Методы, алгоритмы и программы приближенного решения задачи управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат технических наук Сачкова, Елена Федоровна

• Сачкова, Елена Федоровна
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сачкова, Елена Федоровна

1 Введение

1.1 Основные определения и постановка задачи управления.

1.2 Обзор литературы по управляемости и методам решения задачи управления.

1.2.1 Управляемость автономных систем.

1.2.2 Методы решения задачи управления.

1.2.3 Программные средства для решения задачи управления.

1.3 Краткое содержание работы.

2 Явные формулы и алгоритмы для решения задачи управления нильпотентной системой

2.1 Простейшие классы управлений.

2.1.1 Кусочно-постоянные управления

2.1.2 Тригонометрические управления

2.2 Оптимальные управления.

2.2.1 Постановка задачи и схема решения

2.2.2 Принцип максимума Понтрягина.

2.2.3 Исследование оптимальности экстремальных траекторий.

2.2.4 Явные формулы для оптимальных процессов.

2.3 Комбинированные управления.

2.3.1 Геометрическое свойство симметричной системы.

2.3.2 Метод комбинированного управления.

2.3.3 Теорема о подходящих векторных полях.

2.3.4 Алгоритмы построения управлений.

2.3.5 Комбинированные управления, построенные с помощью векторных полей типа центр.

2.3.6 Комбинированные управления, построенные с помощью векторных полей типа фокус.

2.3.7 Комбинированные управления, построенные с помощью постоянных полей.

2.3.8 Основные формулы параграфа

2.4 Основные результаты главы.

3 Алгоритмы приближенного решения задачи управления

3.1 Теоретические сведения.

3.2 Каноническая нильпотентная аппроксимация.

3.3 Вычисление коэффициентов аппроксимации.

3.4 Замена переменных, приводящая нильпотентную аппроксимацию к симметричной системе.

3.5 Последовательный алгоритм решения задачи управления.

3.6 Параллельные алгоритмы для решения задачи управления.

4 Программный комплекс NilpControl для решения задачи управления

4.1 Описание программы FindControlLoc.

4.1.1 Описание программных модулей программы FindControlLoc

4.1.2 Схема программы FindControlLoc.

4.2 Программный комплекс NilpControl.

5 Апробация и анализ работы программ решения задачи управления

5.1 Управление мобильным роботом на плоскости.

5.2 Управление ориентацией катящейся сферы

5.2.1 Пример работы программы FindControlLoc.

5.2.2 Анализ работы программы FindControlLoc.

5.3 Системы с трехмерной орбитой.

5.3.1 Метод карт.

5.3.2 Метод аппроксимации скобки Ли.

5.3.3 Сравнение алгоритмов 3 и 4.

5.4 Управление предельной системой для двухзвенного манипулятора

5.5 Рекомендации по использованию ПК NilpControl.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы, алгоритмы и программы приближенного решения задачи управления»

1.1 Основные определения и постановка задачи управления

Современные программные комплексы управления техническими объектами сталкиваются с проблемами управления неголономными системами. Такие системы традиционно представляют трудности для теоретического анализа в механике, а их широкое использование в современной робототехнике и инженерии (мобильные роботы, роботы-манипуляторы) делают весьма актуальной разработку новых математических, алгоритмических и программных средств для управления неголономными системами.

Цель данной диссертации — разработка методов, алгоритмов и программ решения двухточечной граничной задачи управления для нелинейных систем с трехмерным состоянием и двумерным линейным управлением. Прежде чем дать точную формулировку этой задачи, напомним базовые определения. Рассмотрим управляемую систему х = Х(х,и), sGln, ueU сГ, (1.1) с гладкой правой частью Х(х, и), кусочно-непрерывными управлениями u(t) и кусочно-гладкими траекториями x{t). Если x(t) = X(x(t),u(t)) для почти всех моментов времени t, то говорят, что траектория x(t) соответствует управлению u(t), а пара (u(t), x(t)) называется управляемым процессом для системы (1.1). Если при этом ж(0) = х°, х(Т) = .т1 для некоторых точек х°, х1 £ Кп, то траектория x(t) (или управление u(t)) переводит систему (1.1) из точки х° в точку х1.

