Методы геометрии дифференциальных уравнений в анализе интегрируемых моделей теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Киселёв, Артемий Владимирович

• Киселёв, Артемий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Киселёв, Артемий Владимирович

Введение

Глава I. Законы сохранения и нётеровы симметрии уравнений

1. Об уравнении Тоды: обзор литературы

2. Нётеровы симметрии уравнений Тоды

3. Операторы рекурсии для уравнений Тоды

Глава II. Примеры вычислений

4. Бездисперсионное уравнение Тоды

5. Нелинейное уравнение Шрёдингера

Глава III. Иерархии Кортевега-де Фриза и уравнения Тоды

6. Аналоги модифицированного уравнения Кортевега-де

Фриза

7. О гамильтоновом формализме для уравнений Эйлера

8. О некоторых свойствах иерархий Кортевега-де Фриза

Глава IV. Преобразования Беклунда и представления нулевой кривизны

9. Преобразования Беклунда и их деформации

10. Об интегрировании преобразований Беклунда

11. Представления нулевой кривизны

Глава V. Алгебры Шлезингера-Сташефа и определители

Вронского

12. Алгебраическая теория

13. Ассоциативные алгебры Шлезингера-Сташефа

14. Построение вронскианов функций многих переменных:

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы геометрии дифференциальных уравнений в анализе интегрируемых моделей теории поля»

Уравнения Тоды ([41]) и, в частности, уравнения Тоды, ассоциированные с полупростыми алгебрами Ли ([34]), играют существенную роль в построении и анализе моделей современной конформной теории поля. Известны многочисленные приложения уравнений Тоды в теории гравитации ([46, 52]) и теории Янга-Миллса ([85]), в дифференциальной геометрии ([67, 75]), задачах классификации нелинейных уравнений в частных производных ([15]), установлена их связь с интегрируемыми динамическими системами ([11]), фробениусовыми многообразиями и структурами ассоциативных алгебр ([57]). В перечисленных выше областях математической физики непосредственно к уравнениям Тоды сводятся задачи изучения таких систем, как антиавтодуальные вакуумные уравнения Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса, структурные уравнения комплексных кривых в кэлеровых многообразиях, динамика инвариантов Лапласа дифференциальных уравнений, уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение \VDVV (\Vit-1еп-БукгааГ-Н. Уег1тс1е-Е. УегНпс1е) и т.д.

Алгебраический подход к изучению гиперболических уравнений Тоды иху = ехр(Я"и) был развит в работах А. Н. Лезнова и М. В. Савельева ([34]), В. Г. Дринфельда и В. В. Соколова ([И]), Б. А. Дубровина ([57]) и др., в которых уравнения Тоды интерпретированы как уравнения плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли (или их обобщениях) с матрицей Картана К. Известно, что такие уравнения, называемые уравнениями, ассоциированными с алгебрами Ли, точно интегрируемы ([34]); в фундаментальной работе [11] им были поставлены в соответствие интегрируемые иерархии Дринфельда-Соколова — аналоги бигамильтоновых уравнений Кортевега-де Фриза. Между тем, алгебраический подход не в полной мере учитывает геометрические свойства самих уравнений Тоды, например, такие как структура алгебры Ли нётеровых симметрий, наличие у этих уравнений операторов рекурсии и взаимосвязь допускаемых уравнениями Тоды законов сохранения с гамильтоновыми структурами для уравнений Кортевега-де Фриза. В частности, до настоящего времени не было известно, что перечисленные свойства уравнений Тоды сохраняются при переходе к значительно более общему случаю уравнений иху = ехр{Ки), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К — не обязательно матрицей Картана.

Мощным средством изучения алгебро-геометрических структур служат гомологические методы, развитые в работах И. С. Красильщика, В. В. Лычагина, А. М. Виноградова ([4, 82, 83, 108]) и их научных школ. В связи со значительными успехами методов геометрии дифференциальных уравнений было естественным применить их к исследованию уравнений Тоды.

Целью диссертационной работы является анализ геометрических свойств уравнений Тоды, построение на их основе новых интегрируемых систем и установление взаимосвязи между уравнениями Тоды и иными уравнениями математической физики.

