Методы аппроксимации в стохастических задачах управления и оценка качества субоптимальных алгоритмов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор технических наук Фетисов, Вячеслав Николаевич

• Фетисов, Вячеслав Николаевич
• доктор технических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор технических наук Фетисов, Вячеслав Николаевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

0.1. Разработка алгоритма управления и классические

методы аппроксимации

0.2. Актуальность тематики, цель и новизна результатов

работы

0.3. Основные виды упрощений задачи стохастического

управления

Глава 1. Оптимальное управление стохастическим объектом

1.1. Детерминированное управление

1.2. Метод динамического программирования

1.3. Задача управления марковским объектом

1.4. Примеры марковских задач управления

1.5. Задача управления по неполным'данным

1.6. Общая задача управления по неполным данным

1.7. Заключение

Глава 2. Субоптимальные методы стохастического

управления

2.0. О требованиях, предъявляемых к алгоритмам управления

2.1. Пример сравнения двух классических аппроксимирующих моделей

2.2. Аппроксимация нелинейностей

2.3. Аппроксимация гауссовским распределением

2.4. Аппроксимация детерминированной задачей управления

2.5. Замена стационарной последовательности независимой

Последовательностью

2.6. Принцип разделения

2.7. Конструирование регулятора

2.8. Методы стохастической оптимизации

2.9. Локально оптимальные алгоритмы управления

2.10. Квазиразомкнутые методы

2.11. Заключение

Глава 3. Строгий подход к построению субоптимального

алгоритма управления

3.1. Основные задачи

3.2. Неравенства для оценки качества аппроксимации

3.3. Использование статистического моделирования для оценки качества

3.4. Замена случайной величины ее математическим ожиданием

3.5. Аппроксимация плотности распределения

3.6. Аппроксимация линейной функцией

3.7. Линеаризация разрывной функции

3.8. Аппроксимация детерминированной задачей

3.9. Робастные аппроксимирующие управления

3.10. Заключение

Глава 4. Теория чувствительности в задачах

стохастического управления

4.1. Классическая теория чувствительности

4.2. Уравнение стохастической чувствительности

4.3. Характеристики чувствительности для некоторых законов распределения

4.4. Доказательство теоремы 4.2.1

4.5. Метод наименьших квадратов. Связь с Я"- критерием Фишера

4.6. Замена случайной величины ее математическим ожиданием

4.7. Практические рекомендации

4.8. Заключение

Глава 5. Аппроксимация случайного процесса марковским

5.1. О применении марковских процессов

5.2. Постановка задачи марковской аппроксимации

5.3. Разложение случайных последовательностей

5.4. Неравенства для оценки точности

5.5. Пример использования. Аппроксимация задачи управления

по неполным данным

5.6. Второй пример использования

5.7. Обобщение на бесконечный временной интервал

5.8. Заключение

Глава 6. Аппроксимация случайного процесса процессом

авторегрессии

6.1. Постановка задачи

6.2. Решение задачи

6.3. Упрощенный способ аппроксимации

6.4. Обобщение на бесконечный временной интервал

6.5. Аппроксимация объекта с распределенными парамтрами

6.6. Заключение

Глава 7. Аппроксимация оптимального прогноза

7.1. Прогноз в задачах управления

7.2. Пренебрежение случайными характеристиками в прогнозировании

7.3. Пример использования

7.4. Обобщение на непрерывное время

7.5. Заключение

Глава 8. Метод Монте-Карло в задачах стохастического

управления

8.1. О применении метода Монте-Карло на практике

8.2. Задача оценки длины выборки

8.3. Определения

8.4. Формулы для оценки длины выборки

8.5. Формулы для расчета е-энтропии

8.6. Пример использования

8.6. Заключение

Глава 9. Аппроксимация случайного процесса марковским для

непрерывного времени

9.0. Введение

9.1. Постановка задачи аппроксимации

9.2. Оценка потерь от аппроксимации

9.3. Дифференцируемые переходные вероятности

9.4. Пример из практики - случайный процесс с конечным числом состояний

9.5. Пример из практики - процесс, близкий к

диффузионному

9.6. Стохастическое уравнение чувствительности для непрерывного времени

9.7. Заключение

Глава 10. Алгоритм коррекции кислородно-конвертерной плавки

10.0. Введение

10.1. Модель задачи коррекции кислородной плавки

10.2. Требования к алгоритму коррекции

10.3. Алгоритм для линейной модели конвертерной плавки

10.4. Структура субоптимального алгоритма

10.5. Определение параметров кг и к2

10.6. Алгоритм для расчета высоты фурмы и веса охладителя

10.7. Итоговая оценка точности аппроксимации

10.8. Заключение

Основные выводй работы. Рекомендации по использованию научных

выводов

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы аппроксимации в стохастических задачах управления и оценка качества субоптимальных алгоритмов»

ВВЕДЕНИЕ

Проблема субоптимального управления объектами, существенно подверженными стохастическими воздействиями, является одной из центральных в современной теории управления. К таким объектам относятся производства с интенсивным ведением технологического процесса (ряд производств в черной металлургии, процессы легирования при выращивании монокристаллов, процессы в вакуумных дуговых печах при выплавке слитков из титановых сплавов и т.д.), задачи управления движущимися объектами при измерениях из космоса и т.д.. Как правило, эти объекты к тому же содержат существенные нелинейности, что делает часто разработку оптимального управления практически невозможным и разработчики систем управления прибегают к использованию упрощенных алгоритмов.

