Методы анализа структуры взаимосвязей социально-экономических показателей: На примере межстрановых и межрегиональных исследований тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Губуров, Эльбрус Вячеславович

• Губуров, Эльбрус Вячеславович
• кандидат экономических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Губуров, Эльбрус Вячеславович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ АНАЛИЗА СТРУКТУРЫ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ МНОГОМЕРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРИЗНАКА.

1.1. Метод В-коэффициентов

1.2. Два алгоритма экстремальной группировки признаков

Первый алгоритм экстремальной группировки

Второй алгоритм экстремальной группировки

1.3. Алгоритм Лумельского

1.4. Метод корреляционных плеяд

1.5. Деревья зависимостей

Прямые и опосредованные связи

1.6. Метод Чоу

Качество оценок

1.7. Метод Демпстера

Итерационная процедура алгоритма Демпстера

1.8. Теоретико-информационный подход к структуре случайной величины

Энтропия и информация случайной величины

Алгоритм определения жесткой структуры

Алгоритм приближенного определения жесткой структуры, коэффициент информативности

Энтропия и информация в случае нормального распределения

Выводы и результаты первой главы

ГЛАВА II. ПРОГРАММНО-АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ АНАЛИЗА СТРУКТУРЫ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ МНОГОМЕРНОГО НОРМАЛЬНОГО ВЕКТОРА

II. 1. Выбор инструментальных средств

Хранение данных

Клиентское приложение

II.2. Структура базы данных

11.3. Библиотека матричных вычислений

11.4. Генерирование псевдослучайных нормально распределенных чисел с заданной ковариационной матрицей

Выводы и результаты второй главы

ГЛАВА III. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДОВ ГРУППИРОВКИ ПРИЗНАКОВ И ВЫЯВЛЕНИЯ СТРУКТУРЫ СВЯЗЕЙ. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ В ИССЛЕДОВАНИЯХ КАЧЕСТВА И ОБРАЗА ЖИЗНИ НАСЕЛЕНИЯ ТЕРРИТОРИЙ

111.1. Исследование эффективности алгоритмов группировки признаков и выявления структуры связей с помощью вычислительных экспериментов

111.1.1. Анализ эффективности алгоритмов группировки признаков.

III. 1.2. Анализ эффективности методов выявления структуры связей многомерного случайного признака

111.2. Применение алгоритмов группировки признаков и выявления структуры связей в межрегиональных и межстрановых исследованиях

111.2.1. Эконометрический анализ синтетических категорий качества жизни населения субъектов РФ

111.2.2. Межстрановые исследования качества жизни населения

Выводы и результаты третьей главы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа структуры взаимосвязей социально-экономических показателей: На примере межстрановых и межрегиональных исследований»

При изучении сложных объектов, характеризующихся большим количеством признаков (переменных) перед исследователем неизбежно встает проблема обработки исходных экспериментальных данных и их структурного анализа. Часто этот процесс сопряжен со значительными трудностями, и вполне естественным и логичным является желание сократить описание измеряемой информации с целью получения легко интерпретируемых результатов. Решение последней задачи осложнено тем, что, как правило, измеряемые признаки лишь косвенно отражают существенные факторы, характеризующие исследуемые объекты, так что возникает необходимость в разработке специальных методов для извлечения требуемой информации об этих факторах.

Например, в экономических исследованиях качества и образа жизни населения территорий измеряемыми признаками являются различные статистически регистрируемые показатели: ВВП на душу населения, уровень инфляции, среднедушевой доход, неграмотность, количество тяжких преступлений и др. Существенными же факторами являются такие синтетические категории, как «качество жизни», «уровень благосостояния», «качество социальной сферы», «качество населения», «качество экологической ниши» и др. В процессе изучения химических реакторов может быть измерена температура и давление в различных точках, расходы реагентов и т. п., тогда как существенными факторами, характеризующими состояние реактора, являются качество катализатора, интенсивность массообмена, граница жидкой и паровой фаз и т. д. В психологии измеряемыми признаками являются реакции людей на различные тесты, а существенными факторами - такие непосредственно не измеряемые характеристики субъекта, как «степень интеллектуальности», «работоспособность», «тип нервной системы» и т. д. В социологических исследованиях измеряемыми признаками являются ответы на различные вопросы анкет или реакции людей в условиях социологических экспериментов, а существенным фактором - отношение людей к той или иной социальной или демографической группе.

