Методы анализа и синтеза автоколебательных релейных следящих систем с цифровым управлением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Козырь Андрей Владимирович

• Козырь Андрей Владимирович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Козырь Андрей Владимирович

Введение

Глава 1. Обзор современного состояния теории релейных систем управления

1.1. Исследование автоколебаний в частотной области

1.2. Исследование релейных систем управления в пространстве состояний

Выводы по разделу

Глава 2. Анализ периодических движений в цифровых автоколебательных релейных системах управления методом ФГ

2.1. Определение периодических движений в двухпозиционной РСУ в непрерывном времени

2.2. Определение периодических движений в трехпозиционной РСУ в непрерывном времени

2.3. Определение периодических движения в двухпозиционных РСУ с дискретизацией по времени

2.3.1. Частотный метод определения фазового годографа дискретной РСУ

2.3.2. Пример

2.3.3. Определение периодических движений в трехпозиционных РСУ с дискретизацией по времени

2.3.4. Пример

2.4. Периодические движения в релейных системах с запаздыванием

2.5. Периодические движения в цифровых автоколебательных РСУ с кусочно-линейным ОУ

2.5.1. Численное построение ФГ

2.5.2. Определение периодических движения в цифровой автоколебательной РСУ с кусочно-линейным ОУ

2.6. Влияние дискретизации по уровню на автоколебания в РСУ

Выводы по разделу

Глава 3. Устойчивость периодических движений в цифровых автоколебательных релейных системах управления

3.1. Устойчивость автоколебаний в непрерывной релейной системе с

запаздыванием

3.1.1. Пример

3.2. Устойчивость движений в цифровых автоколебательных РСУ

3.2.1 Пример

3.3. Re- устойчивость цифровых РСУ

3.3.1 Пример

Выводы по разделу

Глава 4. Методика синтеза и оптимизации цифровых релейных автоколебательных систем управления

4.1. Влияние дискретизации на точность режима слежения

4.1.1 Пример

4.2. Линеаризация цифровых РСУ по полезному сигналу

4.3. Алгоритм конечномерной оптимизации методом роя частиц (PSO)

4.4. Синтеза цифровой РСУ с линейным объектом управления

4.5. Синтез релейной автоколебательной системы управления воздушно-динамическим приводом

4.6. Синтез релейной автоколебательной системы управления автономным

гидравлическим приводом

Выводы по разделу

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа и синтеза автоколебательных релейных следящих систем с цифровым управлением»

Введение

Одним из важных направлений развития современной нелинейной теории автоматического управления является разработка методов анализа и синтеза релейных автоколебательных систем. Исследованию таких систем посвящено большое количество работ таких известных ученых как А. А. Андронов [1], Я.З. Цыпкин [43,44], Поспелов, Е.П. [30] Попов, Н.В. Фалдин, [31-39] В.И. Уткин [105], К. J. Astrom [46-50], D. Atherton [51], А. Jorge, М. [77-79] В ранних работах, посвященных данному направлению, были разработаны точные методы анализа периодических движений в системах, как с линейным, так и нелинейным объектом управления (ОУ), предложены критерии их устойчивости, рассмотрены методы линеаризации систем по полезному сигналу, методы анализа чувствительности и сформулирован алгоритм синтеза. Однако существующие подходы, в основном были ориентированы на проектирование нелинейных систем управления, работающих в непрерывном времени и реализованные на так называемой «аналоговой» элементной базе.

В настоящее время большинство систем управления реализуются в цифровом виде. Кроме того, в промышленности массово происходит процесс модернизации устаревших изделий и переход на новую цифровую элементную базу с микропроцессорной реализацией алгоритмов управления. Это обусловлено возможностью просто реализовывать сложные законы управления, кроме того, по сравнению с аналоговым вариантом значительно повышается надежность систем, появляется большая гибкость в настройке, улучшаются массо-габаритные показатели. Однако, для проектирования цифровых нелинейных систем управления, необходимо иметь специальную теорию, учитывающую специфику цифровых систем. К таким особенностям следует отнести неизбежную дискретность управляющего сигнала как по времени, так и по уровню, использование целочисленной арифметики при микропроцессорной реализации. Если при разработке системы управления опираться только на непрерывную модель объекта управления и проводить её синтез с использование классической

непрерывной теории релейных систем управления, то при цифровой реализации можно получить неработоспособную систему управления, либо это может привести к завышенным требованиям к цифровому вычислителю. Таким образом, в конструкторских бюро и на предприятиях существует реальная потребность в прикладных методах, которые бы позволяли осуществлять анализ и проводить синтез релейных систем с цифровым управлением. Исследованию нелинейных цифровых систем посвящены работы ЯЗ. Цыпкина, Ю.С. Попкова [44], Н.Ф. Фалдина, C.B. Феофилова [40,41], Е. Jury, R.E. Kaiman, W.L. Nelson, К. J Astrom [48-50]., P., Fely O, Chow С. K. [63], Garulli A. [68], Koch S. [88,89], Fridman L [60], Bazanella A. S. [52,53] Как показывает анализ литературы, целостной теории для таких систем не существует, есть только отдельные результаты, построенные на различных подходах. Таким образом, исследование процессов и разработка алгоритма синтеза цифровых релейных систем управления (РСУ) является актуальной задачей.

Целью научно-квалификационной работы является разработка прикладных методов анализа, синтеза и оптимизации релейных систем с цифровым управлением, и их применение для создания систем управления воздушно-динамических рулевых приводов и следящих гидравлических приводов. Задачи исследования

В соответствии с указанной целью в рамках диссертационной работы поставлены и решались следующие задачи:

1. Разработать точные методы выделения всех возможных периодических движений и определения их параметров в релейных системах с цифровым управлением. Методы должны позволять анализировать системы с двух- и трёхпозиционными релейными элементами, как с устойчивыми, так и с неустойчивыми линейными и кусочно-линейными объектами управления, учитывая дискретизацию сигналов по времени и уровню.

2. Провести анализ и определить условия возникновения хаотических колебаний в релейных системах с дискретизацией по времени. Разработать метод

выделения области фазового пространства, в которой присутствуют такие колебания. Метод должен позволять определять зависимость размеров указанной области от параметров дискретизации.