В диссертации рассмотрены алгебро-геометрические свойства гиперболических уравнений Тоды иху — ехр(Ки), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К, построена иерархия аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза щ = иххх + и установлена её связь с иерархией уравнения Кортевега-де Фриза Tt = Тххх + ТТХ, получено описание групповых структур для без дисперсионных (2 + 1)-мерных уравнений Тоды иху = ехр(—uzz) и изучены геометрические свойства многокомпонентных систем = №хх + г/(|Ф|)Ф типа нелинейного уравнения Шрёдингера (мультисолитонных комплексов), также связанных с уравнениями Тоды. Использованный метод исследований состоит в систематическом применении методов геометрии дифференциальных уравнений при изучении перечисленных выше уравнений и структур на них.

Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, содержащих 14 разделов, выводов и списка литературы из 112 наименований. Формулируемые в работе леммы, теоремы, утверждения и следствия имеют сплошную нумерацию от 1 до 70.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Киселёв, Артемий Владимирович

127 Выводы

1. В работе приведено исчерпывающее описание нётеровых симме-трий гиперболических уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К общего положения; для матриц К специального вида указан структурный состав симметрий лагранжиана. Построен континуум операторов рекурсии для уравнений Тоды, причем как локальных, так и нелокальных, но генерирующих цепочки локальных симметрий.

2. Построены 5 классов решений бездисперсионных уравнений Тоды, инвариантные относительно некоторых подгрупп группы Ли симметрий, а также реконструированы 4 закона сохранения, соответствующие локальным нётеровым симметриям лагранжиана этого уравнения. Приведены законы сохранения для многокомпонентных аналогов нелинейного уравнения Шрёдингера.

3. Построена коммутативная иерархия 21 нётеровых симметрий уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К\ установлено соответствие между иерархией 21 и схемой Магри для иерархии 95 потенциального уравнения Кортеве-га-де Фриза деформаций тензора энергии-импульса для уравнений Тоды. Исследованы вопросы гамильтонова формализма для лагран-жевых гиперболических уравнений; показано, что элементы иерархии 21 гамильтоновы и имеют общие с иерархией гамильтонианы уравнения Кортевега-де Фриза.

4. Представления нулевой кривизны и преобразования Беклунда для уравнений Тоды — уравнений плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли — изучены с алгебро-геометрической точки зрения; исследованы свойства однопараметрических семейств преобразований Беклунда; реализован метод интегрирования преобразований Беклунда в нелокальных переменных.

5. Изучены свойства ассоциативных алгебр Шлезингера-Сташефа, представимых в дифференциальных операторах высших порядков; вычислены структурные константы и конформные размерности генераторов этих алгебр; также получено тождество, которому удовлетворяют определители Вронского. Указаны аналоги классической алгебры Вирасоро голоморфных векторных полей, образованные операторами высших порядков. Построены обобщения определителей Вронского, действующие на алгебре функций многих переменных и удовлетворяющие тождествам Якоби для алгебр Шлезингера-Сташефа

Полученные в диссертационной работе результаты опубликованы в работах автора [20]—[30] и [77]—[80]. Результаты работы могут быть полезны исследователям, работающим в МГУ им. М.В.Ломоносова, Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН и Институте программных систем РАН, специализирующимся в области конформной теории поля и в теории интегрируемых систем.

Благодарность. Автор выражает благодарность своему научному руководителю, профессору И. С. Красильщику, за постановку задачи, многочисленные обсуждения на всех этапах исследования и конструктивную критику. Кроме того, автор благодарен А. М. Вербовецкому и А. В. Овчинникову за существенные замечания и советы, а также А. А. Белавину, Р. Витоло, В. А. Головко, В. Г. Кацу, П. Керстену, Б. Г. Конопельченко, В. Г. Марихину, Ю. Д. Плетнеру, А. К. Погреб-кову, Б. Л. Фейгину, Е. В. Ферапонтову, А. Б. Шабату и всем участникам семинара по геометрии дифференциальных уравнений (НМУ) за полезные обсуждения. Также автор выражает благодарность профессорско-преподавательскому составу кафедры математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке стипендии Правительства Российской Федерации и гранта ШТАБ УБ 2001/2-33.

129

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Киселёв, Артемий Владимирович, 2004 год

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1979. — 432 с.

2. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск, Ижевская респ. ти-погр., 2000. — 400 с.

3. Боголюбов Н. И., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Физма-тлит, 1993. — 335 с.