Подразумеваются следующие подходы к проблеме упрощения:

1. Не упрощая исходных математических моделей, найти структуру алгоритма управления, которая хотя и не может быть строго обоснована как близкая к оптимальной в математическом смысле, но тем не менее исходя из здравого смысла ее можно использовать без риска получить неудовлетворительное качество управления. Классические примеры - ПИ и ПИД регуляторы в задачах стабилизации.

2. Перейти к более простой модели объекта, для которой оптимальное управление может быть легко реализовано (желательно решение в аналитическом виде).

На практике находят применение оба подхода (часто используется их комбинация).

По поводу второго подхода следует сделать несколько замечаний.

Прежде всего следует заметить, что в практике разработки алгоритмов управления техническими системами следует выделять из общего технического объекта именно объект управления и не

рассматривать полное и точное математическое описание технической системы в целом. К примеру, для регулирования скорости вращения коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания совсем не нужно моделировать законы движения его впускных и выпускных клапанов ( законы движения клапанов практически не влияют на качество регулирования и их можно не включать в объект управления).

Поэтому в дальнейшем будет предполагаться, что объект управления правильно выделен из технической системы и в данном аспекте его упрощение невозможно. Более того, в дальнейшем не будут рассматриваться упрощения, законность которых очевидна. Например, для регулирования температуры в промышленном холодильнике его вовсе не следует рассматривать как объект с распределенными параметрами и моделировать распространение тепла в его корпусе с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Данный объект достаточно представить в виде апериодического звена второго порядка с запаздыванием.

Следующее замечание связано со способом получения упрощений модели объекта. Возможны два подхода. Первый -классический: перейти от некоторой исходной математической модели к более простой. Второй - получение простой математической модели непосредственно по выборке статистических данных, полученных на объекте (в практике разработки АСУ ТП второй подход встречается гораздо чаще). Эти подходы существенно отличаются по используемым математическим методам. В данной работе будут изучаться оба подхода.

И наконец, дадим самое важное замечание по отношению к эффекту, к которому может привести упрощение модели объекта: оптимальное управление для упрощенной модели может потерять ряд свойств присущих оптимальному управлению для исходной модели в плоть до потери устойчивости.

Обоснованные методы упрощений исходной модели управления в данной работе будут называться методами аппроксимации.

Начало интенсивных исследований проблемы создания как оптимальных так и субоптимальных алгоритмов управления стохастическими объектами приходится на 60-е годы. Значительный вклад в ее развитие внесли российские ученые: Фельдбаум A.A., Цыпкин Я.З., Пугачев B.C., Красовский A.A., Райбман Н.С., Стратонович P.JI. , Казаков И.Е., Черноусько Ф.Л. а также зарубежные ученые Беллман Р., Острем К., Бар Шалом Я., Ли Р., Флеминг У., Калман П.Е., Аоки М., Джакобс О., Патчелл И..

Теперь укажем на некоторые проблемы, возникающие при разработке субоптимальных алгоритмов управления.

0.1.Разработка алгоритма управления и классические методы аппроксимации

Методы аппроксимации получили развитие в основном благодаря необходимости представлять в аналитическом виде результаты физических экспериментов. На практике обычно эти методы применялись к функциям одного или (что было гораздо реже) нескольких аргументов. В случае нескольких аргументов исследователи часто упрощали задачу, применяя декомпозицию, и, тем самым, заменяя исходную задачу более простой.

Теория аппроксимации - это математическая наука, которая изучает способы преобразования информации сколь угодно большого объема, заложенной в понятие функциональной зависимости, в информацию конечного объема [74]. Знание методов классической теории аппроксимации очень полезно в практической работе с современными математическими моделями технологических процессов.

Ряд вопросов теории был изучен уже в работах Эйлера Л., Гаусса К.Ф., Вейерштрасса К. , но как самостоятельная математическая наука (а не область математического анализа) она становится после работ Чебышева П.Л..

Полноценный обзор классических методов аппроксимации с изложением основных идей теории приводится в справочной монографии Гутера P.C. и др.[25]. Там же можно найти обширную библиографию работ математиков по теории аппроксимации.

К методам аппроксимации обычно предъявляются следующие требования:

1. Обязательное наличие критерия качества аппроксимации, который отвечает требованиям практического использования результата работы.

2. Класс аппроксимирующих функций должен соответствовать особенностям исходной функции так, чтобы при заданной точности число параметров, определяющих упрощенную функцию, было близким к минимально возможному ( класс аппроксимирующих функций должен быть в определенном метрическом смысле близок к аппроксимируемой функции).

