Методика реализации внутрепредметных связей при изучении числовых систем в восьмилетней школе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Пуркина, Валентина Федоровна

• Пуркина, Валентина Федоровна
• кандидат педагогических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Пуркина, Валентина Федоровна

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРВД-МЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

§ I. Системно-генетический подход к исследованию внутрипредметных связей в обучении математике

§ 2. Основные содержательные и операционные внутрипредметные связи понятия числа.

§ 3. Средства реализации содержательных и операционных внутрипредметных связей понятия числа в процессе обучения математике в восьмилетней школе.

3.1. Математические знаковые системы как средство реализации содержательных и операционных внутрипредметных связей понятия числа

3.2. Процесс математического моделирования как средство реализации внутрипредметных связей понятия числа в учебно-познавательной деятельности учащихся.

Глава П. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА В ВОСЪ-МИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ НА ОСНОВЕ ВНУТРИПРЕЩМЕТНЫХ

СВЯЗЕЙ

§ I. Дочисловой этап в изучении понятия числа

§ 2. Методика изучения системы натуральных чисел

§ 3. Некоторые вопросы изучения системы рациональных чисел.

§ 4. Результаты обучения по экспериментальному учебному материалу

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика реализации внутрепредметных связей при изучении числовых систем в восьмилетней школе»

В основных направлениях реформы общеобразовательной и профессиональной школы указывается, что дальнейшее совершенствование общего среднего образования должно базироваться на выявлении внутренних резервов процесса обучения. В связи с этим в психолого-педагогических исследованиях последних лет на первый план выдвинулась проблема научного обоснования процесса обучения математике в целом, его содержания, методов и организационных форм (Ю.К.Бабанский, В.В.Краевский, М.И.Скаткин, A.M. Сохор и др.). При этом обоснование содержания по отношению к обоснованию методов обучения и методов учения занимает ведущее положение, так как содержание, являясь моделью социального заказа общества (целей обучения), служит основным средством управления процессом обучения математике.

Анализ процесса формирования и тенденций развития начального и среднего математического образования в нашей стране за последние 20 лет позволяет утверждать, что в процессе научного обоснования содержания обучения основное внимание уделяется выбору базовых математических понятий (множество, величина, мера), на основе которых строится тот или иной курс обучения (П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, Л.В.Занков, Л.В.Кузнецова, Е.И.Ля-щенко, Г.Я.Федотова, П.М.Эрдниев и др.).

В связи с этим, отличие структуры содержания одного курса обучения от другого характеризуется порядком изучения этих понятий, а также тем, какие ведущие математические идеи и психолого-дидактические принципы положены в основу этих курсов. Так, например, программа, действующая в настоящее время в начальной школе, построена по схеме число - величина. Такая же последовательность базисных понятий была выбрана в экспериментальных курсах Л.В.Занкова и П.М.Эрдниева. Отличаются они друг от друга по основным психолого-дидактическим принципам /55, 195/.

Последовательность изучения базисных понятий в экспериментальной программе, разработанной под руководством П.Я.Гальперина, такова: мера - отношение - число, так как ведущим принципом было принято положение о том, что основным понятием школьной математики является понятие меры.

Экспериментальная программа, созданная в НИИ СиМО (К.И. Нешков, А.М.Пышкало и др.), базировалась на гипотезе о том, что "значительное повышение эффективности школьного математического образования может быть достигнуто за счет построения начального курса математики на теоретико-множественной основе" /7, с.5/.

В основу экспериментального курса, разрабатываемого в НИИ общей и педагогической психологии АПН СССР, была положена идея отношения, из которой выводилось понятие "величина", а число рассматривалось как частный случай этого понятия /45, с.38/.

Таким образом, структура содержания обучения зависит прежде всего от характера связей и отношений выбранных базисных понятий, то есть от содержательных (межпонятийных) внутрипред-метных связей.

Существующий разнобой в выборе базовых математических понятий (множество, величина, мера, отношение) свидетельствует о том, что ни одно из них, отдельно взятое, не является достаточным для раскрытия основных содержательных и операционных внутри-предметных связей школьного курса математики в целом и, в частности, его центрального понятия - понятия числа.

Как показывает теория и практика обучения, это, в свою очередь, обусловливает неадекватность структуры познавательной деятельности школьников структуре учебного материала в процессе изучения понятия числа, так как воспитывающие и развивающие функции учебного материала зависят не только от его содержания, но и структуры (П.Я.Гальперин, Д.И.Пидкасистый, Н.Ф.Талызина и др.).

Повышение качества усвоения учащимися понятия числа, арифметических операций и их свойств - актуальная проблема в обучении математике при любом содержании математического образования. Ее актуальность существенно возросла в связи с проводимой в настоящее время реформой школьного образования, в основных направлениях которой особо подчеркивается необходимость и важность осознанного усвоения учащимися понятия числа и арифметических операций для усиления практической направленности школьного курса математики.

Семантика понятия числа имеет несколько аспектов: порядковый количественный, измерительный, алгоритмический.

Порядковый аспект семантики понятия числа связан с осмыслением его как элемента последовательности натуральных чисел и получает свою формализацию в методе математической индукции, системе аксиом Пеано, а затем в трансфинитных числах.

Усвоение учащимися этого аспекта семантики понятия числа происходит в процессе счета. При пересчитывании какой-либо совокупности предметов последнее названное число обозначает, сколько объектов в данной совокупности. По этому поводу К.Маркс писал: "Известно, что первой творческой деятельностью рассудка, который еще колеблется между чувственностью и мышлением, является счет. Счет - это первый свободный творческий акт рассудка ребенка" /I, с.31/.

Начинается усвоение порядкового аспекта с перечисления имен числительных в произвольном порядке, затем в правильном порядке, но с пропусками, и, наконец, без пропусков.

