] Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Динамический хаос в двумерных неавтономных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения, 2006, Т. 42, № 11, С. 1507-1514.

[38] Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный экспери-мент:Введение в нелинейную динамику. - М.:Наука, 1997, 225 с.

[39] Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: Наука, 2000, 336 с.

[40] Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат, 1956, 491 с.

[41] Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Едиториал УРСС, 2004, 432 с.

[42] Мардсен Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.: Мир, 1980, 362 с.

[43] Нуров И. Д., Ю магу лов М. Г. Приближенное исследование малых периодических колебаний систем автоматического регулирования. // Автоматика и телемеханика. 1993, № 3, С. 101-108.

[44] Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. - М.: Наука, 1964. с.

[45] Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1977, 304 с.

[46] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. И.-Л.: ГИТТЛ, 1947, 392 с.

[47] Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947, 392 с.

[48] Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. - М.: Наука, 1971, 287 с.

[49] Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001, 400 с.

[50] Тхай В.П. Обратимые механические процессы. // Нелинейная динамика. М.:Физматлит, 2001, С. 131-146.

[51] Тхай В.Н. Периодические движения обратимой механической системы второго порядка. Приложение к задаче Ситникова // ПММ. 2006, Т. 70, Вып. 5, С. 813-834.

[52] Терехин М.Т. Ненулевые периодические решения неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод малых форм. // Известия вузов. Матем., 2002, № 6, С. 63-68.

[53] Фихтенголъц Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. - М.: Наука, 1970, 800 с. - М.: Л.: Гостех-издат, 1937.

[54] Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. - М.: Мир, 1985, 280 с.

[55] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных урпане-ний. М.: Мир, 1984, 421 с. - М.; Л.: Гостехиздат, 1937.

[56] Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений - М.: Мир, 2004, 1964 с.

[57] Четаее Н.Г. Устойчивость движения. - М.: Гостехиздат, 1955.

[58] Шилъников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 416 с.

[59] Шгпокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. (Асимптотические методы и критерий устойчивости и неустойчивости решения.) - Киев: Изд. АН УССР, 1960.

[60] Юмагулов М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах. // Доклады Академии наук. 2009, Т. 424, № 2, С. 177-180.

[61] Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. - М.: Наука, 1972, 720 с.

[62] Burton Т. A. Linear differential equations with periodic coefficients// Proc. Amer. Math. Soc., 1966, 17, № 2, p. 327-329.

[63] Dancer E. N. Bifurcation theory in Real Banach Space. // Proc. London Math. Soc., 3, № 23, 1971, p. 699-734.

[64] Guckenheimer J. and Worfolk P. Dinamical systems: some computational problems. Bifurcations and Periodic orbits of Vector Fields. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht etc., 1993, p. 241-278.

[65] Hale J. K. Non linear oscillations. New York, McGraw Hill, 1963.

[66] Hale J. KKogak H. Dynamics and Bifurcations. // Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New-York etc. 1991.

[67] Kozyakin V.S. and Krasnoselskii M.A. The method of parameter functionalization in the Hopf bifurcation problem, Nonlinear Analysis, 11, Vol. 2, 1987, P. 149-161.

[68] Krasnosel'skii A. M., Mawhin J. Periodic solutions of equations with oscillating nonlinearities. // Mathematical and Computer Modelling, 32, 2000, p. 1445-1455.

[69] Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. N.Y.: Springer, 1998.

[70] Kuznetsov A.P., Sataev I.R., Turukina L.V. Synchronization of forced quasi-periodic coupled oscillators.// Preprint nlin, 2011, p. 5382.

[71] Mettin R., Parlitz U., Lauterborn W. Bifurcation structure of the driven Van der Pol oscillator. // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1993, Vol. 3, № 6, P. 1529.

[72] Mitropolskiy Yury. A., Valeriy Hr. Samoylenko Onasymptotic solutions to delay differential equation with slowly varing coefficients'. // Nonlinear Analysis, 52, 2003, P. 971-988.

[73] Noris J. The dousing of Arnold tongues for periodically forced limit cycle. // Nonlinearity, 1993, Vol. 6, P. 1093.

[74] Shilnikov L.P., Turaev D. V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics// World Scientific Series on "Nonlinear Science", series A, vol.5, (Part 1+Part2), 2001, 957 p.

