Методы и алгоритмы аппроксимации и интегрирования функций одной переменной при обработке информации в системах управления социально-экономическими объектами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.10, кандидат технических наук Мельник, Екатерина Васильевна

• Мельник, Екатерина Васильевна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мельник, Екатерина Васильевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ ОБРАБОТКИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ.

1.1. Функциональная зависимость как предмет исследования в экономических и социальных системах.

1.2. Измерения и погрешность при обработке временных рядов в эконометрике.

1.3. Особенности данных и закономерностей в социологии.

1.4. Обзор и анализ алгоритмов приближения таблично заданных функциональных зависимостей.

1.4.1. Обзор и анализ способов глобальной и локальной аппроксимации.

1.4.2. Обзор и анализ результатов использования степенных рядов при аппроксимации для уменьшения вычислительной погрешности.

1.4.3. Обзор и анализ методов построения эмпирических формул.

1.5. Обзор известных методов сжатия информации.

1.6. Анализ алгоритмов численного интегрирования.

1.7. Сущность предлагаемого подхода к обработке таблично заданных функций одной переменной.

Выводы.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ХАОТИЧЕСКИХ РЯДОВ. ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

2.1. Основы теории хаотических систем.

2.2. Математическое описание алгоритмов приближения таблично заданных функций одной переменной.

2.2.1. Математическое описание методов глобальной интерполяции.

2.2.2. Методы локальной интерполяции.

2.2.3. Использование степенных рядов при аппроксимации для уменьшения вычислительной погрешности.

IV 2.2.4. Построение эмпирических формул.

2.3. Математическое описание алгоритмов численного интегрирования.

Выводы.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРЕДЛАГАЕМЫХ МЕТОДОВ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ СЖАТИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЧИСЛОВОГО РЯДА

3.1. Алгоритмизация метода аппроксимации числового ряда.

3.2. Алгоритмизация метода интегрирования числового ряда.

3.3. Описание разработанного программного обеспечения.

3.3.1. Используемые данные и процедуры обработки.

3.3.2. Описание работы модулей программы.

Выводы.

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И СОПОСТАВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ у ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

4.1. Результаты сокращения затрат памяти таблично заданных функций одной переменной при использовании разработанной модели сжатия метода аппроксимации.

4.2. Сопоставительный анализ результатов реализаций известных и разработанного метода аппроксимации.

4.2.1. Сравнение показателей погрешности и затрат памяти.

4.2.2. Сравнительный анализ скоростных характеристик и оценка вычислительной сложности.

4.3. Сопоставительный анализ результатов реализаций известных и разработанного методов интегрирования.

4.3.1. Сравнение показателей погрешности и затрат памяти.

4.3.2. Сравнительный анализ скоростных характеристик. 129 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы аппроксимации и интегрирования функций одной переменной при обработке информации в системах управления социально-экономическими объектами»

Актуальность. Управление в социально-экономических системах основывается на необходимости обработки больших объемов информации, значительная часть из которой является результатом использования эконометрики и социометрии и представляет собой функции одной переменной, ^ отражающие поведение объектов управления, в том числе во времени. При этом накапливаются огромные массивы эконометрических и социометрических данных, требующих адекватной и своевременной обработки в компьютерных системах поддержки принятия управленческих решений. В связи с этим возникает проблемная ситуация, сущность которой заключается в отсутствии таких практически пригодных форм представления функций, средств их интегрирования и алгоритмов, которые обеспечивают высокую скорость обработки данных при приемлемой погрешности и допустимом Ч минимуме затрат памяти. Для разрешения названной проблемной ситуации возникает потребность в поиске новых подходов, методов и алгоритмов, а также соответствующих программных средств.

Основная решаемая задача данной диссертационной работы заключается в разработке программных и алгоритмических средств аппроксимации функций одной переменной и их интегрирования на основе положений теории хаотических систем.

Для решения основной решаемой задачи имеются необходимые ^ предпосылки. Над проблемами аппроксимации и интегрирования функций работали известные отечественные и зарубежные исследователи. Вопросам изучения хаотических систем посвящены работы А. Пуанкаре, Э. Лоренца, М. Хенона, Дж. Томпсона, Г. Биркгофа, Н. С. Крылова, А.Н. Гапоно-ва-Грехова и других известных ученых.

