Методы алгебраической геометрии и перенос Ферми-Уокера в расширенных теориях гравитаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Димитров, Богдан Георгиев

• Димитров, Богдан Георгиев
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Димитров, Богдан Георгиев

Содержание

Введение

1 Методы алгебраической геометрии в теории гравитации

1.1 Алгебраические уравнения в теории гравитации без применения вариационного формализма

1.2 Алгебраические уравнения в теории гравитации после применения вариационного формализма [76]

1.3 Некоторые основные подходы в теориях

с дополнительными измерениями пространства-времени

1.4 Функция длины в компактифицированном + перемасштабированном типа I низкоэнергетическом действии

1.5 Функция длины при сохранении скалярной

кривизны. Физическое значение

2 Эллиптические кривые и кубические алгебраические уравнения-известные

факты и новые результаты

2.1 Предисловие

2.2 Основные математические понятия

об эллиптических функциях и их свойствах

2.3 Основные свойства эллиптической функции Вейерштрасса (ЭФВ) и параметризуемой формы кубического алгебраического уравнения

2.4 Новые результаты о параметризации двумерной кубической кривой с коэффициентными функциями, зависящими от

комплексной переменной

2.5 Параметризация многокомпонентного кубического уравнения (1.1.6) - случай одной

переменной (Шаги А и В)

2.6 Параметризация вложенной последовательности кубических алгебраических уравнений - Шаг С

2.7 Униформизация кубического алгебраического

уравнения - Шаг &

3 Теоретические ограничения в стандартной гравитационной теории деформируемых сред. Принцип Эквивалентности в пространствах с кручением и неметричностью

3.1 Предварительные сведения

3.2 Геодезические и автопараллельные уравнения и их канонические параметры

3.3 Краткое введение в стандартную формулировку Принципа Эквивалентности в Эйнштейновской теории гравитации

3.4 Э-деривация и обобщение Принципа Эквивалентности для пространствах

с кручением

3.5 Стандартное определение о переносе Ферми-Уокера и связь

с Принципом Эквивалентности

4 Пертурбативная теория гравитации на искривленном фоновом

пространстве - новые результаты

4.1 Предварительные сведения

4.2 Новые результаты в первом и во втором пертурбативном приближении гравитации на искривленном фоновом пространстве

5 Метрически-Аффинные Теории Гравитации и Гравитационные Теории с Ковариантными и Контравариантными Метриками и

Связностями - известные факты и новые результаты

5.1 Сравнение между некоторыми основными понятиями в МАТГ и ГТККМС. Новая классификация пространств с аффинными

связностями и метриками

5.2 Определения длины и косинуса угла между контравариантными векторами

вГТККСМ

5.3 Новое определение пространств Вейля

в ГТККСМ. Параллельные переносы, переносы в пространствах Вейля и конформные переносы

5.4 Относительная и деформационная скорость

в релятивистской гидродинамике и в ГТККСМ

5.5 Новые результаты разложения тензора

скорости деформации в ГТККСМ

5.6 Новые результаты - необходимые и достаточные условия для существования свободных от сдвига

и расширений течений в ГТККСМ

5.7 Геометрическая и физическая интерпретация свободных от сдвига и расширений течения

в ГТККСМ. Автопараллельные поля

5.8 Новое определение и математические условия

для переноса Ферми-Уокера в ГТККСМ

5.9 Перенос Ферми-Уокера в направлении

свободных от сдвига и расширения векторных полей и

5.10 Необходимое и достаточное условие

для движения свободной, бесспиновой частицы по автопараллельной траектории

Заключение Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы алгебраической геометрии и перенос Ферми-Уокера в расширенных теориях гравитаций»

Введение

Настоящий диссертационный труд посвящен некоторым математическим и физическим следствиям т.н. "Гравитационных Теорий с Кова-риантными и Контравариантными Связностями и Метриками" (ГТКК-СМ). ГТККСМ - это класс расширенных (неэйнштейновских) гравитационных теорий, которые "расширяют" известную Эйнштейновскую теорию гравитации или Метрически-Аффинную Теорию Гравитации (МАТГ) путем введения разграничения между ковариантными и ковариантны-ми метрическими компонентами. С математической точки зрения, такое разграничение вполне мотивировано и оправдано, так как на каждом дифференцируемом многообразии можно задать независимо базисные векторы на тангенциальном и котангенциалъном расслоении. Это приведет к тому, что на многообразии будут определены две связности-контравариантная (которая знакома с обычной, Эйнштейновской теорией гравитации)и ковариантная связность, которая связана с ковариант-ным дифференциальным оператором, действующим на базисные векторы из котангенциального расслоения. На самом деле, вторая, ковариантная связность тоже появляется и в Эйнштейновской теории - при выписывании формулы для ковариантной производной от контравариантных метрических компонентов, перед вторым членом с аффинной связностью ставится знак "плюс". И это вовсе не случайно - только при таком выборе знака связности контракция ковариантных и контравариантных метрических компонентов будеть давать стандартный дельта (кронекеровский) символ. Таким образом, в Эйнштейновской теории гравитации ковариантная связность (хотя она явным образом не присуствует в теории) равняется контравариантной связности, но со знаком "минус". Мате-

матическая формулировка ГТККСМ, ранее разработана проф. Савой Мановым (S. Manoff) (см. монографии

Разграничение между ковариантными и контравариантными метрическими компонентами приведет к введению анизотропной тензорной шкалы расстояний lk. Эта тензорная шкала впервые вводится в этом диссертационном труде на основе контракции ковариантных и контра-вариантных метрических компонентов = 1к. Полученную таким

способом тензорную шкалу расстояний (здесь существенно заметить, что эту тензорную шкалу расстояний не надо путать с метрикой) будем называть "тензорная шкала расстояний, несогласованная с метрикой". В диссертации такая тензорная шкала при предположении, что она является "изотропной" , т.е. <fJ" = glklJk(t,x) = glkl(t,x)5Jk(x), будет применятся к гравитационным теориям с дополнительными измерениями, и на основе положительности квадрата этой шкалы l2(t,x) (евклидовое пространство-время) будут выведены новые соотношения в форме неравенств между параметрами в струнном действии 1-ого типа. Примечателен и важен тот факт, что так как функция длины не будет входить в эти соотношения, то они будут справедливыми и для теории с дополнительными измерениями, развитой Гия Двали (G. Dvali), Игна-тиусом Антониадисом (I. Antoniadis) и другими. Более того, развитый подход может быт примененным к гравитационным теориям, более тесно привязанны к экспериментам - наппример, к Пость - Ньютоновскому формализму в Общей Теории Относительности. Возможность конкретного применения этого формализма также подсказывает, что для развития подхода алгебраической геометрии в этой диссертации существует не только математическая, но также и физическая аргументация.

Цель введения диссертации показать, что такая физическая аргументация существует, и что она связана с самыми современными экспериментами, такими как Лазерная Локация Луны (в англоязычной литературе - Lunar Laser Ranging (LLR)),c новой, быстро развивающейся областью современной теоретической физики, такой как релятивистская астрометрии (см. монографию [3] с авторами Sergei Kopeikin, Michael Efroimsky and George Kaplan), а также теория Релятивистких Систем От-

счета (РСО), которая была официально признана в Резолюциях 24-ой Генеральной Асамблеи Международного Астрономического Союза (Internatiom Astronomical Union (IAU)) в августе 2000 года (см. [4], также [5]). РСО - это математическая процедура для конструирования т.н. "Пост - Ньютоновских (PPN)" локальных координат в искривленном пространстве-времени вокруг массивных, движущихся небесных тел, которые используются для уточнения эфемерид небесных тел, для навигации космических кораблей в Солнечной шстеме и для редукции астрономических наблюдений. Теория Релятивист}ких Систем Отсчета (РСО)(барицентрические, геоцентрические, спутниковые) впервые (в период 1988 по 1992 г., а также гораздо ранее) была разработана русскими учеными В. А. Брумбер-гом, С. М. Копейкиным, С. Клионером.

Но прежде чем перейти к обзору современных достижений и нерешенных проблем Лазерной Локации Луны, надо упоминуть еще одно новое понятие, которое было введено в этой диссертации - это анизотропная тензорная шкала, совместимая с метрикой. Идея для введения этой анизотропной тензорной шкалы очень простая - если выбрать контрава-риантные, "тильда" компоненты как дгк = dXldXk, то тогда контракция ковариантных и контравариантных "тильда" компонентов будет давать следующую анизотропную тензорную шкалу длин, совместимой с метрикой

9ijdX4Xk = I' = gl3Wk •

Последная формула имеет следующую примечательную особенность: когда г = к, из последней формулы следует стандартное выражение для элемента длины

ds2 = l = gijdXidXj .

