Методы и алгоритмы управления аэрокосмическими летательными аппаратами с использованием нелинейных моделей с повышенными степенями управляемости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ху Юйхуэй

• Ху Юйхуэй
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Ху Юйхуэй

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ АЭРОКОСМИЧЕСКИМИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТПМИ

1.1. Системы управления аэрокосмическими летательными аппаратами

1.2. Методы управления и математические модели

1.3. Критерий степени управляемости

1.4. Задача управления траекторией спуска в атмосфере

1.5. Задача управления нормальными перегрузками по обратной связи углового ускорения

1.6. Алгоритм оптимального управления линеаризованной системой с параметрами, зависящими от состояния

1.7. Алгоритм управления с активным подавлением помех

1.8. Постановка задачи исследования

Выводы по главе

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СТЕПЕНИ УПРАВЛЯЕМОСТИ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.1. Критерий степени управляемости нестационарной системы

2.2. Критерий степени управляемости по выходу

2.3. Критерий степени управляемости нелинейной системы

2.4. Степень управляемости системы, преобразованной методом «расширенной линеаризацией»

Выводы по главе

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ ОТСЛЕЖИВАНИЯ

Стр.

3.1. Оптимальное управление, основанное на решении уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния

3.2. Регулятор на основе алгоритма управления с активным подавлением помех

3.2.1. Регулятор на основе алгоритма управления с активным подавлением помех для отслеживания траектории

3.2.2. Регулятор на основе алгоритма управления с активным подавлением помех для управления перегрузками

3.2.3. Регулятор на основе алгоритма управления с повышенной степенью управляемости

Выводы по главе

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

4.1. Исследование степени управляемости при спуске по опорной траектории

4.2. Исследование степени управляемости по выходу при синтезе системы управления нормальными перегрузками с угловыми датчиками

Выводы по главе

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

БЦВМ бортовая цифровая вычислительная машина

ВМЛА высокоманевренный летательный аппарат

КЛА космический летательный аппарат

КУ Комбинированное управление

СУ Система управления

DoC (англ. degree of controllability, степень управляемости)

DOC (англ. degree of output controllability, степень управляемости по выходу)

ОСУУ Обратная связь с угловым ускорением

ОСУС Обратная связь с угловой скоростью

ОД Отслеживающий-дифференциатор

НРС Наблюдатель расширенного состояния

ADRC (англ. Active disturbance rejection control)

ESO (англ. extended state observer)

RL (англ. Reninforcement learning, обучение с подключением)

SDC (англ. state-dependent coefficient)

SDRE (англ. state-dependent Riccati equation)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы управления аэрокосмическими летательными аппаратами с использованием нелинейных моделей с повышенными степенями управляемости»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Управление современными летательными аппаратами (ЛА) осуществляется с использованием разнообразных систем управления (СУ). В основе СУ лежат различные алгоритмы управления. Выбор алгоритма управления проводится с учетом типа ЛА, особенностей его функционирования, типа решаемых задач, возможностей бортовой вычислительной системы и выделяемого объема памяти для реализации алгоритма управления, точностных требований и др. [17, 18]. В настоящее время создано большое количество различных видов алгоритмов управления. Эти алгоритмы отличаются высокими характеристиками, основной из которых является точность управления. Дальнейшее совершенствование алгоритмов управления связано с использованием более точных математических моделей, повышением степени робастности, применении специальных процедур, обеспечивающих увеличение степени адаптивности СУ и др. [21]. Усложнение алгоритмических решений сопряжено с увеличением требуемых вычислительных мощностей бортовой цифровой вычислительной машины (БЦВМ). С учетом ограничения на вычислительные ресурсы, отводимые для реализации алгоритмов СУ, используется алгоритмический подход, предполагающий повышение качественных характеристик математических моделей, применяемых в алгоритмах управления [27, 36, 38]. Преимуществами этого подхода является возможность повышения точности СУ за счет выбора моделей с улучшенными характеристиками, а также возможность использования уже существующих алгоритмов, что является важным при модернизации серийных СУ ЛА [24]. Требования к производительности БЦВМ при реализации такого подхода к синтезу алгоритмического обеспечения СУ не меняются.

При разработке алгоритмов СУ ЛА с моделями, имеющими повышенные качественные характеристики, для вычисления уровня исследуемых характеристик используются численные критерии [18, 21, 31]. В качестве

критериев обычно применяются критерии степени управляемости переменных состояния [33], степени наблюдаемости переменных состояния [41] и критерии степени параметрической идентифицируемости [20]. Выбор используемого критерия осуществляется в зависимости от особенностей алгоритмического обеспечения СУ.

Критерии степени наблюдаемости и параметрической идентифицируемости разработаны для различных практических приложений и часто имеют универсальных характер, а критерии степени управляемости переменных состояния моделей, как правило, требуют проведение дополнительных предварительных вычислений и поэтому меньше используются в практических приложениях для повышения точности алгоритмов СУ. Особенно актуально проведение исследований по разработке критериев степени управляемости переменных состояния в нелинейной постановке задачи.

Таким образом, выбор или разработка критериев степени управляемости переменных состояния моделей, применяемых в СУ, а также синтез алгоритмов управления с моделями, имеющими повышенные характеристики управляемости, является важным и актуальным комплексом задач. Решение этого комплекса задач обеспечит повышение точности управления серийными атмосферными ЛА, космическими ЛА (КЛА), особенно высокоманевренными перспективными ЛА.

Большой вклад в разработку критериев оценки степени управляемости внесли П.К. Мюллер, М.А. Хамдан, А.М. Формальский, Р.В. Лонгман, С.Д. Земляков, К.А. Неусыпин, Суан Фанг Фам, М.С. Селезнева, Кай Шэнь, Н.Е. Зубов, Лифей Чжан, В.Н. Афанасьев.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритмов управления ЛА с нелинейными моделями, имеющими повышенные степени управляемости.

Задачи исследования:

1. Разработка критерия степени управляемости переменных состояния нестационарной системы для оценивания и оптимизации опорной траектории спуска КЛА.

2. Разработка системы управления траекторией спуска КЛА с использованием алгоритма управления с активным подавлением помеха (ADRC) с повышенными степенями управляемости.

3. Разработка критерия степени управляемости по выходу. Синтез СУ перегрузками ЛА с датчиком углового ускорения на основе критерия степени управляемости по выходу.

4. Разработка критерия степени управляемости SDC-представления нелинейной системы для построения оптимального управления на основе решения уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния (SDRE).

5. Разработка адаптивного алгоритма управления с нелинейной моделью ЛА, имеющей повышенную степень управляемости, для улучшения быстродействия и точности при посадке и манёврах ЛА.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан критерий степени управляемости переменных состояния нестационарной системы, отличающийся от аналога способностью качественной оценки управляемости каждого компонента вектора состояния и простотой использования в БЦВМ ЛА.

2. Предложен метод оценивания степени управляемости спуска КЛА в атмосфере с помощью разработанного критерия и по различным номинальным траекториям, с разными начальными условиями и алгоритмами управления. Использование в алгоритме управления с активным подавлением помех (Active Disturbance Rejection Control, ADRC) моделей с повышенной степенью управляемости, по сравнению с ПИД-регулятором точность повышена на 7%.

3. Разработан критерий степени управляемости по выходу, отличающийся от прототипа способностью определения управляемости системы, применяемый для селекции навигационной информации от разных угловых датчиков. Предложена структура системы управления ЛА с использованием углового акселерометра и оценена степень управляемости системы с использованием разных датчиков.

4. Приведен анализ управляемости системы управления с разными обратной связями от угловых датчиков, имеющих различные свойства статической устойчивости ЛА.

