Методы и алгоритмы моделирования монопольных микрополосковых гребенчатых антенн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Маркина Ангелина Геннадьевна

• Маркина Ангелина Геннадьевна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Маркина Ангелина Геннадьевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Дифракция электромагнитной волны на

металлической пластине

1.1 Постановка задачи

1.2 Решение задачи методом моментов

1.2.1 Численное решение задачи дифракции электромагнитной волны на прямоугольной пластине

1.2.2 Численное решение задачи дифракции электромагнитной волны на гребенчатой пластине

1.3 Решение задачи методом коллокаций

1.3.1 Вычисление ядер интегральных уравнений

1.3.2 Решение интегральных уравнений

1.3.3 Численные результаты

Глава 2. Излучение металлической пластины в волноводе

2.1 Возбуждение волновода источником, расположенным в поперечном сечении

2.1.1 Электромагнитные волны в волноводе с металлическими стенками

2.1.2 Телеграфное уравнение в четверти плоскости

2.1.3 Возбуждение волн в волноводе

2.1.4 Численные результаты

2.2 Сведение задачи о возбуждении волновода токами к

системе интегральных уравнений

2.2.1 Постановка задачи о скачке для уравнений Максвелла

2.2.2 Постановка задачи о скачке для телеграфных уравнений

2.2.3 Граничные условия задачи о возбуждении волновода

2.2.4 Существование и единственность решения задачи возбуждения волновода

2.2.5 Метод механических квадратур решения задачи о

скачке для телеграфных уравнений

Глава 3. Регрессионные модели основных

электродинамических характеристик

гребенчатых антенн

3.1 Семейство микрополосковых гребенчатых антенн

3.1.1 Электродинамические характеристики антенн

3.2 Регрессионный анализ электродинамических характеристик

гребенчатых антенн

3.2.1 Модели резонансных частот

3.2.2 Модели активного сопротивления и коэффициента отражения

3.2.3 Модели ширины полосы пропускания

3.2.4 Исследование влияния длины гребней и длины вырезов на электродинамические характеристики антенны

Глава 4. Проектирование монопольной микрополосковой

гребенчатой антенны

4.1 Однодиапазонная антенна

4.1.1 Быстрый метод для проектирования хорошо согласованной четырех-гребенчатой антенны

4.1.2 Монопольная шести-гребенчатая антенна

4.2 Многодиапазонная антенна

4.2.1 Использование вычислительных средств пакета Wolfram Mathematica при проектировании двухдиапазонной гребенчатой микрополосковой антенны

4.2.2 Четырех-гребенчатая микрополосковая антенна для Wi-Fi приложений

4.2.3 Симметричная восьми-гребенчатая микрополосковая антенна для Wi-Fi приложений

4.2.4 Двухдиапазонная монопольная печатная

симметричная гребенчатая антенна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Блок-схемы алгоритмов проектирования

однодиапазонных гребенчатых антенн

Приложение Б. Блок-схемы алгоритмов проектирования

двухдиапазонных гребенчатых антенн

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы моделирования монопольных микрополосковых гребенчатых антенн»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. В последние годы область беспроводных систем связи получила интенсивное развитие. Беспроводные технологии глубоко вошли в повседневную жизнь и играют значительную роль, как средство связи. Растет популярность недорогих, компактных и надежных устройств беспроводной связи, а также спрос на разработку малогабаритных, широкодиапазонных, многодиапазонных и высокоэффективных антенн. На сегодняшний день одними из самых распространенных и широко используемых типов антенн являются микрополосковые антенны [13; 39; 51; 76; 221; 251]. Связано это, прежде всего, с рядом их достоинств — таких, как компактность в размерах, легкий вес и простота в изготовлении, а также возможность работы антенны на нескольких диапазонах [23; 205; 209; 219]. В подтверждение этому, существует большое количество публикаций, посвященных различным модификациям этих антенн [207; 220; 226].

Наиболее исследованными являются микрополосковые патч-антенны с излучателями простой геометрии. Например, патч-антенна с прямоугольным излучателем является наиболее хорошо изученным объектом [39; 112]. Поэтому проектирование антенны чаще всего начинают с начальной геометрии её излучателя и в качестве формы выбирают прямоугольник [4; 91], реже —круг [154]. Далее применяют различные подходы к улучшению электродинамических характеристик микрополосковых антенн. Одним из подходов к изменению свойств антенны является добавление вырезов на боковых сторонах излучателя [65; 91; 179] или различных прорезей на излучателе [182]. За счет этого размер антенны остается компактным [2; 138; 160]. На следующем шаге производят настройку антенны на заданные резонансные частоты [4; 23; 91; 217].

Недостатком микрополосковых антенн является узкая полоса пропускания, которая ограничивает практическое использование монопольных микрополосковых антенн. Для решения этой проблемы используют различные методы, представленные в работах [35; 48; 82; 135; 136; 166; 213; 227]. При проектировании антенны полосу пропускания увеличивают также с

помощью усложнения формы её излучателя, например, получая клеверную форму [135], или чаще путем добавления вырезов к излучателю [5; 11; 167]. Например, используют слоты в форме буквы Ь [114], букв Н и и [9], буквы Е [177] и даже их комбинаций [26]. Применяют и усложнение формы земли [113; 125; 147; 149], дефектную структуру заземления [74; 147] или модифицированное заземление [125; 149], а также различные методы запитки [97] и материалы подложки [76; 199], в том числе, используют ме-таматериалы [18; 28; 196]. За счет этих и других подходов к оптимизации антенны, добиваются не только увеличения ширины полосы пропускания, но и улучшения других характеристик антенн.

Таким образом, возникает следующая проблема: процесс проектирования любой антенны, обладающей определенными электродинамическими характеристиками, является достаточно длительным, трудоемким и требует сложных вычислительных затрат. Так как отсутствует необходимая теоретическая база и математический аппарат, который мог бы содержать подходы, рекомендации и алгоритмы, как изменить и усложнить геометрическую форму излучателя, чтобы спроектировать многодиапазонную и широкодиапазонную антенну под определенные требования беспроводной системы связи. Поэтому инженерам приходиться начинать с простой формы излучателя, а затем постепенно изменять его геометрию и на каждом шаге проводить расчёт электродинамических характеристик, подгонять антенну под заданные размеры, частотные диапазоны, ширину полосы пропускания, согласование и т.д., что занимает существенно много времени в процессе проектирования.

Одним из перспективных направлений является применение методов машинного обучения, а именно регрессионных методов, которые позволяют установить связи между электродинамическими характеристиками и геометрией излучателя. Следовательно, одним из развивающихся подходов является применение корреляционно-регрессионного анализа и построение регрессионных моделей, описывающих связь электродинамических характеристик антенны с параметрами её геометрической формы. Используя эти зависимости, можно определить геометрию антенны, которая будет хорошо согласованной в заданном частотном диапазоне. Такой подход облегчает

процесс проектирования антенны и позволяет получить антенну с желаемыми характеристиками за существенно меньший промежуток времени.

Кроме того, при расчете характеристик антенных устройств или решении задач дифракции электромагнитной волны на различных объектах сложной геометрии необходимо определять поверхностные токи, возбуждаемые на металлических поверхностях. Такая задача подробно изучена в работах [215; 216; 225; 241; 242], и математическое обоснование алгоритмов решения задач дифракции представлено в [208; 215], а также сходимость приближенного решения к точному —в [116].

В существующих программных продуктах для вычисления распределения токов широко используют следующие методы: метод моментов (МоМ) [42; 158], метод конечных элементов (МКЭ) [170] и метод конечных разностей во временной области [181]. Все эти методы приводят к необходимости решать сложные системы линейных алгебраических уравнений, порядок которых напрямую зависит от задаваемой степени точности решения задачи. Например, численный расчёт электродинамических характеристик одной микрополосковой гребенчатой антенны занимает порядка один-два часа, немного меньше времени требуется для решения самой задачи дифракции. Поэтому использование эффективных численных методов и новых компьютерных технологий позволяет существенно уменьшить временные затраты на решение таких задач. Перспективной технологией с точки зрения времени вычислений являются параллельные вычисления на графическом процессоре (NVIDIA CUDA) [87; 123; 140; 202].

Целью диссертационной работы является разработка эффективных методов и быстрых алгоритмов моделирования монопольных микрополос-ковых гребенчатых антенн. При математическом моделировании таких устройств активный элемент антенны рассматривается как бесконечная тонкая идеально проводящая пластина (экран). Если экран находится в электромагнитном поле, то на его поверхности возбуждаются электрические токи. Эти токи могут быть найдены при решении задачи дифракции электромагнитной волны на проводящей пластине. С другой стороны, если антенна подключена к источнику переменного тока высокой частоты, то она излучает электромагнитные волны в окружающее пространство.