Через счет можно определить простейшие арифметические операции . Сложение - счет вперед, вычитание - счет назад. Первую систематизацию счет обретает в позиционной системе счисления. В процессе счета ребенок открывает для себя бесконечность, а это альфа и омега математики.

Окончательное усвоение учащимися этого аспекта понятия числа завершается осознанием принципа математической индукции и бесконечности множества натуральных чисел.

По мнению крупнейших математиков и педагогов (А.Н.Колмогорова, Г.Фройденталя и др.) порядковое число "играет в происхождении понятия числа первую и важнейшую роль - это следует признать и с точки зрения возрастной психологии" /181, с.119/.

Количественный аспект семантики понятия числа связан с его осмыслением как свойства класса равночисленных множеств при установлении взаимно-однозначного соответствия конечных множеств и получает свою формализацию в понятии мощности (кардинальное число).

В процессе обучения этот аспект осмысливается как совокупность абстрактных единиц или совокупность отдельных реальных объектов.

Взаимосвязь количественного и порядкового аспектов числа состоит в том, что при взаимно-однозначном отображении множеств порядковое число сохраняется. Как показывает практика обучения, эта связь может не осознаваться далее первоклассниками. Важнейшим моментом в формировании количественного числа имеет осознание учащимися структурного изоморфизма (если у трех человек 6 ног, то и 6 рук), то есть неявно должно формироваться убеждение, что изоморфно структурированные множества обладают изоморфными' "счетными структурами" и, следовательно, дают одинаковый результат при пересчете их элементов.

В работе Г.Фройденталя /181/ дан подробный анализ взаимосвязи порядкового и количественного аспектов семантики понятия числа и сделаны выводы о том, что: а) количественное число недостаточно для обоснования натуральных чисел, так как нельзя определить конечные мощности, не прибегая к понятию математической индукции; б) количественный аспект числа несущественен по сравнению с порядковым, так как понятие мощности является эффективным лишь для бесконечных множеств, которые не являются объектом изучения в школьном курсе математики. Количественное число используется эффективно лишь при изучении вопросов комбинаторики, которая в настоящее время также не рассматривается в школе; в) количественное число недостаточно в дидактическом отношении, так как раскрывает лишь один аспект семантики понятия числа.

Соглашаясь с этими выводами, тем не менее, нельзя не учитывать, что количественный аспект числа также играет важную роль в школьном курсе математики. Теоретико-множественные модели позволяют установить связь между операциями над конечными совокупностями объектов и важнейшими логическими операциями, играющими основную роль в развитии умственных способностей учащихся (см. гл.1, § 2).

Измерительный аспект (числовая мера, оператор) формируется в процессе измерения величин и осмысливается как числовая мера величины и как оператор, характеристика действия получения одной величины с помощью другой. Этот аспект обретает свою форма

- 9 лизацию в поле рациональных и действительных чисел, а также как оператор в системе скалярных величин (отображение системы скалярных величин в себя).

Взаимосвязь измерительного аспекта с порядковым и количественным состоит в том, что в процессе измерения одной величины с помощью другой, мы всегда считаем, а также в том, что количественное число тоже может служить мерой множества, однако, то что измеряется почти никогда не является множеством. Изменение масштаба ничего не изменяет в теории меры, но является ключевым понятием для измерения величин, то есть теоретико-множественная мера и числовая мера величин существенно разноплановы, хотя между ними есть определенная аналогия. Например, сложению величин соответствует объединение непересекающихся множеств.

В настоящее время учение о числе в школе существенно опирается на представления учащихся, связанные с измерением величин. Основное внимание уделяется трактовке понятия числа как числовой мере некоторой величины, однако измерительный аспект все же недостаточно используется в процессе изучения рациональных чисел. Например, на основе порядкового и количественного числа нельзя объяснить, что значит умножить 1/2 на 1/3, так как 1/2 нельзя повторить слагаемым 1/3 раза и 1/3 не является мощностью какого-то конечного множества. Обоснование операции умножения дробей можно дать только на основе измерительного аспекта семантики понятия числа.

В школьном курсе математики практически игнорируется и восходящий еще к Евклиду операторный подход к осмыслению понятия числа, как характеристике предметных действий, выполняемых человеком в процессе измерения. Этому способствует сложившаяся практика ознакомления учащихся с измерительными приборами, например, линейкой. Линейка рационализирует процесс измерения длин тем, что дает возможность,не откладывая единичного отрезка, получить значение длины. После выполнения измерения с помощью линейки бессмысленно убеждать учащихся, что полученное число есть характеристика действий, которых они не выполняли.

В научно-методической литературе уже ставился вопрос о целесообразности использования операторного истолкования числа в школе (И.В.Арнольд, А.Н.Колмогоров, А.И.Фетисов, А.А.Ходова, С.И.Шварцбурд и др.). Однако попытки раскрыть различные аспекты семантики понятия числа в процессе обучения только на основе измерительного аспекта (числовая мера, оператор), связанного с понятием "величина" успеха не имели (В.В.Давыдов, А.А.Ходова и ДР.).

Алгоритмический аспект числа связан с его осмыслением в соответствии с правилами, по которым с ним оперируют и обретает свою формализацию в качестве элементов полей и колец. Этот аспект числа лежит в основе буквенной алгебры, изучаемой в школе, и связан с понятиями "операция", "программа", "алгоритм".

В настоящее время,в связи с возрастанием роли ЭВМ в науке и народном хозяйстве, проникновением вычислительной техники в общеобразовательную школу, возрастает и роль алгоритмического аспекта семантики понятия числа. Как писал Ю.А.йданов в статье "Философские проблемы современного естествознания" (Правда от 31 августа 1984 года): "Каждая нация, стремящаяся быть на уровне высших достижений цивилизации, с необходимостью должна овладеть количественными математическими методами и не только в целях научных исследований, но и для повседневной практики мил

ЛЕОНОВ".

