Методика обработки и анализа данных глобального гравитационного поля Земли на сфере с использованием «естественного» вейвлет-преобразования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат наук Хайруллина Наталья Александровна

• Хайруллина Наталья Александровна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Хайруллина Наталья Александровна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ: ИСТОРИЯ, ЗАДАЧИ, ПРИМЕНЕНИЕ К ГЕОПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЯМ (ОБЗОР)

1.1. Развитие вейвлет-анализа

1.2. Вейвлет-анализ в обработке геопотенциальных полей

1.3. Метод томографии в геофизике

ГЛАВА 2. ОСНОВЫ «ЕСТЕСТВЕННОГО» ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2.1. Вейвлет-преобразование в классическом смысле

2.2. «Естественное» вейвлет-преобразование. Математическая

основа

2.3. Вейвлет-спектр двумерного точечного источника с единичной линейной плотностью

2.4. Алгоритм восстановления источников в спектральной

вейвлет области

2.5. Вейвлет-спектр трехмерного точечного источника с единичной линейно плотностью

ГЛАВА 3. СЛУЧАЙ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА

ГЛАВА 4. СФЕРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ.

СИНТЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ГЛАВА 5. ОБРАБОТКА РЕАЛЬНЫХ ДАННЫХ

5.1. Масштабирующий параметр 50 км

5.2. Масштабирующий параметр 150 км

5.3. Масштабирующий параметр 1000 км

5.4. Масштабирующий параметр 3500 км

5.5. Сравнение гравитационных моделей на границе ядро - мантия

5.6. Эффекты изостатической компенсации в Антарктиде

5.7. Распределение аномалиеобразующих источников гравитационного

поля Земли

5.8. Стандартное отклонение вейвлет-коэффициентов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

БИБЛИОГРАФИЯ

СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ

СПИСОК ТАБЛИЦ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика обработки и анализа данных глобального гравитационного поля Земли на сфере с использованием «естественного» вейвлет-преобразования»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Одним из активно развивающихся направлений как прикладной, так фундаментальной геофизики является гравиметрия, которая заключается в измерении и интерпретации гравитационного поля в целях получения информации как о приповерхностных, так и о глубинных структурах. Технический прогресс за последние десятилетия, заключающийся не только в создании более высокоточных приборов измерения, но и в проведении спутниковых наблюдений, привел к значительному увеличению количества анализируемых данных, включая высокоточные измерения с высоким пространственным и временным разрешением. Полученные данные могут позволить значительно расширить наши познания как о глубинных структурах Земли, так и о временной эволюции этих структур, например в ходе землетрясений и извержений вулканов. Отдельно стоит отметить данные, полученные в ходе спутниковых измерений гравитационных полей Луны и Марса, существенно расширили наши представления об их структурах и планетологической истории.

Разумеется, подобный рост качества и количества наблюдений не мог не привести к пересмотру подходов к их обработке и интерпретации. В частности, интерпретация спутниковых данных просто невозможна в рамках моделей плоской Земли. В тоже время стандартный подход к исследованию и интерпретации потенциальных полей на сферической поверхности, основанный на сферическом гармоническом анализе, не всегда оказывается удачным в силу известных сложностей с описанием локальных структур.

Этих недостатков лишены методы, основанные на вейвлет-преобразованиях. Стоит отметить, что изначально метод вейвлет-преобразования был разработан для анализа и обработки сигналов - т.е. одномерных данных. В последствии он был обобщен на двумерные задачи обработки изображений и стал широко использоваться в других задачах описания пространственных структур.

Однако все эти работы проводились с использованием декартовой системы координат, что, как было сказано выше не вполне применимо к задачам современной гравиметрии. Здесь стоит отметить, что в отличие от изначальной задачи, для которой разрабатывались вейвлеты - сжатию информации, как правило с потерями, целью задач гравиметрии является выделение новой информации из наблюденных данных. Это означает, что используемый метод вейвлет-преобразования должен быть "физичным" - т.е. обладать рядом свойств, консистентных с физическим процессами, которые описываются с его помощью. Очевидно, что типовые методы вейвлет-преобразований, изначально предполагающие работу в декартовых координатах, и ставящие своей основной целью компактное хранение изображений, такими свойствами не обладают.

Однако в случае методов вейвлет преобразований, изначально разработанных для анализа потенциальных (гравитационных или магнитных) полей, ситуация принципиально другая. Эти методы, особенно активно развивающиеся в последние годы, позволяют значительно повысить устойчивость и получить параметры изучаемых полей. Это вызвано тем, что, как и было отмечено выше, решение ищется в классе функций, которые являются в каком-то смысле «естественными» для определения распределения плотностных источников.

Первые работы такого рода, сделанные в рамках декартовой геометрии, а значит плоской модели Земли были проведены Э.В. Утемовым и Д.К. Нургалиевым в 2007 году. Предложенные ими вейвлет-преобразования, построенные на основе формулы потенциала точечного источника и его производных оказались весьма эффективными инструментами интерпретации локальных данных, что явно показало важность учета физических свойств процесса при построении вейвлет-преобразования его описывающего.

Однако обобщение этих методов на сферический случай оказалось весьма сложной задачей, которая и была решена в настоящей работе.

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы является разработка эффективного метода для построения решений обратной

задачи гравиметрии, оценки параметров аномалиеобразующих источников и построения плотностных моделей на круговом цилиндре и сфере с использованием вейвлет-преобразования с «естественным» базисом, а также демонстрация эффективности алгоритма на примере гравитационного поля Земли, полученного по спутниковым и наземным данным.

Достижение поставленной цели предусматривает решение следующих задач диссертационного исследования:

1. Построить оптимальные базисные функции для выполнения вейвлет-преобразования на сфере, а также «естественные» вейвлет-преобразования на основе обзора существующих методик.

2. Сформировать алгоритм численного расчета вейвлет-преобразования данных, представленных на сферической поверхности.

3. Решить задачи определения параметров причинных источников для сферического случая (синтетические примеры).

4. Выполнить «естественное» вейвлет-преобразование реальных данных (поле глобальной модели гравитационного потенциала Земли) с определением аномалиеобразующих источников, исследованием их распределения и геологическоим обоснованием полученных результатов.

Предмет исследования - эффективные алгоритмы решения обратной задачи гравиметрии с использованием «естественного» вейвлет-преобразования на сфере.

Объект исследования - аномалии глобального гравитационного поля Земли (преимущественно спутниковые данные), образованные глобальными геологическими структурами.

Методы исследования. Для решения задачи построения "естественного" вейвлет-преобразования данных, заданных на цилиндрической или сферической поверхностях, использовалось авторское развитие ранее предложенной методики построения вейвлет-преобразования для данных, заданных на плоскости. Конкретно, использовалась таже самая идея построения семейства материнских вейвлетов в виде производных различных порядков от гравитационного

потенциала, которые бы порождали точное частное решение обратной задачи. Однако оказалось, что прямое повторение методологии - использование четвертой производной потенциала - приводит к систематическому нелинейному искажению глубины залегания восстанавливаемого точечного источника. Для решения этой проблемы была получена формула коррекции глубин, одинаковая для случая цилиндрических и сферических поверхностей.