Следовательно, это выражение подсказывает следующее новое физическое толкование для метрики пространства-времени, которое впервые дается в этом диссертационном труде: метрика пространства - времени представляет собой изотропную шкалу длин, которая является частным случаем анизотропной тензорной шкалы длин, совместимой с метрикой, при г = к.

В диссертации выведено также новое уравнение - т.н. "кубическое алгебраическое уравнение репараметризационной инвариантности грави-тационното Лагранжиана" , которое составляет основу для предложенного впервые в диссертации метод алгебраической геометрии в теории гравитации. Согласно этому подходу, на двух многообразиях М\ и М2

определены две системы карт соответственно (а;1 (А), 072(Л),......,хп(Х)) и

(Х^Л), Х2(Л),......, Хп(Х)) Mi и М2 - эта ситуация соответствует описанному математическому формализму в известном университетском курсе [?] по дифференциальной геометрии, авторы А. Т. Фоменко и А. С. Мищенко. Тогда гладкое отображение / : Mi —М2 этих двух многообразий может быт представлено как набор координатных функций

Хк = fk{x\x2,.....хп) к = 1,2,.....п

Если = dxk С Tp1(Mi) - касательной вектор к кривой 71 на многообразии Mi, то множество всех этих касательных векторов

= I (ж1 (Л), х2(А),......, хп(Л)) при изменении параметра Л будеть формировать т. н. "касательное пространство" Tp^Mi) в точке Pi.

Аналогично, эсли rjk = dXk С Тр2(М2) - касательной вектор к кривой 72 на другом многообразии М2, то дифференциал от отображения /, определенный формулой rj = dfp1(£), будет определять отображение векторов касательного расслоения первого многообразия М\ на касательные вектора расслоения второго многообразия М^. Таким образом, дифференциал dfp1 есть гладкое отображение двух тангенциальных расслоений, которое не зависит от выбора тангенциальной кривой, т.е. если Pq С М и £ С Тр0(М) и 7 - гладкая кривая, такая что 7(^0) = Лз и 7(^0) = то производной (дифференциалом) гладкой функции / в отношении вектора £ будет выражение

|/(7«))«. = ?(/) = ......ое ■

г= 1

Теперь уже понятно, что основное выражение

п г)Х^

dX»{x\ х2...., хп) = ^dxa ,

а=1

которое используется при конструировании подхода алгебраической геометрии в этом диссертационном труде, корректно определено с математической точки зрения - это выражение задает гладкое отображение между касательными векторами (IXм и с1ха в соотвественных касательных пространствах. Важно подчеркнуть, что эти вектора НЕ являются бесконечно маленькими, и поэтому можно записать основное алгебраическое уравнение, которое далее будет решатся относительно переменных с1Хг как

с1хЧх3(1хкрТг^гдку - ЩйхЧх^ = 0 . (А)

Уравнение (А) написано при предположении с12Хг = 0, и в диссертации оно названо "кубическим алгебраическим уравнением репарамегпризаци-онной инвариантности гравитационного Лагранжиана" (КАУРИГЛ). Надо подчеркнуть, что вместо параметра Л, маленькие координаты х зависят от комплексной переменной г - это та же самая комплексная переменная, которая входит в определение эллиптической функцией Вей-ерштрасса (ЭФВ)

( - — V" Г 1 _ 1_

Р[Х) ~ г2 + ^ {х- и)2 и2 "

Ш ' л

ЭФВ и ее первая производная параметризируют следующие двумерные кубические алгебраические уравнения

у2 = 4х3 - д2х - дъ .

Последнее уравнение в алгебраической геометрии (см. монографию [7] русских математиках В. В. Прасолова и Ю. П. Соловьева) называется "параметризуемая форма кубического алгебраического уравнения" , которое параметризируется как х = р{х) , у — р (г) .

Так как полученное уравнение (А) КАУРИГЛ является многокомпонентным алгебраическим уравнением, а параметризуемая форма кубического уравнения является двумерной, то в диссертации специально разработан "многошаговый" математический алгоритм для параметризации и униформизации многокомпонентного алгебраического уравнения. Как

результат, доказано, что параметризация многокомпонентного кубического уравнения с функциями, зависящими от ЭФВ и ее производной, тоже возможна, но сами эти функции не являются эллиптическими.

С точки зрения возможности применения подхода алгебраической геометрии в теории гравитации к конкретным физическим проблемам, более существенным является тот факт, что отображение координатных систем (карт) имеет и физический аналог, которой связан с теорией Релятивистских Систем Отсчета. Пусть первое многообразие Mi будет то многообразие, на котором заданы координаты ха = (ct, хг) Барицентрической Системый Отсчета (Barycentric Reference System) с метрикой

ds2 = (-1 + c~22U(x))c2dt2 + dx2 + 0(c~2) ,

которая описывает гравитационное поле внутри Солнечной Системы. На втором многообразии заданы координаты Ха = (си, юг) Геоцентрической Системы Отсчета (Geocentric Reference System) с метрикой

ds2 = (-1 + c~22U(u, w))c2du2 + dw2 + 0(c~2) ,

которая описывает гравитационное поле в пространстве вблизи Земли. Теперь, ползуясь обычной трансформационной формулой для тензора второго ранга

dwцdwv дха дх?

а также т.н. "Пость - Ньютоновские Пуанкаре преобразования" координат

и = t + с"2 Qf2* - VkXk^j +

+с-4 Qv4* - iy w) + 0(c~6) ,

wi = (sik + с~2У{Ук) (:xk - Vkt - bk) -I- 0(c~4) ,

(Vk,bk - постоянные компоненты соотственно скорости и смещения), в работе С. Копейкина [8] была выведена формула для связи между координатным времене; t в Барицентрической Системе Отсчета (BRS) и

9ae{t,X) = gav(u,w)

собственным временем г в Геоцентрической Системе Отсчета (GRS)

dt - vkB(xk - хкв) I + 0(с-4)

г = t + с-2

t

1

2V% - UE{xB)

Эта сравнительно простая формула имеет фундаментальное значение для внегалактической астрономии и для радиоастрономии, когда первоначальное время распространения радиосигнала в рамках Солнечной Системы (барицентрическое время t) потом перевычисляется в собственное время системой отсчета, связанной с Землей (где находится радиотелескоп). Аналогичная формула получена также и в работе Томаса [9], где второй член в круглых скобках для орбитальной скорости Земли vE = 10~4с (индекс В обозначает небесное тело) и для растояния между двух VLBI станций Ъ = 12 km оценивается как

кг к кл VE-b i n—4 12000

где l//sec (1 микросекунда = 10~6 sec). Но при выводе этой важной формулы неслучайно были использованы "Пость-Ньютоновские Пуанкаре преобразования" , которые в принципе задают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета - такие преобразования давно известны по классической работы [10] Чандрасекхара и Кантополуса с 1967 года . Правда, в работе Копейки-на [8] эти координатные преобразования дополнены членами, которые квадратично и линейно зависят от пространственных барицентрических координат хг - таким образом, осуществлен переход от инерциальной барицентрической системы отсчета к квазиинерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Последная система является "квазиинерциальной" , потому что, согласно общей теории Геоцентрической Системы Отсчета, она испытывает приливные внешние воздействия со стороны Луны (и в принципе, хотя и в меньшей степени, со стороны других небесных тел Солнечной системы), и все эти воздействия учитываются в теории как пертурбации. Вся проблема теории состоит в том, что эти воздействия вряд ли будут связаны с "квазиинерциальной" системой отсчета - это на

самом деле идеализированное понятие, которое все-таки сыграло положительную роль для развитие теории. Дело в том, что уже в более современной геофизической литературе (см. обе монографии Ферронского [11] и [12] ясно показывается, что приливное воздействие Луны будет из-менята например инерчный момент Земли. Поэтому эти воздействия не надо интерпретировать как пертурбации, тем более что из-за приливного воздействия Луны локальное (его можно понимать как фоновое) гравитационное поле уже не должно быть асимптотически-плоским - это было отмечено в работах [13] и [14].