5. Разработан критерий степени управляемости переменных SDC-модели для построения оптимального управления на основе решения уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния (SDRE) при сложных манёврах ЛА. Разработан адаптивный алгоритм управления с использованием SDC-модели с повышенной степенью управляемости с помощью предложенного критерия, отличающийся от аналога повышенной эффективностью СУ.

Достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов подтверждаются четкими математическими выводами при разработке алгоритмов и критериев, результатами математического моделирования, а также согласованностью известных и полученных в работе результатов.

Практическая значимость результатов исследования:

Разработанные критерии степени управляемости позволяют оценить качественные характеристики моделей динамических систем разных типов при сложных неопределенных условиях функционирования ЛА. Построение и оптимизация математических моделей с помощью разработанных критериев повысят точность и эффективность алгоритма управления без дополнительных конструктивных модификаций. Результаты диссертационного исследования использованы в учебном процессе кафедры систем автоматического управления МГТУ им. Н.Э. Баумана и при реализации конкретного технического проекта в Пекинском Политехническом Институте (Пекин, КНР)

Методы исследования. При решении задач использовались методы теории автоматического управления, системного анализа, теории оптимального управления, теории нелинейной системы. Проверка эффективности разработанных алгоритмов и критериев проведена методом математического моделирования в среде MATLAB.

Основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту:

1. Численный критерий степени управляемости переменных состояния нестационарной системы

2. Численный критерий степени управляемости по выходу нестационарной системы.

3. Адаптивная структура СУ с использованием датчика углового ускорения с повышением степени управляемости по выходу.

4. Численный критерий степени управляемости с SDC-моделью СУ.

5. Адаптивный алгоритм управления с использованием SDC-моделей, имеющих повышенные степени управляемости.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XIII Будущее машиностроения России (Москва, 2020 г) XL Китайская конференция по управлению (Шанхай, КНР 2021 г.), XLV, XLVI XLVII Академические Чтения по космонавтике (Королевские Чтения, 2021-2023 г.), Международная научно-техническая конференция "Автоматизация" (Сочи, 2022 г.), Международная конференция по наведению, навигации и управлению (Харбин, КНР, 2022 г.), XV Международной симпозиум « Проблемы экоинформатики» (Москва, 2022г) II всероссийская научная конференция Искусственные Интеллект в Автоматизированных Системах Управления и обработки данных (Москва, 2023 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, из них 7 статей в журналах из Перечня рецензируемых научных изданий - ВАК РФ и 4 статьи в Перечне международных научных изданий в системе Web of Science и Scopus, общим объемом 14,0 п.л./7,9 п.л.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 111 наименований. Текст диссертации изложен на 138 страницах, содержит 35 рисунков и 12 таблицы.

Во введении представлены: актуальность направления исследования для формирования цели работы и задач диссертации, объект исследования, предмет исследования, методы исследования, научная новизна, практическая значимость

результатов исследования, достоверность и обоснованность, основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту, данные об апробации работы и публикациях, структура и объем работы.

В первой главе представлен обзор современных СУ аэрокосмическими ЛА и проанализированы достоинства и недостатки разных алгоритмов управления. Обоснована важность внедрения концепции повышения степени управляемости СУ, к которым предъявляются высокие требования по точности, и представлена классификация существующих критериев степени управляемости, разработанных на основе различных принципов. Сформулирована постановка задачи диссертационной работы.

Во второй главе разработаны разнообразные численные критерия для определения степени управляемости моделей динамических систем, предназначенных для разных постановок задач полета ЛА.

Представлены известные критерии управляемости линейной нестационарной и нелинейной систем. Разработаны ряд критериев степени управляемости на основе принципа управления с минимальным расходом энергии, позволяющие определить степени управляемости системы и каждой переменной состояния.

Разработан критерий степени управляемости, который основан на решении задачи оптимального управления с минимальным расходом энергии. Предложенный критерий заключается в количественном определении матрицы управляемости и состоит из двух частей: сингулярные значения Грама характеризуют степени управляемости. Сформулированы три правила для нормализации значения степени управляемости переменных состояния системы.

Предложен модифицированный критерий для количественной оценки управляемости подпространства состояний для линейных нестационарных систем.

Для оптимального управления по выходу системы разработан новый критерий степени управляемости по выходу, основанный на матрице управляемости Грамиана по выходу.

Разработан критерий степени управляемости для СУ с SDC-моделью с целью оценки управляемости и повышения производительности SDRE алгоритма управления.

С учетом недостатка подхода оценивания степени управляемости на основе полной информации о математической модели системы разработан алгоритм построения матрицы управляемости Грамиана путём численного решения уравнений Ляпунова с измерением выхода и управляющего воздействия вдоль траектории для оценивания степени управляемости при функционировании ЛА в режиме реального времени

Во третьей главе разработаны алгоритмы управления аэрокосмическими ЛА с повышенной степенью управляемости.

Разработан регулятор на основе алгоритма управления с компенсатором ADRC. Для осуществления отслеживания номинальной траектории ЛА использован алгоритм «активного управления с подавлением помеха» (Active Disturbance Rejection Control, ADRC), который состоит из отслеживающего дифференциатора (TD), наблюдателя с расширенным состоянием (ESO), нелинейной комбинации обратной связи (NLSEF) и комбинированного управления. Регулятор основан на динамической модели ускорения второго порядка.

Разработка оптимального управления основано на решении уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния (SDRE) для управления по выходу.Для синтеза СУ с использованием разных угловых датчиков (углового акселерометра и углового датчика) разработано оптимальное управление по выходу системы, основанное на решении уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния.

По предложенному алгоритму SDRE управления разработана СУ нормальными перегрузками с использованием разных сигналов выходного углового измерения (обратная связь с угловыми ускорением, ОСУУ, и обратная связь с угловой скоростью, ОСУС).

Четвертая глава посвящена решению задач управления спускаемым КЛА по опорной траектории и управления нормальной перегрузками атмосферным ЛА с модифицированными алгоритмами управления, и также математическому исследованию степени управляемости высокоманевренного атмосферного ЛА с использованием предложенных критериев степени управляемости.

Предложена иерархическая процедура исследования управляемости маневра КЛА вдоль траектории спуска в атмосфере с разработанным критерием степени управляемости нестационарной системы. Для иерархического исследования управляемости проведена разработка математической модели, включающая линеаризацию нелинейной динамической модели, развязку движения в продольном направлении и дискретизацию непрерывной модели.

На основе полученной модели спуска КЛА проведены проверки полной управляемости спуска и исследования динамической управляемости.

По результатам вычисления степени управляемости системы можно делать вывод, что алгоритм управления ADRC, который отслеживает траекторию с лучшей производительностью по сравнению с алгоритмом ПИД, обладает большей степенью управляемости вдоль спускаемой траектории. Кроме этого, разработанный критерий способен выделить самый эффективно управляемый участок при спуске КЛА в атмосфере.

Исследована задача управления нормальными перегрузками высокоманевренного ЛА с разными угловыми датчиками. Представлены результаты математического моделирования СУ нормальными перегрузками с использованием линейного акселерометра и углового акселерометра нового типа. Спроектированы СУ с разными статическими устойчивостями (т.е. устойчивая, нейтрально-устойчивая и неустойчивая).

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ

АЭРОКОСМИЧЕСКИМИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТПМИ

1.1. Системы управления аэрокосмическими летательными аппаратами

Современные ЛА, включающиеся в себя, планирующие крылатые летательные аппараты [22, 92], многоразовые орбитальные корабли [7, 61], и междупланетные спускаемые КЛА [11, 48, 80, 110] отличаются от существующих прототипов большой скоростью, широкой диапазона полета и высокой манёвренностью при сложных средах функционирования. Соответствующие концептуальные схемы спуска этих аэрокосмических транспортных систем представлены на Рис. 1.1-1.3.