4. Бочаров А. В., Вербовецкий А. М., Виноградов А. М. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Ред. А. М. Виноградов и И. С. Красильщик. — М.: Факториал, 1997. — 464 с.

5. Гельфанд И. М., Дорфман И. Я. Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры // Функц. анализ и его прилож. — 1979. — 13, т. — С. 13-30.

6. Гельфанд И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности // Функц. анализ и его приложения. — 1968. — 2, Ш. — С.92-93.

7. Головко В. А. О законах сохранения для систем Тоды / X Международная конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «ЛОМОНОСОВ-2003», секция «Физика». Сборник тезисов. — М.: МГУ. — 2003. — С. 53-55.

8. Головко В. А. О представлениях нулевой кривизны и преобразованиях Беклунда для уравнения Лиувилля / В сб.: Труды XXV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — М.: МГУ. — 2003. — С. 20-22.

9. Джумадильдаев А. С. Целочисленные и mod р-когомологии алгебры Ли W\ // Функц. анализ и его приложения. — 1988. — 22, т. — С. 226-228.

10. Дринфельд В. Г., Соколов В. В. Уравнения типа Кортевега-де Фриза и простые алгебры Ли // Докл. АН СССР — 1981. — 258, №1. — С. 11-16.

11. Дринфельд В. Г., Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега-де Фриза / Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 24. — М.: ВИНИТИ, 1984. — С. 81-180.

12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979. — 760 с.

13. Жибер А. В. Уравнения n-волн и система нелинейных уравнений Шредингера с групповой точки зрения // ТМФ. — 1982. — 52, т. — С. 405-413.

14. Жибер А. В., Шабат А. Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Докл. АН СССР. — 1979. — 247, №5. — С. 1103-1107.

15. Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. — 56, №1. — 2001. — С. 63-106.

16. Зограф П.Г., Тахтаджян JI.A. Об уравнении Лиувилля, акцессорных параметрах и геометрии пространства Тейхмюллера для ри-мановых поверхностей рода 0 // Матем. сб. — 1987. — 132(174), №. — С. 147-166.

17. Ибрагимов Н.Х., Шабат A.B. Уравнение Кортевега-де Фриза с групповой точки зрения // Докл. АН СССР. — 1979. — 244, №1. — С. 57-61.

18. Ибрагимов Н.Х., Шабат A.B. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда // Функц. анализ и его приложения. — 1980. — 14, №1. — С. 25-36.

19. Касымов Ш. М. Сопряженность подалгебр Картана в п-лиевых алгебрах // Доклады РАН. — 1996. — 345, №1. — С. 15-18.

20. Киселёв А. В. Законы сохранения эллиптических систем Тоды, ассоциированных с алгебрами Ли Л2, В2, С2, Д2, G2 / В сб.: XXII Конференция молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — 2000. — М.: МГУ. — С. 70-73.

21. Киселев А. В. Классические законы сохранения для эллиптического уравнения Лиувилля // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия.2000. — Вып. 6 (2000). — С. 11 13.

22. Киселев А. В.: Об n-арных обобщениях алгебры Ли з1г(к) / В сб.: Труды XXIV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — М.: МГУ. — 2002. — С. 78-81.

23. Киселёв А. В. Об автопреобразовании Беклунда для уравнения Лиувилля // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. — Вып. 6 (2002). — С. 22-26.

24. Киселёв А. В. О некоторых свойствах оператора рекурсии для уравнения Лиувилля / В сб.: Труды XXV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — 2003. — М.: МГУ. — С. 74-77.

25. Киселёв А. В. Применение методов геометрии дифференциальных уравнений в решении краевых задач // Математика и её приложения. — 2004. — 1, №1. — С. 59-68.

26. Киселёв А. В. О непрерывном аналоге двумерных систем Тоды // Математика и её приложения. — 2004. — 1, №1. — С. 69-74.

27. Киселев А. В. Об уравнениях Кортевега-де Фриза, ассоциированных с системами Тоды. Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004, №412-В2004, 86 с.

28. Киселев А. В. Об ассоциативных алгебрах Шлезингера-Сташефа и определителях Вронского. Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004, №413-В2004, 30 с.

29. Лезнов А. Н. О полной интегрируемости одной нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных вдвумерном пространстве // ТМФ. — 1980. — 42, №3. — С. 343349.

30. Лезнов А. Н., Савельев М. В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. — М., 1985. — 278 с.

