Методы и алгоритмы программного комплекса адаптивного и нейросетевого моделирования технических систем с переключениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Петров Алексей Алексеевич

• Петров Алексей Алексеевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Петров Алексей Алексеевич

Введение

Глава 1 Обзор и обоснование выбора методов исследования динамических моделей технических систем с учетом постановки задач

1.1 Введение

1.2 Динамические модели технических систем с переключениями

1.3 Обзор методов оптимизации и интеллектных методов анализа моделей систем с переключениями

1.4 Прикладные задачи, связанные с построением моделей систем с переключениями

1.5 Базовая модель динамики летательного аппарата при условии минимальности расхода топлива

1.6 Обзор и обоснование выбора программных средств для исследования динамических моделей

1.7 Выводы по первой главе

Глава 2 Анализ моделей с переключениями и разработка базовых

модулей программного комплекса

2.1 Введение

2.2 Программная реализация результатов моделирования движения летательного аппарата при условии минимальности расхода топлива

2.3 Построение и анализ трехмерной модели с увеличивающейся частотой переключений

2.4 Построение и анализ модели с учетом аэродинамических сил и точности позиционирования летательного аппарата

2.5 Разработка нейронного аппроксиматора для построения траектории движения с учетом аэродинамических сил

2.6 Аспекты реализации базовых модулей программного комплекса моделирования систем с переключениями на отечественной программно-аппаратной платформе

2.7 Выводы по второй главе

Глава 3 Анализ обобщенных моделей с переключениями и разработка алгоритмов поиска оптимальных параметров

3.1 Введение

3.2 Нелинейная двумерная модель с учетом нестационарных возмущений

3.3 Алгоритмы поиска оптимальных параметров на основе адаптивного поиска и роевой оптимизации

3.4 Построение моделей систем с переключениями и разработка алгоритмов генерации переключений при наличии линейных нестационарных режимов

3.5 Выводы по третьей главе

Глава 4 Структура программного комплекса SSMC и результаты

моделирования технических систем с переключениями

4.1 Введение

4.2 Детальное описание и структура программного комплекса моделирования технических систем с переключениями

4.3 Сравнительный анализ результатов реализации алгоритмов в рамках программного комплекса

4.4 Результаты вычислительных экспериментов с учетом различных алгоритмов обучения

4.5 Выводы по четвертой главе

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Приложение E

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы программного комплекса адаптивного и нейросетевого моделирования технических систем с переключениями»

Введение

Актуальность темы. Структурные изменения в процессе функционирования, многорежимность, разнородность описания процессов относятся к особенностям технических систем с переключениями. Систему с переключениями можно представить в виде многорежимной динамической системы с законом переключения режимов, определяющим интервалы активности каждого режима. В связи с этим важным и интенсивно развивающимся научным направлением является математическое моделирование технических систем в условиях переключения режимов работы. Актуальными задачами в этом направлении являются построение и анализ моделей указанных технических систем [2, 14, 19]. Подобные системы находят многочисленные применения в прикладных проблемах управления механическими системами, технологическими процессами в переключающихся преобразователях мощности, в управлении движением беспилотных летательных аппаратов, автоматизированных систем транспорта, робототехнических систем и в других областях [34, 45, 66, 104].

В настоящее время развитие информационных технологий в значительной степени определяется темпами развития программного обеспечения (ПО). Современное ПО характеризуется быстрым ростом объема и сложности, что приводит к снижению его общей надежности из-за большого количества ошибок и уязвимостей. Таким образом, вопросы надежности ПО выходят на первый план на пути дальнейшего развития информационных технологий. Решение перечисленных проблем возможно на базе универсальных микропроцессоров с архитектурой «Эльбрус». Указанные технологии обеспечивают высокую производительность процессорного ядра за счет параллельного исполнения операций при экономном энергопотреблении, обеспечивают полную и эффективную двоичную совместимость с самой распространенной в мире архитектурной платформой Intel x86, x86-64, а также предоставляют эффективные средства

надежного программирования на базе аппаратно поддерживаемых защищенных вычислений [20]. Благодаря этому микропроцессоры с архитектурой «Эльбрус» рассчитаны на широкий спектр применений, а их технологии постоянно совершенствуются и не уступают лучшим зарубежным аналогам.

Кроме того, в настоящее время особое внимание уделяется вопросам открытости программного обеспечения [20]. Подавляющее большинство открытого ПО является одновременно бесплатным и свободным, предоставляя пользователям права на неограниченное повторное распространение, запуск и изменение кода. Позиции открытого ПО становятся более прочными, поскольку многие крупные коммерческие компании и государственные организации по всему миру полностью или частично переходят на его использование. В настоящей диссертации используется только открытое ПО, поэтому существует возможность переноса разработанных программных средств на новые отечественные и зарубежные высокопроизводительные платформы.

Степень разработанности темы. Для описания процессов динамики технических систем с переключениями используется теория дифференциальных включений. Динамические системы с фазовыми ограничениями, описываемые дифференциальными включениями, рассмотрены в работах А.Ф. Филиппова, В.И. Благодатских [23, 108, 109, 110], Л.С. Понтрягина [91]. Вопросы существования и устойчивости решений дифференциальных включений изучены в работах [56, 67, 71, 77, 116] и в работах других исследователей.

Вопросы проектирования и устойчивости систем с переключениями рассмотрены в работах M.S. Branicky [124], D. Liberzon, A.S. Morse [138, 138], W.P Dayawansa, C.F. Martin [143], H. Yang, B. Jiang, G. Tao, D. Zhou [156], С.Н. Васильева и А.И. Маликова [28, 29], О.Я. Шпилевой, К.Ю. Котова [58] и других исследователей. Исследования по теории устойчивости систем с переменной структурой проводились в работах Е.А. Барбашина [17],

С.В. Емельянова, С.К. Коровина [46-49] и в других работах отечественных и зарубежных ученых. Методам математического моделирования нелинейных неопределенных динамических систем, представимых системами с параметрами, зависящими от состояния, посвящены работы В.Н. Афанасьева. Вопросы исследования управляемых систем с неполной информацией изучались в работах Н.Д. Егупова и К.А. Пупкова [57, 93, 105], А.А. Пегата [78], Д.А. Поспелова, Б. Лю, Д. Дрянкова [127], В.И. Гостева [33],

B.В. Круглова, М.Н. Дли и Р.Ю. Голунова [59], А.И. Трофимова [105], А.А. Рогозы, Д. Рутковской [88], С.Н. Васильева [28, 29] и в работах других исследователей.

В последние десятилетия большое внимание уделяется изучению систем с переменной структурой. Начиная с 60-х годов прошлого века, в работах

C.В. Емельянова и его учеников изучались стационарные линейные системы второго порядка, переключение в которых происходит согласно сигналу ошибки. В дальнейшем результаты этих работ были обобщены для систем произвольного порядка с нестационарными правыми частями. Изучение систем с переменной структурой стало перспективным направлением, опирающимся на достижения школы С.В. Емельянова. Дальнейшее изучение данной проблематики привело к тому, что на сегодняшний день системы с переменной структурой обычно рассматриваются согласно принципу преднамеренного введения в скользящие режимы, в результате использования которых достигается полная независимость уравнений движения от факторов неопределенности.

Одним из актуальных направлений при изучении динамики технических систем является адаптивное моделирование. Под адаптивной моделью понимается модель, которая является инвариантной по отношению к различным входным параметрам и воздействиям среды, а также сохраняющая адекватность при определенных изменениях в описываемой системе. Для моделей с переменной структурой, авторегрессионных моделей, моделей с полиномиальной аппроксимацией и сплайн-аппроксимацией

представляет теоретический и прикладной интерес принцип построения моделей с адаптивными свойствами.