Более того, вывод формулы для перехода от барицентрического к геоцентрическому времени основан только на трансформационных свойствах тензора второго ранга, что не дает возможность учесть динамику гравитационного поля, которую можно учесть только посредством применения уравнений Эйнштейна. Таким образом, вместо того чтобы использовать координатные преобразования Чандрасекхара и Контопу-луса можно написать уравнения Эйнштейна для заданной барицентрической или геоцентрической метрики, ввести контравариантные "тил-да" метрические компоненты как дзк = (1Х3{х)(1Хк{х) или по формуле дЗк = с1х3(Х)с1хк(Х), где X суть координаты в барицентрической системе отсчета, ах - координаты в геоцентрической системе отсчета. Решая эти две системы уравнений Эйнштейна для йХ3{х) и для (1х3{Х), при помощи полученных выражений можно найти соотствующую систему нелинейных дифференциальных уравнений для Х3(х) и для х3(Х) -это будет аналогом преобразований, найденных в работе Кантопулуса и Чандрасекхара [10] и в работе С. Копейкина [8], но с той разницей, что преобразования будут задавать переход между неинерциальными системами отсчета! Следовательно, для того чтобы задать такие координатные преобразования между системами отсчета, необязательно, чтобы эти системы были инерциальными, так как Принцип Эквивалентности можно сформулировать и для неинерциальных (ускоренных) систем отсчета! Поэтому, в данном диссертационном труде будет утверждаться, что применение методов алгебраической геометрии позволит найти более общие координатные преобразования между двумя релятивистсскими система-

ми, которые будуть учитывать неинерциальные эффекты, обусловлены действием приливных сил. Именно это было мотивацией для развития математического подхода алгебраической геометрии в гравитационной теории.

В сущности, неинерциальные системы отсчета будут существовать в искривленном пространстве-времени, где должны проявляться эффекты относительного ускорения а — Vuw, порожденные кривизной пространства-времени. Причем, если длина векторного поля l=g(u,u) является постоянной, то изменение длины после действия оператора ковариантного дифференцирования VM будет

О = V«/ = lifJL = (Vug)(u, и) + 2g(Vuu, и) .

Интересным следствием этой формулы является то, что если неметрич-ность будет отсутствовать Vug = 0), то сохранение длины на самом деле означает отсутствие относительного ускорения! Следовательно, переход к инерциальной системе отсчета можно осуществить, если (при условии I — const, и нулевой метричности) наложить дополнительное условие gJß = dXi (x)dXk(х) (g^f- это обычные контравариантные, обратные к ковариантным компоненты метрического тензора для метрики Барицентрической Системы Отсчета (BRS)) и/или д£ — dx^(X)dxk(X), где д^ -контравариантные, обратные к ковариантным, компоненты для метрики Геоцентрической Системы Отсчета (GRS). Здесь есть еще один тонкий момент - сохранение длины векторного поля возможно и при наличии ненулевой метричности и относительного ускорения! На этом будет основываться строгий математической вывод в этой диссертации для выполнения переноса Ферми-Уокера, которой уже не будет пониматься в ограниченном смысле "невозмущенного" движения в окрестности геодезической линии (см. работы Манассе и Ч. Мизнера [15] и [16]), а в более широком смысле, основанном на сохранении длин базисных векторов и углов между ними при переносе вдоль заданного векторного поля. Если приведенные выше рассуждения были проведены при предположении о нулевой метричности и сохранении длины, то этот частный пример имел целью показать, что относительное ускорение будеть

отсутствовать! Другими словами, при заданных для стандартной гравитационной теории предположениях, относительное ускорение не будет учитываться! Фактически, как будет показано в последующих параграфах Введения настоящей диссертации, относительное ускорение опять будет учитываться, но только в форме пертурбаций - на самом деле, это и есть основная теоретическая сущность формализма Релятивистских Систем Отсчета.

В то же самое время, выведенные в настоящем диссертационном труде строгие математические условия для переноса Ферми-Уокера (Ф-У) справедливы и при наличии неметричности, кручения, вращения, а также и относительного ускорения. Поэтому вовсе неудивительно, что такая новая формулировка переноса Ф-У не будет совместимой со стандартной, Эйнштейновской формулировкой Принципа Эквивалентности в форме "свободно падающего лифта" . В других параграфах настоящего введения специальное внимание будет уделено тому факту, что стандартный ПЭ не сможет адекватно способствовать развитию теоретического формализма для лазерной локации Луны, релятивистской астрометрии и Релятивистских Систем Отсчета. ПЭ, который обеспечит адекватное развитие всех этих теорий является Модифицированный Принцип Эквивалентности, предложенный болгаским физиком-теоретиком Божида-ром Илиевым около 17 лет тому назад. Краткий обзор математических основ этого Модифицированного Принципа Эквивалентности (МПЭ) будет представлен в третьей главе диссертации. Основная идея МПЭ состоит в том, что он расширяет понятие "локальности" - МПЭ определен не только в окрестности заданной точки, а также вдоль линии и на подмногообразии. Это также связано с измененными условиями для выполнения этого МПЭ - для его выполнения необходимо зануление не компонентов аффинной связности, а деривации. Деривация - это известное понятие из дифференциальной геометрии (см. известную двухтомную монографию [17]),строгое определение будет дано также в третьей главе диссертации.

Цель работы

Целью работы является построение математического алгоритма для нахождения решений многокомпонентных алгебраических уравнений в теории гравитации, а также вывод новой формулы для разложения тензора деформации и определение переноса Ферми-Уокера в рамках особого класса расширенных гравитационных теорий - Гравитационные Теории с Ковариантными и Контравариантными Связностями и Метриками (ГТККСМ). Были поставлены и решены следующие задачи:

- обосновать с физической и математической точки зрения необходимость и правильность применения подхода алгебраической геометрии в теории гравитации и найти применение для этого подхода в гравитационных теориях с допольнительными пространственно - временными измерениями;

- найти математический алгоритм для нахождения решений в терминах эллиптической функции Вейерштрасса для найденного "кубического алгебраического уравнения репараметризационной инвариантности гравитационного лагранжиана";

- для ГТККСМ, найти разложение тензора деформации и найти условия для существования свободных от сдивига и расширения течений, а также и условие для движения массивного тела по автопараллельной кривой;

- найти условия для осуществления переноса Ферми - Уокера в ГТККСМ и вообще в теориях с кручением, неметричностью и сдвигом;

Научная новизна

В данной диссертации в рамках т.н. ГТККСМ впервые предложен и обоснован новый метод алгебраической геометрии в теории гравитации и показано, что можно параметризовать с функцией Вейерштрасса (и ее производной) многокомпонентные алгебраические уравнения.

- Показано, что после введения изотропной шкалы расстояния на основе ГТККСМ, можно найти новые соотношения (в форме неравенств) между параметрами в гравитационных теориях с дополнительными из-

мерениями;

- Впервые доказано, что можно вывести конкретные математические условия для переноса Ферми -Уокера в более общих гравитационных теориях на основе геометрического требования для сохранения длин базисных векторов и углов между ними (необязательно прямыми) при переносе этих векторов вдоль кривой;

- Выведено более общее разложение для тензора деформации, которое валидно и для случая, когда векторы относительного ускорения а = Чии и скорости являются неортогональными. Показано, что условие

£ид = Чи9

является одновременным условием для:

а. ортогональности этих векторов;

б. существования свободных от сдвига и расширения течений в ГТКК-СМ,

и тем самым, дано новое физическое толкование "нелокальных" и "локальных" гравитационных теорих - последние являются те, для которых выполнены условия а. и б.

Теоретическая и практическая значимость

Развитый математический подход на основе применения аппарата алгебраической геометрии (параметризация с функцией Вейерштрасса) открывает новые перспективы для нахождения новых решений уравнений Эйнштейна. Эта задача особенно актуальна для космологических метрик типа Фридмана - Робертсона - Уокера - ранее разные авторы (М. ОаЬго\¥81а, 3. Stelmach, И. С^иегеаих, А. Сговвтапп , Л. СагесЫ, ТЬ. Stachowiak) находили решения в терминах эллиптических функций, но не на основе разграничения между ковариантными и контравариантны-ми метрическими компонентами, а в рамках стандартной Эйнштейновской теории гравитации.

Найденные соотношения в форме неравенств были бы полезными для будущих экспериментов на ЬНС (Большой Адронный Коллайдер), если

будут уточнены параметры в струнном действии (электромагнитная и струнная константа связи, струнная шкала, 4-мерная Планковская константа). Тогда выполнение найденных в диссертации неравенств будет означать, что метрика пространства - времени будет с положительной кривизной (т.е. квадрат длины положительный). В то же самое время, подход может быть применен к гравитационным теориям, более тесно связанные с гравитационными экспериментами - например, к т. н. "Пост - Ньютоновском формализме" в теории гравитации.