[75] Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. // Applied Mathematical Sciences, V. 41, SpringerVerlag, 1982.

[76] Vance W., Ross J. A detailed study of forced chemical oscillator: Arnold tongues and bifurcation sets. // Chem. Phys, 1989, Vol. 92, № 12, P. 7654.

[77] Ye Zhi-yong, Han Maoan J. Periodic orbits and invariant tori from a semistable limit cycle in the fast dynamics. Shanghai Jiaotong Univ. Sci, 2006. 11, № 1, P. 107-112.

[78] Yumagulov M. G. Operator approach for the studi of periodic solutions to Lienard equation. // Adv. in Math. Sci. AppL, Gakkotosho, Tokyo, 1997, Vol. 7, № 2, P. 569-578.

[79] Вышинский А. А., Ибрагимова JI. С., Муртазина С. А., Юмагу-лов М. Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах. // Уфимский математический журнал, Уфа, 2010, Т 2, № 4, С. 3 - 26.

[80] Вышинский А.А. Муртазина С.А. Приближенное исследование бифуркации малых решений операторных уравнений. // Новые программные средства для предприятий Урала: сборник научных трудов, Магнитогорск, 2006, Вып. 5, С. 100 - 102.

[81] Вышинский А. А. , Муртазина С. А. Асимптотические формулы в задаче о бифуркациях нелинейных колебаний. // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: ма-

териалы Всероссийской школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа, 2007, С. 20 - 21.

[82] Муртазина. С. А. Метод малого параметра в задачах приближенного построения малых автоколебаний. //Новые программные средства для предприятий Урала: сборник трудов региональной научно-технической конференции. Магнитогорск, 2004, Вып. 3, С. 199 - 201.

[83] Муртазина С.А. Алгоритмы приближенного построения периодических колебаний в двупараметрических системах автоматического управления. //Создание и внедрение корпоративных информационных систем (КИС) на промышленных предприятиях РФ: сборник трудов Международной научо-технической конференции, Магнитогорск, 2007, Вып. 2, С. 300 - 301.

[84] Муртазина С.А. Асимптотические формулы в задаче о бифуркации вынужденных колебаний в многопараметрических системах управления. // Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании: материалы научно-практической конференции, Сибай, 2008, С. 59 - 65.

[85] Муртазина С.А. Признаки бифуркации вынужденных колебаний в двупараметрических системах. // Уральский регион РБ: человек, природа, общество: материалы региональной научно-практической конференции, Сибай, 2009, С. 365 - 369.

[86] Муртазина С.А. Бифуркации вынужденных колебаний в системах автоматического регулирования. // Вестник Тамбовского университета: материалы международной конференции "Колмо-горовские чтения. Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2009) ", Тамбов, 2009, Т. 14, вып. 4, С. 773-775

[87] Мурт.азина С.А. Бифуркация субгармонических колебаний в многопараметрических динамических системах. // Дифференци-

альные уравнения и их приложения: труды Всероссийской научной конференции с международным участием, Стерлитамак, 2011, С. 113-115.

[88] Муртазина С. А. Исследование устойчивости вынужденных колебаний в многопараметрических системах. // Вестник Тамбовского университета: общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2011): материалы межд. конф. Колмогоровские чтения - V, Тамбов, 2011, Т. 16, Вып. 4, С. 1135 - 1137.

[89] Муртазина С.А. Расчет устойчивости вынужденных колебаний многопараметрических динамических систем. // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах: международный сборник научных трудов, Магнитогорск, 2011, Ч. 1, С. 198 - 203.

[90] Юмагулов. М.Г., Муртазина С.А. Коразмерность бифуркации векторных полей. //Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании: материалы научно-практической конференции, Сибай, 2008, С. 102 - 109.

[91] Юмагулов. М.Г., Муртазина С.А. Бифуркация вынужденных колебаний в многопараметрических системах управления. // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: труды международной научной конференции, Стерлитамак, 2008, Т.З, С. 51 - 55.

[92] Юмагулов М.Г., Вышинский А.А., Нуров И.Д., Мурт,азина С.А. Операторный метод исследования локальных бифуркаций многопараметрических динамических систем. // Вестник Санкт-Петербургского госуниверситета: прикладная математика, информатика, процессы управления, С.-Петербург, 2009, Серия 10, Вып. 2, С. 146 - 155.