Методы и алгоритмы конструирования управления мобильными колесными роботами с учетом запаздывания и других факторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Моторина, Дарья Юрьевна

• Моторина, Дарья Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моторина, Дарья Юрьевна

Введение.

Глава 1. Задача слежения для механической системы с запаздыванием в структуре обратной связи.

§1.1. Постановка задачи слежения для механической системы с учетом запаздывания.

§1.2. Метод построения управления в задаче слежения для механической системы с учетом запаздывания.

§1.3. Моделирование управления механической системой с запаздыванием в структуре обратной связи.

§1.4. Метод построения управления механической системой с учетом запаздывания и неизвестной матрицы инерции.

§1.5. Моделирование управления механической системой с запаздыванием в структуре обратной связи и неизвестной матрицей инерции.

Глава 2. Управление мобильным колесным роботом с запаздыванием в структуре обратной связи.

§2.1. Динамическая модель мобильного робота с тремя роликонесущими колесами.

§2.2. Метод построения управления мобильным колесным роботом с учетом запаздывания.

§2.3. Моделирование управления мобильным колесным роботом с запаздыванием в структуре обратной связи.

§2.4. Метод построения управления мобильным колесным роботом с учетом запаздывания и неизвестной матрицы инерции

§2.5. Моделирование управления мобильным колесным роботом с запаздыванием в структуре обратной связи и неизвестной матрицей инерции.

Глава 3. Управление мобильным колесным роботом с учетом запаздывания и эффекта проскальзывания колес

§3.1. Построение динамической модели мобильного робота с тремя роликонесущими колесами в случае проскальзывания колес

§3.2. Метод построения управления мобильным колесным роботом с учетом запаздывания и проскальзывания колес

§3.3. Моделирование управления мобильным колесным роботом с учетом запаздывания и проскальзывания колес

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы конструирования управления мобильными колесными роботами с учетом запаздывания и других факторов»

Конец 20-го века ознаменовался бурным развитием робототехники и теории управления. Актуальность приобрели задачи» построения математических моделей различных, роботов и разработки методов управления« робототехниче скими системами.

В настоящее время роботы широко применяются во многих сферах: промышленности, медицине, военном деле, науке, космических исследованиях. Использование роботов позволяет автоматизировать» выполнение монотонных, повторяющихся операций, а также проводить работы в условиях, неблагоприятных или опасных для человека.

Для классификации роботов применяются различные критерии: область применения, функциональное назначение, тип системы управления, тип движителя и др. Одним из широко распространенных классов роботов является класс мобильных колесных роботов.

Колесные роботы предназначены для перемещения грузов, а также для проведения исследовательских работ. Данный тип роботов применяется в следующих областях: в промышленности в качестве погрузчиков, в медицине в качестве инвалидных кресел, в космических исследованиях в качестве планетоходов, в военном деле при разминировании; также колесные роботы применяются при проведении поисково-спасательных и научно-исследовательских работ.

Особый интерес представляют колесные роботы с роликонесущими колесам типа "omnidirectional", или omni-роботы. Отличительной особенностью данного типа роботов является конструкция колес: на колесах робота закреплены ролики, это позволяет роботу перемещаться в любом направлении без предварительного разворота. Omni-роботы обладают более высокой маневренностью по сравнению с обычными колесными роботами, что обуславливает эффективность их использования, например, в тесных помещениях.

Исследование динамики отт-роботов и методов управления, их движением* является- перспективным направлением в современной науке. Данным вопросам посвящены известные работы как отечественных [5, 6, 7, 9, 15, 16, 11, 30], так и зарубежных [41, 42, 44, 45, 47, 49', 53, 57, 59; 66, 75, 76, 79] авторов. Одним, из свойств таких1 механических систем, как отпьроботы, является наличие скоростей в уравнениях связи,- т.е. ошш-робот представляет собой неголономную механическую систему. Особенности.* исследования неголономных механических систем рассматриваются в работах [8, 10, 11, 12, 13, 56].

Подробный вывод кинематических уравнений связей для отш-робота с тремя роликонесущими колесами- представлен в работах, [15, 46, 62, 70, 81, 82]. Построение простейшей динамической модели робота описано в работах [15, 43, 46, 62], при этом представлено несколько различных подходов к нахождению динамических уравнений. Так в работе [15] для вывода динамических уравнений движения робота используются уравнения Аппеля, в работах [43, 46] применяются уравнения Лагранжа второго рода. В работах [53, 72] представлена динамическая модель отш-робота в полярных координатах.

