Методика многокритериальной оптимизации управления движением космического аппарата при спуске в атмосфере планеты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат наук Орлов Дмитрий Александрович

• Орлов Дмитрий Александрович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Орлов Дмитрий Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КА ПРИ СПУСКЕ В АТМОСФЕРАХ ПЛАНЕТ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ СПУСКАЕМОГО КА

1.1. Состояние исследований в области оптимизации управления движением КА в атмосферах планет

1.1.1. Космические миссии к Марсу и Юпитеру

1.1.2. Анализ проблемных вопросов управления КА при спуске в атмосферах планет

1.1.2.1. Состояние исследований задач спуска КА в атмосферах планет

1.2. Математическая модель движения КА в атмосферах планет

1.2.1. Уравнения движения КА в атмосфере

1.2.1.1. Уравнения движения КА в атмосфере Марса

1.2.1.2. Уравнения движения КА в атмосфере Юпитера

1.2.2. Модели атмосферы

1.2.2.1. Модель атмосферы Марса

1.2.2.2. Модель атмосферы Юпитера

1.2.3. Аэродинамический нагрев поверхности КА

1.2.4. Аэродинамические характеристики КА

1.2.5. Модель гравитационного поля

1.3. Постановка задачи оптимального управления КА при спуске в атмосфере планеты

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КА ПРИ СПУСКЕ В АТМОСФЕРЕ ПЛАНЕТЫ

2.1. Основные положения методики решения оптимизационной задачи управления движением КА в атмосфере планеты

2.2. Алгоритм решения краевой задачи при минимизации конечной скорости спускаемого КА

2.3. Выбор оптимального управления КА при различных критериях оптимальности

2.3.1. Минимизация конечной скорости КА при спуске в атмосфере Марса

2.3.2. Рекомендации по выбору проектно-баллистических характеристик КА при спуске в атмосфере Марса

2.3.3. Минимизация предельных значений температуры и перегрузки при спуске в атмосфере Марса

2.3.4. Максимизация коридора входа спускаемого КА в атмосферу планеты

2.3.5. Особенности формирования требований к построению алгоритмов управления КА при спуске в атмосфере Марса

2.3.6. Минимизация суммарного теплового потока при спуске в атмосфере Юпитера

2.3.7. Минимизация предельной температуры при спуске в атмосфере Юпитера

2.3.8. Особенности формирования требований к построению алгоритма управления спуском КА в атмосфере Юпитера

2.4. Применение популяционных алгоритмов в многокритериальной оптимизации

2.4.1. Формулировка задачи многокритериальной оптимизации и методика её решения

2.4.2. Поиск оптимального управления с применением Парето-аппроксимации

2.4.2.1. Постановка задачи Парето-аппроксимации

2.4.2.2. Двухкритериальная задача оптимизации

2.4.3. Алгоритм построения Парето-фронта

2.5. Формулировка задачи многокритериальной оптимизации спуска и посадки КА на поверхность планеты в условиях воздействия возмущений

2.6. Формулировка задачи многокритериальной оптимизации спуска КА на поверхность планеты в условиях неопределённости параметров движения

2.7. Алгоритм управления спуском КА в атмосфере Марса при использовании рикошетирующих траекторий

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

СПУСКОМ КА В АТМОСФЕРАХ ПЛАНЕТ

3.1. Программно-моделирующий комплекс оптимизации спуском КА в атмосферах планет

3.1.1. Программно-моделирующий комплекс оптимизации спуском КА в атмосфере Марса

3.1.2. Программно-моделирующий комплекс оптимизации спуском КА в атмосфере Юпитера

3.2. Выбор оптимальных параметров движения КА в решении многокритериальной задачи управления движением КА при разных условиях движения КА в атмосфере планет

3.3. Выбор оптимальных по Парето-аппроксимации решений многокритериальной задачи из числа рассчитанных траекторий спуска КА в атмосферах планет

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальности и степень разработанности темы исследования

Анализ программ изучения космоса во многих странах, в том числе в России, показал, что к основным тенденциям развития космической деятельности следует отнести значительное расширение состава орбитальных группировок космических аппаратов (КА) различных типов и назначений, усложнение спектра решаемых ими задач, активизацию программ космических миссий по исследованию планет и иных тел Солнечной системы с использованием спускаемых и орбитальных модулей. Осуществление таких программ сопряжено с увеличением финансовых затрат и повышением трудоемкости проектирования космических комплексов. В этих условиях на первый план выдвигается проблема обеспечения высокого уровня эффективности, надежности, безопасности, оперативности проведения дорогостоящих и трудозатратных космических экспедиций. Указанная проблема имеет комплексный характер и предполагает проведение исследований по ряду научно-технических дисциплин: баллистике, навигации, аэродинамике, теплотехнике, энергетике и др. При этом одним из основных факторов, в значительной мере определяющих эффективность выполнения программ полета, является построение и реализация оптимальных траекторий движения КА в сочетании с принятием корректных и оперативных управленческих решений в различных полетных условиях, в том числе при возникновении нештатных ситуаций.

Существенные проблемы, которые возникали при осуществлении космических миссий, заключались в потере связи, возникновении бортовых ошибок, сбоях программного обеспечения при приземлении и т.д. Еще одним проблемным вопросом проектирования экспедиций в дальних космос является организация эффективного управления, в том числе при отработке оптимальных траекторий движения КА в условиях значительной его удаленности от наземных станций, что вызывает неопределенность полётной ситуации.

Для осуществления оптимального (или, по крайней мере, рационального) управления перспективными КА при проектировании космических миссий необходимо решение ряда новых задач. Одной из таких задач является разработка рациональных стратегий управления КА в атмосфере планеты. Эта задача сопряжена с проведением многокритериальной оптимизации и, следовательно, с усовершенствованием методологии оптимального управления с учетом множественных ограничений.

Обязательным условием проектирования высокоэффективных технологий управления полетом КА является обеспечение возможности реализации режимов полета, близких к оптимальным. Это предопределяет необходимость предварительного решения вариационных задач нахождения оптимальных траекторий движения КА. Практика исследования

вариационных задач программного управления показывает, что теоретической основой их решения принципиально может являться математическая теория оптимальных процессов, основанная на принципе максимума Понтрягина [58, 60, 61, 84], позволяющем сформировать необходимые условия оптимальности для решения задач управления различного вида объектами. Основным достоинством принципа максимума Понтрягина по сравнению с другими методами классического вариационного исчисления является то, что с его применением обеспечивается возможность формализованного и в высокой степени стандартизованного представления аналитических зависимостей для определения управляющих функций и формирования необходимых условий оптимальности для решения задач управления различными объектами.

При исследовании вопросов, связанных с поиском оптимального управления КА при спуске в атмосферах планет [59, 32-44], рассматривается только однопараметрическое управление КА углом крена на основе упрощенных математических моделей движения КА в атмосфере [33, 37-39, 41, 42]. Оптимальные решения, полученные по одному из критериев, будут не только не оптимальными, но и не рациональными по другим критериям. Так, управление, реализующее минимум конечной скорости КА в атмосфере, что соответствует наименее энергозатратному режиму работы системы мягкой посадки (СМП), не позволяет обеспечить значения суммарных тепловых потоков, близких к минимально возможным, что может привести к чрезмерному прогреву и разрушению системы теплозащитного покрытия корпуса КА.