Как видим, анализ различных аспектов семантики понятия числа в их взаимосвязи показывает, что с дидактической точки зрения они не равноценны. Поэтому необходимы дальнейшие исследования, связанные с изучением взаимосвязей понятия числа с базисными понятиями (величина, множество и т.д.), порождающим различные аспекты его семантики, с выяснением роли этих аспектов в школьном курсе математики на разных этапах обучения, с выявлением методов и средств их раскрытия в процессе обучения.

Усвоение учащимися различных аспектов семантики понятия числа осуществляется в процессе изучения содержания учебного материала, сгруппированного вокруг выбранных базисных понятий. Взаимосвязи базисных понятий порождают основные содержательные и операционные внутрипредметные связи (связи между понятиями, фактами, законами и связи между формируемыми навыками, умениями, мыслительными операциями), которые являются дидактически отражением в структуре учебного материала объективных связей и отношео U нии математическом науки.

Таким образом, содержательные и операционные внутрипредметные связи служат основным средством раскрытия различных аспектов семантики понятия числа в процессе обучения.

Все выше сказанное определило актуальность темы нашего исследования и позволило сформулировать его проблему. Проблема исследования состоит в выявлении основных содержательных и операционных внутрипредметных связей понятия числа путем раскрытия различных аспектов его семантики на разных этапах обучения с целью повышения качества осмысления учащимися понятия числа и арифметических операций.

- 12

Предметом исследования являются содержательные и операционные внутрипредметные связи понятия числа, основные средства их реализации в процессе обучения.

Б ходе исследования была выдвинута гипотеза - построение содержания обучения числу на основе содержательных и операционных внутрипредметных связей понятий величины и конечного множества позволяет заложить общую основу изучения числовой линии в школьном курсе математики, раскрыть различные аспекты семантики понятия числа на разных этапах обучения, формировать обобщенные способы -и приемы умственной деятельности учащихся при изучении арифметических операций, что на первых этапах обучения должно выразиться в осознанном понимании смысла арифметических операций, свойств этих операций и алгоритмов их выполнения.

Для решения проблемы исследования и проверки научной достоверности выдвинутой гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1. Провести анализ теоретических основ, методов и средств реализации внутрипредметных связей понятия числа и выявить основные содержательные и операционные связи этого понятия, позволяющие раскрыть различные аспекты его семантики, способствующие формированию обобщенных способов и приемов умственной деятельности учащихся.

2. Выделить и обосновать основные этапы изучения понятия числа в восьмилетней школе.

3. Разработать и раскрыть методику реализации содержательных и операционных внутрипредметных связей понятия числа при изучении системы натуральных чисел и некоторых вопросов системы рациональных чисел.

4. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики при изучении числовых систем в восьмилетней школе.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

- изучение трудов классиков марксизма-ленинизма, материалов XX7I съезда КПСС, директивных документов партии и правительства по вопросам школьного образования;

- изучение и анализ литературы по математике, педагогике, психологии, общей теории систем, семиотике, связанной с исследуемой проблемой;

- анализ содержания программ и учебников для начальной и средней школы;

- использование методологии системно-генетического подхода к объекту исследования и моделирования;

- педагогического эксперимента;

- изучение состояния качества знаний, умений и навыков учащихся на разных этапах обучения понятию числа.

Научная новизна исследования состоит в том, что в работе выявлены основные содержательные и операционные внутрипредметные связи понятия числа, раскрыта их генетическая основа, связанная с реальными величинами и конечными совокупностями объектов. Определена роль этих связей в качестве средств раскрытия различных аспектов семантики понятия числа на разных этапах обучения, отобраны средства формирования обобщенных способов и приемов учебно-познавательной деятельности учащихся в процессе изучения понятия числа и арифметических операций. Выделены основные этапы изучения понятия числа в восьмилетней школе. Раскрыта методи-,ка изучения системы натуральных чисел.

Практическая значимость проведенного исследования состоит в следующем: а) результаты исследования включены в разработку хоздоговорной теш "Психолого-дидактические подходы к построению школьного курса математики на основе понятий величины и множества", которая выполнялась для НИИ общей и педагогической психологии АПН СССР (й государственной регистрации 8I0II490); б) выводы и рекомендации, данные в работе, были использованы в процессе построения экспериментальной программы для начальной школы по математике и написания экспериментальных учебных пособий; в) основные результаты исследования и рекомендации могут быть использованы для совершенствования содер<ания учебного материала и методики его изложения в процессе изучения числовых систем в школе.

Апробация результатов исследования.

Обучение по экспериментальным учебным пособиям, реализующим основные положения диссертации, ведется в московской экспериментальной школе № 91 АПН СССР. Отдельные положения исследования апробировались на базе школ № I, №4, 1Ь 8 г.Горно-Алтайска, Майминской и Кызыл-Озекской сельских школ Горно-Алтайской автономной области.

Основные результаты диссертации докладывались автором и обсуждались на:

- заседании лаборатории прикладной математики НИИ СиМО АПН СССР (декабрь, 1979);

- научно-методическом семинаре аспирантов и слушателей ФПК кафедры методики преподавания математики МГПИ им. В.И.Леj нина (март, 1980);

- научно-практической конференции аспирантов и младших научных сотрудников НИИ СиМО АПН СССР (апрель, 1981);

- ХХХ1У герценовских чтениях (май, 1981);

- кафедре математического анализа МГЗПИ (октябрь, 1981, январь, 1984, сентябрь, 1984);

- кафедре методики преподавания математики МГПИ им.В.И.Ленина (декабрь, 1981);

- кафедре математики Горно-Алтайского государственного педагогического института (июнь, 1980, май, 1984);

- кафедре методики преподавания математики ЛГПИ им. А.И. Герцена (ноябрь, 1984).