3. Разработать методы анализа устойчивости периодических движений в цифровых релейных системах управления. Методы должны гарантировать устойчивость периодических движений в некоторой области фазового пространства, то есть давать условия полуглобальной устойчивости указанных систем.

4. На основе предложенных методов анализа для указанных выше типов релейных элементов и классов объектов управления разработать методику синтеза релейных систем с цифровым управлением, позволяющую учитывать влияние дискретизации на параметры процессов в следящих релейных системах и проводить оптимизацию по различным критериям.

5. Синтезировать релейные законы управления для пневматического рулевого привода и гидравлического следящего рулевого привода с учетом цифровой реализации системы управления и на этих примерах подтвердить работоспособность и эффективность предлагаемых методов и методик.

Объект исследования: релейные следящие системы с цифровым управлением.

Предмет исследования: процессы в релейных системах управления при их цифровой реализации.

Методы исследования

При выполнении диссертационной работы использовались классические методы линейной и цифровой теории автоматического управления, методы теории матриц, матричных уравнений, теории устойчивости, второй метод Ляпунова, методы конечномерной оптимизации, метод фазового годографа. Все предложенные алгоритмы анализа и синтеза системы управления были реализованы в системе Ма1ЪаЬ.

Положения, выносимые на защиту, обладающие научной новизной

В диссертационном исследовании разработаны новые аналитические и численные методы исследования периодических движений в релейных системах цифровым управлением.

1. Метод определения всех возможных симметричных периодических движений в цифровых системах, отличается тем, что позволяет анализировать периодические движения в системах с двух и трехпозиционными релейными элементами и линейными (кусочно-линейными) объектами управления;

2. Локальный метод оценки устойчивости каждого предельного цикла, существующего в цифровой РСУ. Предложенный подход основан на решении системы матричных неравенств и позволяет выделить область притяжения для каждого цикла;

3. Практический критерий устойчивости периодических движений в цифровой релейной системе. Подход основан на втором методе Ляпунова и позволяет определить сходимость траектории движения автономной системы к локальному множеству предельных циклов;

4. Алгоритм синтеза релейной следящей системы с цифровым управлением, который сводится к выбору структуры линейных корректирующих устройств и численной оптимизации их параметров. В отличие от известных методов синтеза РСУ в предложенном алгоритме уже на этапе параметрической оптимизации учитывается влияние цифровой реализации;

5. Результаты синтеза адаптивной цифровой РСУ воздушно-динамическим рулевым приводом, результаты синтеза цифровой РСУ для автономного гидравлического рулевого привода.

Практическая ценность работы состоит в следующем. На основании проведенных исследований разработан эффективный алгоритм синтеза автоколебательных следящих систем управления с цифровой реализацией. Предложенный подход был применен для синтеза модели воздушно-динамического рулевого привода, а также полученные результаты использовались для разработки системы управления автономным рулевым гидроприводом.

Отдельные результаты исследования использованы в учебном процессе ТулГУ и имеют практическое внедрение в АО "Конструкторское бюро приборостроения им. академика А.Г. Шипунова".

Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов анализа и синтеза РСУ. Представленные в работе результаты позволяют расширить метод фазового годографа на класс цифровых релейных систем, что позволяет на основе единого подхода проектировать такие системы. Полученные результаты использовались при выполнении: гранта РФФИ №18-08-01141 по теме «Прикладные методы анализа, синтеза и оптимизации релейных систем с цифровым управлением» и в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ (№2.3121.2017/РСН).

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и отдельные её части докладывались на:

- XXII Международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации», г. Алушта, 2013г;

- Международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии», г. Воронеж, 2014- 2019;

- XII Международной научно-практической конференции., «Современные сложные системы управления, г. Липецк, 2017;

- Научно-технической конференции «Системы управления беспилотными космическими и атмосферными летательными аппаратами», Москва, МОКБ «Марс», 2017;

- Юбилейной XX конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" 2018г. Санкт-Петербург, ГНЦ РФ АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»;

- Конференции "Информационные технологии в управлении" (ИТУ-2018) 2018г. Санкт-Петербург, ГНЦ РФ АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»;

- XIII Всероссийском совещании по проблемам управления (ВСПУ-2019) 2019г. Россия, Москва ИПУ РАН.

Публикации. По результатам исследования опубликовано 14 статей, в том числе 10 в изданиях входящих в перечень рецензируемых научных журналов ВАК.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, списка используемой литературы из 116 наименований; общий объем - 162 страницы машинописного текста включая 106 рисунков и 6 таблиц.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматривается область применения автоколебательных РСУ. Проведен системный анализ существующих методов анализа и синтеза следящих РСУ. В большинстве работ рассматриваются вопросы анализа периодических движений в релейных системах с линейным объектом управления. Показано, что наиболее эффективным методом исследования таких систем является метод фазового годографа, разработанный на кафедре САУ Тульского государственного университета. Центральным понятием метода является фазовый годограф (ФГ) релейной системы. Он характеризует частотные свойства объекта управления и служит универсальным инструментом как на этапе анализа, так и на этапе синтеза РСУ.

Рассматривается общая структура РСУ с цифровым управлением. Показано, что цифровая реализация закона управления приводит к существенным количественным и качественным изменениям периодических движений в РСУ, даже при сравнительно высокой частоте дискретизации в автономной системе как с двухпозиционным РЭ, так и с трехпозиционным РЭ.

Сделаны выводы об актуальности продолжения исследования такого класса систем и разработки для них алгоритмов синтеза систем управления, позволяющих на этапе оптимизации параметров регулятора учитывать цифровую реализацию корректирующих устройств.

Вторая глава посвящена теоретическому исследованию периодических процессов, протекающих в цифровых РСУ. Показано, что дискретизация сигналов

по времени в случае устойчивого ОУ приводит к возникновению множества вложенных предельных циклов, соответствующих каждому периодическому движению в непрерывной системе. Разработаны два подхода для исследования периодических движений цифровых РСУ: во временной и в частотной области для цифровых РСУ с двух и трехпозиционным РЭ. Показано, что в случае, если ОУ является неустойчивым, то в автономной цифровой РСУ возникают микрохаотические колебания. Разработаны методы определения периодических движений в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления и цифровым регулятором. Предложенный подход позволяет численно выделить ветви неоднозначности ФГ.