Наибольшую трудность представляет задача о возбуждении в волновод-ной структуре негармонического электромагнитного поля. Эта задача становится более простой, если излучающий элемент размещен внутри области, ограниченной проводящими поверхностями, например, в волноводе с металлическими стенками.

Моделирование конкретных антенных конструкций существенно упрощается, если получены регрессионные модели, дающие удобные для практических расчетов формулы, устанавливающие зависимости между основными характеристиками антенн. При построении таких моделей существенную помощь оказывают специализированные комплексы программ для решения электродинамических задач, например программный комплекс РЕКО. На основе этих рассуждений были поставлены следующие задачи:

1. Разработать последовательный и параллельные алгоритм решения задачи дифракции электромагнитной волны на металлической пластине прямоугольной и гребенчатой форм.

2. Исследовать задачу о возбуждении электромагнитного поля источниками, заданными в поперечном сечении волновода.

3. Получить зависимости электродинамических характеристик гребенчатых антенн от их геометрических параметров антенны (например, габариты излучателя, размер и количество гребней). Построить регрессионные модели, формализующие эти связи.

4. Для проектирования антенны сформулировать на основе регрессионных моделей задачи условной и/или безусловной оптимизации по таким электродинамическим характеристикам, которые удовлетворяют требуемым параметрам беспроводной системы связи.

5. Разработать комплекс программ для моделирования и проектирования антенн гребенчатого типа с заданными электродинамическими характеристиками.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Последовательный и параллельные алгоритмы решения задачи дифракции электромагнитной волны на металлической пластине прямоугольного и гребенчатого профилей.

2. Уравнения Вольтерра в задачах о возбуждении электромагнитного поля источниками, заданными в поперечном сечении волновода.

3. Регрессионные модели, описывающие зависимости основных электродинамических характеристик гребенчатых антенн от геометрических параметров излучателя.

4. Алгоритмы проектирования микрополосковой гребенчатой антенны под заданные требования беспроводной системы связи.

5. Комплекс программ для моделирования и проектирования антенн гребенчатого типа с заданными электродинамическими характеристиками.

Научная новизна:

1. Новые параллельные алгоритмы решения задачи дифракции электромагнитной волны на прямоугольной металлической пластине методом моментов с использованием технологии СИЭЛ и задачи дифракции электромагнитной волны на гребенчатой металлической пластине с использованием технологий СИЭЛ и ОрепМР.

2. Модифицированный метод коллокаций с учетом сингулярных особенностей ядер интегральных уравнений для решения задачи дифракции электромагнитной волны на тонкой идеально проводящей прямоугольной металлической пластине с произвольной кусочно-гладкой границей.

3. Решение задачи о возбуждении цилиндрического волновода металлической пластиной путем сведения к интегральным уравнениям Вольтер-ра.

4. Новые регрессионные модели основных электродинамических характеристик монопольных микрополосковых антенн с симметричным гребенчатым излучателем. Полученные модели имеют низкую погрешность: от 1 до 11%.

5. Новые быстрые алгоритмы проектирования однодиапазонных и двухдиапазонных много-гребенчатых антенн.

Теоретическая и практическая значимость состоит в том, что разработанные методы и алгоритмы предназначены для быстрого проектирования монопольных микрополосковых антенн с такими электродинамическими характеристиками, которые удовлетворяют определенным требованиям беспроводных систем связи.

Достоверность результатов работы обеспечивается корректным использованием математических методов; совпадением численных результатов с результатами, полученными другими авторами; изготовлением прототипов антенн, подтверждающих корректность предложенных алгоритмов; использованием в рамках реализации гранта компании Huawei HIRP «Custom Antenna Algorithm» (Agreement No HO2019040820012P119) алгоритмов для быстрого проектирования микрополосковых патч-антенн с заданными характеристиками, в том числе диаграммы направленности.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и обсуждались на следующих научных конференциях: итоговые научные конференции Казанского федерального университета (2018-2022 гг.), Международная научная конференция «Days on Diffraction» (Санкт-Петербург, 2017 г.), Международная научная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (2018 г. и 2020 г.), Международная научная конференция «IEEE East-West Design & Test Symposium 2018» (Казань, 2018 г.), Всероссийский научный симпозиум «Современные локационные системы: теоретические основы и приложения» (Йошкар-Ола, 2019 г.), Международная научная конференция «The 3rd BRICS Mathematics Conference» (Иннополис, 2019 г.), Международная научная конференция «Математическое моделирование в электродинамике: теория, методы и приложения» (Пенза, 2019 г.), Международная научно-практическая конференция «1st International Conference on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency SUMMA2019» (Липецк, 2019 г.), Международный научный конгресс «Моделирование сложных технических систем - конференция «Моделирование в инженерном деле» (Москва, 2020 г.), Международная научная конференция «Методы вычислений и математическая физика» (Сочи, 2020 г.), Международная научная конференция «18th IEEE East-West Design & Test Symposium 2020 (EWDTS-2020)» (г. Варна, Болгария, 2020 г.), Международная научная конференция «10th International Advanced Computing Conference (IACC-2020)» (г. Панаджи, Индия, 2020), Международная научная конференция «International Conference on Emerging Trends in Engineering and Technology (ICETET-2021)» (г. Насик, Индия, 2021 г.)

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены и опубликованы в 21 работе [43—45; 98—110; 145; 185; 187; 210; 248], 10 из которых опубликованы в рецензируемых научных изданиях, из перечня рекомендованных Министерством науки и высшего образования Российской Федерации, 8 — в изданиях, индексируемых в базах данных Scopus и Web of Science без дублирования, 2 —в тезисах докладов конференций. Получены 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [244— 246] и свидетельство о государственной регистрации базы данных [243].

Основные результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично. Автор принимал участие на всех этапах процесса, а именно, непосредственно участвовал в постановке исследуемых задач, их решении, интерпретации полученных результатов. Автор лично выступал с докладами на международных научных конференциях, где проходила апробация работы.

В работах [43—45; 98; 210; 248], опубликованных совместно с научным руководителем и Гиниятовой Д.Х., вклад автора состоял в обзоре литературы, модификации общего параллельного алгоритма метода моментов для гребенчатой пластины, анализе и валидации результатов, программной реализации метода коллокаций, тестировании и отладке программы, формулировке выводов и обсуждении результатов.

В работах [109; 145], опубликованных совместно с научным руководителем и Плещинским Н.Б., вклад автора заключается в обзоре литературы, описании постановки задачи, выводе граничных условий задачи о возбуждении волновода, сведении задачи к системе интегральных уравнений Воль-терра, применении метода механических квадратур, формулировке выводов. В работах [99—105; 107; 108; 110; 185; 187] вклад автора состоял обзоре литературы, подготовке экспериментальных данных (статистических данных), построении регрессионных моделей, разработке и программной реализации алгоритмов проектирования антенн, тестировании и отладке программ, анализе полученных результатов.

Написание отдельных программ и общее тестирование работы РИД [243—246] выполнено автором.

Таким образом, вклад соискателя в получение научных результатов и опубликованные работы, вошедшие в диссертацию, является решающим.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Полный объём работы составляет 251 страницу с 101 рисунком, 7 таблицами и 9 блок-схем. Список литературы содержит 253 наименований.

В первой главе рассмотрена задача дифракции плоской электромагнитной волны на тонкой металлической пластине с квадратной и четырех-гребенчатой формами. Задача сведена к интегральному уравнению электрического поля и решена методом моментов. Для базовых функций и процедуры тестирования использованы RWG-функции. Разработан параллельный алгоритм решения задачи дифракции методом моментов с использованием технологии NVIDIA CUDA. Представлены два основных этапа численного алгоритма — построение RWG-сетки и расчет элементов матрицы моментов. Для случая четырех-гребенчатой пластины на первом этапе для параллельной реализации применена технология OpenMP, а элементы матрицы моментов рассчитаны на GPU с помощью технологии CUDA.

Приведены результаты моделирования процесса дифракции плоской волны на квадратной тонкой металлической пластине. Проведен сравнительный анализ производительности CPU и GPU. Показано, что реализация метода моментов на графическом процессоре дает существенный прирост производительности. Получено 16-кратное ускорение на этапе формирования матрицы моментов (с копированием данных из CPU в GPU и обратно) на бюджетной видеокарте. Вычисления можно ещё ускорить за счёт исключения операции копирования матрицы моментов с устройства на хост и решения СЛАУ на GPU. Предложенный параллельный алгоритм может быть применен к задачам дифракции плоских волн на экранах сложной формы с прямоугольными границами. Таким образом, параллельные вычисления на бюджетных графических процессорах, установленных в ноутбуках, представляют собой эффективный инструмент для аппаратного ускорения метода моментов при решении различных электродинамических задач. Сделаны выводы о хорошей согласованности результатов расчетов

с предыдущими работами. Полученные результаты представлены в работах [43—45; 210].

