Методика использования моделей при изучении числовых множеств в курсе математики 5-6 классов: На прим. положит. рацион. чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Марченко, Татьяна Сергеевна

• Марченко, Татьяна Сергеевна
• кандидат педагогических наук
• 1995

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Марченко, Татьяна Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 5-6 КЛАССОВ.

§1. Психолого-дидактические основы использования моделей при изучении математики в 5-6 клас

§2. Основные положения методики использования моделей при обучении математике.

§3. Требования к методике изучения положительных рациональных чисел в курсе математики 5-6 классов, основанной на использовании моделей.

Глава 2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ОСНОВАННАЯ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ

МОДЕЛЕЙ.

§4. Система заданий и методические рекомендации к ее использованию.

§5. Методика и основные результаты экспериментальной работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика использования моделей при изучении числовых множеств в курсе математики 5-6 классов: На прим. положит. рацион. чисел»

Известно, что одной из основных, наиболее значимых в школьном курсе математики является линия числа. Также известно, что ее изучение вызывает существенные затруднения у учащихся и учителей.

Одна из причин этих затруднений кроется в отсутствии средств, позволяющих эффективно организовывать учебную деятельность учащихся по приобретению осознанных и системных знаний. Поэтому остается актуальным вопрос о том, какой должна быть методика изучения числовых множеств, чтобы ее использование способствовало устранению хотя бы некоторых причин затруднений как учащихся, так и учителей.

Вопросам совершенствования методики изучения числовых множеств в курсе математики средней школы посвящены многочисленные исследования [11, 32, 87, 128, 154 и др.]. Их авторы обращаются к совершенствованию содержания учебного материала, методов работы с ним. Но исследования, посвященные отбору и применению средств, способствующих повышению эффективности изучения линии числа, практически отсутствуют.

Одним из средств, использование которого может положительно сказаться на повышении качества усвоения учащимися знаний о числе, являются модели. Но методисты редко обращаются к исследованию возможностей моделей как средства обучения. Очень мало работ, авторы которых рассматривают модели в качестве средства изучения в средней школе числовых систем (Менцис Я.Я., Пурки-на В. Ф.). В этих работах ставятся вопросы, связанные с проблемой применения в обучении моделей (Пуркина В.Ф.), либо предлагается ее одностороннее (как в содержательном, так и в методическом

- 4 планах) решение (Менцис Я.Я.).

Так, в исследовании В.Ф.Пуркиной выделяются направления работы по реализации внутрипредметных связей при формировании понятия числа. Одно из них предполагает использование моделей. Но это направление только обозначено и на уровне конкретной методики не разработано.

В исследовании Я. Я. Менциса рассматривается возможность использования моделей для раскрытия содержательного смысла действий над рациональными числами в рамках операторного подхода.

Таким образом, имеющиеся исследования отражают лишь отдельные попытки решения проблемы использования моделей как средства изучения числовых множеств (как в отношении изучаемого содержания, так и методическом плане).

Данные практики применения моделей в обучении, анализ пси-холого-педагогических и методических исследований, посвященных использованию моделей, привели нас к выводу о том, что познавательные возможности моделей используются недостаточно. Модели не служат в полной мере средством формирования знаний об изучаемых понятиях, а также средством овладения учащимися деятельностью по приобретению этих знаний. А следовательно, модели не выступают для ученика тем средством, которое помогает ему осознанно устанавливать взаимосвязи между имеющимися и приобретаемыми знаниями. Поэтому мы обратились к исследованию проблемы выявления возможностей использования моделей при изучении числовых множеств в курсе математики 5-6 классов.

Решение поставленной проблемы мы связывали с изучением школьниками 5-6 классов положительных рациональных чисел и стремились получить ответы на вопросы: какие модели целесообразно применять на разных этапах формирования понятия положительного рационального числа и каковы особенности работы с ними, какие функции моделей должны быть реализованы на каждом этапе, каковы условия реализации этих функций и др.

Объектом исследования служит процесс обучения школьников арифметике положительных рациональных чисел.

Выбор указанного объекта исследования обусловлен, по крайней мере, двумя причинами. Во-первых, в большинстве действующих учебников предлагается (исходя из педагогических соображений) такая последовательность изучения числовых множеств, в соответствии с которой фактически первым расширением множества натуральных чисел (не считая расширения N до И0) является множество положительных рациональных чисел. Во-вторых, понятие положительного рационального числа настолько абстрактно, что при его формировании у школьников 5-6 классов (имея в виду психолого-педагогические закономерности учения) невозможно обойтись без использования такого средства, как модели (о чем, кстати, свидетельствует и материал школьных учебников).