Валидация разработанного метода была проведена на серии синтетических моделей, представляющие собой системы из различного количества точечных источников. Было показано, что местоположение и массы источников определяются с достаточной точностью, за исключением случаев крайне близко расположенных источников, которые могут "сливаться" в один. Последующее применение "естественного" вейвлет-преобразования к реальным данным позволило получить распределение плотности, которое хорошо согласуются с предыдущими гравиметрическими и сейсмическими исследованиям.

Научная новизна диссертации заключается в разработке и реализации метода решения обратных задач гравиметрии, оптимального на сфере, а также в методике формирования и использования критериев выбора «естественных» базовых функций. Показана эффективность созданного метода для выявления глобальных геологических структур по данным «естественных» вейвлет-срезов поля глобальной модели гравитационного потенциала Земли при различных значениях масштабного параметра.

Основные защищаемые научные положения:

1. Алгоритмы "естественного" вейвлет преобразования на сфере являются обобщением и расширением "естественного" вейвлет преобразования, разработанного для данных, заданных на плоскости.

2. С помощью технологии "естественного" вейвлет-преобразования на сфере могут быть определены параметры аномалиеобразующих источников глобальных потенциальных геополей.

3. Предложенные алгоритмы «естественного» вейвлет-преобразования данных потенциальных геополей, заданных на сферической поверхности, могут

быть использованы для исследования природы источников коровых, мантийных аномалий, а также аномалий в ядре Земли.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая ценность заключается в разработке методики построения вейвлет-преобразования, оптимального для геопотенциальных данных, представленных на сфере. Практическая ценность выражается в том, что разработанная методика «естественного» вейвлет-преобразования поля гравитационного потенциала Земли является новым инструментом изучения глубинных структур Земли и уточнения формы границ внутренних оболочек Земли. В результате проведенных в диссертации исследований разработан алгоритм, реализованный в виде программ для расчета вейвлет-преобразования гравитационного поля на сфере и решения обратных задач гравиметрии.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций. Достоверность и обоснованность описанного подхода и выводов подтверждена корректным теоретическим обоснованием приведенных утверждений. Результаты подтверждены исследованиями на реальных данных, а также сравнением с имеющимися моделями других авторов.

Результаты опубликованы в рецензируемых научных журналах и многократно обсуждались на российских и международных конференциях.

Личный вклад автора состоит в постановке задач, разработке методов их решения; разработке методики построения решений обратной задачи гравиметрии на сфере; оценке параметров аномалиеобразующих источников; обработке и анализе полученных результатов (построение плотностных моделей).

Апробация работы. Диссертационное исследование рассмотрено, обсуждено и одобрено на заседании Кафедры геофизики и геоинформационных технологий Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Казанский (Приволжский) Федеральный Университет».

Результаты диссертации докладывались на 14 научных конференциях международного и всероссийского уровней: VI и VII Всероссийских (с

международным участием) научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Геология в развивающемся мире» (Пермь, 2012, 2013), II Международной научно-практической конференции для геологов и геофизиков «Сочи - 2012» (Сочи, 2012), Международной конференции «European Geosciences Union General Assembly - 2013, 2016, 2017» (Vienna, Austria, 2013, 2016, 2017), XIV and XV Internarional multidisciplinary scientific geoconference & EXPO SGEM - 2014, 2015 (Болгария, Албена, 2014, 2015), «Геомодель - 2014» (Геленджик, Россия, 2014), XVII annual conference of the International association for mathematical geosciences IAMG - 2015 (Freiberg (Saxony), Germany, 2015), SIAM Conference on mathematical and computational issues in the geosciences Erlangen (Germany, 2017), XLV Международной сессии семинара им. Д.Г. Успенского «Практические и теоретические аспекты геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Казань, Россия, 2018), XIX Уральской молодежной научной школе по геофизике (Екатеринбург, Россия, 2018).

Публикации. Основные научные положения и практические результаты диссертационной работы опубликованы в 15 печатных работах, в том числе 4 - в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, 7 - в журналах, индексирующихся в базе данных научного цитирования Scopus.

Структура и объем работы обусловлены ее целью и задачами. Исследование состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем работы составляет 83 страницы, включает 27 рисунков, 5 таблиц и библиографию, содержащую 126 наименований.

Благодарности. Работа выполнена на кафедре геофизики и геоинформационных технологий ИГиНГТ КФУ. Автор диссертации выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату геолого-минералогических наук, доценту Утемову Эдуарду Валерьевичу за постановку научной задачи, за постоянное внимание к работе и помощь в изучении методов интерпретации потенциальных полей, а также доктору геолого-минералогических наук, профессору Нургалиеву Данису Карловичу за возможность заниматься

интересными и перспективными исследованиями, поддержку и помощь на всех этапах выполнения работы, за консультации и неоценимую помощь при создании данной работы, а также другим сотрудникам института, кто помогал в написании и корректировке работы.

ГЛАВА 1.

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ: ИСТОРИЯ, ЗАДАЧИ, ПРИМЕНЕНИЕ К ГЕОПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЯМ (ОБЗОР)

Проблема обработки и интерпретации потенциальных полей для изучения глубинного строения Земли в геофизике остается актуальной. В настоящее время с развитием гравитационной измерительной аппаратуры, абсолютной гравиметрии и спутниковых систем требуется разработка более современных алгоритмов обработки информации.

Обратные задачи (ОЗ) гравиметрии, как правило, в математическом смысле являются некорректно поставленными. Можно выделить несколько основных подходов к решению обратных задач гравиразведки: детерминированный, вероятностно-статистический, смешанный вероятностно-детерминистский и критериальный.

Фундаментальные основы теории решения некорректно поставленных задач разрабатывались отечественными геофизиками-математиками [1, 7, 8, 10, 17, 23, 39, 43, 40, 41, 42, 46, 54, 110]. Среди основоположников данной теории можно назвать А.Н. Тихонова [47, 48, 49], В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, В.Н. Страхова [43, 44, 45, 46], В.И. Старостенко, А.В. Цирюльского и др. В работах этих ученых были заложены основы теории решения обратных и некорректно поставленных задач.

Первыми значимыми работами по применению спектральных преобразований для решения ОЗ гравиметрии являлись работы В.Н. Страхова и А.А. Никитина. Численные алгоритмы, в основе которых лежит спектральное представление данных гравиразведки, основывались на вычислении распределений физических параметров среды.

Смешанный вероятностно-детерминистский подход к решению обратных задач был предложен А.С. Долгалем и П.И. Балком [5].

Представляется логичным шагом для анализа гравитационных полей Земли воспользоваться шаровыми и сферическими функциями, по своей «конструкции» специально предназначенными для восстановления потенциальных полей внутри или вне сферических поверхностей. Для решения задач физики, обладающих сферической симметрией, в конце XVIII в. А. Лежандром и П. Лапласом были введены сферические функции, позволявшие анализировать физические явления в сферических областях. Теория этих функций подробно изложена в работе Э.В. Хобсона (E.W. Hobson) в 1932 г. [92], переведенной на русский язык лишь спустя 20 лет [16], но практическое применение сферических и шаровых функций к потенциальным полям геофизики началось значительно позже.

Анализом и усовершенствованием существующих на тот момент методов разложения внешнего гравитационного поля по сферическим функциям занялся академик В.Н. Страхов [43, 44, 45]. Он отметил [45], что алгоритмы, основанные на сферических гармониках [118, 122, 123], имеют ряд существенных недостатков. Страхов предложил [45] более эффективные методики, преимущества которых состоят в следующем:

1) одинаково устойчивы на всех географических широтах;

2) высокая точность результатов;

3) требуют меньшие вычислительные мощности.