3. Множество аппроксимирующих функций должно содержать последовательность, сходящуюся к искомой функции в смысле заданного критерия.

4. Наличие простых неравенств, оценивающих погрешность аппроксимации при выборе аппроксимирующего класса функций.

Следует заметить, что задача получения неравенств, оценивающих качество аппроксимации для конкретной (известной) исходной функции не имеет смысла, поскольку ошибку в этом случае легко вычислить непосредственно.

Роль неравенств, используемых для оценки погрешности от упрощений, существенно повышается в задачах разработки численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, когда точное решение уравнения неизвестно. В случае задачи определения неизвестных функций ( хотя некоторые их характеристики могут считаются известными, в частности, заранее может быть известно сколько раз неизвестную функцию можно дифференцировать) разработан специальный математический аппарат для оценки погрешности

аппроксимации (табулирования) с помощью понятия е -энтропии.

Итак, использование неравенств уместно в случае, когда исходная функция нам неизвестна. Именно такие неравенства нужны для обоснования субоптимального алгоритма, поскольку сравнивается качество разрабатываемого алгоритма с оптимальным, который обычно нам неизвестен.

Существует ряд причин, из-за которых классические методы аппроксимации (в частности, численный подход к поиску решения) мало применимы при решении задач оптимального управления стохастической системой.

Одна из этих причин - многомерность, что вытекает из сути процедуры синтеза оптимального управления. Даже для задачи управления объектом с одним входом и одним выходом приходится решать функциональное уравнение Беллмана, а аппроксимация математической модели с одним выходом и п входами степенным

полиномом k-го порядка потребует определения пк неизвестных коэффициентов.

В монографии Немировского A.C., Юдина Д.Б.[4 9] сделан количественный анализ объема вычислений при использовании классических методов аппроксимации при решении задач оптимизации. В монографии Острема К., Виттенмарка Б. [51] рассмотрены вычислительные вопросы при использовании ЭВМ в управлении.

Казалось, что бурное развитие ЭВМ решит вычислительную проблему, но этого не произошло, поскольку в темпе с развитием ЭВМ расширялся и класс объектов, требующих качественного управления.

В случае стохастического объекта объем вычислений в задаче построения алгоритма управления значительно возрастает. Происходит это из-за того, что для определения стохастической модели требуется знать информацию гораздо большего объема, чем для детерминированной.

Покажем это на тривиальном примере. Пусть уравнение объекта имеет вид:

у = ах , (0.1.1)

где х - вход и у выход.

Здесь, чтобы определить объект, требуется задать всего одно число а .

Пусть, далее, объект описывается уравнением

у=ах+£ , (0.1.2)

где £ - случайная величина. Теперь, чтобы определить объект, требуется задать число а и функцию распределения случайной величины е, а это означает, что для стохастического объекта нужно определить бесконечное множество чисел.

В практике разработки алгоритмов управления для такой модели используются два важных ее свойства. Первое - в большинстве случаев распределение случайной величины, описывающей шум в техническом объекте, хорошо аппроксимируется гауссовским распределением, которое определяется всего двумя числами. Второе - статический управляемый объект является довольно грубым к неточностям в определении выходной величины. Поэтому, для такого объекта можно пренебречь случайной величиной £, заменив ее математическим ожиданием, и далее воспользоваться моделью (0.1.1).

Здесь уместно заметить, что в технических приложениях чисто детерминированных систем не существует, и разработчики алгоритмов управления обычно пренебрегают случайными факторами, когда эти факторы достаточно малы. Основанием для пренебрежения в этом случае является факт, что после практической реализации алгоритма наблюдается приемлемое качество управления.

На практике упрощают и гораздо более сложные объекты (когда правомерность упрощения не вполне очевидна), и пренебрегают не только случайными факторами: переходят

к линейной модели, снижают размерность объекта и т.д. Конечно, теперь проблема строгого обоснования упрощений в большинстве случаев становится и более актуальной и более сложной, чем в задачах аппроксимации обычных функций.

0.2. Актуальность тематики, цель и новизна результатов работы

Красовский A.A. в [42] указал на неудовлетворительное состояние науки управления и необходимость поиска эффективных подходов к решению проблем управления. Им же подчеркнута актуальность задач оптимального прогнозирования и использования метода Монте-Карло для поиска оптимальных решений в задачах управления.

Сложность самой проблемы стохастического управления и индивидуальные особенности каждого конкретного объекта не позволили к настоящему времени выработать единую методологию выбора тех или иных упрощений и тем более - единой методики построения субоптимального управления. Поэтому разработчикам алгоритмов часто приходится проводить громоздкие научно-исследовательские работы по созданию и обоснованию правомерности как упрощений так и самих алгоритмов.

Обычно для разработки алгоритма управления стохастическим объектом привлекается целый арсенал научных методов (см.рис.0.1, где центральные квадраты изображают этапы разработки, а квадраты с жирным контуром - научные дисциплины).