Предметом исследования являются возможности использования моделей как средства формирования понятия положительного рационального числа и условия реализации этих возможностей при обучении школьников 5-6 классов арифметике положительных рациональных чисел.

Исследование указанного предмета должно привести к решению поставленной проблемы и достижению цели работы, состоящей в конструировании методики изучения положительных рациональных чисел, основанной на использовании моделей, реализация которой будет способствовать получению каждым учеником возможности для осознанного установления взаимосвязей между имеющимися у него и приобретаемыми знаниями.

Таким образом, необходимость совершенствования методики изучения числовых множеств (и, в частности, положительных рациональных чисел) в курсе математики средней школы, важность формирования у учащихся умения осознанно устанавливать взаимосвязи между знаниями, неразработанность в методической литературе проблемы использования моделей при изучении числовых множеств, низкий уровень знаний и умений школьников определили актуальность темы нашего исследования.

Как мы уже отмечали выше, в реальной практике обучения познавательные возможности моделей используются далеко не полно: модель служит наглядным средством, позволяющим создавать представления об изучаемых понятиях, но не средством овладения учеником деятельностью по приобретению знаний. Следовательно, модели не служат в полной мере средством ученика, помогающим ему осознанно устанавливать взаимосвязи между имеющимися и новыми знаниями. Задача же формирования учебной деятельности требует более полного учета познавательных возможностей моделей.

С целью решения поставленной задачи мы обратились к выявлению тех возможностей работы с моделями, которые описаны в психолого-педагогической литературе, что позволило нам установить многоаспектность использования моделей в обучении.

Мы выделили четыре основных аспекта использования моделей и с каждым связываем условия более полного учета их познавательных возможностей. Создание таких условий зависит, в свою очередь, от того, насколько полно при использовании моделей учитываются психолого-педагогические закономерности процесса обучения. Выделенные аспекты связаны с:

1) функциями учебных моделей в процессе обучения, поскольку именно функции являются такими характеристиками моделей, которые позволяют дифференцировать виды деятельности с ними;

2) целью, с которой используется модель (модели объектов изучения; модели действий и операций по изучению этих объектов);

3) использованием моделей различного уровня абстрактности (предметных, графических, символических, а также их различных сочетаний);

4) использованием моделей различного уровня сложности в конструировании (готовых, частично и самостоятельно конструируемых учащимися).

Перечисленные аспекты взаимосвязаны. Эта взаимосвязь, очевидно, должна лежать в основе требований к методике использования моделей.

Авторы имеющихся методических работ не обращаются к исследованию взаимосвязи названных аспектов работы с моделями, они лишь частично затрагивают какой-либо отдельный аспект.

Анализ имеющейся практики обучения также приводит к выводу о том, что нельзя говорить не только об обращении к системе четырех названных аспектов использования моделей (которое и позволило бы более полно учесть психолого-педагогические закономерности процесса обучения, а следовательно, и познавательные возможности моделей, но и о сколько-нибудь полной реализации хотя бы одного из них.

Все выше сказанное свидетельствует о значимости исследования взаимосвязи различных аспектов использования моделей в обучении и условий реализации этой взаимосвязи.

Большая часть затруднений учащихся при изучении числовых множеств (и, в частности, положительных рациональных чисел) состоит в том, что школьники не могут установить взаимосвязи между знаниями и не умеют ими пользоваться (то есть не могут осознанно устанавливать взаимосвязи между знаниями). Поэтому мы обращаем внимание именно на формирование у учащихся умения осознанно устанавливать взаимосвязи между знаниями, и гипотеза исследования формулируется следующим образом:

Если при изучении числовых множеств в курсе математики 5-6 классов организовать работу с моделями, реализуя взаимосвязь четырех указанных аспектов использования моделей, то это будет способствовать осознанному установлению учащимися взаимосвязей между имеющимися и приобретаемыми знаниями.

Гипотеза проверялась на материале положительных рациональных чисел. В ходе исследования предполагалось решить следующие задачи:

1. Проанализировать состояние изучения арифметики положительных рациональных чисел в курсе математики 5-6 классов (содержание и методику обучения).

2. Выявить возможности использования моделей как; средства обучения, условия реализации этих возможностей при изучении школьниками 5-6 классов арифметики положительных рациональных чисел.

3. Установить требования к методике изучения понятия положительного рационального числа, основанной на использовании выявленных возможностей моделей.

4. Разработать такую методику, уделив особое внимание системе заданий для учащихся, цель которой состоит в том, чтобы способствовать осознанному установлению учащимися взаимосвязей между имеющимися и новыми знаниями.