В третьей главе рассматривается вопрос устойчивости периодических движений в цифровых РСУ. Предлагается два подхода к анализу устойчивости автоколебаний в цифровых РСУ. Оба подхода позволяют оценить устойчивость автоколебаний "в большом", т.е. выделить область притяжения предельных циклов. Первый метод позволяет оценить устойчивость каждого из возможных в дискретной системе предельных циклов и определяет соответствующую область притяжения.

В четвертой главе разрабатывается алгоритм синтеза цифровой системы управления РСУ, учитывающий дискретную реализацию на этапе оптимизации параметров регулятора. Показаны достоинства данного алгоритма по сравнению с существующими методами. На основе предложенных теоретических методов проведен синтез двух регуляторов для технических систем: воздушно-динамического рулевого привода (ВДРП) и автономного рулевого гидравлического привода (АРГП).

В заключении сделаны выводы по работе в целом.

Глава 1. Обзор современного состояния теории релейных систем управления

Понятие релейного элемента широко используется в системах управления. Он применяется как непосредственно в качестве регулятора, так и при математической идеализации некоторых физических явлений, протекающих в объекте управления, например, таких как кулоновское трение. Скачкообразное изменение состояния релейного элемента при превышении порогового значения входного сигнала обеспечивает высокие динамические свойства релейных регуляторов. Малые габариты, простота конструкции, надежность таких систем послужили тому, что релейное управление, как принцип построения регуляторов, появился одним из первых, но по-прежнему является наиболее распространённым.

Ранние работы, посвящённые теории РСУ были мотивированы исследованием колебаний в простейших механических или электромеханических системах и носили узконаправленный характер. К начальному этапу исследования регуляторов релейного типа (системы включено-выключено) можно отнести работу И.А. Вышнеградского, в которой рассматривалось практическое применение таких систем [3]. Однако, отправной точкой в исследовании периодических процессов, возникающих в таких системах, как указано в обзорной работе по истории науки об управлении [54], принято считать исследование J. Т. Hawkins (1887г.) [72]. В работе исследовался регулятор температуры. Было обнаружено, что в таких системах могут возникать периодические колебания. Определение условий возникновения таких колебаний в различных динамических системах, исследование параметров частоты и амплитуды, устойчивости, построение следящих систем, послужило темой многих последующих исследований. Теория релейных систем стала классической темой теории автоматического управления, основными вопросами которой являются: определение периодических движений (автоколебаний, вынужденных колебаний) в системе, исследование устойчивости, чувствительности к изменению параметров объекта управления, линеаризация, синтез

корректирующих устройств, обеспечивающий желаемые показатели качества работы замкнутой системы управления.

Бурное развитие РСУ пришлось на 50-е 60-е годы XX века. Широкое применение релейных регуляторов в аэрокосмической области, построение первых автопилотов с использованием релейных усилителей мощности вызвало интерес к исследованию данного направления. Большое число приложений теории того времени можно найти в работе [1-3,20,30]. Стоит отметить, что разработка рулевых приводов летательных аппаратов как в то время, так и сейчас ставит сложные проблемы перед теорией РСУ. В основном эти задачи вызваны появлением новых классов пневматических систем, таких как воздушно-динамические рулевые приводы [19,26,27,42,63] летательных аппаратов, имеющих высокие скорости полета, принципиальные нелинейности в математическом описании объекта управления и нестационарность параметров.

Приложение теории РСУ нашлось также в построении методики автоматической настройки пропорционально-интегрально-дифференциальных (ПИД) контроллеров с помощью релейной обратной связи. Исследованию таких систем посвящено большое количество работ [46,52,53,55,56,75]. Подход основан на том наблюдении, что если заменить ПИД регулятор релейным элементом в системе могут возникнуть автоколебания. Параметры этих колебаний могут быть использованы для автоматической настройки ПИД-регулятора.

РЭ

~~1 и.

>ир

ь*

-с ' р

рол

ПИД рсгу.шюр

О(л) = (/' + -+О-М

.у л + N

Щг)

п

Автоматическая настройка

у(>)

Рис.1.1 Структурная схема автоматической настройки ПИД-регулятора

Алгоритм настройки параметров ПИД регулятора в общем виде может быть представлен следующей последовательностью

1. Система управления переключается на релейную обратную связь с определенными параметрами РЭ и , Ь.

2. При необходимости может вводиться специальный возмущающий сигнал, обеспечивающий в релейной системе автоколебательный режим. Далее определяется амплитуда и частота периодического сигнала ошибки.

3. Используя разработанные в работах [30,49] методы, вычисляется коэффициент передачи РЭ и параметры ПИД регулятора.

4. Эти параметры загружаются в ПИД регулятор и система управления переключается на работу в непрерывном режиме с ПИД регулятором.

При использовании такого алгоритма настройки регулятора необходимо располагать точными методами определения возможных периодических движений в релейных системах как с линейным, так и нелинейным ОУ, так как большинство объектов управления содержит различного рода нелинейности. Исследованию и разработке систем автоматической настройки ПИД регуляторов с помощью релейной обратной связью посвящены работы [55,56,73,75]. Однако в них рассматривались только системы, работающие непрерывном времени, и не учитывалось влияние цифровой реализации системы на параметры периодических движений. Существует только несколько работ [44,52,53,63], в которых было показано, что дискретизация по времени может приводить к ухудшению качества настройки таких систем.

Другое современное применение релейных систем нашлось в конструкции сигма-дельта модуляторов, используемых для цифровой обработки сигналов. В настоящее время такой тип аналогово-цифровых преобразователей (АЦП) получил широкое распространение благодаря высокой точности и простоте устройства. Базовую конструкцию сигма-дельта модулятора можно представить как фильтр с обратной связью, включающей квантователь, который может рассматриваться в виде релейного элемента [62,76,77]. Структурная схема такого

устройства в общем виде может быть представлена, как следящая релейная система (рис. 1.2).