КА - сложная техническая система, и необходимо оценивать состояние такой системы по нескольким критериям. В данной работе состояние КА оценивается по нескольким критериям качества управления в условиях неопределенности. Параметры атмосферы значительно меняются в зависимости от времени года, времени суток, наличию пылевых бурь (установлено, что пылевые бури значительно меняют плотность атмосферы Марса [92]) т.д. В условиях неопределенности возникает необходимость в постановке многокритериальной задачи выбора возможных альтернатив для управляющих воздействий (оптимального управления) и объединения несколько задач (которые решаются поэтапно) в одну. Результатом выбора будет считаться нахождение единственного Парето-эффективного решения или сокращение возможных альтернатив (сужение области поиска).

Проблема оптимизации в такой постановке заключается в том, что детерминированные методы неприменимы, они не обеспечивают требуемой точности. Нужен новый, альтернативный, подход - использование популяционных методов глобальной оптимизации [85-91] с алгоритмом поиска при неопределенных условиях [92].

Необходимо сформулировать и решить задачу многокритериальной оптимизации

управления движением КА в атмосферах планет, результатом которой будет выбор оптимальной программы управления КА и, как следствие, определение оптимальной траектории полета КА, удовлетворяющей нескольким критериям оптимальности.

Объектом диссертационного исследования является процесс управления движением КА, предметом - методический и программно-алгоритмический аппарат оптимизации управления движением КА на участке его полета в атмосфере планеты.

Целью исследования является повышение эффективности применения автоматически управляемых КА и безопасности их посадки на поверхность планеты за счет многокритериальной оптимизации управления движением КА на аэродинамическом участке.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Формирование общего методического подхода к решению задачи оптимального управления движением КА при спуске в атмосфере планеты, основанный на принципе максимума Л.С. Понтрягина, с использованием различных критериев оптимальности, краевых условий и ограничений, включая новый подход к решению краевой задачи.

2. Постановка задачи многокритериальной оптимизации управления движением КА при спуске в атмосфере планеты с использованием рикошетирующих траекторий на основе аналитического определения программы управления, параметров движения КА и множества Парето-оптимальных решений.

3. Разработка методического и программно-алгоритмического аппарата многокритериальной оптимизации управления движением КА при спуске в атмосфере планеты.

4. Создание программно-моделирующего комплекса оптимального управления спуском КА в атмосферах Марса и Юпитера.

5. Проведение расчетов с использованием созданного программно-моделирующего комплекса, анализ полученных результатов и выдача рекомендаций по выбору проектно-баллистических характеристик КА и требований к построению алгоритмов управления КА, осуществляющих спуск в атмосферах Марса и Юпитера.

Методы исследований базировались на использовании теории оптимального управления, теории космического полёта, управление движением автоматических КА, методов глобальной оптимизации, теории исследования нелинейных систем уравнений.

Достоверность полученных результатов определяется применением автором известных апробированных методов и подтверждается совпадением отдельных результатов, полученных для частных случаев, с подтвержденными результатами иных известных работ.

Научную новизну диссертационной работы составляют следующие результаты:

1. Универсальная методика нахождения оптимального управления движением КА при спуске в атмосферах планет, основанная на использовании упрощения исходных

математических моделей движения КА на атмосферных участках, формировании функциональных связей между фазовыми координатами и сопряженными переменными, интегрировании преобразованных уравнений и составлении аналитических зависимостей для определения структуры управления и расчета траекторий движения КА.

2. Математическая модель движения КА в атмосфере Юпитера, учитывающая унос масс теплозащитного покрытия и позволяющая определять оптимальную траекторию полета по критериям минимального суммарного теплового потока и минимальной максимальной температуры для различных аэродинамических форм и проектных характеристик спускаемых аппаратов.

3. Алгоритм оптимального управления движением КА при спуске в атмосферах Марса (минимизация скорости до ввода в действие СМП) и Юпитера (минимизация максимальной температуры и суммарных тепловых потоков) с использованием рикошетирующих траекторий, позволяющий сократить расход топлива на осуществление мягкой посадки на поверхность Марса и выработать рекомендации к выбору формы КА, баллистических схем спуска в атмосфере Юпитера. Предложенный алгоритм позволяет «захватить» КА атмосферой планеты при пологих углах входа для КА типа «космический самолет» и «несущий корпус».

4. Методика решения многокритериальной задачи оптимизации управления движением КА при спуске в атмосферах Марса и Юпитера в условиях несовместимости частных критериев оптимальности, основанная на множестве Парето-оптимальных решений.

Практическая значимость работы заключается в том, что многокритериальный подход, предложенный для решения оптимизационных задач управления движением КА в атмосферах планет, позволяет формировать управление и рассчитывать траектории в условиях неопределённости параметров движения КА, разброса параметров входа КА в атмосферу. Созданный программно-моделирующий комплекс планируется использовать на практике для расчёта оптимального управления спускаемым КА в атмосферах Марса и Юпитера.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методический подход к решению задачи оптимального управления движением КА при спуске в атмосфере планеты, основанный на принципе максимума Л.С. Понтрягина, с использованием различных критериев оптимальности, краевых условий и ограничений, включая новый подход к решению краевой задачи.

2. Методика многокритериальной оптимизации управления движением КА при спуске в атмосфере планеты с использованием рикошетирующих траекторий на основе аналитического определения программы управления и параметров движения КА, а также на основе множества Парето-оптимальных решений.

3. Программно-моделирующий комплекс расчёта оптимального управления КА в атмосферах Марса и Юпитера.

4. Результаты математического моделирования спуска КА в атмосферах Марса и Юпитера, рекомендации по выбору проектно-баллистических характеристик КА и требований к построению алгоритмов управления спускаемым КА в атмосферах Марса и Юпитера.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика многокритериальной оптимизации управления движением космического аппарата при спуске в атмосфере планеты»

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 10 международных и всероссийских конференциях:

1. Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава и аспирантов московского государственного университета леса по итогам научно-исследовательских работ за 2015 год (г. Мытищи, 26-28 января 2016 г.).

2. XLII международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (г. Москва, МАИ, 12-15 апреля 2016 г.).

3. XLIII международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (г. Москва, МАИ, 5-19 апреля 2017 г.).

4. VII научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов Центра управления полетов памяти В.И. Лобочева (г. Королев, ФГУП ЦНИИмаш, 4-7 апреля 2017 г.).

5. 3rd IAA Conference on Dynamics and Control of Space Systems (DYCOSS 2017) (Москва, РУДН, 30 мая - 1 июня 2017 г.).

6. Научно-практическая конференция «Космонавтика и ракетостроение: взгляд в будущее» (г. Королев, ФГУП ЦНИИмаш, 13 мая 2016 г.).

7. VIII научная конференция молодых ученых и специалистов Центра управления полётами (г. Королев, ФГУП ЦНИИмаш, 3-6 апреля 2018 г.).

8. XX международная научно-техническая конференция учащихся, студентов, аспирантов и молодых ученых «Наукоёмкие технологии и интеллектуальные системы-2018» (г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 25 апреля 2018 г.).

9. Международная конференция «Системный анализ, управление и навигация» (г. Евпатория, Крым, 1-8 июня 2018 г.).

10. IX научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов Центра управления полётами (г. Королев, ФГУП ЦНИИмаш, 4-7 апреля 2019 г.).