В этих и других многочисленных примерах такого рода количество измеряемых признаков несоизмеримо больше числа существенных факторов и задача, прежде всего, заключается в том, чтобы выявить эти факторы. Когда такие факторы выявлены, естественно возникает задача сокращения числа измеряемых признаков (число показателей, определяющих качество жизни, число тестов в психологических исследованиях, число вопросов в социологических исследованиях и т. д.), при котором не теряется информация, нужная для определения существенных факторов.

Решение обеих указанных выше задач может опираться на следующее обстоятельство, как правило, имеющее место в приложениях, примеры которых были ранее приведены. В этих приложениях изменение какого-либо фактора сказывается неодинаково на всех измеряемых величинах, и поэтому среди измеряемых величин могут быть выделены группы, наиболее сильно реагирующие в отдельности на каждый из факторов.

Из сказанного вытекает следующее естественное предположение: измеряемые признаки наиболее сильно коррелируют друг с другом в том случае, когда они наиболее сильно зависят от одного и того же фактора. Приняв это предположение как исходную гипотезу, можно строить разбиение всех измеряемых признаков на такие непересекающиеся группы, что признаки, принадлежащие одной группе, в некотором смысле сильно коррелируют между собой, а признаки, принадлежащие разным группам, коррелированы относительно слабо. Задача такого рода называется задачей группировки признаков [Браверман (1970)], и может иметь как самостоятельное, так и вспомогательное значение. (Задача о выявлении факторов без группировки признаков, либо в условиях, когда эта группировка предопределена заранее, решается методами факторного анализа).

В упоминавшемся выше примере исследования качества и образа жизни населения задача группировки признаков имеет самостоятельное значение. В этом случае набор переменных разбивается на непересекающиеся группы таким образом, чтобы первая группа хорошо характеризовала качество населения, вторая - уровень благосостояния и т.д.

Приведем примеры, в которых задача группировки признаков возникает как вспомогательная.

Некоторые методы факторного анализа, например би-факторный метод К. Холзингера [Харман (1972)], требуют предварительного разбиения признаков на группы с сильной внутренней связью. Как правило, это делается неформально исследователем-специалистом в данной области.

В задаче автоматической классификации (распознавание образов без обучения) часто бывает необходимо проводить классификацию в подпространствах разных групп признаков, каждая из которых характеризует какую-либо одну сторону объекта. Поэтому предварительно необходимо из всего имеющегося набора тестов выделить данные группы.

В качестве еще одного примера можно привести задачу построения интегрального латентного показателя качества сложной системы в том случае, когда в составе исследуемого набора частных показателей имеется определенное количество взаимно слабо коррелированных переменных, хотя каждая из них вносит существенный вклад в описание и интерпретацию анализируемого интегрального показателя. В этой ситуации аппроксимация всех исследуемых признаков по значению единственного скалярного индикатора может не давать удовлетворительного результата, и одним из способов решения задачи является разбиение исходного набора переменных на группы и построение интегрального показателя для каждой из групп [Айвазян (2003а)].

Известны несколько различных эвристических алгоритмов решения задачи группировки признаков. Большинство из них используют в качестве матрицы меры связи между переменными матрицу корреляций или ковариаций. Здесь мы дадим краткое описание алгоритмов на уровне идеи, более подробные сведения изложены в первой главе данной работы.

Метод ^-коэффициентов основывается на последовательном формировании групп посредством вычисления так называемого В-коэффициента (коэффициента принадлежности, определяемого как отношение среднего коэффициентов корреляции между признаками текущей группы к среднему коэффициентов корреляции признаков текущей группы со всеми остальными), и отслеживания момента резкого уменьшения значения указанного коэффициента [Харман (1972), с. 132-135].

Метод экстремальной группировки признаков, основан на экстремизации некоего функционала, зависящего как от способа группировки, так и от выбора скрытых факторов. Функционал выбирается таким образом, что его экстремизация (как по разбиению, так и по выбору факторов) интуитивно соответствует описанной содержательной задаче разбиения признаков на группы, также решая задачу выявления существенных факторов [Браверман (1970)].

Алгоритм Лумельского, позволяет группировать признаки на основе квадратной матрицы связей произвольной природы (например, матрицы дисперсионных отношений, ранговой корреляции и т.д.) В основе процедуры алгоритма лежит понятие меры близости между группами переменных и последовательное объединение наиболее близких групп до достижения заданного числа групп [Лумельский (1970)].