31. Лезнов А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // ТМФ. — 1982. — 51, №1. — С. 10-21.

32. Мешков А. Г. Симметрии скалярных полей. III. Двумерные интегрируемые модели // ТМФ. — 1985. — 63, №3. — С. 323-332.

33. Джет Неструев Гладкие многообразия и наблюдаемые. — М.: МЦНМО, 2000. — 300 с.

34. Овчинников А. В. Системы Тоды, ассоциированные с алгебрами Ли, и W-алгебра в некоторых задачах математической физики. Дисс. к.ф.-м.н. — 1996. — М.: МГУ. — 96 с.

35. Поляков А. М. Калибровочные поля и струны. — Ижевск: Изд. «Удмуртский университет», 1999. — 312 с.

36. Савельев М. В. О проблеме интегрируемости непрерывной системы Тоды // ТМФ. — 1992. — 92, №3. — С. 457-465.

37. Toda M. Теория нелинейных решеток. — М., 1984. — 264 с.

38. Филиппов В. Т. О лиевых п-алгебрах // Сиб. матем. журн. — 1985. — 24. — С. 126-140.

39. Хоръкова Н. Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии // Матем. заметки. — 1988. — 44, №1. — С. 134-144.

40. Шабат А. В., Ямилов Р. И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана. — Препринт. Уфа, Башкир, филиал АН СССР. 1981. — 22 с.

41. Akhmediev N., Ankiewicz A. Multi-soliton complexes // Chaos. — 2000. — 10, т. — С. 600-612.

42. Barnich G., Brandt F., Henneaux M. Local BRST cohomology in the antifield formalism: I. General theorems. Commun. Math. Phys. — 1995. — 174. — C. 57-92.

43. Barnich G., Fulp R., Lada T., Stasheff J. The sh Lie structure of Poisson brackets in Field Theory // Commun. Math. Phys. — 1998. — 191. — C. 585-601.

44. Bilal A., Gervais J.-L. Extended C = oo conformal systems from classical Toda field theories // Nucl. Phys. B. — 1989. — 314, №3. — C. 646-686.

45. Bilal A., Gervais J.-L. Systematic construction of conformal theories with higher-spin Virasoro symmetries // Nucl. Phys. B. — 1989. — 318, №. — C. 579-630.

46. Boyer C. P., Finley J. D. Killing vectors in self-dual Euclidean Einstein spaces // J. Math. Phys. — 1982. — 23. — C. 1126-1130.

47. Boyer C. P, Plebanski J. F. An infinite hierarchy of conservation laws and nonlinear superposition principles for self-dual Einstein spaces // J. Math. Phys. — 1985. — 26, №2. — C. 229-234.

48. Brandt F. Backlund transformations and zero curvature representations of systems of partial differential equations //J. Math. Phys. — 1994. — 35. — C. 2463-2484.

49. Bullough R. K., Dodd R. K. Backlund transformations for the sine-Gordon equations // Proc. Roy. Soc., London. — 1076. — A351, №1667. — C. 499-523.

50. Bullough R. K., Dodd, R. K. Polynomial conserved densities for the sine-Gordon equations // Proc. Roy. Soc. London. — 1977. — A352. — C. 481-503.

51. Carlet G., Dubrovin B., Zhang Y. The extended Toda hierarchy. arXiv:nlin.SI/0306060.

52. Case K. M., Roos A. M Sine-Gordon and modified Korteweg-de Vries charges //J. Math. Phys. — 1982. — 23, №3. — C. 392-395.

53. Cieslinski J. A generalized formula for integrable classes of surfaces in Lie algebras // J. Math. Phys. — 1997. — 38, №8. — C. 4255-4272.

54. Dorfman I. Dirac structures and integrability of nonlinear evolution equations. Nonlinear Science: Theory and Applications. — John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1993. — 176 c.

55. Dunajski M., Mason L. J. Hyper-Kahler hierarchies and their twistor theory // Commun. Math. Phys. — 2000. — 213. — C. 641-672.

56. Dzhumadil'daev A. S. Wronskians as n-Lie multiplications. Preprint arXiv: math. RA/0202043, 5 Feb 2002.

57. Dzhumadil'daev A. S. iV-commutators of vector fields. Preprint arXiv: math.RA/0203036, 18 Mar 2002.

58. Feher L., O'Raifeartaigh L., Ruelle P., Tsutsui I., Wipf A. On Hamiltonian reductions of the Wess-Zumino-Novikov-Witten theories //Phys. Rep. — 1992. — 222, №1. — C. 1-64.