Теоретическая часть диссертационной работы включает в себя разработку методов и алгоритмических средств аппроксимации и интегрирования функций на основе положений хаотических систем путем использования генераторов хаотических процессов в виде дискретных отображений особого типа. Практическая часть содержит описание программных средств, пригодных для практического использования в контурах систем управления социально-экономическими объектами.

Исследование реализации аппроксимации и интегрирования функций одной переменной на основе достижений современной теории хаотических систем является актуальным и перспективным научным направлением.

Работа выполнялась в рамках гранта Минобразования Г00-4.5-15 «Разработка и исследование методов, алгоритмических, программных и технических средств организации быстрых символьных вычислений» при непосредственном участии автора.

Цель работы заключается в разработке методов, алгоритмических средств и программной реализации процедур аппроксимации и интегрирования функций одной переменной на основе использования дискретных хаотических отображений для снижения вычислительной и емкостной сложности, и также регулирования погрешности при использовании программных продуктов в контурах систем управления социально-экономическими объектами.

Задачи исследования заключаются в следующих положениях:

1. Определить особенности объекта исследования и существующих методов обработки (аппроксимация, сжатие и интегрирование) функций одной переменной, а также исследовать свойства дискретных хаотических отображений.

2. Разработать методы и алгоритмические средства аппроксимации и интегрирования функций одной переменной на основе генераторов числовых хаотических рядов в виде специальных дискретных отображений.

3. Создать программные средства аппроксимации и интегрирования функций одной переменной, являющихся пригодными для практического использования в современных системах управления социально-экономическими объектами.

4. Выполнить сопоставительный анализ разработанных методов функциональных преобразований с известными способами аппроксимации и интегрирования.

Объектом исследования являются процессы обработки таблично заданных форм представления информации в социально-экономических системах.

Предметом исследования является организация и реализация процедур аппроксимации и интегрирования функций одной переменной. Ц' Методы исследования основываются на положениях теории проектирования сложных информационных систем, функционального математического анализа, теории алгоритмов, теоретического программирования и теории хаотических систем.

Достоверность и обоснованность результатов исследования подтверждается: согласованностью теоретических и экспериментальных результатов, проведенными программными экспериментами по функциональному преобразованию таблично заданных функций одной переменной, полученных 1 в результате использования эконометрики и социометрии; корректным использованием законов и положений современной теории хаотических (случайно-подобных) систем и теории аппроксимации, а также рецензированием печатных работ, их обсуждением на научно-технических конференциях, семинарах кафедры ПО ВТ и экспертизой разработанного программного продукта Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Научная новизна работы состоит в решении важной науч-но-техническои задачи по созданию нового класса методов, алгоритмических и программных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной для использования в контурах управления социально-экономических объектов. Впервые получены следующие результаты:

1. Разработан метод аппроксимации функций одной переменной на основе генераторов числовых хаотических рядов в виде специальных дискретных отображений, что позволяет сокращать число хранящихся узлов в исходной последовательности и обеспечивать регулируемую погрешность расчетов. Созданный алгоритм аппроксимации по затратам времени имеет преимущество до 7 раз по отношению к алгоритму, реализующему метод наименьших квадратов, по числу выполняемых операций - до 6 раз.

2. Созданы алгоритмические модели сжатия и восстановления таблично заданных функциональных зависимостей одной переменной по результатам измерений, позволяющие после разработки алгоритмов и программ достигнуть сокращения затрат памяти на периодических и гладких возрастающих или убывающих функциях по сравнению с методами сжатия и округления в 10 раз.

3. Разработан метод интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей на основе хаотической аппроксимации со скоростными преимуществами и открывающий возможности создать алгоритмические и программные средства, обеспечивающие вычисление определенных интегралов с погрешностью до 1-Ю"9. Скорость вычислений возрастает по сравнению с методами трапеций и прямоугольников в 1,3 раза.

4. Осуществлена алгоритмизация методов аппроксимации и интегрирования при создании программных средств для конкретных практических приложений, которая отличается упрощенной схемой взаимодействия модулей и унификацией состава основных блоков обработки таблично заданных функций одной переменной.