Публикации

Основные положения диссертации изложены в 1 5 научных трудах, включая 2 статьи - в изданиях из перечня международной БД Scopus, 4 статьи - в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Иллюстративный материал диссертации включает 45 рисунков и 9 таблиц. Список литературы содержит 121 наименование. Объем диссертации - 129 страниц.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КА ПРИ

СПУСКЕ В АТМОСФЕРАХ ПЛАНЕТ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ

СПУСКАЕМОГО КА

1.1. Состояние исследований в области оптимизации управления движением КА в

атмосферах планет

1.1.1. Космические миссии к Марсу и Юпитеру

В условиях планируемого повышения интенсивности исследования космического пространства, расширения и усложнения задач космических миссий, важное значение приобретает проблема определения и обоснования рациональных технологий управления КА различного типа и назначения.

Большое внимание в международных проектах исследования космоса уделяется организации космических миссий к Марсу и Юпитеру, что вызывает необходимость в разработке эффективных технологий управления орбитальными и посадочными модулями.

США, Китай, страны Европы активизируют работы по подготовке полетов к Луне, Марсу, другим планетам Солнечной системы. Российской Федерации также необходимо активизировать участие в исследовании дальнего космоса, создавать опережающий научно-технический задел для разработки методологии и технологии осуществления таких космических миссий.

Одним из наиболее важных направлений космической деятельности является реализация космических проектов с целью расширения знаний о Земле и происхождении жизни, о Солнечной системе и Вселенной, проведения фундаментальных исследований в областях астрофизики и планетологии. Практическая значимость проведения таких исследований определяется тем, что развитие космической промышленности будет в значительной степени способствовать созданию новых наукоемких технологий и их применению в других сферах деятельности (металлургии, машиностроении, приборостроении и др.). Предполагается подготовка и проведение космических миссий к Марсу, Венере, Юпитеру, Меркурию. Управление КА при полетах к этим планетам требует учета специфических особенностей, характерных для реализации каждой космической миссии: выбор рациональных схем межпланетных перелетов с учетом осуществления гравитационных маневров в окрестностях небесных тел, условий входа КА в атмосферу, управление на участках аэродинамического торможения и т.д. [1, 2].

В этих условиях чрезвычайно важной становиться проблема разработки, обоснования и реализации технологий рационального управления перспективными КА.

К настоящему времени мягкую посадку на поверхность Марса осуществили автоматические КА 2-х стран: СССР (Марс-3 1971 г.) и США (Викинг-1 1976 г., Викинг-2 1976 г., «Спирит» 2004 г., «Оппортьюнити», Кьюриосити (Mars Science Laboratory) 2012 г., «Pathfinder» 2004 г., Phoenix 2007 г, InSight 2018 г.). Планируется запуск в 2022 году спускаемого аппарата российско-европейской миссии «Exomars».

Реализованными миссиями по изучению Юпитера являются миссия КА «Галилео» (19952003 гг.) и миссия КА «Юнона» (с 2016 г. по настоящее время). Из перспективных миссий к Юпитеру следует отметить программу «Europa Jupiter System Mission», которая является совместным проектом НАСА/ESA, нацеленным на изучение Юпитера и его спутников.

Таким образом, наиболее важными и одновременно наиболее сложными являются миссии, в которых реализуется мягкая посадка КА на поверхность Марса. А для исследования Юпитера являются важными те миссии, в которых выведение на орбиту искусственного спутника Юпитера (ИСЮ) предполагает предварительное торможение в атмосфере этой планеты. Изучение атмосферы Юпитера (ниже облаков, ядра Юпитера и т.д.) можно осуществлять с помощью малых КА, запускаемых с борта КА, находящемуся на орбите ИСЮ.

1.1.2. Анализ проблемных вопросов управления КА при спуске в атмосферах планет

Рассмотрим основные возможные схемы полета к Марсу и Юпитеру беспилотных КА, в которых предусмотрено движение в атмосфере планеты. Для решения задач входа в атмосферу планеты и спуска в атмосфере Юпитера и Марса применяются следующие схемы:

- спуск с орбиты искусственного спутника планеты;

- прямой вход с подлётной траектории;

- спуск в атмосфере с одним или двумя погружениями;

- отуск с рикошетирующими траекториями [5].

При полетах автоматических КА могут использоваться как описанные выше схемы, так и схемы, по которым возвращение КА на Землю не предусмотрено.

Все возможные варианты схем полета, если рассматривать их с точки зрения качественного исследования задач движения КА в атмосфере Марса, приводят к необходимости использования прямого спуска с межпланетной траектории, выведения КА на орбиту ИСМ с помощью аэродинамического торможения и спуска с орбиты ИСМ.

Известно, что аэродинамическое торможение гасит скорость до 99 %, но такое торможение в марсианской атмосфере затруднено из-за низкой плотности атмосферы. Это

обстоятельство сильно влияет на организацию мягкой посадки.

Проведем краткий анализ схем спуска КА и выработаем рекомендации по выбору траектории спуска.

Из рассматриваемых схем спуска (баллистический спуск, спуск с постоянным аэродинамическим качеством или планирующий спуск (управляемый спуск)) предпочтение отдается управляемому спуску, при котором рычагами управления КА выступают угол крена и угол атаки, которые меняют аэродинамическое качество в процессе полета. Управление только углом крена имеет ряд существенных недостатков, в частности, наличие бокового ухода и необходимость его компенсации путем изменения знака угла крена, невозможность одновременного управления продольной и боковой дальностью и т.д. Поэтому рассматривается совместное управление углами атаки и крена [3]. Стоит отметить, что реальные траектории спуска часто могут быть представлены в виде сочетания отдельных модельных участков, на каждом из которых управление либо отсутствует, либо осуществляется таким образом, чтобы выдержать неизменными какие-либо параметры движения КА в процессе спуска. Этому посвящена работа [4], в которой предложен метод, заключающийся в разделении траектории полета КА на отдельные участки, определении оптимальных программ управления и взаимосвязи полученных результатов.

Траектории с рикошетами обладают рядом преимуществ по сравнению с планирующим спуском. Круг задач может быть расширен с использованием рикошетирующих траекторий. Для многократного вхождения КА в верхние слои атмосферы Марса и Юпитера может быть использован КА с большим аэродинамическим качеством. Кроме того, при использовании таких КА обеспечивается максимальная дальность полета и максимальное боковое отклонение при входе КА в атмосферу с большим углом входа и околокруговой скоростью.

Отметим ряд особенностей, влияющих на оптимальное управление КА, осуществляющих спуск в атмосферах Марса и Юпитера, и выбор рациональных проектно-баллистических характеристик таких КА.

Важность проблемы оптимального управления КА, осуществляющего спуск и посадку на поверхность планет, заключается в проблеме выбора класса и характеристик спускаемых аппаратов, предназначенных для доставки полезного груза с возвращаемых межпланетных траекторий на полигоны малых размеров. Вопросы по спуску и посадке на поверхность планет из общей теории управления КА отражены в работах [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] и по оптимизации траекторий полета - в работах [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25,77].

Актуальной проблемой управления движением КА различных форм в атмосфере является определения условий наиболее эффективного применения таких форм, выработки требований к облику, характеристикам КА. Одним из важнейших аспектов этой проблемы

является поиск оптимальных траекторий движения КА и проведение сравнительного анализа альтернативных способов управления КА различных форм при использовании ряда критериев оптимальности.