59. Gervais J.-L., Matsuo Y. W-geometries // Phys. Letters. — 1992. — B274. — C. 309-316.

60. Gervais J.-L., Matsuo Y. Classical W-geometries // Commun. Math. Phys. — 1993. — 152. — C. 317-368.

61. Gervais J.-L., Saveliev M. V. W-geometry of the Toda systems associated with non-exceptional Lie algebras // Commun. Math. Phys. — 1996. — 180, №2. — C. 265-296.

62. Geurts M. L., Martini R., Post G. F. Symmetries of the WDVV equation // Acta Appl. Math. — 2002. — 72, №1-2. — C. 67-75.

63. Gusyatnikova V. N., Samokhin A. V., Titov V. S. et al. Symmetries and conservation laws of Kadomtsev-Pogutse equations // Acta Appl. Math. — 1989. — 15, №1. — C. 23-64.

64. Hanlon P., Wachs M. L. On Lie A;-algebras // Adv. in Math. — 1995. — 113. — C. 206-236.

65. Igonin S., Krasil'shchik /. S. On one-parametric families of Backlund transformations // Advanced Studies in Pure Mathematics. — 2003. — 37. — C. 99-114.

66. Kac V. G., Raina A. K. Bombai lectures on highest wieght representation of infinite dimensional Lie algebras. — Singapore etc.: World Scientific, 1987. — ix, 145 c.

67. Kaliappan P., Lakshmanan M. Connection between the infinite sequence of Lie-Backlund symmetries of the Korteweg-de Vries and sine-Gordon equations // J. Math. Phys. — 1982. — 23, №3. C. 456-459.

68. Kassel Ch. Quantum groups. — Springer-Verlag, 1995.

69. Kazdan J. L., Warner F. W. Curvature functions for open 2-manifolds // Ann. Math., (2). — 1974. — 99, №2. — C. 203-219.

70. Kersten P., Krasil'shchik I., Verbovetsky A. Hamiltonian operators and ¿'-coverings. — 2002. — Preprint DIPS-6/2002. — 25 c.

71. Kiselev A. V. On n-ary generalizations of the Lie algebra sl^Ik). —2002. — Preprint DIPS-2/2002. — 14 c.

72. Kiselev A. V Bâcklund transformations for the Liouville equation provide nonlocal variables and nonlocal structures. — 2002. Preprint DIPS-5/2002. — 9 c.

73. Kiselev A. V. On the geometry of Liouville equation: symmetries, conservation laws, and Bâcklund transformations // Acta Appl. Math. — 2002. — 72, №1-2. — C. 33-49.

74. Kiselev A. V. On the conservation laws for the Toda equations. —2003. — Preprint №8/2003, Dipartimento di Matematica 'Ennio De Giorgi', Università degli Studi di Lecce, Italy. — 9 c.

75. Krasil'shchik I. A simple method to prove locality of symmetry hierarchies. — 2002. — Preprint DIPS-9/2002. — 4 c.

76. Krasil'shchik I. S.f Kersten P. H. M. Symmetries and recursion operators for classical and supersymmetric differential equations. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht etc., 2000. — 380 c.

77. Krasil'shchik J., Verbovetsky A. Homological methods in equations of mathematical physics, Advanced Texts in Mathematics. — Open Education and Sciences, Opava, 1998. — 150 c.

78. Lada T., Stasheff J. D. Introduction to sh Lie algebras for physicists // Int. J. Theor. Phys. — 1993. — 32. — C. 1087-1103.

79. Leznov A. N., Saveliev M. V. Spherically symmetric equations in gauge theories for an arbitrary semisimple compact Lie group // Phys. Lett. B. — 1978. — 79, №3. — C. 294-296.

80. Liouville J. Sur l'équation aux differences partielles d2 log X/du dv ± A/(2a2) = 0 // J. de math, pure et appliquée. — 1853. — 18, №1. — C. 71-72.

81. Magri F. A simple model of the integrable equation //J. Math. Phys. — 1978. — 19, №5. — C. 1156-1162.

82. Martina L., Sheftel M. B., Winternitz P. Group foliation and noninvariant solutions of the heavenly equation // J. Phys. A: Math. Gen. — 2001. — 34. — C. 9243-9263.