Рис.0.1. Арсенал научных методов для разработки

алгоритма управления стохастическим объектом.

Такая разработка алгоритма управления требует привлечения высококвалифицированных научных кадров, длительного периода разработки и существенных финансовых затрат. Поэтому проблема снижения трудностей в разработке, сокращение сроков, и тем самым снижение стоимости научных исследований, является крайне актуальной.

В работе Фетисова В.Н. [90] предложена новая концепция разработки субоптимальных алгоритмов для стохастических объектов с позиции строгой математической методологии.

Цель данной работы состоит в разработке методов аппроксимации, имеющих единую теоретическую базу и предназначенных для различных упрощений исходной модели объекта в задаче стохастического управления, а также создание эффективного математического аппарата для исследования правомерности выбора тех или иных упрощений исходной задачи.

Кроме того, целью настоящей работы является разработка тестов правомерности использования классических методов аппроксимации в смысле критерия качества управления.

Разрабатываемые методы аппроксимации должны приводить к задаче субоптимального управления имеющей либо аналитическое решение, либо легко реализуемое численное решение.

Для стохастического объекта следует уточнить выбор упрощений с целью не допустить разрушения свойств оптимального управления, таких как способность к адаптации, «осторожность» и «дуальность».

Субоптимальный алгоритм управления должен обладать всеми перечисленными выше свойствами, что определяет некоторую сложную структуру субоптимального алгоритма управления. Поэтому в работе уделено большое внимание методологическому аспекту, что в большой степени повлияло на стиль изложения и разбивку работы на главы.

Работа состоит из введения, 10-ти глав, основных выводов и списка литературы.

В 1-й главе дается обзор концепций формулировок задач управления стохастическим объектом. Элементарный характер изложения ни коем образом не снижает методологического значения содержания, поскольку без 1-й главы последующее содержание данной работы было бы мало понятно.

Во 2-й главе делается анализ наиболее распространенных подходов к построению субоптимальных алгоритмов управления стохастическим объектом и изучаются требования предъявляемые к разработке алгоритмов.

Основные результаты 2-й главы принадлежит автору данной работы (метод аппроксимации сглаженным скользящим средним, аппроксимация семейства распределений гауссовским и метод замены стационарной последовательности независимой стационарной последовательностью).

Результаты содержащиеся в главах с 3-й по 9-ю включительно полностью принадлежат автору и определяют по сути новую концепцию в изучении и реализации субоптимальных алгоритмов управления стохастическим объектом.

В 3-й главе формулируются критерии качества и доказываются новые критериальные неравенства для сравнений субоптимальных алгоритмов управлений с оптимальными и иллюстрируется их применение для наиболее распространенных аппроксимирующих моделей (в том числе и классических).

Указываются способы проверки на робастность аппроксимирующего алгоритма управления, в случае неудовлетворительных оценок точности аппроксимации. Указывается, что предложенные автором критериальные неравенства могут использоваться как аппарат выбора аппроксимирующих моделей для задачи управления.

В 4-й главе разрабатывается новая научная концепция -теория чувствительности стохастических систем, которая кроме традиционного качественного исследования поведения объекта, позволяет создавать критериальные неравенства для динамических задач управления. Указывается связь полученных критериальных неравенств с р" -критерием Фишера.

В 5-й главе формулируются и изучаются вопросы аппроксимации задачи управления марковской задачей. Здесь существенно используется математический аппарат, разработанный в 3-й и 4-й главах.

В б-й главе аппроксимация задачи управления марковской обобщается на процессы авторегрессии.

В 7-й главе изучается задача аппроксимации оптимального прогноза, поскольку математический прогноз часто является

составной частью алгоритма управления стохастическим объектом.

В 8-й главе даются оценки качества метода статистического моделирования (метода Монте-Карло) применительно к построению и определению качества субоптимального управления.

В 9-й главе формируется теория аппроксимации стохастической задачи управления марковской для непрерывного времени. Здесь же для непрерывного времени выводится стохастическое уравнение чувствительности.

Все результаты и новые методы, представленные в перечисленных выше главах иллюстрируются примерами из практики.

В 10-й главе дается описание внедренного в промышленность алгоритма, где автору принадлежат все упрощения исходной задачи управления. Данная глава служит примером одновременного практического использования основных результатов данной работы.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на ряде всесоюзных конференций и совещаний:

- на 6-м Всесоюзном Совещании по теории инвариантности, теории чувствительности и их применениям, Москва,1982,

- на 9-м Всесоюзном Совещании по проблемам управления, Ереван, 1983,

- на Всесоюзной конференции "Теория адаптивных систем и ее применения", Ленинград, 1984.

0.3. Основные подходы к упрощению задачи стохастического

управления

Перед тем как переходить к изложению содержательных глав данной работы, приведем диаграмму (рис. 0.2), иллюстрирующую различные подходы к упрощению задачи стохастического управления и таблицу свойств (включающую

свойства, полученные в данной работе) двух основных концепций упрощений задачи управления стохастическим объектом: сужение класса управляющих воздействий и упрощение математической модели.