Другим фактором, характеризующим важность исследования проблемы оптимального управления КА в атмосфере, является повышение активности изучения дальнего космоса в ряде стран, разработка программ осуществления космических миссий, завершающихся зондированием атмосфер планет Солнечной системы (Марса, Юпитера и др.). При создании перспективных спускаемых аппаратов следует учитывать дополнительные требования к массово-габаритным и энергетическим характеристикам КА. Это связано с различными факторами, влияющими на проектный облик и массовые характеристики автоматических и пилотируемых КА. К ним относятся требования к защите от радиационных воздействий, средствам и способам создания искусственных гравитационного и магнитного полей, технологиям производства топлива из местных ресурсов и др. [26, 27, 28].

Исследуя проблему оптимального управления КА, следует учитывать специфические условия полета КА при подлете к планетам и движении в их атмосферах [59, 10, 29, 24, 30, 31]. Так, исключительная разреженность атмосферы Марса предопределяет основные особенности построения баллистических схем движения, навигационного обеспечения проектируемых спускаемых КА. С учетом указанного обстоятельства, наиболее критичной для успешной реализации космических миссий является уже отмеченная задача минимизации конечной скорости КА при вводе в действие СМП, являющаяся эквивалентной задаче минимизации потребных энергетических затрат для осуществления посадки спускаемого аппарата на поверхность Марса. В условиях низкой плотности атмосферы Марса в сочетании со сравнительно малыми скоростями входа КА в атмосферу максимальные значения температуры и перегрузки, действующих на КА, будут существенно меньше, чем при спуске в атмосферах других планет. Несмотря на это, при оптимизации траекторий спуска КА в атмосфере Марса необходимо учитывать ограничения на максимально допустимые значения температуры КА и на перегрузки, действующие на КА на участках интенсивного аэродинамического торможения. Перечисленные факторы также влияют на формирование облика спускаемого аппарата и на его массово-габаритный баланс. Эти обстоятельства влекут за собой необходимость решения задач оптимального управления с заданными ограничениями на траекторные параметры КА.

Что касается особенностей спуска КА в высокоплотной, протяженной, быстровращающейся атмосфере Юпитера, то они заключаются в чрезвычайно сильных тепловых нагревах поверхности спускаемого аппарата, что сопровождается интенсивным прогревом и уносом масс теплозащитного покрытия, значительным перегрузочным воздействиям на КА, а также изменению конфигурации аэродинамических форм. В этих

условиях предъявляются повышенные требования к прочностным характеристикам КА и к системе его теплозащиты. На первый план выдвигаются задачи минимизации максимальной перегрузки и минимизации интегрального теплового потока, действующих на КА при спуске в атмосфере этой планеты. При качественных исследованиях необходимо учитывать вращение планеты, так как значительные размеры Юпитера приводят к большим скоростям движения атмосферы.

Стоит отметить, что Юпитер не имеет твёрдой поверхности для посадки. Зонды, погруженные в атмосферу, оказываются раздавленными огромным давлением атмосферы («ГАЛЛИЛЕО»), поэтому все миссии к Юпитеру являются пролётными («НОВЫЕ ГОРИЗОНТЫ») или орбитальными («ЮНОНА»). Для посадки КА используются спутники Юпитера.

Таким образом, на основании вышеизложенного при исследовании планет Солнечной системы возникает необходимость в учете специфических особенностей планет назначения. Так, при движении КА в разреженной атмосфере Марса технология управления должна разрабатываться с учетом обеспечения эффективного гашения скорости КА, а при полете в протяженной и высокоплотной атмосфере Юпитера - с учетом эффективного снижения перегрузочных и температурных режимов.

1.1.2.1. Состояние исследований задач спуска КА в атмосферах планет

При входе КА в атмосферу планеты, спуске в атмосфере и посадки на поверхность планеты следует выделить основные направления исследований проблем управления КА при спуске в атмосферах планет:

- обеспечение комфортных температурных и перегрузочных режимов,

- эффективного гашения скоростей КА.

Отсюда следует, что в качестве основных критериев оптимальности при спуске в атмосфере планет, следует рассматривать:

1) Минимум скорости КА при вводе в действие СМП (/ = Ук = тт), что приводит к снижению потребного веса СМП КА и, соответственно, к увеличению веса полезного груза.

2) Минимум максимальной температуры в критической точке поверхности КА (/ = Ттах = тт), что дает возможность создания эффективного теплозащитного покрытия многоразового использования и выработки требований к его параметрам. Данная задача определяет требования к параметрам теплозащитного покрытия КА и является чрезвычайно важной особенно при спуске в высокоплотных, протяженных, быстровращающихся атмосферах планет юпитерианской группы.

3) Минимум интегральных тепловых потоков (/ = £ Qmax = тм), действующих на поверхность КА при полете в атмосфере планет. Решение этих задач связано с обеспечением возможности снижения прогрева и уноса массы теплозащитного покрытия КА.

При этом должны выполняться обязательные ограничения на максимальную ширину коридора входа КА в атмосферу (Ав0 = во — в% < А6Цав, А6%ав - навигационный коридор входа) и на максимальную величину полной перегрузки (птах < пдоп).

При исследовании движения в атмосфере Марса вводится дополнительное ограничение на максимальную температуру (Ттах < Тдоп).

Все вышеизложенное приводит к необходимости комплексного исследования задач оптимального управления с учетом целого ряда критериев при различных ограничениях на фазовые координаты.

Вопросам поиска оптимального управления КА , осуществляющих спуск в атмосфере планет проводились исследования отечественными и зарубежными авторами [59, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44], которые основывались на использовании фундаментальных методов теории оптимального управления КА [59, 32, 34-36, 40]. В этих работах рассматривается однопараметрическое управление КА углом крена на основе упрощенных математических моделей движения КА в атмосфере [33, 37-39, 41, 42]. Полученные результаты носят частный характер, а рассчитанные траектории полета КА содержат большие вычислительные погрешности. Однако, для определения оптимальных траекторий полета КА в общей постановке необходимо проводить исследования совместного оптимального управления углами крена у и атаки а для математических моделей, описывающих движение КА в пространстве.

Следует отметить, что решение задач оптимального управления КА в атмосфере связано с рядом существенных трудностей. При аналитическом интегрировании системы дифференциальных уравнений движения КА, с учетом влияния на КА разных сил, такая система не имеет конечного решения и не может быть преобразована к аналитическому виду. Поэтому используют численные методы решения нелинейных систем уравнений, предусматривающие многопараметрических итерационных процессов решения краевых задач [59, 34-36, 40]. На точность и быстродействие вычислительных процессов решения таких задач значительное влияние оказывает выбор вектора состояния системы и вектора сопряженных переменных. Предварительно оценить значения сопряженных переменных в явном виде практически невозможно, а количественная оценка параметров вектора состояния может быть дана на основе анализа движения КА. Неправильный выбор первого приближения краевых значений может привести к несходимости вычислительного процесса.

Для сокращения затрат расчётного времени одним из направлений совершенствования

методики оптимального управления является разработка аналитических методов расчета программы оптимального управления КА и расчёта квазиоптимальных параметров движения КА. Рассчитанная аналитически программа оптимального управления облегчает сравнительный анализ полученных вариантов. Параметры движения КА могут быть выражены в явном виде, что облегчает оценку влияния той или иной характеристики на управляющие параметры.