Новое разложение для тензора деформации и новое определение переноса Ферми - Уокера могут найти применение при разработке новых моделей в теории Релятивистских Систем Отсчета на фоне искривленного пространства - времени, когда надо учитывать эффекты относительного ускорения. Также, эти эффекты надо учитывать и при распространении светового луча в сильных гравитационных полях (вокруг Черных Дыр, Нейтронных Звезд) или при очень прецизионных эффектах гравитационного поля при распространении лазерного луча в пространстве между Землей и Луной, которые очень существенны для лазерной локации Луны (Lunar Laser Ranging).

Достоверность результатов

Методы алгебраической геометрии в теории гравитации основаны на точных математических методах, а не на приближенных методах. Используемое в этом подходе представление для контравариантных метрических компонент таких как дгк — dXtdXk и введенная на этой основе анизотропная шкала расстояний gijdX3dXk = lk являются естественным обобщением понятия о метрике ds2 = I = gijdXldX3 , которую можно интерпретировать как изотропную шкалу расстояний.

Математические выражения для переноса Ферми - Уокера и для разложения тензора деформации являются результатом точных аналитических выражений.

Высоко-прецизионная микроарксекундная астрометрия и релятивистские системы отсчета как теоретический подход для обеспечения высокой точности

В следующие 10-15 лет будут осуществлятся астрофизические экспериментальные проекты, которые неизбежно обогатят наши современные знания о Вселенной, природе гравитационных сил и взаимодействий и фундаментальных константах в физике. Есть две главные особенности всех запланированных экспериментов:

1. Сверхпрецизионные измерения физических параметров - например, постньютоновых параметров, связанные с отклонением света от астрономических тел во Вселенной - звезды, квазары, черные дыры (ВН), или положения, расстояния (астрометрические данные), скорости, направления движения, фотометрические данные - светимость, спектроскопические данные - металличность и расстояния.

2. Исследование поведения материи при экстремальных условиях -сильные электромагнитные и гравитационные поля вокруг компактных объектов (черные дыры, нейтронные звезды, белые карлики).

Начало современной науки астрометрии было положено первым спутником астрометрии ESA (Европейского космического агенства) - Hipparcos (спутник для сбора высокоточных параллаксов) [18], который измерил положения 120 ООО звезд в пределах точности 1 mas (1 milliarcsecond=10-3 arcsecond), и намного больше звезд каталогизировалось в пределах 20-30 mas.

Приемник спутника Hipparcos - это спутник ESA GAIA (Глобальный астрометрический интерферометр для астрофизики),который,как ожидается,будет запущен после 2014 года. Основная цель GAIA состоит в том, чтобы исследовать происхождение и последующее развитие нашей Галактики (Млечный путь) [19] посредством сверхпрецизионных измерений расстояния, трехмерной скорости, направления движения, яркости и цвета более чем 1 миллиарда звезд в нашей Галактике. GAIA достигнет точности 10 /aas (микроарксекунд, 1 fias = 10_6 арксекунд) для звезд

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Димитров, Богдан Георгиев, 2013 год

Список литературы

[1] Manoff,S.S. Geometry and Mechanics in Different Models of SpaceTime: Geometry and Kinematics/S.S.M&noft.- Nova Science Publishers Inc., 2002.

[2] Manoff S.S. Geometry and Mechanics in Different Models of SpaceTime: Dynamics and Applications/S.S.Manoff.- Nova Science Publishers Inc., 2002.

[3] Kopeikin, S., Efroimsky,M.,Kaplan, G. Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System/S. Kopeikin, M. Efroimsky, G. Kaplan.-Wiley-VCH, Verlag, 2011

[4] Kaplan, G. H. The IAU Resolutions on Astronomical Reference Systems, Time Scales, and Earth Rotation Models. Explanation and Implementation [Электронный pecypc]/G.H. Kaplan// U.S. Naval Observatory Circular.-2005.- No. 179 118 с.-Режим доступа http: //www.usno.navy.mil/USNO/astronomical-applications

/publications/Circular_ 179.pdf .

[5] IAU Resolutions, Adopted by the 24th General Assembly (Manchester, August, 2000), Resolution B1.3 Definition of Barycentric Celestial Reference System and Geocentric Celestial Reference System [Электронный ресурс] .-Режим доступа http://syrte.obspm.fr/IAU__resolutions/Resol-UAI.htm .

[6] Mishtenko, A.S., Fomenko,A.T. A Course of Differential Geometry and Topology /A. S. Mishtenko, A. T. Fomenko.- Factorial Press, Moscow, 2000.

[7] Prasolov, V.V, Solov'yev,Y.P. Elliptic Functions and Elliptic Integrals. AMS Translations of Mathematical Monographs 170/V.V.Prasolov, Providence, R. I., 1997. [Russian original: Прасолов, В.В., Соловьев, Ю. П. Elliptic Functions and Algebraic Equations/В.В. Прасолов, Ю. П. Соловьев.- Москва: Факториал, 1997].

[8] Brumberg, V. A., Kopeikin, S. М. Relativistic Time Scales in the Solar System/V. A. Brumberg, S. M. Kopeikin// Celest. Mech. & Dynam. Astron.-1990. V. 48.- c. 23 - 44.

[9] Thomas,J. B. Formulation of the Relativistic Conversion Between Coordinate Time and Atomic Time/J. B. Thomas// The Astronomical Journal.-1975.-V. 80 (5). c. 405 - 411.

[10] Chandrasekhar,S., Contopoulos,G. On a Post-Galilean Transformation Appropriate to the Post-Newtonian .Theory of Einstein, Infeld and Hoffmann/S. Chandrasekhar, G. Contopoulos// Proc. R. Soc. Lond.-1967. V. A298. c.123-141.

[11] V. I. Ferronsky, and S. V. Ferronsky, Dynamics of the Earth. Theory of the Planet's Motion, Based on Dynamic Equilibrium, Springer Science + Business Media В. V., Dordrecht, 2010.

[12] Ferronsky, V.A., Denisik,S.A., Ferronsky, SN.Jacobi Dynamics. An Unified Theory with Applications to Geophysics, Celestial Mechanics, Astrophysics and Cosmology/V. A. Ferronsky, S. A. Denisik, S. V. Ferronsky-Dordrecht: Springer Science + Business Media В. V., Second Edition, 2011.

[13] Xie,Yi, Kopeikin,S. M. Post-Newtonian Reference Frames for Advanced Theory of the Lunar Motion and for a New Generation of Lunar Laser Ranging/Yi Xie, S. M. Kopeikin// Acta Physica Slovaca.-2010.-V. 60 (4).-c.393-495.

[14] Kopeikin, S. M., Xie,Yi. Celestial Reference Frames and the Gauge Freedom in the Post-Newtonian Mechanics of the Earth-Moon System/S.

M. Kopeikin, Yi Xie// Cel. Meeh. к Dynam. Astronomy.-2010.-V.108.-c. 245 - 263.

[15] Manasse, 1'. K., Misner C.Vv. Fermi Normal Coordinates and Some Basic Concepts in Differential Geometry/F. K. Manasse, C. W. Misner// Journ. Math. Phys.-1963.- V. 4 (6)-c. 735-745.

[16] Manasse, F.K. Distortion of the Metric of a Small Center of Gravitational Attraction due to its Proximity to a Very Large Mass/F. K. Manasse// Journ. Math. Phys.-1963.-V.4 (6).-e.746-761

[17] S. Kobayashi,S., Nomizu,K. Foundations of Differential Geometry, vol.l/S. Kobayashi, K. Nomizu.-New York: Intersc. Publ.,1963.

[18] Space Astrometry Mission by Micro Satellite "Nano-JASMINE" [Электронный ресурс].-Режим доступа: http://www.space.t.u-tokyo .ac.jp/nano j asmine/mission_ e/spacetelescope. html

[19] GAIA. Objectives [Электронный ресурс].-Режим доступа: http: //sci.esa.int/science-e/www/object/index.cfm?fobjectid=28890

[20] Gendreau,K., Arzoumanian, Z., Cash,W., Gorenstein,P., Krizmanio,Leitner,J.,Skinner, G. and Windt,D. Black Hole Imager: What Happens at the Edge of a Black IIole?(21 p.) [Электронный pecypc]/K. Gendreau, Z. Arzoumanian, W. Cash, P. Gorenstein, Krizmannio, J. Leitner, G. Skinner, D. WindtZ/Режим доступа: http://maxim, gsfc.nasa.gov/documents/Astro2010/Gendreau_BHI.pdf

[21] Nandra,K. The Growth of Supermassive Black Holes Across Cosmic Time [Электронный pecypc]/K. Nandra// Режим доступа: http://astro.imperial.ac.uk/research/ixo/smbh_growth.shtml

[22] Appendices А, В and С to "Astronomy and Astrophysics in the New Millenium Space Studies Board, National Research Council, 2001.