5. Выявить критерии., позволяющие установить уровень осознанности установления учащимися взаимосвязей между знаниями, и экспериментально проверить действенность разработанной методики.

Для решения поставленных задач были использованы различные методы исследования: анализ математической, методической, философской и психолого-педагогической литературы, программ и учебников математики для начальной и средней школы, наблюдения за учебной деятельностью учащихся; опросы и беседы с учащимися и учителями; организация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов; обработка и интерпретация полученных данных.

В ходе исследования учитывался также собственный опыт работы в школе в качестве учителя математики в течение восьми лет.

Исследование проводилось с 1991 по 1995 г. г. и включало несколько этапов.

На первом этапе (1991-1993 г.г.) был проведен анализ философской, математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования. Были выявлены возможности использования моделей как средства обучения и условия реализации этих возможностей (в том числе - при изучении арифметики положительных рациональных чисел). Проведен анализ состояния изучения арифметики положительных рациональных чисел в курсе математики 5-6 классов (содержания и методики обучения), организован констатирующий эксперимент. Результатом этого этапа явилась разработка теоретической концепции исследования и основных положений методики использования моделей в процессе обучения, в том числе - требований к отбору моделей. Также были установлены требования к методике изучения положительных рациональных чисел, которая учитывает выявленные возможности моделей.

На втором этапе (1992-1993 г.г.) в ходе поискового эксперимента с учетом выделенных требований к отбору моделей и основных положений методики использования моделей в процессе обучения такая методика была разработана. При этом основное внимание было уделено систпмг заданий для учащихся, цель которой состояла в том, чтобы способствовать осознанному установлению учащимися взаимосвязей между имеющимися и приобретаемыми знаниями при изучении положительных рациональных чисел.

На третьем этапе (1993-1995 г.г.) с учетом установленных требований к методике изучения понятия положительного рационального числа, основанной на использовании моделей, а также данных поискового эксперимента были составлены методические рекомендации для учителей и проведен обучающий эксперимент. Были обобщены все полученные экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

1. Выявлены возможности использования моделей как средства изучения математического материала и условия реализации этих возможностей в курсе математики средней школы.

2. Доказана необходимость и возможность более полного учета познавательных возможностей моделей при изучении числовых множеств в курсе математики средней школы.

3. Показано, каким образом эти возможности и условия их реализации должны быть отражены в методике изучения числовых множеств, основанной на использовании моделей.

4. Установлены требования к методике изучения понятия положительного рационального числа, которая учитывает выявленные возможности использования моделей.

5. Сформулированы требования и создана система заданий для учащихся, основанная на использовании моделей в процессе формирования понятия положительного рационального числа и способствующая осознанному установлению учащимися взаимосвязей между имею

- 11 щимися и приобретаемыми знаниями.

Практическая значимость проведенного исследования заключается в разработке методики использования моделей при изучении положительных рациональных чисел в курсе математики 5-6 классов. Сформулированные теоретические положения и рекомендации целесообразно иметь в виду при изучении других числовых множеств в курсах как начальной, так и средней школ. Результаты исследования могут найти практическое применение также при составлении школьных учебников по математике, методических пособий, в курсах методики преподавания математики на математическом факультете и факультете начальных классов педагогических университетов и институтов.

Апробация результатов исследования осуществлялась в виде докладов на Герценовских чтениях (Санкт-Петербург, 1992, 1994, 1995 г.г.), семинаре аспирантов и преподавателей кафедры методики преподавания математики РГПУ им. А.И.Герцена (1994, 1995 г.г.), на лекциях для учителей в ИУУ г. Петрозаводска.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. К вопросу об использовании моделирования при изучении числовых систем в курсе математики 5-6 классов //Преподавание математики в школе и вузе: проблемы и перспективы. Тезисы докладов Герценовских чтений, посвященных 75-летию кафедры методики преподавания математики. - С.-Петербург: "Образование", 1994. -С. 39-40.

2. Задания к теме "Доли" в начальных классах. (Методические рекомендации). - Петрозаводск, Изд-во КГПИ, 1994. - 20 с.

3. Требования к системе заданий, используемой при формировании понятия числа //Школьное математическое образование: вопросы содержания и методов. Тезисы докладов на Герценовских чтениях. - С.-Петербург: "Образование", 1995. - С. 16-17.

4. Формирование понятия дроби в курсе математики 5-6 классов (Методические рекомендации). - Петрозаводск, Изд-во КГПИ, 1995. - 24 с.