Предложен другой метод численного решения задачи дифракции электромагнитной волны на прямоугольной идеально проводящей металлической пластине. Исходная задача сведена к решению парных интегральных уравнений относительно следов магнитной напряжённости. Получены выражения для ряда вспомогательных интегралов через специальные функции. Выделены особенности ядер интегральных уравнений. Искомые решения построены в виде разложения по полиномам Чебышева первого и второго родов. Предложены способы преобразования ядер уравнений, дающие возможность использования стандартных формул интегрирования. Выведены формулы, учитывающие особенности в ядрах двойных интегральных уравнений. Для полученных сумматорных уравнений применен метод механических квадратур (метод коллокаций). Точки коллокации выбраны между узлами-особенностями ядер, что позволило избежать коллизий (деления на нуль) при вычислении интегралов. Приведены графики, демонстрирующие полученные результаты для различных параметров системы уравнений: числа слагаемых в рядах Фурье и количества точек кол-локации. Показано, что увеличение числа точек коллокации приводит к большей устойчивости решения. Однако, сделан вывод, что четкой сходимости решения при таком выборе точек коллокации нет. В качестве улучшения алгоритма решения, можно предложить такой выбор точек коллока-ции, чтобы они также попадали на сингулярные точки подынтегральных функций. Это поможет учесть особенности ядер интегральных операторов. При этом интегралы в этих особых точках вычислены аналитически. Полученные результаты представлены в [98; 248].

Вторая глава посвящена излучению тонкой металлической пластины электромагнитной волны в волноводе. Рассмотрена задача о возбуждении электромагнитных колебаний в цилиндрическом волноводе произвольного сечения с металлическими стенками. Такая задача сведена к бесконечной системе граничных задач для телеграфных уравнений в четверти плоскости. В качестве источников волн выбраны значения на поперечном сечении волновода продольных составляющих поля и касательные составляю-

щие магнитного вектора (поверхностные токи). Показано, что компоненты негармонического электромагнитного поля в волноводе могут быть разложены в ряды по двум наборам собственных функций двумерного оператора Лапласа, которые удовлетворяют граничным условиям Дирихле или Неймана. Коэффициенты этих разложений являются решениями телеграфных уравнений или их производными.

Установлено, какие граничные условия являются достаточными для единственности решения граничной задачи для телеграфного уравнения в четверти плоскости. Приведены условия разрешимости вспомогательной переопределенной граничной задачи. Получены формулы, дающие явное решение телеграфного уравнения в четверти плоскости при различных граничных условиях. Показано, как определяются граничные значения решений телеграфных уравнений при различных типах источников электромагнитного поля. В качестве примера численно найдены значения продольных составляющих поля для старшей моды прямоугольного волновода при заданных импульсных источниках.

Рассмотрена задача о возбуждении цилиндрического металлического волновода источником, расположенным в поперечном сечении. Предполагается, что источником являются поверхностные токи на плоской бесконечно тонкой металлической пластине, подключенной к генератору негармонических колебаний. Граница поперечного сечения волновода, заполненного однородным диэлектриком, является замкнутым кусочно-гладким контуром, а пластина имеет гладкую границу. Исходная физическая задача сформулирована как смешанная граничная задача для системы уравнений Максвелла. Компоненты искомых решений этой задачи представлены в виде рядов по двум наборам собственных функций двумерного оператора Лапласа. Первый набор собственных функций соответствует оператору с граничными условиями Дирихле, второй набор — оператору с граничными условиями Неймана. Показано, что коэффициенты разложения продольных компонент (компонент, направленных вдоль оси волновода) векторов электрической и магнитной напряженностей должны быть решениями задачи о скачке для системы телеграфных уравнений.

Задача об отыскании неизвестных коэффициентов разложения продольной компоненты вектора электрической напряженности сведена к системе интегральных уравнений Вольтерра первого рода относительно производных искомых коэффициентов. Неизвестные коэффициенты разложения продольной компоненты вектора магнитной напряженности найдены из решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Таким образом, исходная задача о возбуждении металлического волновода сведена к системе интегральных уравнений Вольтерра.

Сформулированы и доказаны теоремы о существовании и единственности решения интегральных уравнений Вольтерра первого и второго родов. Предложен метод механических квадратур для численного решения данных интегральных уравнений. Представленные результаты опубликованы в работах [109; 145].

В третьей главе рассмотрено семейство монопольных микрополоско-вых антенн с симметричными гребенчатыми излучателями. Представлены их конструкции и описание геометрических параметров. Собраны статистические данные, представляющие набор значений геометрических параметров излучателя и соответствующие им значения электродинамических характеристик антенны. Для оценки взаимосвязи между геометрическими параметрами излучателя и электродинамическими характеристиками проведен корреляционный анализ для четырех-гребенчатой антенны.

Проведен регрессионный анализ электродинамических характеристик семейства гребенчатых антенн. Для антенны с четырех-гребенчатым излучателем проанализированы зависимости значений трёх резонансных частот, длин волн трех резонансных частот, активного сопротивления антенны и ширины полосы пропускания первой резонансной частоты от геометрических параметров излучателя. В качестве геометрических параметров антенны выбраны: длина и ширина излучателя, глубина вырезов, толщина подложки, длина земли и ширина линии запитки. Показано, что изменение длины и ширины излучателя, а также глубины прямоугольных вырезов, по-разному влияет на значения резонансных частот. Например, установлено, что глубина прямоугольных вырезов на излучателе не изменяет третью резонансную частоту и мало уменьшает значения второй резонанс-

ной частоты. Также показано, что значения ширины полосы пропускания сужаются при увеличении ширины излучателя. Для излучателей вытянутой гребенчатой формы значения ширины полосы убывают с увеличением глубины вырезов. Для излучателей, у которых значения длины и ширины близки, значения ширины полосы пропускания сначала возрастают, а затем убывают с увеличением глубины вырезов.

Для четырех-гребенчатой антенны представлено исследование зависимости электродинамических характеристик антенны от длины верхних и нижних гребней, а также положения гребней на её излучателе. Графически показано изменение значений двух резонансных частот, ширины полосы пропускания и коэффициента отражения на этих частотах при изменении положения и размеров гребней излучателя. Для исследованных зависимостей первой, второй и третьей резонансных частот и длины волны на этих частотах построены регрессионные модели с высокой точностью, как функции от глубины вырезов, ширины и длины излучателя. С меньшей точностью построены модели активного сопротивления и ширины полосы пропускания первой резонансной частоты. Для всех моделей вычислены среднеквадратичная и абсолютная ошибки. Отметим, что данные регрессионные модели можно использовать в проектировании антенн для различных двухдиапазонных или трехдиапазонных режимов. Полученные результаты опубликованы в работах [100; 102; 104—106; 185].

Рассмотрена симметричная микрополосковая шести-гребенчатая антенна. Исследовано влияние основных геометрических параметров антенны на первую резонансную частоту и длину волны первой резонансной частоты, ширину полосы пропускания и коэффициент отражения первой резонансной частоты. Установлено, что при увеличении глубины прямоугольных вырезов на излучателе уменьшаются значения первой резонансной частоты и увеличиваются значения длины волны на этой частоте, причем аналогичные изменения значений резонансной частоты происходят при увеличении длины излучателя. Для исследованных электродинамических характеристик построены математические модели. Вычислены среднеквадратичная ошибка и относительная ошибка этих моделей. Причем модель длины волны имеет меньшую погрешность аппроксимации, чем модели

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Маркина Ангелина Геннадьевна, 2023 год

- -

-

-

-

-

-

0

2

10

12

468 Глубина вырезов, dя (мм)

Рисунок 3.40 — Зависимости ширины полосы пропускания ВЖ от глубины вырезов ¿и для различной ширины излучателя при фиксированной длине Ьд = 32.5 мм

перевернутую параболу для квадратных и мало вытянутых излучателей и имеют вид перевернутой логарифмической кривой для более вытянутых излучателей. Тогда можем предположить, что на изменение значений ширины полосы пропускания оказывает влияние отношение разности ширины излучателя и глубины вырезов к его длине (ад — ^д)/6д.