Практическая ценность работы заключается в создании пригодных для практического использования в системах управления социально-экономическими объектами программных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной. Алгоритмизация и программная реализация методов аппроксимации и интегрирования позволили получить показатели погрешности от 10"1 до 1-10"9, что является приемлемым для применения в социально-экономических системах. Разработанные методы, алгоритмы и программные средства открывают пути создания аппаратных средств для быстротекущих процессов, возникающих в контурах систем управления (обработка результатов биржевых торгов, опросов, анкет, демографических данных и т.д.), а также для аппроксимации и интегрирования функций от многих переменных и для приложений в других предметных областях.

На защиту выносятся:

1. Метод аппроксимации функций одной переменной на основе числовых хаотических рядов в виде дискретных отображений.

2. Алгоритмические модели сжатия и восстановления таблично заданных функциональных зависимостей.

3. Метод интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей по результатам измерений на основе хаотической аппроксимации.

4. Результаты сопоставительного анализа разработанных и известных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы обсуждались и получили положительную оценку на VI научной конференции "Вибрация-2003", г. Курск, 2003 г.; XI Российской научно-технической конференции «Материалы и упрочняющие техноло-гии-2004», г. Курск, 2004 г. (2 доклада); VIII Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии - 2005», г. Курск, 2005 г.; VI Всероссийской научно-технической конференции «Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий», г. Улан-Уде, 2005 г.; XII Российской научно-технической конференции «Материалы и упрочняющие технологии-2005», г. Курск.

Реализация результатов работы. Основные результаты диссертационного исследования в виде программных продуктов функционального преобразования таблично заданных функций внедрены в отделе автоматизированной системы управления производством (АСУП) ОАО «Геомаш», г. Щигры Курской области и используются в учебном процессе Курского государственного технического университета.

Публикации. По результатам выполненных разработок и исследований опубликовано 9 печатных работ, в том числе 1 по перечню центральных рецензируемых журналов и изданий, рекомендуемых ВАК Министерства образования и науки РФ, получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

В работах, написанных в соавторстве, лично автором диссертации разработаны и описаны методы аппроксимации и интегрирования функций одной переменной с использованием детерминированных хаотических отображений [2,3,4,5]; выполнено сравнение затрат характеристик разработанных и известных методов аппроксимации и интегрирования [6,7]; исследовано их применение к обработке временных рядов в социально-экономических системах [1,8] и созданы программные средства обработки функций одной переменной [9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 140 страницах машинописного текста, содержит 51 рисунок, 7 таблиц, список литературы из 82 наименований и 8 приложений объемом 72 страницы. Общий объем 221 страница.

Заключение диссертации по теме «Управление в социальных и экономических системах», Мельник, Екатерина Васильевна

Основные результаты нашли отражение в следующих работах: ^ 1. Мельник, Е.В. Оптимизация функциональной обработки зависимостей в социально-экономических системах [Текст] / Е.В. Мельник // Известия Тульского государственного университета/ Сер. Экономика. Управление. Стандартизация. Качество. 2006. Вып. 4. С. 24-25.

2. Мельник, Е.В. Методы аппроксимации результатов динамических процессов [Текст] / Е.В. Мельник // Вибрационные машины и технологии: сб. науч. тр. / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2003. С. 185-188.

3. Применение положений хаотической динамики к сжатию числовых 4 характеристик функционирования комбинированных машин и агрегатов

Текст] / В.Я. Котельников, Е.В. Мельник, А.И. Пыхтин, A.A. Евдокимов // Известия Курск.гос.техн.ун-та. 2004. №2(13). С. 23-24.

4. Довгаль, В.М. Способ функционального преобразования обработки таблично заданной функции с заданной погрешностью с помощью детерминированного хаотического ряда [Текст] / В.М. Довгаль, Е.В. Мельник // Материалы и упрочняющие технологии-2004: сб. матер. XI Российской науч.-техн. конф. (23-25 ноября 2004)/ Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2004.

С. 246-251.

5. Довгаль, В.М. Применение способа функционального преобразования к интегрированию таблично заданных функций [Текст] / В.М. Довгаль, Е.В. Мельник // Материалы и упрочняющие технологии-2004: сб. матер. XI Российской науч.-техн. конф. (23-25 ноября 2004)/ Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2004. С. 251-253.