При построении динамической модели робота необходимо учитывать условия внешней среды, в которой происходит движение, и различные возмущающие факторы, влияющие на движение. Учет данных факторов позволяет создать модель, более точно описывающую реальный объект, что имеет важное значение, например, при конструкторских расчетах параметров робота или при управлении его движением.

Одним из факторов, оказывающих влияние на динамику колесного робота, является эффект проскальзывания колес. Данный эффект возникает в случае, когда робот перемещается по гладкой, скользкой или влажной поверхности. Вопросам построения динамической модели отш-мобилыюго робота при наличии эффекта проскальзывания колес посвящены работы [43, 54, 55, 79].

В работе [43] рассматривается продольное проскальзывание колес отш-робота, боковое проскальзывание не учитывается. Полагается; что продольное тяговое усилие пропорционально силе нормальной реакции поверхности движения в точке контакта с колесом, при этом коэффициент сцепления является функцией проскальзывания колес. Отношение между коэффициентом сцепления и проскальзыванием колес носит нелинейный характер и зависит от многих факторов, в том числе от материала поверхности движения и материала самих колес. Для управления движением робота предлагается использовать закон управления, основанный на динамической модели робота. Представлены результаты численного моделирования движения робота без учета проскальзывания и с учетом проскальзывания. Показано, что при замене динамической модели с проскальзыванием "идеальной" моделью без проскальзывания увеличивается погрешность управления. Данная погрешность возрастает с уменьшением коэффициента сцепления, т.е. "идеальная" модель эффективна только при большом коэффициенте сцепления. Работа [43] показывает необходимость учета эффекта проскальзывания колес при построении динамической модели отш-робота и при синтезе управления его движением.

В работе [55] представлена динамическая модель мобильного робота с четырьмя роликонесущими колесами с учетом продольного и бокового проскальзывания колес. Рассматриваются две силы трения скольжения: сила трения продольного скольжения, направленная по оси вращения ролика, соприкасающегося в данный момент с поверхностью, и сила трения бокового скольжения, направленная по оси вращения колеса. Полагается, что силы трения скольжения каждого колеса пропорциональны соответственно продольной и боковой составляющим скорости точки контакта колеса с поверхностью, т.е. для описания эффекта проскальзывания колес применяется модель силы вязкого трения. При составлении замкнутой системы уравнений, описывающих движение робота, используются кинематические уравнения, имеющие место при отсутствии проскальзывания, что вносит определенные погрешности в динамическую модель.

В работе [79] описана динамическая модель трехколесного отш-робота с учетом продольного и бокового проскальзывания колес. Как и в работе [55], вводятся сила трения продольного скольжения и сила трения бокового скольжения. Отличие заключается в том, что в работе [79] выбрана модель сухого трения, согласно которой сила трения пропорциональна нормальной реакции поверхности движения в точке контакта с колесом. При этом полагается, что коэффициенты трения являются функциями продольной и боковой составляющих скорости точки контакта колеса с поверхностью. В такой модели сила трения скольжения зависит от угловых скоростей вращения колес робота вокруг их осей. Это приводит к необходимости дополнения пред ставленной динамической модели уравнениями для определения угловых скоростей вращения колес, что ведет к усложнению модели. Для численного моделирования движения робота предлагается взять коэффициенты трения скольжения постоянными и равными коэффициентам трения покоя. Это значительно упрощает расчеты, но уменьшает точность построенной модели.

Таким образом, построение динамической модели мобильного колесного робота с учетом проскальзывания колес является достаточно сложной и не до конца решенной задачей, поэтому исследования в данном направлении являются актуальными и перспективными для современной науки.

С задачей построения динамической модели отш-робота тесно связана задача управления его движением. Существует несколько постановок задачи об управлении движением,, основные из них — задача стабилизации программного движения, задача слежения; задача синтеза оптимального управления. В зависимости, от цели управления и от свойств динамических уравнений.движения выбираются различные законы управления.