С(г)

Интегрирующий фильтр

-ир

т

Компаратор

ЦАП 1 -разрядный

Цифровой НЧ фильтр

о*]

РСУ

Рис. 1.2 Структурная схема сигма-дельта АЦП

Задача синтеза таких цифровых преобразователей, определение структуры и параметров фильтра (г(~), исследуется и в настоящее время, можно отметить ряд работ [56,62]. Моделирование ошибок квантования в цифровом управлении является другой важной мотивацией для изучения систем с релейной обратной связью.

Предельный цикл и скользящий режим это два важных поведения нелинейных систем, которые могут возникнуть в релейных системах. Исследованию и проектированию систем управления, работающих в таких режимах, было посвящено большое количество работ, можно отметить лишь часть из них [2,3,23-44,46-64].

В общем виде структура замкнутой релейной системы управления приведена на рисунке 1.1

^шах -^тах

е(1)

КУ /(0 Релейный и Объект

регулятор управления

X

ЯТх

ФУ

Чг-

Рис.1.3. Структурная схема замкнутой релейной системы управления

На рисунке обозначено: у(О- входной сигнал, КУ-корректирующее устройство (фильтр структура и параметры которого будет определяться на этапе синтез РСУ); ФУ-формирующее устройство (выделяет обратные связи по состоянию х); модель релейного регулятора может быть различной (двухпозиционный релейный элемент (приведен на рисунке 1.4(а)), трехпозиционный элемент рис. 1.4(6)). На выходе релейного регулятора управляющий сигнал изменяется скачками в случае двухпозиционного управления с уровнями (£/р,-[/), в случае трехпозиционного РЭ с уровнями

{Vр ,0, -V р). Математическая модель объекта управления (ОУ) может описывать

системы любой физической природы, а также быть нелинейной.

Релейный регулятор представляет собой двухпозиционный, либо трехпозиционный релейный элемент с амплитудой Vр и гистерезисом Ь,АЬ, статическая характеристика приведена на рисунке 1.4

е«) и» У рел

е

-Ь Ь

-и.

е(0

-ь-хь 1" 1

\ ' хьь

и

реп

(а) (б)

Рис. 1.4. (а)- двухпозиционный релейный элемент, (б)- трехпозиционный

релейный элемент

Делая некоторые обобщения, можно выделить подходы к исследованию релейных систем в частотной области, и в пространстве состояний.

1.1 Исследование автоколебаний в частотной области

Одним из самых распространённых методов исследования нелинейных систем в частотной области является метод гармонической линеаризации (метод описывающей функции). В силу своей простоты и наглядности он находит широкое применение и для анализа релейных систем с линейным объектом

управления. Однако данный метод дает хорошие результаты только при выполнении «гипотезы фильтра», что не всегда имеет место быть в приложениях [21,57].

Системный подход к точному исследованию РСУ в частотной области был заложен в фундаментальных работах Я.З. Цыпкина [43]. В работе была предложена конструкция «годографа Цыпкина» - графический частотный метод для изучения автоколебаний в замкнутых релейных системах. Для систем, релейный элемент которых имеет зону нечувствительности, эти годографы определяются следующим образом:

У(Г0) = **(Г0) + у^(Г0), (1.1)

здесь г - мнимая единица, х*— значение выходной величины линейной части системы, которая в периодическом движении соответствует моментам

сЬс *

переключения релейного элемента с нуля на минус,--значение производной

Л

этого сигнала в моменты времени, предшествующие переключениям релейного элемента с нуля на минус (в пределе "слева"). При фиксированном Т0^(Т0) представляет собой комплексное число. Изменяя Т0 от 0 до оо, на комплексной плоскости получим некоторую линию. Лежащая в левой полуплоскости точка пересечения годографа J(T0) с прямой 1т^Т0) = -Ь определяет возможную

частоту автоколебаний, Ь— гистерезис реле (см. рис. 1.4). Условие переключения РЭ

'х*(Т0) = -Ь,

' МТ{]) (1-2)

. Л

Графическое определение периодических движений в РСУ с двухпозиционным РЭ методом годографа Цыпкина приведено на рисунке 1.5

8 в А 2

*/К \ X ( ) О

со

.2 -4

-6

-15

10 , * -5

ах ^

о

Ж со

Рис. 1.5 Определение периодических движений в релейной системе методом

годографа Цыпкина

В целом для релейных систем были созданы методы расчета, которые по своей эффективности оказались близки к тем, что применялись в теории линейных систем.

После опубликования исследований Цыпкина интерес к релейным системам несколько снизился. Последующие работы были посвящены, в основном, распространению этих методов на более широкие классы релейных систем.

Однако исследование релейных систем и разработка методов синтеза следящих автоколебательных систем в частотной области продолжаются и по настоящее время. Можно отметить работы [57-61]. Был разработан частотный метод анализа автоколебаний и прохождения внешних воздействий через релейную систему с помощью метода, основанного на частотной характеристике «годографе возмущённой релейной системы ГВРС».

г, \ 11 Я" /• м

Л») = --— + '—КО 1м>/

2 к„ 4с

(1.3)

к =--'--эквивалентный коэффициент передачи релейного элемента.

2 Re ./(¿у)

Функция J{(d)~ и её график на комплексной плоскости называется ГВРС. Было показано, что построив данный годограф легко определить частоту автоколебаний в релейной системе как точку пересечения ,/(&>) с прямой,

отстоящей от горизонтальной оси на - —. Графическое определение

4 с

периодических движений в РСУ с помощью годографа ГВРС приведено на рис. 1.6

4

О

-4 -6 -8

-15 -10 -5 0

Re( У)

Рис. 1.6 Определение периода автоколебания и коэффициента передачи

РЭ методом годографа ГВРС

Та же самая точка пересечения дает и точное значение эквивалентного коэффициента передачи реле для системы с линейным объектом управления.

Данный подход объединяет в себе идеи метода Цыпкина и метода гармонической линеаризации. На основе данной теории был разработан метод синтеза релейных систем управления с линейным объектом, а также с транспортной задержкой управления, которые работают в режиме автоколебаний.

