Методы анализа управляемых динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Ефросинин, Дмитрий Владимирович

• Ефросинин, Дмитрий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ефросинин, Дмитрий Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1. Управляемые динамические системы

1.1 Типы систем массового обслуживания (СМО) и деградирующих систем (ДС)

1.2 Примеры применения управляемых СМО и ДС

1.3 Управляемый марковский процесс

1.4 Задача оптимизации и критерий средних потерь

1.5 Анализ производительности и надежности систем

1.6 Используемые обозначения и сокращения

Глава 2. Одноканальные ненадежные СМО

2.1 Введение и обзор литературы

2.2 Системы с отключаемым прибором и повторными заявками

2.2.1 Математическая модель

2.2.2 Условие эргодичности и стационарные вероятности

2.2.3 Матрично-аналитический метод для сенсорных процессов

2.2.4 Средние характеристики производительности и задача оптимизации

2.3 Системы с отключаемым ремонтным оборудованием

2.3.1 Математическая модель

2.3.2 Условие эргодичности и стационарные вероятности

2.3.3 Матрично-аналитический метод для обобщенных процессов рождения и гибели

2.3.4 Средние характеристики производительности

2.3.5 Задача оптимизации

2.3.6 Распределение времени ожидания и пребывания

2.3.7 Статистическая оценка характеристик системы

2.4 Доказательство полученных результатов

Глава 3. Многоканальные неоднородные СМО

3.1 Введение и обзор литературы

3.2 Типы систем с неоднородными приборами

3.3 Типы стратегий управления размещением заявок

3.4 Система с обычной очередью

3.4.1 Математическая модель

3.4.2 Задача оптимизации, структурные свойства стратегии управления и оценка эффективности

3.4.3 Стационарные вероятности. Применение метода разностных уравнений и матрично-аналитического метода

3.4.4 Средние характеристики производительности

3.4.5 Эвристическое решение для оптимальных порогов

3.4.6 Распределение времени ожидания и пребывания

3.4.7 Распределение длительности периода занятости

3.4.8 Распределение числа обслуженных заявок

3.4.9 Обращение характеристических преобразований

3.4.10 Метод максимальной энтропии для вычисления функций распределения

3.5 Система с повторными заявками

3.5.1 Математическая модель

3.5.2 Задача оптимизации и структурные свойства стратегии управления

3.5.3 Стационарные вероятности. Применение матрично-аналитического метода

3.5.4 Метод спектрального разложения матриц в матрично-аналитическом решении

3.5.5 Средние характеристики производительности

3.5.6 Эвристическое решение для оптимальных порогов

3.5.7 Распределение времени ожидания

3.5.8 Распределение времени пребывания

3.5.9 Распределение числа повторных попыток

3.6 Доказательство полученных результатов

Глава 4. Многоканальные ненадежные неоднородные СМО

4.1 Введение и обзор литературы

4.2 Система с отказами всех приборов

4.2.1 Математическая модель

4.2.2 Задача оптимизации и структурные свойства стратегии управления

4.2.3 Стационарные вероятности. Применение матрично-аналитического метода

4.2.4 Средние характеристики производительности и надежности

4.2.5 Эвристическое решение для оптимальных порогов

4.3 Система с частичными и полными отказами одного прибора

4.3.1 Математическая модель

4.3.2 Задача оптимизации и структурные свойства стратегии управления

4.3.3 Стационарные вероятности. Применение матрично-аналитического метода

4.3.4 Средние характеристики производительности и надежности

4.3.5 Эвристическое решение для оптимальных порогов

4.3.6 Распределение времени ожидания

4.3.7 Распределение времени пребывания

4.3.8 Совместное распределение периода занятости и числа обслуженных заявок

4.4 Система с отказами и двумя обслуживающими узлами

4.4.1 Математическая модель

4.4.2 Стационарные вероятности. Мультипликативное представление

4.4.3 Средние характеристики производительности и надежности

4.4.4 Задача оптимизации

4.5 Доказательство полученных результатов

Глава 5. ДС с полным восстановлением

5.1 Введение и обзор литературы

5.2 Неуправляемая система

5.2.1 Математическая модель

5.2.2 Стационарные вероятности и функция средних потерь

5.3 Система с управляемым восстановлением

5.3.1 Математическая модель

5.3.2 Средние характеристики надежности и задача оптимизации

5.4 Система с управляемым восстановлением и ненадежным контролером

5.4.1 Математическая модель системы с наблюдаемыми состояниями контроллера

5.4.2 Математическая модель системы с ненаблюдаемыми состояниями контроллера

5.4.3 Средние характеристики надежности и задача оптимизации

5.5 Сравнительный анализ деградирующих систем

5.6 Доказательство полученных результатов

Глава 6. ДС с частичным восстановлением

6.1 Введение и обзор литературы

6.2 Система с управляемым восстановлением

6.2.1 Математическая модель

6.2.2 Средние характеристики надежности и задача оптимизации

6.2.3 Временные характеристики и функция надежности

6.3 Система с управляемым восстановлением и случайным временем до текущего ремонта

6.3.1 Математическая модель

6.3.2 Средние характеристики надежности и задача оптимизации

6.3.3 Временные характеристики и функция надежности

6.4 Система с управляемым восстановлением и случайным временем до внезапного отказа

6.4.1 Математическая модель

6.4.2 Задача оптимизации

6.4.3 Вычисление функции потерь с помощью регенириру-ющего процесса

6.4.4 Среднее время до отказа

6.4.5 Асимптотическая функция надежности

6.4.6 Вычисление функции потерь с помощью стационарных вероятностей

6.4.7 Временные характеристики и функция надежности

6.5 Система с управляемым восстановлением и поглощающим состоянием после отказа

6.5.1 Математическая модель

6.5.2 Средние характеристики надежности и задача оптимизации

6.5.3 Временные характеристики и функция надежности

6.5.4 Число управляемых восстановлений

6.6 Доказательство полученных результатов

Глава 7. ДС со случайным ресурсом жизни

7.1 Введение и обзор литературы

7.2 Система с дискретным распределением ресурса

7.2.1 Математическая модель

7.2.2 Условная функция риска

7.2.3 Задача оптимизации

7.3 Система с непрерывным распределением ресурса

7.3.1 Математическая модель

7.3.2 Условная функция риска

7.3.3 Задача оптимизации

7.4 Доказательство полученных результатов

Заключение

Литература

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа управляемых динамических систем»

Введение

Объект исследования и актуальность темы.

Под управляемой динамической системой в данной работе понимается объект управления вместе с управляющей системой, работающие в динамическом режиме. В данной работе исследуются такие управляемые динамические системы, как управляемые системы массового обслуживания (СМО) и управляемые деградирующие системы (ДС). Эти системы активно используются в прикладных задачах оптимального управления, принятия решений, обработки информации и системного анализа производительности п надежности, например, при управлении различными системами, производственными линиями, компьютерными и телекоммуникационными сетями, в задачах организации профилактического ремонта ненадежных узлов и агрегатов. Управляемые СМО и ДС принадлежат классу стохастических систем или систем с вероятностным законом движения, изучаемых в рамках объединения теории массового обслуживания, теории надежности и теории управляемых марковских процессов.

Система массового обслуживания представляет собой систему, в которую случайным образом поступают заявки для получения обслуживания на приборе. Термины "заявка", "прибор" и "обслуживание" имеют довольно широкое толкование. Заявкой может быть клиент такой системы обслуживания как банк или супермаркет, где в качестве прибора можно рассматривать сотрудника банка или кассира. В компьютерных системах прибором может служить, например, центральный процессор (CPU), обрабатывающий заявки в виде запросов пользователей, в телекоммуникационных се-

тях прибором может быть канал связи, по которому передаются пакеты информации и т.д. Деградирующая система описывает такую систему, которая, начиная работу в абсолютно новом состоянии, до момента попадания в состояние полного отказа проходит через последовательность промежуточных состояний деградации. В этих состояниях система сохраняет работоспособность, хоть и с меньшей эффективностью, чем абсолютно новая система. Такие системы можно использовать, например, для описания процесса постепенного уменьшения толщины защитного покрытия, процесса роста усталостных трещин, процесса аккумулирования некоторого дефекта и т.д. Очевидно, что для улучшения производительности и надежности этих систем невозможно по экономическим причинам беспредельно увеличивать их ресурсы, например, число обслуживающих серверов, пропускную способность телекоммуникационного канала или толщину защитного покрытия. Таким образом, одним из основных вопросов при решении прикладных задач, является нахождение некоторого баланса между улучшением производительности и надежности системы и допустимыми затратами на это улучшение.

Для многих математических систем, описывающих вероятностную природу реальных систем, с помощью теории массового обслуживания (см., например, Бочаров и Печинкин [1], Гнеденко и Коваленко [3], Кофман и Крюон [15], Гросс и Харисс [107], Кижима [114], Кляйнрок [116], Нельсон [148]) и теории надежности (см. Гнеденко [2], Герцбах [100], Половко и Гуров [16]) было получено большое число аналитических и численных результатов, характеризующих эксплуатационные и надежностные качества СМО и ДС. К этим результатам можно отнести формулы для функций распределения длины очереди и времени ожидания, вероятность потерь, среднее время пребывания в системе, а также вероятность отказа, среднее

время до отказа, функции надежности и риска, коэффициента готовности системы и т.д. В классических СМО и ДС контроллер отсутствует, то есть невозможно осуществлять управление или принимать какое-либо решение, влияющее на работу системы. Но в реальной жизни существует множество систем, основной отличительной чертой которых является именно возможность динамического управления ими в процессе работы, так как за счет внешнего воздействия на поведение системы можно достичь значительного улучшения производительности и надежности системы, например, за счет уменьшения длин очередей, увеличения пропускной способности, увеличения времени жизни, уменьшения вероятности отказа или уменьшения эксплуатационных затрат.

