Методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и их применение к задачам нелинейной электродинамики вакуума тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Вшивцева, Полина Александровна

• Вшивцева, Полина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вшивцева, Полина Александровна

Введение.

Глава I. Современный статус нелинейной электродинамики вакуума.

§ 1. Основные модели нелинейной электродинамики вакуума и их уравнения.

§ 2. Экспериментальный статус нелинейной электродинамики вакуума

• • )

§ 3. Астрофизические источники сильных магнитных полей.

§ 4. Постановка задачи.

Глава II. Развитие метода характеристик для задач нелинейной электродинамики вакуума.

§ 5. Теорема о нелинейном тензорном соотношении в произвольном

N-мерном псевдоримановом пространстве.

§ 6. Теорема о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала в четырехмерном пространстве-времени.

§ 7. Теорема об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума.

§ 8. Теорема об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума.

Глава III. Применение метода характеристик для решения задач искривления лучей в нелинейной электродинамике вакуума.

§ 9. Нелинейное гравитационно-электродинамическое искривление лучей слабых электромагнитных волн в полях пульсаров и магнетаров.

§ 10. Искривление лучей при произвольной ориентации магнитного момента.

§11. Теорема об интегрировании функции Грина по сфере единичного радиуса.

§ 12. Задача о нелинейно-электродинамическом удвоении частот.

§ 13. Задача о нелинейно-электродинамической задержке электромагнитного сигнала в сильном поле магнитного диполя.

Глава IV. Развитие метода апертур в задачах о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн.

§ 14. Расчет коэффициента нелинейно-электродинамического линзирования в задаче Райснера-Нордстрема.

§ 15. Нелинейно-электродинамическое линзирование электромагнитного излучения в поле магнитного диполя

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и их применение к задачам нелинейной электродинамики вакуума»

В современной теоретической и математической физике большую роль играют различные теоретико-полевые модели, использующие системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Такие уравнения, например, составляют основу общей теории относительности (ОТО), нелинейной электродинамики вакуума [1] и теории калибровочных полей. С общетеоретической точки зрения, такая тенденция вполне понятна: природа, как показывают результаты экспериментов [2], нелинейна и для адекватного описания происходящих в ней процессов необходимо использовать системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Как известно, различные модели нелинейной электродинамики вакуума достаточно долгое время рассматривались как абстрактная теоретическая возможность. Однако, в настоящее время их статус существенно изменился, так как проведенные эксперименты по взаимодействию лазерных фотонов с гамма-квантами со всей очевидностью показали, что электродинамика в вакууме является нелинейной теорией. Поэтому, в настоящее время одной из важнейших задач теоретической и математической физики является поиск различных решений нелинейных дифференциальных уравнений электродинамики вакуума и на их основе проведение экспериментов по проверке предсказаний различных моделей и выбор среди них наиболее адекватных природе.

Однако, исследование нелинейных теоретико-полевых моделей является серьезной математической проблемой из-за отсутствия общих методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому, для современной математической физики большое значение имеет разработка частных методов интегрирования таких уравнений, применимых только к конкретным разделам [3-5] математической физики.

Обычно стараются выявить симметрии дифференциальных операторов и с их помощью проводят генерацию новых решений [6]. В настоящей диссертации выбран другой путь построения частных методов интегрирования системы уравнений нелинейной электродинамики, использующий уравнения характеристик и вводящий понятие об эффективном псевдоримановом пространстве-времени.

Этим вопросам и посвящена настоящая диссертация.

В первой главе диссертации рассматриваются наиболее известные модели нелинейной электродинамики, их уравнения и выделяются особенности каждой теории. Обсуждаются возможности экспериментального подтверждения различных эффектов нелинейной электродинамики вакуума в различных условиях. Описываются различные астрофизические источники которые создают сильные электромагнитные и гравитационные поля. Обсуждается ряд задач взаимодействия лучей электромагнитных волн с полями астрофизических источников. На основе проведенного анализа сформулирована постановка задачи для настоящей диссертации.