В различных версиях метода корреляционных плеяд по определенным правилам строится некоторый ненаправленный граф с вершинами, соответствующими переменным, и ребрами, соответствующими связям между переменными. На конечном шаге алгоритма, когда граф построен, задается пороговое значение коэффициента корреляции между признаками, и граф разбивается на подграфы, вершины каждого из которых соответствуют группам признаков [Айвазян, Мхитарян (2001), т.1, с. 577-580], [Лумельский (1970)].

Помимо разбиения множества исследуемых признаков на непересекающиеся группы, еще одним инструментом структурного анализа данного множества являются графы структуры зависимостей многомерной случайной величины. Идея данного подхода состоит в представлении характера связей между переменными в виде ненаправленного графа, вершины которого (аналогично методу корреляционных плеяд) соответствуют признакам, а ребра - связям между ними. Однако ребрами соединяются только те вершины, которые соответствуют переменным, непосредственно связанным между собой, либо переменным, связь которых между собой статистически значима.

Графы структуры предоставляют исследователю инструмент визуального анализа, опирающийся на серьезный математический аппарат, и позволяют выявить те признаки (вершины графа), которые имеют наибольшее количество связей (ребер графа) с другими переменными, и, следовательно, играют центральную, ключевую роль в изучаемом наборе переменных. В некоторых случаях вокруг таких признаков могут образовываться выраженные группы переменных. Также граф структуры зависимостей может иметь изолированные вершины, соответствующие признакам, не связанным с остальными.

Теоретические аспекты подхода, опирающегося на графы структуры зависимостей многомерной случайной величины, подробно исследованы в работе [Гаврилец (1974), с. 117-166], в которой формализуется понятие структуры многомерной случайной величины и подробно исследуются ее свойства. В этой же работе предлагаются алгоритмы выявления графа структуры, основанные на теоретико-информационном подходе, которые будут рассмотрены в главе I.

Одной из реализаций графов структуры зависимостей являются деревья зависимостей, введенные в статистическую практику Чоу [Chow, Liu (1968)]. Предлагается представлять структуру связей между компонентами многомерного нормально распределенного признака в виде связанного графа без циклов {дерева), вершины которого, как и ранее, соответствуют переменным, а ребра - связям между ними. Весом ребра называется абсолютная величина коэффициента корреляции между признаками, которым соответствуют соединяемые данным ребром вершины графа [Айвазян, Енюков, Мешалкин (1985)]. В работе [Chow, Liu (1968)] доказывается, что задача построения дерева структуры зависимостей на основании корреляционной матрицы может быть сведена к задаче построения дерева максимального веса на вершинах, соответствующих исходным признакам, которая, в свою очередь, решается с помощью алгоритма Крускала [Айвазян, Енюков, Мешалкин (1985)], [Weinberg (2005)]. Существуют модификации указанного метода для больших объемов данных [Meila (1999)].

Подход Демпстера к построению графа структуры зависимостей многомерного нормально распределенного случайного признака с нулевым вектором средних значений состоит в первоначальном предположении, что все переменные независимы, ковариационная (корреляционная) матрица имеет диагональный вид, ребра в графе отсутствуют. На каждом шаге выбирается такой из элементов выборочной ковариационной (корреляционной) матрицы, который дает наибольшее приращение оценке логарифмической функции максимального правдоподобия для этой матрицы, и строится соответствующее ребро графа. Процесс продолжается до тех пор, пока приращение на следующем шаге не станет статистически незначимым (уровень значимости задается исследователем). Построенный таким образом граф не обязательно будет представлять собой дерево [Dempster (1972)], [Weinberg (2005)].

Актуальность темы. Рассматриваемые в данной работе методы группировки признаков и выявления структуры взаимосвязей между признаками, имеют широкое применение в социально-экономических исследованиях, оперирующих большим количеством статистических показателей. На определенных этапах подобных исследований, как правило, возникает необходимость снижения количества обрабатываемой информации, ее структурного анализа, классификации сообразно целям исследования. Чаще всего решение перечисленных задач производится экспертом-исследователем на основании содержательных рассуждений о природе изучаемых объектов и, очевидно, при большом количестве признаков связано с серьезными трудностями. В связи с этим становится актуальным применение математического инструментария для поиска решения описанных задач.

Анализ литературы показывает, что исследователями в разные годы проделана большая работа по разработке методов решения проблемы анализа и описания структуры статистических связей, существующих между исследуемыми статистическими показателями. Но на сегодняшний день указанные методы не получили широкого практического применения по причине очень малого числа работ, посвященного их сравнительному анализу, а также вследствие отсутствия программно-алгоритмической реализации, позволяющей автоматизировать их применение на практике. Высказанные соображения предопределили выбор темы, целей и задач данной работы.