Рис. 0.2. Основные подходы к упрощению стохастической задачи управления.

Таблица 0.1.

Свойства Сужение класса управлений Аппроксимация модели

Сохранение свойств Частично сохраняются Могут быть полностью утеряны (например, потеря устойчивости или робастной устойчивости)

Оценка потерь Отсутствует Аналитические оценки, Метод Монте-Карло

Способ решения Численные методы (метод Монте-Карло) Аналитические методы, Метод Монте-Карло

Примеры упрощений Линейный класс управляющих воздействий... Пренебрежение случайными факторами (например, переход к детерминированной модели), Линеаризация модели...

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Фетисов, Вячеслав Николаевич

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ РАБОТЫ. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ НАУЧНЫХ ВЫВОДОВ

В диссертации разработаны новые концепции исследования точности и создания субоптимальных алгоритмов управления для стохастического объекта. Совокупность полученных в работе результатов можно считать новым научным направлением в теории управления стохастическими системами.

Подход к построению алгоритмов управления, предложенный автором работы, позволяет более эффективно использовать метод статистических испытаний, а нередко и вовсе отказаться от емких численных методов, что может существенно снизить затраты и сократить как сроки разработки алгоритма так и сроки" всего проекта системы управления.

Разработанная автором диссертации теория чувствительности в задачах стохастического управления позволяет не только проводить анализ влияния стохастических факторов на выходную координату объекта управления, но и содержит математический аппарат для получения критериальных неравенств, оценивающих качество аппроксимации математической модели в задаче стохастического управления.

Автором предложено критериальное неравенство, позволяющее применять детерминированный прогноз в задаче стохастического управления с прогнозатором, что позволяет существенно снизить вычислительные затраты при управлении в темпе с функционированием управляемого объекта.

Установлена связь полученных некоторых критериальных неравенств с ^"—критерием Р. Фишера.

Указана связь между понятием «осторорожности» как свойством оптимальной стохастической системы с понятием робастности в теории управления детерминированными системами.

Предложенный автором метод аппроксимации задачи управления марковской задачей охватывает обширный класс задач управления и в случае практического использования существенно упрощает задачу построения алгоритма управления.

Полученные в диссертации новые результаты изложены в виде методик, направленных на практическое использование.

Все полученные результаты иллюстрируются практическими примерами.

На примере промышленного алгоритма коррекции кислородно-конверторной выплавки стали показано использование всего арсенала методов, представленных в работе.

Полученные результаты могут эффективно использоваться в разработках алгоритмов управления для объектов, существенно подверженными стохастическими воздействиями.

К таким объектам относятся производства с интенсивным ведением технологического процесса ( ряд производств в черной металлургии, процессы легирования при выращивании монокристаллов, процессы в вакуумных дуговых печах при выплавке слитков из титановых сплавов и т.д.), задачи управления движущимися объектами при измерениях из космоса и Т.д.

10.8. Заключение

Разработан субоптимальный алгоритм коррекции кослородно-конверторной плавки. Для его разработки привлечен весь арсенал методов, предложенных в предыдущих главах данной работы. Алгоритм внедрен на ряде металлургических комбинатов.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Фетисов, Вячеслав Николаевич, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев Н.И. Метод получения оценок числовых характеристик случайных величин, Автоматика и телемеханика, № 8, 1985,

с.47-50.

2. Аоки М. Оптимизация стохастических систем, "Наука", 1971.

3. Бар Шалом Я., Ци Э. Концепции и методы стохастического управления, в кн. «Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах», под ред. Леонидеса К.Т. Мир",1980.

4. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства, "Мир", 1965.

5. Беллман Р. Динамическое программирование, ИЛ, 1960.

6. Беседин A.A., Цыганков В.А. Субоптимальный алгоритм оптимизации статистического объекта в условиях помех, Известия АН СССР, "Техническая кибернетика", № 5, 1975, с.32-37.

7. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами, М., "Наука", 1973.

8. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, вып. 1,2. М., "Мир", 1974.

9. Борзенко И.М. Адаптация, прогнозирование и выбор решений в алгоритмах управления технологическими объектами. "Атом Энерго-издат", 1984.

10. Борзенко И.М., Петров А.Г. Математические методы для решения задач контроля и управления, «Машиностроение», 1973.

11. Бородюк В.П., Лецкий Э.К. Статистическое описание промышленных объектов, М., «Энергия», 1971.

12. Бубнов Ю.В., Фетисов В.Н., Шалашова В.П. Оценка величины смещения прогноза выходных координат технологического процесса. Идентификация и управление технологическими процессами. Сб. научных тр. ЦНИИКА, "Энергоиздат", 1982, с.22-24.

13. Бузник И.П., Ермаков В.А., Ицкович В.П., Фетисов В.Н., Чернова Т.Н. Модель оперативного планирования загрузки вакуумных дуговых печей при выплавке слитков из титановых сплавов, Технология легких сплавов: Научно-технический

бюллетень ВИЛС, 1983, №3, 72-78.