Регрессионная модель для ширины полосы пропускания ше-сти-гребенчатой антенны. Учитывая, что результаты анализа зависимости ширины полосы пропускания от трех геометрических параметров излучателя (ад, 6д, ^д) шести-гребенчатой антенны близки к результатам исследования ширины полосы пропускания четырех-гребенчатой антенны. Построим регрессионную модель ширины полосы пропускания первой резонансной частоты в том же виде

БЖ(ад, ^д, ^д) = сх ад + С2 а| + сз

(ад — ¿д) (ад — ^д)

:--+ с5

&д &д (3.31)

+ С41п(ад — ^д),

где ВЖ измеряется в ГГц, параметры ад, 6д, ^д — ширина, длина, глубина

вырезов, соответственно, измеряются в мм, а коэффициенты с^(г = 1, 5) — полагаем неизвестными. Методом наименьших квадратов определим неизвестные параметры в (3.31). Тогда искомая функциональная зависимость

2

для ширины полосы пропускания примет следующий вид:

БЖ (ад ) = —0.1217 ад + 0.0022 а| + 1.8781^

— 0.155 (ад — ^д)2 + 0.77261п (ад — ¿д).

(3.32)

Вычислим среднеквадратичную и среднюю абсолютную ошибки по формулам (3.2) и (3.3). Для регрессионной модели (3.32) абсолютная и относительная ошибки составляют е ~ 0.035 ГГц и а ~ 8.21%, соответственно. Формула (3.32) может быть использована для нахождения максимальных значений при заданных ограничениях на параметры излучателя. Стоит отметить, что эта модель имеет относительную погрешность немного хуже, чем модель для четырех-гребенчатой антенны (а ~ 7.44%). Влияние других параметров антенны (длины земли, масштаба излучателя, толщины подложки и ширины линии запитки) на ширину полосы пропускания такое же, как в случае для четырех-гребенчатой антенны; и результаты исследования подробно приведены в работе [107].

Регрессионная модель ширины полосы пропускания первой резонансной частоты восьми-гребенчатой антенны. Рассмотрим на Рис. 3.41 поведение ширины полосы пропускания (5п < —5 dB) на двух резнонансных частот при изменении параметров излучателя. Сразу отметим, что при больших размерах прямоугольных вырезов значения ВЖ минимальны. Значения ВЖ при увеличении ^д для первой резонансной частоты монотонно убывают и достигают минимальных значений 0.31, 0.34 и 0.42 ГГц для 6д = 24,32.5 и 41 мм, соответственно. Для ширины полосы пропускания первой резонансной частоты построим регрессионную форму-

лу

БЖ (6д, ^д) = —1.3406 — 0.0361 6д + 0.0002

2

(3.33)

0.0124(10 — ^д)

высокой точности: е « 0.015 ГГц и 8 « 1.91%.

Глубина вырезов, dR (мм)

Рисунок 3.41 — Зависимости ширины полосы пропускания ВШот глубины вырезов Белые маркеры соответствуют ВШ^ первой резонансной частоты /1; закрашенные — ВШвторой резонансной частоты /2

В случае второго резонанса поведение графиков носит более сложный характер, и регрессионные формулы не дают хорошей точности. Поэтому ограничимся замечанием, что значения ширины полосы пропускания рассмотренных антенн имеют средние значения при неглубоких вырезах. В случае сильно вытянутых излучателей значения BW только убывают (графики с закрашенными квадратными и треугольными маркерами), а для антенны с излучателем 10 х 24 мм (график с закрашенными круглыми маркерами) значения BW сначала возрастают при от 0.1 мм до 3.4 мм и при дальнейшем увеличении глубины вырезов убывают.

Стоит отметить, что предложенная математическая модель ширины полосы пропускания первой резонансной частоты и сформулированные выводы относительно изменения значений ширины полосы пропускания второй резонансной частоты могут быть использованы для проектирования двухдиапазонной восьми-гребенчатой антенны с «хорошей» пропускной способностью.

3.2.4 Исследование влияния длины гребней и длины

вырезов на электродинамические характеристики антенны

Перед тем, как приступить к проектированию двухдиапазонной мик-рополосковой антенны, проведем исследование зависимостей значений

двух резонансных частот (/i, /2), коэффициента отражения (S'il) и ширины полосы пропускания (ВЖ) на этих частотах от длины верхних гребней Сд1, нижних гребней сд2 и длины вырезов /д. Для этого возьмем симметричную четырех-гребенчатую антенну с ад = 10 мм, 6д = 24 мм, ^д = 2.5 мм, а параметры /д, сд1, сд2 примем пока равными /д = сд1 = сд2 и определим из отношения 6д/3. Проведем численные эксперименты в программе FEKO, при этом будем варьировать с шагом 1 мм значения следующих параметров:

— Сд1 = 21... 1 мм и Сд2 = 1... 21 мм при /д = 2 мм,

— Сд1 = 18... 1 мм и Сд2 = 1... 18 мм при /д = 5 мм,

— Сд1 = 15... 1 мм и Сд2 = 1... 15 мм при /д = 8 мм.

Рассмотрим на Рис. 3.42 поведение двух резонансных частот /1 и /2

при одновременном уменьшении длины верхних гребней сд1 и увеличении 8

t 7

..с -f 6

з

5 5

I-

0 те

1 4

л

I 3 те

I

о

to 2 ф 2

0.

1

г*

О lR=2 ММ lR=2 мм

| | lR=5 мм lR=5 мм

lR=8 мм lR=8 мг Л

ÎH2H 5=0=0- ■^-й—С Ï-D—О -О—О—С >-0 :

0

5

20

10 15

Длина гребней, сю (мм)

Рисунок 3.42 — Зависимости первой /1 и второй /2 резонансных частот от длины

гребней Сд1, Сд2 и длины вырезов /д

длины нижних гребней сд2 для трех значений фиксированной длины вырезов /д = 2, 5,8 мм. Здесь и далее графики с белыми фигурами соответствуют первой резонансной частоте /1, графики с закрашенными фигурами соответствуют второй резонансной частоте /2. На оси абсциссы указаны значения длины только нижних гребней сд2.

По поведению графиков с белыми фигурами можно сделать вывод, что первая резонансная частота мало изменяется и практически не зависит от длины верхних и нижних гребней, а также от длины вырезов. Это

можно объяснить тем, что длина пути тока мало изменяется. По графикам с закрашенными фигурами заметим, что сначала при одновременном уменьшении cr\ и увеличении cr2 значения второй резонансной частоты увеличиваются от 6.4 ГГц до 7.3 ГГц и достигают своего максимального значения, когда длина верхних гребней cr\ близка к длине нижних гребней Сд2, а затем значения f2 плавно уменьшаются до 6.5 ГГц. При этом длина Ir незначительно влияет на значения второй частоты. Следовательно, варьируя длину верхних и нижних гребней можно скорректировать вторую резонансную частоту и немного подправить первую резонансную частоту.

Рассмотрим на Рис. 3.43 влияние длины нижних и верхних гребней на коэффициент отражения Su для первой резонансной частоты f\. Ко-

са

■а - 8

вГ

-10 I

те а.

о -12

II

ф

4 -14 ■е-

о

о ^

-16

- - - -—'- -

- Q -

- О □ lR=2 мм lR=5 мм -

- A-zT А lR=8 мм -

0

5

20

10 15

Длина гребней, cR2 (мм)

Рисунок 3.43 — Зависимости коэффициента отражения Su первой резонансной частоты f1 от длины гребней cr\ , Cr2 и длины вырезов Ir

гда длина нижних гребней сд2, меньше чем верхних Сд1 значения 5л для разных длин вырезов ^ отличаются на 2 dB, по мере варьирования длины гребней эти значения 5'11 приближаются друг к другу. Однако, имеем незначительное ухудшение согласования антенны на первой резонансной частоте.

Приведем на Рис. 3.44 графики изменения значений коэффициента отражения 5'11 для второй резонансной частоты /2. В данном случае наблюдаем улучшение согласования антенны при разной длине вырезов /д. Следовательно, можно сделать вывод, что желательно использовать боль-

шую длину нижних гребней и меньшую длину верхних гребней (сд2 < сш).

со ■о

вГ ж

| - 4

те о. 1-о

■С -6

<и

■& - 8 ■во

о ^

-10

* /я = 2 мм /я = 5 мм

- /я = 8 мм

0

5

20

10 15

Длина гребней, ся2 (мм)

Рисунок 3.44 — Зависимости коэффициента отражения вц второй резонансной частоты /2 от длины гребней сд1, Сд2 и длины вырезов Iд

Теперь исследуем на Рис. 3.45 изменение ширины полосы пропускания ВЖ на первой резонансной частоте /1 при одновременном уменьшении

^ 1.1

со

1.0

те

& 0.9

с О о.