[23] Astronomy and Astrophysics in the New Millenium, Space Studies Board, National Research Council (USA), ISBN: 0-309-

50139-3 (276 pages) [Электронный ресурс] .-2001.-Режим доступа: http://www.nap.edu/catalog/9839.html

[24] Einstein, A. Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/A. Einstein// Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss.-1914.-V.2. c.1030-1085.

[25] Klioner,S., Kopeikin, S. M. Microarcsecond Astrometry in Space: Relativistic Effects and Reduction of Observations/S. Klioner, S. M. Kopeikin//Astronomical Journal.-1992.-V.104 (2). с. 897 - 914.

[26] Soffel,M.,Klioner,S.A., Petit,G, Wolf, P., Kopeikin,S.M., Bretagnon,P.,Brumberg,V.A., Capitaine, N.,Damour, T., Fukushima,T., Guinot,B., Huang,T. Y., Lindegren,L., Ma,C., Nordtvedt,K., Ries, J.C., Seidelmann,P.K., Vokrouhlicky,D., Will,C.M., Xu,C. The IAU 2000 Resolutions for Astrometry, Celestial Mechanics, and Metrology in the Relativistic Framework: Explanatory Supplement/M.Soffel„S. A. Klioner, G.Petit, P.Wolf, S.M.Kopeikin, P.Bretagnon,V.A.Brumberg, N.Capitaine, T.Damour, T.Fukushima, В.Guinot, T.Y.Huang, L.Lindegren, С.Ma, K.Nordtvedt, J.C.Ries, P.K.Seidelmann, D.Vorrouhlicky, C.M.Will, С.Xu//Astronomical Journal(USA).-2003.- 126.-е. 2687-2706.

[27] de Sitter, W. On Einstein's Theory of Gravitation and its Astronomical Consequences I/W. de Sitter// Mon. Not. Roy. Astron. Soc.-1916.-LXXVI (76), Suppl. 9.- c. 699-728.

[28] de Sitter, W. On Einstein's Theory of Gravitation and its Astronomical Consequences II/W. de Sitter// Mon. Not. Roy. Astron. Soc.-1916.-LXXVII (77), Suppl. 9,- c. 1155-1184.

[29] Everitt, C.W.F., Debra, D.B. et all (27 authors). Gravity Probe B: Final Results of a Space Experiment To Test General Relativity/C.W.F. Everitt, D. B. Debra et all (27 authors)// Phys. Rev. Lett.-2011.- 106-c. 221101-5.

[30] The Equivalence Principle, from Wikipedia, the Free Encyclopedia [Электронный ресурс].- Режим доступа: http://en.wikipedia.org/ wiki/EquivalencePrmm?/e.

[31] Kopeikin,S.M. Celestial Coordinate Reference Systems in Curved SpaceTime/S. M. Kopeikin// Celestial Mechanics.-1988.-V. 44 ,-c. 87- 115.

[32] InfeldjL., Plebansky,J. Motion and Relativity/L.Infeld, J. Plebansky.-Warsaw: Polska Akademia Nauk, Mongrafic Fizyczne,1960.

[33] Einstein,A.,Infeld,L., Hofmann, B. Gravitational Equations and Problems of Motion/A. Einstein,L. Infeld, B. Hofmann// Ann. Math. (USA).-1938.- 39-c. 65-100.

[34] Chandrasekhar,S.,Contopolous,G. The Virial Theorem in General Relativity in the Post-Newtonian Approximation/S. Chandrasekhar, G. Contopolous// Proc. Nat. Acad. Sci.(NY).-1963.-V. 49.-е. 608-613.

[35] Brumberg,V.A.,Kopeikin, S.M. Relativistic Theory of Celestial Reference Frames/V. A. Brumberg, S. M. Kopeikin// in "Reference Frames in Astronomy and Geophysics".-1989.- ed. by J. Kovalevsky, I. I. Mueller, and B. Kolaczek: Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, c. 115-141.

[36] Soffel,M. H.,Brumberg,V. A. Relativistic Reference Frames, Including Time Scales: Questions and Answers/M. H. Soffel, V. A. Brumberg// Celest. Mechan. & Dynam. Astron.-1991.-V. 52. c. 355-373.

[37] Manoff,S. Fermi Derivative and Fermi - Walker Transports over (Ln)g) -Spaces/S. Manoff// Intern. J. Mod. Phys.-1998.-V.A13 (No. 25). c. 4289 -4308.

[38] Manoff, S. , Fermi Derivative and Fermi - Walker Transports over (Ln,g) -Spaces/S. Manoff// Class. Quant. Grav..-1998.-V. 15.-е. 465 - 477.

[39] Manoff, S.S., Dimitrov, B.G. On the Existence of a Gyroscope in Spaces with Affine Connections and Metrics/S.S.Manoff, B.G.Dimitrov// Gen. Rel. Grav.-2003.-V. 35 (No. 1). c. 25-33.

[40] Wahr,J., Molenaar,M., Bryan,F. Time Variablity of the Earth's Gravity Field: Hydrological and Oceanic Effects and Their Possible Detection Using GRACE/J. Wahr, M.Molenaar, F. Bryan// J. of Geophys. Res.-1998.-V. 103 (B12).c. 30.205 - 30.229.

[41] Roll,P.G., Krotkov, R., Dicke,R.H. The Equivalence of Inertial and Passive Gravitational Mass/P. G. Roll, R. Krotkov, R. H. Dicke//Annals of Physics.-1964.-V. 26,- c. 442-517.

[42] Baesler,S., Heckel, B.R., Adelberger, E.G., Gundlach,J.H., Schmidt,U.,Swanson,H.E. Improved Test of the Equivalence Principle for Gravitational Self-Energy/S. Baesler, B. R. Heckel, E. G. Adelberger, J. H. Gundlach, U. Schmidt,H. E.Swanson// Phys. Rev. Lett.-1999.-V. 83 (18).-c. 3585-3588.

[43] Nordtvedt,K. Equivalence Principle for Massive Bodies, I. Phenomenology/К. Nordtvedt// Phys. Rev.-1968.-V. 169 (5).-c.l014-1016.

[44] Nordtvedt,K. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory/K. Nordtvedt// Phys. Rev.-1968.-V. 169 (5).-c. 1017-1025.

[45] Williams,J.G., Turyshev, SI. G., Boggs, D.H. Lunar Laser Ranging Tests of the Equivalence Principle with the Earth and the Moon/J. G. Williams, SI. G. Turyshev, D. H. Boggs//Intern. J. Mod. Phys.-2009.-V. D18 (7).-c. 1129-1175.

[46] Nordtvedt, K., Jr. Testing Relativity with Laser Ranging to the Moon/K. Nordvedt, Jr. Phys. Rev.-1968.-V. 170 (5).-c. 1186-1187.

[47] Sidereal and Synodic Months [Электронный ресурс]/ in Freedman and Kaufmann// Universe, Seventh Ed., W. H. Freeman $ Co., and Sumanas, Inc., animation.-Режим доступа: http: / / www.sumanasinc.com / webcontent / animations / content / sidereal.html

[48] Williams,J.G., Turyshev,Sl.G., Murphy, Th.W.Improving LLR Tests of Gravitational Theory/J. G. Williams, SI. G. Turyshev, Th. W. Murphy// Intern. J. Mod. Phys.-2004.-V. D13 (3).-c.567 - 582.

[49] Turyshev, Sl.G., Williams,J.G., Chao,M., Anderson,J.D., Nordtvedt, K.,Jr., Murphy,Th.W., Jr., Laser Ranging to the Moon, Mars and Beyond [Электронный ресурс]/SI. G. Turyshev, J. G. Williams, M. Chao, J. D. Anderson, K. Nordtvedt, Jr. , Th. W. Murphy, Jr.//arXiv: gr-qc/0411082vl.

[50] Damour,Th., Nordtvedt,K. Tensor-scalar Cosmological Models and Their Relaxation Toward General relativity/Th. Damour, K. Nordtvedt// Phys. Rev.-1993.-V. D48 (8).-c. 3436-3450.