В качестве теоретического аппарата для исследования многих типов управляемых СМО и ДС применяется теория управляемых марковских процессов (см. Рыков [17|. Гуо и Хернандес-Лерма [110], Китаев и Рыков [115], Лерма и Лассере [135], Майне и Осаки [143], Путерман [155], Росс [160], Сенотт [181]), так как поведение этих систем описывается некоторым случайным процессов (в диссертации мы ограничимся в основном марковскими процессами), а выбор управления приводит к изменению его траекторий. Нахождение оптимального управления даже для простейших марковских систем требует объемной вычислительной работы. Поэтому возникает желание уменьшить вычислительную составляющую исследований за счет анализа структурных свойств (пороговой структуры), которые, в свою очередь, позволяют получить аналитические результаты для оптимальных порогов и соответствующих характеристик производительности и надежности.

Несмотря на то что существует большое число научных трудов, посвященных различным типам управляемых динамических систем и анали-

зу их производительности и надежности, многие темы этого направления науки не достаточно представлены в мировой научной литературе, что является стимулом для продолжения исследования и развития этой области прикладной математики. Более того, существующие работы в основном концентрируются либо на вычислении оптимальных стратегий и изучении их свойств, либо на вычислении характеристик производительности и надежности при условии заранее заданной фиксированной стратегии управления. В данной диссертации производится объединение этих двух больших задач, что способствует более глубокому пониманию закономерностей и связей, возникающих в СМО и ДС при наличии возможности динамического управления этими системами.

Заметим, что исследуемые в работе СМО и ДС хоть и принадлежат к разным типам динамических систем, но они имеют много общего. Во-первых, все системы исследуются в стационарном режиме. Они являются управляемыми, т.е. снабжены контроллером, который, используя информацию о состояниях системы, динамически управляет этой системой. В качестве управления, решения или управляющего воздействия контроллер может, например, включать/отключать прибор и ремонтное оборудование, выбирать определенную очередь или прибор при размещении заявок, начинать и завершать профилактический ремонт и т.д. Целью такого управления является поиск оптимальной стратегии относительно некоторого заданного критерия, о котором будет сказано ниже. Во-вторых, динамическое поведение этих систем описывается с помощью управляемых марковских процессов. Более того, во всех случаях оптимальная стратегия управления ищется в классе пороговых стратегий, зависящих от одного или нескольких порогов, например, числа заявок в очереди, системе или числа, пройденных промежуточных состояний деградации. В-третьих, анализ производитель-

ности и надежности систем включает в себя вычисление схожих характеристик и, тем самым, необходимость использования аналогичных методов и алгоритмов из теории массового обслуживания, надежности и управляемых марковских процессов. В-четвертых, СМО могут также интерпретироваться как ДС, если предполагается, что приборы, контроллер или другие компоненты системы являются ненадежными и постепенно деградируют. В свою очередь, ДС могут рассматриваться как СМО с конечным источником заявок, где заявками являются промежуточные состояния деградации, а приборами - ремонтное оборудование. Все это объясняет представление результатов анализа этих систем в рамках одной исследовательской работы.

Цель работы: разработать комплекс методов и алгоритмов для вычисления оптимальных стратегий управления различными типами управляемых СМО и ДС, для исследования структурных свойств этих стратегий, а также для получения аналитических результатов, включающих формулы различных характеристик производительности и надежности, используемые для проведения системного анализа. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Формализация управляемого марковского процесса и определение его компонентов для исследуемых систем;

• Формулировка задачи оптимизации для заданного критерия и разработка алгоритма вычисления оптимальной стратегии управления и оценки ее эффективности;

• Разработка методов исследования структурных свойств оптимальной стратегии управления и получение выражений для вычисления оптимальных порогов в явном виде;

• Получение условий существования стационарного режима для соответствующих систем;

• Выведение формул для стационарных вероятностей состояний при фиксированной стратегии управления;

• Разработка методов и алгоритмов системного анализа производительности и надежности, включая получение аналитических результатов для средних и зависящих от времени характеристик систем;

• Проведение численного и сравнительного анализа управляемых систем с различными стратегиями управления.

Методы исследования. В качестве теоретического аппарата для исследования рассматриваемых систем применяются методы теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов в том числе управляемых иарковских процессов, теории массового обслуживания и теории надежности.

Научная новизна и результаты. Главным результатом диссертации является объединение и решение для широкого класса динамических систем двух основных задач, которые обычно рассматриваются по-отдельности: задачи исследования структурных свойств оптимальной стратегии управления и ее фактического нахождения, и задачи исследования характеристик производительности и надежности для заданной стратегии управления, включая выведение явных аналитических формул. В рамках этой обобщенной задачи разработаны новые и усовершенствованы имеющиеся методы и алгоритмы, необходимые для вычисления пороговых стратегий управления, оптимизирующих работу различных типов управляемых динамических систем, таких как СМО и ДС, а также получены формулы для различных средних и зависящих от времени характеристик, необходи-

мых для проведения системного анализа производительности и надежности. К наиболее важным результатам относится:

1. Для широкого класса СМО и ДС определены компоненты управляемого марковского процесса, с помощью которого формулируется задача оптимизации относительно заданного критерия, например критерия средних потерь. Рассмотрены два типа систем: системы с известной и неизвестной структурой оптимальной стратегии управления. Для систем первого типа, с пороговой стратегией управления, задача нахождения оптимальной стратегии сведена к задаче минимизации представимой в явном виде функции средних потерь. Для вычисления оптимальной стратегии в системах второго типа применен итерационный алгоритм Ховарда, основанный на принципах динамического программирования и сводящийся к решению системы линейных уравнений оптимальности для функции оценок.

2. Для систем с неизвестной структурой стратегии управления показано, что между функцией оценок и управлением существует взаимнооднозначное соответствие, позволяющее для многих видов рассматриваемых систем из свойств монотонности этой функции делать выводы о пороговой структуре оптимальной стратегии. Таким образом установлено, что многие системы с заранее неизвестной структурой также принадлежат к системам первого типа, где оптимальную стратегию управления следует искать в классе пороговых.

3. Для отдельных систем при минимизации функции средних потерь получены явные формулы оптимальных порогов в виде функций, аргументами которых являются параметры системы. Представлен также метод, позволяющий для большого класса систем получить явные эвристические формулы оптимальных порогов с помощью оценки гра-

ниц между областями оптимальности этих порогов.

4. Показано, что для многих исследуемых систем, многомерный марковский процесс, описывающий динамическое поведение систем с пороговой стратегией управления, принадлежит классу ОПРГ с трехдиаго-нальной блочной инфинитезимальной матрицей, имеющей большое число пограничных состояний. Таким образом, появилась возможность применять эффективный аппарат матрично-аналитических решений для большого класса управляемых систем.

5. Получены условия существования стационарного режима для систем со счетным числом состояний и выведены формулы стационарных вероятностей состояний для фиксированной пороговой стратегии. Получены аналитические результаты для средних характеристик производительности и надежности, в том числе и функции средних потерь.

6. Представлен метод дополнительной переменной для получения стационарных распределений времени ожидания и пребывания в управляемых СМО. Этот метод использован также для выведения стационарного распределения времени до отказа в управляемых ДС.

7. Проведен численный и сравнительный анализ различных типов управляемых систем. Для этого используются специально разработанные таблицы и диаграммы.

Научная и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты позволяют расширить класс реальных моделей, которые могут быть описаны управляемыми СМО и ДС. В соответствии с полученными результатами, управляемые системы значительно превосходят по производительности и надежности свои неуправляемые аналоги. Пороговая структура оптимальной стратегии управления позволяет существенно упростить

процедуру ее нахождения, так как в этом случае стратегия зависит лишь от одного или нескольких порогов. Во многих случаях удается получить точные или эвристические формулы оптимальных порогов, выраженные в виде функций от параметров системы. С помощью такой стратегии появляется возможность проведения более глубокого системного анализа, так как многие характеристики производительности и надежности вычисляются в явном виде или с использованием эффективных алгоритмов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в Институте проблем управления РАН, Институте проблем передачи информации РАН, Российском университете дружбы народов, в университетах Будапешта, Дебрецена, Линца, Трира, а также на следующих конференциях: ХХХУ-ХХХУ1У Всероссийские научные конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, Россия, 1999-2003 гг.); Первая и вторая мадридские конференции по теории массового обслуживания, МС(^Т02 (Мадрид, Испания, 2002 г. и 2006 г.); научный семинар "Прикладные стохастические модели и информационные процессы" (Петрозаводск, Россия, 2002 г.); конференция "Распределенные компьютерные коммуникационные сети", ОСС1\тОЗ (Москва. Россия, 2003 г.); международная конференция "Модели долговечности, старения и деградации в теории надежности, здравоохранении, медицине и биологии", ЬА02004 (Санкт-Петербург, Россия, 2004 г.); Четвертая международная конференция по математическим моделям теории надежности, ММШ)4 (Санта-Фе, США, 2004 г.); XXV Международный семинар по проблемам стабильности в стохастических моделях (Маиори, Италия, 2005 г.); XXVI Международный семинар по проблемам стабильности в стохастических моделях (Совата-Бей, Румыния, 2006 г.); 12-ая Международная конференция

по прикладным стохастическим моделям и анализу данных, А8МАБА07 (Хания (Крит), Греция, 2007 г.); Пятая международная конференция по математическим методам в теории надежности, ММ 1107 (Глазго, Великобритания, 2007 г.); 7-ая Международная конференция по системам массового обслуживания с повторными заявками (Афины, Греция, 2008); Четвертая международная конференция по управляемым процессам (Москва, Россия, 2009 г.); Международная конференция по математическим методам анализа и оптимизации в информационных телекоммуникационных сетях (Минск, Беларусь, 2009 г.); Шестая международная конференция по математическим методам в теории надежности, ММГ109 (Москва, Россия, 2009 г.); Международные конференции по ультрасовременным телекоммуникационным системам 1С1ШТ (Санкт-Петербург, Россия, 2009 г. и 2010 г.); конференция "Распределенные компьютерные коммуникационные сети", ОСС1\Ю9 (София, Болгария, 2009 г.); Третья мадридская конференция по теории массового обслуживания МСС^ТЮ (Толедо, Испания, 2010 г.); Третья международная конференция по проблемам кибернетики и информатики (Баку, Азербайджан, 2010 г.); Седьмая международная конференция по математическим методам в теории надежности, MMR.11 (Пекин, Китай, 2011 г.); XXIX Международный семинар по проблемам стабильности в стохастических моделях (Светлогорск, Россия, 2011 г.); 10-ый Общегерманский семинар по теории вероятностей и статистики (Майнц, Германия, 2012 г.); 9-ая Международная конференция по системам массового обслуживания с повторными заявками (Севилья, Испания, 2012 г.).