6. Довгаль, В.М. Способ обработки таблично заданных последовательностей с помощью детерминированных хаотических отображений для вреу менных рядов в эконометрике и социометрике [Текст] / В.М. Довгаль,

Е.В. Мельник // Медико-экологические информационные технологии-2005: сб. матер. VIII Междунар. науч.-техн. конф. / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2005. С. 161-162.

7. Мельник, Е.В. Метод интерполирования и интегрирования таблично заданной функции одной переменной: сопоставительный анализ [Текст] / Е.В. Мельник, В.М. Довгаль // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий: сб. матер. VI Всероссийской науч.-техн. конф. Улан-Уде, 2005. С. 83-86.

8. Мельник, Е.В. Применение метода интерполирования и интегрирования таблично заданной функции одной переменной с использованием эконометрических данных [Текст] / Е.В. Мельник // Материалы и упрочняющие технологии - 2005: сб. матер. XII Российской науч.-техн. конф. (15-16 ноября 2005 г.)/ Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2005. С. 200-204.

9. Программа аппроксимации и интегрирования таблично заданной функции одной переменной с использованием детерминированных хаотических отображений [Текст]: свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006611513 / Мельник Е.В., Довгаль В.М.; правообладатель ГОУ ВПО «Курск, гос. техн. ун-т» (RU). №2006611186; заявл. 10.04.06; зарег. 5.05.06.29 с.

В работах, написанных в соавторстве, лично соискателем разработаны способы и алгоритмы для реализации способов проверки адекватности теоретических последовательностей, аппроксимации и интегрирования функций одной переменной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена важная научно-техническая задача по созданию средств обработки эконометрических и социометрических данных, отражающих поведение объектов управления, и созданию нового класса алгоритмических и программных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной. Получены следующие результаты:

1. Разработан концептуальный базис диссертационного исследования iff на основе положений функционального математического анализа, теории хаотических систем, теоретического программирования и теории проектирования информационных систем.

2. Впервые разработан и алгоритмизирован новый метод аппроксимации функций одной переменной. Отличие метода заключается в том, что для снижения погрешности аппроксимации и уменьшения числа узлов интерполяции впервые использованы детерминированные хаотические дискретные отображения, используемые в качестве «аналитической памяти». Созданный алгоритм аппроксимации по затратам времени имеет преимущество до 7 раз по отношению к алгоритму, реализующему метод наименьших квадратов, а по числу выполняемых операций - до 6 раз.

3. Впервые в рамках метода аппроксимации созданы алгоритмические модели сжатия и восстановления, которые позволяют осуществлять сжатие с потерями числовой информации, представленной таблично заданной функциональной зависимостью одной переменной, при этом погрешность является регулируемой величиной. Разработанные модели позволили достигнуть сокращения затрат памяти для рассматриваемых классов функций по сравнению с известными методами сжатия и округления в 10 раз.

4. Разработан и алгоритмизирован новый метод интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей. Отличие разработанного метода заключается в использовании разработанного метода аппроксимации для приближения подынтегральной функции. Алгоритм интегрирования превосходит по скорости в 1,3 раза известные методы нахождения определенных интегралов (прямоугольников и трапеций).

5. Разработана компактная программная реализация алгоритмов на основе созданных алгоритмических средств для хранения и обработки функций одной переменной в системах управления социально-экономическими объектами. При аппроксимации и интегрировании обеспечивается вычисление с погрешностью до МО"9.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мельник, Екатерина Васильевна, 2006 год

1. Анфилатов, B.C. Системный анализ в управлении Текст.: учеб.пособие / B.C. Анфилатов, A.A. Емельянов, A.A. Кукушкин; под ред.

2. A.A. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2002. 368 с.

3. Эконометрика Текст.: учебник / под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003. 344 с.

4. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс Текст.: учебник для студентов вузов/ Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, A.A. Пересецкий. М.: Дело, 2005. 504 с.

5. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем Текст.: учеб. пособие / Е.В. Бережная. М.: Финансы и статистика, 2003. 368 с.

6. Дорозина, Е.Ю. Моделирование микроэкономики Текст.: учеб. пособие / Е.Ю. Дорозина. М.: Экзамен, 2003. 222 с.

7. Доугерти, К. Введение в эконометрику Текст. / К. Доугерти. М.: Инфра-М, 2001. 402 с.

