Методы и цифровые устройства адаптивной многоскоростной обработки сигналов в задачах обратного моделирования динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Линович, Александр Юрьевич

• Линович, Александр Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Линович, Александр Юрьевич

Введение.

1 Постановка и математическая формализация задачи обратного моделирования динамических систем.

1.1 Краткий обзор технических приложений, в которых требуется решать задачу обратного моделирования.

1.2 Постановка и математическая формализация задачи обратного адаптивного моделирования.

1.3 Обзор и сравнительный анализ алгоритмов адаптации для решения задачи обратного моделирования динамических систем.

1.4 Общие принципы и теоретические основы построения субполосных адаптивных фильтров.

2 Исследование и разработка методов и алгоритмов адаптивной многоскоростной обработки сигналов применительно к классу задач v обратного моделирования динамических систем с постоянными и медленно меняющимися параметрами.

2.1 Разработка математических и программных моделей субполосных структур на основе многоскоростной адаптивной фильтрации.

2.1.1 Субполосные адаптивные фильтры на основе банков фильтров с максимальной (полной) децимацией.

2.1.2 Субполосные адаптивные системы с применением кросс-фильтров

2.1.3 Вещественные субполосные адаптивные фильтры на основе банков фильтров с немаксимальной (неполной) децимацией.

2.1.4 Комплексные субполосные адаптивные фильтры на основе банков фильтров с немаксимальной (неполной) децимацией.

2.2 Исследование и модификация методов синтеза банка фильтров, входящих в состав подсистем анализа-синтеза.

2.3 Исследование эффективности методов многоскоростной адаптивной и обработки сигналов.

2.3.1 Исследование эффективности методов многоскоростной адаптивной обработки сигналов по точности и скорости сходимости.

2.3.2 Исследование эффективности использования методов адаптивной многоскоростной обработки сигналов при адаптации в условиях действия аддитивных помех и оценка экономии вычислительных затрат.

3 Исследование и разработка методов адаптивной многоскоростной обработки сигналов применительно к классу задач обратного моделирования динамических систем с быстро меняющимися параметрами и переменной структурой.

3.1 Разработка математических и программных моделей систем с быстро меняющимися параметрами и переменной структурой.

4 3.2 Моделирование систем с быстро меняющимися параметрами.

3.3 Моделирование систем с переменной структурой.

3.4 Применение структур с многоступенчатой децимацией.

4 Оптимальное проектирование субполосных адаптивных фильтров на сигнальных процессорах и исследование эффективности их применения в технических приложениях.

4.1 Постановка и формализация задачи оптимального проектирования САФ на сигнальных процессорах.

4.2 Полифазная форма построения подсистем анализа-синтеза.

4.3 Разработка алгоритма решения задачи оптимального проектирования при реализации САФ на сигнальном процессоре.

4.4 Оценка влияния собственных шумов устройства.

4.5 Разработка аппаратно-программных средств обратного моделирования динамических систем в реальном времени.

4.6 Решение задачи обратного моделирования применительно к беспроводным локальным сетям.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и цифровые устройства адаптивной многоскоростной обработки сигналов в задачах обратного моделирования динамических систем»

Актуальность темы. Проблема обратного моделирования динамических систем с переменными параметрами была и остается на сегодняшний день одной из наиболее важных и актуальных задач, решаемых в области синтеза систем адаптивного управления и создания эффективных технических средств обработки и передачи информации в реальном времени. Сложность решения задачи обратного моделирования обусловлена как динамическим характером изменения параметров, а иногда и структуры, моделируемой системы, так и воздействием мешающих факторов: помех, шумов, нелинейных искажений. С увеличением порядка модели системы данная проблема становится практически неразрешимой.