Отдельные результаты, представленные в диссертации, выполнены в рамках проектов РФФИ: №№01-07-90259, 01-07-902596, 04-07-901156, 10-01-92501ИКа, Австрийско-Венгерского научного фонда: №№66ои1, 61ои16, 72оиб, 77би10.

Публикации работ. По теме диссертации опубликовано 53 работы, среди которых 18 - статьи в ведущих рецензируемых журналах (список ВАК России) [6-10, 23-27, 70, 72, 80, 84, 87, 168, 175, 178], 1 - монография [69], 3 - статьи в других изданиях [22, 85, 86], 14 - статьи в рецензируемых сборниках конференций [5, 75, 77-79, 81, 82, 94, 95, 166, 169171, 176], 17 - тезисы докладов (объемом не более 3 страниц) [4, 1921, 68, 71, 73, 74, 76, 83, 88, 167, 172-174, 177, 179], 1- работа из списка ВАК [154], опубликована по смежной теме - оптимальная оценка функциональных зависимостей параметров в физической задаче анализа свойств поверхности материалов.

Объем работы и структура. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы, число наименований в котором - 210, п шести приложений, в которых приводятся результаты численного анализа управляемых систем, исследуемых соответственно в главах 27. Основное содержание работы изложено на 338 страницах. Приложения размещены на 44 страницах. Каждая глава состоит из разделов и имеет отдельную нумерацию для формул, рисунков и таблиц, а также отдельную сплошную нумерацию для теорем, лемм, следствий и т.д. (первая цифра указывает номер соответствующей главы). Доказательства утверждений помещены в последний раздел соответствующей главы.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель исследования, приводится обзор опубликованных по данной теме работ, кратко излагаются основные результаты диссертации и содержание по главам.

Первая глава носит вспомогательный характер, в ней дается описание типов рассматриваемых динамических систем и примеры их практи-

ческого использования. В главе приводятся основные понятия и определения теории управляемых марковских процессов, главным объектом изучения которой является одномерный или многомерный управляемый марковский процесс {^(¿)}г>о> описывающий состояние системы в момент времени Этот процесс задается пространством состояний Е, пространством управлений А, подпространствами управлений А(х) С А для х Е Е, инфи-питезималъной матрицей Л с интенсивностями переходов Хху(а) из состояния х Е Е в состояние у Е Е, зависящими от управления а Е А{х) и функцией ожидаемых потерь с(а,х). Предполагается, что процесс функционирует в соответствии с выбранной стратегией управления /, определяемой как функция / : Е —> А, т.е. /(х) = а Е А(х) С А, х Е Е. В этой главе сформулирована общая задача оптимизации, представляющая собой задачу минимизации функции средних потерь пип д^ с целью вычисления оптимальной стратегии /* среди всех допустимых стратегий /. В главе рассматриваются два типа задач оптимизации: для систем с известной и неизвестной структурой оптимальной стратегии управления /*. В задаче первого типа речь идет о пороговой стратегии управления, когда стратегия / имеет структуру в виде зависимости от одного или нескольких порогов и оптимальная стратегия /* ищется в классе пороговых. В этом случае функция средних потерь д^ определяется в явном виде. В задаче второго типа оптимальная стратегия / ищется среди всех допустимых стратегий со структурой и без. Для вычисления оптимальной стратегии /*, минимизирующей функцию дЛ в этом случае используется итерационный алгоритм Ховарда. Этот алгоритм, основанный на принципе динамического программирования,, для заданной произвольной стратегии генерирует последовательность улучшенных стратегий, сходящуюся к оптимальной. Основой алгоритма является решение уравнения оптимальности для

функции оценок V? : Е которая отражает вклад начального состоя-

ния системы в общие средние потери. С помощью этого алгоритма имеется возможность получения лишь численных результатов. В главе описываются также принципы анализа производительности и надежности систем с перечнем основных характеристик и проводится обзор программных пакетов для численного исследования динамических систем.

Во второй главе рассматриваются управляемые одноканальные ненадежные СМО с пороговой стратегией включения/отключения прибора или ремонтного оборудования. В таких системах приборы могут отказывать и восстанавливаться через случайное время. Предполагается, что системы могут быть с обычной очередью или с повторными заявками. Согласно пороговой стратегии управления /, контроллер включает прибор при поступлении заявки в систему, если число заявок в ней достигает порога д8 > 1, и отключает прибор в момент окончания обслуживания на приборе, когда система снова становится пустой. Для ремонтного оборудования стратегия определяется аналогично. В этом случае, контроллер включает ремонтное оборудование, только если число заявок в системе превысит порог дг > 1, и выключает оборудование, если число заявок становится ниже этого порога. Системы имеют дополнительную структуру штрафов с отдельными штрафами за использование прибора, очереди, включения/отключения и т.д. В данном случае тип стратегии известен, и задача оптимизации состоит в вычислении оптимальных порогов д* и д* с целью минимизации функции средних потерь гшп^ д(д3) и ттдгд(дг). Инфинитезимальная матрица Д/ управляемого многомерного марковского процесса зависит от стратегии управления / с порогами д3 и дТ. Так как оптимальная стратегия ищется в классе пороговых, функция средних потерь представляется в явном виде и зависит от стационар-

ных вероятностей состояний ттх,х Е Е. Для исследуемых систем получены условия существования стационарного режима. Для вероятностей жх выводятся системы уравнений равновесия (СУР), которые решаются с помощью различных методов: метод производящих функций, метод разностных уравнений, а также их комбинация. Марковский процесс {^(¿)}г>о интерпретируется как обобщенный процесс рождения и гибели (ОПРГ) с трехдиатональной блочной инфинитезималы-юй матрицей, что оправдывает возможность использования для вычислений стационарных вероятностей также матрично-аналитического мет,ода. Для функции получена явная формула оптимального порога д*, а для определения значения д*, минимизирующего функцию д(дг), применяется численный метод. Анализ производительности изучаемых в главе систем включает также вычисление в явном виде различных средних характеристик системы, например, среднего числа заявок в системе, среднего времени ожидания в очереди и т.д. Для вычисления стационарных распределений времени ожидания и пребывания заявки в системе в данной главе представлен метод дополнительной переменной, основанный на использовании вспомогательного поглощающего марковского процесса для вычисления условного времени ожидания маркированной заявки после ее поступления в систему. Эти распределения выводится с использованием метода преобразования Лапласа. В главе описывается также метод получения статистических оценок характеристик системы и соответствующих доверительных интервалов.

В третьей главе рассматриваются управляемые СМО с неоднородными приборами, т.е. приборами, имеющими различную скорость и стоимость обслуживания. Предполагается, что системы могут быть с обычной очередью или с повторными заявками. Контроллер системы управляет размещением заявок на приборах, а так как приборы являются неоднород-

ными, различные стратегии размещения заявок на приборах приводят к различным значениям функции средних потерь д?. Структура стратегии управления / предполагается неизвестной. Для вычисления оптимальной стратегии /* используется итерационный алгоритм Ховарда. Показано, что для систем М/М/К с неоднородными приборами, где интенсивности обслуживания удовлетворяют неравенству 0 < < ¡х^1 < ••• < управление /(х) целиком определяется через функцию ь(х), и установлена связь между свойствами монотонности функции у(х) и ее приращений и пороговыми свойствами оптимальной стратегии. Таким образом, оптимальная стратегия /* = (Я\-,яЬ ■ ■ ■ - Як) задается порогами 1 = < — • • • < Як < °° 5 в соответствии с которыми контроллер при непустой очереди в состоянии х £ Е всегда использует первые к = 1, К более быстрых приборов, если д(х') = я1, Я^+1 — 1, Л; = 1, К, где Я*к+\ =

Дальнейший анализ производительности системы проводится с учетом пороговой структуры стратегии /. В главе получены аналитические результаты для стационарных вероятностей состояний. Для этого используется мет,од разностных уравнений и матрично-аналитический метод. В последнем случае процесс интерпретируется как ОПРГ с трех-

диагональной блочной инфинитезимальной матрицей А^ с большим числом пограничных состояний, зависящих от заданных порогов Я2 ,-•■■> Як- Для таких процессов описывается метод спектрального разложения матриц для получения явного вида матрицы Я, являющейся геометрической частью матрично-аналитического решения для стационарных вероятностей системы. Используя эти результаты, выводятся явные формулы для вычисления средних характеристик производительности системы, в том числе и функции средних потерь д(я2, ■ ■ ■ ■, Як)■ Исследуются границы между областями оптимальности пороговой стратегии /* = ... , Як) Для этой

функции при изменении значений параметров системы. С их помощью выводятся эвристические формулы для оптимальных порогов к = 2, К, в виде функций, аргументами которых являются параметры системы. С помощью метода дополнительной переменной, метода преобразования Лапласа и метода производящих функций выводится ряд стационарных ФР для таких СВ как время ожидания, пребывания, период занятости и т.д., а также некоторые их дискретные аналоги например, ФР СВ числа обслуженных за период занятости заявок и числа повторов до начала обслуживания. С помощью характеристических преобразований получены формулы для рекуррентного вычисления соответствующих моментов произвольного порядка. Для численного обращения соответствующих преобразований применяются как аналитический метод, основанный на разложении функции на простейщие дроби, так и численные методы, в том числе алгоритм Эйлера, алгоритм Посгп-Виддера и алгоритм Латтиеа-Пуассона, построенные на основе быстрого преобразования Фурье. В главе рассматривается также метод максимальной энтропии для приближенного вычисления распределений по известным моментам без обращения ПЛС.