Во второй главе диссертационной работы были выведены различные тензорные соотношения и доказаны следующие теоремы: теорема 1 о нелинейном тензорном соотношении в произвольном N-мерном псевдоримановом пространстве; теорема 2 о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала в четырехмерном пространстве-времени; теорема 3 об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума; теорема 4 об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума.

В третьей главе диссертации разработанные во второй главе методы применяются для решения задачи о гравитационно-электродинамическом искривлении лучей слабых электромагнитных волн в полях пульсаров и магнетаров, а также в задаче искривления лучей при произвольной ориентации магнитного момента. Доказана теорема об интегрировании угловой части функции Грина волнового уравнения. Решены задачи о нелинейно-электродинамическом удвоении частот и о нелинейно-электродинамической задержке электромагнитного сигнала в сильном поле магнитного диполя.

В главе четыре настоящей диссертации разработан метод апертур на примере задачи Райснера-Нордстрема. Рассчитан коэффициент микролинзирования и исследован эффект нелинейно-электродинамического линзирования электромагнитного излучения в поле магнитного диполя.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации и выносимые на защиту.

Эти результаты были опубликованы нами в одном препринте [18], в пяти тезисах конференций [9,12,15-17] и шести журнальных статьях [7,8,10,11,13,14]. Все шесть статей [7,8,10,11,13,14] опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях «Ломоносов-2003» и «Ломоносов-2008», а также на международной конференции «XXXI Гагаринские чтения» в 2005 году и «XXXIV Гагаринские чтения» в 2008 году.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Вшивцева, Полина Александровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, составляющие содержание диссертации и выносимые на защиту.

1. Доказана теорема 1 о нелинейном тензорном соотношении в произвольном N-мерпом псевдоримаиовом пространстве-времени. Данный результат является обобщением ранее известных результатов.

2. Доказана теорема 2 о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала для нелинейной электродинамики вакуума в четырехмерном пространстве-времени.

3. Доказана теорема 3 об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума.

4. Доказана теорема 4 об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума.

5. Решена задача о нелинейно-электродинамическом и гравитационном искривлении электромагнитных лучей при их распространении в сильных гравитационном и магнитном дипольном полях при произвольной ориентации магнитного момента.

6. Доказана теорема 5 об интегрировании функции Грина волнового уравнения с весовой функцией по сфере единичного радиуса. С использованием этой теоремы решена задача о нелинейно-электродинамическом удвоении частот при распространении электромагнитных волн в сильном магнитном дипольном поле.

7. Решена задача о нелинейно-электродинамической задержке электромагнитных волн в сильном поле магнитного диполя.

8. Доказана теорема о коэффициенте нелипейно-электродинамичекого линзирования электромагнитного излучения в задаче Райснера-Нордстрема. Решена задача о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитного излучения в сильных полях звезд.

Автор выражает глубокую, искреннюю благодарнсть научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Денисову Виктору Ивановичу за предоставление интересной темы, полезные советы и своевременные замечания, а также всему коллективу кафедры Прикладная математика "МАТИ" Российского Государственного Технологического Университета им. К.Э. Циолковского, возглавляемому доктором физико-математических наук, профессором Муравьем Леонидом Андреевичем, за создание благоприятной атмосферы, способствующей работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вшивцева, Полина Александровна, 2008 год

1. Кадышевский В. Г. , Родионов В. Н. , Поляризация электрон-позитрон-ного вакуума сильным магнитным полем в теории с фундаментальной массой. Теоретическая и математическая физика, 2003, Т. 136, № 3, С. 517-529.

2. Денисова И. П. , Дифференциальные уравнения, 1999, Т. 35, № 7, С. 935-941.

3. В.П. Маслов. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. -М.: Наука, 1977

4. В.П. Маслов. Операторные методы. М.: Наука, 1973.

5. G. Calvaruso, Three-dimensional homogeneous Lorentzian metrics with prescribed Ricci tensor, Journal of Mathematical Physics, 2007, 48, 123518.

6. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Нелинейно-электродинамический эффект удвоения частот в поле магнитного диполя. Доклады РАН, 2002, Т. 387, № 2, С. 178-180.

7. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Искривление лучей в магнитном поле нейтронной звезды при произвольной ориентации магнитного дипольного момента. Доклады РАН, 2003, Т. 393, № 4. С. 461-465.

8. Вшивцева П. А., Эффекты нелинейной электродинамики вакуума в астрофизических условиях. Тезисы докладов Международной конференции "Ломоносов-2003", 2003, секция "Физика", С. 157-159.

9. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Нелинейно-электродинамическая задержка электромагнитных сигналов в магнитном поле нейтронной звезды. Доклады РАН. 2004, Т. 399, №3 С. 330-333.

10. Вшивцева П. А., Кривченков И. В., Развитие метода апертур в задаче о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн. Вестник Московского Университета, сер. 3, 2006, Т. 3, С. 14г17.

11. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Кривченков И. В., Нелинейно-электродинамическое линзирование электромагнитных волн в поле магнитного диполя. Теоретическая и математическая физика, 2007, Т. 150, № 1, С. 85-94.

12. Вшивцева П. А., Теорема об эффективной метрике в нелинейной электродинамике вакуума Тезисы докладов Международной конференции "XXXIV Гагаринские чтения", секция "Прикладная математика и математическая физика",2008, С. 44-45.

13. Вшивцева П. А., Теорема о тензорной свертке в произвольном псевдо-римановом пространстве. Тезисы докладов Международной конференции "Ломоносов-2008", 2008, секция "Математика", С. 71-72.

14. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П. Теорема об интегрировании функции Грина по сфере единичного радиуса. Препринт, физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, №11/2008. -5 С.

15. Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. М. : Высшая школа, 1980. - 335 С.

16. Born М., Infeld L., Foundation of the new field theory. ProC. Roy. SoC., 1934, V. A144, P. 425-430.

17. Heisenberg W., Euler H., Consequences of Dirac Theory of the Positron. Z. Phys., 1936, B. 26, S. 714-720.

18. Александров E, В., Ансельм А. А., Москалев A. H., Двойное преломление вакуума в области интенсивного лазерного излучения. ЖЭТФ, 1985, Т. 89, № 4, С. 1181-1189.

19. Гальцов Д. В., Никитина Н. С., Макроскопические эффекты вакуума в неоднородных и нестационарных электромагнитных полях. ЖЭТФ, 1983, Т. 84, С. 1217-1224.

20. Родионов В. Н., Поляризация электрон-позитронного вакуума сильным магнитным полем с учетом аномального магнитного момента частиц. ЖЭТФ, 2004, Т. 125, Ж 3, С. 453-461.

21. Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Эффект нелинейно-электродинамического запаздывания электромагнитного сигнала в поле магнитного диполя. ЖЭТФ, 2002, Т. 122, № 8, С. 227-232.

22. Денисов В. И., Денисова И. П., Проверяемый пост-максвелловский эффектнелинейной электродинамики в вакууме. Оптика и спектроскопия, 2001, Т. 90, № 2, С. 329-335.

23. Денисов В. И., Денисова И. П., Уравнения эйконала в параметризованной нелинейной электродинамике вакуума. Доклады РАН, 2001, Т. 378, № 4, С. 463-465.

24. Денисов В. И., Исследование эффективного пространства-времени нелинейной электродинамики вакуума в поле магнитного диполя. Теоретическая и математическая физика, 2002, Т. 132, № 2, С. 211-221.

25. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М. ; Энергоатомиздат, 1985. - 293 С.

26. Denisov V. I., Krivchenkov I. V., Kravtsov N. V., The experiment for measuring of the post-Maxwellian parameters of nonlinear electrodynamics of vacuum with laser-interferometer techniques. Physical Review, D, 2004, V. 69, № 6, P. 066008.