При моделировании технических систем могут быть использованы различные программные средства, представляющие широкие возможности для построения компьютерных моделей и проведения вычислительных экспериментов. Однако, многие программные продукты не содержат библиотек для численных и символьных расчетов и не обладают достаточной вычислительной сложностью. В связи с этим при исследовании моделей технических систем эффективным является применение прикладных математических пакетов и языков программирования общего назначения. Некоторые вопросы программного моделирования рассмотрены в работах А.Е. Гурьянова [34]. Вопросы использования прикладного программирования в системе Octave рассмотрены в работах Е.Р. Алексеева, О.В. Чесноковой [5]. Аспекты разработки программных моделей на языке Python рассмотрены в работе Дж. В. Пласа [89].

Построение прогнозирующих и управляющих логических компонентов динамических систем связано с разработкой алгоритмов искусственного интеллекта. В данном направлении эффективным является использование искусственных нейронных сетей (ИНС). К задачам, успешно решаемым с помощью ИНС, относятся следующие задачи: формирование моделей и различных нелинейных и трудно описываемых математически систем, прогнозирование развития этих систем во времени; принятие решений и диагностика, исключающие логический вывод, особенно в областях, где отсутствуют четкие математические модели; управление роботами, другими сложными устройствами. Уникальным свойством ИНС является их универсальность. Несмотря на то, что для перечисленных выше задач существуют эффективные математические методы решения, благодаря универсальности и перспективности для решения глобальных задач, например, построения искусственного интеллекта и моделирования сложных систем, нейронные сети являются универсальным инструментом решения

задач. Характерная черта нейросети как универсального инструмента, заключается, в частности, в том, что нейросеть является гибкой моделью для нелинейной аппроксимации многомерных функций. Основной проблемой нейросетевого моделирования является необходимость разработки эффективных методов машинного обучения. Некоторые вопросы построения алгоритмов машинного обучения рассмотрены в работах М.Б. Беркинблита [21], С. Хайкина [112], Р. Калана [55], М. Пилиньского, Д. Рутковской, Л. Рутковского [88], В.В. Круглова, М.Н. Дли, Р.Ю. Голунова [59], С.А. Федосина, Е.А. Немчиновой и Н.П. Плотниковой [90, 107, 148], А. С. Ракитянской, А. П. Энгельбрехта [94], И.А. Лёзина, В.В. Муравьёва [62] и в других работах. Алгоритмам глобальной оптимизации, используемым в задачах машинного обучения, посвящены работы D. Ashlock [120], V.G. Gudise, G.K. Venayagamoorthy [130], R. Storn, K. Price [152] и работы других ученых.

Во многих технических задачах структура управляемых динамических систем и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Следовательно, необходимым требованием к управляемым системам является их устойчивость (в том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям. Построение алгоритмов исследования устойчивости позволяет проводить анализ влиянии различных проектных параметров на качество функционирования сложного технического устройства.

Теории устойчивости динамических систем посвящены работы отечественных и зарубежных ученых: А.М. Ляпунова [64], Н.Г. Четаева [115], Е.А. Барбашина [17], В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [75], И.Г. Малкина [65], В.И. Зубова [51], А.А. Шестакова [117, 118], Ю.Н. Меренкова [71, 72], Н.П. Балабаевой [16], О.В. Дружининой и О.Н. Масиной [37-45, 67, 68], Ж. Йосс, Д. Джозеф [54], Ж. Ла-Салль, С. Лефшец [61], H.A. Antosiewicz, A. Cellina [119] и других ученых.

Несмотря на интенсивные исследования в области моделирования технических систем, все еще остается открытым ряд вопросов, связанных с

разработкой алгоритмов поиска оптимальных параметров движения с применением современных численных и интеллектных методов. В частности, требуют тщательной разработки многомерные задачи движения объектов в однородных и неоднородных полях возмущений, а также при динамическом изменении условий движения. Такие задачи являются актуальными для широкого класса летательных аппаратов, систем наземного, подводного и космического транспорта. Системные вопросы мониторинга объектов околоземного пространства рассмотрены в [73]. Модели динамики летательных аппаратов рассмотрены в работах В.А. Санникова, А.Г. Юрескула [96], А.А. Лебедева, Л.С. Чернобровкина, В.П. Корячко, К.В. Мироновой [74] и в работах других авторов. В настоящей главе в качестве примеров моделей технических систем с переключениями рассматриваются модели динамики твердого тела, в частности, модель осциллятора с сухим трением, модель авторулевого судна и модель квадрокоптера. Для модели квадрокоптера предложен переход от дифференциальных уравнений к дифференциальным включениям.

В настоящей диссертации рассмотрена базовая модель динамики летательного аппарата при условии минимальности расхода топлива. Указанная модель модифицирована и обобщена на случай увеличения частоты переключений, динамического изменения граничных условий, действия нестационарных возмущений. Обобщенные модели можно использовать в задачах перемещения груза с помощью летательного аппарата в условиях, когда достижение конечной точки при движении вдоль поверхности земли невозможно. Кроме того, для изучаемых моделей разработаны алгоритмы численного поиска оптимальных параметров. Указанные алгоритмы реализованы в виде программного комплекса с использованием искусственных нейронных сетей. Проведена серия вычислительных экспериментов и их верификация с помощью вычислительного комплекса Эльбрус 801-РС.

Цель диссертационной работы - разработка методов и алгоритмов для программного комплекса адаптивного и нейросетевого моделирования технических систем с переключениями.

Для достижения указанной цели поставлены и решены следующие научно-технические задачи:

- построение обобщенной модели динамики летательного аппарата при увеличении частоты переключений;

- модификация обобщенной модели динамики летательного аппарата на случай динамического изменения граничных условий;

- разработка и реализация в виде программного модуля алгоритма построения траектории движения с учетом условий оптимальности;

- построение обобщенной модели динамики летательного аппарата с учетом нестационарных возмущений;

- разработка и реализация в виде программного модуля алгоритмов поиска оптимальных параметров на основе развития методов случайного поиска и оптимизации роем частиц;

- разработка и реализация в виде программного модуля алгоритмов генерации переключений на основе численных и интеллектных методов;

- интеграция разработанных модулей в единый программный комплекс;

- проведение серии вычислительных экспериментов и их верификация с применением различных программно-аппаратных платформ.

Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются модели движения летательных аппаратов под воздействием внешних возмущений. Результаты исследования закреплены в модельных экспериментах. На основе указанных результатов сформулированы основные выводы диссертации.

Предмет исследования. Предметом исследования являются методы и алгоритмы адаптивного и нейросетевого моделирования технических систем с переключениями.

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:

- построены обобщенные модели динамики летательных аппаратов при увеличении частоты переключений;

- разработаны и реализованы численные алгоритмы построения траекторий для моделей динамики летательных аппаратов;

- построены обобщенные модели динамики летательных аппаратов, описываемые дифференциальными включениями, на основе сочетания требований многозначности, точности позиционирования и оптимальности;

- разработаны и реализованы алгоритмы построения траекторий движения для изучаемых моделей;

- разработаны и реализованы алгоритмы поиска оптимальных параметров на основе развития методов случайного поиска и роевой оптимизации;

- проведена верификация результатов модельных экспериментов на основе сравнительного анализа новых и известных алгоритмов и с учетом сравнения свойств траекторий при различных начальных условиях;

- разработан программный комплекс моделирования технических систем с переключениями, оригинальность которого состоит в реализации новых алгоритмов поиска оптимальных параметров и алгоритмов генерации переключений, а также в апробации модулей указанного комплекса на отечественной программно-аппаратной платформе Эльбрус 801-РС.

Соответствие специальности. Диссертационная работа соответствует паспорту специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по пунктам: п. 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей; п. 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента; п. 5. Комплексные исследования научно-технических проблем с применением

современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Внедрение результатов. Выполнено внедрение модулей программного комплекса на программно-аппаратной платформе Эльбрус 801-PC в Федеральном исследовательском центре «Информатика и управление» Российской академии наук. Кроме того, внедрение результатов диссертации осуществлено при разработке учебного курса в ФГБОУ ВО «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина», а также при моделировании траекторной динамики наблюдаемых космических объектов в астрономической обсерватории РГУ им. С.А. Есенина (акты приведены в приложениях к диссертации).