3 0.8 о

о ц

о с

те

0.7

.

| 0.6

О □ = 2 Ы = 5 им им

А = 8 им

0

5

20

10 15

Длина гребней, с^ (мм)

Рисунок 3.45 — Зависимости ширины полосы пропускания ВЖ на первой резонансной частоте /1 от длины гребней сш, Сд2 и длины вырезов /д

Сд1 и увеличении сд2. Сразу заметим, что значения ширины полосы пропускания не сильно отличаются для разной длины вырезов /д. В случае, когда Сд2 < Сд1, ширина полосы пропускания уменьшается от 0.94 ГГц до 0.8 ГГц, и, когда длина нижних гребней становиться больше длины верхних гребней, ширина полосы пропускания начинает увеличиваться до 0.92 ГГц.

0

Теперь рассмотрим на Рис. 3.46 влияние изменения длины гребней cri , CR2 и длины вырезов Ir на ширину полосы пропускания BW на второй резонансной частоте /2.

Рисунок 3.46 — Зависимости ширины полосы пропускания ВШ на второй резонансной частоте /2 от длины гребней сщ, Сд2 и длины вырезов /д

По графикам видно, что ненулевые значения ширины полосы пропускания появляются на второй резонансной частоте при 5л < —5 dB, когда длина нижних гребней CR2 становится ближе к длине верхних гребней CR1, и значения BW увеличиваются от 0.6 ГГц до 1.2 ГГц, когда CR2 > сд1. Однако, когда Сд2 намного больше сд1, ширина полосы пропускания немного уменьшается. Отсюда можно сделать вывод, что для увеличения ширины полосы пропускания следует увеличить длину нижних гребней и уменьшить длину верхних гребней. Таким образом, изменяя симметрично положения и размер верхних и нижних гребней на излучателе антенны, можно корректировать электродинамические характеристики антенны, а также применять результаты исследования в проектировании двухдиапазонных антенн.

Глава 4. Проектирование монопольной микрополосковой

гребенчатой антенны

Беспроводная технология обеспечивает более дешевый альтернативный и гибкий способ связи. Ключевой элемент беспроводной технологии — антенны, которые могут быть использованы в различных приложениях [71]. В течение последних десятилетий монопольные микрополосковые антенны остаются широко распространённым и наиболее часто используемым типом антенн [13; 51]. Причина такой популярности заключается в их конструктивных особенностях и характеристиках: компактность габаритов, легкий вес, простая технология изготовления и широкий диапазон частот [34; 67; 168], в том числе и Wi-Fi диапазоны.

Излучатель микрополосковой антенны обычно представляет собой плоскую металлическую пластину сложной формы, и при помощи выбора геометрии излучателя можно достичь необходимые электродинамические характеристики антенны при ограничениях на её габариты [52; 60; 138]. На практике часто используют прямоугольные излучатели с вырезами различной формы: M-вырез [11], U-вырез [41], вырез в форме лампы [197] и многие другие [34; 67].

При проектировании микрополосковых антенн применяют множество подходов [66; 69; 154]. В том числе используют различные способы запит-ки [97] и материалы подложки [15; 28; 199]. Для достижения желаемых электрических характеристик антенны также изменяют форму земли с помощью особых техник, представленных в работах [74; 125; 151]. Однако в процессе проектирования микрополосковых антенн чаще всего усложняют геометрию излучателя [65; 105; 163; 182].

Например, в работе [199] спроектированы две двухдиапазонные мик-рополосковые антенны и проведен анализ производительности этих антенн. Первая антенна (2.4—2.52 ГГц и 4.5—7.5 ГГц) имеет излучатель сложной Т-образной формы. Проектирование и оптимизация такой антенны проведены путем последовательного изменения длин элементов излучателя. Вторая антенна (2.4—2.46 ГГц и 5.16—5.4 ГГц) имеет излучатель прямоугольной формы со ступенчатыми вырезами на двух сторонах. Настройка

этой антенны выполнена с помощью добавления прорезей на излучателе и изменением геометрии вырезов. В работе [124] спроектирована компактная широкополосная микрополосковая антенна с излучателем крестообразной формы на трех рабочих частотах 2.46 ГГц, 5.46 ГГц и 7.52 ГГц и с шириной полосы пропускания от 2.1 ГГц до 8.88 ГГц.

Для ускорения процесса проектирования антенн существует ряд программных продуктов, моделирующих электромагнитные процессы. Из них наиболее часто используемые — Ansys HFSS, Altair FEKO, CST Microwave Studio, которые можно применить независимо или совместно с другими программными решениями, в том числе и с математическими пакетами.

Например, применение пакета MATLAB в проектировании микропо-лосковых антенн совместно с программным обеспечением FEKO представлено в работах [56; 57], CST Microwave Studio —в [40; 93; 126] и HFSS — в [22; 29; 38]. Стоит отметить, что в работах в [40; 93; 126] продемонстрирована интеграция пакета MATLAB и программного обеспечения CST Microwave Studio в скрипт-файл Visual Basic для проектирования и моделирования прямоугольной микрополосковой антенны. С целью уменьшения вычислительных затрат при проектировании микрополосковой патч-антен-ны в работе [132] использованы пакет MATLAB и программное обеспечение SONNET. В работе [128] представлен процесс моделирования микрополосковой антенны на частоте 60 ГГц в программном обеспечении Zeland IE3D и анализ её характеристик с помощью пакета Wolfram Mathematica. Для решения задачи моделирования дипольной антенны в работе [73] применены сразу несколько пакетов. В пакете Mathematica Notebook "Tessellatica" получена геометрия антенны в форме оригами, далее антенна смоделирована в пакете MATLAB и полученные результаты проанализированы в программном обеспечении HFSS.

Математические пакеты могут выступать как и самостоятельные инструменты для проектирования антенн, что продемонстрировано в работах [46; 50; 161; 183]. Например, в [95] реализован метод моментов в пакете MATLAB, использованы инструменты PDE (Partial Differential Equation Toolbox) для построения сетки и после смоделированы тонкополосковый диполь, монополь на заземляющей плоскости и широкополосная щельевая

антенна. Стоит выделить работу [21], поскольку в ней представлен процесс расширения учебного инструмента Antenna Toolbox for MATLAB (AToM) в полный набор инструментов MATLAB, с помощью которых можно моделировать, дискретизировать и рассчитывать плоские излучатели произвольной формы с последующим анализом результатов. В работах [162; 172] выполнено проектирование и анализ микрополосковой патч-антенны с помощью пакета MATLAB. В [53] предложена оптимизация токов антенны в MATLAB. Также проектирование и анализ геометрии излучателя микрополосковой патч-антенны проведены с помощью пакета Wolfram Mathematica в работах [16; 184].

Несмотря на существующее множество программных продуктов, различных подходов и способов к проектированию микрополосковых антенн с желаемыми электродинамическими характеристиками, решение такой задачи всё ещё занимает много времени и требует значительные вычислительные ресурсы. Инженерам зачастую неизвестно с какой формы излучателя начать проектирование антенны и как в дальнейшем изменять его форму, чтобы получить антенну с «оптимальными» желаемыми электродинамическими характеристиками (см. Рис. 4.1). Поэтому проектирование хорошо согласованной антенны представляет собой довольно длительный и трудоемкий процесс.

Одно из решений проблемы длительного проектирования микрополос-ковых антенн — применение различных методов машинного обучения [72; 83], в том числе искусственных нейронных сетей [12; 127; 176]. Для улучшения электродинамических характеристик антенны также используют алгоритмы машинного обучения [1], различные алгоритмы обучения нейронных сетей для получения точных результатов за меньшее время [173], а также генетические алгоритмы [175; 203]. Например, в [24] для быстрого улучшения согласования микрополосковой антенны на частоте 2.45 ГГц применяют нейронную сеть (KBNN).

Другое решение — использование регрессионных моделей, которые описывают связь электродинамических характеристик антенны с её геометрическими параметрами [189]. Однако для построения подобных моделей необходимо предварительно провести исследование некоторого семейства

антенн, например, антенн гребенчатой формы [105]. Затем установить связь между электродинамическими характеристиками антенны и геометрией излучателя в виде математических моделей [3; 102; 104], и далее сформулировать многокритериальную задачу оптимизации по этим характеристикам. Результатом численного решения такой задачи является набор значений геометрических параметров излучателя. Полученные значения необходимы для моделирования антенны, обладающей электродинамическими характеристиками, «приближенными» к требуемым. Далее с целью улучше-

Рисунок 4.1 — Общепринятый (обычный) подход к проектированию микрополосковой

антенны

ния электродинамических характеристик антенны необходимо сформулировать задачу безусловной оптимизации. При этом нахождение минимума или максимума целевой функции, построенной по электродинамическим характеристикам антенны, осуществляется без ограничений. Например, в работах [101; 110; 187] спроектированы одно- и двухдиапазонные симметричные четырех-гребенчатые микрополосковые антенны.