В четвертой главе исследуются управляемые СМО с неоднородными ненадежными приборами. Рассматриваются два основных типа систем: системы с двумя неоднородными приборами и одной общей очередью и системы, представляющие собой две неоднородные многоканальные СМО в тандеме. Приборы могут отказывать и восстанавливаться через случайное время либо с некоторой вероятностью, причем отказы могут быть как полными, так и частичными. В последнем случае прибор остается работоспособным, но с более низкой производительностью. Для первого типа систем вводится случайный внешний фактор, влияющий на работоспособность прибора. Задача контроллера, как и в предыдущей главе, состоит

в размещении заявок на неоднородных приборах. Структура оптимальной стратегии /* предполагается неизвестной. Показано, что оптимальная стратегия управления /* = д,*7г_1,..., (/*) в этом случае имеет пороговую структуру с оптимальными порогами 0 < д*, < < • • • < < оо, где индекс к = 1,т порога % означает состояние внешнего фактора: 1 - начальное состояние, 2, т — 1 - состояния, приводящие к частичному отказу прибора и т - состояние, приводящее к полному отказу. Как и в предыдущей главе, при фиксированной пороговой стратегии /, процесс описывающий состояние системы в момент t, интерпретируется как ОПРГ с трехдиагональной блочной инфинитезимальной матрицей А^, где / = (¿/т, дт-1,..., (/]). Для получения условий существования стационарного режима, явных формул стационарных вероятностей состояний системы, средних характеристик производительности и надежности, а также стационарных распределений времени ожидания, пребывания и длительности периода занятости используется матрично-аналитический метод.

Во втором типе систем поступающие заявки распределяются между двумя системами в тандеме. Контроллер отправляет заявку в систему 1 или 2, используя пороговую стратегию управления с заданным порогом <72- Согласно этой стратегии, вновь поступившая заявка направляется в систему 1, если число заявок в системе 2 превысит порог дг, в противном случае она поступает в систему 2. Как только за счет обслуживания число заявок в системе 2 становится меньше д2, в системе 1 есть ожидающие заявки, то заявка, стоящая во главе очереди системы 1, переходит в конец очереди системы 2. Данная система описывается с помощью открытой модифицированной сети Джексона с двумя узлами. Показано, что для этой системы справедливо мультипликативное представление стационарных вероятностей. Выводятся основные средние характеристики системы, в том

числе функция средних потерь <7(92) • Решается задача min 9(^2)-

<22

В пятой главе проводится анализ управляемых деградирующих систем, которые полностью отказывают после последовательного посещения п > 1 промежуточных состояний деградации. Предполагается, что эти системы являются многоразового использования, т.е. они полностью восстанавливаются (становятся абсолютно новыми) после ремонта в состоянии полного отказа F, а также и после профилактического ремонта. Контроллер на основе наблюдаемых состояний деградации управляет профилактическим ремонтом. Управление производится в соответствии с пороговой стратегией Д- с порогом к = 1 ,п, инициирующей начало профилактического ремонта системы после перехода в состояние деградации к. В этом состоянии система восстанавливается и переходит в начальное состояние процесса 0. Предполагаются различные типы систем: система с абсолютно надежным контроллером, система с наблюдаемыми и ненаблюдаемыми состояниями ненадежного контроллера. Динамическое поведение систем описывается марковским процессом {^(¿)}г>о, определяющим состояния процесса деградации системы в момент времени t. Для данных систем выводятся явные формулы стационарных вероятностей состояний и средних характеристик производительности и надежности, таких как функция средних потерь д(к), коэффициент готовности системы а(к) (вероятность, что система работоспособна), вероятность отказа 7тр(к) и т.д. Решаются задачи оптимизации rriinд(к), maxa(fc) и ттпр(к).

/с /с /с

В шестой главе исследуются управляемые деградирующие системы, в которых, в отличие от предыдущей главы, профилактический ремонт приводит к полному или частичному восстановлению. Системы снабжены контроллером, который принимает решение о начале профилактического ремонта в соответствии с пороговой стратегией задаваемой порогами

I = 0, к — 1 и к = 1, п. Эта стратегия инициирует профилактический ремонт системы после перехода в состояние деградации к. В этом состоянии система восстанавливается полностью, если I — 0, или частично, I > 0, и переходит в состояние деградации I. Рассматриваются системы многоразового и одноразового использования, которые исследуются как в стационарном режиме, так и на одном цикле жизни до момента возникновения полного отказа.. Вычисляются средние характеристики производительности и надежности систем, в том числе функция средних потерь д(к, I), для которой решается задача оптимизации ттд(к,1). Для систем, наблюдаемых на одном цикле, вычисляются функции надежности и риска, ФР СВ времени и числа профилактических ремонтов до отказа и т.д.

В седьмой главе исследуются управляемые и неуправляемые деградирующие системы со случайным начальным ресурсом жизни. Системы предполагаются одноразовыми и наблюдаются до момента попадания в состояние полного отказа. В случае управляемых систем контроллер принимает решение на осуществление профилактического ремонта. Различаются два типа систем: с дискретной и непрерывной функцией распределения случайного ресурса. В системах первого типа контроллер принимает решения в соответствии с пороговой стратегией }'п.п Е М, которая инициирует профилактический ремонт системы после достижения процессом деградации {Х(г)}4>0 состояния п. После ремонта процесс переходит в начальное состояние 0. В системах второго типа пороговая стратегия /ь,у > 0, инициирует профилактический ремонт системы после достижения процессом {Х(г)}4>о значения большего чем порог у. После ремонта процесс также переходит в начальное состояние 0. Для данных систем получены различные характеристики производительности и надежности: функция надежности, функция риска, среднее времени до отказа и др. Относительно заданных

стратегий решаются задачи оптимизации для среднего времени жизни, соответственно тахТ(п) и тахТ(г>).

п V

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Ефросинин, Дмитрий Владимирович

Заключение

Автором впервые представлено систематическое исследование управляемых динамических моделей на примере различных СМО и ДС, объединяющее совместное решение задачи исследования структурных свойств оптимальной стратегии управления и фактического ее построения и задачи исследования характеристик производительности и надежности для заданной стратегии управления. Разработаны новые и усовершенствованы имеющиеся методы и алгоритмы для вычисления пороговых стратегий управления, стационарных и нестационарных характеристик, необходимых для проведения системного анализа производительности и надежности. Полученные результаты дают более детальное представление о природе управляемых случайных процессов и взаимосвязях между их параметрами по сравнению, например, с методами имитационного моделирования. К более конкретным результатам относится:

1. Разработана методика описания широкого класса управляемых моделей СМО и ДС с помощью управляемых марковских процессов. Рассмотрены два типа систем: системы с известной и неизвестной структурой оптимальной стратегии управления. Для систем первого типа задача нахождения оптимальной стратегии сведена к задаче минимизации функции средних потерь. Для систем второго типа использован итерационный алгоритм Ховарда.

2. Для систем с неизвестной структурой стратегии управления получено соотношение для функции оценок и управления, позволяющее для широкого класса моделей обосновать свойство пороговой структуры оптимальной стратегии, опираясь на свойства монотонности функции оценки модели и ее приращений. Установлено, что многие системы с неизвестной структурой также принадлежат к системам первого типа, где оптимальную стратегию следует искать в классе пороговых.

3. Для ряда рассмотренных систем получены формулы для вычисления оптимальных порогов в явном виде. Разработан эвристический метод вычисления оптимальных порогов с помощью оценки границ между областями оптимальности этих порогов.

4. Показано, что для широкого класса систем с пороговой стратегией со-отвествующий марковский процесс принадлежит классу ОПРГ. Это позволило использовать матрично-аналитические методы исследования. Представлен метод спектрального разложения матриц, используемый для получения явного вида геометрической части матрично-аналитического решения.

5. Найдены условия существования стационарного режима и выведены формулы для стационарных вероятностей состояний системы с фиксированной пороговой стратегией. Получены соотношения для характеристик производительности и надежности систем.

6. Разработан метод дополнительной переменной для вычисления распределений времени ожидания и пребывания заявки, соответствующих моментов произвольного порядка. Этот метод использован также для получения распределения времени до полного отказа ДС.

7. Для всех рассмотренных систем проведен исчерпывающий численный анализ, подтверждающий необходимость исследования и применения управляемых систем, а также показывающий эффективность предложенных методов и алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ефросинин, Дмитрий Владимирович, 2013 год

Литература

1. Бочаров П.П., Печинкии A.B. Теория массового обслуживания. М.: Издательство РУДН, 1995. - 528 С.

2. Гнеденко Б.В. Вопросы математической теории надежности. М.: Радио и связь, 1983.

3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М: Наука, 1987. - 176 С.

4. Ефросинин Д. В. Вычисление оптимальных порог в управляемой системе MAP/PH/К с повторными заявками// Тезисы докладов XXXVIV Всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики. информатики и методики преподавания. — М: Издательство РУДН, 2003.

5. Ефросинин Д. В. Вычисление характеристик производительности управляемого узла сети с неоднородными// Сборник докладов IV Международной конференции по проблемам управления (МКПУ-IV). — М: Издательство ИПУ РАН, 2009. - С. 1759-1766.

6. Ефросинин Д.В. Анализ периода занятости в системе с пороговым управлением // Автоматика и Телемеханика. — 2010. — №1. — С. 99-117.

7. Ефросинин Д. В. Стационарные характеристики многоканальной неоднородной системы с FCFS орбитой и пороговым управлением // Вестник РУДН. Серия Математика, Информатика, Физика. — 2010. — №3. - С. 44-64.