Основные задачи исследования определили структуру диссертации, которая состоит из введения, двух глав, 7 параграфов, списка литературы (197 наименований) и приложения.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Пуркина, Валентина Федоровна

Основные результаты исследования состоят в следующем:

В работе раскрыты теоретические основы проблемы исследования, позволившие выявить основные содержательные и операционные внутрипредметные связи понятия числа в восьмилетней школе и раскрыть их генетическую основу.

В исследовании показано, что взаимосвязи и отношения реальных величин и конечных совокупностей объектов порождают основные содержательные и операционные внутрипредметные связи понятия числа, которые позволяют раскрыть порядковый, количественный. измерительный и алгоритмический аспекты его семантики на разных этапах обучения и служат средством формирования обобщенных способов и приемов учебно-познавательной деятельности учащихся при изучении арифметических операций и их свойств. Более конкретно это означает следующее:

- составление целого из частей, объединение непересекающихся множеств и дополнение к множеству являются основой всех арифметических задач, связанных с нахождением суммы и разности натуральных чисел;

- объединение непересекающихся равных множеств и операция перехода к новой единице измерения являются основой всех задач, связанных о операцией умножения рациональных чисел;

- 153

- переход к новой единице измерения позволяет установить связь операции умножения с процессом измерения величин и тем самым раскрыть не только измерительный аспект семантики понятия числа, но и заложить общую основу изучения системы рациональных чисел.

На основе этих положений в работе выделены и обоснованы основные этапы изучения понятия числа в восьмилетней школе: до-числовой. этап изучения системы натуральных чисел и этап изучения системы рациональных чисел. Сформулированы дидактические цели изучения каждого этапа, разработаны содержание и методика изучения системы натуральных чисел и некоторых вопросов изучения системы рациональных чисел, выделены основные знания, умения и навыки, которые были сформированы у школьников на каждом из этапов в процессе обучения по экспериментальному материалу.

На первом этапе (дочисловом) у школьников были обобщены и систематизированы наглядные представления о конечных реальных множествах, величинах и их свойствах. Сформированы наглядные представления о взаимно-однозначном соответствии конечных множеств (заложена основа для раскрытия количественного аспекта семантики понятия числа), о понятии "часть - целое", лежащим в основе сравнения чисел. Учащиеся научились составлять конечные совокупности объектов по указанному свойству, членить множества объектов на части по нескольким признакам ( цвету, форме и т.д.), измерять и сравнивать величины, усвоили простейшие свойства отношений (с , = ,>,<), овладели нумерацией и научились сравнивать натуральные числа в пределах первого десятка.

На втором этапе (изучение системы натуральных чисел) учащиеся осознали смысл выполняемых операций на основе операций над реальными величинами и конечными множествами, научились приводить примеры реальных моделей числовых операций, осознали измерительный аспект семантики понятия числа в процессе измерения величин, его связь с операцией умножения натуральных чисел.

На этом этапе учащиеся овладели основными приемами сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел в пределах класса миллионов, усвоили взаимосвязь между операциями и алгоритмами их выполнения, научились выделять и упорядочивать элементарные действия, оценивать результат вычисления, делать "прикидку".

На этапе изучения системы рациональных чисел учащиеся осознают структуру системы рациональных чисел, знают правила перехода от одной формы записи рационального числа к другой и уверенно применяют их при решении задач. Здесь школьники усваивают и рационально применяют алгоритмы выполнения всех операций, уверенно используют при решении задач свойства этих операций. К концу этого этапа учащиеся осознают все аспекты семантики понятия числа, то есть они понимают, что числа служат для счета (порядковый аспект), обозначения численности множеств (количественный аспект), измерения величин (измерительный аспект) и используются в качестве объектов при выполнении арифметических операций (алгоритмический аспект).

В работе приведены результаты многолетнего (7 лет) педагогического эксперимента, подтвердившего эффективность разработанной методики изучения понятия числа на основе внутрипредметных связей понятий величины и конечной совокупности объектов.

Перспективность результатов исследования определяется возможностями использования полученных выводов и рекомендаций при разработке методики изучения системы рациональных и действительных чисел.

- 155

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное исследование имело своей целью выявить основные содержательные и операционные внутрипредметные связи понятия числа и средства их реализации, позволяющие раскрыть различные аспекты семантики этого понятия и формировать обобщенные способы и приемы учебно-познавательной деятельности учащихся при изучении арифметических операций и их свойств.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Пуркина, Валентина Федоровна, 1984 год

1. Маркс К., Энгельс Ф. - Соч. 2 изд., т.1. - 547 с.

2. Энгельс Ф. Диалектика природы. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т.20, с.326-626.

3. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. т.20, с.5-326.

4. Ленин В.И. Философские тетради. М.: Политиздат, 1978. - 752 с.

5. Материалы ХХУ1 съезда КПСС. М.: Политиздат, 1981. -223 с.

6. Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР "О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду". Правда, 29 октября, 1977.

7. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах./ Под ред. М.И.Моро, А.М.Пышкало. М.: Педагогика, 1977. - 248 с.

8. Александров А.Д. Общий взгляд на математику. В кн.: Математика, ее содержание, методы и значение. - М.: Изд-во АН СССР; 1956, с. 5-69.

9. Александров А.Д. Диалектика и математика. Математика в школе, 1972, 1-2.

10. Александров А.Д. О понятии множества в курсе геометрии. Математика в школе, 1984, IS I, с.27-30.

11. Амосов Н.М. Моделирование мышления и психики. Киев: Наукова Думка, 1965. - 304 с.

12. Антипов И.Н., Шварцбурд Л.С. Символы, обозначения, понятия школьного курса математики: Пособие для учителей. М.:1. Просвещение, 1978. 63 с.

13. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика: Учебное пособие для мат. фак. пед. институтов. - М.: Учпедгиз, 1938.480 с.

14. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения (общедидактический аспект). М.: Педагогика, 1977. - 256 с.

15. Бабанский Ю.К. Об актуальных проблемах совершенствования обучения в общеобразовательной школе. Сов. педагогика, 1979. № 3, с. 9-13.

16. Байдак В.А. Принципы построения оптимальной системы изучения свойств функций в школе: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1971. - 16 с.

17. Байдак В.А. Система изучения свойств функций в школе.-Омск: Изд-во Омская правда, 1975. 126 с.

18. Бельтюкова Т.В. Формирование понятия натурального числа у младших школьников: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -Л., 1965. 18 с.

19. Беляев Е.А., Киселева Н.А., Перминов В.А. Некоторые особенности развития математического знания. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. - 112 с.

20. Берталанфи Л. История и статус общей теории систем. -Системные исследования, 1973, с.3-23.

21. Богоявленский Д.Н. Приемы умственной деятельности и их формирование у школьников. Вопросы психологии, 1969, $ 2, с.29--34.

22. Болтянский В.Г. Школа и микрокомпьютер. Математика в школе, 1979, Jfl 2, с.46-49.

23. Болтянский В.Г. Формула наглядности изоморфизм плюс простота. - Сов.педагогика, 1970, № 5, с.46-61.- 157

24. Большая Советская энциклопедия. М., 1971, т.6.

25. Брунер Дк. Процесс обучения. М.: АПН РСФСР, 1962.84 с.

26. Еурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. - 272 с.

27. Вейль Г. Структура математики. Успехи мат. наук, 1975, т.31, вып.4, с.226-237.

28. Ветров А.А. Семиотика и ее основные проблемы. М.: Политиздат, 1968. - 264 с.

29. Виленкин Н.Я., Блох А.Я. Изучение дискретной математики в школе. Математика в школе, 1977, 6, с.64-68.

30. Виленкин Н.Я., Шрейдер Ю.А. Понятия математики и объекты науки. Вопросы философии, 1974, № 2, с.116-127.

31. Виленкин Н.Я. Математика 4-5 классы: Теоретические основы. М.: Просвещение, 1974. - 223 с.

32. Виленкин Н.Я. Выражения, значения и числа. Математика в школе, 1975, № I, с.61-64.

33. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М.: Наука, 1969. - 159 с.

34. Виленкин Н.Я., Пуркина В.Ф. Использование представлений о математическом моделировании для развития межпредметных связей в обучении. В сб.: Методика преподавания математикив средней школе. Свердловск, 1981, с.132-141.

35. Виленкин Н.Я., Пуркина В.Ф. О педагогических аспектах семиотического анализа знаковых систем школьной математики.

36. В сб.: Проблемы подготовки учителя математики в пединститутах.-М., 1982, C.II9-I29.

37. Выготский Л.С. Мышление и речь. М.;Л.: Соцэкгиз, 1934. - 324 с.- 158

38. Выготский Л.С. Развитие высших психических функций. -М.: АПН РСФСР, I960. 500 с.

39. Гельман Э.Г. Методические основы организации процесса усвоения алгебраических понятий учащимися 7-8 классов: Автореф. дисс. . канд. пед.наук. М., 1982. - 16 с.

40. Герасимова B.C. Психологический анализ познавательной функции математических знаков: Автореф. канд. дис. . психолог, наук. М., 1978. - 23 с.-В надзаг. НИИ общей и педагогической психологии АПН СССР.

41. Гершунский Б.С. О статусе ведущих дидактических понятий. Сов. педагогика, 1981, № 7, с.95-101.

42. Гнеденко Б.В. Политехнические аспекты преподавания математики в средней школе. Математика в школе, 1974, № 6,с.18-25.

43. Гончаров В.Л. Начальная алгебра. М.: Изд-во АПН СССР, 1955. - 420 с.

44. Готт B.C., Урсул А.Д. Общенаучные понятия и их роль в познании. М.: Знание, 1975. - 64 с.

45. Гросс М., Лантен А. Теория формальных грамматик. М.: Мир, 1971. - 294 с.

46. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. М.: Педагогика, 1972. - 424 с.

47. Дидактика средней школы: Некоторые проблемы современной дидактики / Под ред. М.А.Данилова, Н.М.Скаткина. М.: Просвещение, 1975. - 303 с.

48. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе алгебры: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1981. - 16 с.- 159

49. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике в школе. -Математика в школе, 1978, № 2, с.10-27.

50. Ершов А.Г. и др. Информатика. / Г.А.Звенигородский, Ю.А.Первин. Новосибирск, 1979. - 52 с.

51. Ефимов В.Ф. Алгоритмы в методико-математической подготовке учителя начальных классов в педагогическом институте: Автореф. дис. . канд. пед.наук. М., 1982. - 16 с.

52. ДУрден Ф. Природа математики. Одесса, 1923. - 177 с.

53. Зак А.З. Как определить уровень развития мышления школьника. М.: Знание, 1982. - 96 с.

54. Занков Л.В. Обучение и развитие. М.: Педагогика, 1975. - 440 с.

55. Зверев И.Д. К вопросу о системе обучения основам наук. Сов. педагогика, 1970, $ 6, с.12-14.

56. Звягин А.Н. Совершенствование систематизации знаний учащихся в процессе обучения в средней школе на материале естественно-научных дисциплин: Автореф. дис. . канд. пед.наук. Челябинск, 1978. - 19 с.

57. Зорина Л.Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников. М.: Педагогика, 1978. - 128с.

58. Иванов В.В. Чет и нечет. Ассиметрия мозга и знаковых систем. М.: Сов.радио, 1978. - 184 с.

59. Ильина Т.А. Структурно-системный подход к организации обучения. Материалы лекций, прочит, в Политехническом музее на фак. программир. обучения, вып.1-3. М.: Знание, 1973. - 246с.