а) б)

Рис. 1.1. Планирующие крылатые летательные аппараты:

а) X-51 б) X-43

Рис. 1.2. Многоразовые орбитальные корабли: а) Boeing X-37B; б) Буран

а) б)

Рис. 1.3. Междупланетные спускаемые КЛА: а) Марсианская научная лаборатория Кьюриосити; б) Спэйс-экс старшип

Динамические характеристики аэрокосмических ЛА с высокой маневренностью состоят из следующих аспектов:

(1) Перекрёстные связи между каналами управления: с развитием и усложнением СУ и повышением требуемой производительности нецелесообразно упрощать систему с перекрёстными связями, разбивая её на несколько простых систем и игнорируя связь между ними. Действующая сила на высокоманёвренные ЛА сильно различается при различных положениях, так что движение ЛА в любом одном канале будет влиять на движение в двух других каналах [8]. Например, перекрестные связи каналов приводит к неуправляемому индуктивному крену ВМЛА [104], что приводит к чрезвычайно большим индуцированным крутящим моментам, которые даже превышают управляющий момент поверхности руля направления самого канала. Поэтому при маневрировании неразумно пренебречь эти перекрёстные связи. Таким образом, определение условий связи, развязки, использования и координации связи становится важной задачей при управлении высокоманёвренными ЛА.

(2) Аэродинамика:

Из-за отсутствия аэродинамических данных при высоких числах Маха в процессе моделирования необходимо учитывать достаточную неопределенность, а также диапазон и серьезность изменений параметров. Кроме этого, воздушно-реактивные ВМЛА предъявляют очень жёсткие требования к углу атаки, а измерение самого угла атаки является очень сложной задачей. Как реализовать

очень точное управление физическо-неизмеримой величиной стало проблемой управления полётом высокоманёвренных ЛА.

Нелинейные вихри и ударные волны при высокоскоростном полете становятся основным источником подъёмной силы. Кроме того, происходит быстрое насыщение руля направления, которое очень чувствительно к начальному состоянию и условиям полёта. Поэтому исследование управляемости при насыщении привода тоже в большой степени влияет на производительности системы управления.

(3) Нелинейность и нестанционарность

Нелинейность заключается в отношениях аэродинамических сил и моментов к числу Маха. Кроме этого, коэффициенты полезного использования двигателя тоже нелинейно зависит от положения ориентации ВМЛА. Нестанционарность вызывается функционированием ЛА в большой диапазонах в изменяющихся средах, плотностью атмосферы, конструктивными параметрами ЛА, а также системами управления [69].

(4) Неопределенность

Из-за отсутствия аэродинамических данных при высоких числах Маха в процессе моделирования необходимо учитывать достаточную неопределенность, а также диапазон и серьёзность изменений параметров. Кроме этого, нелинейные вихри и ударные волны являются основными источниками неопределенности при высокоскоростных маневрах.

С учетом упомянутых проблем, современные ЛА функционируют в сложных условиях изменяющей окружающей среды, пассивных и активных помех и неполных моделирований критических манёвров. Поэтому СУ должна обеспечить высокую точность и быстродействия движения ЛА, эффективное маневрирование и робастность. Таким образом, необходимо повысить степень управляемости ЛА нового поколения и степени наблюдаемости параметров навигационных систем. В общем, повышение требуемых качественных характеристики систем ЛА, например степени управляемости и наблюдаемости, может осуществляться двумя подходами: конструкторским и алгоритмическим.

При синтезе СУ ЛА предлагается разработать адаптивные алгоритмы управления. Под понятием «адаптивность» понимается:

-способность парировать траекторные возмущения в процессе полета, вызванные движением самого ЛА или условиями внешней изменяющей среды (ветровой обстановкой, неопределённостью плотности атмосферы и т.д.)

-способность алгоритмов парировать параметрические неопределённости самого ЛА, например неточность знания динамики полёта в больших манёврах и скоростях, инерционно-массовых, конструкционных характеристики ЛА, характеристик его двигательных установок и приводов.

1.2. Методы управления и математические модели

Аэрокосмические ЛА, включающиеся КЛА при спуске в атмосфере Земли или других планет, и на этапе перехватов маневрирующих объектов по методу самонаведения, при которых резко изменяются динамические характеристики ЛА и окружающей среды. Таким образом, нелинейные динамические характеристики, изменяющиеся окружающей среды и также широконаправленные задачи вызывают высокие требования к точности и производительности системы управления, адаптивности и робастности к неопределённости и нелинейности [5, 70]. В общем, к перспективными и модернизируем ЛА, решающим более сложные задачи, предъявляются требования по обеспечению высокой стоимостной эффективности эксплуатации, большей универсальности, гибкости и оперативности при решении широко круга задач, большей автомности и надежности [18, 21, 24].

Для решения задач атмосферных ЛА с мульти-предназначениями используются эффективные методы управления, среди которых метод модального управления, терминальное управление, оптимальные регуляторы состояния, адаптивные регуляторы и алгоритмы управления с интеллектуальными компонентами.

Основное положение модального управления заключается в расположении

корней (полюсов) замкнутой системы в соответствии с требованиями к оптимальности переходного процесса, устойчивости, быстродействию, затратам энергии и др. [15, 106]. Такой подход используется при решениях большинства задач регулирования и стабилизации, но не справится с аспектами СУ, такими как подавление помех, чувствительность к шумам, запасом устойчивости и гладкостью сигналов управляющих воздействия [60].

Оптимальное управление по вектору состояния или выходу отличаются простотой технических реализаций с достижением определённых критериев оптимальности [4, 50]. Настройки матриц, характеризующих штраф за отклонения вектора состояния от желательного и за качество затрата управления, обеспечивают характеристики переходного процесса и потребление энергии управляющих органов. Алгоритм «Gain Scheduling», синтезирующий линейно-квадратичные регуляторы, считается классическим подходом к решению задачи управления нелинейными системами, суть которого заключается в системном синтезе семейства линейных оптимальных регуляторов [45], каждый из которых обеспечивает удовлетворительное управление для ограниченной области управления. Недостаток такого подхода состоит из ограниченной области устойчивости у ряда рабочих точек системы и неспособности к изменению внешних условий и динамики ЛА. Если ЛА ведут себя далеко от номинальных траекторией, спроектированный регулятор может вызвать деградацию производительности управления или даже потери устойчивости полёта.

Терминальное управление: В современных СУ ЛА применяются подходы синтеза терминального управления с учетом априорной статической информации, статических ограничений, специфики многокритериальных задач, специфики управления объектами с перенастраиваемой в полете целью, которые удовлетворяют заданным конечным условиям [12, 23]. К недостаткам данных алгоритмов относятся слабая адаптивность к нарушению ненормального функционирования и низкая робастность к неопределённости. Существенный прогресс в области построения терминальных регуляторов связан с результатами применения адаптивных алгоритмов управления, которые отличаются высокой

точностью и позволяют эффективно решать поставленные задачи.

Адаптивные алгоритмы управления: при активном манёврировании ЛА в сложных условиях, когда невозможно получить необходимую информацию о динамических моделях движений и изменяющихся структурных характеристиках, параметрах и окружающей среды, предлагается использование системы с адаптивными компонентами в замкнутом контуре, построенной на основе обработки измерений входных и выходных сигналов [51]. В системах с адаптацией по замкнутому циклу применяются два вида регулятора по разным принципу адаптации: самооптимизирующиеся регуляторы и регуляторы с эталонной моделью [18, 21, 51]. Блок расчета регулятора, который содержит алгоритмы, корректирующие параметры или алгоритмы управления, входит в схему функционирования адаптивных самооптимизирующихся типов регуляторов, парирующих возмущающие воздействия и изменения динамических характеристики ЛА. Особенное внимание уделяется регуляторам с эталонной моделью при синтезе системы адаптивного управления, которые основаны на стремлении получить максимальное сходство реакций замкнутого контура управления и эталонной модели на входной сигнал. Но при некорректно подобранной модели адаптивность регуляторов снижается.