Зафиксируем точки х°, х1 & К", время Т > 0, и рассмотрим следующую задачу управления: найти управление u(t), t £ [О, Т], переводящее систему (1.1) из точки х° в точку х1.

1.2)

Соответствующее управление u(t) называется точным решением задачи (1.2). Будем называть в этом случае управление u(t), траекторию x(t), процесс (u(t), x(t)), t Е [О, Т], допустимыми для задачи (1.2). Если точное решение не удается найти, естественно рассмотреть приближенное решение задачи (1.2): зафиксируем х°, х1 £ R", Т > 0 и точность £ > 0, и потребуем найти управление u(t), t Е [О, Т], переводящее систему (1.1)

1.3) из точки ж0 в некоторую точку г- окрестности точки х1.

В данной диссертации рассматривается важный в теоретическом плане и для приложений класс управляемых систем следующего вида: х — щХ^х) +и2Х2{х), х Е R3, и — (щ, U2) G К2, (1.4) где Xi, Х2 — гладкие векторные поля в R3. Для таких систем исследуется точное решение задачи управления (1.2): х°, а^еМ3, Т>0, х(0) = ж°, х(Т) = х\ (1.5) и ее приближенное решение (1.3): х°, х1 £ Ш3, Т> 0, £>0, ж(0) = ж°, |ж(Т) — а,д| < е. (1.6)

В силу линейности системы (1.4) по управлениям и отсутствия ограничений па управление (и G R2), если управление u(t), t £ [0, Т], переводит эту систему из точки х° в точку х1, то для любого к > 0 управление u(t) — ku(kt), t Е [0, Т/к], также переводит эту систему из х° в х1 (соответствующая траектория есть x(t) = x(kt)). Эту возможность перепараметризации траекторий системы (1.4) мы неоднократно используем в дальнейшем. Благодаря ей, если задача (1.5) (или (1.6)) разрешима для некоторого Т > 0, то она разрешима и для любого Т > 0. Поэтому далее мы опускаем зависимость задачи управления для системы (1.4) от терминального времени Т в промежуточных рассуждениях, но сохраняем ее в окончательных формулах и алгоритмах для решения этой задачи.

Всюду далее система (1.4) рассматривается при некоторых условиях общего положения; для точной формулировки этих условий понадобятся еще несколько определений и фактов, которые для удобства использования в дальнейшем обзоре будут приведены для общих линейных по управлению систем т x = ^2uiXi(x)> и = (щ,.,ит) ЕШ.т. (1.7)

1=1

Система (1.1) называется вполне управляемой, если для любых х°, х1 Е К" задача управления (1.2) разрешима, то есть существует управление, переводящее эту систему из 1° в I1. Обозначим через etXi(x) траекторию векторного поля Xi, начинающуюся в точке х: etx'(x) = Xi(etx<(x)), etx<(x)\^ = x, а через etx' : М" —> R" поток поля Xi, то есть отображение, переводящее точку х Е К" в точку etx,(x) Е Ж". Очевидно, что свойства управляемости системы (1.7) существенно зависят от свойств коммутативности полей Х{. В частности, если потоки этих полей коммутируют между собой, то есть etXi Q esXj = csX3 о etXi a е R] то из любой точки х° Е R" достижимыми для системы (1.7) являются лишь точки, принадлежащие m-мерной поверхности etmX™ o.oetlXl{xQ)\

Мерой некоммутативности полей Х\. Х2 является их коммутатор (скобка Ли) — векторное поле [Xi, Х2], вычисляемое следующим образом:

Xlt Х2](х) = - ^Х2(х), в координатах:

Xi{x) = (XI ., Хр)(х), х = (xi, хп)Е К",

Хг, ХМ*) = Ё д~ВХ{{х) ~ £ ИГXi{x)' j=1 J 1 J

Рассмотрим алгебру JIu, порожденную полями Х\, ., Хт\ это линейное пространство, порожденное полями Х\, ., Хт и их коммутаторами произвольного порядка:

Lie(X1,.,Xm)=span(Xi,, [Хи Xs], [Xit [Xjt Xfc]],.).