Эффективность управления КА оценивается по целому ряду критериям качества, чаще всего конфликтующих друг с другом, что приводит к многокритериальной (векторной) задаче выбора возможных альтернатив для управляющих воздействий [98]. Отбор приемлемых вариантов происходит при этом среди эффективных решений (множество Парето), не улучшаемых ни по одному из критериев без ухудшения показателей по какому-либо из остальных. Выбор оптимального управления находится в пределах множества Парето единственной альтернативой в условиях значительного числа возможных вариантов [99]. Применение популяционных алгоритмов глобальной оптимизации на основе Парето-фронта является ключом к решению многокритериальных задач. Одним из важных ключевых вопросов в решении многокритериальных задач заключается в достижение пригодности и отбора таким образом, чтобы поиск направлялся к оптимальному набору Парето [93-97]. Дополнительно возникает необходимость выбора оптимального управления в задаче многокритериальной оптимизации с учетом действующих ограничений [100]. Популяционный алгоритм позволяет сузить Парето фронт и таким образом исключить доминирующие решения, что является аппроксимацией Парето фронта (сузить область поиска). Всё это позволяет формулировать и решать новые задачи выбора оптимального управления КА, осуществляющих спуск в атмосфере планет в условиях несовместности частных критериев качества при наличии ограничений на управление из числа недоминирующих решений (Парето-оптимальные решения). В итоге появляется возможность получения множества альтернатив оптимального управления, на основе которых производится расчёт оптимальных траекторий. Подробнее многокритериальная задача и алгоритм построения Парето-фронта описаны в главе 3.

В общем виде постановка задачи управления полетом КА может быть сформулирована следующим образом: для КА с известными проектными, весовыми, конструкционными, энергетическими и другими характеристиками, осуществляющего полет в соответствии с заданным целевым назначением, требуется определить последовательность распределенных по времени управляющих воздействий, обеспечивающих движение КА в заданной ограниченной области космического пространства, выполнение задач программы полета и реализующих экстремум обобщенного критерия оптимальности процесса функционирования.

В следующей главе изложен новый подход к решению задач оптимального управления, позволяющий снизить порядок системы дифференциальных уравнений путем замены

переменных. Это позволяет разработать законы управления в зависимости от параметров движения КА и сопряженных переменных.

В целом схема построения оптимального управления, предлагаемая в работе, состоит из следующих этапов:

- поиск путей преобразования исходных математических моделей с учетом особенностей динамики полета КА на отдельных участках (введение допущений, замены переменных, понижение порядка систем уравнений);

- разработка дополнительных уравнений связи между граничными значениями параметров движения КА и сопряженными переменными;

- преобразование исходных дифференциальных уравнений к виду, обеспечивающему возможность их аналитического интегрирования, получение зависимостей для расчета законов оптимального управления и квазиоптимальных траекторий движения КА;

- определение первого приближения параметров движения КА и сопряженных переменных для решения краевых задач и точного расчета оптимальных траекторий.

1.2. Математическая модель движения КА в атмосферах планет 1.2.1. Уравнения движения КА в атмосфере

При разработке математических моделей учитываются аэродинамические, тепловые, баллистические, конструктивные особенности движения КА в атмосфере. Такая модель должна быть адекватна и применима для современных методов оптимизации.

1.2.1.1. Уравнения движения КА в атмосфере Марса

Математическая модель движения КА описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений в скоростной системе координат с учетом влияния гравитационных, аэродинамических, центробежных и кориолисовых сил в центральном поле тяготения:

dV pV2Cx(a)S , л 2 .

— =-----g sin в — ш2г cos <р (sin ф sin £ cos в — cos <р sin в),

L-t-1/ ¿i 11 L

de pVCy(a)S g V

—— =-cos V--cos в +— cos в + 2ш cos w cos £ +

dt 2m r V r

2

Ш2Г

+ —p— cos ф (sin ^ sin £ sin в + cos ^ cos 0),

йе рУСу(а)Б smY V 2ш

, —cosвcose Ьд ш--(cosвsmw —

М 2т cos в г cos в

— sm е sm в cos <р)--sm<pcos<p—-, (1)

V ^ г ^ в'

йк йЛ V cos в cos £ йф V

—— = V smв, — =--, —- = — cos в sm £,

М М г cos <р М г

и СЛа) т

г2 б Сх(а)' х Сх(а)£ где V - скорость КА, км/с; в - угол наклона вектора скорости к местному горизонту, градусы; 8 - угол между проекцией вектора скорости на местный горизонт и местной параллелью, градусы; Н - высота полета КА над поверхностью планеты, км; 1 и ф - геоцентрические долгота и широта, градусы; т - масса КА, кг; Я - экваториальный радиус планеты, км ^=3395 км); р - плотность атмосферы, кг/м ; ц - произведение гравитационной постоянной на массу

3 2 3 2

планеты, км /сек (ц=42 828.48 км /сек ); г - радиус-вектор в ареоцентрической экваториальной системе координат, км; Рх - приведенная нагрузка на лобовую поверхность КА, кг/м ; Кд -аэродинамическое качество; у - угол крена, градусы; а - угол атаки, градусы.

Одним из важнейших показателей при спуске КА является значение перегрузки п:

п = (2)

2 • Р^вм 4 ^

2 3

где дм - ускорение свободного падения на поверхности планеты, км/сек ($м=3,71 • 10-км/сек2).

На участке ввода в действие парашютной системы установившаяся скорость полета КА при Кб=0 ^ 0.3 равна:

1

Уцар.сист. = {(Сх5)парр0) (3)

где (Сх8)пар - параметры парашютной системы, 0=Уг CxpSV2.

Скорость посадки с использованием тормозной двигательной установки вычисляется как

V2 =-—-(1— -smф) (4)

Сутах пос Ро V & '

1.2.1.2. Уравнения движения КА в атмосфере Юпитера

Особенностью движения КА в атмосфере Юпитера являются чрезвычайно большие воздействия тепловых потоков на поверхность КА. В связи с этим при формировании

математической модели необходимо учитывать процессы уноса масс теплозащитного покрытия КА для различных аэродинамических форм и проектно-баллистических параметров КА.

Учёт уноса массы зависит от радиусов притуплений носовой части КА, высот и скоростей полета КА. При снижении КА в атмосфере Юпитера с увеличением плотности атмосферы радиационный и конвективный тепловые потоки монотонно возрастают и на высоте достижения максимальной температуры на поверхности КА полностью не могут быть отражены от поверхности КА, и начинается унос масс. По мере снижения скорости воздействие тепло потоков уменьшается. В работе [45] проведены исследования влияния эффективной площади поперечного сечения КА на величину теплового потока на оптимальной траектории. Показано, что с увеличением площади сечения интегральный тепловой поток уменьшается и оптимальные траектории проходят в более высоких слоях атмосферы. При решении задач по минимизации тепловых критериев это обстоятельство учитывается.

Основным достоинством представленной математической модели является возможность описания с её помощью процессов движения КА с изменяющейся массой в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений. Предлагаемая модель изменения текущей массы КА предопределяет основное отличие уравнений движения КА в атмосфере Юпитера от соответствующих уравнений движения КА в атмосфере Марса. В результате фазовые координаты дифференциальных уравнений не являются гладкими и непрерывно дифференцируемыми по траектории спуска. В моменты времени ^ (когда тепловые потоки превышают температуру разрушения теплозащитного покрытия 7р) и Ь" (когда на КА воздействие тепловых потоков уменьшается) - что это за моменты они имеют разрывы первого рода, что необходимо учитывать при решении задач оптимального управления. Основным достоинством представленной математической модели является возможность описания с её помощью процессов движения КА с изменяющейся массой в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений. Это позволяет использовать принцип максимума Понтрягина для исследования оптимальных траекторий движения КА в атмосфере.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Орлов Дмитрий Александрович, 2021 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Исследования космического пространства. Об объединённом исследовании Марса. Ракетная и космическая техника. Экспресс-информация. Серия 1. 2014. № 8 (2828). С. 2-3.