Интеллектуальные технологии: в отличие от классических подходов к синтезу системы управления, основанных на точной математической модели ЛА, перспективные алгоритмы, например обучение с подкреплением (RL, англ. Reinforcement Learning) освободят инженеров от идентификации параметры системы и построения адекватной модели, основный идей которого состоит в обновлении оптимального управляющего воздействия при взаимодействии системы под контролем с внешней изменяющейся средой [71]. Оптимальная стратегия управления получается методом проб и ошибок, которая способна приспосабливаться к изменяющимся параметрам и неизвестным динамическим характеристикам при большой производительности БЦВМ. В общем, обучение с подкреплением, представляющее собой развитые классические теории оптимального управления, считается «черным ящиком» из-за отсутствия

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ху Юйхуэй, 2024 год

а — -

ь

с1— -

Ы 0 Ы а Ы0

Л ' а2 — ■ Л ' а3 — Л ' а4 —

Ы 0 Ыр - кр

У ¿2 —- У ¿4 —- ¿6 —

Л' mV '

Ы 0 Ыр ы ;

Л ' С2 ЛX ' С3 — - Л ' С4 — ■

к,а

к0

—, а5 —--Т7, аб —-

(Л - Л )

mV mV

(Л -Л)

Л

Л

, ¿7

Ы;

(Л - Л)

Л

(1.24)

Тогда получим

á=coz - (0xf3 - а4а - a5Sz

P = со + coxa - bAP

= - с2Р - с35х - с4соусо2 (Ьу = -Ъхсоу - Ъ2р - Ь(со2сох - Ъ18х

®г = ~аЛ0)г - а2а - ~ аб®х®у

Упрощённые модели с шестью степенями свободы для синтеза системы управления:

У

N =—(а,а + а58)

V

N = --Ь4р g

п п п

N =а,ксо - — со N -aAN кд + ^кЗ

y4zjxz4y z Z(

bA т т

Ñz = ~kb4ú)y - —coxNy + k—a5coxdz - b4Nz

(1.26)

ал

ал

Нелинейность в аэродинамических коэффициентах:

1 9

L=-pV2 SCL 1

D = -pV2 SCD

1

M = -pV2 SdCm

где CL , CD, и CN — аэродинамические коэффициенты:

cl=- Cn cosa

Cn = - Cn - Cr sin a

r

CN = ana + bna\a\ + Cn

Cm = ama3 + b aa\ + cn

m m m m

2 - M

3

a + dS

J

í

-7 +

8M

a + dm S + ea

mm

(1.27)

(1.28)

Линеаризованная модель для синтеза системы управления нормальными перегрузками ЛА. Для классических двухконтурных автопилотов

с измерительными данными от линеиного акселерометра и гироскопа уравнение выхода системы представлено в пространстве состояния:

Ч~ _ ~vba 0 " a + ~Vbs~

3 _ Гйа _-a5_

(1.29)

Для двухстороннего автопилота с линейным акселерометром и угловым акселерометром уравнения выхода системы может быть представлено в виде:

4" _ ~vba 0" a +

3 0 1 3 0

(1.30)

Нелинейная динамическая модель для системы управления нормальными перегрузками по методу SDRE имеет вид:

а

х = - ^^ (С, sin а + С,т cosa) + со 2т w } 2

со_ =

pV2SP 21

C

'm

(1.31)

a,

-РУ^(с sina + CM cosa) 2m v A '

1.6. Алгоритм оптимального управления линеаризованной системой с параметрами, зависящими от состояния

Для осуществления синтеза системы управления ВМЛА с повышенными степенями управляемости предлагается разработать нелинейные и робастные алгоритмы управления. Известно, что развитие теории управления до сих пор можно разделить на двух направлениях по принципу оформления управляющего действия, т.е., управление по эталонной модели и управления по отклонению от заданных траекторией [3, 5, 64]. В данной диссертационной работе рассматриваются алгоритм оптимального управления и его нелинейная модификация SDRE, которые считаются представитель теории управления по эталонной модели.

Синтез оптимального управления нелинейной системы на основе решения уравнения Риккати (англ. State Dependent Riccati Equation, SDRE) является

перспективным подходом для обеспечения адаптивности и эффективности управления ВМЛА при сложных средах. Использование квадратичного критерия качества в задачах с неограниченным временем переходного процесса, а также линеаризованная модель объекта, дают возможность при синтезе управляющих воздействий перейти от необходимости поиска решения скалярного уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби-Беллмана к уравнению типа Риккати с параметрами, зависящими от состояния [3, 5].

Несмотря на имеющиеся достаточно убедительные примеры решения задач синтеза управления, основанного на поиске параметров регулятора решением матричных уравнений с параметрами, зависящими от состояния, остаётся множество проблем:1) связанных с ограничениями, накладываемыми на систему, 2) неоднозначностью эквивалентных преобразований исходной системы, 3) построение эффективных алгоритмов решений матричных уравнений, в темпе функционирования системы управления; 4) глобальной устойчивости БОКЕ подхода.

При синтезе управления нелинейным высокоманёвренного ЛА используется ряд методов линеаризации. Самым распространённым методом анализа и синтеза систем с аналитическими (гладкими) функциями является линеаризация, основанная на разложении нелинейной функции в окрестностях точки, определяющий заданный режим, в ряд Тейлора и отбрасыванием нелинейных членов. Такая линеаризация заменяет исходную нелинейную модель приближенной линейной моделью. Недостатки этого подхода заключаются в том что при синтезе управленияни как не учитываются, ни начальные условия системы, ни остаточная нелинейная составляющая разложения ряда Тейлора. следствие этого устойчивость нелинейной системы с таким управлением может не обеспечиваться.

Другим способом линеаризации является расширенная линеаризация, т.е., преобразование нелинейной системы в виде линейных моделей с параметрами, зависящими от состояния (SDC), который осуществляет переход от решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана к уравнению типа Риккати с

параметрами, зависящими от состояния(State Dependent Riccati Equation, SDRE) при синтезе оптимальных нелинейных систем управления с квадратичными функционалами качествами, матрицы штрафа которых также зависят от состояния объекта

В последние десятилетия построение субоптимального нелинейного управления, основанное на решениях уравнения Риккати с коэффициентами, зависящими от состояний системы (SDRE), привлекает все большее внимание в области нелинейного управления, особенно для аэрокосмической техники [54, 93]. Метод синтеза управления SDRE позволяет обойти прямое решение нелинейного уравнения в частных производных Гамильтона - Якоби - Беллмана первого порядка (HJB PDE) путем преобразования нелинейной аффинной системы в SDC-представлении (коэффициенты, зависящие от состояния), который сохраняет высокую точность актуальных динамических систем с существенными нелинейностью и перекрестной связью между каналами.

При использовании SDRE управления остается ряд проблем: 1) неоднозначность эквивалентных SDC-представлений; 2) ограничениями, накладываемыми на систему; 3) построение эффективных алгоритмов решений матричных уравнений; 4) локальной асимптотической устойчивости. При этом следует заметить, что неуникальность SDC-матриц способствует гибкости построение метода нелинейного управления SDRE, который влияет не только на управляемость преобразованной SDC системы, но и на производительность системы управления. Между тем разумный выбор матриц SDC также влияет на компромиссы между оптимальностью, стабильностью, надежностью и подавлением возмущений [55].