[51] Murphy, T. W., Adelberger,E.G., Strasburg,J.D.,Stubbs, C.W., Nordtvedt,K. Testing Gravity via Next Generation Lunar Laser Ranging/T. W. Murphy, E. G. Adelberger, J. D.Strasburg, C. W. Stubbs, K. Nordtvedt// Nucl. Phys. В Proc. Suppl.)-2004. -V.134 - c. 155-162.

[52] Murphy,T.W. "APOLLO: the next big thing in LLR"[Электронный pecypc]/T.W. Murphy// a report at the Conference "Theory and Models for the New Generation of the Lunar Ranging Data". 16-19 February.- 2010, Bern, Switzerland.- Режим доступа http://www.issibern.ch/teams/lunarlaser/private/Talks_First_Workshop/

[53] Damour,Th.,Vokrouhlicky,D. Equivalence Principle and the Moon/Th. Damour, D. Vokrouhlicky// Phys. Rev.-1996.-V. D53 (8).-c. 4177-4201.

[54] Damour,Th., Vokrouhlicky, D. Testing the Gravitationally Preferred Directions, Using the Lunar Orbit/Th. Damour, D. Vokrouhlicky// Phys. Rev.-1996.-V. D53 (12).-c. 6740 - 6748.

[55] Manoff, S. Lie Derivatives and Deviation Equations in Riemannian Spaces/S. Manoff// Gen. Rel. Gravit.-1979.-V. 11.-C.189-204.

[56] Weber, J .General Relativity and Gravitational Waves/3 Weber.-Mineola, New York: Interscience Publishers, 1961 [Republication by Dover Publications Inc., Mineola, New York, 2004].

[57] Mashhoon,B. Tidal Radiation/B. Mashoon// Astroph. J.-1977.-V. 216.-е. 591-609.

[58] Mashhoon, B. On Tidal Phenomena in a Strong Gravitational Field/B.Mashoon//Astroph. J.-1975.-V.197 .-c. 705-716.

[59] Maugin,G.A. Harmonic Oscillations of Elastic Continua and Detection of Gravitational Waves/G.A.Maugin// Gen. Rel. Gravit.-1973.-V.4 (3).-c. 241272.

[60] Maugin, G.A. On Relativistic Deformable Solids and the Detection of Gravitational Waves/G.A.Maugin// Gen. Rel. Gravit.-1974.-V.5 (l).-c. 1323.

[61] Manoff,S. Spaces with Contravariant and Covariant Affine Connections and Metrics/S.Manoff// Part. Nucl.-1999.-V.30.-c. 517-549 [Rus. Edition: //Fiz. Elem. Chast. Atomn. Yadra.-1999.-V.30 (5).-c. 1211 - 1269 [Электронный ресурс]: gr-qc/0006024].

[62] Ehlers,J.Beitrage zur relativistischen Mechanik kontinuierlicher Medien/J. Ehlers//Abhandlungen d. Mainzer Akademie d. Wissenschaften, Math. -Naturwiss.-V. 11 [Engl. Transl.: Ehlers, J. Contributions to the Relativistic Mechanics of Continuous Media/J.Ehlers//Gen. Rel. Grav.-1993.-V. 25.-c. 1225 - 1266.

[63] Manoff, S.Kinematics of Vector Fields, in "Complex structures and Vector Fields", eds. S. Dimiev, K. Sekigawa.-1995.World Scientific Publishing,61-113; [Электронный ресурс]:gr-qc/0003005.

[64] Manoff, S. Mechanics of Continuous Media in (Ln,g)— Spaces. II. Relative Velocity and Deformations/S. Manoff [Электронный ресурс]: ArXiv.gr-qc/0203017.

[65] Manoff,S. Relative Velocity and Relative Accelerations, Induced by the Torsion in (Ln,g) — and Un— Spaces/S.Manoff [Электронный ресурс]: ArXiv:gr-qc/0005027.

[66] Manoff,S.S., Dimitrov, B.G. Flows and Particles with Shear - Free and Expansion - Free Velocities in (Ln,g)— and Weyl Spaces/S.S.Manoff, B.G Dimitrov//Class. Quant. Grav.-2002.-V.19 ,-c. 4377 - 4397;[Электронный ресурс]: gr-qc/0207060.

[67] Chicone, C., Mashhoon, B. The generalized Jacobi equation/C.Chicone,B.Mashhoon//Class.Quant.Grav.-2002.-V. 19.-c. 42314248.

[68] Chicone, C., Mashhoon, B. Significance of ^ in relativistic physics/C. Chicone, B. Mashhoon// Class. Quant. Grav.-2002.-V.19.-c. 4231-4248.

[69] Collas,P., Klein, D. A Simple Criterion for Nonrotating Reference Frames/P.Collas, D. Klein//Gen. Relat.Gravit.-2004.-V.36 (6).-c. 1493-1499.

[70] Manoff, S. Frames of reference in spaces with affine connections and metrics/S. Manoff//Class. Quant. Grav.-2001.-V.18.-c.llll-1125 [Электронный ресурс]: arXive:gr-qc/9908061.

[71] Dimitrov, B.G. Cubic Algebraic Equations in Gravity Theory, Parametrization with the Weierstrass Function and Nonarithmetic Theory of Algebraic Equations/B.G.Dimitrov//J. Math. Phys..-2003.-V.44 (6).-c. 2542 - 2578 [Электронный ресурс]: hep-th/0107231.

[72] Dimitrov, B.G. Elliptic Curves, Algebraic Geometry Approach in Gravity Theory and Some Applications in Theories with Extra Dimensions [Электронный ресурс]: hep-th/0511136.

[73] Dimitrov,B.G. Elliptic Curves, Algebraic Geometry Approach in Gravity Theory and Uniformization of Multivariable Cubic Algebraic Equations/B.G.Dimitrov//Intern. J. Geom. Meth. Mod. Physics.-2008.-V. 5(5).-c. 677-698.

[74] Hodge,V.D.,Pedoe,D.Methods of Algebraic Geometry/V. D. Hodge, D. Pedoe.-Cambridge: Cambridge University Press, 1952.

[75] Prasolov,V.V.,Schwarzman,O.V. The Alphabet of Riemann Surfaces/V.V.Prasolov, O.V.Schwarzman.-Moscow: Fazis Publ. House, 1999.

[76] B. G. Dimitrov, Projective Formalism and Some Methods from Algebraic Geometry in the Theory of Gravitation, in "Perspectives of Complex Analysis, Differential Geometry and Mathematical Physics. Proceedings of the 5th International Workshop on Complex Structures and Vector Fields, St. Konstantin, Bulgaria, 3-9 September 2000, eds. S. Dimiev, K. Sekigawa.-Singapore: World Scientific, 2001, c. 171 - 179 [Электронный ресурс]:gr-qc/0107089.

[77] Dimitrov,B.G. Algebraic Geometry Approach in Theories with Extra Dimensions I. Application of Lobachevsky (hyperbolic) Geometry/B.G.Dimitrov//subm. to "Intern. Journ. Geometric Methods in Modern Physics":c.41 [Электронный ресурс] :hep-th Arxi v: arXi v0810.1501D.

[78] Brax,Ph., de Bruck,C. van, Davies, Anne-Christine.Brane World Cosmology/Ph. Brax, C. van de Bruck, Anne-Christine Davies// Rept. Prog. Phys.-2004.-V.67.-c. 2183 - 2232 [Электронный ресурс]: hep-th/0404011.

[79] Rizzo,Th.G. Pedagogical Introduction to Extra Dimensions [Электронный ресурс]/Th. G.Rizzo//SLAC Summer Institute, SLAC, August 2-13,- 2004; hep-ph/0409309.

[80] Perez-Lorenzana,A. An Introduction to Extra Dimensions, Lectures at the XI Mexican School of Particles and Fields [Электронный ресурс]/А. Pcrez-Lorenzana// Xalapa, Mexico, August 1-13.-2004; hep-ph/0503177.

[81] Csaki, C. TASI Lectures on Extra Dimensions and Branes, Lectures at the Theoretical Advanced Study Institute [Электронный pecypc]/C. Csaki// University of Colorado, Boulder, CO June 3-28,- 2002; hep-ph/0404096.

[82] Rubakov, V. Large and Infinite Extra Dimensions: An Introduction/V. Rubakov// Phys. Usp.-2001.-V.44.-c. 871 - 893 [Usp. Fiz. Nauk.-2001.-V.171.-c. 913 - 938]; [Электронный ресурс]: hep-ph/0104152;

Sundrum,R. TASI 2004 Lectures: To the Fifth Dimension and Back/R.Sundrum//[Электронный ресурс]: hep-th/0508134.