- 13

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Марченко, Татьяна Сергеевна

- 170 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель проведенного исследования состояла в разработке методики изучения числовых множеств в школе, основанной на применении моделей. Получение такой методики представляет один из аспектов работы, направленной на достижение учащимися более высокого уровня осознанности знаний при изучении линии числа в средней школе.

В ходе исследования:

Во-первых, показано, что традиционный подход к использованию моделей дает возможность учесть далеко не все закономерности процесса обучения, выделенные психологами и дидактами, а, следовательно, неполно реализует познавательные возможности моделей. Он ориентирован в основном на использование моделей в качестве методического средства учителя (цель - наглядное изображение "ненаглядных" объектов), облегчающего восприятие и понимание знаний учащимися.

Более полно познавательные возможности моделей могут быть реализованы при использовании моделей в качестве средства формирования учебной деятельности ученика, обеспечивающего усвоение не только знаний, но и деятельности по их приобретению.

Чтобы в более полном объеме реализовать познавательные возможности моделей, необходимо иметь в виду ряд положений - следствий из психолого-педагогических закономерностей, характеризующих процесс усвоения знаний и умений.

Во-вторых, установлено, что более полный учет познавательных возможностей моделей обусловлен взаимосвязью четырех аспектов использования моделей в обучении. Мы рассматриваем более полный учет познавательных возможностей моделей как реализацию

- 171 комплекса условий, появляющихся за счет обращения к различным аспектам использования моделей. Эти аспекты связаны с: а) функциями учебных моделей (среди них можно выделить две интегративные: наглядную и регулятивную); б) целью использования модели (модели объектов изучения; модели действий и операций по изучению этих объектов); в) использованием моделей различного уровня абстрактности (предметных, графических, символических); г) использованием моделей различного уровня сложности в конструировании (готовых, частично и самостоятельно конструируемых учащимися).

В-третьих, выделены требования к методике изучения положительных рациональных чисел в курсе математики 5-6 классов, основанной на использовании моделей;

1. В процессе формирования понятия положительного рационального числа должны быть более полно учтены познавательные возможности моделей, что предполагает:

1) более полный учет функций модели: выполнение моделью не только наглядной, но и регулятивной функции; выбор приоритетной функции связан с тем, на каком этапе формирования математического понятия используется модель (таблица 2).

2) использование модели и как модели объекта, и как модели действий по изучению этого объекта; выбор приоритетного вида модели определяется особенностями конкретного этапа формирования математического понятия (таблица 3);

3) использование моделей различного уровня сложности в конструировании (готовых, частично и самостоятельно конструируемых учащимися), которые вводятся в указанной последовательности; учет при их использовании индивидуальных и возрастных особенное

- 172 тей учащихся; выбор приоритетной модели обусловлен спецификой конкретного этапа формирования математического понятия (таблица 4);

4) использование моделей различного уровня абстрактности (вводимых в последовательности: предметные графические, символические); установление взаимосвязей этих видов моделей, а также учет индивидуальных особенностей учащихся при их использовании; выбор приоритетной модели зависит от того, какой этап формирования понятия реализуется (таблица 5);

Эти требования работы с моделями должны учитываться при формировании любого понятия в процессе изучения положительных рациональных чисел. Их выполнение должно привести к использованию моделей не только как наглядного средства, но и как средства формирования такой деятельности учащихся, которая характеризуется осознанным установлением взаимосвязей между имеющимися и приобретаемыми знаниями.

Подчеркнем: перечисленные требования сформулированы без учета специфики процесса изучения положительных рациональных чисел. Поэтому их можно считать общими требованиями, которым должна удовлетворять методика изучения любых числовых множеств, основанная на использовании моделей.

Более того, можно с большой степенью вероятности утверждать, что перечисленные требования являются также и требованиями к методике формирования математических знаний и деятельности по их приобретению, которые предполагают обращение к моделям.

2. Следует учитывать особенности использования моделей, свойственные процессу изучения положительных рациональных чисел. Эти особенности заключаются в:

1) дифференцированном использовании моделей по отношению к

- 173 старым" и "новым" понятиям. Использование моделей по отношению к "новым" понятиям должно подчиняться сформулированным выше требованиям (п. 1). По отношению к "старым" понятиям это проявляется в: а) выполнении моделью преимущественно иллюстративной функции (при необходимости модель может выступать и в любой другой функции); б) преимущественном использовании модели в качестве модели объекта (при необходимости она может быть представлена и как модель деятельности по изучению этого объекта); в) преимущественном использовании символических моделей (при необходимости набор символических моделей может быть дополнен другими видами моделей по уровню абстрактности);

2) учете индивидуального характера использования моделей (в конечном итоге все вышеизложенные требования могут быть реализованы только при условии выполнения этого требования).