8. Математика в экономике Текст.: учебник: в 2 ч. 4.1 / A.C. Солодовников, В.А. Бабайцев, A.B. Браилов, И.Г. Шандра. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2003. 384 с.

9. Математика в экономике Текст.: учебник: в 2 ч. 4.2 / A.C. Солодовников, В.А. Бабайцев, A.B. Браилов, И.Г. Шандра. 2-е изд., перераб и доп. М.: Финансы и статистика, 2003. 560 с.

10. Анурин, В.Ф. Динамическая социология Текст.: учеб. пособие /

11. B.Ф. Анурин. М.: Академический проект, 2003. 560 с.

12. Зинченко, Г.П. Социология управления Текст.: учеб. пособие для студентов вузов / Г.П. Зинченко. Ростов н/Д.: Феникс, 2004. 384 с.

13. Кравченко, А.И. Социология управления: фундаментальный курс Текст.: учеб. пособие / А.И. Кравченко, И.О. Тюрина. 2-е изд., испр. и доп. М.: Академический проект, 2005. 1136 с.

14. Ларионов, И.К. Социальная теория. Общие основы и особенности России Текст.: учеб. пособие / И.К. Ларионов. 2-е изд. М.: Дашков и К, 2005. 244 с.

15. Парсонс, Т. О социальных системах Текст./ Т. Парсонс; под ред. В.Ф. Чесноковой, С.А. Белановского. М.: Академический проект, 2002. 832 с.

16. Морено, Я.Л. Социометрия: экспериментальный метод и наука об обществе Текст./Я.Л. Морено. М.: Академия, 2004. 320 с.

17. Оптимальные методы вычислений и их применение к обработке информации Текст.: межвуз. сб. науч. тр./ Пензенский политехи, ин-т. Пенза: Из-во ППИ, 1991. 127 с.

18. Марчук, Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем Текст. / Г.И. Марчук. М.: Наука, 1992. 336 с.

19. Саркисян, С.А. Прогнозирование развития больших систем Текст. / С.А. Саркисян. М.: Статистика, 1975. 195 с.

20. Евланов, Л.Г. Контроль динамических систем Текст. / Л.Г. Ев-ланов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1979. 431 с.

21. Андрейчиков, A.B. Анализ, синтез, планирование решений в экономике Текст. / A.B. Андрейчиков. М.: Финансы и статистика, 2000.368 с.

22. Дубров, A.M. Многомерные статистические методы и основы эконометрики Текст.: учеб.-практич. пособие / A.M. Дубров, B.C. Мхита-рян, Л.И. Трошин. М.: МЭСМ, 1998. 107 с.

23. Евланов, Л.Г. Теория и практика принятия решений Текст. / Л.Г. Евланов. М.: Экономика, 1984. 176 с.

24. Хомяков, Д.М. Основы системного анализа Текст. / Д.М. Хомяков, П.М. Хомяков. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 1996. 107 с.

25. Роберте, Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам Текст./ Ф.С. Роберте; пер. с англ. A.M. Раппопорта, С.И. Травкина; под ред. А.И. Тей-мана. M.: Наука, 1986. 496 с.

26. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании Текст.: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. 2-е изд., испр. М.: Дело, 2001. 688 с.

27. Замков, 0.0. Математические методы в экономике Текст.: учебник / 0.0. Замков, A.B. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. 2-е изд. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во «Дело и Сервис», 1999. 368 с.

28. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы экономики Текст.: учебник для вузов / С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

29. Обучающиеся системы обработки информации и принятия решений Текст. / A.B. Лапко, C.B. Крохов, С.И. Ченцов, Л.А. Фельдман. Новосибирск: Наука, 1996. 284 с.

30. Лотов, A.B. Введение в экономико-математическое моделирование Текст.: учеб. пособие для инж.-экон. спец. вузов / A.B. Лотов; под ред. H.H. Моисеева. М.: Наука, 1984. 392 с.

31. Варфоломеев, В.И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем Текст.: учеб. пособие / В.И. Варфоломеев. М.: Финансы и статистика, 2000. 208 с.

32. Социология Текст.: учеб. пособие для студентов вузов / под ред.