27. V. I. Denisov, S. I. Svertilov, Nonlinear electrodynamic and gravitational actions of the neutron star fields on the propagation of the electromagnetic waves. Physical Review, D, 2005, V. 71, № 6, P. 063002.

28. Denisov V. I., New effect in nonlinear Born-Infeld electrodynamics. Physical Review, 2000, D 61, № 3. P. 036004.

29. Adler S. L., Photon splitting and dispersion in a strong magnetic field. Annals of Physycs (N. Y. ), 1971, V 67, P 599.

30. Тернов И. M., Халилов В. Р., Родионов В. Н. Взаимодействие заряженных частиц с сильным электромагнитным полем. М. : МГУ, 1982, - 304 С.

31. Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. М. : Энергоатомиздат, 1988. •

32. Denisov V. I., Denisov М. I., Verification of Einstein's principle of equivalence using a laser gyroscope in terrestrial conditions. Physical Review, 1999, D, V 60, № 4, P. 047301.

33. Розанов H. H., Четырехволновое взаимодействие интенсивного излучения в вакууме. ЖЭТФ, 1993, Т. 103, № 6, С. 1996-2007.

34. Denisov V. I.,Nonlinear effect of quantum electrodynamics for experiments with a ring laser. Journal of Optics, A, 2000, V. 2, №5, P. 372-379.

35. A. K. Harding, A. Muslimov., High-Altitude Particle Acceleration and Radiation in Pulsar Slot Gaps. Astrophysical Journal, 2003, V. 508. P. 328.

36. Thomson C. and Duncan R. C., The Soft Gamma Repeaters as Very Strongly Magnetized Neutron Stars. II. Quiescent Neutrino, X-Ray, and Alfven Wave Emission. Astrophysical Journal, 1996, V. 473, p. 322

37. R. Wijnands, M. van der Klis, A millisecond pulsar in an X-ray binary system. Nature, 1998, V. 394, p. 344.

38. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. М. : Мир, 1986. -276 С.

39. Mereghetti S. РгоС. NATO ASI "The Neutron Star Black Hole Connection"; 1999, Astro-ph/9911252.

40. Mereghetti S. Workshop "Frontier Objects in Astrophysics and Particle Physics"Vulcano, Italy. May 22-27, 2000. Astro-ph. 0102017.

41. Шен И., Принципы нелинейной оптики. М. : Наука. 1989 . - 557 С.

42. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М. : Наука, 1988. - 512 С.

43. Денисов В. И. Лекции по электродинамике. М. : УНЦ ДО, 2005. -271 С.

44. Саакян Г. С. Пространство-время и гравитация. Издательство Ереванского университета, 1985. - 340 С.

45. Бондарев А. Л. Новое тождество в пространстве Минковского и некоторые его применения. Теоретическая и математическая физика, 1994, Т. 101, № 242, Т. 2 С. 315-319.

46. Denisova I. P., Dalai М., Development of the method of potentials for the problems of gravitation electromagnetic conversion. Journal of Mathematical Physics, 1997, V 38, № 11, P. 5820-5832.

47. Denisova I. P., Mehta В. V., Tenzor expressions for solving Einshtein's equations by the method of sequential approximation. General Relativity and Gravitation, 1997, V 29, № 5, P. 583-589.

48. Денисова И. П. Введение в тензорное исчисление и его приложения.- М. : УНЦ ДО, 2004. 230 С.

49. П. В. Блиох, А. А. Минаков, Гравитационные линзы. Киев: Наукова думка, 1989.

50. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М. : Наука, 1967. - 661 С.

51. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М. : Наука, 1979 . - 431 С.

52. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М. : Гостех-издат, 1956. - 420 С.

53. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. М. : Наука, 1979. - 255 С.

54. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Г. Современная геометрия. М. : Наука, 1979. - 759 С.

55. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, Т. 1.- М. : Мир, 1982. 488 С.

56. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, Т. 2.- М. : Мир, 1984. 383 С.

57. Новиков С. П., Дубровин Б. А., Фоменко А. Т., Современная геометрия: Методы и приложения. М. :Наука, 1979.