Обратное моделирование является одной из задач адаптивной обработки сигналов. Теория адаптивной фильтрации появилась сравнительно давно, однако продолжает активно развиваться и в наше время. Свой вклад в развитие теории адаптивной фильтрации внесли известные отечественные и зарубежные ученые, такие как Я.З. Цыпкин, B.C. Пугачев, В.В. Шахгильдян, Г.П. Тартаковский, В.Н. Фомин, Г.А. Медведев, В.А. Григорьев, Б. Уидроу, С. Стирнз, К.Ф.Н. Коуэн, П.М. Грант, С. Хайкин и другие. На сегодняшний день известно множество адаптивных алгоритмов, которые используются в самых разнообразных устройствах и системах. Тем не менее, потребность в проведении исследований и разработке новых алгоритмов сохраняется и в наши дни.

Во многих' практических приложениях цифровой обработки сигналов требуется значительно увеличивать порядок адаптивных фильтров, применяемых для решения задачи обратного моделирования, чтобы повысить точность восстановления сигнала. Одним из примеров такого рода приложений являются беспроводные локальные сети (wireless local area networks), в которых скорость передачи данных весьма велика — до 52 Мбит/с для стандартов 802.11а (IEEE) и Hiperlan II (ETSI), а диапазон используемых частот составляет 5 ГГц. Беспроводная связь является одним из наиболее стремительно развивающихся на сегодняшний день направлений отрасли телекоммуникаций. Широкая полоса пропускания при динамичной частотной характеристике, искажения которой достаточно сложно компенсировать, вместе с высокой скоростью передачи данных приводит в подобных приложениях к необходимости использования адаптивных фильтров высокого порядка, работающих на высокой частоте дискретизации. Применение адаптивных фильтров высокого порядка связано с повышением вычислительных затрат, что делает адаптивный алгоритм трудоемким при реализации его на сигнальном процессоре в реальном времени. Поэтому важной задачей становится поиск методов и алгоритмов, направленных на снижение вычислительных затрат на адаптивную фильтрацию.

Приведем еще несколько примеров практических приложений, в которых возникает данная проблема. Кроме беспроводных локальных сетей (WLAN) широкую полосу пропускания используют проводные DSL-технологии. В этих двух видах систем передачи данных задача обратного моделирования сводится к выравниванию широкополосного канала связи, который может вносить сложные для компенсации межсимвольные искажения ^ в передаваемый сигнал. Кроме систем цифровой связи адаптивный фильтр высокого порядка может применяться при организации систем адаптивного управления, а также в системах обработки речевых сигналов: например, в системах акустического выравнивания.

Несмотря на постоянный рост производительности современных устройств обработки сигналов, применение адаптивных фильтров высоких порядков по-прежнему создает большие сложности при практической реализации. Поэтому нужны новые подходы к построению устройств адаптивной фильтрации.

Известно, что значительно снизить вычислительные затраты в ряде приложений цифровой фильтрации позволяет многоскоростная обработка сигналов. Многоскоростная обработка укрепила свои позиции при решении задач субполосного кодирования и подавления эхо-сигналов. Однако развивающаяся в последнее время теория расчета банков фильтров с немаксимальной (неполной) децимацией и банков фильтров с изменяющимися во времени параметрами делает возможным построение достаточно сложных адаптивных структур при значительном сокращении вычислительных затрат на их реализацию, когда речь идет о решении задачи обратного моделирования динамических систем.

Как будет показано далее, преимущества субполосных структур не ограничиваются только выигрышем по вычислительным затратам. В силу того, что во многих практических случаях входной сигнал, с которым проводится работа, характеризуется автокорреляционной матрицей, имеющей заметный разброс собственных значений, сигналы отдельных частотных диапазонов имеют характеристики, более близкие к характеристикам «белого шума», чем исходный сигнал. С другой стороны, если в некоторых диапазонах частот присутствуют аддитивные помехи, то такие помехи не оказывают влияния на настройку адаптивных фильтров, работающих в соседних полосах (при независимой настройке): Отсюда следует возможность дополнительно к сокращению вычислительных затрат повысить качество работы за счет разбиения сигнала на несколько частотных диапазонов перед непосредственной его обработкой.