Решение задачи синтеза управления отш-роботом представлено во многих работах [48, 49, 51, 52, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68; 69, 70, 71, 73, 74, 80, 83] с использованием различных динамических моделей робота и различных законов управления. В работах [62, 63, 69] рассмотрены вопросы оптимального планирования траектории и предложены стратегии управления движением центра масс без управления-ориентацией робота. В работе [70] на основе упрощенной линейной модели построены два ПИД-регулятора для независимого управления движением центра масс и ориентацией платформы робота. В работах [77, 78] на основе нелинейной модели и применения метода линеаризации обратной связью построены ПИ и ПД регуляторы для управления скоростью центра масс платформы отш-робота и углом ее поворота. В работах [57, 58] построены нелинейные динамические модели робота с учетом динамики приводов, и разработаны интегральные управления на основе метода линеаризации системы вдоль заданной траектории.

При практической реализации законов управления возникают определенные трудности, связанные с тем, что реальные устройства не могут обеспечить строгое выполнение данных законов. Это обусловлено различными факторами: погрешностью измерений, запаздыванием по времени устройств управления, воздействием неучтенных факторов внешней среды.

Задача синтеза управления значительно осложняется, если параметры динамической модели неизвестны. Например, могут быть неизвестны массово-инерционные характеристики перемещаемого груза или внешние возмущения. Некоторые подходы, применяемые для управления системами с неизвестными параметрами, описаны в работах [1, 2, 3].

В настоящее время для решения задач стабилизации и отслеживания траекторий колесных мобильных роботов с неизвестными параметрами активно применяется метод бэкстеппинга [53, 54]. Как правило, закон управления, построенный с использованием данного метода, имеет сложную структуру и предполагает необходимость в режиме реального времени интегрировать дифференциальные соотношения для определения параметров управления. Это значительно усложняет его практическое применение.

Еще один фактор, который необходимо учитывать при решении задачи управления — это запаздывание в цепи обратной связи. Запаздывание естественным образом возникает в структуре управления, т.к. реальному устройству необходимо затратить определенное время для обработки данных и формирования выходного сигнала. Учет данного факторов ведет к усложнению динамической модели и к поиску новых методов исследования.

Известен метод синтеза релейного запаздывающего управления^ [4], позволяющий решать задачу отслеживания заданного программного движения. Метод основан на теории "замороженных" коэффициентов и предположении, что параметры системы и отслеживаемое программное движение изменяются достаточно медленно, и этими изменениями можно пренебречь. Данный метод применим только к узкому классу механических систем и "медленным" программным движениям.

В работе [29] предложен метод синтеза релейного запаздывающего управления, основанный на применении метода сравнения с векгор-функцией Ляпунова. Данный метод применим для широкого класса систем и программных движений. Он не требует выполнения ограничений, налагаемых на систему в работе [4], и может использоваться при существенном изменении параметров системы и программного движения. В работах [9, 28, 30] на основе предложенного метода решены задачи слежения для различных динамических моделей мобильных колесных роботов.

Синтез релейных управлений обладает рядом преимуществ: простота, универсальность [19], возможность вывести механическую систему в режим декомпозиции [18, 35, 36]. Существенным недостатком данного класса управлений является возникновение значительных автоколебаний в системе управления, что может привести к поломке устройства. Релейные управления являются разрывными управлениями [37, 38, 39], для их реализации необходимо, чтобы выходной сигнал устройства мог мгновенно изменяться от минимального значения до максимального. Ни одно реальное устройство не может удовлетворять данному требованию. Т.е. на практике невозможно обеспечить строгое выполнение релейного закона управления.

Проблему колебаний в системе можно решить, если вместо релейного закона управления использовать непрерывное управление с насыщением, которое представляет собой комбинацию релейного управления и быстро меняющегося линейного управления.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка новых методов и алгоритмов построения управления с насыщением для мобильных колесных роботов с учетом переменного запаздывания в структуре обратной связи. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Обоснование нового метода построения управления для механической системы общего вида.

2. Разработка новой модели управления мобильным колесным роботом с роликонесущими колесами, в том числе при учете их проскальзывания.

3. Разработка соответствующихалгоритмови комплекса программ.

Первая глава диссертации посвящена решению задачи слежения: для механической системы общего вида с учетом переменного запаздывания, в структуре обратной; связи:

Рассматривается механическая системам общего вида, динамику которой можно описать с помощью? уравнений Лагранжа второго рода. Дается постановка задачи слежения: необходимо построить» управление, которое обеспечивало бы движение системы вдоль заданного программного движения: При этом предполагается, что в структуре управления присутствует неизвестное конечное запаздывание, зависящее от, времени.