58. В. Abdesselam, A. Chakrabarti, V. К. Dobrev, S. G. Mihov, Higher dimensional multiparameter unitary and nonunitary braid matrices: Even dimensions, Journal of Mathematical Physics, 2007, 48, 103505.

59. M.B. Карасев, В.П. Маслов, Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения. II. Операторные унитарно-нелинейные уравнения Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, ВИНИТИ, 1979, Т.13, 145-267.

60. Денисова И. П., Развитие метода спиновых коэффициентов для интегрирования уравнений биометрических теорий гравитации. Дифференциальные уравнения, 1999, Т. 35, 7, С. 935-941.

61. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М. : Физматгиз, 1961. - 504 С.

62. Багров В. Г., Вшивцев А. С., Кетов С. В. Дополнительные главы математической физики. Томск, Из-во Томского университета, 1990. -143 С.

63. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1988. - 548 С.

64. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М. : Наука, 1978. - 392 С.

65. Boillat G., Nonlinear Electrodynamics: Lagrangians and equations of motion. Journal of Mathematical Physics, 1970, V 11, № 3, p. 941-951.

66. M.V.Karasev, Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems Advances in Math.Sciences. AMS. Providence, 2003,S. 2, V. 208., P 284.

67. Курант P. Уравнения с частными призводными, М. :Мир, 1964. Т. 2

68. De-Xing Kong Kefeng Liu, Wave character of metrics and hyperbolic geometric flow, Journal of Mathematical Physics, 2007, V 48, P 103508

69. Э. Камке. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных I порядка, М. : Наука, 1966. -260 С.

70. Кошляков Н. С. и др., Уравнения в частных производных математической физики, М. : Высшая школа, 1970. -712 С.

71. Эльсгольц JI. Э., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М. : Наука, 1965. - 424 С.

72. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1971. - 576 С.

73. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М. : Наука, 1972. 735 С.

74. Зельдович Я. Б., Электромагнитные и гравитационные волны в постоянном магнитном поле. ЖЭТФ, 1973, Т. 65, №4, С. 1311.

75. Брагинский В. Б., Грищук JI. П., Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Сажин М. В., Электромагнииные детекторы гравитационных волн. ЖЭТФ, 1973, Т. 65, №5, С. 1729.

76. Эминов П.А., Жуковский К.В., Левченко К.Г., Ассоциативное рождение хиггсовских бозонов с Z-бозонами заряженным лептоном в сильных внешних полях. ЖЭТФ, 1998 г., Т. 113, № 6, С. 1979. е

77. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции Т. 1. М. : Наука, 1965. - 294 С.

78. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции Т. 2. М. : Наука, 1974. - 296 С.

79. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. : Наука, 1971 . - 1108 С.

80. Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория представления групп. М. : Наука, 1991. - 576 С.

81. Абрамович М., Стиган С. Справочник по специальным функциям. -М. : Наука, 1979, 81 С.

82. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1971, С. 208-220.

83. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1993.

84. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике.т- М.: Изд-во МГУ, 1998.

85. Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики. М. : Высшая школа, 1970, - 534 С.

86. JT. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред. М. : Наука, 1982.

87. Дж. Н. Ватсон. Теория бесселевых функций. М. : ИЛ, 1949, - 799 С.

88. Вшивцев А. С., Перегудов Д. В., Татаринцев А. В. Метод проективных операторов и построение функции Грина волнового уравнения. Известия Вузов, Физика, 1995, №242, 2, С. 80-89.

89. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М. : Советское радио, 1970. -517 С.

90. С. Gerard, R. Tiedra de Aldecoa, Generalized definition of time delay in scattering theory. Journal of Mathematical Physics, 2007, V. 48,P. 122101.

91. A.B. Борисов, А.С. Вшивцев В.Ч.Жуковский, П.А.Эминов, Фотоны и лептоны во внешних полях при конечных температуре и плотности УФН, 1997, Т.167, №3, С. 241-266.

92. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М. : Наука, 1975. - 431 С.и-'