Таким образом, применение методов многоскоростной обработки сигналов позволит значительно сократить затраты на реализацию известных адаптивных алгоритмов в случае решения задачи обратного моделирования динамических систем в реальном времени. С другой стороны, использование многоскоростной обработки дает возможность значительно повысить точность работы адаптивных систем- при сохранении прежнего уровня вычислительных затрат.

Многоскоростная фильтрация основана на идее вторичной дискретизации (децимации, интерполяции) обрабатываемого сигнала и обеспечивает снижение вычислительных затрат при реализации цифровых фильтров. Объединение методов адаптивной и многоскоростной обработки позволило на их стыке создать адаптивные многоскоростные структуры — субполосные адаптивные фильтры — отличающиеся намного более высокими качественными показателями. Существенный вклад в развитие теории многоскоростной обработки сигналов и субполосной адаптивной фильтрации: внесли как отечественные, так и зарубежные ученые: Р. Крошьер, JI.P. Рабинер, М. Белланже, В.В. Витязев, П.П. Вайдьянатхан, М. Веттерли, 3. Светкович, Р.В. Стюарт, М. Хартенек, Ч: Чуй, А. Акансу, Р. Хаддад и многие другие.

Таким образом, тема диссертационной работы, посвященная разработке эффективных структур субполосной адаптивной фильтрации, является актуальной, а результаты исследований должны дать новые научно значимые решения в области обратного моделирования динамических систем.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы являются исследование и модификация методов многоскоростной адаптивной обработки сигналов, разработка алгоритмов, программ и цифровых устройств на основе субполосной адаптивной фильтрации применительно к классу задач обратного моделирования динамических систем, а также исследование их эффективности в ряде технических приложений.

Достижение поставленной цели работы включает решение следующих задач:

• разработка и модификация структур адаптивных цифровых фильтров на основе субполосного разбиения, способных обеспечить достаточно высокую скорость и точность настройки адаптивной многоскоростной системы обратного моделирования при одновременном уменьшении вычислительных затрат на ее реализацию;

• синтез банков фильтров, входящих в состав подсистем анализа и синтеза, обеспечивающих заданную точность восстановления;

• разработка методов и алгоритмов субполосной адаптивной фильтрации на основе многоскоростной обработки сигналов, синтезированных банков фильтров подсистемы анализа-синтеза, известных алгоритмов адаптации и выбранной структуры построения субполосного разбиения;

• исследование эффективности методов и алгоритмов многоскоростной адаптивной обработки сигналов в задачах обратного моделирования динамических систем;

• разработка методики оптимального проектирования субполосных адаптивных фильтров на сигнальных процессорах;

• создание программного обеспечения, соответствующего полученной адаптивной структуре, и его оптимизация с учетом специфики конкретной используемой аппаратной платформы.

Методы проведения исследований. В ходе проведения работы использовались методы компьютерного моделирования, математической статистики, матричного исчисления, вычислительной математики и другие методы, позволяющие подготовить результаты проведенных экспериментов для их более полного описания и сравнения с теоретически полученными зависимостями. При моделировании и разработке программ использовались следующие программные продукты: MATLAB 6.5, Borland С++ Builder, ADSP-218x EZ-KIT.

Научная новизна работы

1. Предложен новый подход и совокупность методов решения задачи обратного моделирования динамических систем, в основе которых лежит использование банков адаптивных фильтров, подсистем анализа-синтеза и методов многоскоростной обработки сигналов с прореживанием по времени.

2. Впервые проведены исследование эффективности и сравнительный анализ методов адаптивной многоскоростной фильтрации в задачах обратного моделирования динамических систем при использовании различных классов банков фильтров и даны рекомендации по их применению.

3. Разработаны алгоритмы расчета банков фильтров с немаксимальной децимацией и неравномерным разбиением по частоте, в основе которых лежит идея многокритериальной оптимизации характеристик фильтров анализа-синтеза, построенных путем косинусной модуляции на основе нескольких фильтров-прототипов при специальных наложенных ограничениях.

4. Предложена и разработана методика оптимального проектирования субполосных адаптивных фильтров, которая опирается на многокритериальный подход и формализованное описание алгоритмов обработки сигналов на цифровых сигнальных процессорах с учетом их архитектуры и выделенных ресурсов.