Формировка задачи управления нелинейными системами на основе SDC-линеаризации представляется в следующем виде:

—x(t) = F(x) + G ( x ) u,

dt W w V x (1.32)

y(0 = H(x).

где x e ]jzn - вектор состояния, - вектор управления, у ей1 вектор

" —>• Е1 по крайней мере

измерения; р(х): Мп Мп, С(х) :Шп Ет , и н(х): непрерывны (ск,к> О) отображения в ограниченном открытом множестве С2Х (о еО^!"), содержащий начало фазовой координаты. БЭС-параметризация:

^ x(г) = A(x)x (г) + B (x) 11 (г),

(1.33)

г)Ып

у(г) = C (x) x (г).

где А(х): Мп -> Мпхп , В(х):М" -^Мпхт , и С (х): ЛГ" - непрерывные (Ск (О),к > 0) БЭС матрицы, которые удовлетворяют

F(x) = A(x)x (г), G (^ и) =B(x)x(г), H (x) =С (x) x (г).

Построим оптимальное управление со следующим функционалом качества:

J=1 ^г) О (х) x (г) + иТ(г) к (х) и (г)] ж ( 1 . 3 4 )

Предположение 1. Непрерывные матричные функции F(x), G (x) , и Н (x)

достаточно гладкие в ограниченном открытом наборе Ох, т.е. (ск ,к > 0).

Предположение 2. Начало фазовой координаты в ограниченном открытом наборе О является точкой равновесии нелинейной системы, т.е., /(0) = 0 при

и = 0.

Предположение 3. О (х) симметричная положительно-полуопределённая

матрица, КК (х) симметричная положительно-определённая матрица.

Предположение 4. БЭС-линеаризованная система (А (х), В(х)) управляема

(стабилизируема) по точке.

Предположения 3 и 4 обеспечивают единственное, симметричное, и положительно-определённое решение уравнения Риккати:

T,

P(x)A(x) + AT (x)P(x) + Q(x) +

- P(x)B(x)R-1 (x)BT (x)P(x) = 0 .

1.7. Алгоритм управления с активным подавлением помех

Разработка СУ ВМЛА на основе априорных математических моделей с неполной информацией об изменяющихся параметрах, входных воздействиях и помехах представляется не робастным. Поэтому предполагается использование наблюдателя с расширенным состоянием (ESO) для оценивания и компенсации помех, вызванных окружающей средой, а также неопределенности системы, подвергающимся воздействию неконтролируемых возмущений.

Управление ЛА при неопределённости обычно предусматривает использование априорной информации и знаний для построения эталонных математических моделей, в которых предполагаются некоторые упрощения и допущения, определяемые конкретными полётами. Таким образом, робастность системы управления, учитывающая внутренние неопределённости характеристик самого ЛА и внешнего возмущения окружающей среды в основном зависит от характеристик алгоритма управления. Одним из эффективных подходов к повышению робастности к возмущению является построение наблюдателя возмущений и компенсация их влияния на полученные оценки.

Управления с активным подавлением помех, (Active Disturbance Rejection Control (ADRC)) — новый нелинейный алгоритм управления, используемый в последние годы в различных областях. Он не зависит от точной математической модели объекта, очень устойчив к изменениям параметров и внешними возмущениями не только в некоторых рабочих зонах, но и во всей рабочей области. Оценивая и компенсируя влияние различного рода внешних возмущающих воздействий и влияние изменения параметров объекта в режиме реального времени в сочетании с нелинейной обратной связью, алгоритм управления может улучшить её статические и динамические характеристики, повысить надежность и адаптивность.

Алгоритм управления ADRC, который состоит из четрёх частей: отслеживающего дифференциатора (TD), наблюдателя с расширенным состоянием (ESO) и нелинейной комбинации обратной связи (NLSEF) и комбинированного управления. Универсальная функциональная схема алгоритма управления ADRC представлена на Рис. 1.6.

Рис. 1.6. Регулятор построенный на основе ADRC 1.8. Постановка задачи исследования

При синтезе системы управления аэрокосмических летательных аппаратов с высокой маневренностью часто сталкивают с проблемой нелинейности и нестационарности движения ВМЛА, неадекватности модели управления, неточности или отсутствия аэродинамических моделей при маневрировании и т.д. Одновременно с развитием постоянно возрастает требование к аэрокосмическим летательным аппаратам при сложных средах функционирования по быстродействию к командующим сигналам, робастности к неопределенности и адаптивности к разнообразию задач. Таким образом, для эффективного выполнения поставленных задач при сложных средах функционирования ВМЛА предлагается разработка системы управления с повышенными степенями управляемости.

Управляемость и её качественная мера играют важную роль в течение системного анализа и синтеза различных динамических систем с развивающейся

степенью сложности системы. Степень управляемости, как качественные характеристики системы, даёт численную оценку свойства системы под исследованием. Таким образом определения степени управляемости является актуальной задачей при синтезе системы управления ВМЛА в сложных маневрах. При определении степени управляемости надо рассчитывать характеристики управляющих приводов и измерительных датчиков, реализации алгоритмов управления в БЦВМ и другие факторы. Кроме этого, критерии степени управляемости отличаются для разных этапов полётов и задачей синтеза системы управления. Например, для эффективного выполнения спуска в атмосфере обычно нужно предусматривать различные программные траектории. Таким образом предложенный критерий степени управляемости надо разработан на основе линейной нестационарной системы. Одновременно, больше внимание надо обращать на степени управляемости каждой компоненты вектора состояния вдоль опорной траектории.

Как известно, повышение управляемости системы управления осуществляется конструкторским и алгоритмическим способами. У этих двух подхода есть свои преимущество и недостатки. Конструкторское проектирование и производство требуют новой технологии, длительного времени и серьезных финансовых затрат. Но применение конструкторских обновлений (например, разработка углового датчиков высокого порядка и управляющих приводов, построенных на основе новых физических принципов.) повысит управляемости системы управления в значительной степени. Алгоритмический подход позволяет существенно повысить точность и быстродействие системы управления с малыми затратами. Однако, усложнение алгоритмических решений сопряжено с увеличением требуемых вычислительных ресурсов БЦВМ. Таким образом, в условиях ограничений на вычислительные ресурсы используется алгоритмический подход, предполагающий повышение качественных характеристик математических моделей, применяемых в алгоритмах управления.

В данной диссертации рассматривается задача синтеза системы управления для при типичных высоких маневрах ЛА, т.е., управление траекторией КА при

спуске в атмосфере и управление нормальными перегрузками на этапе самонаведения. Цель диссертационной работы заключается в разработке алгоритмов управления ВМЛА с повышенными степенями управляемости. Для повышения точности управления внедряется алгоритмы управления по эталонной модели (SDRE) и управления по отклонению от заданных траекторией (ADRC).

В соответствии с целью работы можно сформулировать следующие задачи исследования:

1. Разработка критерия степени управляемости переменных состояния нестационарной системы. Синтез системы управления траекторией и оценивание управляемости спускаемого КЛА вдоль программной траектории.

2. Разработка критерия степени управляемости по выходу для систем с прямой связью. Синтез СУ перегрузками ЛА с угловым акселерометром с использованием критерия степени управляемости.

3. Разработка критерия степени управляемости SDC-представления нелинейной системы для построения оптимального управления на основе решения уравнения Риккати (SDRE).

4. Разработка адаптивного алгоритма управления с нелинейной моделью ЛА, имеющей повышенную степень управляемости, для улучшения быстродействия и точности при посадке и манёврах ЛА.

5. Разработка алгоритма управления ЛА с нелинейной моделью, имеющей повышенную степень управляемости, с использованием наблюдателя расширенного состояния (ESO) для улучшения робастности.