Методология и методы исследования. В диссертации использованы методы математического моделирования, теории устойчивости и качественной теории динамических систем, численные методы решения дифференциальных уравнений и численные методы оптимизации, метод моделирования на основе искусственных нейронных сетей.

Моделирование и разработка программного комплекса производилась на персональном компьютере с использованием системы Octave, на языке Python3 с использованием среды Jupyter, а также на вычислительном комплексе Эльбрус 801-PC с использованием языка Python2.

Основные положения, выносимые на защиту:

1 Построение моделей динамики летательных аппаратов с учетом точности позиционирования конечной точки и воздействия аэродинамических сил. Разработка модуля программного комплекса для построения траекторий движения.

2 Построение обобщенной модели технической системы с переключениями при воздействии нестационарных возмущений. Разработка модуля программного комплекса для описания обобщенной модели.

3 Разработка алгоритмов поиска оптимальных параметров на основе развития метода случайного поиска и метода оптимизации роем частиц, а

также алгоритмов генерации переключений на основе численных и интеллектных методов. Реализация указанных алгоритмов в виде модулей программного комплекса.

4 Интеграция разработанных модулей в программный комплекс SSMC моделирования технических систем с переключениями, реализованный на языке РуШоп3. Исследование динамики технических систем с переключениями с помощью разработанного программного комплекса. Верификация результатов моделирования на основе сравнительного анализа разработанных алгоритмов и на основе сравнения с аналитическими исследованиями. Апробация модулей программного комплекса на различных программно-аппаратных платформах.

Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения задач использовались строгие и апробированные методы и для всех утверждений приведены строгие обоснования. Достоверность результатов подтверждается сравнением с результатами других работ, а также сравнением результатов, полученных в ходе компьютерного моделирования изучаемых систем при конкретных начальных и граничных условиях, с результатами теоретических выводов.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты по моделированию технических систем могут найти применение при решении задач динамики летательных аппаратов, в ракетостроении, в робототехнике. Результаты могут быть использованы при решении задач устойчивости программного движения технических объектов, используемых в различных областях. Эффект от применения алгоритмов, предложенных в диссертации, заключается в уменьшении затрат времени и энергетических затрат на создание векторной тяги, а также в высокоточном позиционировании.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 4 международных научно-технических конференциях.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ [41-43, 69, 79-87, 128]. Из них: 1 статья в журнале, входящем в международную базу Scopus, 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, 4 тезиса докладов на международных научно-технических конференциях, 4 тезисов докладов на всероссийских и региональных конференциях, 1 свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора. На защиту выносятся только те результаты, которые получены лично автором. В совместно опубликованных работах научному руководителю принадлежат постановки задач. Все известные результаты, полученные другими авторами, указаны в работе со ссылками на оригиналы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Общий объем диссертации составляет 181 страницу, собственно текст диссертации (без приложений) - 157 страниц, в том числе список использованных источников из 156 наименований.

Во Введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи диссертации, аргументирована научная новизна, охарактеризована практическая значимость полученных результатов.

В главе 1 проведен обзор работ отечественных и зарубежных исследователей по моделированию динамических систем с помощью дифференциальных включений и уравнений с разрывными правыми частями. Рассмотрены модели технических систем, приводящие к многозначности в правых частях, а также описаны подходы к редукции указанных моделей к моделям с переключениями на основе интеллектных методов. Показаны преимущества и недостатки указанных методов по сравнению с

классическими методами моделирования. Дано обоснование выбора применяемых в настоящей диссертации методов исследования динамических моделей технических систем с учетом постановки решаемых задач. Рассмотренные технические системы находят применение в задачах моделирования автоматизированного наземного и воздушного транспорта, а также в задачах робототехники и проектирования устройств с подвижными частями. В качестве примера рассмотрена модель квадрокоптера.

Также в главе 1 описан класс изучаемых в диссертации моделей. Для указанных моделей предложены направления исследования на основе дифференциальных включений и перехода к дифференциальным переключениям. В частности, рассмотрена базовая модель динамики технической системы с переменной тягой при условии минимальности расхода топлива. Базовая модель динамики летательного аппарата является упрощенной моделью, которая не учитывает сопротивления воздуха, внешних воздействий, возможности позиционирования конечной точки. В связи с этим далее в главах 2 и 3 диссертации построены и изучены обобщенные модели технических систем с учетом увеличения частоты переключений, динамического изменения граничных условий, действия ветровых возмущений. Приведен обзор и дано обоснование выбора программных средств для исследования динамических моделей.

В главе 2 проведено построение математических моделей динамики летательных аппаратов с учетом различных типов возмущений и условий функционирования, в частности, с учетом увеличения частоты переключений, действия аэродинамических сил, точности позиционирования конечной точки траектории. Для обобщенных моделей предложены алгоритмы численного поиска оптимальных параметров. На основе указанных алгоритмов разработаны модуль программного комплекса, отвечающие за численное решение и графическое представление, на встроенном языке системы Octave. Численное решение выполнено с использованием методов Рунге-Кутты. Разработан нейросетевой модуль

программного комплекса для изучения динамики рассматриваемой системы на языке Python с возможностью интерактивного графического взаимодействия с пользователем и визуализацией моделируемых процессов. Указанный модуль позволяет проводить исследования для изучения динамики обобщенной модели летательного аппарата с переменной тягой в условиях действия аэродинамических сил с учетом точности позиционирования конечной точки траектории.

В главе 3 рассмотрено обобщение изученной в разделе 2.2 главы 2 модели динамики летательного аппарата на случай нестационарных возмущений. Возмущения представлены в виде зависящих от параметра t полиномов первой и второй степеней. Разработаны алгоритмы поиска оптимальных параметров на основе развития методов случайного поиска и роевой оптимизации, а именно, предложены алгоритм 1 «Адаптивный поиск» и алгоритм 2 «Потенциальный поиск». Проведен сравнительный анализ алгоритмов 1, 2 и выявлены их преимущества и недостатки при решении задач поиска оптимальных параметров изучаемых моделей с переключениями.

Кроме того, в главе 3 разработаны алгоритмы генерации переключений при наличии линейных нестационарных режимов, а именно, алгоритм 3 «Генерация переключений с возрастающей частотой», алгоритм 4 «Стохастический алгоритм генерации переключений», алгоритм 5 «Нейросетевой алгоритм генерации переключений», включающий в себя алгоритм 6 «Алгоритм обучения нейросети». Для моделей с различными генераторами переключений, построенными в главе, можно разработать обобщенные алгоритмы поиска оптимальных параметров на основе алгоритмов 1 и 2. В главе 3 разработан модуль-генератор переключений с возможностью интеграции в программный комплекс SSMC моделирования технических систем с переключениями.

Глава 3 служит теоретической основой для организации основных модулей и структурирования программного комплекса SSMC,

предназначенного для моделирования технических систем с переключениями. Глава 3 является частью диссертационного исследования, в которой проведена генерализация моделей и алгоритмов, построенных в главах 1 и 2.

В главе 4 дано детальное описание и приведена структура программного комплекса SSMC моделирования технических систем с переключениями. Для указанного программного комплекса реализованы в виде программного кода разработанные в разделе 3.3 главы 3 алгоритмы поиска оптимальных параметров на основе развития методов случайного поиска и роевой оптимизации. Проведен сравнительный анализ результатов работы алгоритмов 1, 2 и алгоритма дифференциальной эволюции в рамках программного комплекса SSMC.

Кроме того, в главе 4 описана реализация в рамках комплекса SSMC алгоритмов переключений, разработанных в разделе 3.4 главы 3. Проведен сравнительный анализ эффективности работы генераторов переключений на основе алгоритмов 3-5. Разработаны и реализованы функции библиотеки графического интерфейса на основе использования компонент библиотеки ipywidgets.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петров Алексей Алексеевич, 2019 год

Список литературы

1. Aвepкuн A.H., Баты^шин И.З., Блишун A.i., Cuлов B.Б., Tapa-ов B.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. M.: Наука, l986.