1.2 Исследование релейных систем управления в пространстве состояний

Исследование РСУ в пространстве состояний возможно связано с общим развитием классической теории линейных систем. Применение матричного

аппарата к исследованию периодических движений в релейных системах было предложено в работах П.В.Бромберга [2]. Также исследование релейных систем с линейным объектом управления в пространстве состояний можно найти в работах К. Астрома [46-51]. В работе К. Астром провел исследование автоколебаний, как в пространстве состояния, так и в частотной области. В виде матричного уравнения были получены условия определения полупериода автоколебаний и начальных условий возникновения автоколебаний (для статических линейных ОУ)(1-3)

т° Л

ДТ0) = С(1 + еАГ° Г1 \ еА1Ш = -, (1.4)

о

?

/(Г0) = С(еАГ°а)"1 Ш <Ьдля<д<1 <Т0, (1.5)

о

То

X * (0) = а = (I + гАТ° а)'11 еАВАЛ. (1.6)

о

Кроме того, исследована локальная орбитальная устойчивость полученного решения (4) (собственные числа матрицы Н должны лежать внутри окружности единичного радиуса)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Козырь Андрей Владимирович, 2019 год

Список литературы

1. Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, Хайкин С. Э. - М.: ОНТИ, 1937.

2. Бромберг, П. В. Матричный метод определения периодических режимов в релейных системах регулирования / П. В. Бромберг // Теория автоматического регулирования / Под ред. В. В. Солодовникова. Кн. 3. Ч. 2. - М.: Машиностроение, 1969.-С.66- 100.

3. Вышнеградский, И. А. О регуляторах непрямого действия / И. А. Вышнеградский // Известия СПБ. Практического технологического института. - 1878-С. 1-48.

4. Крылов, Н. М. Новые методы нелинейной механики / Крылов, Н. М, Н. Н. Боголюбов - М.: Гостехиздат, 1934. - 243 с.

5. Козырь, A.B. Чувствительность периодического движения в релейной системе, содержащей звено с ограничителем / А. В. Козырь, С. В. Феофилов, Н. В. Фалдин // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2014. - Вып. 12. - Ч. 1. - С. 204-213.

6. Козырь, A.B. Устойчивость периодических движений в системах управления с ШИМ-регулятором / А. В. Козырь, С. В. Феофилов, А. В. Гусев // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2016. - Вып. 2. - С. 71-79.

7. Козырь, A.B. Об одном методе линеаризации систем управления, работающих в режиме ШИМ / А. В. Козырь, Н. В. Фалдин, С. В. Феофилов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2016. - Вып. 12. - Ч. 4 - С. 54-61.

8. Козырь, A.B. Синтез системы управления воздушно-динамического рулевого привода, работающего в режиме ШИМ / А. В. Козырь, С. В. Феофилов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. -2016,-Вып. 12,-Ч. 4. - С. 105-113.

9. Козырь, A.B. Периодические колебания в дискретных релейных системах управления / А. В. Козырь, С. В. Феофилов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2017,- Вып. 12 - Ч. 3.-С. 61-71.

10.Козырь, A.B. Современное состояние и перспективы развития теории релейных систем автоматического управления / А. В. Козырь, С. В. Феофилов // «Мехатроника, автоматизация, управление». - 2017. - №9 С. 589—596. DOI: 10.17587/mau. 18.589-596.

11.Козырь, A.B. Анализ периодических движений в цифровых автоколебательных системах управления / А. В. Козырь, С. В. Феофилов // «Мехатроника, автоматизация, управление». - 2018. - №9 С. 587—594 DOI: 10.17587/mau. 19.587-594.

12.Козырь, A.B. Периодические процессы в релейных автоколебательных системах с цифровым управлением / А. В. Козырь, С. В. Феофилов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. -2018,-Вып. 12.-С. 135-147.

13.Козырь, A.B. Периодические движения в релейных системах с кусочно-линейным объектом управления и цифровым регулятором // / А. В. Козырь, С. В. Феофилов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. -2018-Вып. 11. - С. 189-200.

14.Козырь, A.B. Синтез релейной системы управления воздушно-динамическим рулевым приводом / А. В. Козырь, С. В. Феофилов // Сборник докладов Х-й Всероссийской юбилейной научно-технической конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов», Москва, МАИ, 26 июня 2015г. - МАИ,- 2015,- С.230-235.

15.Козырь, A.B. Модифицированный метод дискретной линеаризации систем управления, работающих в режиме ШИМ / А. В. Козырь, Феофилов C.B., Фалдин Н.В., // Материалы XVI Международной научно-методической

конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии», г. Воронеж 11-12 февраля 2016г.- С. 546-550., ISBN 978-5-9907623-1-2.

16.Козырь, А. В. Периодические колебания в релейно-импульсных системах управления / А. В. Козырь, С. В. Феофилов //Материалы XII международной научно-практической конференции, «Современные сложные системы управления» 25-27 октября 2017г., г. Липецк. Вып. 2,-4.2.- 2017, - С.138-142

17. Козырь A.B. Проектирование цифровой системы управления автоколебательным рулевым приводом летательного аппарата /А. В. Козырь, С. В. Феофилов // Тезисы докладов научно-технической конференции «Системы управления беспилотными космическими и атмосферными летательными аппаратами (Москва, 31 октября - 2 ноября 2017 г.)»:.-М.: МОКБ «Марс», 2017. - С.73-75.

18.Козырь, A.B. Особенности автоколебаний и режима слежения в релейно-импульсных системах управления / А. В. Козырь, С. В. Феофилов //Материалы XVIII-й международной научно-методической конференции "Информатика: проблемы, методология, технологии 08-09 февраля 2018г.- Воронеж. - С.258-264.

19.Кузнецов В. Е. Адаптивный регулятор для рулевого привода с упругими связями с нагрузкой / В.Е. Кузнецов// Матер. VIII Всерос. НТК. Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов. - М.: Изд-во МАИ. - 2010. - С.350-354

20. Лурье, А. И. Об автоколебаниях в некоторых регулируемых системах / А. И. Лурье // Автоматика и телемеханика. - 1947 - Т. 8. № 5. - С. 335 - 348.

21. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т. 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - С. 748.

22.Моржов A.B., Фалдин Н.В., Линеаризация по полезному сигналу релейных систем управления с трехпозиционным релейным элементом и нелинейным объектом управления. Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2008. №4. -С.5-14.

23.Моржов, A.B. Линеаризация по полезному сигналу релейных систем управления, содержащих звенья с ограничителями. / A.B. Моржов, Н.В. Фалдин // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. -2007. №3. С. 5-15.