14. Вальд А. (Wald A.) Statistical decision function, J. Wiley, New-York, 1950. ( Русский перевод: Статистические решающие функции, в сб. "Позиционные игры", "Наука", 1967, р.300-322.

15. Вальд А., Волфовиц Дж. (Wald A., Wolfowitz J.) Bayes solutions of sequential decision problems, Ann. Math. Statist. 21, № 1,1950, p.82-99.

16. Вапник В.H. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным, М., «Наука», 1979.

17. Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов, Статистические проблемыобучения, М., "Наука", 1974.

18. Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования, М., Физматгиз, 1959.

19. Вонхем В.М.(Wonham W.M.) On the separation theorem of stochastic control, SIAM J. Control, 1968, v.6, № 2, p. 312-326.

20. Ворчик В.Г., Фетисов В.H., Штейнберг Ш.Е Идентификация стохастической замкнутой системы, Автоматика и телемеханика, № 7, 1973, с.41-45.

21. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов, Том 1, «Наука»,М, 1971.

22. Глушков В.М. Введение в АСУ, Киев, "Техника", 1974.

23. Гусак П.П. Верхняя оценка среднеквадратического критерия качества фильтрации в квазилинейных моделях с неполной информацией, Автоматика и Телемеханика, № 4, 1981, с.70-76.

24. Городецкий В.И., Захарин Ф.М., Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении, "Энергия", 1971.

25. Гутер П.С., Кудрявцев Л.Д., Левитан Б.М. Элементы теории функций (под ред. Ульянова П.Л.), "Физмат", 1963.

26. Дарховский B.C. Локально-оптимальная стабилизация при неполной информации, Автоматика и телемеханика, 1997, №4, с.144-154.

27. Дашевский M.Jl. Приближенный анализ точности нестационарных нелинейных систем методом семиинвариантов, Автоматика и телемеханика, № 11, 1967, с.62-78.

28. Дашевский М.Л. Техническая реализация моментно-семиинвариантного метода анализа случайных процессов, Автоматика и телемеханика, № 10, 1976, с.59-62.

29. Дашевский М.Л., Липцер Р.Ш. Применение условных семиинвариантов в задачах нелинейной фильтрации марковских процессов, Автоматика и телемеханика, № 6, 1967.

30. Джакобс О., Патчелл И.(Jacobs O.L.R., Patcheil I.W.) Caution and probing in Stochastic Control

Int.J.Control, 1972, vol.16, № 1, p.189-199.

31. Дынкин Е.Б., Юшкевич A.A. Управляемые марковские процессы и их приложения, М., "Наука", 1975.

32. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования, М., "Наука", 1976.

33. Живоглядов В.П. Автоматические системы с накоплением информации, Фрунзе, "Илим", 1966.

34. Ивахтенко А.Г., Лапа В.Г. Предсказания случайных процессов, "Наукова Думка", Киев, 1971.

35. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний, "Наука", 1975.

36. Казаков И.Е., Мальчиков C.B. Анализ стохастических систем в пространстве состояний, "Наука", 1983.

37. Калман P.E. (Kaiman R.E.)

1. A new approach to linear filtering and prediction problems, J. Basic Engeneer.,82D, № 1, 1960, p.35-44.

38. Кашьяп P.Л., Pao А. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным, М., «Наука», 1983.

39. Коган М.М., Неймарк Ю.И. Адаптивное локально-оптимальное управление, Автоматика и телемеханика, 1987, №8, 126-136.

40. Корнблюм Р.Дж., Трайбус М. (Kornblum R.J., Tribus M.) 1. The use of Bayesian inference in the Design of an

Endpoint control system for the Basic Oxygen Steel Furnace, IEEE transactions on system science and cybernetics, 1970, vol. 6, N.Y., p.339-347.

41. Колмогоров A.H. О некоторых ассимптотических характеристиках вполне ограниченных метрических пространств, ДАН 108, 2, 1956.

42. Красовский А.А. Некоторые актуальные проблемы науки управления, Известия РАН, Теория и системы управления, 1996, № 6.

43. Красовский А.А., Бурков В.Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами, М., "Наука", 1977.

44. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление, "Наука", М., 1966.

45. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов, "Наука", 1974.

46. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа, "Наука", 1965.

47. Мансур Э. ( Mansour Eslami ) Theory of sensitivity in dynamic systems. An introduction. Berlin, Springer Verlag, 1995.

48. Мера P.К., Уэллс K.X. (Mehra R.К.,Wells C.H.) Dynamic modeling and estimation of carbon in a basic

oxygen furnace "11-ht joint Automat. Control Conf.", Atlanta, Cal., 1970,N.Y., p.7-18.

49. Немировский А.С., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации, М, «Наука», 197 9.