33. A.Н. Елсукова. 5-е изд. Минск: ТетраСистемс, 2004. 544 с.

34. Радаев, В.В. Эконометрическая социология Текст.: учеб. пособие /

35. B.В. Радаев. М.: ГУ ВШЭ, 2005. 603 с.

36. Анурин, В.Ф. Эмпирическая социология Текст.: учеб. пособие для вузов / В.Ф. Анурин. М.: Академический Проект, 2003. 832 с.

37. Социальная информатика: основания, методы, перспективы: Текст.: монография / Институт системного анализа Российской академии наук; Институт социальной информации, информационных процессов и технологий. М.: Едиториал УРСС, 2003. 216 с.

38. Конушин, А. Устойчивые алгоритмы оценки параметров модели на основе случайных выборок Электронный ресурс. / А. Конушин // Графика и мультимедиа: Он-лайн журнал. Вып. 1. http://cgm.graphicon.ru:8080/ issue 1/algorithmes/index.html.

39. Турчак, JI.И. Основы численных методов Текст.: учеб. пособие / Л.И. Турчак. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 320 с.

40. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст.: учеб. пособие / И.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельников. 2-е изд. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 362 с.

41. Волков, Е.А.Численные методы Текст. / Е.А. Волков. М.: Наука, 1982. 254 с.

42. Кошев, А.И. Численные методы и методы оптимизации Текст.: учеб. пособие/ А.Н. Кошев, В.В. Кузина. Пенза: ПГУАС, 2004. 136 с.

43. Бабенко, К.И. Основы численного анализа Текст. / К.И. Бабенко. 2-е изд. испр. и доп. М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2002. 847 с.

44. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения Текст. / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. М.: Наука, 1967. 368 с.

45. Амосов, A.A. Вычислительные методы для инженеров Текст.: учеб. пособие для втузов/ A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. М.: Высш. шк., 1994. 543 с.

46. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов [и др.]. М.: Наука, 1987. 598 с.

47. Варга, Ричард С. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе Текст. / Варга, С. Ричард. М.: Мир, 1974. 126 с.

48. Сизиков, B.C. Математические методы обработки результатов измерений Текст.: учебник для вузов / B.C. Сизиков. СПб.: Политехника, 2001.240 с.

49. Хемминг, Р.В. Численные методы Текст. / Р.В. Хемминг. М.: Наука, 1972. 400 с.

50. Дегтярева, A. Line fitting, или методы аппроксимации набора точек прямой Электронный ресурс. / А. Дегтярева, В. Вежневец // Графика и мультимедиа: Он-лайн журнал. Вып. 1. http://cgm.graphicon.ru:8080/ is-sue2/linefitting/index.html.

51. Дегтярева, А. Преобразование Хафа Электронный ресурс. / А. Дегтярева, В. Вежневец // Графика и мультимедиа: Он-лайн журнал. Вып. 1. http://cgm.graphicon.ru:8080/issuel/hough/index.html.

52. Математические модели и оптимизация вычислительных алгоритмов Текст.: сб. тр. вычисл. математики и кибернетики МГУ/ под ред. А.Н. Тихонова, A.A. Самараского. М.: Изд.-во МГУ, 1993. 254 с.

53. Вершинин, В.В. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания Текст./ В.В. Вершинин, Ю.С. Завьялов, H.H. Павлов; АН СССР, Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск: Наука, 1988. 102 с.

54. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций Текст./ Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, B.JI. Мирошниченко; под ред. H.H. Яненко. М.: Наука, 1980.352 с.

55. Крылов, В.И. Начала теории вычислительных методов: интерполирование и интегрирование Текст./ В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырский. Минск: Наука и техника, 1983. 287 с.

56. Самарский, A.A. Математическое моделирование Текст. / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. 2-е изд. испр. М.: Физмалит, 2001. 317 с.

57. Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование Текст.: учеб. пособие для втузов / Ю.П. Боглаев. М.: Высш. шк., 1990. 543 с.

58. Арапов, Д. Пишем упаковщик Текст. / Д. Арапов // Монитор. 1993. № 1.С. 16-26.

59. Буяновский, Г. Ассоциативное кодирование Текст. / Г. Буянов-ский // Монитор. 1994. №8. С. 10-22.

60. Глушков, В.М. Кибернетика. Вопросы теории и практики Текст. / В.М. Глушков. М.: Наука, 1986.486с.

61. Huffman, D.A. A method for the construction of minimum-redundancy codes Text. / D.A. Huffman // Proc. Inst. Electr. Radio Eng. 40, 9 (Sept. 1952). P. 1098-1101.