2. Aвepчeнкoв B.f., Фeдopoв B.n., XeüSet М.Л. Основы математического моделирования технических систем. M.: Флинта, 20l6.

3. Aвepчeнкoв B.f, Казаков n.B. Эволюционное моделирование и его применение. M.: ФЛИНТА, 2016.

4. Aлeкcaндpoв B.B., Болтянcrnü BT., Л\м1к C.C., Пapycнuкoв H.A., Тихом^ов B.M. Оптимальное управление движением. M.: Физматлит, 2005.

5. Aлeкceeв E.P., Чecнoкoвa O.B. Введение в Octave для инженеров и математиков. M.: ALT Linux, 2012.

6. Aлueв P.A., Зaxapoвa Э.Г., Ульянов C.B. Нечеткие модели управления динамическими системами // Итоги науки и техники. Cер. Техническая кибернетика. M.: ВИНИТИ, l990. Т. 29. C. l27-20l.

7. Aндpoнoв A.A, Лeoнmoвuч E.A. Качественная теория динамических систем второго порядка. M.: Наука, l966.

8. Aндpoнoв A.A,. Bumm A.A,. Хайкин C.Э. Теория колебаний M.: Наука, l98l.

9. Aфaнacьeв B.H. Управление нелинейными неопределенными динамическими объектами. M.: Изд-во URSS, 20l5.

10. Aфaнacьeв B.H. Алгоритмическое конструирование в задачах идентификации неопределенных объектов // Труды X Mеждународной конференции "Идентификация систем и задачи управления" ^осква, 26-29 января 20l5 г.) C. 454-462.

11. Aфaнacьeв B.H. Задача вывода и сопровождения нелинейного объекта по заданной траектории // Автоматика и телемеханика. 20l5. № l. C. З-20.

12. Афанасьев В.Н., Преснова А.П. Формирование алгоритмов оптимизации нестационарных систем управления на основе необходимых условий оптимальности // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19. №3. С. 153-159.

13. Афонин В.В., Федосин С.А. Моделирование систем. М.: БИНОМ, 2016.

14. Аюпов В.В. Математическое моделирование технических систем. Пермь: ИПЦ «Прокростъ», 2017.

15. Байдосов В.А. Нечеткие дифференциальные включения // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 12-17.

16. Балабаева Н.П. Устойчивость дифференциальных включений по медленным переменным // Наука и мир. 2015. Т. 1. № 3. С. 19-21.

17. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

18. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.

19. Бахвалов Ю.А., Горбатенко Н.И., Гречихин В.В. Математическое и компьютерное моделирование сложных технических систем. Новочеркасск: Издательство журнала «Известия ВУЗов. Электромеханика», 2014.

20. Белоусов В.В. Опыт разработки инструментов для моделирования организационно-экономических систем высокой доступности на базе открытого программного обеспечения // Системы высокой доступности. 2018. Т. 14. №4. С.

21. Беркинблит М.Б. Нейронные сети. М.: МИРОС и ВЗМШ РАО, 1993.

22. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: ИД «Удмуртский университет», 1999.

23. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

24. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: Изд-во URSS, 2011.

25. Булгаков А.И., Протасов Д.Н., Филиппова О.В. Дифференциальные включения с импульсными воздействиями // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. 2007. Т. 12. №1. С. 5456.

26. Бунтова Е.В. Моделирование технических систем // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2016. №5-5.С. 709-717.

27. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978.

28. Васильев С.Н. К интеллектному управлению // Нелинейная теория управления и ее приложения. М.: Физматлит, 2000. С. 57-126.

29. Васильев С.Н., Маликов А.И. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем // Сборник статей «Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН». Казань: Фолиант, 2011. Т. 1. С. 23-81.

30. Вержбицкий В.М. Численные методы. М.: Высшая школа, 2000.

31. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

32. Горюшкин В.А. Математические модели с логическими регуляторами // Вестник КамчатГТУ. 2012. Вып. 20. С. 5-14.

33. Гостев В.И. Нечеткие регуляторы в системах автоматического управления. Киев: Радюматор, 2008.

34. Гурьянов А.Е. Моделирование управления квадрокоптером // Инженерный вестник. 2014. №8 [Электронный ресурс]. URL: http://ainiournal.ru/doc/723331 .html.

35. Деменков Н.П. Нечеткое управление в технических системах. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.

36. Дорри М.Х., Рощин A.A. Программный комплекс для моделирования и исследования систем управления. Расчет динамических систем (РДС). Ч. 1-3. М.: Изд-во URSS, 2018.

37. Дружинина О.В. Индексно-дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных динамических систем. М.: Изд-во URSS, 2007.

38. Дружинина О.В., Игонина Е.В., Масина О.Н. Моделирование и стабилизация динамических систем с логическими регуляторами / Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ РАН, 2015.

39. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы исследования устойчивости и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. М.: ВЦ РАН, 2009.

40. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы анализа устойчивости динамических систем интеллектного управления. М.: Изд-во URSS, 2015.

41. Дружинина О.В., Масина О.Н., Петров A.A. Модель управления движением транспортной системы с учетом условий оптимальности, многозначности и вариативности // Транспорт: наука, техника, управление. 2017. № 4. С. 3-9.

42. Дружинина О.В., Масина О.Н., Петров A.A. Разработка подхода к решению задач управления движением технических систем, моделируемых дифференциальными включениями // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2017. Т. 15. № 4. С. 64-72.

43. Дружинина О.В., Масина О.Н., Петров A.A. Разработка алгоритмов поиска значений параметров моделей управляемых систем с учетом условия минимальности расхода топлива // Вестник РГРТУ. 2018. Вып. 64. № 2. С. 46-54.

44. Дружинина О.В., Масина О.Н., Шестаков A.A. Построение и анализ устойчивости нечетких регуляторов на основе качественных условий // Фундаментальные проблемы системной безопасности. Сб. науч. ст. Вып. 3 / Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН. М.: Вузовская книга, 2012. С. 308-313.

45. Дружинина О.В., Черкашин Ю.М., Шестаков A.A. Исследование безопасности движения транспортных систем на основе понятия динамической прочности траекторий // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Вып. 11. М.: ВЦ РАН, 2009. С. 123-136.

46. Емельянов С. В., Уткин В. И., Таран В. A. и др. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970.

47. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967.

48. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. М.: Наука. Физматлит, 1997.

49. Емельянов С.В., Коровин С.К. Системы управления с переменной структурой // Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. 1980. Т. 13. М.: ВИНИТИ. С. 151-198.

50. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

51. Зубов В.И. Методы А.М. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

52. Зыков A.A. Основы теории графов. М.: Наука, 1987.

53. Иванов A.A., Торохов С.Л. Управление в технических системах. М.: Форум, 2012.

54. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир: 1983.

55. Каллан Р. Основные концепции нейронных сетей. М.: Вильямс, 2001.

56. Климов В.С. Теоремы об устойчивости по первому приближению для дифференциальных включений // Математические заметки. 2004. Т. 76. №4. С. 517-530.

57. Корнюшин Ю.П., Егупов Н.Д., Корнюшин П.Ю. Идентификация нелинейных объектов и систем управления с использованием аппарата мат-

ричных операторов // Инженерный журнал: наука и инновации. 2014. №6(30). С. 9-10.

58. Котов К.Ю. Шпилевая О.Я. Переключаемые системы: устойчивость и проектирование (обзор) // Автометрия. 2008. Т. 44. № 5. С. 71-87.

59. Круглое В.В., Дли М.Н., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001.

60. Курейчик В.В., Курейчик В.М., Родзин С.И. Теория эволюционных вычислений. М.: Физматлит, 2012.

61. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: 1964.

62. Лёзин И. А, Муравьёв В. В. Сравнение алгоритмов обучения нейронной сети с бинарными входами // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2016. Т. 18. №4-4. С. 766-769.

63. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuz-zyTECH. С.-П.: Изд-во «БХВ-Петербург», 2005.

64. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

65. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

66. Масина О.Н. Вопросы управления движением транспортных систем // Транспорт: наука, техника, управление. 2006. № 12. С. 10-12.