Однако решение задачи по построению новых алгоритмов с хорошей устойчивостью актуально по сей день.

Позже в 1972 г. [25] А.В. Кудря предложил алгоритм по определению геометрических характеристик гравитирующих тел. Для этого исследовались результаты разложения внешнего гравитационного поля по гармоническим многочленам. При данном разложении использовались соотношения, известные для гармонических моментов плотности тела.

Наиболее популярным подходом анализа потенциальных полей является применение Фурье преобразования. В целях решения геофизических задач этот аппарат получил широкое распространение с середины XX в. Отметим, что

данный математический инструмент продолжает широко использоваться для обработки геофизических данных и в настоящее время.

1.1. Развитие вейвлет-анализа

В начале XX в. в своей диссертационной работе Альфред Хаар (Alfred Haar) ввел новую ортонормированную систему кусочно-постоянных функций, которые могут принимать не более трех разных значений. Данная работа вызвала теоретический диспут, в частности, в связи с особенностями предложенных базисных функций: введенные функции не являются непрерывно -дифференцируемыми.

В 1930-е гг. физик Поль Леви (Paul Levy) заметил, что вейвлет Хаара подходит для изучения отдельных деталей броуновского движения лучше, чем базис Фурье. Этим эффективность вейвлетов была подтверждена. Однако до середины 1980-х гг. данная система не получила широкого применения.

Термин «вейвлет» был введен Алексом Гроссманом (Alex Grossman) и Жаном Морле (Jean Morlet) в 1984 г. [88] при анализе сейсмических и акустических сигналов, применив для этих задач известное сейчас как непрерывное вейвлет-преобразование (НВП). Базисные функции вейвлет-преобразования строятся с помощью масштабирования и сдвига исходной (материнской) функции. Предполагалось, что вейвлет-преобразование окажется более информативным, чем анализ гармонических составляющих сигнала. В последующее десятилетие было положено начало интенсивного изучения вейвлет-функций рядом таких ученых, как Ю. Мейер (Y. Meyer) [109], И. Добеши (I. Dobechies) [67], С.Ж. Маллат (S.G. Mallat) [101], К. Чуи (C. Chui) [66], Г. Кайзер (G. Kaiser) [100], Л. Ховард (L. Howard) и О. Рэймунд (O. Raymound) [98], С. Блаттер (С. Blatter) [62] и др. Работы И. Добеши (I. Daubechies) [18, 67], К. Чуи [55], С. Блаттер [6] содержат фундаментальные основы вейвлет-преобразования, переведены и изданы на русском языке. В этих трудах опубликованы теоретические основы вейвлет-преобразований сигналов, различных способы вычисления вейвлет-спектров различных сигналов.

Следует особо выделить популяризаторскую обзорную работу российского автора Н.М. Астафьевой [2], ориентированную на начинающих заниматься применением вейвлет-преобразования, с демонстрацией вейвлет-преобразований некоторых сигналов. В основном в ней рассмотрены НВП, т.к. представление результатов анализа сигнала в виде локальных экстермумов и скелетонных графиков вейвлет-коэффициентов более наглядно. В справочной книге [21] В.П. Дьяконова и И.В. Абраменковой изложен материал по основным средствам анализа, обработки, а также фильтрации сигналов и изображений. Указанный модуль входил в пакет MATLAB 5 6.0/6.1. В публикации М. Хольшнайдера (M. Holschneider) [95] впервые, кроме теоретических сведений о вейвлетах, детально разобраны следующие пакеты по вейвлетам - WaveletToolbox, WaveletExtensionPack и WaveletExplorer. Эти пакеты активно используются системами компьютерной математики (СКМ) MATLAB 6.0/6.1, Mathcad 2001 и Mathematica4.

В книге В. И. Воробьева и В. Г. Грибунина [14] описаны основные аспекты теории вейвлет-преобразования, изложены теоретические основы построения вейвлет-фильтров, приведены практические инструменты для осуществления преобразования, технические данные о микросхемах ADV6xx, выполняющих сжатие изображений и видео на основе вейвлет-преобразования.

Учебное пособие А. Н. Яковлева [57] представляет ценность для исследователей, осуществляющих обработку сигналов, изображений и временных рядов. В указанной книге в сжатой и доступной форме представлены технологии обработки информации - непрерывное, дискретное и быстрое вейвлет-преобразования.

В описанных выше работах даны математические основы вейвлет-преобразования, как дискретного, так и непрерывного, приведено множество примеров использования вейвлетов в различных областях.

1.2. Вейвлет-анализ в обработке потенциальных полей

В настоящее время решение потенциальных задач с помощью сферических гармоник и вейвлетов является ключевым исследованием для ряда зарубежных университетов. Необходимо отметить, что этими вопросами в научном мире занимается достаточно ограниченное количество ученых, поэтому зачастую работы и идеи одних групп авторов тесно связаны (переплетены) или являются продолжением других.

С начала 1980-х гг. растет количество сферических гармонических моделей гравитационного поля Земли. В. Фриден (W. Freeden) с соавторами [74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85] занимаются разработкой различных методов для разномасштабного анализа геопотенциальных полей. Известные математические «плоские» методы интерполяции, аппроксимации, сплайнов переводятся в сферическую область, разрабатываются новые методы решения как прямых, так и обратных задач для разного масштаба. В конце 1990-х гг. это приводит к построению вейвлет фреймов для сферы. Вводятся новые понятия дилатации на сфере. В зависимости от типа и масштаба анализа строятся разные семейства вейвлетов. В частности, построены сферические вейвлеты Шеннона, которые образуют ортогональный многомасштабный базис. Эти результаты были использованы при построении модели гравитационного поля Земли с учетом временных и региональных изменений на основе данных спутниковых проектов CHAMP и GRACE [70, 71, 72, 73]. В 2005 г. было представлено [65] новое видение магнитных и гравитационных полей на основе вейвлет фреймов.

На основе [116] в работах [86, 121] приведено аналитическое и практическое разложение гравитационного потенциала дискретных сферических масс по сферическим гармоникам. Однако при моделировании нерегулярно распределенных данных или региональных данных при разложении - возникают числовые трудности. В целях устранения вычислительных сложностей был разработан [65] вейвлет-фрейм для представления магнитных и гравитационных полей. В работах [58, 59, 60] построена конструкция, удовлетворяющая основным требованиям непрерывного вейвлет-преобразования на сфере, а также n-мерных

пространствах. Предварительные расчеты со сферическим вейвлетом показали, что он обладает ожидаемой способностью обнаруживать разрывы, независимо от того, лежат ли они на одном из полюсов сферы или не лежат. Единственная проблема, с которой столкнулись авторы, имеет вычислительный характер. В 2005 г. на основании [58, 59, 60] авторам удалось построить фреймы на базе сферических вейвлетов [63]. В качестве примера была разложена и реконструирована сферическая карта средних высот Земли.