[83] В. A. Rosenfel'd, B.A. Noneuclidean ¿paces/B.A.Rosenfel'd.-Moscow: Nauka, 1969.

[84] Randall,L., Sundrum, R. A Large Mass Hierarchy from a Small Dimension/L. Randall, R. Sundrum// Phys. Rev. Lett.-1999.-V. 83,-c. 3370 - 3373; [Электронный ресурс] :hep-ph/9905221.

[85] Rosenfel'd, B.A.Multidimensional Spaces/В.A.Rosenfel'd.-Moscow: Nauka,1966.

[86] Rosenfel'd, B.A. Noneuclidean Geometries jB.A.Rosenfel'd.- Moscow, 1955.

[87] Rosenfel'd, B.A., Zamahovskii,M.P. Geometry of Lie Groups. Symmetric. Parabolic and Periodical Spaces/Ъ. A. Rosenfel'd, M.P. Zamahovskii-Moscow: MCCME Publishing, 2003.

[88] Chernikov, N.A. The Gravitational Radius in the Lobachevsky Space/N.A.Chernikov [Электронный ресурс]//Preprint E2-92-394 of the JINR.-1992.- Dubna- Режим доступа http://ccdb3fs.kek.jp/cgi-bin/img-index?9301218.

[89] Dimitrov,B.G. Algebraic Geometry Approach in Theories with Extra Dimensions II. Tensor Length Scale, Compactification and Rescaling in Low-Energy Type I String Theory/B.G.Dimitrov// subm. to "Intern. Journ. of Geometric Methods in Modern Physics" c.21 [Электронный ресурс]: hep-th Arxiv: 2008arXiv0810.1503D.

[90] Dimitrov,B.G. Algebraic Geometry Approach in Gravity Theory and New Relations Between the Parameters in Type I Low-energy String Theory Action in Theories with Extra Dimensions/B.G.Dimitrov//Ann. Der Physik (Berlin).-2010.-V. 19 3-5.-c.254-257 [Электронный ресурс]:hep-th arXiv:0911.0659.

[91] Witten,E. Strong Coupling Expansion of Calabi Yau Compactification/E.Witten// Nucl. Phys.-1996.-V.B 471.-е. 135.

[92] Arkani - Hamed,N ,Dimopoulos,S , Dvali, G R Phenomenology, Astrophysics and Cosmology of Theories with Submilhmiter Dimensions and TEV Scale Quantum Gravity/N Arkani - Hamed,S Dimopoulos, G R Dvali// Phys Rev-1999 -V D59-c 086004 [Электронный ресурс] hep-ph/9807344

[93] Antomadis,I , Arkani - Hamed,N , Dimopoulos,S , Dvali,G New Dimensions at a Millimeter to a Fermi and Superstrmgs at a TeV/I Antomadis, N Aikani -Hamed, S Dimopoulos, G Dvali//Phys Lett-1998 -V В 436 -с 257 - 263 [Электронный ресурс] hep-ph/9804398

[94] Antomadis,I , Piolme,B Large Dimensions and String Physics at a TeV/I Antomadis, and В Piolme//Talk of I Antomadis at the Conference "Fundamental Interactions From Symmetries to Black Holes", Brussels, March 25 - 27 1999 and at the Conf "Beyond the Deserts", Castle Rmgberg, Tagernsee, June 8 - 12, 1999 [Электронный ресурс] hep-ph/9906480

[95] Timofeev, AF Integration of Functions/A F Timofeev - Moscow, 1948

[96] Gel'fand,I M , Graev,M I , Vilenkm, N Y Generalized Functions vol 5/1 M Gel'fand, M I Graev, N Y Vilenkm-New York Academic Press, 1968

[97] Silverman,J , Tate,J Rational Points on Elliptic Curves/J Silverman, J Tate -New York Springer - Verlag, 1992

[98] Silverman J The Arithmetic of Elliptic Curves/J Silverman -New York Spi mger-Verlag ,1986

[99] Silverman,J Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves/ J Silverman -New York Spi mger-Verlag, 1994

[100] Husemoller,D Elliptic Curves Graduate Texts m Mathematics 111/D Husemoller-New York Springer-Vei lag, 1987

[101] Knapp, A W Elliptic Curves Mathematical Notes 40/A W Knapp -Princeton, New Jersey Princeton University Press 1992 [русский перевод Кнэпп, Э Эллиптические кривые/Э Кнэпп -Москва Факториал Пресс,2004 -487 стр ]

[102] Hurwitz,A., Courant,R. Allgemeine Funktionentheorie und Elliptische Funktionen/A. Hurwitz, R. Courant.- Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1964.

[103] Stoilov,S. Theory of Functions of Complex Variables/S.Stoilov.- Editura Academiei Romans, 1954.

[104] Akhiezer,N.I. Elements of the Elliptic Functions Theory/N. I. Akhiezer.-Moscow: Nauka Publish. House, 1979.

[105] Manoff, S. Fermi Derivative and Fermi - Walker Transports over (Ln,g) -Spaces/S.Manoff//Intern. J. Mod. Phys.-1998.-V. A13 (No. 25).-c. 4289 -4308.

[106] Manoff, S. Fermi Derivative and Fermi - Walker Transports over (Ln,g) -Spaces/S.Manoff// Class. Quant. Grav.-1998.-V. 15.-c. 465 - 477.

[107] Manoff, S. Fermi - Walker Transports over Spaces with Affine Connections and Metrics/S.Manoff// JINR Rapid Communications.-1997.-V. 1 [81].-c. 1 - 12.

[108] Manoff,S. Conformai Derivative and Conformai Transports over (Ь1Ид) -Spaces/S.Manoff// Int. J. Group Theory Nonl. Optics.-1999.-V. 7.-c. 75-89 [Электронный ресурс]: Preprint gr-qc/9907095.

[109] Manoff,S. Conformai Derivative and Conformai Transports over (Ln,g) -Spaces/S.Manoff// Int. J. Mod. Phys.-2000. -V. A15 (No. 5).-c. 679 - 695.

[110] Manoff,S.S., Dimitrov,B.G. Conditions for the existence of shear free and expansion free nonnull vector fields in spaces with affine connections and metrics: Weyl's spaces with shear free and expansion free conformai Killing vectors and the motion of a free spinless test particles [Электронный pe-cypc]/S.S. Manoff, B. G. Dimitrov// Preprint gr-qc/0011045.

[111] Manoff, S. Auto-Parallel Equation as Euler-Lagrange's Equation over Spaces with Affine Connections and Metrics/S.Manoff// Gen. Rel. Grav-2000.-V. 32 (8).-c. 1559-1582 [Электронный pecypc]M gr-qc/0010048.

112] Yu. S. Vladimirov,Yu.S. Geometrophysics.-Moscow: BINOM, 2005.

113] Manoff,S., Kolarov,A., Dimitrov,B. (Ln,g)—Spaces. General Relativity over V4—Spaces/S. Manoff, A. Kolarov, B. Dimitrov// Comniun. of the Joint Institute for Nuclear Research.-1998.-V. Е5-98-184л- Dubna.

114] Schmutzer,E. Relativistische Physik (Klassische Theorie)/Е. Schmutzer.-Leipzig: В. G. Teubner, 1968.

115] Randall, L., Sundrum,R. An Alternative to Compactification/L. Randall,R. Sundrum// Phys. Rev. Lett.-1999.-V. 83.-е. 4690 - 4693 [Электронный ресурс]: hep-th/9906064.

116] Manoff, S. Lagrangian Theory of Tensor Fields Over Spaces with Contravariant and Covariant Affine Connections and Metrics and its Applications to Einstein's Theory of Gravitation in Vn Spaces/S.Manoff//Acta Appl. Math.-1999.-V. 55 (l).-c. 51 - 125.

117] Kleinert,H., Pelster,A. Autoparallels From a New Action Principle/H. Kleinert, A. Pelster// Gen. Rel. Grav.-1999.-V. 31 (9).-c. 1439-1447.

118] Vladimirov, Yu.S.Reference Frames in the Theory of Gravitation/Yu.S.Vladimirov.-Moscow: Energoatomizdat, 1982.

119] Ivanizkaya,O.S. Generalized Lorentz Transformations and Their Applications/О. S. Ivanizkaya.-Minsk: Nauka i Technika, 1969.