24.Моржов, А.В Синтез релейного автоколебательного объемного силового гидропривода при задании ограничений на чувствительность. /A.B. Моржов, C.B. Моржова// Мехатроника, автоматизация, управление. 2012. №6. С.39-44.

25.Неймарк, Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1972,- С. 471.

26.Никаноров, А.Б. Рулевой привод с внутренним управляемы генератором. / Никаноров А.Б.,Никаноров Б.А., Васильев А.А // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 12. Вып.4. Управление. Стр. 127-133. 2016 г.

27. Никаноров, А.Б. К построению математических моделей газодинамических процессов в воздушно-динамических рулевых приводах. // Известия ТулГУ. Серия Технические науки. Вып.4. Стр. 127-133.2016 г.

28.Постников, Н.С. Стохастичность релейных систем с гистерезисом / Н.С. Постников // Автомат, и телемех. - 1998. В. 3. - С. 57-68.

29.Поляк, Б.Т. Развитее теории автоматического управления /Б.Т. Поляк. -Пробл. управл-2009, №3.1 С. 13-18.

30.Поспелов, Г.С. Динамические характеристики релейных следящих систем / Г. С. Поспелов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. №3. -С. 169-180.

31.Фалдин, H. В. Алгоритм численного построения фазового годографа релейной системы / Н.В. Фалдин, С.А. Руднев, H.H. Макаров // Газовые приводы и системы управления. Тула: ТПИ, 1983. - С. 138-143.

32.Фалдин, Н.В. Исследования периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничителями. / Н.В. Фалдин, C.B. Феофилов. - Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. - 2007,- №3,- С. 15-27.

33.Фалдин, Н.В Автоколебания в релейных системах с кусочно-линейным объектом управления / Н. В. Фалдин, A.B. Моржов. Мехатроника, автоматизация, управление. - 2007. №2 - С.2-9.

34.Фалдин, Н. В. Исследование автоколебаний в релейных системах с трёхпозиционными релейными элементами / Н. В. Фалдин, Н. В. Панфёров // Изв. ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Т. 2. Вып. 3. Управление. - 2000. - С. 3 - 13.

35.Фалдин, Н.В Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейных автоколебательных систем управления / Н.В. Фалдин, A.B. Моржов. // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. №11. С. 13-19.

36.Фалдин Н. В., Моржов А. В. Анализ вынужденных периодических движений в релейных системах автоматического управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. № 1. С. 2—7.

37.Фалдин, Н.В. Анализ вынужденных периодических движений в релейных системах автоматического управления / Н.В. Фалдин, A.B. Моржов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. №1. С.2-7.

38. Фалдин, Н.В. Чувствительность ошибки слежения к изменению параметров объекта управления в релейной автоколебательной системе. / Н.В. Фалдин, A.B. Моржов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2015. Т.16. №2. С.81-88.

39.Фалдин, Н.В. Чувствительность вынужденных периодических движений релейной системы к изменению параметров объекта управления. / Н.В.

Фалдин, А.В. Моржов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2015. Т. 16. №11. С.721-730.

40.Феофилов, С. В. Периодические движения в релейных системах с трехпозиционным управлением и ограничителями в объекте регулирования / С. В. Феофилов // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008,-№5. С. 11-17.

41.Феофилов, С. В. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением / С. В. Феофилов // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2006,- №5. - С. 11-17.

42.Фимушкин, В. С. Сравнение воздушно-динамических рулевых приводов с разными типами пневмодвигателей / О.В. Горячев, А.С. Фокин / Известия ТулГу. Технические науки. - 2016. №.12. - С. 184-193.

43.Цыпкин, Я. 3. Релейные автоматические системы / Я. 3. Цыпкин. -М.: Изд-во Наука, 1974.-5 76 с.

44.Цыпкин, Я. 3. Теория нелинейных импульсных систем / Я. 3. Цыпкин, Ю.С. Попков//. -М.: Изд-во Наука, 1974.-5 76 с.

45.Чернов А. Е. Особенности фазового годографа релейных систем с ограничителями в объекте управления / А. Е. Чернов // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 3. Вып.З. Управление. Стр. 49-54. 2001 г.

46.Шумилов, И.С. Рулевые приводы с автономным гидропитанием (АРП) для магистральных самолетов / И.С. Шумилов// Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон, журн.2014. №8. С. 139-161.

47.Astrom, К. J. Automatic Tuning of Simple Regulators with Specifications on Phase and Amplitude Margins / K.J. Astrom, T. Hagglund / Automatica, 1984. Vol. 20, №5. - P. 645-651.

48.Astrom, K. J. Oscillations in systems with relay feedback. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications: Adaptive Control, Filtering and Signal Processing. - P. 1-25, 1995

49.Astrom, K. J. Computer Controlled Systems / K. J. Astrom, B. Wittenmark. Prentice-Hall, 1996. - 555 p.

50. Astrom, K. J. Fast switches in relay feedback systems / K. J. Astrom, Johanson, K. H., Rantzer, A. Automatic,. 1999,-P. 539-552.

51. Astrom, K. J. Recent advances in relay feedback methods—a survey. Intelligent systems for the 21st Century, 1995 IEEE International conference on systems, man and cybernetics / K. J. Astrom, Lee, T. H., Tan, K. K.,Johansson, K. H. -1995.-Vol. 3,P. 2616-2621.

52.Atherton, D. P. (1975). Nonlinear control engineering—describing function analysis and design, Workingham, Berks, UK: Van Nostrand Company Limited

53.Bazanella, A. S. Limit cycles in sampled-data relay feedback systems / A.S. Bazanella, A.Parraga / IEEE Transactions on Automatic Control, Springer, -2016.

54.Bazanella, A.S. Relay oscillations in discrete-time systems / A. S. Bazanella, P.R. Barros, G.H.M de Arruda. - In XIV Congresso da Sociedade Brasileira de Automatica, Natal/RN - Brazil, 2002.

55.Bennett, S. A History of Control Engineering, 1800-1930 / IEE control engineering series; 8. London, U.K. -1993. - 82 C.