83. Marvan M. Jets. A software for diferential calculus on jet spaces and diffieties, ver. 4.9 (December 2003) for Maple V Release 4. — Opa-va. — 1997. Internet: http://diffiety.ac.ru/soft/soft.htm.

84. Marvan M. On the horizontal gauge cohomology and nonremovability of the spectral parameter // Acta Appl. Math. — 2002. — 72, №12. — C.51-65.

85. Marvan M. Another look on recursion operators / Proc. Conf. Differential Geometry and Applications. — 1995. — Masaryk Univ., Brno, Czech Republic. — C. 393-402.

86. Michor P., Vinogradov A. M. n-ary Lie and associative algebras // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. —1996. — 53, №4. — C. 373-392.

87. Miura R. M. Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. // J. Math. Phys. — 1968. — 9, №8. — C. 1202-1204.

88. Nambu Y. Generalized Hamiltonian dynamics // Phys. Rev. D. — 1973. — 7. — C. 2405-2412.

89. Ovchinnikov A. Toda systems and W-algebras / Proc. 1st Nonorthodox School on Nonlinearity and Geometry. Ed. D. Wojcik, J. Cieslinski. — Polish Sc. Publ. PWN, Warsawa, 1998. — C. 348-358.

90. Poincare H. Les fonctions fuchsiennes et l'equation Au = exp(u) // J. math, pures et appl., 5e ser. — 1898. — №4. — C. 157-230.

91. Razumov A. V., Saveliev M. V. Lie algebras, geometry, and Toda-type systems. Cambridge Lecture Notes in Physics 8. — Cambridge Univ. Press, 1997. — 327 c.

92. Rogers C., Shadwick W. F. Backlund transformations and their applications. — NY etc.: Academic press, 1982. — 334 c.

93. Sahoo D., Valsakumar M. C. Nambu mechanics and its quantization // Phys. Rev. A. — 1992. — 46. — C. 4410-4412.

94. Schlessinger M., Stasheff J. D. The Lie algebra structure of tangent cohomology and deformation theory //J. Pure Appl. Algebra. — 1985. — 38, №2-3. — C. 313-322.

95. Sakovich S. Yu. On special Backlund autotransformations // J. Phys. A: Math. Gen. — 1991. — 24. — C. 401-405.

96. Sakovich S. Yu. On conservation laws and zero-curvature representations of the Liouville equation //J. Phys. A: Math. Gen. — 1994. — 27. — C. L125-L129.

97. Saveliev M. V., Vershik A. M. On the continuous Lie algebras and the Cartan operators // Commun. Math. Phys. — 1989. — 126. — C. 367-381.

98. Shabat A. B. Higher symmetries of two-dimensional lattices // Phys. Lett. A. — 1995. — 200. — C. 121-133.

99. Shadwick W. F. The Backlund problem for the equation d2z/dx1dx2 = f(z) U J. Math. Phys. — 1978. — 19, №11. — C. 2312-2317.

100. Sukhorukov A. A., Akhmediev N. N. Intensity limits for stationary and interacting multi-soliton complexes. — 2001. — Preprint arXiv:nlin.PS/0103026.

101. Takhtajan L. On foundations of generalized Nambu mechanics // Commun. Math. Phys. — 1994. — 160. — C. 295-315.

102. Vinogradov A. M. The C-spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws. I. The linear theory. II. The nonlinear theory // J. Math. Anal. Appl. — 1984. — 100, №1. — C. 1-129.

103. Vinogradov A., Vinogradov M. On multiple generalizations of Lie algebras and Poisson manifolds // Contemporary Mathematics Amer. Math. Soc. — 1998. — 219. — C. 273-287.

104. Wahlquist H. D., Estabrook F. B. Backlund transformation for solutions of the Korteweg-de Vries equation 11 Phys. Rev. Lett. — 1973. — 31, №23. — C. 1386-1390.

105. Wang J. P. Symmetries and conservation laws of evolution equations. — PhD thesis, Vrije Universiteit, Amsterdam, 1998. — 166 c.

106. Witten E. Some exact multipseudoparticle solutions of classical Yang-Mills theory // Phys. Rev. Lett. — 1977. — 38, №3. — C. 121124.