В настоящей диссертационной работе развивается метод, описанный; в работе [29] и позволяющий^ строить релейное управление с переменным запаздыванием в структуре обратной связи. Метод основан, на применении к системе дифференциальных уравнений? принципа сравнения [28] с вектор-функцией Ляпунова, компоненты которой имеют вид векторной нормы. При таком выборе функции Ляпунова ее правосторонняя производная в? силу системы оценивается с использованием операторных и логарифмических матричных норм [14]. Данный метод позволяет найти неизвестные параметры управления, а также оценить допустимую величину запаздывания и величину допустимых начальных отклонений.

В настоящей работе описанный метод модифицируется для построения запаздывающего управления с насыщением. Полученные результаты обобщаются для случая, когда механическая система имеет неизвестную матрицу инерции.

На основе полученных результатов разработаны алгоритмы для нахождения параметров управления. Преимуществами данных алгоритмов являются простота использования и эффективность для широкого класса систем. Алгоритмы предоставляют достаточный произвол в выборе некоторых величин, входящих в «управление, что позволяет выбрать наиболее подходящие параметры для конкретной задачи.

Вторая глава диссертации, посвящена решению задачи слежения для. мобильного робота с тремя» роликонесущими колесами при учете запаздывания в структуре обратной связи.

Управление роботом осуществляется посредством- трех независимых электроприводов, создающих управляющие моменты, приложенные к колесам робота. Предполагается, что движение происходит по ровной' поверхности без проскальзывания. Приводится вывод уравнений, описывающих кинематическую и динамическую модели рассматриваемого робота [15].

Для решения задачи слежения применяется метод синтеза запаздывающего управления с насыщением, описанный в первой главе диссертации. Приводится методика построения оценок операторных и логарифмических матричных норм, необходимых для нахождения параметров управления.

На основе полученных соотношений составляется алгоритм поиска неизвестных величин, входящих в управление. Данный алгоритм, в отличие от описанного в первой главе общего алгоритма, не требует вычисления векторных и матричных норм, все операции сводятся к вычислениям простейших математических функций и выражений. Это делает алгоритм удобным для программной реализации и позволяет минимизировать время выполнения программ. Аналогично составляется алгоритм нахождения параметров управления для случая неизвестных массово-инерционных параметров робота.

Для демонстрации эффективности предложенных алгоритмов приводятся результаты численного моделирования движения робота при найденном управлении. Для сравнения при тех же значениях параметров проводится моделирование движения робота при действии релейного управления. Полученные результаты показывают уменьшение колебаний при использовании управления с насыщением, тем самым доказывая его преимущество перед релейном управлением.

В третьей главе диссертации рассматривается задача слежения для мобильного робота с тремя роликонесущими колесами в случае проскальзывания колес.

Строится динамическая модель опил-робота, учитывающая продольное и боковое проскальзывание колес, и применяется метод синтеза управления с насыщением из первой главы диссертации. С помощью этого метода составляются соотношения, позволяющие определить искомые величины.

Для описанной динамической модели составляется алгоритм нахождения параметров управления. Приводятся результаты численного моделирования движения робота при действии построенного управления.

В заключении описываются основные результаты диссертационной работы.

В приложении приводятся исходные тексты комплекса программ, реализующего разработанные алгоритмы и численное моделирование движения робота.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 83 источников и одного приложения. Общий объем диссертации составляет 149 страниц, основной текст диссертации изложен на 104 страницах. Диссертация содержит 21 рисунок.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Моторина, Дарья Юрьевна

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Разработан новый метод и новые алгоритмы синтеза управления для механической системы общего вида с учетом запаздывания и других факторов.

2. Построены новые динамические модели управляемого мобильного колесного робота, в том числе модель, учитывающая возможное проскальзывание колес.

3. Разработаны алгоритмы построения запаздывающего управления для различных моделей мобильного колесного робота.

4. Разработан комплекс программ, реализующий алгоритмы построения управления и численное моделирование движения мобильного колесного робота, позволяющее провести анализ эффективности построенного управления.

Заключение

В настоящей диссертационной работе разработаны новые методы и алгоритмы построения запаздывающего управления, решающего задачу слежения для мобильного робота с роликонесущими колесами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моторина, Дарья Юрьевна, 2011 год

1. Ананьевский И.М. Управление механической системой с неизвестными параметрами посредством ограниченной силы // ПММ. — 1997. — Т. 61, вып. 1. — С. 52-62.

2. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2001. — №2. — С. 39-47.

3. Ананьевский И.М. Синтез непрерывного управления механической системой с неизвестной матрицей инерции // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006. — №3. — С. 24—35.

4. Ефремов М.С., Поляков А.Е., Стрыгин В.В. Новый алгоритм слежения для некоторых механических систем // ПММ. — 2005. — Т. 69, вып. 1. — С. 30^1.

5. Зобова A.A., Татаринов Я.В. Математические аспекты динамики движения экипажа с тремя окольцованными колесами // Сб. Мобильные роботы и мехатронные системы. — М.: Изд-во МГУ, 2006. — С. 61-67.

6. Зобова A.A., Татаринов Я.В. Свободное и управляемое движение некоторой модели экипажа с роликонесущими колесами // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. — 2008. — №6. — С. 62-66.

7. Зобова A.A., Татаринов Я.В. Динамика экипажа с роликонесущими колесами // ПММ. 2009. - Т. 73, вып. 1. — С. 13-22.

8. Каленова В.И., Карапетян A.B., Морозов В.М., Салмина М.А. Неголономные механические системы и стабилизация движений // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. 11, вып. 7. — С. 117-158.

9. Камаева P.A., Перегудова O.A. Управление движением мобильного робота с роликонесущими колесами с учетом запаздывающей обратной связи // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2010. — Т. 17, вып. 2. С. 270-271.

10. Карапетян A.B. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // ПММ. 1978. - Т. 43, вып. 5. - С. 801-807.

11. Карапетян A.B. К вопросу об устойчивости стационарных движений неголономных систем // ПММ. 1980. — Т. 44, вып. 3. — С. 418^26.1.'

12. Карапетян A.B. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивость кельтских камней // ПММ. — 1981. — Т. 45, вып. 1. С. 42-51.

13. Козлов В.В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики // Успехи механики. — 1985. — Т. 8, №3. — С. 85-107.

14. Лозинский С.М. Оценка погрешностей численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1958. — №5. — С. 52-90.

15. Мартыненко Ю.Г., Формальский A.M. О движении мобильного робота с роликонесущими колесами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. - №6. - С. 142-149.

16. Мартыненко Ю.Г. Устойчивость стационарных движений мобильного робота с роликоне сущими колесами и смещенным центром масс // ПММ. 2010. - Т. 74, вып. 4. - С. 610-619.

17. Мартыненко Ю.Г. Управление движением мобильных колесных роботов. // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. 11, вып. 8. — С. 29-80.

18. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Управление движением манипуляционных роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов // Автоматика и телемеханика. — 1989. — №9. — С. 67-81.

19. Матюхин В.И. Универсальные законы управления механическими системами. — М.: МАКС Пресс, 2001. — 252 с.

20. Моторина Д.Ю. О построении релейных управлений движением механических систем // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия Математика и информационные технологии. — 2009. Выпуск 1(2). - С. 77-88.

21. Моторина Д.Ю. Управление с насыщением в задаче слежения для механических систем с учетом запаздывания // Автоматизация процессов управления. 2010. - №1. - С. 24-30.

22. Моторина Д.Ю. Синтез управления для механических систем с неизвестной матрицей инерции при учете запаздывания в структуре обратной связи // Автоматизация процессов управления. — 2010. — №4. — С. 10-15.

23. Моторина Д.Ю. Построение алгоритма синтеза управления с насыщением в задаче слежения для колесного мобильного робота //

24. Журнал Средневолжского математического общества. — 2010. — Т. 12, №3. -С. 102-110.

25. Перегудова O.A. Метод сравнения в задачах устойчивости и правления, движениями механических систем. — Ульяновск: УлГУ, 2009. — 253 с.

26. Перегудова O.A. К задаче слежения для механических систем с запаздыванием в управлении//АИТ. —20091 — № 5.—С.95-105;

27. Перегудова O.A., Камаева P.A. К задаче слежения для колесного мобильного робота с неизвестной; матрицей инерции // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2009. — Т. 16, вып;4., — С. 664-665.

28. Перегудова O.A., Моторина Д.Ю. К задаче стабилизации движений механических систем при учете динамики приводов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15, вып. 6. — G. 1118:

29. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. I // Автоматика и телемеханика. — 1989. — №2. — С. 57-71.

30. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. П // Автоматика и телемеханика. — 1989. — №1. — С. 87-98.

31. Финогенко И.А. О правосторонних решениях одного класса разрывных систем. 1 // Автоматика и телемеханика. — 2001. — №9. — С. 149-157.

32. Финогенко И.А. О правосторонних решениях одного класса разрывных систем. 2 // Автоматика и телемеханика. — 2001. — №11. — С. 149-158.

33. Финогенко И.А. Об условиях правой липшицевости для дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, №8. — С. 1068-1075.

34. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений // Избр. труды по механике и математике. М.: ГИТТЛ, 1954. - С. 490-583.

35. Asama H., Sato Mi, Bogoni L. Et al. Development of an omni directional mobile robot with 3 DOF decoupling drive mechanism // Proc. IEEE Int. Conf. on-Robotics and Automation.* — 1995. — P. 1925-1930.

36. R. Balakrishna, Ashitava Ghosal». Modeling of slip for wheeled mobile robot. // IEEE Transaction on Robotics and Automation. — 1995. — V. 11, No 1. — P. 126-132.

37. Betourne A., Campion G. Dynamical modeling and control design of a class of omnidirectional mobile robots // Proceedings of the 1996 IEEE International'Conference on Robotics and4Automation. — 1996. — P. 2810-2815.

38. Carter B., Good M., Dorohoff M., Lew J., Williams II R.L., Gallina P.' Mechanical design and modeling of an omni-directional robocup player // Proceedings RoboCup 2001 International Symposium. Seattle, WA, USA. 2001.

39. Conceicao A.S. Moreira A.P., Costa P.J. A nonlinear model predictive control strategy for trajectory tracking of a four-wheeled omnidirectional mobile robot // Optim. Control Appl. Meth. 2008. - No 29. - P. 335-352.

40. Han K.L., Choi O.K., Lee I., Hwang I., Lee J.S.-, Choi S. Design and control of omni-directional mobile robot for mobile haptic interface // International Conference on Control, Automation and Systems. — 2008. — P. 1290-1295.

41. Huang H.C., Tsai C.C. Simultaneous tracking and stabilization of an omniidirectional mobile robot in polar coordinates: a unified control approach // Robotica. 2009. - V. 27, No 3. - P. 447-458.

42. Huang H.C., Tsai C.C. Adaptive trajectory tracking and stabilization for omnidirectional mobile robot with dynamic effect and uncertainties // Proceedings of the IIth IFAC World Congress. 2008. - P. 5383-5388.

43. Huang Y., Cao Q. The path-tracking controller based on dynamic model with slip for one four-wheeled OMR // Industrial Robot: An International Journal. 2010. - V. 37, No 2. - P. 193-201.

44. Kim Y., Kim S.H., Kwak Y.K. Dynamic analysis of a nonholonomic two-wheeled inverted pendulum robot // Journal of Intelligent and Robotic Systems. 2005. - No 44. - P. 25-46.

45. Liu Y., Williams II R.L., Zhu J.J. Integrated control and navigation for omnidirectional mobile robot based on trajectory linearization // Proceedings of the 2007 American Control Conference. — 2007. P. 2153-2158.

46. Liu Y., Zhu J.J., Williams II R.L., Wu J. Omni-directional mobile robot controller based on trajectory linearization // Robotics and autonomous systems. 2008. - V. 56. - P. 461-479.

47. Mori Y., Nakano E., Takahashi T., Takayama K. Mechanism and running modes of new omni-directional vehicle ODV9 // JSME International Journal, Series C. 1999. - V. 42(1). - P. 210-217.

48. Muir P.F., Neuman C.P. Kinematic modeling for feedback control of an omni directional wheeled mobile robots // Proc. IEEE Int. Conf. On Robotics and Automation. 1987. - P. 1772-1786.

49. Nagy T.K., D'Andrea R., Ganguly P. Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an omnidirectional vehicle // Robotics and Autonomous Systems. 2004. - V. 47(1). - P. 47-64.

50. Nagy T.K., Ganguly P., D'Andrea R. Real-time trajectory generation for omnidirectional vehicle // Proceedings of the American Control Conference. — 2002. P. - 286-291.