2. Красильников А. Российская космическая наука: настоящее и будущее. Новости космонавтики. 2012. № 6(353). Т. 22. с. 48-49.

3. Соколов Н.Л. Орлов Д.А. Оптимальное управление КА при спуске в атмосфере Марса. Лесной вестник № 2. 2016. С. 205-210.

4. Соколов Н.Л. Метод расчета приближенно-оптимальных траекторий движения космического аппарата на активных участках выведения на спутниковые орбиты. Труды МАИ. Выпуск № 75. 2014. С. 22.

5. Гершман К.Э., Дорофеев В.С., Матюшин М.М., Овечко В.М., Орлов Д.А., Почукаев В.Н. Оптимальное управление космическим аппаратом в атмосфере марса при использовании рикошетирующих траекторий // Космонавтика и ракетостроение. 2018. № 2 (101). С. 5-13.

6. Аппазов Р.Ф., Сытин О.Г., Методы проектирования траекторий носителей и спутников Земли. М.: Наука. 1987. 440 с.

7. Бажинов И.К. Развитие работ по космической баллистике и навигации в ЦНИИмашиностроения в 1960-1985 годах. Космонавтика и ракетостроение. 2000. № 21. С. 17-27.

8. Баринов К.Н., Бурдаев М.Н., Мамон П.А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1975. 232 с.

9. Данхэм Д.У., Назиров Р.Р., Фаркуар Р., Чумаченко Е.Н., Эйсмонт Н.А., Симонов А.В. Космические миссии и планетарная защита. М.: Физматлит. 2013. С. 384.

10. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел. М.: Наука. 1983. 586 с.

11. Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение. 1970. 244 с.

12. Основы теории полета космических аппаратов. Под редакцией Нариманов Г.С. и Тихомирова М.К. М.: Машиностроение. 1972. 610 с.

13. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. М.: Машиностроение. 1969. 430 с.

14. Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летальных аппаратов. М.: Наука. 1982. 352 с.

15. Бажинов И.К., Почукаев В.Н. Оптимальное планирование навигационных измерений в космическом полете. Машиностроение. 1976. 288 с.

16. Батищев Д.И. Поисковые методы оптимального проектирования. Советское радио. 1975. 214 с.

17. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М.: Наука. 1975. 703 с.

18. Ильин B.A., ^змак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой тяги. М.: Наука. 1976. 744 с.

19. ^ыщенко Ю.В., Челноков Ю.Н. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата, рассматриваемой как неизменяемая фигура. Aвиакосмическое приборостроение. 2006. № 12. С. 31-36.

20. Лебедев A.A., ^асильщиков М.Н., Малышев В.В. Оптимальное управление движением космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение. 1974. 200 с.

21. Петухов В.Г. ^азиоптимальное управление с обратной связью для многовиткового перелета с малой тягой между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами. ^смические исследования. 2011. № 2. т. 49. с. 128-137.

22. Симонов A3., Эйсмонт НА., Чумаченко Е.Н., Данхэм Д., Назиров Р.Р., Логашина И.В. Оптимизация схемы полета к астероидам главного пояса с использованием орбиты искусственного спутника Марса. Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. 2012. № 3(26). с. 49-59.

23. Усачев В.Е., Ежов A.Q, Симонов A3. Оптимизация межпланетных траекторий перелета в ближайшее околосолнечное пространство. Вестник «Kосмонавтика и ракетостроение». 2012. № 2(16). С. 19-26.

24. Челноков Ю.Н. Применение квартернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. ^смические исследования. 2003. № 1. т. 45. С. 488-505.

25. Busemann A., Vinh N., Kelley G. F. Optimum maneuvers of a skip vehicle with bonded lift constraints. Journal optimization theory and applications. 1969. № 4. v. 3. p. 243-262.

26. Горшков ЛА. Полет человека на Марс. Наука и жизнь. 2007. №7. С. 4-12.

27. Jonathan Amos. Europe's Mars plans move forward. BBC News. 12.10.2009. p. 2.

28. Peter B. de Selding. ESA Halts Work on Exo Mars Orbiter and Rover. Space News. 20.04.2011. p. 1.

29. Гуков В.В. Основы теории полета летательных аппаратов. Издательство МЛИ. 1978. 70 с.

30. Эрике K. ^смический полет. т. II. Динамика. М.: Наука. 1970. 744 с.

31. ^утько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука. 1988. 328 с.

32. Aндриевский В.В. Динамика спуска космических аппаратов на Землю. М.: Машиностроение. 1970. 235 с.

33. Иванов Н.М. Мартынов A.H Управление движением космического аппарата в атмосфере

Марса. М.: Наука. 1977. 415 с.

34. Авдуевский В.С., Антонов Б.М., Анфимов Н.А. и др. Основы теории полета космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1972. 345 с.

35. Шкадов Л.М., Буханова Р.С., Илларионов В.Ф., Плохих В.П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М.: Машиностроение. 1972. 244 с.

36. Эйсмонт Н.А. Оптимальное управление космическим аппаратом, переводимым с гиперболической траектории на орбиту спутника планеты торможением в атмосфере. Космические исследования. 1972. № 2. т. 10. с. 290-292.

37. Лох У. Динамика и термодинамика спуска в атмосфере планет. М.: Мир. 1966. 276 с.

38. Ярошевский В.А. Приближенный расчет траекторий входа в атмосферу. Космические исследования. 1964. № 4. т. 2. с. 15-21.

39. Чепмен Д.Р. Приближенный аналитический метод исследования входа тел в атмосферы планет. М.: Иностранная литература. 1962. 298 с.

40. Okhotsimsky D.E., Golubiev Y.F., Sikharulidze Y.G. Mars orbiter insertion by use of atmospheric deceleration. ActaAstronnautica. 1978. № 9. V.5. p. 41.

41. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф., Сихарулидзе Ю.Г. Алгоритм управления космическим аппаратом при входе в атмосферу. М.: Наука. 1975. 400 с.

42. Hiltz A.A., Florense D.E., Low D.L. Selection, development and characterization of a thermal protection system for a Mars entry vehicle. AIAA Paper. 1968. № 304.

43. Баранов В.Н., Гавриков В.Г. Приближенное решение задачи фильтрации при управлении спуском в атмосфере. Космические исследования. 1980. № 6. т. 18. с. 844-850.

44. Хайруллин Р.З. К построению области приведения КА в заданную точку при входе в атмосферу. Космические исследования. 1996. № 5. т. 34. с. 513-517.

45. Степанов К.А. Оптимизация траектории спуска космического аппарата // Естественные и математические науки в современном мире. 2014. № 24. С. 94-100.

46. Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета / Под ред. В.П. Мишина. М.: Машиностроение. 1989. 408 с.

47. Теоретические и инженерные основы аэрокосмической техники. Параметры МСА [Электронный ресурс]. URL: http://old.as-club.ru/kurs3/aero/html/kurs_964_0.html.