Активно в разных областях геологии и математики проблемами вейвлет-анализа занимается М. Хольшнайдер (М. Holschneider) [93, 94, 95, 96]. В 1990 г. он построил вейвлет-преобразование на окружности. До этого момента в данном пространстве не удавалось добиться хорошей дилатации. В 1996 г. [95] ученый построил непрерывное вейвлет-преобразование для сферы. При небольших масштабных параметрах это преобразование позволяет восстановить евклидову структуру сферы. Однако на больших масштабах коэффициенты вейвлет-преобразования быстро затухают, поскольку сфера компактна. В 2003 г. группой ученых во главе с Хольшнайдером [96] удалось построить вейвлет-фреймы для скалярных функций (применительно к задаче исследования геомагнитного поля), определенных на сфере. Авторами было показано, что сферические гармоники могут быть эффективно представлены сферическими вейвлет-фреймами. В [91] была построена конструкция, которая является расширением изотропных вейвлетов Пуассона на сфере. При малых масштабах они ведут себя почти как фреймы. Конечной целью этого подхода явилось моделирование магнитного поля Земли одновременно на глобальном и региональном уровнях. В основе полученных вейвлет-фреймов лежат мультипольные вейвлеты Пуассона, вызывающие повышенный интерес для моделирования в геофизике, т. к. их масштабные коэффициенты связаны с глубиной залегания мультиполя [94, 95]. В практическом плане были построены модели магнитных и гравитационных полей Земли с использованием как регулярных, так и нерегулярных исходных данных. Сравнение полученных вейвлет-моделей с моделями на сферических гармониках показало явные преимущества моделирования с помощью вейвлетов, что

особенно четко проявляется, когда используемые магнитные или гравитационные данные распределены редко или покрывают локальную зону.

В [97] авторы на основании функций Грина сконструировали неортогональные и непрерывные вейвлеты на сфере и провели с их помощью инверсию простейших гравитирующих тел (двумерная прямоугольная бесконечная призма, бесконечная наклонная дайка, бесконечная призма, трехмерная однородная сфера), а также фильтрацию геопотенциальных данных. Предварительные расчеты показали, что рассмотренное семейство вейвлетов обладает способностью обнаруживать разрывы на всей поверхности сферы, включая ее полюсы. Вместе с тем выявилась проблема вычислительного характера, заключающаяся в необходимости точечной свертки на сфере, которая весьма трудоемка.

К числу основоположников данного направления можно отнести также французского ученого-геофизика Фредерик Моро. При обработке и интерпретации данных геопотенциальных полей на плоскости Моро в соавторстве с Хольшнайдером [111, 112, 113] применили вейвлет-анализ на основе полугруппы вейвлетов Пуассона. Было показано, что вейвлет-преобразование потенциального поля, создаваемое однородным источником и измеряемое в гиперплоскости, обладает структурой, подобной усеченному конусу, указывающему в сторону расположения источника.

Рисунок 1.1. а) коэффициенты вейвлет-пребразования от двумерного точечного гравитационного источника; b) потенциальное поле-источник. Выкопировка из Indetification of sources of potential fields with continuous wavelet transform: Basic theory. F. Moreau, D. Gibert, M. Holschneider, G. Saracco, 1999.

Кроме того, масштабные изменения вейвлет-коэффициентов отражают степень однородности источника. Эта простая геометрическая интерпретация позволяет локализовать и охарактеризовать его геометрическую структуру. На основании данного результата получено семейство вейвлетов, которые ведут себя хорошо при гармоническом продолжении. В [112] с помощью вейвлет-преобразования, разработанного в работах [111, 112, 113], авторам удалось обработать аэромагнитные профили на территории Французской Гаваны и реконструировать положение и параметры аномалиеобразущих источников.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хайруллина Наталья Александровна, 2021 год

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Алексидзе, М.А. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиметрии / М.А. Алексидзе - М.: Наука, 1987. - 336 с.

2. Астафьева, Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // Успехи физических наук. - 1996. - № 11. - С. 1145-1170.

3. Бабаянц, П.С. Интерпретационная томография по данным гравиразведки и магниторазведки в пакете программ «СИГМА-3D» / П.С. Бабаянц, Ю.И. Блох, А.А. Трусов // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 31-й сессии Междунар. семинара им. Д.Г. Успенского. - М., 2004. - С. 11.

4. Интерпретация аэрогеофизических данных при поисках месторождений нефти и газа / П.С. Бабаянц, Ю.И. Блох, В.А. Буш, А.А. Трусов // Разведка и охрана недр. - 2006. - № 5. - С. 13-18.

5. Балк, П.И. Смешанный вероятностно-детерминистский подход к решению линейных обратных задач гравиметрии и магнитометрии / П.И. Балк, А.С. Долгаль, А.В. Мичурин // Вопросы теории и практики геологической интерпретации геофизических полей: материалы 38-й сессии Междунар. семинара им. Д.Г. Успенского. - Пермь, 2011. - С. 26-29.

6. Блаттер, К. Вейвлет анализ. Основы теории / К. Блаттер. - М.:Техносфера, 2004. - 280 с.

7. Бойков, И.В. Приближенное решение обратной задачи гравиметрии методом Ньютона-Канторовича / И.В. Бойков, В.Е. Щукина // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1989. - № 11. - С. 67-78.

8. Бойков, И.В. Об итерационных методах решения обратных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки / И.В. Бойков // Геофизический журнал. - 1991. - Т. 13, № 4. - С. 69-75.

9. Болотин, Ю.В. Сферический вейвлет-анализ аэрогравиметрических данных / Ю.В. Болотин, В.С. Вязьмин // Геофизические исследования. - 2012. - Т. 13, № 2. - С. 33-49.

10. Булах, Е.Г. Применение метода минимизации для решения задач структурной геологии по данным гравиразведки / Е.Г. Булах, В.А. Ржаницын, В.Н. Маркова. -Киев: Наукова думка, 1976. - 219 с.

11. Бычков, С.Г. Оценка различий аномалий силы тяжести для плоской и сферической моделей земли / С.Г. Бычков, А.С. Долгаль // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Сборник научных трудов по материалам 46-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского. - 2019. - С. 121-126.

12. Бычков, С.Г. Приближенная 30-оценка гравитационных аномалий, обусловленных шарообразной формой Земли/ С.Г. Бычков, А.С. Долгаль,

B.И. Костицын, А.А. Симанов, В.В. Хохлова // Геофизика. - 2019. - № 5. - С. 5662.

13. Ващилов, Ю.А. Гравиметрическая томография - новое направление изучения твердой оболочки Земли / Ю.А. Ващилов // Доклады РАН. - 1995. - Т. 343, № 4. -

C. 532-536.

14. Воробьев, В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В.И. Воробьев, В.Г. Грибунин. - СПб.: ВУС, 1999. - 204 с.

15. Вязьмин, В.С. Локальное определение аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии с использованием сферического вейвлет-разложения: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.01 / Вязьмин Вадим Сергеевич. - М., 2014. - 108 с.

16. Гобсон, Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций / Е.В. Гобсон. -М.: Изд-во иностр. лит., 1952. - 476 с.

17. Гравиразведка / под ред. Е.А. Мудрецовой. - М. Наука, 1981. - 397 с.

18. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам: пер. с англ. / И. Добеши. - М.: РХД, 2001. - 464 с.

19. Долгаль, А.С. Применение кратномасштабного вейвлет-анализа при аналитических аппроксимациях геопотенциальных полей / А.С. Долгаль, А.А. Симанов // Доклады РАН. - 2008. - Т. 418, № 2. - С. 256-261.

20. Долгаль, А.С. Моделирование геологических объектов и геофизических полей с использованием вейвлетов Хаара / А.С. Долгаль // Вестник Перм. ун-та. Геология. - 2014. - № 4. - С. 66-80.