62. Rubin, F. Arithmetic stream coding using fixed precision registers Text. / F. Rubin // IEEE Trans. Inf. Theory IT-25, 6 (Nov. 1979). P. 672-675.

63. Storer, J.A. Data compression via textual substitution Text. / J.A. Storer, T.G. Szymanski //Journal of the ACM 29,4 (Oct. 1982). P. 928-951.

64. Ziv, J. A universal algorithm for sequential data compression Text. / J. Ziv, A. Lempel // IEEE Trans. Inf. Theory IT-23, 3 (1977). P. 337-343.

65. Golomb, S.W. Run-length encoding Text. / S.W. Golomb // IEEE Tr. Inf. Theory IT-12, (1966). P. 399-401.

66. Gallager, R.G. Variations on the theme by Huffman Text. / R.G. Gallager // IEEE Trans. Inf. Theory IT-24, 6 (Nov. 1978). P. 668-674.

67. Fiala, E.R. Data compression with finite windows Text. / E.R. Fiala, D.H. Greene // CACM-32,4 (1989). P. 490-505.

68. Ziv, J., and Lempel, A. Compression of individual sequences via variable-rate coding Text. / J. Ziv, A. Lempel. // IEEE Trans. Inf. Theory IT-24, 5 (Sept. 1978). P. 530-536.

69. A technique for high-perfomance data compression Text. / T.A. Welch // IEEE Comput. 17,6 (June 1984). P. 8-19.

70. Андреев, А.Ю. Компьютерное моделирование исторических процессов Электронный ресурс./ А.Ю. Андреев, Л.И. Бородкин // Нелинейная модель стачечного движения: анализ эффектов самоорганизации. http://aik.org.ru/modules/wfsection/ images/krug/8/434-489.pdf

71. Довгаль, В.М. Концепция и методология анализа и обработки случайно-подобных (хаотических) процессов в компьютерных сетях Текст. Ч. 1. / В.М. Довгаль, И.С. Захаров // Телекоммуникации. 2004. №8.С.2-7.

72. Томпсон, Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике Текст. / Дж.М.Т. Томпсон. М.: Мир, 1985. 254 с.

73. Хенон, М. Двумерное отображение со странным аттрактором Текст./ М. Хенон // Странные аттракторы/ под ред. Я.Г. Синая и О.П. Шильникова. М.: Мир, 1981. С. 152-163.

74. Табор, М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике Текст. / М. Табор. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 320 с.

75. Хаос Текст. / Дж. Кратчфилд, Дж. Фармер, Н. Паккард, Р. Шоу // В мире науки. 1987. №2. С. 16-28.

76. Анищенко, B.C. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы Текст. / B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, В.В. Астахов. Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. 368 с.

77. Ланда, П.С. Нелинейные колебания и волны Текст. / П.С. Ланда. М.: Наука, 1997. 496 с.

78. Мун, Ф. Хаотические колебания Текст. / Ф. Мун. М.: Мир, 1990.528 с.

79. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам Текст. / Д.А. Грибков, В.В. Грибкова, Ю.А. Кравцов, Ю.И. Кузнецов, А.Г. Ржаков // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39, №2. С. 269-278.

80. Кузнецов, А.П. Особенности перехода к хаосу нелинейных систем, описываемых одномерными двухпараметрическими отображениями Текст. / А.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39, №2. С.439-446.

81. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая Текст. / М. Шредер. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. 528 с.

82. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах Текст. / B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова, А.Б. Нейман, Г.И. Стрелкова, JT. Шиманский-Гайер. М.- Ижевск: Институт компьтерных исследований, 2003. 544 с.

83. Анищенко, B.C. Сложные колебания в простых системах Текст. / B.C. Анищенко. М.: Наука, 1990. 310 с.

84. Бланк, M.JI. Устойчивость и локализация в хаотической динамике Текст. / М.Л. Бланк. М.: МЦНМО, 2001. 351 с.

85. Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика Текст. / А. Лихтенберг, М. Либерман. М.: Мир, 1984. 528 с.

86. Иванов, М.А. Криптографические методы защиты информации в компьютерных системах и сетях Текст. / М.А. Иванов. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2001.368 с.