120] Aldrovandi,R., Pereira,J.G., Vu,K. H. Gravitation Without the Equivalence Principle/R. Aldrovandi, J. G. Percira, K. H. Vu// Gen. Rel. Grav.-2004.-V. 36 (l).-c. 101-110.

121] Aldrovandi,R.,Barros,P.B., Pereira, J.G. The Equivalence Principle Revisited/R. Aldrovandi, P. B. Barros, J. G. Pereira//Found. of Phys.-2003.-V. 33 (4).-c. 545-575 [Электронный ресурс]: gr-qc/0212034.

122] Aldrovandi,R., Barros,P.B., Pereira,J.G. Gravitation as Anholonomy/R. Aldrovandi, P. B. Barros, J. G. Pereira/ Gen. Rel. Grav.-2003.-V. 35 (6).-c. 991-1005.

123] Klemert,H Nonholonomic Mapping Principle for Classical and Quantum Mechanics m Spaces with Curvature and Torsion/H Klemert//Gen Rel Grav -2D0D -V 32 (5)-c 769-1005

124] Fiziev,P, Klemert,H New Action Principle for Classical Particle Trajectories m Spaces with Torsion/P Fiziev, H Klemert//Europhys Lett -1996 -V 35 (4) -c 241-246

125] Weinberg,S Gravitation and Cosmology/S Weinberg-New York John Wiley $ Sons Inc ,1972

126] Zelmanov,A L ,Agakov,V G Elements of the General Relativity Theory/A L Zelmanov, V G Agakov -Moscow Nauka, 1989

127] Iliev,B Z Is the Principle of Equivalence a Prmciple?/B Z Iliev//J Geom Phys -1998 -V 24 (3) -c 209-222

128] Nomizu, K Lie Groups and Differential Geometry/K Nomizu - The Mathem Soc of Japan, 1956

129] Bishop, RL , Crittenden, R J Geometry of Manifolds -New York-London Academic Press, 1964

130] Volobuev,I P ,Kubishm,Y A Differential Geometry and Lie Algebras and Their Applications in Field Theory/1 P Volobuev, Y A Kubishm-Moscow Editorial URSS,1998

131] Iliev,B Z Normal Frames and the Validity of the Equivalence Principle I Cases m a Neighbourhood and at a pomt/B Z Ilicv// J Phys A Math Gen-1996-V 29 -c 6895-6901

132] Iliev,B Z Normal Frames and the Validity of the Equivalence Principle II The Case Along Paths/B Z Iliev//J Phys A Math Gen-1997-V 30 -c 4327-4336

133] Iliev,B Z Normal Frames and the Validity of the Equivalence Principle III The Case Along Smooth Maps with Separable Points of Self-Inteisection/B Z Iliev//J Phys A Math Gen-1998-V 31 -c 1287-1296

134] Iliev,B.Z. Special Bases for Derivations of Tensor Algebras I. Cases in a Neighbourhood and at a Point/B.Z.Iliev// JINR Communications.-1992.-V. E5-92-507- Dubna [Электронный ресурс]: math.DG/0303373.

135] Iliev,B.Z. Special Bases for Derivations of Tensor Algebras II. Cases Along Paths/B.Z.Iliev// JINR Communications.-1992.-V. E5-92-508.- Dubna [Электронный ресурс]: math.DG/0304157.

136] Iliev,B.Z. Special Bases for Derivations of Tensor Algebras III. Case Along Smooth Maps with Separable Points of Self-Intersection/B.Z.Iliev// JINR Communications.-1992.-V. E5-92-543.- Dubna.

137] Hartley,D. Normal Frames for Non-Riemannian Connections/D.Hartley// Class. Quant. Grav.-1995.-V. 12 ,-c. L103-L105.

138] Sachs,R.H.,Wu,H.General Relativity for Mathematicians/R. K. Sachs,H. Wu.-New York: Springer, 1977.

139] Iliev, B.Z.Transport Along Paths in Fibre Bundles I. General Theory/B.Z.Iliev// JINR Communications.-1993.-V. E5-93-299.- Dubna [Электронный ресурс]: math.DG/0503005.

140] Iliev,B.Z. Transport Along Paths in Fibre Bundles II. Ties with the Theory -of Connections and Parallel Transports/B.Z.Iliev//JINR Communications.-1994.-V. E5-94-16 - Dubna,[Электронный pecypc]M math.DG/0503006.

141] Iliev, B.Z.Transport Along Paths in Vector Bundles I. Curvature and Torsion/B.Z.Iliev//JINR Communications.-1993.-V. Е5-93-261,- Dubna [Электронный ресурс]: math.DG/0502008.

142] Steenrod,N. The Topology of Fibre Bundles/N.Steenrod.-Princeton: Princeton University Press, 1974.

143] Greub,W.,Halperin,S., Vanstone,R. Connections, Curvature and Cohomology. vol.1, 2, 3/W. Greub, S. Halperin, R. Vanstone.- New York-London:Academic Press,1972, 1973, 1976.

[144] Husemoller,D Fibre Bundles/D Husemoller -New York-St Louis-London McGrow-Hill Book Comp ,1966

[145] Iliev, В Z Normal Frames for Lineai Соппесьюиь ш Vectoi Bundles and the Equivalence Principle m Classical Gauge Theories/B Z Iliev//J Geom Phys -2003 -V 45-c 24-53 [Электронный ресурс] hep-th/0110194

[146] S Hawking, S , Ellis, G F R The Large Scale Structure of Space-Time/S Hawking, G F R Ellis -Cambridge Cambridge University Press, 1973

[147] Moller, С The Theory of Relativity/С Moller - Claredon Press- second edition, 1972

[148] Synge, JL Relativity The General Theory /J L Synge -Amsterdam North-Holland Publ Co ,1960

[149] Barneby, ТА Gravitational Waves The Linearized Theory/T A Barneby// Phys Rev -1974 -V D10 (6) -c 1741-1748

[150] Dimitrov,В G On the Perturbative Gravity and Quantum Gravity theory on a Curved Background I Second-Order Gravitational Lagrangian Decomposition/B G Dimitrov// Aerospace Research m Bulgaria-1997-V 13-c 3-10

[151] Dimitrov,В G On the Perturbative Gravity and Quantum Gravity Theory on a Curved Background II Application of Covanant Derivatives and Third-Rank Tensors/B G Dimitrov// Aerospace Research m Bulgaria -1997 -V 13 -c 11-18

[152] Dimitrov,В G Second-Order Perturbative Gravity Theory on a Curved Background Spacetime/B G Dimitrov - m Proceedings of the IX International Seminar "Gravitational Energy and Gravitational Waves" -Dubna - 8-12 December 1996, с 61-70

[153] Cheng,Ta-Pei, Li,Lmg-Fong Gauge Theory of Elementary Particle Physics/Та-Pei Cheng, Ling-Fong Li-Oxford Claredon Press 1984

[154] Ryder,L.H. Quantum Field, Theory/L. H. Ryder.-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985.

[155] Gioiivvaid.F. Metric-Affine Gauge Theory of Gravity. 1. Fundamental Structure and Field Equations/F.Gronwald// Int. J. Mod. Phys.-1997.-V. D6.-c. 263-304 [Электронный ресурс]: gr-qc/9702039.

[156] Ivanenko,D., Sardanashvily,G. The Gauge Treatment of Gravity/D. Ivanenko,G. Sardanashvily// Phys. Rep.-1983.-V. 94 (1) -c.1-45.

[157] Gronwald,F., Hehl,F.W. On the Gauge Aspects of Gravity.- in Proc. of the 14th Course of the School of Cosmology and Gravitation on Quantum Gravity, held at Erice, Italy, May 1995, ed by P. G. Bergmann, V. de Sabbata, and H.- J. Tredcr.-Singapore: World Scicntific, 1996.

[158] Efimov, N.B., Rosendorn,E.R. Linear Algebra and Multidimensional Geometry. 2nd ed.-Moscow: Nauka, 1974.

[159] Kramer,D.,Stephani,H.,Maccalum,M.,Herlt,E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations/D. Kramer, H. Stephani, M. Maccalum,E. Herlt.-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1980.

[160] Stephani,H. General Relativity/Я.Stephani.-Cambridge: Cambridge University Press,2004.

[161] Manoff, S. (Ln, g)— Spaces. Length of a Vector Field and the Angle Between Two Vector Fields [Электронный pecypcj/S.Manoff.-Режим доступа: E-print Archive: gr-qc/0002073.