В первом разделе настоящей главы представлены два быстрых алгоритма проектирования однодиапазонной монопольной микрополосковой Wi-Fi антенны. Первый алгоритм для проектирования антенны с излучателем симметричной четырех-гребенчатой формы разделен на два этапа. На первом этапе использованы регрессионные модели для длины волны, сопротивления и ширины полосы пропускания, с помощью которых сформулирована задача оптимизации для определения геометрических параметров излучателя антенны. Решение задачи — геометрические параметры антенны в «первом приближении». На следующем этапе выполнено уточнение геометрии излучателя так, чтобы приблизить основную резонансную частоту антенны к величине 2.44 ГГц.

Второй алгоритм для проектирования антенны с излучателем симметричной шести-гребенчатой формой на средней частоте 2.44 ГГц диапазона Wi-Fi 2.4 — 2.4835 ГГц разработан на основе задач оптимизации электродинамических характеристик. Данный алгоритм представлен в двух вариациях. В каждой версии поставлены оптимизационные задачи по регрессионным моделям основной резонансной частоты, коэффициента отражения и ширины полосы пропускания основной резонансной частоты. Решение каждой задачи — геометрические параметры хорошо согласованной антенны на частоте 2.43 ГГц.

Во втором разделе Главы 3 представлен алгоритм с использованием вычислительных средств пакета Mathematica для быстрого проектирования четырех-гребенчатой антенны на диапазоны частот Wi-Fi: 2.4 — 2.4835 ГГц и 5.18 — 5.825 ГГц. Сформулирована и решена задача оптимизации регрессионных моделей для резонансной частоты [104] и активного сопротивления антенны [185]. Так как регрессионные модели имеют погрешности, то у полученной антенны электродинамические характеристики не

являются «оптимальными» и могут быть улучшены. С этой целью предложена целевая функция от характеристик, которые необходимо подкорректировать. Для нахождения минимального значения целевой функции применен метод градиентного спуска. При вычислении градиента использовано программное обеспечение FEKO для расчета характеристик антенны. Итерационный процесс оптимизации антенны считаем завершенным, когда получена антенна с «хорошими» электродинамическими характеристиками.

Далее представлен разработанный алгоритм для проектирования двухдиапазонной микрополосковой Wi-Fi антенны с излучателем четырех-гребенчатой формы, в случае, когда верхние и нижние гребни отличаются размером длины. Процесс проектирования такой антенны также состоит в решении задачи оптимизации, однако теперь для двух резонансных частот близких к средним частотам на диапазонах Wi-Fi (2.4 — 2.4835 ГГц и 5.18 — 5.825 ГГц) и с дальнейшим изменением размеров гребней излучателя для настройки и улучшения характеристик антенны в диапазонах Wi-Fi. Для этого построена целевая функция, и безусловная задачи минимизации этой функции решена методом градиентного спуска. В результате применения данного алгоритма спроектирована антенна с резонансными частотами 2.38 ГГц и 5.30 ГГц, входящими в диапазоны Wi-Fi, с коэффициентами отражения Sn = -19.30 dB и Sn = -24.73 dB соответственно.

В следующем подразделе представлен алгоритм проектирования двухдиапазонной микрополосковой Wi-Fi антенны с излучателем симметричной восьми-гребенчатой формы. Процесс проектирования такой антенны состоит в использовании регрессионных моделей для резонансных частот и определение «оптимальной» геометрии излучателя. На основе предложенного алгоритма спроектирована двухдиапазонная микрополосковая Wi-Fi антенна, которая имеет широкие полосы пропускания на уровне 5л < —5 dB. На первой резонансной частоте 2.4 ГГц ширина полосы пропускания составляет 0.7263 ГГц, на второй резонансной частоте 5.5 ГГц — 0.9035 ГГц.

В последнем подразделе предложен алгоритм проектирования двух-диапазонных печатных монопольных гребенчатых антенн для разного числа вырезов на излучателе. Предварительно для всего семейства гребенчатых антенных, имеющих излучатель четырех-, шести- и восьми-гребенчатую форму, проведен сопоставительный графический анализ изменения двух резонансных частот при изменении значений геометрических параметров излучателя. Для определения формы излучателя антенн использованы регрессионные модели, позволяющие получить значения его геометрических параметров для заданных резонансных частот. Приведены электродинамические характеристики полученных антенн с разным количеством гребней. Сделаны выводы о применимости антенн подобного типа для работы на двух диапазонах.

4.1 Однодиапазонная антенна

4.1.1 Быстрый метод для проектирования хорошо согласованной четырех-гребенчатой антенны

Постановка задачи. Рассмотрим конфигурацию следующей монопольной печатной антенны. Излучатель антенны представляет собой тонкую металлическую пластину и имеет симметричную четырех-гребенчатую форму, как показано на Рис. 4.2, с габаритами: шириной (1r и длиной 6д. На боковых сторонах излучателя имеем два прямоугольных выреза, глубину которых зададим параметром (!r, а длину Cr определим из формулы Cr = bR/3. Излучатель расположим на передней стороне подложки, и запитаем коаксиальным кабелем через линию запитки с сопротивлением 50^. Длину и ширину линии запитки зададим параметрами 1р = 15 мм и wp = 1 мм, соответственно. На обратной стороне подложки разместим заземляющую плоскость, которая также является тонкой металлической пластиной (на Рис. 4.2 — заштрихованная область). Ширина заземляющей пластины совпадает с шириной подложки, а длина —с длиной линии запитки be = If . Габариты подложки определим параметрами as = 30 мм и bs = 75 мм, диэлектрическую проницаемость — ег = 4.5, а плотность материала — р = 1000 кг/м3. Толщину подложки зададим 1 мм.

А

л

СС

t/j -С;

а;

-О

Рисунок 4.2 — Конструкция монопольной печатной антенны с симметричным

четырех-гребенчатым излучателем

Спроектируем хорошо согласованную микрополосковую антенну, работающую на Wi-Fi диапазоне 2.4—2.4835 ГГц. Для этого используем регрессионную модель длины волны основной резонансной частоты, модель ширины полосы пропускания и регрессионную модель активного сопротивления. Вычислим значения геометрических параметров излучателя ад, bR и dR с помощью этих регрессионных моделей. Так как регрессионные модели имеют определенные погрешности, то построенная антенна не будет точно настроена на среднюю частоту 2.44 ГГц из указанного выше диапазона. Поэтому в дальнейшем улучшим электродинамические характеристики полученной антенны, например, уточним основную резонансную частоту, согласование и др.

Определение «почти оптимальных» геометрических параметров излучателя с помощью регрессионных моделей. Проектирование антенны начнем с определения подходящей длины излучателя bR для заданных ад и dR. Используем регрессионную формулу для длины волны Л (ад, bR, dR) на основной частоте следующего вида:

Л (ад, bR, dR) = 10.1558\/&д + 0.916588^ bR

(4.1)

Модель (4.1) даёт малые относительную е = 3.613 мм и абсолютную 5 = 1.69% погрешности. Значение длины волны Л на частоте 2.44 ГГц вычислим по формуле

Л =с л = Т

где с — скорость света, / — частота. Получим Л = 122.95 мм. Подставим значение Л в (4.1) и решим уравнение относительно параметра 6д. В результате получим два корня в виде

ьЦак, (д) = 76.8748 - 1.4115 (к • ехр { 7Л9012 ^ I

I (ад - ) J

(ад - (1к)2

Та /1911.1859 - 38.5088 (к • ехр { 7.19012 (Д 1. У 1(ак - (я) )

(4.2)

Исключим из рассмотрения второй корень (со знаком плюс, стоящим перед квадратным корнем), так как он даёт значение длины излучателя Ье за пределом допустимой длины подложки Ьв (т. е. Ье > Ьв). Заметим, что параметры и (д в (4.2) пока остаются неопределёнными.

Продолжим процесс проектирования антенны с помощью регрессионной модели активного сопротивления Я (ад, Ье, симметричной четырех-гребенчатой антенны:

Я (ак, ЬЕ, = 86.426 - 3.819 аЕ + 0.0806 а\ + (8.0568 - 0.131ад) (к

_2

+ (10 - 0.723 аЕ + 0.0166 а\) + (-1.6478 + 0.0921 ак) (к

+ (-0.1823 + 0.02418 ак - 0.000806 а\) (к,

(4.3)

где

- ар 0.1 ак (Ьк - 24) + (к

(к = ^ +

2 6.756 - 0.4228 Ьк + 0.00415 Ь\'

Эта формула дает погрешности е = 10.25 О и 6 = 5.12 %. Отметим, что регрессионную модель для реактивного сопротивления не удается построить с достаточной степенью точности.