51. Nino-Suarez P.A., Velasco-Villa M., Aranda-Bricaire E. Discrete-time feedback linearization of a wheeled mobile robot subject to transport delay // Congreso Latinoamericano de Control Automático, La Habana Cuba, 2006.

52. Nino-Suarez P.A., Aranda-Bricaire E., Velasco-Villa M. Discrete-time sliding mode path-tracking control for a wheeled mobile robot // 45th IEEE Conference on Decision and Control. — 2006. — P. 3052-3057.

53. Oliveira H.P., Sousa A.J., Moreira A.P., Costa P.J. Precise Modeling of a Four Wheeled Omni-directional Robot // Proceedings of the 8th Conference on Autonomous Robot Systems and Competitions, 2008.

54. Orosco-Guerrero R., Velasco-Villa M., Aranda-Bricaire E. Discrete-time conftroller for a wheeled mobile robot // Proc. XI Latin-American Congress of Automatic Control, La Habana, Cuba, 2004.

55. Peng Y.F., Chiu C.H., Tsai W.R., Chou M.H. Design of an omni-directional spherical robot: using fuzzy control // Proceedings of the International MultiConference of Engineers arid Computer Scientists. — 2009. — V. 1.

56. Purwin O., D'Andrea R. Trajectory generation and control for four wheeled omnidirectional vehicles // Robotics and Autonomous Systems. — 2006. — V. 54 (1).-P. 13-22.

57. Samani H.A., Abdollahi A., Ostadi H., Rad S.Z. Design and development of a comprehensive omni directional soccer player robot // International Journal of Advanced Robotic Systems. 2004. — V. 1(3). — P. 191-200.

58. Tan X., Zhao D., Yi J., Xu D. Adaptive hybrid control for omnidirectional mobile manipulators using neural-network // American Control Conference Westin Seattle Hotel. 2008. - P. 5174-5179.

59. Tsai C.C., Huang H.C., Wang T.Y. Simultaneous tracking and stabilization of an omnidirectional mobile robot in polar coordinates // Journal of the Chinese Institute of Engineers. 2009. - V. 32, No 4. - P. 569-575.

60. Tsai C.C., Wang T.S. Nonlinear control of an omnidirectional mobile robot // Proceeding of the 8th International Conference on Automation Technology. — 2005. P. 727-732.

61. Vazquez J.A., Velasco-Villa M. Path-Tracking dynamic model based control of an omnidirectional mobile robot // Proceedings of the 17 th World Congress "The International Federation of Automatic Control". — 2008. — P. 53655370.

62. Velasco-Villa M., del-Muro-Cuellar B., Alvarez-Aguirre A. Smith-Predictor compensator for a delayed omnidirectional mobile robot // Proceedings of the 15*'4 Mediterranean Conference on Control and Automation. Athene, Greece. 2007.

63. Wada M., Mori S. Holonomic and omnidirectional vehicle with conventional tires // Proceedings of the 1996 IEEE International Conference on Robotics and Automation Minneapolis. — 1996. P. — 3671-3676.

64. Watanabe K., Shiraishi Y., Tzafestas S.G. et al. Feedback control of an omnidirectional autonomous platform for mobile service robots // J. Intelligent and Robotic Systems. 1998. - V. 22. — P. 315-330.

65. Watanabe K. Control of an omnidirectional mobile robot // Proceedings of 1998 Second International Conference on Knowledge-Based Intelligent Electronic Systems. 1998. — P. 51-60.

66. Williams II R.L., Carter B.E., Gallina P., Rosati G. Dynamic model withslip for wheeled omnidirectional robots // IEEE Transactions on Robotics and Automation. 2002. - V. 18, No 3. - P. 285-293.

67. Wilson L., Lew J.Y. Design and modeling of a redundant omni-directional RoboCup goalie // RoboCup 2001 International Symposium. Seattle, WA, August. 2001.

68. Ye C., Ma S., Li B. Kinematic analysis on a mobile robot composed of three wheeled units // Proceedings of the 2007 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics. 2007. — P. 485-489.

69. Yi B.J., Kim W.K. The kinematics for redundantly actuated omnidirectional mobile robots // Journal of Robotic Systems. — 2002. — No 19(6). — P. 255267.

70. Zhang M., Hirschorn R.M. Discontinuous feedback stabilization of nonholo-nomic wheeledmobile robots // Dynamics and Control. — 1997. — No 7. — P. 155-169.