50. Норкин К.Б. Приложение теории среднеквадратических приближений к линейным самонастраивающимся моделям, Автоматика и телемеханика, т.26, № 7, 1965, с.23-28.

51. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ, М., «Мир», 1987.

52. Первозванский А.А., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация, М., "Наука", 1979.

53. Перельман И. И. Оперативная идентификация объектов управления, "Энергоиздат", 1982.

54. Петров А.Г., Стукова JI.C., Фетисов В.Н., Хасин A.B. Простой алгоритм коррекции кислородно-конвертерной плавки, Проектирование математического и программного обеспечения АСУ ТП, Сб. научн. тр. ЦНИИКА, "Энергоиздат", 1981.

55. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию, "Наука", 1983.

56. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Вероятностный подход к робастной устойчивости систем с запаздыванием, Автоматика и Телемеханика, № 12, 1996.

57. Пропой А.И. О принципе максимума для дискретных систем управления, Автоматика и телемеханика, т.26, № 7, 1965.

58. Прохоров Ю.В. Одна экстремальная задача теории вероятностей, Теория вероятностей и ее применения, 1959, 4, №2, 211-214.

59. Пугачев B.C. Теория случайных функций, Физматгиз, 1960.

60. Пугачев B.C. Приближенное исследование стохастических систем методом нормализации, Автоматика и телемеханика, № 5, 1974.

61. Пугачев B.C. Условно оптимальная фильтрация и экстраполяция непрерывных процессов, Автоматика и телемеханика, № 2, 1984 .

62. Райбман Н.С. Идентификация объектов управления (обзор), Автоматика и телемеханика, № 6, 1979.

63. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства, М, «Энергия», 1975.

64. Распопов Б.М. Влияние отклонения начального состояния управляемой системы от расчетного на эффективность оптимизации, Автоматика и телемеханика, № 3, 1972.

65. Распопов Б.М. Оценка эффективности управления по упрощенной модели объекта, Фрунзе, "Илим", 1976.

66. Рубинович Е.Я. Обобщенная линейно-квадратичная стохастическая задача управления по неполным данным,

Автоматика и телемеханика, 1997, № 7.

67. Сарагович В.Г. Теория адаптивных систем, М., «Наука», 1976.

68. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления, "Наука", 1980.

69. Симарзин В.В., Борзенко И.М., Рабинович Е.А., Серебрянский А.Я. Субоптимальные алгоритмы управления процессом каталитического крекинга, "Вопросы промышленной кибернетики".(Труды ЦНИИКА), № 5, 1978.

70. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло, "Наука", 1973.

71. Соляник А.И., Черноусько Ф.Л. Приближенный метод синтеза оптимального управления системой, подверженной случайным возмущениям, ПММ, т.36, вып.5, 1972.

72. Соренсон Г. Обзор методов фильтрации и стохастического управления в динамических системах, в кн. "Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах", под ред. Леонидеса К.Т., "Мир", 1980.

73. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и

их применение к теории оптимального управления, Изд-во МГУ, 1966.

74. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений, Изд-во МГУ, 1976.

75. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач, М., «Наука», 1974.

76. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем, "Наука", 1966.

77. Фетисов В.Н. К задаче управления объектом с неизвестным

параметром, Автоматика и телемеханика, № 8, 1973, с.64-67.

78. Фетисов В.Н. Неравенство к методу Монте-Карло, Теория вероятностей и ее прим.,т.19, № 1, 1974, с.224-226.

79. Фетисов В.Н. Оценка длины выборки при решении экстремальных задач методом Монте-Карло. Журн. Вычисл. матем. и матем. физики, т.16, № 1, 1976, 256-262.

80. Фетисов В.Н. Вопросы управления промышленными объектами при наличии ошибок идентификации, Автореферат диссертации на

соискание ученой степени кандидата технических наук, АН СССР, Институт Проблем Управления, 1979.

81. Фетисов В.Н. Марковская аппроксимация случайной последовательности в задачах оптимального управления, Известия АН СССР, Техническая кибернетика, № 1, 1979,

с.37-43.

82. Фетисов В.Н. Теория чувствительности в задачах стохастического управления, тезисы докл.,6-е Всесоюзное Совещание по теории инвариантности, теории чувствительности и их применениям, Москва,1982, с.114-115.

83. Фетисов В.Н. Аппроксимация распределения вероятностей ошибки идентификации в задаче управления объектом с неизвестным параметром. Идентификация и управление технологическими процессами. Сб. научных тр. ЦНИИКА, "Энергоиздат", 1982, с.8-10.

84. Фетисов В.Н. Аппроксимация случайного процесса процессом авторегрессии в задачах стохастического управления, Автоматика и телемеханика, № 4, 1983, с.94-98.

85. Фетисов В.Н. Проблема аппроксимации случайных процессов марковским в задаче оптимального управления. В кн. Тезисы докл. 9-го Всесоюзного Совещания по проблемам управления. Ереван, М., 1983, 103-104.