Рассмотрим на Рис. 4.3 зависимости 5л от активного сопротивления Я для семейства антенн с излучателем четырех-гребенчатой формы. Примем во внимание, что идеально согласованная антенна (с наилучшим $11 = 0) достигается в случае Я = 50 П и Хс = 0 П.

Бц, ЬБ

-10

-20

-30

-40

100 150

№ т/. •••• •

200

ч •

250 %. *.....

К, О

Рисунок 4.3 — Зависимость вц от активного сопротивления К

На Рис. 4.3 полосой (цветная область) указан интервал для значений Я € (40 П, 60 П). Очевидно, что в этом интервале находятся антенны с минимальными значениями 5'11. Однако, таких антенн с хорошим согласованием в интервале (40 П, 60 П) может быть достаточно большое количество, но не все эти антенны могут иметь широкую полосу пропускания. Поэтому для определения антенны с большой шириной полосы пропускания воспользуемся регрессионной моделью BW (ад, 6д, ^д)

BW (ад,6д,^д) = -0.1265 ад + 0.0023 а| + 1.7841

(ад - (1К) Ьк

-0.1616 (ад - ) + 0.80731п (ад - (1К), Од

(4.4)

которая даёт погрешности е = 0.03 ГГц и 5 = 7.44%.

Перейдем к вычислению подходящих («близким к оптимальным») параметров ширины ад и длины 6д излучателя, глубины прямоугольных вырезов ^д таких, чтобы ширина полосы пропускания была максимальной, активное сопротивление Я € (40 П, 60 П) и размеры геометрических параметров излучателя не выходили за границы подложки антенны. Таким

образом, с помощью регрессионных моделей (4.3) и (4.4) получим следующую задачу оптимизации:

где

ВШ/ (ад,Ид)

ВШ^ (ад, Ид) ^ тах,

' 40 П < Я (ад,Ид) < 60 П,

10 мм < ад < 24 мм, 0.5 мм < Ид < 11.5 мм,

(4.5)

ВШ (ад, ЬД (ад, Ид), Ид^ , если Ид < Од - 0.1, 0, иначе.

и

Я (ад, Ид)

<аД - 0^

Я (ад, ЬД (ад, Ид), Ид^ , если Ид 0, иначе.

В результате численного решения задачи (4.5) получим симметричную четырех-гребенчатую антенну с ВШ^ (ад, Ид) = 0.569 ГГц при ад = 10.290 мм и Ид = 4.571 мм на частоте / = 2.44 ГГц. Длину излучателя определим с помощью формулы (4.2) и получим ЬД = 21.434 мм.

Улучшение характеристик антенны. Смоделируем в программе РЕКО микрополосковую четырех-гребенчатую антенну с геометрическими параметрами, полученными в результате решение задачи (4.5). Конструкция антенны представлена на Рис. 4.4 (лицевая сторона антенны — слева и обратная сторона антенны —справа). Зеленым цветом обозначен диэлектрик, коричневым цветом — металл.

Результаты моделирования в программе РЕКО представлены на Рис. 4.5. Как видим, ширина полосы пропускания ВШ = 0.635 ГГц получилась немного больше, чем при расчёте в задаче в предыдущем пункте ( (ад, Ид) = 0.569 ГГц). Значение основной резонансной частоты получилось / = 2.586 ГГц. Однако изначально параметры антенны вычислены на частоте 2.44 ГГц. Такие отклонения в значениях резонансной частоты и ширины полосы пропускания связаны, прежде всего, с погрешностью регрессионных моделей, а также с возможными ошибками численного моде-

-1---I-

Рисунок 4.4 — Конструкция четырех-гребенчатой микрополосковой антенны в

программе ЕЕКО

0Р

-20

2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

Частота ГГц

Рисунок 4.5 — Характеристики симметричной четырех-гребенчатой антенны

лирования в FEKO. Отметим, что значение коэффициента отражения получилось равным -18.358 dB, а активное сопротивление составило 59.557 ft.

Попробуем улучшить характеристики спроектированной на начальном этапе четырех-гребенчатой антенны. Для этого применим следующий подход. Предположим, что полученные значения геометрических параметров излучателя близки к искомым значениям хорошо согласованной антенны на частоте 2.44 ГГц. Поскольку небольшое изменение длины излучателя позволяет немного скорректировать основную резонансную частоту антенны, то увеличим значение длины излучателя на 1 мм и получим 6д = 22.434 мм. Ширину излучателя и глубину прямоугольных вырезов оставим без изменений. Также для повышения точности численного моделирования в FEKO уменьшим расчетную сетку. В результате для антенны с новой длиной Ье получим следующие характеристики: Su = -19.953 dB, f = 2.531 ГГц, BW = 0.6315 ГГц и R = 55.347 ft.

Снова увеличим длину излучателя на 1 мм, получим 6д = 23.434 мм. Проведем в FEKO численные расчёты и получим антенну с коэффициентом отражения Su = -20.489 dB на частоте f = 2.469 ГГц и с полосой пропускания равной 0.6318 ГГц. При этом активное сопротивление антенны получилось R = 56.073 ft. Построим линейную модель, которая связывает длину излучателя с резонансной частотой. Для этого используем результаты, полученные для двух последних рассчитанных антенн: при 6д = 22.434 мм рабочая частота антенны f = 2.531 ГГц и при 6д = 23.434 мм — f = 2.469 ГГц. Получим следующую зависимость:

bR (f ) = 63.7705 - 16.3345 f. (4.6)

Применим модель (4.6) для проектирования четырех-гребенчатой антенны на частоте 2.44 ГГц. Подставим требуемое значение частоты в (4.6) и получим 6д = 23.914 мм. Проведем в FEKO численный расчёт антенны с откорректированным значением длины излучателя и получим антенну, обладающую следующими характеристиками: Su = -20.975 dB на частоте f = 2.449 ГГц, BW = 0.627 ГГц и R = 53.313 ft (см. Рис. 4.6).

2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

Частота ГГц

Рисунок 4.6 — Характеристики симметричной четырех-гребенчатой антенны

Приведем также на Рис. 4.7 диаграмму направленности полученной антенны на резонансной частоте 2.45 ГГц. Антенна является всенаправлен-ной с коэффициентом усиления 1.75.

Рисунок 4.7 — Диаграмма направленности спроектированной антенны на частоте 2.45

ГГц

Блок-схема быстрого алгоритма проектирования однодиапазонной симметричной четырех-гребенчатой микрополосковой антенны представлена в приложении на Рис. А.1.

4.1.2 Монопольная шести-гребенчатая антенна

Постановка задачи. Рассмотрим конструкцию антенны на Рис. 4.8. Излучатель антенны имеет правильную симметричную шести-гребенчатую форму и описывается параметрами ад, 6д, ^д,сд, где ад и 6д — ширина и длина, ^д — глубина симметричных вырезов, сд — длина гребней, которая вычисляется как отношение длины излучателя к сумме количества вырезов и количества гребней на одной боковой стороне излучателя. Такую форму излучателя можем получить из прямоугольной путем добавления на двух длинных боковых сторонах трех симметричных вырезов.

Излучатель разместим на передней стороне подложки и запитаем от источника с сопротивлением в 50 О через линию запитки с длиной 1р и шириной . На обратной стороне подложки расположим прямоугольную

Рисунок 4.8 — Конструкция монопольной печатной антенны с симметричным

шести-гребенчатым излучателем

металлическую пластину— землю (заштрихованная область на Рис. 4.8), которая имеет ширину равную ширине подложки и длину Ьс равную длине линии запитки, т. е. be = If. Подложка однородно заполнена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью £г = 4.5, плотностью материала р = 1000 кг/м3 и тангенсом угла диэлектрических потерь tan 6 = 0. Габариты подложки описываются параметрами as ,bs и ts, где as и bs — ширина

и длина, Ь5 — толщина. Размеры параметров подложки и линии запитки представлены в таблице 5.

Таблица 5 — Значения параметров антенны

Параметры антенны as bs s If wp be

Значения параметров, мм 30 75 1 15 1 15

Спроектируем всенаправленную микрополосковую антенну на частоте 2.44 ГГц при Sn < —5 dB для Wi-Fi приложений, работающих в диапазоне 2.4 — 2.4385 ГГц. При этом антенна должна быть хорошо согласованной и иметь максимально большую полосу пропускания на требуемой резонансной частоте.

Для этого разработаем алгоритм, в котором будем использовать регрессионные модели основной резонансной частоты, коэффициента отражения и ширины полосы пропускания на этой основной резонансной частоте. Сформулируем задачи оптимизации и после определим такие значения параметров излучателя ад, Ьд и d,R, при которых шести-гребенчатая антенна будет настроена на среднюю резонансную частоту 2.44 ГГц указанного выше диапазона Wi-Fi, иметь хорошее согласование и широкую полосу пропускания.