60. Искандарян С.А. Методика обучения младших школьников элементам алгоритмизации: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -М., 1980. 18 с.

61. Канторович Л.В., Соболев С.Л. Математика в современной школе. Математика в школе, 1978, № 4, с.6-11.

62. Кадькалова Т.И. Методика изучения тождественных выражений в начальных классах школы: Автореф. дис. . канд. пед.на-ук. М., 1979. - 20 с.

63. Карри X. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. - 568 с.

64. Катасонова А.Т. Использование изоморфизма в курсе математики начальной школы: Автореф. дис. . канд. пед.наук. -М., 1971• 17 с.

65. Кириллов В.К. Реализация внутрипредметных связей в формировании научных понятий у учащихся: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1973. - 17 с.

66. Кириченко Т.Ф. Прогнозирующая деятельность учителя математики как средство повышения качества усвоения знаний учащимися: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1979. - 16 с.

67. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1-2. М.; Л., 1933.

68. Клини С. Математическая логика. М.: Мир, 1973. -480 с.

69. Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. М.: Мир, 1978, т.З.

70. Ковалев М.П., Шварцбурд С.И. О современных условиях- 161 обучения счету. Математика в школе, 1979, № 2, с.43-46.

71. Колмогоров А.Н. Обобщение понятия числа. Неотрицательные рациональные числа. Математика в школе, 1970, Л 2, с. 2732.

72. Колмогоров А.Н. О системе основных понятий и обозначений школьного курса математики. Математика в школе, 1971,2, с.17-23.

73. Кондратов A.M. Звуки и знаки. М.: Знание, 1978. -208 с.

74. Королев Ф.Ф. Системный подход и возможности его применения в педагогических исследованиях. Сов. педагогика, 1970, В 9, с.103-116.

75. Коршунов A.M., Мантатов В.В. Теория обучения и эвристическая роль знаков. М.: Изд-во МГУ, 1974. - 214 с.

76. Котов А.Я. Система и методы изучения табличного умножения и деления в начальной школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1958. - 17 с.

77. Краевский В.В. Проблемы научного обоснования обучения. Методологический анализ. М.: Педагогика, 1977. - 263 с.

78. Краевский В.В. Состав, функции и структура научного обоснования обучения: Автореф. дис. . док. пед.наук. М.,1976. 38 с.

79. Криницкий Н.А. Алгоритмы вокруг нас. М.: Наука,1977. 224 с.

80. Крупич В.И. Оценка сложности сюжетных задач на составление уравнений. В кн.: Ученые записки Курского ГПИ, т.66, ч.2, 1970, с.51-60.

81. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. - 431 с.

82. Кузьмина Н.В., Кухарев Н.В. Психологическая структура деятельности учителя (тексты лекций) Гомель: Гомельский гос. ун-т, 1976. - 57 с.

83. Кузнецова Л.В. Проблема интеграции курсов математикив 6-8-х классах: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1979. - 18 с.

84. Кусый Ю.А. Методы и приемы применения моделирования в процессе усвоения учащимися новых знаний: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Киев, 1978. - 18 с.

85. Лапчик М.П. Использование общеобразовательных аспектов программирования для ЭВМ в совершенствовании среднего математического образования: Автореф. дис. . канд. пед.наук. -М., 1974. 26 с.

86. Лернер И.Я. Критерии сложности некоторых элементов учебника: Проблемы школьного учебника. М.: Просвещение, 1974, вып.1, с.47-58.

87. Лернер И.Я. Качества знаний учащихся. Какими они должны быть? М.: Знание, 1978. - 45 с.

88. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. -М.: Знание, 1980. 96 с.

89. Лебединцев К.Ф. Счет и мера. Арифметика в связи с зачатками геометрии: Для трудовой школы и самообразования, ч.1.-М.: Гос. издат, 1923. 188 с.

90. Логика и проблемы обучения / Под ред. Б.В.Бирюкова, В.Г.Фарбера. М.: Педагогика, 1977. - 216 с.

91. Ляпунов А.А. Онтодидактика в математике. За науку в Сибири, 1972, № 37.

92. Ляпунов А.А. Проблемы теоретической и прикладной кибернетики. Сборник статей. М.: Наука, 1980. - 335 с.- 163

93. Лященко Е.И. Системно-структурный подход к определению содержания предмета математики в 4-5 классах. В кн.: Системно-структурный подход к определению содержания предмета математики. - Минск, 1975, с.3-32.

94. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, 1979. - 167 с.

95. Математика: Учебник для первого класса. / Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. М.: Просвещение, 1980. - 192 с.

96. Математика: Учебник для 2 класса. / Моро М.И., Бантова М.А. М.: Просвещение, 1980. - 207 с.

97. Математика: Учебник для 3 класса. / Пчелко А.С. и др.-М.: Просвещение, 1979. 208 с.

98. Математика: учебник для 1У класса средней школы. / Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1980. - 304 с.

99. Математика. Экспериментальное учебное пособие для первого класса. / Н.Я.Виленкин и др. М.: АПН СССР, НИИ общей и педагогической психологии, 1977. - 150 с.

100. Математика. Экспериментальное учебное пособие для второго класса. / Н.Я.Виленкин и др. М.: АПН СССР, НИИ общей и педагогической психологии, 1979. - 100 с.

101. Мелекесов Г.Н. Вопросы методики изучения числовых систем в курсе алгебры 8-летней школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1979. - 16 с.

102. Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. Минск: Вышэйшая школа, 1977. - 160 с.

103. Методика обучения математике в 1-3 классах: Пособие для учителей. / М.И.Моро и др. М.: Просвещение, 1978. -336 с.

104. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед.- 164 институтов. / Ю.М.Колягин и др. М.: Просвещение, 1975. -462 с.

105. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед.институтов. / Ю.М.Колягин и др. М.: Просвещение, 1977.480 с.

106. Мешкова И.А. Активизация формирования понятий методом комплексного моделирования / на материале школьной математики: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1974. - 24 с.

107. Миндюк Н.Г. Построение единого курса арифметики и начальной алгебры в 4-5 классах: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1966. - 19 с.

108. Монахов В.М. К вопросу о "прогнозировании" школьного естественно-математического образования. В кн.: Перспективы развития содержания общего среднего образования. - М.: НИИ СиМО, 1977, с.6-11.

109. Морозов Г.М. Проблема формирования умений, связанных с применением математики: Автореф. дис. . канд. пед. наук.-М., 1978. 22 с.

110. Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. М.: Мысль, 1969. - 212 с.

111. Муравин К.С. Принцип внутрипредметной связи как средство построения системы упражнений по алгебре в 8-летней школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1967. - 18 с.- 165

112. На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978. - 303 с.

113. Нечаев В.И. Числовые системы. Пособие для студентов пед. институтов. М.: Просвещение, 1975. - 199 с.

114. Нешков К.И. Числа, величины и их обозначения. В кн.: Из опыта преподавания математики в школе: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1978, с.96-112.

115. Нивергельт Ю., Феррар Дж., Рейнгольд Э. Машинный подход к решению математических задач. М.: Мир, 1977. - 346 с.

116. Новик И. Б. О моделировании слошшх систем. М.: Мысль, 1965. - 235 с.

117. О некоторых итогах проведения вступительных экзаменов (Обзор статей). Математика в школе, 1979, с.44-48.

118. Общая психология. / Под ред. А.В.Петровского. 2-е изд. М.: Просвещение, 1976. - 482 с.

119. Общедидактический анализ новых программ. Материалы семинара, проведенного в г.Москве, 18 мая 1979 г. Педагогическое общество. Центр, совета РСФСР, 1980. - 76 с.

120. Овчинников Н.Д. Структура и симметрия. - М.: Мысль, 1965. - 87 с.

121. Одинцова Л.А. Содержание и методика изучения отношений эквивалентности и порядка в курсе математики средней школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1978. - 16 с.

122. Оксман Л.С. Проблема совершенствования системы обозначений школьного курса математики: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1979. - 18 с.

123. Олоничев П.М. Как мы говорим о числе в школьной математике. Математика в школе, 1973, В 5, с.52-56.- 166

124. Основы дидактики. / Под ред. Б.П.Есипова. М.: Просвещение, 1967. - 472 с.

125. О реформе общеобразовательной и профессиональной школы: Сборник документов и материалов. М.: Политиздат, 1984. -112 с.

126. Первин Ю.А. Информатика в школе. Математика в школе, 1980, № 3, с.46-47.

127. Пехлецкий И.Д. Общая теория систем и анализ процесса обучения. Пермь, 1976. - 120 с.

128. Пиаже S., Инельдер Б. Генезис элементарных логических структур. М.: Изд-во Иностр. лит-ры, 1963. - 448 с.

129. Пиаже Я. Речь и мышление ребенка.-М.;Л.: Гос. учеб. пед. изд-во, 1982. 412 с.

130. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. Психология интеллекта. Генезис числа у ребенка. М.: Просвещение, 1969.659 с.

131. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность в обучении. М.: Педагогика, 1980. - 240 с.

132. Побережник И.Е. Формирование представлений об основных идеях современной алгебры в школьном курсе математики (на арифметическом материале): Автореф. дис. . канд. пед. наук. -Киев, 1972. 30 с.

133. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. -М.: Иностр. лит-ра, 1957. 431 с.

134. Пойа Д, Математические открытия. М.: Наука, 1976. -452 с.

135. Программы восьмилетней школы. Начальные классы. -М.: Просвещение, 1980. 208 с.

136. Программы восьмилетней и средней школы. Математика.

137. М.: Просвещение, 1983. 48 с.

138. Преемственность в обучении математики. Пособие для учителей. Сборник статей. / Под ред. А.М.Пышкало. М.: Просвещение, 1978. - 239 с.

139. Психологические проблемы переработки знаковой информации. Сборник статей. / Под ред. М.В.Гамезо. М.: Наука, 1977. - 275 с.

140. Пуркина В.Ф. Системно-генетический подход к выделению структуры системы начальных математических понятий. В сб.: Совершенствование содержания и методов обучения естественно-математическим дисциплинам в средней школе. - М.: НИИ СиМО,198I, с.85-87.

141. Пышкало A.M. Методическая система обучения геометрии в начальной школе: Автореф. дис. . докт. пед. наук. М., 1975. - 39 с.

142. Раухман А.С. Формирование методических умений и навыков у студентов математической специальности педагогического института: Автореф. канд. дис. Киев: КГПИ, 1975. - 20 с.

143. Резников Б.А. Системный подход и актуальные проблемы образования. В кн.: Системные исследования. - М.; 1978,с.185-201.

144. Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. -375 с.

145. Рузавин Г.И. О природе математического знания. (Очерки о методологии математики). М.: Мысль, 1968. - 302 с.

146. Рыбников К.А. Введение в методологию математики. -М.: Изд-во МГУ, 1979. 128 с.

147. Садовский В.Н. Основания общей теории систем. М.: Наука, 1974. - 278 с.- 168

148. Салмина Н.Г., Сохина В.П. Обучение математике в начальной школе. / Под ред. П.Я.Гальперина. М.: Педагогика, 1975. - 184 с.

149. Сидельковский А.П. Дидактические принципы. Сов. педагогика, 1980, № 5, с.65-70.

150. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. М.: М СССР, 1979. - 65 с.

151. Скаткин М.Н. О школе будущего. М.: Знание, 1974.62 с.

152. Соболев С.А. Судить по конечному результату. Математика в школе, 1984, № I, с.15-19.