21. Дьяконов, В.П. MATLAB. Обработка сигналов и изображений: спец. справочник / В.П. Дьяконов, И.В. Абраменкова. - СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

22. Дьяконов, В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В.П. Дьяконов - М.: СОЛОН-Р, 2010. - 448 с.

23. Заморев, А.А. Решение обратной задачи теории потенциала / А.А. Заморев. -Доклады АН СССР. - 1941. - Т. 32, № 8. - С. 546-547.

24. Кризский, В.Н. Вейвлет-анализ данных геоэлектроразведки постоянным током / В.Н. Кризский, И.В. Харитонов // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 35-й сессии Междунар. семинара им. Д.Г. Успенского. - М., 2007. - С. 159-161.

25. Кудря, А.В. Решение обратной задачи гравиметрии по гармоническим моментам гравитационного поля / А.В. Кудря // Доклады АН СССР. - 1972. -Т. 205, № 2. - С. 574-577.

26. Кузнецов, К.М. Трансформации потенциальных полей на основе непрерывного вейвлет-преобразования / К.М. Кузнецов, И.В. Оболенский, А.А. Булычев // Вестник Моск. ун-та. Сер. 4, Геология. - 2015. - № 6. - С. 61-70.

27. Кузнецов, К.М. Анализ площадных потенциальных полей на основе вейвлетов Пуассона / К.М. Кузнецов, А.А. Булычев // Геофизика. - 2017. - № 6. - С. 25-32.

28. Кузнецов, К.М. Вейвлеты Пуассона в задачах обработки площадных потенциальных полей / К.М. Кузнецов, А.А. Булычев // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле. - 2017. - № 4. - С. 72-78.

29. Матвеева, Н.А. Построение формальных решений обратных задач гравиразведки на сфере с использованием «естественных» вейвлет-преобразований / Н.А. Матвеева // Геология в развивающемся мире: сб. науч.

трудов (по материалам VII науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых с междунар. участием). - Пермь, 2012. - Т. 1. - С. 238-242.

30. Матвеева, Н.А. Вейвлет-технология интерпретации геопотенциальных данных, представленных на сферической поверхности / Н.А. Матвеева // Разведка и охрана недр. - 2014. - № 11. - С. 24-27.

31. Матвеева, Н.А. Определение глубинных источников аномалий гравитационного потенциала Земли на основе непрерывного «естественного» вейвлет-преобразования / Н.А. Матвеева, Э.В. Утемов, Д.К. Нургалиев // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 44-й сессии Междунар. семинара им. Д.Г. Успенского. - М., 2017. - С. 256-260.

32. Мартышко, П.С. Технология разделения источников гравитационного поля по глубине / П.С. Мартышко, И.Л. Пруткин // Геофизический журнал. - 2003. - Т. 25, № 3. - С. 159-168.

33. Новоселицкий, В.М. Векторная обработка гравиметрических наблюдений с целью обнаружения и локализации источников аномалий / В.М. Новоселицкий, Г.В. Простолупов // Геофизика и математика. - М., 1999. - С. 104-107.

34. Петрищевский, А.М. Первые приближения к гравитационной томографии: принципиальные подходы, методика и геологические результаты / А.М. Петрищевский // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 30-й сессии Междунар. семинара им. Д.Г. Успенского. - Казань, 2009. - С. 255-258.

35. Петрищевский, А.М. О гравитационной томографии / А.М. Петрищевский // Геофизика. - 2010. - № 2. - С. 71-80.

36. Пугин, А.В. Вейвлеты: новый инструмент интерпретации потенциальных полей / А.В. Пугин // Горное эхо: вестник Горного ин-та УрО РАН. - 2004. - № 3. - С. 20-23.

37. Пугин, А.В. Вейвлеты и вейвлетный подход к решению интерпретационных задач гравиметрии / А.В. Пугин // Международная науч.-практ. конф.-конкурс молодых ученых и специалистов. - СПб., 2005. - С. 236-238.

38. Пугин, А.В. Компьютерные технологии интерпретации полей на основе аналитических аппроксимаций и вейвлет-анализа: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 25.00.10 / Пугин Алексей Витальевич. - Екатеринбург, 2007. - 26 с.

39. Старостенко, В.И. Устойчивые численные методы задач гравиметрии / В.И. Старостенко. - Киев: Наукова думка, 1978. - 226 с.

40. Старостенко, В.И. Обратная задача гравиметрии для контактной поверхности.

I / В.И. Старостенко, Н.Н. Черная, А.В. Черный // Изв. РАН. Физика Земли. -

1992. - № 6. - С. 48-58.

41. Старостенко, В.И. Обратная задача гравиметрии для контактной поверхности.

II / В.И. Старостенко, Н.Н. Черная, А.В. Черный // Изв. РАН. Физика Земли. -

1993. - № 7. - С. 47-56.

42. Старостенко, В.И. Обратная задача гравиметрии для контактной поверхности.

III / В.И. Старостенко, Н.Н. Черная, А.В. Черный // Изв. РАН. Физика Земли. -1993. - № 7. - С. 57-66.

43. Страхов, В.Н. Монтажный метод решения обратной задачи гравиметрии / В.Н. Страхов, М.И. Лапина // Доклады АН СССР. - 1976. - Т. 227, № 2. - С. 344347.

44. Страхов, В.Н. О синтезе разложения внешнего гравитационного потенциала в ряд по шаровым функциям / В.Н. Страхов // Доклады АН СССР. - 1980. - Т. 254, № 4. - С. 839-841.

45. Страхов, В.Н. Методы синтеза рядов по шаровым функциям, представляющих элементы потенциальных полей / В.Н. Страхов, А.Б. Ефимов, М.М. Хохрякова // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1988. - № 5. - С. 41-57.

46. Страхов, В.Н. О решении линейных обратных задач гравиразведки /

B.Н. Страхов, Т.А. Гванцеладзе // Сообщения АН ГССР. - 1989. - Т. 33, № 2. -

C. 289-292.

47. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 153, № 1. - С. 49-52.

48. Тихонов, А.Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода / А.Н. Тихонов // Доклады АН СССР. - 1964. - Т. 156, № 6. - С. 1296-1299.

49. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1974. - 224 с.

50. Утёмов, Э.В. «Естественные» вейвлет-преобразования гравиметрических данных: теория и приложения / Э.В. Утёмов, Д.К. Нургалиев // Изв. РАН. Физика Земли. - 2005. - № 4. - С. 88-96.

51. Утёмов, Э.В. Технология обработки и интерпретации гравиметрических данных на основе «естественного» вейвлет-преобразования / Э.В. Утёмов, Д.К. Нургалиев, Г.С. Хамидуллина // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Естеств. науки. - 2010. - Т. 152, кн. 2. - С. 208-222.

52. Утёмов, Э.В. Применение «естественного» вейвлет-преобразования гравиметрических данных для исследования структуры осадочного чехла и поверхности кристаллического фундамента / Э.В. Утёмов, Д.К. Нургалиев // Нефтяное хозяйство. - 2013. - № 6. - С. 19-23.

53. Христофоров, А.В. Использование вейвлет-анализа для комплексной интерпретации аномалий теплового и гравитационного полей / А.В. Христофоров, И.С. Абросимова, Д.А. Христофорова // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 36-й сессии Междунар. семинара им. Д.Г. Успенского. -Казань, 2009. - С. 125-126.