8. Ефросинин Д. В. Распределение времени ожидания в системе с FCFS орбитой и пороговым управлением // Вестник РУДН. Серия Математика, Информатика, Физика. — 2011. — №1. — С. 34-46.

9. Ефросинин Д.В., Рыков В.В. Численное исследование оптимального управления системой с неоднородными приборами // Автоматика и Телемеханика. - 2003. - №2. - С. 143-151.

10. Ефросинин Д.В., Фархадов М.П. Оптимальное управление системой с постепенными и внезапными отказами // Надежность. — 2009. — №1(29). - С. 27-41.

11. Жожикашвили В.А., Петухова Н.В., Зацепин А.Н., Азаров В.В. Современные технологии управления в диспетчерской службе такси // Проблемы управления. — 2006. — №2. — С. 32-34.

12. Жожикашвили В.А., Вилик Р.В., Вертлиб В.А., Мясоедова З.П., Пе-тухова Н.В., Фархадов М.П. Интеллектуальные телефонные услуги на основе речевых технологий // Информационно-измерительные и управляющие системы. — 2007. — №2. — С. 75-78.

13. Жожикашвили В.А.. Петухова Н.В., Фархадов М.П. Компьютерные системы массового обслуживания и речевые технологии // Проблемы управления. — 2006. — №2. — С. 3-7.

14. Жожикашвили В.А., Петухова Н.В., Фархадов М.П. Мультисервер-ная архитектура интеллектуальных порталов самообслуживания // Сборник докладов IV Международной конференция по проблемам управления (МКПУ-IV), Москва. М: Издательство ИПУ, 2009. — С. 1744-1748.

15. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения // М: Наука, 1965. - 323 С.

16. Половко A.M., Гуров C.B. Основы теории надежности. СПб: БХВ-Петербург, 2006. - 704 С.

17. Рыков В. В. Управляемые марковские процессы с конечными пространствами состояний и управлений // Теория вероятностей и ее применения. - 1966. - №11(2). - С. 302-311.

18. Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания // Теоретическая кибернетика. — 1975. — №2. — С. 45-152.

19. Рыков В.В., Ефросинин Д.В. Оптимальная гистерезисная политика управление системой M/M/1/n с несколькими режимами работы и платой за переключение // Тезисы докладов XXXV Всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания. — М: Издательство РУДН, 1999. —■ С. 37-38.

20. Рыков В.В., Ефросинин Д.В. Сравнительный анализ систем массового обслуживания с различными типами управления // Тезисы докладов XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания. — М: Издательство РУДН, 2000. - С. 24-25.

21. Рыков В.В., Ефросинин Д.В. Исследование оптимального управления системой неоднородных приборов с наблюдаемой общей очередью // Тезисы докладов XXXVII Всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания. — М: Издательство РУДН, 2001. — С. 35.

22. Рыков В.В., Ефросинин Д.В. Задача минимизации средних потерь в многоканальной системе с неоднородными приборами // Информационные процессы. - 2002. - №2(2). - С. 252-256.

23. Рыков В.В., Ефросинин Д.В. К анализу характеристик производительности СМО с неоднородными приборами // Автоматика и Телемеханика. - 2008. - №1. - С. 64-82.

24. Рыков В.В., Ефросинин Д.В. К проблеме медленного прибора // Автоматика и Телемеханика. — 2008. — №12. — С. 81-91.

25. Штрик Я., Ефросинин Д.В. Анализ надежности систем массового обслуживания с повторными заявками и конечным числом требований при помощи инструментальных программных систем // Автоматика и Телемеханика. — 2010. — №7. — С. 119-125.

26. Фархадов М.П., Петухова Н.В., Ефросинин Д.В., Семенова О.В. Двухфазная модель с неограниченными очередями // Проблемы управления. - 2010. - №6. - С. 53-58.

27. Фархадов М.П., Петухова Н.В., Ефросинин Д.В., Семенова О.В. Моделирование гибридного центра связи с сервисами самообслуживания и пороговым управлением размещением заявок // Управление большими системами. Специальный выпуск 30.1 "Сетевые модели в управлении". - М: ИПУ РАН, 2010. - С. 352-370.

28. Abate J., Whitt W. Numerical inversion of probability generating functions // Operations Research Letters. — 1992. — Vol. 12. — Pp. 245-251.

29. Abate J., Whitt W. Numerical inversion of Laplace transforms of probability dustributuins // ORSA Journal on Computing. — 1995. — Vol. 7. — Pp. 36-43.

30. Aissani A. Unreliable queueing with repeated orders // Microelectron. Reliability. - 1993. - Vol. 33(14). - Pp. 2093-2106.

31. Aissani A. A retrial queue with redundancy and unreliable server // Queueing Systems. - 1994. - Vol. 17(3-4). Pp. 431-449.

32. Aissani A. An Mx/G/1 retrial queue with exhaustive vacations // Journal of Statistics and Management Systems. — 2000. — Vol. 3. Pp. 269-286.

33. Aissani A., Artalejo J. On the single server retrial queue subject to breakdowns. Queueing Systems. - 1998. - Vol. 30(3-4). - Pp. 309-321.

34. Akbulut A., Gokhan H., Ari F. (2005). Design, availability and reliability analysis on an experimental outdoor FSO/RF communication system // Proceedings of the International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON05), Barcelona, Spain. - 2005. - Pp. 403-406.

35. Alfa A.S. Queueing theory for telecommunications. New-York: Springer, 2010. - 238 P.

36. Altman E. Constrained Markov Decision Processes. London: Chapman and Hall, 1999. - 256 P.

37. Armony M.. Ward A.R. Fair dynamic routing in large-scale heterogeneous-server systems // Operations Research. — 2010. — Vol. 58(3). — Pp. 624637.

38. Artalejo J.R. Stationary analysis of the characteristics of the M/M/2 queue with constant repeated attempts // Opsearch. — 1996. — Vol. 33(2). — Pp 83-95.

39. Artalejo J.R. A classified bibliography of research on retrial queues: progress in 1990-1999 // Top. - 1999. - Vol. 7. - Pp. 187-211.

40. Artalejo J.R. Accessible bibliography on retrial queues // Mathematical and Computer Modelling. — 1999. — Vol. 30. — Pp. 1-6.

41. Artalejo J.R., Gomez-Corral A. Steady state solution of a single-server queue with linear repeated requests. Journal of Applied Probability. — 1997. -Vol. 34(1). - Pp. 223-233.

42. Artalejo J.R., Gomez-Corral A. Retrial queueing systems. A computational approach. Berlin: Springer-Verlag, 2008.

43. Artalejo J.R., Comez-Corral A., Neuts M.F. Analysis of multiserver queues with constant repeated attempts // European Journal of Operations Research. - 2001. - Vol. 135. - Pp. 569-581.

44. Artalejo J.R., Economou A.,Lopez-Herrero M.J. Analysis of a multiserver queue with setup times // Queueing Systems. — 2005. — Vol. 52. — Pp. 53-76.

45. Artalejo J.R., Economou A., Gomez-Corral A. Algorithmic analysis of the Geo/Geo/c queue // European Journal of Operational Research. — 2008.

- Vol. 189. - Pp. 1042-1056.

46. Artalejo J.R., Lopez-Herrero M.J. Analysis of the busy period for the M/M/c queue: An algorithmic approach // Journal on Applied Probability.

- 2001. - Vol. 38. - Pp. 209-222.

47. Atencia L, Bounza G., Moreno P. An M^/G/l retrial queue with server breakdowns and constant rate of repeated attempts // Annals of Operational Research. - 2008. - Vol. 157. - Pp. 225-243

48. Avi-Izhak B., Naor P.P. Some queueing problems with service station subject to breakdown // Operations Research. — 1963. — Vol. 11. — Pp. 303-320.

49. Aviv Y.. Federgruen A. The value iteratuion method for countable state markov decision processes // Operations Research. — 1999. — Vol. 24. — Pp. 223-234.

50. Baker K.R. A note on operating policies for the queue M/M/l with exponential startups // INFOR. - 1973. - Vol. 11. - Pp. 71-72.

51. Blank J.P.C. A note on waiting times in systems with queues in parallel // Journal on Applied Probability. — 1987. — Vol. 24. — Pp. 540-546.

52. Borst S., Mandelbaum A., Reiman M.I. Dimensioning large call centers // Operations research. — 2004. - Vol. 52-N I-P. - Pp. 17-34.

53. Breuer L.,Dudin A.,Klimenok V. A retrial BMAP/PH/1 system // Queueing Systems. - 2002. - Vol. 40. - Pp. 433-457.

54. Cans N., Koole G., Mandelbaum A. Telephone call centers: Tutorial, review, and research prospects // Manufacturing and service operations management. - 2003. - Vol. 5-P. - Pp. 79-141.

55. Chakka R., Van Do T. The MM/^=1CPPk/GE/c/L G-queue with heterogeneous servers: Steady state solution and an application to performance evaluation // Performance Evaluation. — 2007. — Vol. 64.

- 191-209.

56. Chakravarthy S.R., A. Krishnamoorty A., Joshua V.C. Analysis of a multiserver retrial queue with search of customers from the orbit // Performance Evaluation. - 2006. - Vol. 63. - Pp. 776-798.

57. Choi B.D., Chang Y. Single server retrial queues with priority calls // Mathematical and Computer Modelling. — 1999. — Vol. 30. — Pp. 7-32.

58. Choi B.D., Rhee K.H., Park K.K. The M/G/l retrial queue with retrial rate control policy // Probability in the Engineering and Informational Sciences. - 1993. - Vol. 7. - Pp. 29-46.

59. Choi B.D., Shin Y. W., Ahn W. C. Retrial queues with collision arising from unslotted CSMA/CD protocol // Queueing Systems. — 1995. — Vol. 11. — Pp. 335-356.