Выводы по главе 1

Рассмотрены различные методы управления используемые в разнообразных практических приложениях. Каждый метод имеет свои специфические особенности и точностные характеристики. Дальнейшее повышение этих алгоритмов возможно с помощью применения математических моделей с

улучшенными свойствами, например с повышенными характеристиками управляемости.

Сформулирована задача диссертационного исследования, которая заключается в разработке нелинейных алгоритмов управления с использованием моделей с повышенными характеристиками управляемости, синтезе критериев степени управляемости переменных состояния, которые используются для формирования моделей с улучшенными свойствами.

В качестве объектов управления рассмотрены атмосферный высокоманевренный ЛА и спускаемый КЛА. Использование в алгоритмах управления моделей с улучшенными характеристиками управляемости позволяет повысить точность управления ЛА. Преимуществом такого подхода является врзможность использования классических алгоритмов управления, которые используются в реальных системах управления различными динамическими объектами. Таким образом, такой универсальный подход позволяет повышать точность СУ с минимальными техническими, экономическими и временными затратами.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СТЕПЕНИ УПРАВЛЯЕМОСТИ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Управляемость и наблюдаемость, как фундаментальные характеристики в современной теории автоматического управления, играют значительную роль в задаче синтеза СУ различными динамическими объектами. При решении задач системного анализа и синтеза СУ предполагается использование математической модели исследуемого процесса с целесообразным уровнем сложности. Анализ математических моделей объектов и их СУ позволяет оценить необходимость тех или иных исследований, оценить достоверность полученных результатов, проводить аналитический синтез и оптимизировать параметры систем.

Под управляемостью понимают возможность приведения системы в любое заданное состояние из начального с помощью рациональных управляющих воздействий через определенное времени [106]. Дуальным понятием управляемости является наблюдаемость [37, 40]. Понятие «наблюдаемость» означает возможность определения переменных состояния по результатам измерения части переменных состояния системы. При синтезе системы автоматического управления путём аналитического конструирования необходимо обеспечивать ее управляемость и наблюдаемость. Следует отметить, что при практическом проектировании недостаточно получить принципиальный ответ на вопрос: система управляема и наблюдаема или нет. Целесообразно получить количественную оценку статических и динамических свойств исследуемой системы, например, степени наблюдаемости и степени управляемости [21, 24, 27, 32, 37, 39]. Поэтому в настоящее время вопросам определения степени управляемости компонент вектора состояния динамических систем уделяется самое пристальное внимание.

Критерии количественного определения характеристики динамической модели с помощью критерия степени наблюдаемости уже хорошо теоретически

отработаны и имеют широкое практическое применение [17, 18, 21, 27, 37, 39]. Однако критерии степени управляемости разработаны не так подробно, как степень наблюдаемости из-за сложности синтеза системы управления. Математические основы решения проблемы управляемости системы были созданы Р.Е. Калманом. Концепция степени управляемости (DOC) была впервые предложена в работе [75], где след и определитель матрицы Грамиана были использованы в качестве двух возможных кандидатов для количественной (скалярной) меры полной управляемости линейной динамической системы. В работе [88] отмечено, что степень управляемости может быть измерена минимальным количеством входов, необходимых для полной управляемости линейной стационарной динамической системы. С.Д. Джонсон максимизировал одну специальную скалярную меру качества полной управляемости и полной наблюдаемости для класса скалярных входных и выходных линейных динамических систем [73]. С точки зрения управления с минимальной энергией, критерий степени управляемости на основе употребляемой энергии был предложен в [91]. В [58, 94] разработаны критерии степени управляемости на основе оценки исследуемой системы относительно неуправляемой. В [103] исследован новый критерий степени управляемости с учётом цели управления, мера которой определяется минимумом норм начальных условий. Концепция модальной степени управляемости (MDOC) была предложена в [62]. Тем не менее, известные критерии степени управляемости переменных состояния требуют проведения достаточно сложных предварительных вычислений. Поэтому целесообразно разработать критерий для оценки степени управляемости компонент вектора состояния с точки зрения минимизации употребляемой энергии.

Условие полной управляемости. Прежде чем исследовать критерий степени управляемости переменных состояния следует обеспечить полную управляемость динамической системы [9].

Рассмотрим линейную нестационарную динамическую систему х , описываемую следующим образом:

. Е:

х = + у = с(г)х + £>(*)и(*)'

(2.1)

где А (г), В (г), С (г), Б (г)

соответственно п х п, п х г, т х п, т х г

нестационарные матрицы.

Определение 2.1: Система (2.1) называется полностью управляемой если существует любое допустимое управление щ(£),1щ1<ю , переводящее начальное состояние х&0) = х0 в любое назначенное конечное состояние х(^) = х± за интервал времени [¿0, г^].

Существуют несколько эквивалентных критериев для проверки выполнения условия управляемости.

(1) Сингулярный тест матрицы управляемости Грамиана Как показал Калман [75], система (2.1) является полностью управляемой, если и только если пхп матрица управляемости Грамиана:

положительно определена для некоторых го < г1 < да.

Для линейной стационарной системы, то есть матрицы А, В, С в системе (2.1) являются постоянными. Критерий (2.2) может быть сформулирован в следующей алгебраически эквивалентной форме.

(2) Ранг тест Калмана

Постоянная линейная динамическая система (2.1) является полностью управляемой, если и только если п х пг матрица (матрица управляемости):

имеет максимальный ранг п .

(3) Попова-Белевича-Хотиса (ПБХ) тест: Система Е называется полностью управляемой, если и только если не существует левого собственного вектора А ортогонального для столбцов В [53]:

Надо отметить, что суть управляемости системы представляет собой

Ку = [В,АВ,А2В,---Ап~1В]

(2.3)

ю]А = Лаг , со!В Ф 0 (г = 1,...,и)

(2.4)

возможность осуществление желательного расположения плюса с помощью обратной связи при полной информации состояний системы [106].

Управляемость нелинейной аффинной системы. Исследование управляемости имеет важное значение при разработке нелинейных систем управления. Особое внимание уделяется ряду нелинейных систем, которые называются нелинейными аффинными системами. Рассмотрим нелинейные аффинные по управлению динамические системы в непрерывном времени, представленные следующим образом:

—х(?) = Е(х) + О (х) и,

Ж К) ( ) ( ) , (2.5)

У(0 = Н(х).

где х е - вектор состояния, - вектор управления, у ей1 ~ вектор

измерения; ¥(х):Мп , С(х):Мп^Мт, и по крайней мере

непрерывны (Ск (О),к > 0) отображения в ограниченном открытом множестве С2 (оеОсЖ"), содержащий начало фазовой координаты.

Определение 2.2. Пусть х 0,х 1 еО, если существует допустимое управляющее воздействие и , при котором состояние переходит от до за заданное конечное время т е М+ ■> тогда х1 является достижимым множеством для х0 , обозначенным как Я(х0,Т).

Предположим, что х0 еО и и(х0) обозначается как окрестность х0 . х1 называется достижимым в и , если существует допустимое управление и за заданное конечное время т > 0, так что х(^) е и для х(0) = х0, х(Т) = х 1,0<t<Т. Тогда и - достижимое множество для х0 отмечается как Яц (х0).

Определение 2.3. Система (2.5) локально управляема в точке х0 если достижимое множество Яи (х0) от состояния х0 также содержит открытую окрестность .

Для х0,х еО, если существуют х,...,хк =хг, так что

х/ или хм 1=1,..„к,

тогда х называется слабо достижимым от х , а слабоуправляемое множество обозначается как ЖЯ (х0) [63].