67. Масина О.Н. О существовании решений дифференциальных включений // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 6. С. 845-847.

68. Масина О.Н., Дружинина О.В. Моделирование и анализ устойчивости некоторых классов систем управления. М.: ВЦ РАН, 2011.

69. Масина О.Н., Петров А.А. Вопросы управления движением транспортной системы с изменяющимися параметрами // Материалы международной научно-практической конференции «Фундаментально-прикладные проблемы безопасности, живучести, надежности, устойчивости и эффективности систем» (Елец, 1-4 февраля 2017 г.). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2017. С.342-344.

70. Матренин П.В., Гриф М.Г., Секаев В.Г. Методы стохастической оптимизации. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016.

71. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. Монография. М.: Изд-во РУДН, 2000.

72. Меренков Ю.Н. Об устойчивости нечетких систем// Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика». 2002. № 1. С. 21-27.

73. Миронов В.В., Муртазов AT., Усовик И.В. Системные методы мониторинга околоземного космического пространства. Монография / Под науч. ред. проф. Миронова В.В. Рязань: Изд. Коняхин А.В. (Book Jet), 2017.

74. Миронова К.В., Корячко В.П. Достижимость цели в малом для плоского управляемого движения космического аппарата // Вестник РГРТУ, 2015. №1-51. С. 89-95.

75. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.

76. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Проблема декомпозиции в математическом моделировании. М.: Фазис, 1998.

77. Панасюк A. И. О динамике множеств, определяемых дифференциальными включениями // Сибирский математический журнал. 1986. Т. 27. №5. С. 155-165.

78. Пегат A. Нечеткое моделирование и управление. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

79. Петров A.A, Масина О.Н, Дружинина О.В. Поиск оптимальных параметров движения для нелинейных динамических систем с многозначностью // Материалы молодежной секции в рамках IV Международной научно-практической конференции «Системы управления, технические системы: устойчивость, стабилизация, пути и методы исследования» (Елец, 25 апреля 2018 г.). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2018. С. 79-86.

80. Петров А.А. О нечеткой логике в построении баз знаний самообучающихся систем управления, основанных на прецедентах // Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 95-летию со дня рождения профессора А.А. Шестакова «Системы управления, технические системы: устойчивость, стабилизация, пути и методы исследования» (Елец, 2-3 апреля 2015 г.). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2015. С. 109-115.

81. Петров А.А. Об управлении движением транспортной системы, описываемой дифференциальными включениями // Материалы научно-практического семинара молодых ученых и студентов «Системы управления, технические системы: устойчивость, стабилизация, пути и методы исследования» (Елец, 15-16 декабря 2016 г.). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2016. С. 82-85.

82. Петров А.А. Оптимальное управление движением технической системы в условиях многозначности и вариативности // Материалы молодежной секции в рамках Третьей Международной научно-практической конференции «Системы управления, технические системы: устойчивость, стабилизация, пути и методы исследования» (Елец, 26 апреля 2017 г.). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2017. С. 66-69.

83. Петров А.А. Алгоритмы поиска оптимальных траекторий для моделей управляемых технических систем // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, 24-28 апреля 2017 г.) Москва: РУДН, 2017. С. 330-332.

84. Петров А.А. Алгоритмы поиска оптимальных параметров для динамических систем, описываемых дифференциальными включениями // Материалы областного профильного семинара «Школа молодых ученых» по проблемам естественных наук (Липецк, 4 октября 2017 г.). Липецк: ЛГПУ, 2017. С. 69-71.

85. Петров А.А. Моделирование и построение алгоритма поиска оптимальных параметров управляемых динамических систем, описываемых дифференциальными включениями // Нелинейный мир. 2017. Т. 15. № 4. С. 47-52.

86. Петров А.А. О нахождении оптимальных параметров движения динамических систем, моделируемых дифференциальными включениями // Материалы XXII Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях» (Рязань, 15-17 ноября 2017 г.). Рязань: РГРТУ, 2017. С. 72-74.

87. Петров А.А. Структура программного комплекса для моделирования технических систем в условиях переключения режимов работы // Электромагнитные волны и электронные системы. 2018 Т. 23 № 4. С. 61-64.

88. Пилинъский М., Рутковская Д., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая Линия-Телеком, 2006.

89. Плас Дж. В. Python для сложных задач. Наука о данных и машинное обучение. Санкт-Петербург: Питер, 2018.

90. Плотникова Н.П., Федосин С.А., Казаков В.Г. Анализ производительности распределенной асинхронной модели многослойного персептрона, построенной на базе платформы ERLANG/OTP // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. 2013. №4(24). С.86-94.

91. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры // Тр. МИАН СССР. 1985. T. 169. С. 119-158.

92. Пугачев В.С., Синицын И.Н . Теория стохастических систем. М.: Логос, 2004.

93. Пупков К.А. Егупов Н Д. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления. М.: МГТУ им. Баумана, 2000.

94. Ракитянская А. С., Энгелъбрехт А. П. Обучение искусственных нейросетей с помощью динамического алгоритма роя частиц // Математическое моделирование. 2012. Т. 24. № 12. С. 107-112

95. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. Том 1. М.: Мир, 1986.

96. Санников В.А., Юрескул А.Г. Основные принципы расчета траектории летательных аппаратов. СПб: БГТУ, 2008.

97. Синицын И.Н., Шаламов А.С., Белоусов В.В. Программное инструментальное обеспечение аналитического моделирования процессов высокой размерности в системах послепродажного сопровождения изделий наукоемкой продукции // Системы высокой доступности, 2016. № 1. С. 37-40.

98. Синицын И.Н., Шаламов А.С., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В., Титов Ю.П. Методическое и инструментальное программное обеспечение моделирования процессов в организационно-технико-экономических системах массового применения // Системы высокой доступности. 2017. Т. 13. № 1. С. 65-90.

99. Синицын И.Н., Шаламов А.С. Модели и базовые технологии фильтрации в организационно-технико-экономических системах // Системы высокой доступности. 2018. Т. 14. № 1. С. 43-58.

100. Синицын И.Н., Шаламов А.С., Титов Ю.П. Методологические проблемы стохастического моделирования, фильтрации и оптимизации // Системы высокой доступности, 2016. Т.2. №2. С.38-94.

101. Синицын И.Н., Синицын В.И. Лекции по нормальной и эллипсоидальной аппроксимации распределений в стохастических системах. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2013.

102. Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летательных аппаратов. М.: Наука, 1982.

103. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Нейросетевые системы управления. М.: Высшая школа, 2002.

104. Титов Ю.П. Модификации метода муравьиных колоний для разработки программного обеспечения решения задач многокритериального управления поставками // Современные информационные технологии и ИТ-образование, 2017. Т. 13. №2. С. 64-74.

105. Трофимов А.И., Пупков К.А., Егупов Н Д., Баркин А.И. и др. Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления. М.: Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2004.

106. Фарапонов В.В., Савкина Н . В., Дъячковский А. С., Чупашев А.В. Расчет аэродинамического коэффициента лобового сопротивления тела в дозвуковых и трансзвуковых режимах движения с помощью пакета ANSYS Fluent // Компьютерные исследования и моделирование. 2012 Т. 4. № 4. С. 845-853.

107. Федосин С.А., Немчинова Е .А., Плотникова Н.П. Искусственный интеллект на базе нейронной сети, реализующий перемещение модели сложного объекта в пространстве // Наукоемкие технологии. 2018. Т.19. №7. С. 23-29.

108. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. 1959. № 2. С. 25-32.

109. Филиппов А. Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестник МГУ. Серия 1: Математика, механика. 1967. № 3. С. 16-26.

110. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

111. Финогенко И.А. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2013.

112. Хайкин С. Нейронные сети. М.: Издательский дом «Вильямс», 2006.

113. Хассанин Х. Решение задач оптимизации с помощью нейронной сети Хопфилда // Фундаментальные исследования. 2015. №2-22. С. 48864892.

114. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991.

115. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990.

116. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы // Прикладная математика. Иркутск: Из-во СЭИСО АН СССР, 1980. С.155-179.