60. Choudhury G.L., Lucantoni D.M., Whitt W. Multidimensional transform with applications to the transient M/G/l queue // The Annals of Applied Probability. - 1994. - Vol. 4(3). - Pp. 719-740.

61. Crabill T., Gross D., Magazine M.J. A classified bibliography of research on optimal design and control of queues // Operation Research. — 1977. — Vol. 25. - Pp. 219-232.

62. Derenick J., Thome C., Spletzer J. On the deployment of a hybrid free-space optic/radio frequency (FSO/RF) mobile ad-hoc networks // Poceeding of the Conference "Intelligent Robots and Systems" (IROS05).

- 2005. - Pp. 3990-3996.

63. Dimitrov B., Green D., Rykov V., Stanchev P. Reliability model for biological objects // Proceedings of the First Russian-French conference on "Longevity, Aging and Degradation Models" St. Peterburg, Russia / Ed. by Antonov V., Huber C., Nikulin M., Polischook V. — St.Peterburg: State Politechnical University, 2004. - Vol. 2. - Pp. 230-240.

64. Doshi B.T. Queueing systems with vacation - A survey // Queueing systems. - 1986. — Vol. 1. - Pp. 29-66.

65. Doshi B.T. Single-server queues with vacations //In Stochastic Analysis of Computer and Communications Systems. Amsterdam: Elsevier. 1990. — Pp. 217-265.

66. Doss R., Shui Y., Thapngam T. A transformation model for heterogeneous servers // Proceedings of the 10th IEEE International Conference on High Performance Computing and Communications. — 2008. — Pp. 665-671. doi:10.1109/HPCC.2008.42.

67. Dudin A., Nishimura S. A BMAP/SM/1 queueing system with Markovian arrival input of disasters // Journal of Applied Probability. — 1999. - Vol. 36. - Pp. 868-881.

68. Efrosinin D. Threshold behavior of optimal policies in controlled queueing systems // Abstracts of the conference "Distributed Computer Communication Networks" (DCCN03), Moscow. — 2002.

69. Efrosinin D. Controlled queueing systems with heterogeneous servers. Dynamic optimization and monotonicity properties. Saarbrücken: VDM Verlag, 2008. - 240 P.

70. Efrosinin D. Queueing model of a hybrid channel with faster link subject to partial and complete failures // Annals of Operations Research. — 2011. - Pp. 1-28. doi:10.1007/sl0479-011-0939-7.

71. Efrosinin D. On the optimal allocation problem for a data transmission channel with two types of links subject to failures// Proceeding of the 10th German Probability and Statistics Days, Mainz, Germany. — 2012.

72. Efrosinin D., Breuer L. Threshold policies for controlled retrial queues with heterogeneous servers // Annals of Operations Research. — 2006. — Vol. 141. - Pp. 139-162.

73. Efrosinin D., Rykov V. On performance characteristics for queueing systems with heterogeneous servers // Abstracts of the Second Madrid Conference on Queueing Theory (MCQT06). — Madrid: University of Madrid, 2006. - P. 50.

74. Efrosinin D., Rykov V. Structural properties of the optimal policy for the multi-server controlled retrial queueing systems // Abstracts of the 7th International Workshop on Retrial Queues / Ed. by Economou A., Artalejo J. — Athens: University of Athens, 2008. — P. 15.

75. Efrosinin D., Rykov V. The busy period analysis of a queue with heterogeneous servers and threshold-based service policy // Proceedings of the International Conference "Mathematical Methods for Analysis and Optimization of Information Telecommunication Networks" / Ed. by Dudin A., Klimenok V. - Minsk: Rivsh, 2009. - Pp. 61-66.

76. Efrosinin D., Rykov V. Queueing model of the FSO/RF hybrid channel with heterogeneous links subject to failures // Abstracts of the Second Madrid Conference on Queueing Theory (MCQT10), Toledo, Spain. — Madrid: University of Madrid, 2010. - P. 34.

77. Efrosinin D., Rykov V. Queueing model of the non-reliable hybrid data transmission channel with heterogeneous links // Proceedings of the International Conference "Mathematical Methods in Reliability"

(MMR11), Beijing, China / Ed. by Lirong C., Xian Z. — Beijing: Institute of Technology'Press, 2011. - Pp. 272-279.

78. Efrosinin D., Semenova O. Optimal control of M/M/l queueing system with constant retrial rate // Proceeding of the International Conference on Ultra Modern Telecommunications (ICUMT09),St. Peterburg. — IEEEXplore, 2009,- Pp. 1-6. doi:10.1109/ICUMT.2009.5345415.

79. Efrosinin D., Semenova 0. Queueing model with non-reliable server and threshold-based recovery // Proceedings of the International Conference "Mathematical Methods in Reliability" (MMR09), Moscow / Ed. by Rykov V., Nikulin M. - Moscow: PFUR, 2009. - Pp. 546-550.

80. Efrosinin D.; Semenova O. An M/M/l system with an unreliable device and a threshold recovery policy // Journal of Communications Technology and Electronics. - 2010. - Vol. 55(12). - Pp. 1526-1531.

81. Efrosinin D., Semenova O. Matrix-analytical approach to analysis of a single-server retrial queue with non-reliable removable server // Proceeding of the International Conference on Ultra Modern Telecommunications (ICUMT09), St. Peterburg. - IEEEXplore, 2010. - Pp. 1145-1149. doi: 10.1109/ICUMT.2010.5676526.

82. Efrosinin D., Sztrik J. Controllable damage model with gradual failures// Proceedings of the International Conference "Mathematical Methods in Reliability" (MMR09), Moscow / Ed. by Rykov V., Nikulin M. - Moscow: PFUR, 2009. - Pp. 130-133.

83. Efrosinin D., Sztrik J. Tool supported reliability analysis of finite-source retrial queues// Proceedings of the International Conference "Mathematical Methods in Reliability" (MMR09), Moscow / Ed. by Rykov V., Nikulin M. - Moscow: PFUR, 2009. - P. 551.

84. Efrosinin D., Sztrik J. Performance analysis of a two-server heterogeneous retrial queue with threshold policy // Quality Technology and Quantitative Management. - 2011. - Vol. 8(3). - Pp. 211-236.

85. Efrosinin D.. Sztrik J. Stochastic analysis of controlled retrial queues with heterogeneous servers and constant retrial rate // InfoiTnation processes. - 2011. - Vol. 11(1). - Pp. 114-139.

86. Efrosinin D., Winkler A. Telefonat mit dem Computer // Univationen. — 2010. - Vol. 3(10). - P. 29.

87. Efrosinin D., Winkler A. Queueing system with a constant retrial rate, non-reliable server and threshold-based recovery // European Journal of Operational Research. - 2011. - Vol. 210(3). - Pp. 594-605.

88. Efrosinin D., Winkler A., Pinzger M. Confidence intervals for performance measures of queueing systems with a constant retrial rate and a non-reliable server // Proceedings of the 9th International Workshop on Retrial Queues, Seville, Spain. — 2012.

89. Esary J.D., Marshall A.W., Proshan F. Shock models and wear processes // The Annals of Probability. - 1973. - Vol. 1(1). - Pp. 627-649.

90. Falin G. A survey of retrial queues // Queuemg Systems. — 1990. — Vol. 7. - Pp. 29-168.

91. Falin G., Martin M., Artalejo J.R. Information theoretic approximations for the M/G/l retrial queue // Acta Informática. — 1994. — Vol. 31. — Pp. 559-571.

92. Falin G., Templeton J.G.C. Retrial queues. London: Chapman&Hall, 1997.

93. Farahmand K. Single line queue with repeated demands // Queueing Systems. - 1990. - Vol. 6. - Pp. 223-228.

94. Farhadov M., Petukhova N., Efrosinin D., Semenova 0. Mathematical model of a call-center with self-service facility // Proceedings of the International Workshop "Distributed Computer Communication Networks" (DCCN'09), Sofia, Bulgaria. - Moscow: R&D Company "Information and Networking Technologoes 2009. — Pp. 86-95.

95. Farhadov M., Petukhova N., Efrosinin D., Semenova O. A model to control a queue in a voice selfe-service portal with fast and slow servers // Proceedings of the Third International Conference on Problems of Cybernetics and Informatics, Baku, Azerbaijan. — Baku: Elm. 2010. — Pp.239-243.

96. Fayolle G. A simple telephone exchange with delayed feedbacks // Teletraffic analysis and computer performance evaluation / Ed. by Boxma O.J., Cohen J.W., Tijms M.C. Amsterdam: North-Holland, 1986. - Pp. 245-253.

97. Feinberg M.A. Performance characteristics of automated call distribution systems / / Proceedings of the international coinference IEEE-GLOBECOM90. - 1990. - Pp. 415-419.

98. Figueiredo R., Fortes J. Impact of heterogeneity on DSM Performance // Proceedings of the 6th International Symposium on High Performance Computer Architecture (HPCA-6), Toulouse, France. - 2000. - Pp. 26-35.

99. Garnett O., Mandelbaum A., Reiman M. Designing a call center with impatient customers // Manufacturing and service operations management. - 2002. - Vol. 4-P. - Pp. 208-227.

100. Gertsbakh I. Reliability theory with application to preventive maintenance. Berlin: Springer-Verlag, 2000.

101. Ghoneim H.A., Stidham S. Control of arrivals to two queues in series // European Journal of Operational Research. — 1985. — Vol. 21. — Pp. 399-409.

102. Glover F. Tabu search - Part I // ORSA Journal on Computing. — 1989. - Vol. 1. - Pp. 190-206.

103. Glover F. Tabu search - Part II // ORSA Journal on Computing. — 1989.

- Vol. 2. - Pp. 4-32.

104. Glover F., Laguna M. Tabu search // Norwell, MA: Kluwer Academic Publishers, 1997. - P. 408.

105. Gogate N.R., Panwar S.S. Assigning customers to two parallel servers with resequencing // IEEE Communication Letters. — 1999. — Vol. 3(4).

- Pp. 119-121.