Определим также линейное пространство, образованное значениями в фиксированной точке х £ R™ векторных полей из алгебры Ли Lie(X!,. Хт):

Liex(Xi,. ,,Хт) = span{X(a;)| X G Lie(Xb . ,Xm)} = span (Х{(х), [Xu Xj](x),.).

Теорема Рашевского-Чжоу [2,31] дает критерий полной управляемости аналитических систем (1.7): такие системы вполне управляемы тогда и только тогда, когда dim 1леж(Хх,., Хт) = п Уж G R". (1.8)

Условие (1.8) называется условием полного ранга для системы (1.7). Естественным достаточным условием для условия полного ранга (1.8) для трехмерных систем (1.4) является следующее условие: векторные поля Х^з;), Х2(х), [Xj, Х2](х) линейно независимы для всех х Е К3.

1.9)

Заметим, что системы (1.4) общего положения удовлетворяют условию (1.9).

В данной диссертации рассматриваются гладкие управляемые системы (1.4), удовлетворяющие условию (1.9). Для таких систем исследуется точное (1.5) и приближенное (1.6) решение задачи управления.

В работе существенно различаются следующие два случая:

• расстояние между граничными точками х°, х1 достаточно мало, тогда задача управления называется локальной;

• расстояние между граничными точками х°, х1 произвольно, тогда задача управления называется глобальной.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Сачкова, Елена Федоровна

Основные результаты диссертации

1. Для задачи оптимального управления неголономным интегратором Брокетта с интегральным критерием качества получено описание оптимального синтеза и функции цены.

2. Разработан метод построения комбинированного управления для решения задачи управления нильпотентной системой.

3. На основе разработанных математических методов создана библиотека программных управлений NilpLib, точно решающих двухточечную граничную задачу управления в классах кусочно-постоянных, тригонометрических, оптимальных в смысле минимума интегрального функционала, и комбинированных управлений.

4. Разработан многометодный вычислительный алгоритм для нахождения приближенного решения задачи управления для нелинейных пеголономных систем общего положения с трехмерным состоянием и двумерным линейным управлением.

5. В системе компьютерной математики Maple создан программный комплекс NilpControl, реализующий указанный многометодный алгоритм, с поддержкой как автоматического, так и интерактивного режимов работы пользователя.

6. Проведена экспериментальная эксплуатация программного комплекса NilpControl для решения ряда задач управления: кинематическая модель мобильного робота на плоскости; ориентация сферы, катящейся по плоскости без проскальзывания и прокручивания; система в четырехмерном пространстве состояний с трехмерной орбитой; предельная система двухзвенпого манипулятора.

Полученные теоретические результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях методов управления неголопомными системами. Разработанный программный комплекс NilpControl, в совокупности с рекомендациями по его использованию, может применяться для исследования управляемых систем в механике, робототехнике, инженерных приложениях, а также при обучении студентов новым методам теории управления.

Заключение:

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сачкова, Елена Федоровна, 2009 год

1. Аграчев А.А., Сарычев А.В. Фильтрации алгебры Ли векторных полей и иильпотентная аппроксимация управляемых систем //ДАН СССР,— 1987.— Т. 295.— С. 777-781.

2. Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005.

3. Антипина Н.В., Дыхта В.А. Неравенство Гамильтона-Якоби в вырожденных задачах динамической оптимизации с линейным неограниченным управлением. // Вестник БГУ. Математика и информатика. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2008. — Вып. 9. — С. 3-10.

4. Бабичев А.В. Особые поверхности для управляемых динамических систем с плоским конусом допустимых направлений скорости // Автоматика и телемеханика.— 1989.— X2 4.— С. 43-53.

5. Бабичев А.В., Бутковский А. Г., Jlene Н. Л. Особые множества на фазовых портретах динамических систем с управлением. I // Автоматика и телемеханика.— 1986.— № 5.— С. 34-31.

6. Бабичев А.В., Бутковский А. Г., Лепе Н. Л. Особые множества на фазовых портретах динамических систем с управлением. II // Автоматика и телемеханика.— 1986.— № 7.— С. 48-54.