Практическая значимость работы. Представленные в диссертационной работе алгоритмы субполосной адаптивной фильтрации могут быть использованы при проектировании высокоскоростных средств связи, использующих широкую полосу пропускания, таких как беспроводные локальные сети (WLAN) и xDSL-технологии передачи данных по каналам на основе медной пары, а также при проектировании устройств акустического выравнивания. Разработанные в диссертации методы, алгоритмы и программное обеспечение были использованы при выполнении госбюджетной научно-исследовательской работы, проводимой в ГОУВПО «Рязанской государственной радиотехнической академии» по заказу Министерства образования РФ (НИР № 17-03F), и при выполнении ряда хоздоговорных работ проводимых в ГОУВПО «Рязанской государственной радиотехнической академии» по заказу ФГУП «НИИ автоматики» (г. Москва): НИР № 6-01, НИР № 3-05, а также в учебном процессе, что подтверждается актами внедрения.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработанные и исследованные методы многоскоростной адаптивной фильтрации применительно к решению задачи обратного моделирования динамических систем с глубокими «замираниями» и, как следствие, протяженными импульсными характеристиками, отличающиеся повышенной точностью настройки параметров и существенным сокращением вычислительных затрат.

2. Субполосные структуры банков фильтров с неравномерным разбиением на полосы рабочих частот и немаксимальной децимацией и результаты моделирования, показывающие, что при прочих равных условиях, такие структуры обладают наилучшими характеристиками процесса адаптации.

3; Алгоритмы расчета банков фильтров с немаксимальной децимацией и неравномерным разбиением по частоте, отличающиеся высокой частотной избирательностью и результаты моделирования, показывающие влияние частотной избирательности фильтров подсистемы анализа-синтеза на качество восстановления сигнала и на точность решения задачи обратного моделирования.

4. Методика оптимального проектирования многоскоростных адаптивных фильтров, реализуемых на базе цифровых сигнальных процессоров, отличающаяся эффективным использованием выделенных вычислительных ресурсов при заданных ограничениях и целевой функции.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 10-й МНТК «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» (Рязань, 2001), 12-й МНТК «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» (Рязань, 2004), 6-й МНТК «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва, 2004), ВНТК

Информационно-телекоммуникационные технологии» (Сочи, . 2004), ВНКСА «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2004), 30-й МНПК «Информационно-телекоммуникационные технологии» (Рязань, 2004), 13-й МНТК «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» (Рязань, 2004), 7-й МНТК «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва 2005), 12-й ВМНТК студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика - 2005» (Москва, 2005).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 47 наименований и 8 приложений. Общий объем диссертационной работы вместе с приложениями составляет 221 страницу, включая приложения, 8 таблиц, 96 рисунков. Диссертация без приложений содержит 176 страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Линович, Александр Юрьевич

Выводы по третьей главе:

1. Полученные в процессе проведенного моделирования результаты показывают преимущество САФ перед адаптивными устройствами, не использующими методов многоскоростной обработки, заключающееся в повышении быстродействия, а значит и качества настройки при работе с моделируемыми системами с быстро меняющимися параметрами и переменной структурой.

2. Многоступенчатая форма < построения подсистемы анализа-синтеза позволяет гибко формировать структуру субполосного разбиения, что удобно при наличии особенно сложных искажений на отдельных частотах, а также при действии узкополосных помех.

3; Применение многоступенчатого разбиения по частоте и гибкое формирование структуры подсистемы анализа-синтеза позволяют значительно сократить вычислительные затраты при построении устройств адаптивной фильтрации. Более подробно решение задачи оптимального проектирования обсуждается в следующей главе.