106. Goldshtein B.S., Freinkman V.A. Call-centers and computer telephony. SPb.: BHV - St.-Petersburg, 2002.

107. Gross D., Harris C.M. Fundamentals of queueing theory. New York: John Wiley&Sons, 1998. - 441 P.

108. Gomez-Corral A. A bibliographical guide to the analysis of retrial queues through matrix analytic techniques // Annals of Operations Research. — 2006. - Vol. 141. - Pp. 163-191.

109. Gomez-Corral A., Ramalhoto M.F. On the waiting time distribution and the busy period of a retrial queue with constant retrial rate // Stochastic Modelling and Applications. - 2000. - Vol. 3(2). - Pp. 37-47.

110. Guo X., Hernandez-Lerma 0. Continuous-time markov decision processes. Theory and applications. Heidelberg: Springer, 2009. — 231 P.

111. Heath T., Diniz B., Carrera E.V., Meira Jr.W., Bianchini R. Self-configuring heterogeneous server clusters // Proceedings of the Workshop on Compilers and Operating Systems for Low Power (COLP03), New Orleans, USA. - 2003.

112. Howard R. Dynamic programming and Markov processes. New-York: Wiley Series. — 1960.

113. Jiang F.-C., Huang D.-C., Yang C.-T., Leu F.-Y. Lifetime elongation for wireless sensor network using queue-based approaches // The Journal of Supercomputing. -2011. doi:10.1007/sll227-010-0537-5.

114. Kijima M. Markov processes for stochastic modelling. London: Chapman&Hall, 1997. - 341 P.

115. Kitaev M., Rykov V. Controlled queueing systems. New York: CRC Press, 1995. - 286 P.

116. Kleinrock L. Queueing systems. Vol 1: Theory. New York: Wiley, 1975.

117. Klimenok V.. Dudin A. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory // Queueing Systems. - 2006. - Vol. 54. - Pp. 245-259.

118. Klimenok V., Kim C.S., Orlovsky D., Dudin A. Lack of invariant property of Erlang BMAP/PH/N/0 model // Queueing System. - 2005. - Vol. 49. - Pp. 187-213.

119. Koole G. A simple proof of the optimality of a threshold policy in a two-server queueing system // Systems Control Letters. — 1995. — Vol. 26. — Pp. 301-303.

120. Koole G. Structural results for the control of queueing systems using event-based dynamic programming. Queueing Systems. 1998. — Vol. 30. — Pp. 323-339.

121. Koole G. Call center mathematics // Available at http://www. math.vu.nl/ koole/ccmath/ book.pdf, 2007.

122. Koole G. Monotonicity on Markov Reward and Decision Chains: Theory and Applications // Foundation and Trends in Stochastic Systems. — 2007. -Vol. 1(1). - Vol: 1-76.

123. Kopnov V. Optimal degradation process control by two-level policies // Reliability Engineering and System Safety. — 1999. — Vol. 66. — Pp. 1-11.

124. Kopnov V., Kanajev E. Optimal control limit for degradation process of a unit modeled as a Markov chain // Reliability Engineering and System Safety. - 1994. - Vol. 43. - Pp. 29-35.

125. Kopnov V., Timashev S. Optimal death process control in two-level policies // Proceedings of the 4th Vilnius Conference on Probability Theory and statistics, Vilnius, Lithuania. — 1985. — Vol. 4. — Pp. 308-309.

126. Kouvatsos D.D. Entropy maximisation and queueing network models // Annals of Operation Research. — 1994. — Vol. 48. — Pp. 63-126.

127. Kouvatsos D.D., Awan I. MEM for arbitrary closed queueing networks with RS-blocking and multiple job classes // Annals of Operation Research. - 1998. - Vol. 79. - Pp. 231-269.

128. Kumar B.K., Arivudainambi D., Vijayakumar A. An M/G/l/1 queue with unreliable server and no waiting capacity// Information and Management Sciences. — 2002. — Vol. 13. — Pp. 35-50.

129. Kumar B.K., S.P. Madheswari S.P. An M/M/2 queueing system with heterogeneous servers and multiple vacations / / Mathematical and Computer Modelling. - 2005. - Vol. 41. - Pp. 1415-1429.

130. Kumar B.K., S.P. Madheswari S.P.. Venkatakrishnan K.S. Transient solution of an M/M/2 queue with heterogeneous servers subject to catastrophes// Information and Management Sciences. — 2007. — Vol. 18(1). - Pp. 63-80.

131. Larsen R.L. Control of multiple exponential servers with application to computer systems // Ph.D. Thesis. — University of MD, 1981.

132. Larsen R.L., Agrawala A.K. Control of a heterogeneous two-server exponential queueing system // IEEE Transactions on Software Engineering. - 1983. - Vol. 9(4). - Pp. 522-526.

133. Le Ny L.M., Tuffin B. A simple analysis of heterogeneous multi-server threshold queues with hysteresis // Institut National de Recherche en Informatique, France. — 2000.

134. Lehtonen T. Stochastic comparisons for many server queues with non-homogeneous exponential servers // Opsearch. — 1983. — Vol. 20(1). — Pp. 1-15.

135. Lerma O.H., Lass ere J.B. Discrete-Time Markov Control Processes // New-York: Applications of Mathematics, 1996. — 146 P.

136. Levy Y., Yechiali U. An M/M/S queue with servers' vacations// Infor.

- 1976. - Vol. 14. - Pp. 153-163.

137. Li W., Zhao Y.Q. A retrial queue with a constant retrial rate, server downs and impatient customers // Stochastic Models. — 2005. — Vol. 21.

- Pp. 531-550.

138. Lin W., Kumar B.R. Optimal control of a queueing system with two heterogeneous servers // IEEE Transactions on Automatic Control — 1984. - Vol. 29. - Pp. 696-703.

139. Lisniansky A., Levitin G. Multi-state system reliability. Assessment, optimization and application // New Jersey, London, Singapore, Hong Kong: World Scientific, 2003.

140. Luh H.P., I. Viniotis I. Threshold control policies for heterogeneous server systems // Mathematical Methods of Operations Research. — 2002. — Vol. 55. - Pp. 121-142.

141. Martin M., Artalejo J. Analysis of an M/G/l queue with two types of impatient units // Advances in Applied Probability. — 1995. — Vol. 27. — Pp. 840-861.

142. McCormick W.P., Park Y.S. Approximating the distribution of the maximum queue length for M/M/s queues // Queueing and Related Models/ Ed. by Bhat U.N., Basawa I.V. - Oxford: Clarendon Press, 1992.

- Pp. 240-261.

143. Mine H., Osaki S. Markovian Decision Processes // New York: Elsevier, 1970. - V. XI. - 142 P.

144. Mitrani I.L., Avi-Itzhak B. A many server queue with service interruptions // Operations Research. - 1967. - Vol. 16. - Pp. 628-638.

145. Mitrani I.L., Chakka R. Spectral expansion solution for a class of Markov models: Application and comparison with the matrix-geometric method // Performance Evaluation. - 1995. - Vol. 23. — Pp. 241-260.

146. Murphy D.N.P.,Iskandar B.P. A new shock damage model: Part II -Optimal maintenance policies // Reliability of Engineering System Safety.

- 1991. - Vol. 31. - Pp. 211-231.

147. N adeem F., Leitgeb F., Kvicera V., Grabner M., Awyn M.S., Kandus G. Simulation and analysis of FSO/RF switch over for different, armospheric effects // Proceedings of the International Conference ConTEL, Zagreb, Croatia. - 2009. - Pp. 39-43.

148. Nelson R. Probability, stochastic processes and queueing theory. New-York: Springer, 1995.

149. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models // Baltimore: The John Hopkins University Press, 1981.

150. Neuts M.F., Lueantoni D.M. A Markovian queue with N servers subject to breakdowns and repairs // Management Science. — 1979. — Vol. 25. — Pp. 849-861.

151. Neuts M.F., Rao B.M. Numerical investigation of a multiserver retrial model // Queueing Systems. — 1990. — Vol. 7. — Pp. 169-190.

152. Nobel R. Hysteretic and heuristic control of queueing systems // PhD Thesis, Vrije University, Holland, 1998.

153. Nobel R., Tijms H.C. Optimal control of a queueing system with heterogeneous servers and set-up costs // IEEE Transactions on Automation Control. - 2000. - Vol. 45(4). - Pp. 780-784.

154. Primetzhofer D., Markin S., Efrosinin D., Steinbauer E.. Andrzejewski R.; Bauer P. Influence of screening length modification on the scattering cross section in LEIS // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. - 2011. - Vol. 269(11). - Pp. 1292-1295.

155. Puterman M.L. Markov decision process. New-York: Wiley series in Probability and Mathematical Statistics, 1994.

156. Ramalhoto M.F.. Gomez-Corral A. Some decomposition formulae for M/M/r/r + d queue with constant retrial rate // Stochastic Models. — 1998. - Vol. 14. - Pp. 123-145.

157. Rosberg Z., Makowski A.M. Optimal routing to parallel heterogeneous servers - small arrival rates // Transactions on automatic control. — 1990. - Vol. 35(7). - Pp. 789-796.

158. Roslakov A. V. Modern condition and prognosis of call centers development // Infosphera. - 2001. - Vol. 11.

159. Roslyakov A.V., Samsonov M.U., Shibaeva I.V. Call centers. Moscow: Eco-Trends, 2002.

160. Ross S. Applied probability models with optimization applications. San Francisco: Holden Day, 1970. - 225 P.

161. Rykov V. Monotone control of queueing systems with heterogeneous servers /,/ QUESTA. - 2001. - Vol. 37. - Pp. 391-403.

162. Rykov V. Generalized birth and death processes and their application to aging models // Automatic and Remote Control. — 2006. — Vol. 3 — Pp 103-120.

163. Rykov V., Buldaeva E. On reliability control of fault tolerance units: regenerative approach // Proceedings of the XXIV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Jurmala, Latvia, 2004.