56.Besancon-Voda, A. Analysis of two-relay feedback systems applied to identication of coulomb friction / A. Besancon-Voda, G. Besancon, Automatica,vol. submitted to, 1996.

57.Besancon-Voda, A. Estimation of a plant relay nonlinearity, by nonlinear oscillations analysis/ A. Besancon-Voda // in fh European Control Conference (ECCW), 1997, to appear.

58.Besançon-Voda, A. and Blaha, P. -"Analysis of a two-relay system configuration with application to Coulomb friction identification". Control Engineering Practice, 10, pp. 655-668, 2002

59.Beschi, M. An automatic tuning procedure for an event-based PI controller / M. Beschi, S. Dormido, J. Sanchez, A. Visioli.. In Decision and Control (CDC), 2013 IEEE 52nd Annual Conference on, pages 7437-7442, Dec 2013.

60.Bernardo, M. D. Self-oscillations and sliding in relay feedback systems: symmetry and bifurcations / M. D. Bernardo // International Journal of Bifurcation and Chaos.-2001. V. 11-N. 4. - P. 1121-1140 C.

ól.Boiko, I. Oscillations and transfer properties of relay serosystems—The locus of a perturbed relay system approach /1. Boiko. - 2005. Automatica, 41, - P. 677-683.

62.Boiko, I. Autotune identification via the locus of a perturbed relay system approach/ I. Boiko- 2008- IEEE Transactions on Control Systems Technology, 16(1), 182-184

63.Boiko, I. Analysis of dynamic nonlinearity of flow control loop through modified relay feedback test probing/ I. Boiko, S. Sayedain. International Journal of Control. -2010,- 83(12), 2580-2587.

64.Boiko, I. Analysis of chattering in continuous sliding-mode controllers / I. Boiko, L. Fridman IEEE Transactions on Automatic Control. - 2005 - 50(9), P. 1442-1446.

65.Boiko, I. Analysis of second order sliding mode algorithms in the frequency domain /1. Boiko, L. Fridman, M. Castellanos. - 2004 - IEEE Transactions on Automatic Control, 49(6), 946-950.

66.Campestrini, L. Tuning of multivariable decentralized controllers through the ultimate point method / L.C. Stevanatto, A.S. Bazanella. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 17(6): 1270-1281, 2009.

67.Chow, C. K. Contactor servomechanisms employing sampled-data / C.K. Chow. - 1954. - AIEE Transactions, pt. II (Applications and Industry). - P.51-63.

68.Domokos, G., Digital modelling of chaotic motion / G. Domokos // Stud. Sci. Math. Hung.- 2000,- V. 25. P. 323- 341.

69.Eberhart, R. C. Comparison between genetic algorithms and particle swarm optimization // Proc. IEEE Int. Conf. Evol. Comput. Anchorage, AEC, May 1998, pp. 611-616

70.Floudas, C.A., Pardalos, P.M.: A Collection of Test Problems for Constrained Global Optimization Algorithms. Lecture Notes in Computer Science, Vol. 455. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York (1987).

71.Fely, O. Bandpass Sigma-Delta Modulation / O. Fely, D.Fitzgerald / An Analysis from the Perspective of Nonlinear Dynamics, Piscataway, NJ: IEEE, 1996. - P. 146-149.

72.Garulli, A Minimum switching limit cycle oscillation for systems of coupled double integrators / A. Garulli, A. Giannitrapani, M. Leomanni. In Decision and Control (CDC). - 2014 IEEE 53rd Annual Conference on, P. 4655-4660.

73.Galias, Z. Analysis of delayed sliding mode control systems under zero-order holder discretization / Z. Galias. X. Yu // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2016. - V. 61, N. 9,- P. 2739-2744.

74.Goncalves, J.M. Regions of Stability for Limit Cycle Oscillations in Piecewise Linear Systems / J.M. Goncalves, IEEE Transactions on Automatic Control. -2005.-V. 50, N. 11. P. 136-1365

75.Gilbert, E. G. Linear systems with state and control constraints: the theory and application of maximal output admissible sets / E. G. Gilbert, K. T. Tan IEEE Transactions on Automatic Control. - 1991. V. 36. N. 9. - P. 1008-1020.

76.Hawkins, J. T. Automatic regulators for heating apparatus/ J.T. Hawkins // Trans ASME, - 1887.

77.Halevi, Y. Automatic tuning of decentralized PID controllers in MIMO processes / Y. Halevi, Z. J. Palmor, T. Efrati. Journal of Process Control, 7:119-128, 1997.

78.Huang, YJ. Steady-state analysis for a class of sliding mode-controlled systems using describing function method / YJ. Huang, Wang YJ Nonlinear Dynam-2002,- V.30.-P. 223-241.

79.Hang, С. С. Relay feedback auto-tuning of process controllers - a tutorial review / C.C. Hang K. J. Astrom, Q. G. Wang. Journal of Process Control. -2002 12:143 162.

SO.Hetel, L. Variable structure control with generalized relays: A simple convex optimization approach / L. Hetel, E. Fridman, T. Floquet. Automatic Control, IEEE Transactions on, 60(2):497-502, Feb 2015.

81.Jorge, M. G. Global stability of relay feedback systems / M. G. Jorge // IEEE Trans. Automatic control.- 2001. vol. 46. - P. 550-562.

82. Jorge, M. Goncalves: [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://web.mit.ed u/jirm/www/.

83. Jorge. M. Regions of stability for limit cycles of piecevvise linear systems / M. G. Jorge // IEEE Trans. Automatic control, 2005, vol.50 - P. 1877-1882.

84.Johansson, К. H. Fast switches in relay feedback systems / K.H. Johansson. A. Rantzer, and K. J. Astrom. Automatica. - 1999. -:P. 539- 552.

85.Johansson, К. H. Limit cycles with chattering in relay feedback systems / К. H Johansson // IEEE Trans. Automatic control., 2002, - P. 169-178.

86.Johansson, К. H. Fast switches in relay feedback systems / К. H Johansson //., Automatica.- 1999. N. 35. - P. 539-552.

87. James Kennedy and Russell Eberhart. Particle swarm optimization. In Proceedings of the IEEE International Conference on Neural Networks, vol. IV, Pp. 1942-1948, Piscataway, NJ, 1995. IEEE Press.