4 ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СУБПОЛОСНЫХ АДАПТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ НА СИГНАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОРАХ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проделанной работы были проведены разнообразные исследования, цель которых состояла в демонстрации преимуществ, получаемых при использовании тех или иных методов многоскоростной обработки цифровых сигналов применительно к решению задачи обратного моделирования динамических систем с постоянными и быстро меняющимися параметрами, а также систем с изменяющейся структурой.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о необходимости применения субполосного разбиения обрабатываемого сигнала в случае решения задачи обратного моделирования систем с относительно сложными частотными характеристиками. Это означает, что выигрыш от использования субполосного разбиения становится особенно ощутимым с повышением порядков адаптивных фильтров, начиная с нескольких сотен, а в ряде случаев уже с нескольких десятков весовых коэффициентов.

Основные научные и практические результаты работы заключаются в следующем:

1. Проведено подробное исследование и сравнительный анализ эффективности применения различных методов реализации субполосных адаптивных структур на основе многоскоростной обработки сигналов.

2. Показано, что при прочих равных условиях «наилучшими» характеристиками обладают субполосные структуры с неравномерным разбиением на субполосы, использующие немаксимальную децимацию.

3. Модифицированы структуры с разбиением на разное число полос, проведен сравнительный анализ для случая разбиения на разное число полос (и для структуры, не использующей такого разбиения).

4. Проведены исследования субполосных структур, использующих разные типы адаптивных алгоритмов.

5. Разработана методика эффективной реализации на базе цифровых сигнальных процессоров.

6. Показано влияние избирательных свойств фильтров подсистемы анализа-синтеза на качество восстановления исходного сигнала и на точность решения задачи обратного моделирования.

7. Проведено исследование качества работы субполосных адаптивных структур для сигналов с неравномерным распределением спектральной плотности мощности и в присутствии аддитивного шума.

8. Разработана программа на языке ассемблер для цифровых сигнальных процессоров семейства ADSP-218x для 3-полосной структуры адаптивной фильтрации.

Из дополнительных результатов, полученных в ходе работы, можно выделить разработку программ, позволяющих рассчитывать коэффициенты фильтров подсистемы анализа-синтеза с неравномерным разбиением, которые могут быть использованы для построения реальных систем с немаксимальной децимацией.

Остается открытым вопрос о повышении точности расчета подсистем анализа-синтеза с неравномерным разбиением. Не рассмотрена также и возможность применения подсистем анализа-синтеза с изменяющимися во времени коэффициентами. Это связано с тем, что теория расчета таких банков фильтров на сегодняшний день находится на этапе своего развития. Тем не менее, несмотря на это, качество рассчитанных с помощью уже разработанных алгоритмов банков фильтров анализа и синтеза с неравномерным разбиением уже сейчас дает возможность построения структур, позволяющих решать задачу обратного моделирования с достаточной точностью.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Линович, Александр Юрьевич, 2005 год

1. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

2. Прокис Дж. Цифровая связь: Пер. с англ. / Под ред. Д.Д. Кловского. М;: Радио и связь, 2000. 800 с.

3. Дэвис Дж., Карр Дж. Карманный справочник радиоинженера / Пер. с англ. М.: Издательский дом «Додэка-ХХ1», 2002. 554 с.

4. Столингс В. Беспроводные линии связи и сети / Пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2003. 640 с.

5. Ратынский М.В. Основы сотовой связи / Под ред. Д.Б. Зимина М.: Радио и связь, 1998. 248 с.

6. Справочник по радиорелейной связи / Под ред. С.В. Бородина. М;: Радио и связь, 1981. 416 с.

7. Горальски В.Дж. Технологии ADSL и DSL. М.: 2000. 296 с.

8. Парфенов Ю.А., Мирошников Д.Г. «Последняя миля» на медных кабелях. М.: 2001. 221 с.

9. Парфенов Ю.А. Кабели электросвязи. М.: 2003. 253 с.

10. ETSI TS 101 475 Vl.2.2 (2001-02): "Broadband Radio Access Networks (BRAN); HIPERLAN Type 2; Physical (PHY) layer".

11. M. Huemer, L. Reindl, A. Springer, R. Weigel, "Frequency Domain Equalization of Linear Polyphase Channels," Proceedings of the Vehicular Technology Conference 2000, Tokio, Japan, May 2000.