Целью работы является создание программно-алгоритмической системы анализа структуры взаимосвязей между статистическими показателями и использование этой системы в межстрановом и межрегиональном анализе синтетических категорий качества жизни населения.

Задачи, возникающие в рамках достижения поставленной цели, можно обозначить следующим образом:

1) Аналитический обзор существующих методов выявления структуры взаимосвязей между компонентами многомерного случайного признака.

2) Сравнительный анализ эффективности рассматриваемых методов с помощью проведения вычислительных экспериментов на модельных и реальных данных.

3) Разработка необходимого программного обеспечения, т.е. создание программного комплекса, позволяющего осуществлять вычислительную реализацию каждого из рассматриваемых методов.

4) Структуризация и анализ переменных, характеризующих уровень материального благосостояния в межрегиональном исследовании субъектов РФ и качество жизни населения в межстрановых сопоставлениях.

В настоящее время существует множество программно-алгоритмических средств (пакетов), обладающих мощным статистическим инструментарием: EViews, SPSS, Statistica и др. Однако при всем богатстве предоставляемых исследователю методов, вышеперечисленные алгоритмы структурного анализа исследуемых показателей на сегодняшний день, насколько нам известно, в данных пакетах не представлены. Принимая во внимание указанный факт, приходим к следующему выводу.

Новизна и основные результаты предлагаемой работы:

1) Произведен сравнительный анализ эффективности методов структурного анализа взаимосвязей между компонентами многомерного случайного вектора, а именно: алгоритмов ^-коэффициентов, экстремальной группировки признаков, Лумельского, Чоу, Демпстера и алгоритмов, основанных на теоретико-информационном подходе. Создано программно-алгоритмическое средство, в рамках которого исследователю предоставляется возможность практического применения перечисленных методов структурного анализа статистических данных, которые не представлены, насколько нам известно, в распространенных статистических пакетах.

2) На базе методики построения синтетических показателей (интегральных индикаторов) качества жизни населения, предложенной в работе [Айвазян (20036)], разработанное программное средство использовано для построения и эмпирического анализа структуры связей, существующих между указанными индикаторами. Расчеты производятся на основе данных по странам [WCY (1996 - 2004)] и регионам Российской Федерации за 1997-2003 гг.

Кроме того, созданный программный продукт обладает удобным современным интерфейсом и предоставляет возможности полноценного ввода, хранения, обработки статистических данных, гибкого экспорта полученных результатов в другие приложения, а также ряд вспомогательных инструментов. Среди этих инструментов: унификация шкал измерений; основные операции матричной алгебры (вычисление определителей, обратных матриц, собственных значений); генерирование нормально распределенных псевдослучайных величин с заданными параметрами; определение размерности многокритериального пространства (многокритериальная классификация в условиях отсутствия обучения); вычисление первых главных компонент, включая модифицированные; определение удельной значимости каждой из построенных интегральных характеристик (в случае разбиения исходного набора признаков на группы); взвешенная многокритериальная процедура индивидуального рейтингования наблюдений в пространстве модифицированных первых главных компонент; ранжировка наблюдений по значению вычисленного интегрального индикатора, а также по экспертному значению индикатора (если экспертная оценка существует и известна); вычисление ранговых коэффициентов корреляции Спирмена.

При создании программного продукта в качестве инструментального средства использовалась среда разработки Borland Delphi 6. Роль хранилища данных выполняет Microsoft Access, как одно из наиболее доступных средств для большинства пользователей. В процессе проектирования и программирования автор всячески старался не ограничивать возможности расширения (масштабируемости) создаваемого приложения. В этой связи внутренняя реализация библиотеки операций над матрицами использует все основные преимущества объектно-ориентированного программирования. Кроме того, реализованное программное средство использует технологию Microsoft ADO [Кэнту (2001), с. 512-514] для связи с хранилищем данных и производит операции над данными посредством инструкций языка SQL [Грабер (2003)]. Примененный подход позволяет, в случае необходимости, с минимальными затратами преобразовать приложение в клиент-серверную систему, перенеся данные на мощную серверную платформу, например Oracle, Microsoft SQL Server, InterBase и т.п. Это даст возможность одновременного использования данных несколькими пользователями в сети и позволит производить трудоемкие расчеты на стороне сервера, что значительно повысит производительность и вычислительные возможности системы [Кэнту (2001), с. 465-467].