54. Цирульский, А.В. О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и терхмерных потенциалов / А.В. Цирульский, И.Л. Пруткин // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1981. - № 11. - С. 54-61.

55. Чуи, К. Введение в вейвлеты: пер. с англ. / К. Чуи. - М.: Мир, 2001. - 412 с.

56. Штокаленко, М.Б. Вейвлет-преобразования с физическим смыслом / М.Б. Штокаленко, С.Г. Алексеев // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 34-й сессии Междунар. семинара им. Д.Г. Успенского. - М., 2007. - С. 293-297.

57. Яковлев, А.Н. Введение в вейвлет-преобразования: учеб. пособие / А.Н. Яковлев. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - 104 с.

58. Antoine, J-P. Wavelets on the n-sphere and other manifolds / J-P. Antoine, P. Vandergheynst // J. Math. Phys. - 1998. - № 39. - P. 3987-4008.

59. Antoine, J-P. Wavelets on the 2-sphere: agroup-theoretical approach / J-P. Antoine, P. Vandergheynst // Applied Comput. Harm. Anal. - 1999. - № 7. - P. 262-291.

60. Wavelets on the sphere: implementation and approximations / J-P. Antoine, L. Demanet, L. Jacques, P. Vandergheynst // Applied Comput. Harmon. Anal. - 2002. -№ 13. - P. 177-200.

61. Bentel, K. Combining different types of gravity observations in regional gravity modeling in spherical radial basis functions / K. Bentel, M. Schmidt // VIII Hotine-Marussi Symposium on Mathematical Geodesy, IAG Symposia. - 2016. - Vol. 142. -P. 115-120.

62. Blatter, C. Wavelets - Eine Einführung / C. Blatter. - Braunschweig: VerlagsgesellshaftmbH, 1998. - 178 p.

63. Stereographic wavelet frames on the sphere / I. Bogdanova, P. Vandergheynst, J-P. Antoine, L. Jacques, M. Morvidone // Appl. Comput. Harmon. Anal. - 2005. - Vol. 19. - P. 223-252.

64. Bolotin, Yu.V. Estimation of coefficients of the gravity spherical wavelet transform from airborne gravimetry data / Yu.V. Bolotin, V.S. Vyazmin // Proceedings of IAG International symposium on terrestrial gravimetry: static and mobile measurements (TG-SMM 2013). - St. Petersburg, 2014. - P. 84-88.

65. Wavelet frames: an alternative to spherical harmonic representation of potential fields / A. Chambodut, I. Panet, M. Mandea, M. Diament, M. Holschneider, O. Jamet // Geophys. J. Int. - 2005. - Vol. 163. - P. 875-899.

66. Chui, C.K. An introduction to wavelets / C.K. Chui. - San Diego: Academic Press, 1992. - 366 p.

67. Daubechies, I. Ten lectures on wavelets / I. Daubechies. - Philadelphia: SIAM, 1992. - 367 p.

68. Doornbos, D.J. Models of the core-mantle boundary and the travel times of internally reflected core phases / D.J. Doornbos, T. Hilton // J. Geophys. Res. - 1989. -Vol. 94 (B11). - P. 15741-15751.

69. The latest combined global gravity field model including GOCE data up to degree and order 2190 of GFZ Postdam and GRGS Toulouse / Ch. Forste, S.L. Bruinsma, O. Abrikosov, J.-M. Lemoine, T. Schaller, H.-J. Gotze, J. Ebbing, J.C. Marty, F. Flechtner, G. Balmino, R. Biancale. - Text: electronic // 5th GOCE User Workshop. - Paris, 2014. - URL: http://icgem.gfz-potsdam.de/ ICGEM/documents/Foerste-et-al-EIGEN-6C4.pdf (accessed: 26.06.2021).

70. Fengler, M.J. The Kaiserslautern multiscalegeopotential model SWITCH-03 from orbit pertubations of the satellite CHAMP and its comparison to the models EGM96, UCPH2002_02_0.5, EIGEN-ls and EIGEN2 / M.J. Fengler, W. Freeden, V. Michel // Geophysical Journal International. - 2003. - Vol. 157. - P. 499-514.

71. Fengler, M.J. Multiscale modelling from EIGEN-1s, EIGEN-2, EIGEN-GRACE01S, GGM01, UCPH2002-0.5, EGM96 / M.J. Fengler, W. Freeden, M. Gutting. - Text: electronic // Proc. Second International GOCE User Workshop «GOCE, The Geoid and Oceanography». - Frascati, Italy, 2004. - URL: https://earth.esa.int/goce04/goce_proceedings/38_fengler.pdf (accessed: 26.06.2021).

72. Fengler, M.J. The spherical Bernstein wavelet / M.J. Fengler, W. Freeden, M. Gutting // International Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2006. - Vol. 31, № 2. - P. 209-230.

73. Wavelet modelling of regional and temporal variations of the Earth's gravitational potential observed by GRACE / M.J. Fengler, W. Freeden, A. Kohlhaas, V. Michel, T. Peters // J Geodesy. - 2007. - Vol. 81. - P. 5-15.

74. Freeden, W. On approximation by harmonic splines / W. Freeden // Manuscr. Geodaet. - 1981. - Vol. 6. - P. 193-244.

75. Freeden, W. On spherical spline interpolation and approximation / W. Freeden // Math. Methods Appl. Sci. - 1981. - Vol. 3. - P. 551-575.

76. Freeden, W. Spherical spline interpolation-basic theory and computational aspects / W. Freeden // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1984. - Vol. 11. -P. 367-375.

77. Freeden, W. Orthogonal and non-orthogonal multire solution analysis, scale discrete and exact fully discrete wavelet transform on the sphere / W. Freeden, M. Schreiner // Constr. Approx. - 1998. - Vol. 14. - P. 493-515.

78. Freeden, W. Constructive approximation on the sphere (with applications to geomathematics) / W. Freeden, T. Gervens, M. Schreiner. - Oxford: Clarendon Press, 1998. - 427 p.

79. Freeden, W. Wavelet approximation on closed surfaces and their application to boundary - value problems of potential theory / W. Freeden, F. Schneider// Math. Meth. in the Appl. Sci. - 1998. - Vol. 21. - P. 129-165.

80. Freeden, W. Multiscale modelling of spaceborne geodata / W. Freeden. - Teubner, Stuttgart, 1999. - 351 p.

81. Freeden, W. Constructive approximation and numerical methods in geodetic research today - an attempt at a categorization based on an uncertainty principle / W. Freeden, V. Michel // J Geodesy. - 1999. - Vol. 73. - P. 452-465.

82. Freeden, W. Multiresolution analysis by spherical up functions / W. Freeden, M. Schreiner // Constructive Approximation. - 2006. - Vol. 23, Issue 3. - P. 241-259.

83. Freeden, W. Multiscale potential theory (with applications to geoscience) / W. Freeden, M. Schreiner. - Boston: Birkhauuser Verlag, 2004. - 509 p.

84. Freeden, W. Wavelets by use of layer potentials on regular surfaces and their applications to boundary-value problems / W. Freeden // VI Hotine-Marussi Symposium on Theoretical and Computational Geodesy: Challenge and Role of Modern Geodesy. - Wuhan, 2006.