88. Kapasouris, P. Design of feedback control systems for stable plants with saturating actuators," in Proc. 27th Conf. Decision Contr., Austin, TX, 1988, pp. 469-479.

89. Kauraniemi, J. Elimination of Limit Cycles in a Direct Form Delta Operator Filter /. J. Kauraniemi, Т. I. Laakso // Proceedings of EUSIPCO. - 1996 - P. 57-60.

90.Katz, P Digital Control using Microprocessors / P. Katz// rentice Hall, Englewood Cliffs, - 1981-293 p.

91.Kowalczyk, P. Micro-chaos in relay feedback systems with bang-bang control and digital sampling / P. Kowalczyk, A. Glendinning // In: IFAC. - Italy 2011.

92.Khalil, H. K. Nonlinear Systems / H.K. Khalil. ,2001. Prentice Hall, 3rd edition.

93.Kozyr, A. Parameters optimization of relay self-oscillations sampled data controller based on particle swarm optimization/ E.V. Larkin, S.V. Feofilov // Advances in Swarm Intelligence. ICSI 2019. Lecture Notes in Computer Science, vol 11655. P. 106-117. Springer, Cham. 2019.

94. Koch, S. Periodic behaviors of a discretized twisting algorithm based sliding mode control system / S. Koch, M. Horn //13th International Workshop on Variable Structure Systems ( VSS). - June 2014,- P. 1-6.

95. Koch, S. Sampled Describing Function Analysis of Second Order Sliding Modes / S. Koch, M. Reichhartinger. M. Horn, L. Fridman // 55th IEEE Conference on Decision and Control -2016. (CDC).

96. Keerthi, S. S. Computation of minimum time feedback control laws for discrete-time systems with state-control constraint s/ Keerthi S. S., Gilbert E. G // IEEE Trans. Automat. Contr.- 1987,- V. AC-32.-P. 432-435.

97. Lim, L.H. On Forced and Subharmonic Oscillations under Relay Feedback / L.H. Lim, P. Loh W.W., Tan // IET Control Theory & Applications. - 2008. V. 2, N. 9.

98. Levant, A. Chattering analysis / A. Levant // IEEE Transactions on Automatic Control.-2010.-Vol. 55,-N. 6,-P. 1380-1389.

99. Lee, J Constructive homotopy methods for inding all or multiple dc operating points of nonlinear circuits and systems /. J.Lee, H. Chiang // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental heory and Applications,vol.48,no. 1 ,pp.35-50, 2001.

100. Olsson, H. Friction Generated Limit Cycles / H. Olsson K. J., Astrom, // IEEE Transactions on Control Systems Technology. -2001. V. 9 - N. 4,- P. 629- 636.

101. Marini, F. Particle swarm optimization (PSO). A tutorial. /F. Marini, B. Walczak Chemical and intelligent laboratory systems. - 2015 V. 149 - P. 153-165.

102. Miller, R.K. Quantizer effects on steady state error specifications of digital control systems / Miller, R.K. // IEEE Trans. Automatic Control - 989 - V.14. N. 6,-P. 651-654.

103. Parker, S. R. Limit-cycle oscillations in digital filters / S.R. Parker, S.F.Hess // IEEE Trans, Circuit Theory, vol. CT-IS, - 1971. P. 687-697, Nov. 1971.

104. Pisano, A. Contact force regulation in wire-actuated pantographs via variable structure control and frequency-domain techniques/ A. Pisano, E. Usai International Journal of Control. -2008 V. 81, N. 11, P. 1747-1762.

105. Paquet, U. A new particle swarm optimiser for linearly constrained optimization / U. A. Paquet, A. P Engelbrecht // In Proceedings of the Congress on evolutionary computation 2003 (CEC'2003), volume 1, pages 227-233, Piscataway, New Jersey, December 2003. Canberra, Australia, IEEE Service Center.

106. Rosales, A. Chattering analysis of HOSM controlled systems: Frequency domain approach / A. Rosales, Y. Shtessel, L. Fridman, C. B. Panathula // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2016. V.69 P. 99. doi: 10.1109/TAC.2016.2619559

107. Stepan, G., [i-chaos in digitally controlled mechanical systems, Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics, J. M. T. Thompson and S. R. Bishop, Eds., John Wiley & Sons, Chichester (1994) 143.

108. Rubensson, M. Stability of Limit Cycles in Hybrid Systems using Discrete-Time Lyapunov Techniques / M. Rubensson, B. Lennartson // Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control. - 2000- Sydney, Australia, P. 1397-1402.

109. Ushio, T Chaotic rounding error in digital control systems /T. Ushio, S. Hsu // IEEE Trans. Circuits Syst.- 1987,- V. 34.-P. 133-139.

110. Shen, Y. On multiple limit cycles in sliding-mode control systems via a generalized describing function approach / Y. Shen, Qiu YY. // Nonlinear Dynam - 2015,- V.82.- P. 819-834.

111. Varigonda, S. Dynamis of relay relaxation oscillators / S. Varigonda, T.T. Georgiou. IEEE Transactions on Automatic Control. - 2001- P.65-77.

112. Vazquez-Leal, H. A. Sarmiento-Reyes, and R. Castañeda-Sheissa, "Numerical continuation scheme for tracing the double bounded homotopy for analysing nonlinear circuits/ H. Vazquez-Leal // in Proceedings of the International Conference on Communications, Circuits and Systems,pp.ll22-1126,Hong Kong, China, May 2002.

113. Utkin, V. Sliding Modes in Control and Optimization / V. Utkin // Berlin Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2013.

114. Y.-B. W. Y.-B. Wang, X. P. X. Peng, andB.-Z. W. B.-Z. Wei, "Anew particle swarm optimization-based auto-tuning of PID controller," 2008 Int. Conf. Mach. Learn. Cybern., vol. 4, no. July, pp. 12-15, 2008.

115. Wang, Q. G Relay Feedback: Analysis, Identification and Control / Q.G.

Wang, T.H Lee, L. Chong. Springer, 2003.

116. Wu, D. Frequency-domain analysis of nonlinear active disturbance rejection control via the describing function method. IEEE T Ind Electron. - 2013.-V. 60.-P. 3906-3914.