12. М.Алгоритмы адаптации цифровых фильтров в радиотехнических устройствах: Учеб. пособие / С.Н. Кириллов, O.JI. Виноградов, А.А. Лоцманов; Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань, 2004. 80 с.

13. Haykin S. Adaptive Filter Theory, 4th edition. Prentice Hall, 2002. 936 pp.

14. Сергиенко А.Б. Алгоритмы адаптивной фильтрации: особенности реализации в MATLAB // Exponenta Pro. Математика в приложениях, № 1, 2003. С. 18 -28.

15. Адаптивные фильтры: Пер. с англ. / Под ред. К.Ф.Н. Коуэна и П.М. Гранта. М.: Мир, 1988. 392 с.

16. В. Widrow and М. Ноff Adaptive switching circuits, in IRE Wescon Conv. Rec., pt. 4 pp. 96 104, 1960.

17. Уидроу Б. и др. Комплексная форма алгоритма НСКО // ТИИЭР, № 3, 1975. С. 49-51.

18. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993. 240 с.

19. Crochiere R., Rabiner L. Multirate Signal Processing, Prentice Hall, Inc., 1983.

20. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы, 4.1 М.: Советское радио, 1967.440 с.

21. Пенин П.И., Филиппов Л.И. Радиотехнические системы передачи информации. М.: Радио и связь, 1984. 256 с.

22. Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации. М.: Советское радио, 1976. 368 с.

23. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации. М.: Высш. шк., 1989. 320 с.

24. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1985.312 с.

25. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов, 2-изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1990. 256 с.

26. Вайдьянатхан П.П. Цифровые фильтры, блоки фильтров и полифазные цепи с многочастотной дискретизацией: Методический обзор // ТИИЭР, №3, 1990. С. 77-119.

27. Akansu A. and Haddad R. Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets, Second Edition, Academic Press, 2001.

28. Крошьер P.E., Рабинер JI.P. Интерполяция и децимация цифровых сигналов: Методический обзор // ТИИЭР, Т. 69, № 3, март 1981. С. 14 49.

29. Vaidyanathan P.P. Multirate Systems and Filte Banks. Prentice-Hall Signal Processing Series. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993.

30. Cvetkovic Z. and Vetterli M. Oversampled Filter Banks // IEEE Transactionson Signal Processing, Vol. 46, Nr. 5, May 1998. pp. 1245 1255.

31. Cvetkovic Z. and Vetterli M. Tight Weyl-Heisenberg frames in r(Z) // IEEE Transactions on Signal Processing, Vol; 46, Nr. 5, May 1998. pp. 1256 1259.

32. Gilloire A. and Vitterli M. Adaptive Filtering in Subbands with Critical Sampling: Analysis, Experiments, and Application to Acoustic Echo Cancellation // IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 40(8), August 1992. pp. 1862 1875.

33. Herley C. and Vetterli M. Wavelets generated by IIR filter banks // IEEE Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, March 1992. pp. 601— 604.

34. Рабинер JI., Шафер P. Цифровая обработка речевых сигналов. М.: Радио и связь, 1981.

35. Рабинер JI., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

36. Марков С. Цифровые сигнальные процессоры. Книга 1. М.: Микроарт, 1996.

37. J. Bingham The theory and practice of modem design, John Willey and Sons, Inc., 1988.

38. Martin R., Balakrishnan R., Sethares W., and Johnson C. A Blind Adaptive TEQ for Multicarrier Systems // IEEE Signal Processing Letters, vol. 9, No. 11, November 2002.

39. Akansu A., Medley M. Wavelet, Subband and Block Transforms in Communications and Multimedia, Kluwer Academic Publishers, 1999.

40. IEEE 802.16.3c, 2001: Analysis of PHY waveform Peak to Mean Ratio and Impact of RF Amplification.

41. Falconer D., Ariyavisitakul S., Benyamin-Seeyar A., and Edison В. Frequency Domain Equalization for Single-Carrier Broadband Wireless Systems // IEEE Communications Magazine, Vol. 40, No. 4, April 2002. pp. 58 66.