85. Classical globally reflected gravity field determination in modern locally oriented multiscale framework / W. Freeden, T. Fehlinger, M. Klug, D. Mathar, K. Wolf // J. of Geodesy. - 2009. - Vol. 83, № 12. - P. 1171-1191.

86. Jackson, M.J. On the distribution of anomalous mass within the Earth: forward models of the gravitational potential spectrum using ensembles of discrete mass elements / M.J. Jackson, H.N. Pollack, S.T. Sutton // Geophysical Journal International. - 1991. - Vol. 107, Issue 1. - P. 83-94.

87. Garcia, R. Amplitude of the core-mantle boundary topography estimated by stochastic analysis of core phases / R. Garcia, A. Souriau // Phys. Earth Planet. Int. -2000. - Vol. 117. - P. 345-359.

88. Grossmann, A. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape / A. Grossmann, J. Morlet // SIAM Journal of Analysis. - 1984. -P. 723-736.

89. Gudmundsson, O. Core mantle boundary topography inferred from ISC PcP travel times / O. Gudmundsson, R.W. Clayton, D.L. Anderson // Trans. Am. Geophys. Union.

- 1986. - Vol. 68. - P. 1100.

90. Guilloux, F. Practical wavelet design on the sphere / F. Guilloux, G. Fay, J-F. Cardoso // Applied and Computational Harmonic Analysis. - 2008. - Vol. 26, № 2. -P. 143-160.

91. Hayna, M. Directional spherical multipole wavelets / M. Hayna, M. Holschneider // Journal of mathematical physics. - 2009. - Vol. 50, № 7. - P. 073512-11.

92. Hobson, E.W. The theory of spherical and ellipsoidal harmonics / E.W. Hobson. -Cambridge: University press, 1931. - 514 p.

93. Holschneider, M. Wavelet analysis on the circle / M. Holschneider // J. Math. Phys.

- 1990. - Vol. 31. - P. 39-44.

94. Holschneider, M. Wavelets: an analysis tool / M. Holschneider. - Oxford: Oxford Sciences Publ., 1995. - 448 p.

95. Holschneider, M. Wavelet analysis on the sphere / M. Holschneider // J. Math. Phys.

- 1996. - Vol. 37 (8). - P. 4156-4165.

96. Holschneider, M. From global to regional analysis of the magnetic field on the sphere using wavelet frames / M. Holschneider, A. Chambodutb, M. Mandea // Physics of the Earth and Planetary Interiors. - 2003. - Vol. 135. - P. 107-124.

97. Hornby, P. Analysis of potential field data in the wavelet domain / P. Hornby, F. Boschetti, F.G. Horowitz // Geophys. J. Int. - 1999. - Vol. 137. - P. 175-196.

98. Howard, L. Wavelet analysis: the scalable structure of information / L. Howard, O. Raymound. - N. Y.: Springer-Verlag, 1998. - 435 p.

99. International Centre for Global Earth Models (ICGEM). - Text: electronic. - URL: http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/ (accessed: 26.06.2021).

100. Kaiser, G. A friendly guide to wavelets / G. Kaiser. - Boston: Birkhauser, 1994. -300 p.

101. Mallat, S.G. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S.G. Mallat // IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence. - 1989. - Vol. 11. - P. 674-693.

102. Matveeva, N. «Native» wavelet transform data obtained on spherical Earth's surface / N. Matveeva, E. Utemov, D. Nurgaliev // 14th International Multidisciplinary Scientific Geoconference and EXPO, SGEM. - Bulgaria, 2014. - Vol. 1 (1). - P. 383389.

103. Matveeva, N. Solutions of inverse problem of gravimetry on the sphere using «native» wavelet transform / N. Matveeva, E. Utemov, D. Nurgaliev // 14th International Multidisciplinary Scientific Geoconference and EXPO, SGEM. -Bulgaria, 2014. - Vol. 1 (1). - P. 621-628.

104. Matveeva, N. «Native» wavelet transform for solution inverse problem of gravimetry on the spherical manifold / N. Matveeva, E. Utemov, D. Nurgaliev // 15th International Multidisciplinary Scientific Geoconference and EXPO, SGEM. -Bulgaria, 2015. - Vol. 3. - P. 1067-1074.

105. Matveeva, N. The «native» wavelet transform for solving the inverse problem of gravimetry on a spherical manifold / N. Matveeva, E. Utemov, D. Nurgaliev // Proceedings of IAMG 2015. The 17th annual conference of the International Association for Mathematical Geosciences Freiberg. - Germany, 2015. - P. 528-539.

106. Matveeva, N. «Native» wavelet transform for solving gravimetry inverse problem on the sphere / N. Matveeva (Khairullina), E. Utemov, D. Nurgaliev // Practical and Theoretical Aspects of Geological Interpretation of Gravitational, Magnetic and Electric Fields: Proceedings of the 45th Uspensky International Geophysical Seminar. - Kazan, 2019. - P. 163-169.

107. McEwen, J.D. A directional continuous wavelet transform on the sphere / J.D. McEwen, M.P. Hobson, A.N. Lasenby. - Text: electronic // IEEE transactions on

signal processing. - ArXiv, 2006, astro-ph/0609159. - URL: https://archive.org/details/arxiv-astro-ph0609159/mode/2up (accessed: 26.06.2021).

108. Fast directional continuous spherical wavelet transform algorithms / J.D. McEwen, M.P. Hobson, D.J. Mortlock, A.N. Lasenby // IEEE Trans. Sig. Proc. - -2007. - Vol. 55, Issue 2. - P. 520-529.

109. Meyer, Y. Wavelets and operators / Y. Meyer. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992. - 240 p.

110. Co-seismic and post-seismic signatures of the Sumatra December 2004 and March 2005 earthquakes in GRACE satellite gravity / I. Panet, V. Mikhailov, M. Diament, F. Pollitz, G. King, O. de Viron, M. Holschneider, R. Biancale, J.-M. Lemoine. - DOI 10.1111/j.1365-246X.2007.03525.x // Geophys. J. Int. - 2007. -Vol. 171. - P. 177-190.

111. Wavelet analysis of potential fields / F. Moreau, D. Gibert, M. Holschneider, G. Saracco // Inverse problems. - 1997. - № 13. - P. 165-178.

112. Indetification of sources of potential fields with continuous wavelet transform: Basic theory / F. Moreau, D. Gibert, M. Holschneider, G. Saracco // J. Geophys. Res. -1999. - № B3. - P. 5003-5013.

113. Identification of sources of potential fields with the continuous wavelet transform: complex wavelets and application to aeromagnetic profiles in French Guiana / P. Sailhac, A. Galdeano, D. Gibert, F. Moreau, C. Delor // Journal of geophysical research. - 2000. - Vol. 105, № B8. - P. 19455-19475.

114. Morelli, A. Topography of the core-mantle boundary and lateral homogeneity of the liquid core / A. Morelli, A.M. Dziewonski // Nature. - 1987. - Vol. 325. - P. 678683.

115. Paul, T. Functions analytic on the half-plane as quantum mechanical states / T. Paul // J. Math. Phys. - 1984. - Vol. 25, Issue 11. - P. 3252-3263.

116. Pollack, H.N. Spherical harmonic representation of the gravitational potential of a point mass, a spherical cap, and a spherical rectangle / H.N. Pollack // Journal of geophysical research. - 1973. - Vol. 78, Issue 11. - P. 1760-1768.