164. Rykov V., Dimitrov B. On multi-state reliability systems // Proceedings of Seminar "Applied Stochastic Models and Information Processes 2002. — Pp. 128-135.

165. Rykov V., Dimitrov B., Green Jr. D., Stanchev P. Reliability of complex hierarchical systems with fault tolerance units // Abstracts of the Fourth International Conference on Mathematical Methods in Reliability (MMR04). Los Alamos: Los Alamos National Laboratory, 2004.

166. Rykov V., Efrosinin D. Numerical analysis of optimal control policies for MAP/PH/K queueing systems with heterogeneous servers // Proceedings of the memorial seminar dedicated to the 60th birthday of Kalashnikov V. "Applied Stochastic Models and Information Processes"/ Ed. by Korolev V., Morozov E., Norberg R.,Schmidt H. Petrozavodsk: Karelian Research Center RAS, 2002. - Pp. 136-140.

167. Rykov V., Efrosinin D. Numerical analysis of optimal control policies for queueing systems with heterogeneous servers // Abstracts of the First Madrid Conference on Queueing Theory (MCQT02), Madrid, Spain. — Madrid: University of Madrid, 2002.

168. Rykov V., Efrosinin D. Optimal control of queueing systems with heterogeneous servers // Queueing Systems. — 2004. — Vol. 46. — Pp. 389-407.

169. Rykov V., Efrosinin D. On reliability control of fault tolerance units // Abstracts of the Fourth International Conference on Mathematical Methods in Reliability (MMR04). Los Alamos: Los Alamos National Laboratory, 2004.

170. Rykov V., Efrosinin D. Reliability control of biological systems with failures // Proceedings of the conference "Longevity, Aging and Degradation Models"/Ed. by Antonov V., Huber C., Nikulin M., Polischook V. St.Peterburg: St.Peterburg State Politechnical University, 2004. — Vol. 2. - Pp. 241-255.

171. Rykov V., Efrosinin D. On stability of parameters estimation of MAP // Proceeding of the XXV International Seminar on Stability Problems for Stochastik Models/Ed. by Bocharov P., D'Apice C., Korolev V.,Pechinkin A. Salerno: University of Salerno, Fisciano (SA), 2004. - Pp. 242-249.

172. Rykov V., Efrosinin D. The waiting time distribution for controlled queueing systems with heterogeneous servers // Abstracs of the XXVI International Seminar on Stability Problems for Stochastik Models. — Sovata-Bai, Romania, 2006.

173. Rykov V., Efrosinin D. Risk analysis of controllable degradation model with preventive repair / / Abstracs of the international conference "Mathematical Methods in Reliability" (MMR07) / Ed. by Bedford T., Walls L., Ouigley J., Alkali B., Daneshkhah A.. Hardman G. — Glasgow: Ubniversity of Strathclyde, 2007. - R 136.

174. Rykov V., Efrosinin D. Degradation models with random life resources // Abstracs of the XII International Conference on Applied Stochastic Models and Data Analysis (ASMADA) / Ed. by Skiadas H. - Chania: IBM, IASC, MAICh, 2007. - P. 162.

175. Rykov V., Efrosinin D. Degradation models with random life resources // Communications in Statistics - Theory and Methods. — 2010. — Vol. 39.

- Pp. 398-407.

176. Rykov V., Efrosinin D. On optimal control of systems with random life resources// Proceedings of the International Conference "Mathematical Methods in Reliability" (MMR11), Beijing, China / Ed. by Lirong C., Xian Z. — Beijing: Institute of Technology Press, 2011. — Pp. 414-420.

177. Rykov V., Efrosinin D. On a slow server problem: solution and applications// Abstracs of the XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastik Models, Svetlogorsk, Russia/ Ed. by Korolev V., Shorgin S. — Moscow: Institute of Informatic Problems, 2011. — Pp. 45-46.

178. Rykov V., Efrosinin D. On optimal control of systems on their life time // Recent advances in system reliability / Ed. by Lisnianski A., Frenkel I. — Berlin: Springer-Verlag, 2012. — Springer Series in Reliability Engineering.

- Pp. 307-319.

179. Rykov V., Efrosinin D., Breuer L. Optimization algorithm application for queue system MAP/PH/K with heterogeneous servers // Abstracts of the XXXVIII All-Russian Scientific Conference. - Moscow: PFUR, 2002. - P. 41.

180. Sennott L. Average cost optimal stationary policies in infinite state markov decision processes with unbounded costs // Operasions Research. — 1989.

- Vol. 4. - Pp. 626-633.

181. Sennott L. Stochastic dynamic programming and control of queueing systems. New York: Wiley, 1999.

182. Sciuto D., Salice F., Pomante L., Fornaciari W. Metrics for design space exploration of heterogeneous multiprocessors embedded systems // Proceedings of the tenth International Simposium on Hardware/Software Codesign (CODES02), Colorado, USA. - 2002. - Pp. 55-60.

183. Shenker S., Weinrib A. Asymptotic analysis of large heterogeneous queueing systems // Bell Communication Research, 1988.

184. Sherman N.P., Kharoufeh J.P. An M/M/l retrial queue with unreliable server // Operations Research Letters. — 2006. — Vol. 34(6). — Pp. 697705.

185. Singpurwalla N.D. The hazard potential: introduction and overview // Journal of the American Statistical Association. — 2006. — Vol. 101(476).

- Pp. 1705-1717.

186. Singpurwalla N.D. Reliability and Risk // Chichester, England: Wiley&Sons Ltd., 2006.

187. Solonin V. Call-centers in modern business in Russia // Available at http://www.cnews.ru/ reviews/free/call-center, 2005.

188. Solovyev A. Asymptotic behaviour of the time of the first occurence of a rare event // Engineerung Cybernetics. — 2005. — Vol. 9. — Pp. 1038-1048.

189. Stecke K., Kim I. Performance evaluation for systems of pooled machines of unequal sizes: Unbalancing vs. blocking // European Journal of Operations Research. — 1989. — Vol. 42. — Pp. 22-38.

190. Sztrik J., Roszik J. Performance analysis of finite-source retrial queueing systems with nonreliable heterogeneous servers // Journal of Mathematical Sciences. - 2007. - Vol. 146(4). - Pp. 6033-6038.

191. Talman A.J.J. A simple proof of the optimality of the best Af-policy in the M/G/l queueing control problem with removable server // Statistica Neerlandica. - 1979. - Vol. 17. - Pp. 143-150.

192. Tijms H.C. Stochastic models. An algorithmic approach. New-York: John Wiley and Sons. - 1994. - P. 375.

193. Trancoso P. One size does not fit all: A ease for heterogeneous multiprocessor systems // Proceedings of the International Conference Applied Computing (IADIS05), Algarve, Portugal. - 2005. - Pp. 15-22.

194. Tseytlin Y. Queueing systems with heterogeneous servers: Improving pationt.s' flow in hospitals // Master of Science research proposal, Israel Institute of Technology. — 2007.

195. Van Do T., Chakka R. An efficient method to compute the rate matrix for retrial queues with large number of servers // Applied Mathematics Letters.

- 2010. - Vol. 23. - Pp. 638-643.

196. Viniotis I., Ephremides A. Extension of the optimality of a threshold policy in heterogeneous multi-server queueing systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1988. — Vol. 33. — Pp. 104-109.

197. Walrand J. A note on 'Optimal control of a queueing system with two heterogeneous servers' // Systems Control Letters. — 1984. — Vol. 4. — Pp. 131-134.

198. Wang K.H. Optimal control of a removable and non-reliable server in an M/M/l queueing system with exponential startup time // Mathematical Methods of Operations Research. — 2003. — Vol. 58. — Pp.' 29-39.

199. Wang D., Abouzeid A.A. Throughput of hybrid radio-frequency and free-space-optical (RF/FSO) multi-hop networks // Information Theory and Applications Worshop, USA. - 2007. - Pp. 1-8.

200. Wang J., Cao J., Li Q. Reliability analysis of the retrial queue with server breakdowns and repairs // Queueing Systems. — 2001. — Vol. 38. — Pp. 363-380.

201. Weber R. On a conjecture about assigning jobs to processors of different speeds // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1993. — Vol. 38. — Pp. 166-170.

202. Yadin M., Naor P. Queueing systems with a removable service station // Operational Research Quarterly. — 1963. — Vol. 14. — Pp. 393-405.

203. Yang T., Li H. The M/G/l retrial queue with the server subject to starting failures // Queueing Systems. — 1994. — Vol. 16. — Pp. 83-96.

204. Yang T., Templeton J.G.C. A survey on retrial queues // Queueing Systems. - 1987. - Vol. 2. - Pp. 201-233.

205. Yue D., Yue W., Yu J., Tian R. A heterogeneous two-server queueing system with balking and server breakdowns// Proceedings of the International Symposium on Operational Research and Its Applications. China, 2009.

206. Yue D., Cao J. Reliability analysis of a M?1, Mf2/Gi,G2/1 queueing system with a repairable service station // Microelectronics and Reliability.

- 1997. - Vol. 37. - Pp. 1225-1231.

207. Zarubin A. Call- and contact-centers: evolution of technologies and mathematical models // Vestnik svyazi (Russia). — 2003. — Vol. 8. — Pp. 85-88.

208. Zeltyn S.; Mandelbaum A. Call centers with impatient customers: many-server asymptotics of the M/M/n+G queue // Queueing Systems. — 2005.

- Vol. 51(3-4). - Pp. 361-402.

209. Zhozhikashvili V, Bilik R., Vertlib V., Myasoedova Z.; Petukhova N., Farkhadov M. Intellectual telephone services on basis of speech technologies // Information-measuring and operating systems. — 2007. — Vol. 2. — Pp. 75-78.

210. Zohghao Z., Yijuan Z. Reliability analysis of the MAP/M/c queue with server breakdowns // Journal of Convergence Information Technology. — 2010. - Vol. 5(5). - Pp. 125-130.