Для того чтобы реализовать проверку управляемости и вычисления степени управляемости в БЦВМ представим систему в дискретной форме. Пусть объект описывается уравнением дискретного вида:

х£+1 = Фк+1,к хк + ^кик' _ XI (26)

У к = нк хк,

где Х2 ••■ Хп]т - П -вектор переменных состояния;

и к=[щ и2 ••• ит]т - Ш -вектор управления; Ук Уг ... У1]Т - т- вектор

измерений; Фк+1к - (п х п) -матрица перехода состояний; Тк - (п х т) -матрица управления; Нк - (I х п)-матрица измерений.

Система (2.6) называется полностью управляемой, если матрица Грамиана:

п—1

^к,к+п _^^Фк+п,к+1+гГк+гГк+гФк+п,к+1+г (2.7)

1=0

положительно определена для £ < £ < да или удовлетворяет условию:

rank[,k+„] = (2-8)

Однако получить информацию о количественной оценке управляемости системы с помощью этого критерия невозможно.

2.1. Критерий степени управляемости нестационарной системы

При исследовании управляемости и наблюдаемости линейных нестационарных систем рассмотрена линейная нестационарная модель в дискретной форме:

хк+1 = Акхк + Вкик

Ук = скхк, к > 0

где переходная функция: ф(к +1,г) = ЛкФ(к,г), к > г, Ф(г,г) = I.

Исследуем полную управляемость и полную наблюдаемость системы. Система называется полностью управляемой на интервале [к - к, к] , если

матрица управляемости Грамиана :

к

С ( к, к - к )= ^Ф( к +1,1 +1) ВВТ Фт ( к +1,1 +1) (2.10)

=к - к

положительна определена.

Система называется полностью управляемой на интервале [к, к + к] , если

матрица наблюдаемости Грамиана:

к+к

О (к + к, к) = ^ФТ (к +1,1 +1) СТ С Ф( к +1,1 +1) (2.11)

г =к

положительна определена.

Определение управляемости линейных нестационарных систем. Основная трудность, возникающая при исследовании степени управляемости, связана с тем, что ее можно оценивать с различными перспективами с учетом конкретной цели управления. В настоящее время не существует единого показателя для определения меры управляемости. Например, задача регулирования может трактоваться как задача перевода системы из возмущённого состояния в другое заданное состояние за конечное время, а задача программного управления заключается в обеспечении движения системы по заданной траектории. Классические показатели СУ (установившаяся ошибка и качество переходного процесса,) не способны охарактеризовать меру степени управляемости исследуемой системы для указанных задач одновременно.

Разработка критерия степени управляемости должна быть тесно связана с задачей оптимального управления, основа которой состоит в следующем: необходимо найти такой вектор оптимального управления ц* , чтобы он обеспечивал экстремум определённого функционала качества:

к+п

Р [х,, ц ] + р [Хк+Н, ц+в ]. (2.12)

г =к

Для показанного управляемого динамического объекта система с начальными условиями х = х0 достигает заданной точки состояния х = хи через интервал

времени [/, / ] . При этом векторы состояния х и управление и могут

изменяться лишь в определённой допустимой области, т.е.:

где X, и - заданные множества.

Перевод системы из одного заданного состояния в конечное на интервале [К, *к+п ] можно выразить следующим образом:

Хк+п ^^к+п,кХк + ^^к+п,к+1ГкЦ + ... + ^ ^^^

+ Фк+п,к+п—1Гк+п-2Цк+п-2 + Гк+п-1Цк+п—1

Перепишем выражение (2.13) в следующем виде:

Хк+п =фк+п,к Хк + Тк и к, (2.14)

где матрица управляемости Калмана имеет вид:

^к ~ Фк+п,к+п-^к+п-2 "' ^ к+п,к+^ к\ (215)

Множество управляющих воздействий в течение [^, ] имеет вид:

ик = [щ+п-г щ+п-2 ■■■ ик]Т (2-16)

Задача оптимального управления заключается в нахождении такого детерминированного управления ик , чтобы функционал качества ]к достигал

минимального значения:

2

ик ........Кк

Ш1шт1ге =||ик||К

(2.17)

^ Фк+п,кХк + ^¿=0Фк+п,к+г +1Гк+гцк+г =Хк+п ,

где II ||2 - скалярно-квадратичная функция, определяющая взвешенную норму

II ИИк

вектора в терминах положительно определенной кусочно-постоянной матрицы ; хк, хк+п - начальное и конечное состояние системы; [^, ] - временной

интервал.

Конечное состояние системы может находиться в произвольной точке. Соответственно, задача управления с минимального расхода энергии сводится к следующей задаче условного экстремума:

Н (х, и, Л) = 1^ + Лт (хк+п — Фк+п,кхк — Т^), (2.18)

где Н (х, и, Л) - функция Гамильтона; Л - вектор множителей Лагранжа.

Для достижения экстремума функции Н (х, и, Л) должно выполняться

следующие необходимые условия:

ян т

—=2Кк и к +(Тк) Л = 0;

Яи (2.19)

= хк+п — Фк+п,к хк — Тк ик = 0.

ЯЛ

Когда система полностью управляема [74, 84], т. е. матрица ТкТ^ обратима, оптимальный входной набор управлений и* для перевода начального состояния системы в произвольную точку может быть получен путём решения задач (2.19):

ик = (ТкТТк)—1 Ткт (хк+п — Фк+п,к хк). (2.20)

Подставляя выражение оптимального управления и* в функционал Л ,

к к

получим следующее уравнение:

Л=(хк+п — Фк+пк хк )т Т;т ад-1 (хк+п — Фк+пк хк). (2.21)

Предположим, что взвешенная матрица ^ является единичной, тогда можно получить целевой функционал:

Л = (хк+п — Фк+п,кхк )Т (,к+п ) 1 (хк+п — Фк+п,кхк), (2.22)

где ^ к+п - матрица управляемости Грамиана.

Хотя целевой функционал Л* не способен обеспечить реальное количество

энергии, потребляемой управляющим воздействием, она всё ещё предполагает интуитивно понятную индикацию степени управляемости системы с точки зрения

управления с минимальной энергии [66]. Точная информация о начальных и конечных состояниях в каждый расчётный период была бы слишком сложной и непрактичной. Таким образом, чтобы сделать указанную функцию производительности более эффективной для количественной оценки управляемости, показатель качества должен быть определен на основе матрицы

Wkk, независимо от xk и \к+п.

Предлагаемый критерий степени управляемости состоит из двух частей. Численный показатель степени управляемости системы определяется с использованием обратного значения числа обусловленности матрицы Грамиана: численный показатель степени управляемости системы определяется с использованием сингулярных значений матрицы Грамиана. Чем больше значение числа обусловленности матрицы Грамиана тем более матрица близка к сингулярности, т. е. тем более близки переменные системы к состоянию неуправляемости. Тогда степень управляемости линейной нестационарной системы количественно измеряется как:

Di = 1 / Cond(Wk ,k+n ) = = > (2-23)

с

max

где с и amk - максимальное и минимальное сингулярные значения матрицы Wkk+n соответственно; D\ - степень управляемости (DOC) системы на данный момент / .

Численный критерий степени управляемости переменных состояния линейных нестационарных систем. Минимальное собственное значение матрицы Грамиана представляет собой минимальное расстояние от состояния неуправляемости аналогично определению запаса устойчивости. Одновременно каждое собственное значение представляет собой степень управляемости подпространства состояний.

Сформулируем три правила для формирования критерия степени управляемости переменных состояния системы:

(1) чем больше сингулярное значение матрицы Грамиана, тем более

управляема соответствующая переменная состояния или линейная комбинация состояний системы;

(2) чем больше величина обратная числу обусловленности матрицы управляемости Грамиана, тем лучше качество управляемости всей системы;

(3) максимальное значение критерия DOC равно 1, а минимальное - близко к

0.