117. Шестаков А.А., Степанов А.Н. Индексные и дивергентные признаки устойчивости особой точки автономной системы дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 18. №4. С. 650-661.

118. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: УРСС, 2007.

119. Antosiewicz Н.А., CellinaA. Continuous selections and differential relations // J. Diff. Eq. 1975. V. 19. P. 386-398.

120. Ashlock D. Evolutionary сотрШ^^ for modeling and optimization. N.Y.: Springer-Verlag, New York, 2006.

121. Bacciotti A. Stability and stabilization of discontinuous systems and nonsmooth Lyapynov functions // Rapporto Interno. 1998. № 27. P. 1-21.

122. Bartoszewicz A., Zuk J. Sliding mode control - Basic concepts and current trends. // Proceedings of IEEE International Symposium on Industrial Electronics held in Bari. 2010. P. 3772-3777.

123. Beker К.Н., Dorfler M. Dynamical systems and fractals: computer graphics experiments in Pascal. N.Y.: Cambridge University Press, 1989.

124. Branicky M.S. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. V. 43. №4. P. 475-482.

125. Cellina A. View on differential inclusions // Rend. Sem. Mat. Univ Pol. Torino. 2005. V. 63(3). P. 197-209.

126. Chambers D.L. The Practical Handbook of Genetic Algorithms: Applications. Boca Raton: CRC Press, 1995.

127. Driankov D., Hellendorm H ., Reich Frank M. An introduction to fuzzy control. Berlin: Springer, 1996.

128. Druzhinina O. V., Masina O.N., Petrov A.A. Models for the control of technical systems motion taking into account optimality conditions // Proceedings of the VIII International Conference on Optimization Methods and Applications «Optimization and Applications» (OPTIMA-2017), Petrovac, Montenegro, October 2-October 7, 2017. Published at http://CEUR-WS.org 10.11.2017. Vol. 1987. P. 386-391.

129. Ghasemi M. High order approximations using spline-based differential quadrature method // Implementation to the multi-dimensional PDEs. Applied Mathematical Modelling. 2017. V. 46. P. 63-80.

130. Gudise V.G., Venayagamoorthy G.K. Comparison of particle swarm optimization and backpropagation as training algorithms for neural networks // Proceedings of the 2003 IEEE Swarm Intelligence Symposium (SIS'03), Indianapolis, IN, USA. 2003. P. 110-117.

131. Ilonen J., Kamarainen J.K., Lampinen J. Differential evolution training algorithm for feed-forward neural networks // Neural Processing Letters. 2003. V. 17. P. 93-105.

132. Johansson E., Dowla F., Goodman D. Backpropagation learning for multilayer feed-forward neural networks using the conjugate gradient method // International Journal of Neural Systems. 1991. V. 2. № 4. P. 291-301.

133. Kamgarpour M., Tomlin C . On optimal control of non-autonomous switched systems with a fixed mode sequence // Automatica. 2012. V. 48. № 6. P. 1177-1181.

134. Kandel A. Application of fuzzy logic to the detection of static hazards in combinational switching systems // International Journal of Computer & Information Sciences. 1974. V. 3. № 2. P. 129-139.

135. Kloeden P. Nonautonomous attractors of switching systems // Dynamical Systems - An International Journal. 2006. V. 21. № 2. P. 209-230.

136. Koza J.R., Keane M.A., Streeter M.J., Mydlowec W., YuJ., Lanza G. Genetic programming IV: routine human-competitive machine intelligence. Berlin: Springer, 2005.

137. Le Coent A., Sandretto J. A., Chapoutot A., Fribourg L. Control of nonlinear switched systems based on validated simulation // Proceedings 2016 International Workshop on Symbolic and Numerical Methods for Reachability Analysis (SNR), Vienna. 2016. P. 1-6.

138. Liberzon D. Switching in Systems and Control. Boston: Birkhauser Basel, 2003.

139. Liberzon D., Morse A.S. Basic problems in stability and design of switched systems // IEEE Control systems magazine. 1999. V. 19. № 5. P. 59-70.

140. Liu J., Liu X., Xie W.C. Uniform stability of switched nonlinear systems // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 2009 V. 3. № 4. P. 441-454.

141. Long R., Fu J., Zhang L. Optimal Control of Switched System Based on Neural Network Optimization // Advanced Intelligent Computing Theories and Applications. With Aspects of Artificial Intelligence (ICIC 2008). Springer, Berlin, Heidelberg. 2008. Vol. 5227. P. 799-806.

142. Marinos P. Fuzzy Logic and its Application to Switching Systems // IEEE Transactions on Computers. 1969. V. 18. № 4. P. 343-348.

143. Martin C.F., Dayawansa W.P. On the existence of a Lyapunov function for a family of switching systems // Proceedings of 35th IEEE Conferention on Decision and Control. Kobe, Japan. 1996. P. 1820-1826.

144. Masina O. N., Druzhinina O. V. On optimal control of dynamical systems described by differential inclusions // Proceedings of the VII International conference on optimization methods and applications "Optimization and application" (0PTIMA-2016) held in Petrovac, Montentgro, September 25 - October 2, 2016. Moscow: Dorodnicyn Computing Centre of FRC CSC RAS, 2016. P. 104105.

145. MatLab vs. Python vs. R / Ozgur C., Colliau T., Rogers G., at. Al. // Journal of Data Science. 2017. V. 15. № 3. P. 355-372.

146. McCulloch W. S., Pitts W. A logical calculus of the ideas immanent in-nervous activity // Bulletin of Mathematical Biophysics. 1943. Vol. 5. P. 115-133.

147. Ojleska V., Stojanovski G . Switched fuzzy systems: overview and perspectives // Proceedings of 9th International PhD Workshop on Systems and Control: Young Generation Viewpoint held in Izola, Slovenia, October 1-3, 2008.

148. Plotnikova N. P., Fedosin S. A., Teslya V.V. Gravitation search training algorithm for asynchronous distributed multilayer perceptron model // Lecture Notes in Electrical Engineering. 2015. T. 312. C. 417-423.

149. Roush F. W. Dynamical systems: Differential equations, maps and chaotic behavior. London: Chapman & Hall, 1992.

150. Sean S. W. Existents of solutions and asymptotic equilibrium of multivalued differential systems // J. Math. Anal. and Appl. 1987. V. 89. P. 648-663.

151. Shazalina Mat Zin. Quartic B-spline and two-step hybrid method applied to boundary value problem // AIP Conference Proceedings. 2013. V. 1522, P. 744-749.

152. Storn R., Price K. Differential evolution - a simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces // Journal of Global Optimization. 1995. V. 11. № 4. P. 341-359.

153. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE Trans. Syst., Man and Cyber. 1985. V. 15. P. 116-132.

154. Tanaka K., Wang H .O. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality approach. N.Y.: Wiley, 2001.

155. Werbos P. J. Beyond regression: New tools for prediction and analysis in the behavioral sciences. Ph.D. thesis, Harvard University, Cambridge, MA. 1974.

156. Yang H., Jiang B., Tao G ., Zhou D. Robust stability of switched nonlinear systems with switching uncertainties // IEEE Transactions on Automatic Control. 2015. V. 61. № 9. P. 2531-2537.