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Губуров, Эльбрус Вячеславович

Выводы и результаты третьей главы

1.С помощью численных экспериментов осуществлен сравнительный анализ эффективности методов, анализируемых в данной работе. Выявлены их сильные и слабые стороны, область применимости методов, целесообразность применения в различных ситуациях.

2. На основании практического применения методов группировки признаков можно сделать вывод об их практической полезности и достаточной эффективности в социально-экономических исследованиях качества и образа жизни населения стран и регионов. Кроме того, очевидно, что рассмотренные алгоритмы группировки представляют собой полезный инструмент в исследованиях любого рода, требующих разбиения наборов случайных величин на непересекающиеся группы однородных тесно коррелированных переменных.

3. Не вызывает сомнений полезность методов построения графа структуры связей между компонентами многомерного случайного признака при исследовании не очень больших наборов переменных (порядка 10-15 признаков), так как указанные методы предоставляют инструмент для выявления признаков, играющих центральную роль в анализируемом наборе, а также дают возможность визуального анализа структуры взаимосвязей между признаками.

4. Реализовано применение рассмотренных методов в актуальных исследованиях качества и образа жизни населения территорий. При этом получены хорошие результаты, в большинстве случаев допускающие содержательную экономическую трактовку.

Заключение

Оформим основные результаты работы, выводы и предложения в виде следующих пунктов:

1. Проведена классификация методов исследования структуры взаимосвязей между социально-экономическими показателями и осуществлен сравнительный анализ их эффективности. Выявлены сильные и слабые стороны методов, область их применимости, целесообразность применения в различных ситуациях.

2. Создан программный продукт, позволяющий применять исследованные методы на практике, и предоставляющий исследователю необходимый инструментарий для построения и анализа интегральных индикаторов качества жизни населения территорий. Учитывая, что рассматриваемые алгоритмы, на сегодняшний день, не реализованы в известных статистических программных пакетах, их машинная реализация является важным результатом проделанной работы.

3. На основании практического применения методов группировки признаков сделаны выводы об их практической полезности и достаточной эффективности в социально-экономических исследованиях качества и образа жизни населения стран и регионов. Кроме того, рассмотренные алгоритмы представляют собой полезный инструмент в исследованиях любого рода, требующих разбиения наборов случайных величин на непересекающиеся группы однородных тесно коррелированных переменных.

4. Относительно методов построения графа структуры связей между компонентами многомерного случайного признака можно сделать вывод об их полезности при исследовании не очень больших наборов переменных (порядка 10-15 признаков), так как они предоставляют инструмент для выявления признаков, играющих центральную роль в анализируемом наборе, а также дают возможность визуального анализа структуры взаимосвязей между признаками. В случае анализа наборов переменных большей размерности ответ на вопрос о ценности методов выявления графа структуры связей могут дать только дальнейшие практические исследования.

5. Все рассмотренные в работе методы являются эвристическими, и представляют собой важный вспомогательный инструмент в рамках различных исследований. Назначение методов состоит не в том, чтобы найти единственно правильный ответ на поставленную задачу, а в том, чтобы помочь исследователю принять то или иное решение, сообразно целям исследования.

6. Реализовано применение рассмотренных в работе методов в актуальных исследованиях качества и образа жизни населения. При этом получены хорошие результаты, допускающие содержательную экономическую трактовку в большинстве случаев.

7. Исходя из сделанных выше выводов, предлагается применение созданного программно-алгоритмического средства в различных исследованиях социально-экономического характера. Это сократит время и усилия, затрачиваемые исследователями на решение проблемы описания и структурного анализа статистических показателей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Губуров, Эльбрус Вячеславович, 2006 год

1. Айвазян С.А. (2003а). К методологии измерения синтетических категорий качества жизни населения. «Экономика и математические методы», т.39, №2, с. 33-53.

2. Айвазян С.А. (20036). Эмпирический анализ синтетических категорий качества жизни населения. «Экономика и математические методы», т.39, №3, с. 19-53.

3. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., МешалкинЛ.Д. (1989). Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и статистика.

4. Айвазян С.А., Енюков И.С., МешалкинЛ.Д. (1985). Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика.

5. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. (2001). Прикладная статистика и основы эконометрики (издание 2-е, в 2-х томах). М.: Юнити.

6. Айвазян С.А., Степанов B.C. и др. (2005а). Отчет о научно-исследовательской работе по теме: «Разработка интегрального показателя, отражающего основные тенденции динамики качества жизни населения Самарской области».

7. Айвазян С.А., Степанов B.C. и др. (20056). Разработка и анализ интегральных индикаторов качества жизни населения. М.: ЦЭМИ РАН.