Проектирование однодиапазонной антенны. Первый способ.

Воспользуемся подходом, представленным в работе [100], но другим образом: используем в задаче оптимизации регрессионную модель коэффициента отражения без последующего улучшения электродинамических характеристик и минимизации функционала Sn методом градиентного спуска.

Сначала определим длину прямоугольного излучателя. Поскольку в работе [105] установлено, что основная резонансная частота сильно зависит от длины излучателя, имеющего прямоугольную или гребенчатую форму. Вычислим Ьд на частоте 2.7 ГГц, немного смещенной от 2.44 ГГц. Затем на следующем шаге уменьшим основную резонансную частоту путем добавления симметричных вырезов.

Воспользуемся регрессионной моделью для первой резонансной частоты прямоугольного излучателя, полученной в работе [105],

fi (bR) = 5.18 - 1.1 bR + 0.0836|. (4.7)

Подставим в (4.7) значение f\ = 2.7 ГГц и найдем bR = 28 мм.

Далее симметрично добавим два прямоугольных выреза на длинных боковых сторонах прямоугольного излучателя и получим симметричную шести-гребенчатую антенну. Возьмем длину излучателя немного больше, чем было вычислено по формуле (4.7), например, 30 мм, так как глубина вырезов уменьшает значение основной резонансной частоты.

Сформулируем две задачи оптимизации. В первой задаче минимизируем целевую функцию, представленную в виде суммы квадратов разности требуемых значений для ширины полосы пропускания (1 ГГц) и резонансной частоты (2.44 ГГц) с весами а и f3,

a (BW (aR, bR, dR) - 1)2 + р (fi (aR, bR, dR) - 2.44)2 ^ min (4.8)

при линейных ограничениях

aR

0.5 мм < dR <--0.5 мм,

2

< bR (4.9)

5 мм < aR < — мм, 3

^ Sii (aR, bR, dR) < -15 dB.

Во второй задаче максимизируем ширину полосу пропускания при тех же ограничениях (4.9):

BW (aR,bR,dR) ^ max, (4.10)

где fi (aR,bR,dR) —регрессионная модель первой резонансной частоты, BW (aR,bR,dR) —регрессионная модель ширины полосы пропускания, Sii (aR,bR,dR) — регрессионная модель для коэффициента отражения. В ограничениях (4.9) первое условие гарантирует, что вырезы на боковых сторонах не будут пересекаться внутри излучателя; второе условие ограничивает ширину излучателя и позволяет получить вытянутую гребенчатую

форму; третье условие означает, что антенна должна быть хорошо согласованной и иметь коэффициент отражения не более -15 dB.

В целевой функции (4.8) веса а и f зададим 1 и 0.8, соответственно. Подставим в (4.8) —(4.10) размер длины излучателя 30 мм и численно найдем решение задач оптимизации (4.8), (4.9) и (4.10), (4.9) в пакете Wolfram Mathematica с помощью встроенных функций Minimize [{ f,cons }, {х,у,... }] и Maximize [{ f,cons }, {х,у,... }], соответственно. Таким образом получим такие параметры aR и dR, при которых целевые функции (4.8) и (4.10) достигнут оптимальных значений с учетом ограничений (4.9).

В результате получим две антенны с шести-гребенчатым излучателем со следующими параметрами:

— ад = 7.34 мм и d,R = 0.62 мм из задачи (4.8), (4.9), при этом минимум целевой функции (4.8) равен 0.017 ГГц2.

— aR = 7.16 мм и d,R = 0.5 мм из задачи (4.10), (4.9), максимум целевой функции (4.10) составил 0.895 ГГц.

Смоделируем антенны и выполним численный расчёт электродинамических характеристик в программе FEKO. Результаты вычислений представлены на Рис. 4.9. Синяя линия соответствует излучателю с aR = 7.34 мм, dR = 0.62 мм; красная линия — излучателю с aR = 7.16 мм, dR = 0.5 мм.

m ■о

I

0)

s «

о.

H

0

H

1

0)

-10

f -15 «

о

- 20

— f = 2.5 ГГц , Su - - 19.67 dB

— f = 2.5 ГГц , Sii - - 19.81 dB

, , i , , ' , , i ,

3

4

0 1 2

Частота, ГГц

Рисунок 4.9 — Зависимость коэффициента отражения от частоты

0

5

Видим, что электродинамические характеристики антенн почти совпадают: первый резонанс находится на частоте 2.5 ГГц и коэффициенты отражения равны -19.67 dB и -19.81 dB. Это связано с тем, что размеры геометрических параметров двух излучателей близки друг к другу. Блок-схема первого алгоритма проектирования шести-гребенчатой одноди-апазонной антенны представлена на Рис. А.2.

Второй способ. Сформулируем теперь задачи оптимизации так, чтобы за один шаг с помощью регрессионных моделей определить значения сразу трех параметров излучателя аи, Ье и ^д. Для этого целевую функцию (4.8) оставим без изменений. В ограничениях (4.9) изменим условие для коэффициента отражения и ширины излучателя, и добавим условие для длины излучателя. Таким образом, первая задача оптимизации примет вид

а (ВЫ- (ак, Ьн, ) - 1)2 + 0 (Д (ад, Ьк, - 2.44)2 ^ ш1п, (4.11)

ак

0.5 мм < а,Е <--0.5 мм,

2

•ч 5 мм < ак < — мм, (4.12)

10 мм < Ье < 30 мм, (ак,ЬЕ,йк) < -20dB.

V

Во второй задаче оптимизации целевую функцию (4.10) так же оставим без изменений. В ограничениях (4.9) изменим условие для ширины излучателя, добавим условия для длины излучателя и значения основной резонансной частоты. Таким образом, вторая задача оптимизации примет вид

BW (aR, bR, dR) ^ max, (4.13)

aR

0.5 мм < dR <--0.5 мм,

2

bR

5 мм < aR < —мм, , A „

- к _ 2 (4.14)

10 мм < bR < 70 мм, Sii (aR,bR,dR) < -20 dB, 2.42 ГГц < f\ (aR, bR, dR) < 2.48 ГГц.

В целевой функции (4.11) веса а и f3 зададим 1 и 0.5, соответственно, и численно найдем решение задач оптимизации (4.11), (4.12) и (4.13), (4.14) в пакете Wolfram Mathematica. Тогда для каждой задачи соответственно получим следующие параметры излучателя:

— aR = 5.49 мм, bR = 30 мм и dR = 1.20 мм, минимум целевой функции (4.11) составил 0.093 ГГц2.

— aR = 7.39 мм, bR = 31.22 мм и dR = 0.5 мм, максимум целевой функции (4.13) равен 0.892 ГГц.

Выполним численный расчёт электродинамических характеристик спроектированных антенн в программе FEKO. Результаты вычислений представлены на Рис. 4.10. Синяя линия соответствует излучателю с aR = 5.49 мм, bR = 30 мм и dR = 1.20 мм; красная линия — излучателю с aR = 7.39 мм, bR = 31.22 мм и dR = 0.5 мм.

Заметим, что электродинамические характеристики антенн на Рис. 4.10 почти совпадают: первый резонанс находится на частоте 2.43 ГГц и коэффициенты отражения равны -20.14 dB и -20.5 dB. Однако, размеры геометрических параметров двух излучателей различны. Совпадение характеристик можно пояснить тем, что разница в размерах габаритов излучателя компенсируется разницей значений глубины прямоугольных вырезов.

Приведем на Рис. 4.11 диаграмму направленности на частоте 2.43 ГГц шести-гребенчатой антенны с параметрами излучателем aR = 5.49 мм,

ш ■о

§ - 5

I

0) *

га о.

0 -10 н

1

0)

■е-

■е-

«

о

-15

-20

-

--

--

--

— f = 2.43 ГГ ц, Эц - -20.14« №

— f = 2.43 ГГ Ц, - -20.5 d В

0 12 3 4

Частота, ГГц

Рисунок 4.10 — Зависимость коэффициента отражения от частоты

Ье = 30 мм и = 1.20 мм. Видно, что антенна является всенаправленной с максимальным коэффициентом усиления 1.75.

Рисунок 4.11 — Диаграмма направленности предложенной антенны на частоте 2.43

ГГц

Блок-схема второго алгоритма проектирования шести-гребенчатой однодиапазонной антенны представлена на Рис. А.3.

Сравнивая два подхода, можно сделать следующие выводы. Проектирование гребенчатых антенн, как решение задачи оптимизации с регрессионными моделями, происходит очень быстро. Минуя длительный последовательный подбор подходящих размеров нескольких параметров излуча-

теля, можно эффективно быстро построить антенну, имеющую требуемые характеристики.

4.2 Многодиапазонная антенна