7. Бабичев А.В., Бутковский А. Г., Лепе Н. Л. Декомпозиция фазового портрета динамической системы с управлением с помощью аппарата расслоений // Автоматика и телемеханика — 1989 — № 5.— С. 19-27.

8. Бартенъев О.В. Современный Фортран.— М.: Диалог-МИФИ, 2000.

9. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем.— М.: Наука, 1985.

10. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.— М.: Наука, 1980.

11. Вершик A.M., Гершкооич В.Я. Неголоиомиые динамические системы и геометрия распределений //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы. М.: ВИНИТИ.— 1986.— Т. 7.

12. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.— М.: Наука, 1988.

13. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи.— М.: Изд-во АН СССР, 1959.

14. Горное А.Ю. Технология проектирования программных комплексов для задач оптимального управления // Вестник ИрГТУ. 2004. - Т. 17, № 2. - С. 148-153.

15. Гурман В.И. Принцип расширения в экстремальных задачах.— М.: Физматлит, 1997.

16. Гурман В.И., Сачков Ю.Л. Представление и реализация обобщенных решений управляемых систем с неограниченным годографом // Автоматика и Телемеханика.— 2008.— № 4,— С. 72-80.

17. Дьяконов В. Maple 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2001.

18. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. —М.: Наука, 1982.

19. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Нелинейные системы. Управляемость, стабилизируемость, инвариантность. Итоги науки и техники. Серия "Техническая кибернетика",— Т. 23 — С. 3-107.

20. Емельянов С.В., Коровин С.К., Мамедов И.Г., Никитин С.В. Критерии управляемости нелинейных систем при фазовых ограничениях // Докл. АН СССР.— 1986.— Т. 290.— № 1.

21. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Управляемость нелинейных систем. Двумерные системы. Итоги науки и техники. Серия "Техническая кибернетика".— 1987.— Т. 21.- С. 3-67.

22. Жулин С. С. Численное решение задач оптимального управления с помощью системы OPTIMUS // Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ Под ред. Ю.С.Осипова, А.В.Кряжимского — 2005.— Выпуск 1 — С. 158165.

23. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. М.: Едиториал УРСС, 2004.

24. Керниган Б., Ритчи Д., Фъюэр А. Язык программирования Си. Задачи по языку Си. М.: Финансы и статистика, 1985.

25. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления.— М.: Наука, 1972.

26. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления. Математика. Новое в зарубежной науке. Выпуск 14.— М.: Мир, 1979.

27. Мищенко А. С. , Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Факториал, 2000.

28. Неймарк Ю.И., Фуфаев И.А. Динамика неголономных систем.— М.: Наука, 1967.

29. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

30. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

31. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией //Учен. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкпехта. Сер. физ.-мат.— 1938.— Т. 3.— №2,— С. 83-94.

32. Сачков Ю.Л. Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны //Мат. Сборник.— 2006.- Т. 197,- № 4,- С. 123-150.

33. Сачков Ю.Л. Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах.— М.: Физматлит, 2007.

34. Сачкова Е. Ф. Решение задачи управления для нильпотентной системы // Дифференциальные уравнения, 2008, том 44, № 12,с.1704 1707.

35. Сачкова Е.Ф. Приближенное решение задачи управления на основе нильпотентной аппроксимации // Дифференциальные уравнения, 2009, том 45, № 9, с.1355-1364.

36. Сачкова Е. Ф. Приближенное решение двухточечных граничных задач для систем с линейными управлениями// Автоматика и телемеханика, 2009, № 4, с. 179-189.

37. Сачкова Е.Ф. Программная реализация алгоритма приближенного решения задачи управления// Программные продукты и системы, 2009, № 2, с.84-88.

38. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000.

39. Третьяк А. И. Достаточные условия локальной управляемости и необходимые условия оптимальности высшего порядка. Дифференциально- геометрический подход // Современная математика и ее приложения. Т. 24. Динамические системы-4.— М.: ВИНИТИ, 1996.

40. Тятюшкин А. И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. —Новосибирск: Наука, 1992.

41. Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. — Новосибирск: Наука, 2006.

42. Уиттекер Э.Е. Аналитическая динамика. М.: УРСС, 2004.

43. Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем.— М.: Изд-во ЛКИ, 2007.

44. Чхиквадзе И.Ю. Исследование фазовых портретов билинейных систем // Автоматика и телемеханика — 1989,— № 4.— С. 75-83.

45. Aeyels D. Global controllability for smooth nonlinear systems: a geometric approach // SIAM Journal on Control and Optimization.— 1985.— V. 23.— No. 3 — P. 452-465.

46. Agrachev A. Newton diagrams and tangent cones to attainable sets // Analysis of Controlled Dynamical Systems / Eds. B. Bonnard, B. Bride, J.P. Gauthier, I. Kupka.—Proc. col. Int. Lyon, Prance, 3-6 juillet, 1990—Birkhauser, 1991.—P. 11- -20.

47. Agrachev A. Is it possible to recognize Local Controllability in a finite number of differentiations? // Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory.—London: Springer-Verlag, 1999.—P. 15-18.

48. Agrachev A., Gamkrelidze R.V. Local Controllability for families of diffeomorphisms // Systems and Control Letters.—1993,—V. 20.—P. 67-76.

49. Agrachev A., Gamkrelidze R.V. Local Controllability and semigroups of diffeomorphisms // Acta Appl. Math.—1993—V. 32.—P. 1-57.

50. Agrachev A., Marigo A. Nonholonomic tangent spaces: intrinsic construction and rigid dimensions // Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society.— 2003,- V. 9 P. 111-120.

51. Avnaim F., Boissonnat J., Faverjon B. A practical exact motion planning algorithm for polygonal objects amidst polygonal obstacles // Int. IEEE Conf. on Robotics and Automation — Philadelphia.— 1988—P. 1656-1661.

52. Barraquand J., Latombe J.C. Robot motion planning: a distributed representation approach // International Journal of Robotics Research.— 1991.

53. A. Bellaiche and J.-J. Risler, editors, Sub-Riemannian Geometry. // Progress in Mathematics.— Birkhauser.— 1986.

54. Bellaiche A. The tangent space in sub-Riemannian geometry //In: Bellaiche A. and Risler J.-J. Eds. Sub-Riemannian geometry. Basel, Swizerland: Birkhauser.— 1996.— P. 1-78.

55. Bellaiche A., Laumond J.P., Chyba M. Canonical nilpotent approximation of control systems: application to nonholonomic motion planning // 32nd IEEE Conf. on Decision and Control.— San Antonio - 1993.

56. Bianchini R.M., Stefani G. Graded approximation and controllability along a trajectory // SIAM J. on Control and Optimization.— 1990.— V 28 — No. 4 — P. 903-924.

57. Boissonnat J.D., Cerezo A., Leblond J. Shortest paths of bounded curvature in the plane // In IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. — Nice.— 1992.

58. Bressan A., Rampazzo F. Impulse control systems without commutativity assumption. // J.Optim. Theory and Appl.— 1994. — V.81, N3. — pp. 435-457.

59. Bui X.N., Soueres P., Boissonnat J.D., Leblond J.P. Shortest paths Synthesis for Dubins Nonholonomic Robot // IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. — San Diego.— 1994.

60. Bushnell L., Tilbury D., Sastry S. Steering three-input nonholonomic systems: the four-truck example // International Journal of Robotics Research.— 1995.— V. 14.— P. 366-381.

61. Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P. Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples // Int. Journal of Control.— 1995.— V. 61.— No. 6.— P. 1327-1361.

62. Goodman N. Nilpotent Lie groups// Springer Lecture Notes in Mathematics.— 1976.— V. 562.

63. Hermes H. Nilpotent and high-order approximations of vector field systems // SIAM Review.— 1991,— V 33.- No. 2.— P. 238- 264.

64. Isidory A. Nonlinear control systems: an introduction.— Springer-Verlag, 1985.

65. Jacob G. Lyndon discretization and exact motion planning // European Control Conference.— Grenoble.— 1991 — P. 1507-1512.