8. Благовещенский Ю.Н. (1998). Многомерные Т-нормальные распределения в прикладной статистике. В сб.: «Статистические методы оценивания и проверка гипотез». Пермь: ПГУ.

9. Благовещенский Ю.Н., МешалкинЛ.Д. (1985). Визуализация многомерных данных. Тезисы симпозиума "Методы и программное обеспечение обработки информации и прикладного статистического анализа". Минск: БГУ.

10. БогачевК.Ю. (1998). Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. М.: МГУ.

11. Браверман Э.М. (1970). Методы экстремальной группировки параметров и задача выделения существенных факторов. «Автоматика и телемеханика», № 1, с. 123-132.

12. Гаврилец Ю.Н. (1969). Некоторые вопросы количественного изучения социальных явлений. «Экономика и математические методы», вып. V, №5, с. 703-716.

13. Гаврилец Ю.Н. (1970). О количественном исследовании структуры сложных социальных систем. В кн.: Моделирование социальных процессов. М.: Наука.

14. Гаврилец Ю.Н. (1974). Социально-экономическое планирование. Системы и модели. М.: Экономика.

15. Грабер М. (2003). SQL. Описание SQL92, SQL99 и SQLJ. (Пер. с англ.) М.: Лори.

16. Доугерти К. (1997). Введение в эконометрику. (Пер. с англ.) М.: ИНФРА1. М.

17. Заруцкий В.И. (1978). Классификация нормальных векторов простой структуры в пространстве большой размерности. В кн.: Прикладной многомерный статистический анализ. М.: Наука.

18. Заруцкий В.И. (1980). О выделении некоторых графов связей для нормальных векторов в пространстве большой размерности. В кн.: Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. М.: Наука.

19. Карапетян К.А. (1974). Об одном статистическом критерии проверки гипотезы о структуре многомерных наблюдений. В кн.: Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях. М.: Наука.

20. КэнтуМ. (2001). Delphi 5 для профессионалов. (Пер. с англ.). СПб.: Питер.

21. Лумельский В.Я. (1970). Агрегирование объектов на основе квадратной матрицы связи. — «Автоматика и телемеханика», №1, с. 133- 143.

22. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. (2001). Эконометрика. Начальный курс (издание 5-е). М.: Дело.

23. МэтьюзДж.Г., Куртис Д.Ф. (2001). Численные методы. Использование MATLAB (издание 3-е, пер. с англ.). М.: Издательский дом «Вильяме».

24. Монастырский П.И. (1983). Сборник задач по численным методам. Минск: Издательство БГУ.

25. НагаоМ., КатаямаТ., УэмураС. (1986). Структуры и базы данных. (Пер. с яп.) М.: Мир.

26. Озеров В. (2003). Delphi. Советы программистов. СПб.: Символ-Плюс.

27. Рао С.Р. (1968). Линейные статистические методы и их применения. (Пер. с англ.) М.: Наука.

28. Родионов М.А. (1971) Условия существования жесткой структуры случайной величины. В сб.: Проблемы уровня жизни. М.: ротапринт ЦЭМИ АН СССР.

29. Турчак Л.И., Плотников П.В. (2003). Основы численных методов (издание 2-е). М.: Физматлит.

30. Фаддеев Д.К., Фадцеева В.Н. (2002). Вычислительные методы линейной алгебры (издание 3-е). СПб.: Лань.

31. Харман Г. (1972). Современный факторный анализ. М.: Статистика.

32. CantuM. (2003) Essential Pascal (2nd edition, version 2.01). www.marcocantu.com/epascal/.

33. ChowC.K., Liu C.N. (1966). An approach to structure adaptation in pattern recognition. IEEE Transactions On Systems and Cybernetics, vol. SSC 2, №2, p. 73 -80.

34. ChowC.K., Liu C.N. (1968). Approximating discrete probability distributions with dependence trees. IEEE Transactions On Information Theory, vol. IT 14, №3, p. 462-467.

35. Chow С. K. (1970). Tree Dependence in Normal Distribution. In The 1970 International Symposium on Information Theory. The Netherlands, p. 2 - 9.

36. Dempster A. (1972). Covariance selection. Biometrics, vol. 28, №1, p. 167175.

37. Weinberg A.L. (2005). Quantitative analysis of the situation and development of Russian regions during the transition period. PhD Thesis. University of Geneva.

38. WCY (1996 2004): The World Competitiveness Yearbook. Edition IMD-International, Lausanne, Switzerland.