153. Современные основы школьного курса математики: Пособие для студентов пед. институтов / Виленкин Н.Я. и др. М.: Просвещение, 1980. - 240 с.

154. Сойер У. Путь в современную математику. М.: Мир,1972. 258 с.

155. Соколовский Ю.И. Онтодидактика.-Народное образование,1973, В 5, с.16-18.

156. Соколовский Ю.И. Онтодидактический подход к проблемам преподавания математики. Математика в школе, 1974, В 2, с.65-68.

157. Сохор A.M. Логическая структура учебного материала. Вопросы дидактического анализа. М.: Педагогика, 1974. - 192с.

158. Степанов Ю.С. Семиотика. М.: Наука, 1971. - 167 с.

159. Столяр А.А., Рогановский Н.М. Основы современной школьной математики. 4.1. Язык. Множества. Отношения. Функции. Математические структуры. Шнек: Народная асвета, 1975. -240 с.

160. Сторжевский Л.О. Логическая структура школьного кур- 169 са планиметрии основа развития мышления учащихся: Автореф. дис. . канд. пед. наук. - М., 1977. - 21 с.

161. Стрезикозин А.А. Актуальные проблемы начального обучения. Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1976. - 207 с.

162. Структура и содержание начального обучения в школе будущего: Материалы Всесоюзного совещания Научного совета по проблемам обучения и воспитания в начальной школе. М., 1977.48 с.

163. Стукалов В.А. Использование представлений о математическом моделировании в обучении математике: Автореф. дис.канд. пед. наук. М., 1975. - 21 с.

164. Сухотин А.К. Философия в математическом познании. -Томск, 1977. 160 с.

165. Теория содержания общего среднего образования и пути ее построения. / Под ред. В.В.Краевского. М.: НИИ общ. пед. АПН СССР, 1978. - 108 с.

166. Том Р. Современная математика существует ли она? -Математика в школе, 1973, I, с.89-93.

167. Том Р. Топология и лингвистика. Успехи мат. наук. Т.ЗО, вып.I, 1975, с.199-221.

168. Тростников В.Н. Некоторые особенности языка математики как средства отражения объективной реальности: Автореф. дис. . канд. философ, наук. М., 1971. - 19 с.

169. Тхамафокова С.Т., Далингер В.А. Библиографический указатель диссертаций по методике преподавания математики. -М.: АПН СССР, НИИ СиМО, 1980. 80 с.

170. Тюхтин B.C. Отражение, системы, кибернетика. В кн.: Теория отражения в свете кибернетики и системного подхода. -М.: Наука, 1972. - 256 с.- 170

171. Уемов А.И. Логические основы моделирования. М.: Наука, 1971. - 312 с.

172. Уваров Л.В. Гносеологическая природа моделирования.-Минск, 1974. 212 с.

173. Уваров Л.В. Символизация как гносеологическая проблема: Автореф. дис. . докт. философ, наук. Шнек, 1978.51 с.

174. Ушакова М.А. Дидактические требования к комплексу заданий для формирования системности знаний учащихся: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1977. - 19 с.

175. Федорец Г.Ф. Межпредметные связи в процессе обучения. Л.: ЛГПИ им. А.И.Герцена, 1983. - 87 с.

176. Федотова Т.Я. Математические структуры как основа построения единого курса математики в восьмилетней школе: Автореф. дис. . канд. пед.наук. М., 1975. - 24 с.

177. Фирсов В.В. Некоторые проблемы обучения теории вероятностей как прикладной дисциплине: Автореф. дис. . канд. пед.наук. М., 1974. - 21 с.

178. Фирсов В.В. 0 прикладной ориентации курса математики. В кн.: Углубленное изучение алгебры и анализа. - М.: Просвещение, 1977, с.215-239.

179. Фридман Л.И. Дидактические основы применения задач в обучении: Автореф. дис. . докт. пед. наук. М., 1971.54 с.

180. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача.-М.: Просвещение, 1982. 207 с.

181. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. / Под ред. В.В. Гнеденко. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. - 204 с.

182. Ходова А.А. Методические особенности операторного- 171 подхода к формированию понятия числа в школе. Минск, 1983. -18 с.

183. Чебоксаринова Л.П. Исследования связей начального обучения математике с преподаванием математики в 17 классе (на материале арифметической теории): Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1975. - 18 с.

184. Черемисина М.И. От пиктографии к букве. Что дальше? Знание - сила, № 12, 1975, с.37-39.

185. Черч А. Введение в математическую логику. М.: Изд-во Иностр. лит-ры, I960. - 485 с.

186. Шардаков М.И. Мышление школьника. - М.: Учпедгиз, 1963. - 255 с.

187. Шафф А. Введение в семантику. М.: Изд-во Иностр. лит-ры, 1963. - 376 с.

188. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 303 с.

189. Шмырева Г.Г. Система изучения буквенной символики в начальных классах школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -Л., 1971. 28 с.

190. Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики: Пособие для учителей средних учебных заведений. М.: Сб. т.во "И.Д.Сытина", 1914. - 526 с.

191. Шрейдер Ю.А. Логика знаковых систем. (Элементы семиотики). М.: Знание, 1974. - 63 с.

192. Эйштейн А. Физика и реальность. Сборник статей. М.: Наука, 1965. - 359 с.

193. Эльконин Д.Б. Психология обучения младшего школьника. М.: Знание, 1974. - 53 с.

194. Эрдниев П.М. Обучение математике в начальных классах:- 172

195. Опыт обучения методом укрупнения единиц. М.: Педагогика, 1979. - 176 с.

196. Щит Б.Г., Блауберг И.В. Понятие целостности и его роль в научном познании. М.: Знание, 1972. - 48 с.

197. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. М.: Сов. радио, 1980. - 144 с.- 173