48. H.L. Justh Mars Global Reference Atmospheric Model 2010 Version: Users Guide. Marshall Space Flight Center, Huntsville, Alabama. NASA/TM—2014-217499

49. The Mars Climate Database Projects [Электронный ресурс]. URL: http://www-mars.lmd.jussieu.fr/mcd_python

50. Фортов В.Е., Гнедин Ю.Н., Иванов М.Ф., Ивлев А.В., Клумов Б.А. УФН. 1996. Т.166. № 4.

С.391-422.

51. Alvin Seiff, Donn B. Kirk and others. Thermal structure of Jupiter's atmosphere near the edge of a 5-p.m hot spot in the north equatorial belt // Journal of geophysical research. - september 25, 1998. Vol. 103, No. e l0. P. 22,857-22,889.

52. Андрущенко В.А., Мурашкин И.В., Шевелев Ю.Д. Численное решение задачи о взрыве в атмосферах планет в переменных Лагранжа // Механика жидкости и газа. 2013. № 3. С. 148156.

53. Gryaznov V.K, Ivanov B.A., Ivlev A.B., Klumov B.A., Utyuzhnikov S.V., Fortov V.E. Collision of the comet shoemaker-levy-9 with jupiter - interpretation of observed data. Earth // Moon and Planets. 1994. Vol. 66. № 1. Pp. 99-128.

54. Иванов Н.М., Мартынов А.И., Соколов Н.Л., Оптимальное управление КА в атмосфере Юпитера // Космические исследования. 1980. № 3. - т. 17. - с. 348-365..

55. Allen H. J., Eggers A.J. A study of the motion and aerodynamics heting of ballistic missiles entering the earth's atmosphere at high supersonic speed. NASA. 1958. № 16. p.16.

56. Griffin J.W., Vinh N.X. Three-dimensional optimal maneuvers of hyper velocity vehicles. AIAA. 1971, р. 25-32.

57. (nasa-tm-104584) an improvedgravity model for mars: goddaro mars model-i (gmm-i) (nasa) D. E. Smith, F. J. Lerch, R. S. Nerem,M. T. Zuber, G. B. Patel, S. K. Fricke,and F. G. Lemoine 1993 51 p.

58. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1969. 384 с.

59. Иванов Н.М. Мартынов А.И. Движение космических летательных аппаратов в атмосферах планет. М.: Наука. 1985. 384 с.

60. Аноров В.П. Принцип максимума для процессов с ограничениями общего вида. Автоматика и телемеханика. 1967. № 3. с. 5-15. № 4. с. 5-17.

61. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука. 1969. 360 с.

62. Nachtsheim P.R., Tindle E., Howe J.T.J. Spacecraft and rockets. 1976. № 2. p. 120.

63. Дивеев А.И., Северцев Н.А. Метод сетевого оператора для синтеза системы управления спуском космического аппарата при неопределенных начальных условиях // Проблемы машиностроения и надежности машин. Машиноведение. 2009. №3. С. 85-91.

64. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука. 1978. 488 с.

65. Акуленко Л.Д., Черноусько Ф.Л. Метод определения в задачах оптимального управления. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. № 4. т. 15. с. 12-18.

66. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач

оптимального управления. Журнал вычислительной математики и математической физики.

1972. № 1. т. 12. с. 14-24.

67. Черноусько Ф.Л., Баничук В.П. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука.

1973. 238 с.

68. Данченко О.М. Марковская модель плотности атмосферы Марса. Труды МАИ. 2012. № 50. с. 1-11.

69. Соколов Н.Л., Орлов Д.А. Проектно-баллистические исследования проблемы спуска космических аппаратов в атмосфере Марса. Вестник МАИ. 2016. № 1. № 1. т. 23. с. 98-106

70. Мороз В.И. Рабочая модель атмосферы и поверхности Марса. Препринт ИКИ. 1975. № 240. 241 с.

71. Мороз В.И. Физика планеты Марс. М.: Наука. 1978, 351 с.

72. Иванов Н.М., Мартынов А.И., Соколов Н.Л. О выборе проектно-баллистических характеристик и способа управления КА при спуске в атмосфере Марса. Космические исследования. 1977. № 1. т. 15. с. 42-45.

73. Соколов Н.Л., Селезнева И.А. Об оценке эффективности способов управления КА, осуществляющих спуск в атмосфере Марса. 16-я Международная научная конференция «Системный анализ, управление и навигация». Крым, Евпатория. 2011. с. 71-73.

74. Соколов Н.Л., Козлов В.Г. О выборе способов управления КА при спуске в атмосфере Марса. Седьмой Международный аэрокосмический конгресс. 2012. с. 112-114.

75. Каменков Е.Ф. Маневрирование спускаемых аппаратов. М.: Машиностроение. 1983. с. 183.

76. Соколов Н.Л. Приближенный аналитический метод расчета пространственных маневров космического аппарата в атмосфере. Космические исследования. 1988. № 2. т. 26. с. 209219.

77. Аношин Ю.М., Бобылев А.В., Ярошевский В.А. Управление траекторией космического аппарата с малым аэродинамическим качеством при спуске в атмосфере // Ученые записки ЦАГИ. 2012. №5. С. 79-92.

78. Алифанов О.М., Иванков А.А., Нетелев А.В., Финченко В.С. Исследование характеристик теплозащитного покрытия аэроупругих тормозных устройств, спускаемых в атмосфере планет аппаратов. Труды МАИ. 2013. № 71. с. 1-24.

79. Пономарев В.М. Теория управления движением космических аппаратов. М.: Наука. 1965. 456 с.

80. Профессиональный информационно-аналитический ресурс MachineLearning.ru. Генетический алгоритм [Электронный ресурс]. URL: http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D 1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9 %D0%B0%D0%BB

%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC#.D0.9F.D1.80.D0.B5.D0.B8.D0.BC. D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0_.D0.93.D0.90

81. Erol O.K. & Eksin I. A new optimization method: Big bang-big crunch // Advances in Engineering Software. 2006. Vol. 37. P. 106-111.

82. Ge^ H.M., Eksin I., Erol O.K. Big bang-big crunch optimization algorithm hybridized with local directional moves and application to target motion analysis problem // IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics (SMC), Istanbul, Turkey. 2010. P. 881-887.

83. Bo Xing, Wen-Jing Gao. Innovative Computational Intelligence: A Rough Guide to 134 Clever Algorithms // Intelligent Systems Reference Library. 2014. Vol. 62. P. 322-331.

84. Брайсон А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир. 1972. 544 с.

85. Xin Du, Hai-Yang Li, Yue-Chen Huang. Efficient Nonlinear Algorithm for Drag Tracking in Entry Guidance. Procedia Engineering 99. 2015. p. 1014-1026.

86. P.P. Menon, I. Postlethwaite, S. Bennani, A. Marcos, D.G. Bates. Multiobjective Worst-Case Analysis of a Re-Entry Vehicle Control Law. IFAC Proceedings Volumes. Vol.41. Issue 2. 2008. pp. 2532-2537.

87. Lisa J. Whittle, Marco Saglian. Stochastic Optimal Trajectory Generation via Multivariate Polynomial Chaos (AIAA 2018 0849) 2018 AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. 2018. 10.2514/6.2018-0849.

88. Yiyu Zheng, Hutao Cui, Yuanhang Ai. Indirect Trajectory Optimization for Mars Entry with Maximum Terminal Altitude. Journal of Spacecraft and Rockets. 2017. Vol.54: 1068-1080, 10.2514/1.A33566.