117. Prutkin, I. Gravitational and magnetic models of the core-mantle boundary and their correlation / I. Prutkin // Journal of Geodynamics. - 2008. - Vol. 45, Issues 2, 3. -P. 146-153.

118. Rizos, C. An efficient computer technique for the evaluation of geopotential from spherical harmonics / C. Rizos // Aust. J. Geodesy and Surveying. - 1979. □- № 31. -P. 161-169.

119. Wavelets on the sphere. application to the detection problem / J.L. Sanz, D. Herranz, M. Lopez-Caniego, F. Argueso. - Text: electronic // 14th European Signal Processing Conference. - ArXiv, 2006, astro-ph/0609351. - URL: https://archive.org/details/arxiv-astro-ph0609351 (accessed: 26.06.2021).

120. Schmidt, M. On the estimation of a multi-resolution representation of the gravity field based on spherical harmonics and wavelets / M. Schmidt, O. Fabert, C.K. Shum // Journal of Geodynamics. - 2005. - Vol. 39, № 5. - P. 512-526.

121. Sutton, S.T. Spherical harmonic representation of the Gravitational potential of discrete spherical mass elements / S.T. Sutton, H.N. Pollack, M.J. Jackson // Geophysical Journal International. - 1991. - Vol. 107, Issue 1. - P. 77-82.

122. Tscherning, C.C. Computation of second order derivateves of the normal potential on the representation by a Legendre series / C.C. Tscherning // Manusripta Geodaetica. - 1976. - Vol. 1. -P. 71-92.

123. Tscherning, C.C. A comparison of methods for computing gravimetric qualities from high degree spherical harmonic expansions / C.C. Tscherning, R.H. Rapp, C.C. Goad // Manuscripta Geodaetica. - 1983. - Vol. 8. - P. 246-272.

124. Utemov, E. Processing and interpretation of gravimetric data based on «native» continuous wavelet transform / E. Utemov, D. Nurgaliev, N. Matveeva // Science and technologies in geology, exploration and mining conference proceedings. - 2014. -Vol. 1. - P. 553-564.

125. Upper mantle rheology from GRACE and GPS postseismic deformation after the 2004 Sumatra-Andaman earthquake / I. Panet, F. Pollitz, V. Mikhailov, M. Diament, P. Banerjee, K. Grijalva. - DOI 10.1029/2009GC002905 // Geochemistry, Geophysics, Geosystems. - 2010. - Vol. 11. - Art. Q06008.

126. Сравнительный анализ временных вариаций глобального гравитационного поля по данным спутников Грейс в областях трех недавних гигантских землетрясений / В.О. Михайлов, И. Пане, М. Хаен, Е.П. Тимошкина, С. Бонвало,

B. Ляховский, М. Диаман, О. Девирон // Изв. РАН. Физика Земли. - 2014. - № 2. -

C. 29-40.

СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ

Рисунок 1.1. а) коэффициенты вейвлет-пребразования от двумерного точечного гравитационного источника; b) потенциальное поле-источник. Выкопировка из Indetification of sources of potential fields with continuous wavelet transform: Basic theory. F. Moreau, D. Gibert, M. Holschneider, G. Saracco, 1999. Рисунок 2.1. (А) Гравитационное поле двумерного аномалиеобразующего источника, залегающего на глубине 5 км; (В) вейвлет-преобразование с «естественным» базисом у(4) при n=4.

Рисунок 2.2. Блок-схема, демонстрирующая технику восстановления причинных источников.

Рисунок 2.3. Реконструкция трех двумерных точечных источников с использованием вейвлет-преобразования. (А) - общее гравитационное поле и (В) - «родной» вейвлет-спектр. На (В) в кругах указаны начальные местоположения источников и черные точки - окончательные позиции.

Рисунок 2.4. Результат восстановления параметров 2 двумерных точечных источников, находящихся на глубине друг под другом по вейвлет-спектру; (B) их поля силы тяжести (A).

Рисунок 2.5. Результат реконструкции параметров семи трехмерных аномалиеобразующих источников.

Рисунок 3.1. Модель двумерного точечного источника (М2) на круговом цилиндре.

Рисунок 3.2. А: потенциальное поле одного источника на круговом цилиндре (1) и 2лК-периодический набор источников на плоскости (2);

Б: единичный источник на круговом цилиндре на глубине 3000км (1), 2nR -периодический набор источников плоской модели на глубине 4055км (2). Рисунок 3.3. Вейвлет-преобразование на круговом цилиндре на примере трех причинных источников. Сверху вниз:

развертка потенциала от трех источников на цилиндре; непрерывное вейвлет-преобразование на плоскости; поле вейвлет-коэффициентов после коррекции глубин по формуле (3.8); пересчитанное поле вейвлет-коэффициентов на круговой цилиндр. Моделированные источники отмечены окружностями, а точки указывают местоположение источников обратного решения.

Рисунок 4.1. Сравнение потенциального поля 2лК-периодического набора источников на круговом цилиндре и сфере.

Рисунок 4.2. Материнский вейвлет для трехмерного сферического случая. Рисунок 4.3. 4 точечных источника, находящиеся на одинаковой глубине залегания 1000 м и одинаковой массы без пересчета глубин.

Рисунок 4.4. 4 точечных источника, находящиеся на одинаковой глубине залегания 1000 м и одинаковой массы с пересчетом глубин. Рисунок 4.5. Широтная зависимость контура интегрирования на сфере. Рисунок 4.6. «Естественный» вейвлет-спектр гравитационного потенциала двух трехмерных точечных источников, расположенных на глубине 500 км и 3000 км (друг под другом). Окружность обозначает априорные источники моделирования, черные точки - вычисленные местоположения источников.

Рисунок 4.7. 10 трехмерных источников на различной глубине, сгенерированных случайным образом.

Рисунок 4.8. Линейное отклонение полученных местоположений и параметров источников от заданных.

Рисунок 5.1. Гравитационный потенциал Земли.

Рисунок 5.2. Вейвлет-срез, соответствующий глубине 50 км.

Рисунок 5.3. Вейвлет-срез, соответствующий глубине 150 км.

Рисунок 5.4. Вейвлет-срез, соответствующий глубине 1000 км.

Рисунок 5.5. Вейвлет-срез, соответствующий глубине 3500 км.

Рисунок 5.6. Сравнение гравитационных моделей на границе ядро-мантия,

полученных с помощью сферического разложения и вейвлет-преобразования.

Рисунок 5.7. Эффект изостатической компенсации Антарктиды. Вейвлет-преобразование с масштабными параметрами 50 км (слева) и 150 км (справа). Рисунок 5.8. Распределение аномалиеобразующих источников. Синим цветом отображены отрицательные аномалии, красным- положительные. Размер окружности показывает относительную мощность источника. Рисунок 5.9. Распределение аномалиеобразующих источников по глубине залегания. Размер окружности характеризует глубину залегания, чем глубже располагается источник, тем больше радиус окружности. Рисунок 5.10. Стандартное отклонение вейвлет-коэффициентов в зависимости от масштаба параметра.

СПИСОК ТАБЛИЦ

Таблица 4.1. Модельные данные двух точечных источников Таблица 4.2. Полученные данные двух точечных источников Таблица 4.3. Модельные данные десяти рандомных точечных источников. Таблица 4. 4. Полученные данные десяти рандомных точечных источников. Таблица 5.1. Основные характеристики EIGEN-6C4