Выполним сингулярное разложение матрицы Грамиана управляемости следующим образом:

Wk k= UEV*, (2.24)

где и и V* — унитарные матрицы размерности nx n, столбцы которых являются лево- и правосингулярными векторами Wkk+n соответственно, а диагональная матрица £ имеет вид:

Е = diag(o1,02,...,an), а! > а2 >... > аn > 0, (2.25)

где а,а2,...,ап - сингулярные значения матрицы Грамиана Wkk+п.

Поскольку Грамиан управляемости является вещественной симметричной матрицей, можно получить следующие уравнения:

V=U = [Vl v2 ••• vj; (2.26)

И 1

'С2.27)

где вектор х. определяется как х. = \к+п - Фк+п к\к, а единичный правый особый вектор V , соответствующий сингулярному значению с. , определяется как

Г 1 о ~\Т

у,=[у' V,2 ... •

Согласно уравнению (2.27), можно получить следующее соотношение: сингулярное значение с. , которое характеризует степень управляемости

линейной комбинации у]х1 + у]х2 +... + упх1.

Надо отметить, что после задания модели системы преобразование координат

недопустимо для вычисления степени управляемости. Следуя этим принципам, проведем нормализацию сингулярных значений матрицы Грамиана управляемости. Новый критерий для количественной оценки управляемости подпространства состояний для линейных нестационарных систем имеет вид:

,к+п I

D =

(2.28)

°min ( +n ) + °max ( ^k,k+n )

где D[ - степень управляемости (DOC) каждого соответствующего подпространства состояний в момент ^ .

С разработанными численными критериями степени управляемости можно отбирать для осуществления маневров ЛА только эффективно управляемые и достоверно определяемые параметры.

Пример. Рассмотрим пример стабилизации перевернутого маятника на тележке в определённом положении с LQR-регулятором для демонстрации предложенного критерия. Стандартные параметры системы управления перевернутого маятника на тележке: масса тележки м=0,5 кг, масса маятника m = 0,2 кг, длина стержня l=0,3 м, коэффициент трения тележки b = 0,1 Н / м / с, угловое положение маятника Q , горизонтальное положение тележки x , управляющая сила F (Рис. 2.1).

Ф ,

т, I

ш) 0 X

F М

И

21

Рис.2.1. Система управления перевернутым маятником на тележке

СУ перевернутого маятника на тележке описывается в следующем виде: Г(М + m)x + bx + mlÓ cos в - mlO2 sin 0 = F; I (i + ml2y¿ + mgl sin в = -mix cos в,

Пусть ф - угловое отклонение положения маятника от состояния равновесия т. е., в = л + ф. Линеаризованную в окрестности ф = 0, систему (2.29) запишем относительно вектора переменных х=(х х ф ф^

х = Ах + В и.

(2.30)

где

A=

0 1 0 0 0

0 -(I + ml2) b m2 gl2 0 I + ml2

D D ; B= D ; u

0 0 0 1 0

0 -mlb D mgl (M + m) D 0 ml _ ~D _

u = F, D=I (M + m) + Mml2.

Система (2.30) замыкается обратной связью в виде:

u = Кх, (2.31)

где К=[ ^ ^ ^ ^ ] - оптимальный вектор коэффициентов.

При подходе ЬрЯ-регулирования оптимальный вектор коэффициентов к определяется из условия достижения минимума квадратичного функционала:

J=£( хг Ох + uTRu , (2.32)

где л = 1 - скалярный параметр; Q = diag(5000,0,300,0) - весовая матрица.

Оптимальный с точки зрения управления с минимизацией расхода энергии закон регулирования в классе линейных регуляторов получается следующим образом:

К = -Л-1Бг Р, (2.33)

где р - симметричная матрица, являющаяся положительно определенным решением матричного алгебраического уравнения Риккати:

AP + PA + Q - PB£ 4BP=0.

(2.34)

Степень управляемости системы с различными параметрами стержня.

Исследованы значения степени управляемости системы и их переменных состояния при различных параметрах модели системы. В соответствии с разработанным критерием степень управляемости определяется энергией, потребляемой для выполнения перехода системы из одного состояния в другое. Сначала надо преобразовать систему (2.30) в дискретную форму:

xk+i = фк+i,k xk + ГА, (2.35)

где Фк+1 к=\ + Aх AT;Гк =BхДТ; AT - интервал дискретизации.

Результаты численного решения задач представлены в Таблице 2. По результатам анализа степеней управляемости (DOC) и значений функционала качества для соответствующих систем с различными массами стержня можно сделать следующий вывод: чем выше степень управляемости системы, тем меньше затрачивается энергии на выполнение перехода системы в конечное состояние.

Таблица 2.

Степени управляемости (DOC) системы с различными массами

m, кг 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

DOC 2,217e-05 1,136e-05 6,903e-06 4,676e-06 3,406e-06

J 4,094e+4 4,109e+4 4,123e+4 4,138e+4 4,153e+4

Поскольку квадратичный функционал качества J зависит от матрицы р [108], результаты решения матричного алгебраического уравнения Риккати с различной массой стержня свидетельствуют о правильности предложенного критерия степени управляемости. С увеличением массы стержня, модуль каждого элемента в матрице р также увеличивается, что приводит к увеличению значения управляющего воздействия, т. е., к снижению степени управляемости:

P

m=0,2

2668,2 711,9 -1479,5 -300,3

711,9 228,9 -489,2 -99,9

-1479,5 -489,2 1085,8 218,9

-300,3 -99,9 218,9 44,6

' m=0,4

2705,1 731,7 -1525,5 -309,7

731,7 240,1 -515,7 -105,3

-1525,5 -515,7 1071,9 232,7

-309,7 -105,3 232,7 47,3

P_

P

m=1,0

2741,6 751,5 -1571,2 -319,0 2777,3 771,3 -1616,7 -328,3

715,9 251,6 -542,5 -110,8 Р — 771,3 263,3 -569,7 -116,4

-1571,2 -542,5 1299,1 246,9 Pm=0,8 -1616,7 -569,7 1303,8 261,4

-319,0 -110,8 246,9 50,1 _ -328,3 -116,4 261,4 52,9

2812,7 791,1 -1661,9 -337,7"

791,1 275,3 -597,2 -122,1

-1661,9 -597,2 1380,5 276,2

-337,7 -122,1 276,2 55,9

Аналогический вывод был подтвержден и при исследовании степени управляемости систем в случае изменения длины стержня (см. Таблица 3):

P

л=0,3

2668,2 711,9 -1479,5 -300,3"

711,9 228,9 -489,2 -99,9

-1479,5 -489,2 1085,8 218,9

-300,3 -99,9 218,9 44,6

L л=0,35

2826,7 799,0 -1785,2 -391,0"

799,0 269,5 -618,2 -136,1

-1785,2 -618,2 1462,4 318,7

-391,0 -136,1 318,7 70,0

P

л=0,40

2974,8 885,0 -2105,5 -492,7 885,0 311,6 -760,0 -178,6

P„

-2105,5 -760,0 1902,2 443,3

-492,7 -178,6 443,3 104,0

3246,5 1054,0 -2787,2 -728,6

1054,0 399,9 -1081,1 -283,5

-2787,2 -1081,1 2979,9 776,8

-728,6 -283,5 776,8 203,4

л=0,45

3114,3 969,9 -2439,8 -605,3

969,9 355,1 - 914,4 -227,6

-2439,8 -914,4 2407,3 595,2

-605,3 -227,6 595,2 148,0

Таблица 3.

Степени управляемости (DOC) системы с различными длинами стержня

L, m 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50