86. Фетисов В.Н. Сравнительная оценка качества управления с адаптацией и без адаптации, в кн. Тезисы докл. Всесоюзной конф. "Теория адаптивных систем и ее применения". М.-Л., 1984, с. 280.

87. Фетисов В.Н. К задаче аппроксимации управляемого процесса марковским, Известия АН СССР, Техническая кибернетика,№ 6, 1984, с.184-188.

88. Фетисов В.Н. О двух подходах к задаче выбора математической модели стохастического объекта, в сб. "Математическое моделирование в АСУ ТП", Тр. ЦНИИКА, М. 1991, с.31-40.

89. Фетисов В.Н. Применение метода скользящего среднего для одного класса задач прогноза и управления, «Интегрированные

АСУ», Тр ЦНИИКА, М. 1992, с.55-58.

90. Фетисов В.Н. Методы аппроксимации стохастических моделей в задачах управления технологическими процессами, Приборы

и системы управления,1994, № 6, 15-17.

91. Фетисов В.Н., Щегляева Т.А., Штейнберг Ш.Е. Влияние ошибок идентификации на алгоритм оптимального управления процессом легирования полупроводниковых материалов, Приборы и системы управления, № 2, 1975, с. 1112.

92. Фетисов В.Н., Штейнберг Ш.Е. Построение алгоритмов управления технологическими процессами при неточных результатах идентификации, Вопросы промышленной кибернетики (Тр. ЦНИИКА), "Энергия", вып. 36, 1973, 64-67.

93. Фетисов В.Н., Штейнберг Ш.Е. Управление одним классом технологических процессов при неточных результатах идентификации, Вопросы промышленной кибернетики (тр. ЦНИИКА), вып. 37, 1973, с.35-37.

(См. также: Бубнов Ю.В., Фетисов В.Н., Шалашова В. П.;

Бузник И.П., Ермаков В.А., Ицкович В.П., Фетисов В.Н. Чернова Т.Н./

Ворчик В.Г., Фетисов В.Н., Штейнберг Ш.Е;

Петров А. Г., Стукова J1.C., Фетисов В.Н., Хасин A.B.)

94. Фишер P.A. Статистические методы для исследователей,М., «Госстатиздат», 1958.

95. Флеминг У. (Fleming W.H.)

Stochastic control for small noise intensitiers, SIAM J. Control, vol.9, № 3,1971.

96. Хазен Э.М.

Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления, Сов. радио, 1968.

97. Хальд А.

Математическая статистика с техническими приложениями, М, 1956.

98. Хасин A.B. Вероятностная оценка погрешности метода Монте-Карло, применяемого для решения экстремальных задач, Вопросы промышленной кибернетики (Тр. ЦНИИКА), вып. 59, 1979.

99. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров, М. «Физматгиз», 1969.

100. Ховард P.A. Динамическое программирование и марковские процессы, "Сов. радио", 1964.

101. Худсон Д. Статистика для физиков, "Мир", 1967.

102. Цыбаков А.Б. Оценки точности метода минимизации эмпирического риска, Проблемы передачи информации, т. 17, № 1, 1981, с.50-61.

103. Цыпкин Я.3. Адаптация и обучение в автоматических системах, М., "Наука", 1968.

104. Цыпкин Я.З. Адаптивные алгоритмы оптимизации при априорной неопределенности, Автоматика и телемеханика, 1979,№ 6,

с.94-108.

105. Цыпкин Я.З. Синтез робастно оптимальных систем управления объектами в условиях ограниченной неопределенности, Автоматика и телемеханика, 1992, № 9, 139-159.

106. Цыпкин Я.З. Новые подходы к теории управления, Вестник РАН, 1992, № 3, с.112-114.

107. Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации, М., «Наука», 1995.

108. Черноусько Ф.Л. Некоторые задачи оптимального управления с мальм параметром, ПММ, 1968, т.32, № 1.

109. Черноусько Ф.Л. Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмушениях, М., «Наука», 1978.

110. Шеннон К.Э. Работы по теории информации и кибернетики (сб. статей), М., Изд. иностр. лит., 1963.

111. Шибата P. (Shibata R.) Asymptotically efficient selection of the order of the model for estimating parameters of the linead process.- Ann. Statistics, vol. 8, № 1, 1980,p. 147-

112. Ширяев А.Н. Некоторые новые результаты в теории управляемых случайных процессов, Trans. Fourth Prague Confer. on Inform. Theory etc., Prague, 1967.

113. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления, "Энергоатомиздат", 1987.

114.Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования, Сов. радио, 1979.

115. Ядыкин И.Б. Адаптируемость регулятора и двухуровневые алгоритмы настройки параметров адаптивных систем управления, Автоматика и телемеханика, № 5,1983.

116. Yaz Е., Yildizbayrak N. Robustness of feedback-stabilized systems in the presence of non-linear and random perturbations, Int. J. Contr., vol. 41, 1985, p.345-353.

117. Yaz E. Deterministic and stochastic robustness measures for discrete systems, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 33, № 10, 1988, p. 952-955.