Приложение А

1 Программный модуль для построения траекторий двумерной модели

from sympy import —

from scipy.integrate import odeint as ode0

from numpy import linspace as lp

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt

from scipy.integrate import ode #импорт необходимых библиотек

def endof(arg): return arg[-1] #функция для нахождения последнего элемента списка

def system0(t,y,a1,a2): #функция, задающая систему уравнений x1,x2,x3,x4=y phi=0

return [x2,a1-phi*sign(x2)*x2**2,x4,a2-phi*sign(x4)*x4**2]

def params(g,m,h,l): #функция расчета параметров tau=1+(1/3**0.5)

t1=((4*l*((tau-1)**2)+2*h*tau**2)/(((tau-1)**2)*g*tau**2))**0.5 t2=t1—tau

p=(2*l*tau*((tau-1)**2)*g*m)/(4*l*((tau-1)**2)+2*h*tau**2) q=(2*h*tau**2*((tau-1)**2)*g*m)/(4*l*((tau-1)**2)+2*h*tau**2) + m*g b=(2*l*tau*(tau-1)*g*m)/(4*l*((tau-1)**2)+2*h*tau**2) s=(2*h*tau**2*(2*tau-1)*g*m)/(4*l*((tau-1)**2)+2*h*tau**2) + m*g return t1,t2,p,q,b,s

def calc(system,y0,h,m,pows): #функция расчета траекторий time=[] sol=[]

t_step=001

t1,t2=pows[0:2]

p,q,b,s=pows[2:]

od=ode(system).set_integrator('lsoda')

a1=p/m

a2=(q-m—g)/m

od. set_initial_value(y0,0)

od.set_f_params(a1,a2) #задание начальных условий и параметров

while od.successful() and od.t < t1: #расчет траектории до переключения od.integrate(od.t + tstep) time.append(od.t) sol.append(od.y)

time = np.vstack(time) sol = np.vstack(sol).T

y0=[endof(i) for i in sol]

t0=endof(time)

od. set_initial_value(y0,t0)

al=-b/m

a2=-(s-m*g)/m

od. set_f_params(a1,a2)

time1=[] sol1=[]

while od.successful() and od.y[2] > 0: -расчет траектории после переключения od.integrate(od.t + tstep) timel.append(od.t) soll.append(od.y)

timel = np.vstack(timel) soll = np.vstack(soll).T

return sol,time,soll,timel

m=l l=20 g=9.8

y0=[0,0,0,0]

tsx=2

tsy=3

for h in range(l,l6): -цикл построения множества траекторий par=params(g, m, h, l) solut=calc(system0,y0,h,m,par) print(par[2:])

plt.plot(solut[0][0],solut[0][2],'r--') plt.plot([solut[0] [0][-l]], [solut[0] [2] [-1 ]],'ro') plt.plot(solut[2][0],solut[2][2],'b--') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.plot([20],[0],'bo') plt.grid()

plt.savefig('model_0.eps') -сохранение файла plt.show() -вывод

2. Программа для построения траекторий трехмерной модели с учетом

вариативности позиционирования конечной точки

%==================================

% Установка начальных параметров и условий

%==================================

Cd=struct('tu' ,1,' l ' ,10,' h' ,5,'g ' ,9.8,' m' ,1,'tl' ,1,'t2 ' ,1,' dt' ,1,'p' ,1,' q ' ,1,'r' ,1,' s ' ,1,'P1' ,1,'R1' ,1,' Sl' ,1,' Ql' ,1,'

R' ,l);

Cd=SetConditions(Cd,true);

%=============================

% Постройка первоначального графика

%=============================

td=0:0.1:Cd.tl;

x0=(Cd.P1*td.A2)/2;

y0=(Cd.Q1*td.A2)/2;

hA=axes;

size1=size(x0);

size1=size1(2);

plot3(x0,zeros(size1,1),y0);

SetCanv(hA);

hold on;

td=Cd.t1:0.1:Cd.t2;

xt=-((Cd.R1*td.A2)/2)+((Cd.P1+Cd.R1)*Cd.t1*td)-(((Cd.P1+Cd.R1)*(Cd.t1A2))/2);

yt=((-Cd.S1*(td.A2))/2)+((Cd.Q1+Cd.S1)*Cd.t1*td)-((Cd.Q1+Cd.S1)*(Cd.t1A2))/2;

size2=size(xt);

size2=size2(2);

plot3(xt, zeros(size2,1), yt);

SetCanv(hA);

Z=[xt', yt'];

%————==

% Численное решение ОДУ %

%=====================

% пусть x - y(1), y - y(2), x' - y(3) = dy(1), y' - y(4) = dy(2), x' ' = dy(3), y' ' = dy(4), тогда % -> movement.m

% начальные условия - (P1*dtA2)/2, (Q1*dtA2)/2, P1*dt, Q1*dt

IPoint=InitY(Cd);

Cd.R=1;

dr=0.05;

[T,Y] = ode45(@(t,y) movement(t,y,Cd.R1,Cd.S1),[Cd.dt,Cd.t2],IPoint);

Circle(Cd,Y);

SetCanv(hA);

numfile=1;

while Cd.R>dr

[T,Y] = ode45(@(t,y) movement(t,y,Cd.R1,Cd.S1),[Cd.dt,Cd.t2],IPoint); L=[Y(:,1),Y(:,2)];

Gamma=find(L(:, 1) >= (max(Z(:,1)))-Cd.R/4); Direct 1 =L(Gamma, 1 ) ; Direct2=L(Gamma, 2) ;

plot3 (Direct 1 ( 1 ),zeros(size(Direct 1(1)),1 ),Direct2( 1), ' -o ' );

plot3(Direct1,zeros(size(Direct2),1),Direct2,'LineWidth' , 2); SetCanv(hA);

print('-dpng','-r300', strcat('Kривая', num2str(numfile))); sizeofD 1 =size(Direct 1); sizeofD 1 =sizeofD 1(1); Counter=1;

Arr=rand(1,sizeofD1)—pi; sizeoArr=size(Arr); sizeoArr=sizeoArr(2); if Cd.R >= 0.25

while Counter<sizeoArr

RO=Direct 1 (sizeofD 1 )-Direct 1(1);

VectorZ=R0—co s(Arr(Counter));

ArrayZ=linspace(0,VectorZ, sizeofD 1);

Direct 1 =(Direct 1 -Direct 1(1))—cos(Arr(Counter)) + Direct1(1);

plot3(Direct1,ArrayZ,Direct2,'--');

SetCanv(hA);

Circle(Cd,Y);

SetCanv(hA);

Counter=Counter+1;

end end

Z=[Y(:,1), Y(:,2)]; Cd=SetConditions(Cd,false); IPoint=InitY(Cd); numfile=numfile+1; end;

SetCanv(hA);

hold off;

%==—=—=

% Система уравнений

%====——=

function dy = movement(t,y,R1,S1) dy = zeros(4,1);

dy(3) = -R1; dy(4) = -S1; dy(1) = y(3); dy(2) = y(4);

% Функция расчета параметров

function Cnd = SetConditions(Cd, flag)

Cd.tu = 1 + 1/sqrt(3); if flag

Cd.t1=sqrt((4—Cd.l—((Cd.tu-1)A2)+2—Cd.h—(Cd.tuA2))/(Cd.tuA2)—((Cd.tu-1)A2)—Cd.g); Cd.t2=Cd.tu—Cd.t1; Cd.dt=Cd.t1; else

Cd.R=Cd.R/2; Cd.h=Cd.h/2; Cd.l=Cd.l+Cd.R; Cd.dt=Cd.dt+((Cd.t2-Cd.dt)/2); Cd.t2=Cd.tu—Cd.dt; end

Cd.p=(2*Cd.l*Cd.tu*((Cd.tu-l)A2)*Cd.g*Cd.m)/(4*Cd.l*((Cd.tu-l)A2)+2*Cd.h*(Cd.tuA2));

Cd.q=((2*Cd.h*(Cd.tuA2)*((Cd.tu-1)A2)*Cd.g*Cd.m)/(4*Cd.l*((Cd.tu-

1)A2)+2*Cd.h*Cd.tu®2))+Cd.g*Cd.m;

Cd.r=(2*Cd.l*Cd.tu*(Cd.tu-1)*Cd.g*Cd.m)/(4*Cd.l*((Cd.tu-1)A2)+2*Cd.h*(Cd.tuA2));

Cd.s=((2*Cd.h*(Cd.tuA2)*((Cd.tu-1)A2)*Cd.g*Cd.m)/(4*Cd.l*((Cd.tu-

1)A2)+2*Cd.h*(Cd.tuA2)))+Cd.m*Cd.g;

Cd.P1=(2*Cd.l)/((Cd.dtA2)*Cd.tu);

Cd.R1=(2*Cd.l)/((Cd.dtA2)*Cd.tu*(Cd.tu-1));