89. Xinfu Liu, Ping Lu.Solving. Non-Convex Optimal Control Problems by Convex Optimization (AIAA 2013-4725). AIAA Guidance, Navigation, and Control (GNC) Conference. 2013. 10.2514/6.2013-4725.

90. Massimiliano L. Vasile, Christie Maddock, Lorenzo Ricciardi. Multi-Objective Optimal Control of Re-entry and Abort Scenarios (AIAA 2018-0218) 2018 Space Flight Mechanics Meeting. 2018. 10.2514/6.2018-0218.

91. Zhenbo Wang1 and Michael J. Grant. Constrained Trajectory Optimization for Planetary Entry via Sequential Convex Programming. 2 AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference 2016.

92. Kazuhide Okamoto, Takeshi Tsuchiya. Optimal Aircraft Control in Stochastic Severe Weather Conditions. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2016, Vol.39: 77-85, 10.2514/1.G001105

93. J.D. Schaffer. Multiple objective optimization with vector evaluated genetic algorithms. Proceedings of an International Conference on Genetic Algorithms and Their Applications, Pittsburgh, PA, pp. 93-100, 1985.

94. P. Hajela and C.Y. Lin. Genetic search strategies in multicriterion optimal design. Structural Optimization 4, pp. 99-107, 1992.

95. C.M. Fonseca and P.J. Fleming. Multiobjective optimization and multiple constraint handling with evolutionary algorithms part i: A unified formulation. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Vol. 28(1), pp. 26-37, 1998.

96. C.M. Fonseca and P.J. Fleming. Multiobjective optimization and multiple constraint handling with evolutionary algorithms part ii: Application example. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Vol. 28(1), pp. 38-47, 1998.

97. K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal, and T. Meyarivan. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, VOL. 6, NO. 2, APRIL 2002, pp. 182-1. 2002.

98. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488 с.

99. Токарев В. В. Методы оптимальных решений. Т. 2. Многокритериальность. Динамика. Неопределённость. М.: Физматлит, 2011. 416 c.

100.Воронов Е.М., Репкин А.Л., Савчук А.М., Сычев С.И. Формирование структуры траекторного управления летательного аппарата и многокритериальной оптимизации ее параметров // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Приборостроение. 2014. № 5. С. 339.

101.David Seelbinder. On-board Trajectory Computation for Mars Atmospheric Entry Based on Parametric Sensitivity Analysis of Optimal Control Problems. Dissertation. 2017, p. 184.

102.Peter J. Edelman. Interplanetary mission design with applications to guidance and optimal control of aero-assisted trajectories. Dissertation. 2016, p. 168.

103.Matjushin, M.M., Sokolov, N.L. & Ovechko, V.M. Optimal Control of a Spacecraft During Descent in the Martian Atmosphere. Sol Syst Res 51, Pp. 566-572. 2017.

104.Erwan Mazarico and Maria T. Zuber, Frank G. Lemoine and David E. Smith. Atmospheric Density During the Aerobraking of Mars Odyssey from Radio Tracking Data. JOURNAL OF SPACECRAFT AND ROCKETS Vol. 44, No. 6, November-December. 2007. pp.1165-1171.

105.Humberto Gonzalez, Ram Vasudevan, Maryam Kamgarpour, Shankar Sastry, Ruzena Bajcsy, and Claire Tomli. A Descent Algorithm for the Optimal Control of Constrained Nonlinear Switched Dynamical Systems: Appendix. Proceedings of the 13th ACM international conference on Hybrid systems: computation and control - HSCC '10, 2010.

106.Pingyuan Cui, Yanjie Liu, Zhengshi Yu, Shengying Zhu, Wei Shao. (2017) Intelligent landing strategy for the small bodies: from passive bounce to active trajectory control. Acta Astronautica 137, pp. 232-242.

107.Robust Mars atmospheric entry integrated navigation based on parameter sensitivity Taishan Lou

a,n, Liangyu Zhao b Acta Astronautica 119 (2016). Pp. 60-70.

108.A. Rathan Babu, Shiva Prased U, CH. Satya Sandeep, Suresh Kumar R. Aerodynamics and stability of spacecraft during earth entry.International Journal of Mechanical Engineering and Technology (IJMET) Volume 8, Issue 6, June 2017, pp. 796-803.

109.Aircraft Optimal Terrain/Threat-Based Trajectory Planning and Control Reza Kamyar, Ehsan Taheri. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, Vol.37: 466-483, 10.2514/1.61339.

110.Uncertainty Quantification for Mars Entry, Descent, and Landing Reconstruction Using Adaptive Filtering. Soumyo Dutta, Chris Karlgaard, Robert Braun. 51st AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition, 2013, 10.2514/6.2013-26.

111.Large Mass, Entry, Descent and Landing Sensitivity Results for Environmental, Performance, and Design Parameters Jeremy Shidner, Jody Davis, Alicia Cianciolo, Richard Powell, Jamshid Samareh AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference, 2010, 10.2514/6.2010-7973.

112.Minimum-Fuel Powered Descent for Mars Pinpoint Landing. Ufuk Topcu, Jordi Casoliva, and Kenneth D. Mease JOURNAL OF SPACECRAFT AND ROCKETS Vol. 44, No. 2, March-April 2007.

113.Mars Entry Mission Bank Profile Optimization Geethu Lisba Jacob, Geethu Neeler, R. V. Ramanan. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, Vol.37: 1305-1316, 10.2514/1.G000089.

114.Konak A., Coit D.W., Smith A.E. Multi-objective optimization using genetic algorithms: a tutorial // Reliability Engineering and Systems Safety. 2006. vol. 9. pp. 992-1007.

115.Bo Xing, Wen-Jing Gao. Innovative Computational Intelligence: A Rough Guide to 134 Clever Algorithms. Springer International Publishing Switzerland 2014, 469 p.

116.Seereeram Li Ravichandran Mehra, Robert Smith, Randal Beard. Multi-spacecraft Trajectory Optimization and Control Using Genetic Algorithm Techniques. 0-7803-5846-5/00/$10.00 c 2000 IEEE. Pp. 99-108.

117.Otavio Noura Teixeira, Roberto Celio Limro de Oliveira. Evolutionary artificial immune system optimization. GECCO'lO, July 7-11, 2010, Portland, Oregon, USA. ACM 978-1-4503-00735/10/07.

118.Ravinder Kaur, Navpreet Kaur. A Modified transmission Algorithm for Resolving Vehicle Routing Problem by Intelligent Water drop Algorithm. International Journal on Recent and Innovation Trends in Computing and Communication ISSN: 2321-8169 Volume: 2 Issue: 10, 2014, pp. 3108-3112.

119.Philip E. gill, Walter Murray, Margaret H. Wright. Practical optimization. United States Edition published by ACADEMIC PRESS, INC. San Diego, CA 92101 - 1997, 420 p.

120.Yacine Labbi, Asma Labbi, Zoubir Becer, Djilani Benattous. Big Bang-Big Crunch Optimization

Algorithm for the Maximum Power Point Tracking in Photovoltaic System. International Journal Of Modern Engineering Research (IJMER). Vol. 4 Iss.9. Sept. 2014. pp. 11-17. 121.Deb K. Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms. Chichester, UK, John Wiley & Sons, 2001. 518 p.