66. F. Jean. Sub-Riemannian geometry//Lectures on Dynamical and Control Systems, Trieste, 2003.

67. Jurdjevic V. Geometric control theory.— Cambridge University Press, 1997.

68. Kalman R., Ho Y. C., Narendra K. Controllability of Linear Dynamical Systems.// Contrib. Diff. Equations—1963—V. 1 — No. 2.

69. Kawski M. Combinatorics of nonlinear controllability and noncommuting flows // Mathematical control theory. ICTP Lecture Notes Series.—2002—V. 8.—P. 222-311.

70. Krener A. A generalization of Chow's theorem and the Bang-Bang theorem to non-linear control problems //SIAM J. Control—1974.-V. 12,—P. 43-51.

71. Laferriere G. and Sussmann H.J. A differential geometric approach to motion planning. //In: Nonholonomic Motion Planning. Zexiang Li and J.F. Canny Eds.— The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science.—1992.— V. 192.

72. Latombe J.C. Robot Motion Planning.— Kluwer Academic Publishers, 1991.

73. Laumond J.P. Singularities and topological aspects in nonholonomic motion planning //In: Nonholonomic Motion Planning, Zexiang Li and J.F. Canny Eds, The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science.- 1992.— V. 192.

74. Laumond J.P. Robot Motion Planning and Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences.— Springer.—1998 — V. 229.

75. Laumond J.P., Risler J.J. Nonholonomic systems: controllability and complexity // Theoretical Computer Science.— 1996.— V. 157.— P. 101-114.

76. Li Z., Canny J.F. Eds., Nonholonomic Motion Planning.— Kluwer Academic Publishers, 1992.

77. Lobry C. Controllability of nonlinear systems on compact manifolds / / SIAM Journal on Control.—1974.-V. 12,—No. 1.— P. 1-4.

78. Markus L. Controllability of Nonlinear Processes.//J. SIAM, Ser. A. Control 3. —1965,—P. 78-90.

79. Murray R. M. Nilpotent bases for a class on nonintegrable distributions with applications to trajectory generation for nonholonomic systems // Math. Control Signal Syst.— V. 7.— 1994.— P. 58-75.

80. Murray R.M., Sastry S. Steering nonholonomic systems using sinusoids // IEEE Int. Conf. on Decision and Control.— 1990 — P. 2097-2101.

81. Nijmeijer II., van der Schaft A. Nonlinear dynamical control systems.— Springer-Verlag, 1990.

82. Nikitin S. Global controllability and stabilization of nonlinear systems.— World Scientific Publishing, 1994.

83. Rothschild L.P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups// Acta. Math.- 1976 V 137.- P. 247-320.

84. Sachkov Yu.L., Sachkova E.F. //Generalized solutions in control problems (IFAC workshop). M.: FIZMATLIT, 2004. P. 227-235.

85. Stefani G. On local controllability of a scalar-input system / In Lindquist Byrnes, editor // Theory and Appl. of Nonlinear Control Syst. North Holland, Amsterdam.— 1986.— P. 167-179.

86. Sussmann H. Lie brackets, real analyticity and geometric control // Geometric control Theory (Brockett R., Millman R. and Sussmann H., eds.) V. 27 of Progress in Mathematics, Michigan Technological University.— Birkhauser.— 1982.

87. Sussmann H. J. Lie brackets and local controllability: a sufficient condition for scalar-input systems 11 SIAM J. Control and Optimization—1983—V. 21—P.686-713.

88. Sussmann H. J. A general theorem on local controllability // SIAM J. Control and Optimization.—1987.—V. 25.—P. 158-194.

89. Sussmann H. J., Jurdjevic V. Controllability of non-linear systems // J.Diff. Equations.— 1972.-V. 12.—P. 95-116.

90. Sussmann H.J., Tang W. Shortest paths for the Reeds-Shepp car: a worked out example of the use of geometric techniques in nonlinear optimal control // Report SYCON-91-lO.— Rutgers University.— 1991.

91. Tilbury D., Laumond J.P., Murray R.M., Sastry S., Walsh G. Steering car-like systems using sinusoids //In IEEE Conf. on Robotics and Automation. — Nice.— 1992 — P. 1993-1998.

92. Wolfram S. Mathematica: a system for doing mathematics by computer, Addison-Wesley, Reading, MA 1991.