Cd.S1=((2*(2*Cd.tu-1))*Cd.h)/((Cd.dtA2)*((Cd.tu-1)A2));

Cd.Q1=(2—Cd.h)/(Cd.dtA2);

Cnd = Cd;

end

%============================

% Функция расчета начальных условий

%============================

function уу = InitY(Cd)

y(1)=(Cd.P1*Cd.dtA2)/2;

y(2)=(Cd.Q1—Cd.dtA2)/2;

y(3)=Cd.P1—Cd.dt;

y(4)=Cd.Q1—Cd.dt;

yy=y;

end

%===============================

% Функция задания параметров отрисовки

%===============================

function s = SetCanv(hA) set(hA, 'XLim', [-1 12]); set(hA, 'YLim', [-1 8]); set(hA, 'ZLim', [-1 8]); xlabel('Ox'); ylabel('Oz'); zlabel('Oy'); end

%==============================

% Функция отрисовки кругов положений

%==============================

function cir = Circle(Cd, Y) sizeY=size(Y); xcirclepos = Y(sizeY(1),1); CircleT = 1:0.1:10;

CircleX = Cd.R — sin(CircleT) + xcirclepos; CircleZ = Cd.R — cos(CircleT);

plot3(CircleX, CircleZ, zeros(size(CircleT)) ,'LineWidth', 2); end

Приложение Б

1 Программа для тренировки нейросети на базе fann2

#!/usr/bin/python3

##=====Модуль построения траекторий====================

from fann2 import libfann from time import — import sys

from numpy import linspace as lp from math import sin,copysign,tan,atan,fabs from matplotlib import pyplot as plt timeO=time()

ann = libfann.neural_net() ann.create_from_file("inc2.net")

Ay=float(sys.argv[ 1 ])

y=[]

y_=[] y_=[]

s=[] ttt=[] AA=[]

te=lp(O,1,2O)

steps=2O

initpos=[1,3]

endpoint=[1,4]

phi=O

pi=3.1415

def FContains(lst, bounds): for i,j in enumerate(lst):

if bounds[O]<j<bounds[1]: return i,j return False

def Trajectory(initial, time): #neural integrator yO=initial[O]

yO_=initial[1] pos=[]

speed=[]

for i,t in enumerate(time):

r=ann.run([Ay/1O, yO/1O, yO_/1O])

y.append(r[O])

y_.append(r[1])

yO+=r[O]

yO_+=r[1]

speed.append(yO_)

pos.append(yO)

return pos,speed

plt.xlabel('t') plt.ylabel('y') plt.grid()

for npos in (1,2,3,4,5): ftime=lp(O,1/4,steps/4) X, Y=Traj ectory([npos, initpos [1]],ftime) AA=[Ay for i in range(5)] stp=[] errn=O.1

for i in (5,1O,15): #simply optimize for [t1,y1, Ay->min] step=1O counter=O old_Ay=O old_error=O

x,y=Trajectory([X[len(X)-1],Y[len(Y)-1]],lp(1/(steps/i),1,steps-i)) error=(x[len(x)-2]-endpoint[ 1 ]) while fabs(Ay—error-old_Ay—old_error) > errn: old_error=error old_Ay=Ay

x,y=Trajectory([X[len(X)-1],Y[len(Y)-1]],lp(1/(steps/i),1,steps-i)) error=(x[len(x)-2]-endpoint[ 1 ]) if error>O: Ay-=step if error<O: Ay+=step step=step/1.1 counter+=1 X=X+x[O:5] Y=Y+y[O:5] stp. append( [i, counter]) for i in range(5): AA.append(Ay)

timeOO=lp(O.O5,(len(X))—O.O5 + O.O5,len(X))

print(timeOO)

print(X)

ti=[i for i in timeOO]

print(len(X))

mi=O

for i in AA: mi+=fabs(i) print("Min: %s" % mi) print("End: %s" % X[len(X)-2]) plt.plot(ti,X,'b--') print(stp)

plt.plot(endpoint[O],endpoint[1],' ro ' ) plt.show()

##=======MoAy.nb TpeHHpoBKH=

#!/usr/bin/python3

from fann2 import libfann

connectionrate = O.S learning_rate = O.O5 numinput = 4 numhidden = S numoutput = 3

desired_error = O.OOO4 max_iterations = 5OOOOO iterationsbetweenreports = lOO

ann = libfann.neural_net()

ann.create_sparse_array(connection_rate, (num input, num hidden, num hidden, num output))

ann. set_activation_function_hidden(libfann. SIGMOIDSYMMETRIC) ann. set_activation_function_output(libfann. SIGMOIDSYMMETRIC)

ann. set_training_algorithm(libfann. TRAINRPROP)

ann.train_on_file(Mtrainmult.txtM, max iterations, iterations between reports, desired error) ann.save(Mincmult.net")

Приложение В

1 Основная программа SSMC

from scipy. integrate import ode

from scipy. optimize import differentialevolution, minimize

from matplotlib import pyplot as plt

from numpy import linspace as lp

from math import sin,cos,tanh

import numpy as np

import sympy

from custommodules.matrixneural import — from custom modules.motion import motion model from custommodules.switching import — from custom modules.minimize import — from custom modules.weights import —

import custom_modules.weights as weights_pool #импорт разработанных модулей

from multiprocessing import Pool from random import random,uniform

from ipywidgets import interact manual, interactive, interactive output, fixed, interact import ipywidgets as widgets

from IPython.display import display, clear_output #импорт библиотек

class create_simple_gui(): #модуль графического интерфейса

def_init_(self, connector, inter=None, ui=None, functions=None):

self.main = connector self.gui=inter self.ui = ui

self.functions = functions self.arg = 0

def ui_fun(self, ——kwargs): self.arg=kwargs

def show(self): #конруирует графический интерфейс

defplot(b): clear_output()

display(ui_l, ui_2, ui_3, buttonl, self.ui) self. main(*—self. arg)

buttonl = widgets.Button(description=мCчитатьм) buttonl .onclick(plot)

ui_l = widgets.HBox(list(self.gui.values())[0:3]) ui_2 = widgets.HBox(list(self.gui.values())[3:6])

ui_3 = widgets.HBox(list(self.gui.values())[6:9])

self.ui = widgets.interactive_output(selfui_fun, self.gui) display(ui_1, ui_2, ui_3, buttonl, self.ui)

def add_button(self, function, name): pass

def c_params(state_vec, time, b_vec, m, distort, rho=0): -функция расчета параметров xO,dxO,yO,dyO=state_vec l = b_vec[0] -print(time) Dt = time[0] - time[1] g = 9.8

p0=2*m*(-2*Dt*dx0 + 3—l - 3*x0)/Dt**2 p1=6*m*(Dt*dx0 - 2—l + 2*x0)/Dt**3 p2=g—m - 4*dy0*m/Dt - 6*m*y0/Dt**2 p3=6*m*(Dt*dy0 + 2*y0)/Dt**3

dist = lambda t: np.array([[distort[0]],[distort[1]]]) if (0 < t < 2) else 0

params = {"P": np.array([[p0, p1], [p2, p3]]), "G": np.array([[0],[9.8]]), "D": dist, "m": 1, "rho": rho}

return params

def model_0(t,y,arg, self): -функция системы уравнений

aero force = lambda speed vec: arg["rho"]*np.sign(speed_vec)*speed_vec**2

P0 = np.dot(arg["P"], np.array([[1], [t]])) - PT, матричное произведение

R = P0 / arg["m"] - arg["G"] - aero_force(np.array([[y[1]],[y[3]]])) + arg["D"](self.c_time)

return [y[1],R[0],y[3],R[1]]

def eval_model(conditions, args, dist): -функция построения траекторий

model = motion_model(model_0, ——conditions, **args) model.set_params(model.extra["eval_params"](model.c_state,

[model.b time, model.c time], model.b state, m = 1, distort = dist))

while model.evaluate() and model.g_left_time() > 0: pass

return model

def calc(step, save_picture, color, dot_xO, dot_yO,