3. При формировании понятия положительного рационального числа должны использоваться модели величин, а также дискретные .множества.

4. Используя модели с целью мотивации необходимости введения дробных чисел, следует обращаться к измерению величин как основному источнику возникновения дробей.

В-четвертых, показано, что при изучении числовых множеств в курсе математики средней школы должна соблюдаться преемственность в использовании моделей. Это означает, что при изучении каждого конкретного числового множества работа с моделями должна строиться с учетом особенностей использования моделей и опыта применения моделей учащимися при изучении предшествующего множества.

- 174

В-пятых, доказано, что реализацию разработанной нами методики обеспечивает специально составленная система заданий (представляющая основу этой методики и удовлетворяющая требованиям к ней).

В-шестых, результаты внедрения методических материалов, полученных в ходе исследования, подтвердили выдвинутую нами гипотезу о том, что если при изучении положительных рациональных чисел организовать работу с моделями, реализуя взаимосвязь четырех аспектов использования моделей, то это будет способствовать осознанному установлению учащимися взаимосвязей между имеющимися и приобретаемыми знаниями. Результаты экспериментальной проверки показали, что разработанная методика способствует не только повышению уровня осознанности учащимися знаний, но и формированию у школьников ряда обобщенных умений и черт творческой деятельности: выбирать и использовать удобную модель для решения задач, объяснять с помощью модели деятельность по приобретению знаний, а также контролировать ее и проверять полученные результаты; применять изученные математические факты; видеть роль известных знаний в процессе приобретения новых, самостоятельно приобретать знания, переносить сформированные умения в новые ситуации. Это свидетельствует о том, что предложенный нами подход к использованию моделей способствует превращению ученика из объекта в субъект своей учебной деятельности, что, в свою очередь, приводит не только к приобретению осознанных знаний, но и к развитию личности ученика. Заметим, что наличие указанных общеучебных умений - необходимое условие выполнения учеником деятельности моделирования.

Перечисленные результаты убеждают в практической значимости проведенного исследования.

- 175

Направления дальнейшего исследования проблемы использования моделей в обучении математике мы видим в:

- разработке методик изучения отрицательных и действительных чисел, построенных с учетом, во-первых, общих требований к использованию моделей при формировании математических знаний; во-вторых, требований, отражающих специфику применения моделей при изучении конкретного числового множества: в-третьих, требования преемственности к работе с моделями при изучении числовых множеств;

- установлении условий более полного учета познавательных возможностей моделей при изучении алгебраического и геометрического материала, при решении задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Марченко, Татьяна Сергеевна, 1995 год

1. Агибалов А.В. Конструирование тестов и методика их использо-вания при контроле знаний учащихся по математике: Автореф. дисс канд. пед. наук. М., 1987. - 16 с.

2. Айдарова Л. И. Психологические проблемы обучения младшихшкольников русскому языку //Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. Под ред. И.И.Ильясова, В.Я.Ляудис. М.: Изд-во МГУ, 1981. - С. 239-242.

3. Акопян Е.А. Учить, школьников самостоятельно приобретать знания и умения //Математика в школе. 1980. - N 5 - С. 45.

4. Андронов И.К. Арифметика дробных чисел и основных величин.

5. М.: Учпедгиз. !955. - 344 с.

6. Бабанский Ю. К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований. (Дидактический аспект). М.: Педагогика, 1982. - 191 с.

7. Банков К., Сендова Е. "Действенная математика" проектшкольного курса математики //Математика в школе. 1991. -N5. - а 9-11.

8. БантоваМ. А., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учебное пособие для учащихся школьных отделений пед. училищ /Под ред. М.А.Байтовой. 3-е изд., испр. - М.: Просвещение, 1984. - 335 с.

9. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков

10. Начальная школа. 1975. - N10, - С. 51-55.

11. Бакмаев Ш.А. Методика реализации внутрипредметных связей прирешении математических задач: Дисс. канд. пед. наук. -Л., 1990. 142 с.

12. Бельтюкова Г.В. Формирование понятия натурального числа у- 177 младших школьников: Дисс канд. пед. наук. Л., 1965. 311 с.

13. Березанская Е.С. Методика арифметики. Пособие для учителейсредней школы. Изд. 4-е, М.: Учпедгиз, 1947. - 436 с.

14. Блонский П.П. Избранные педагогический и психологические сочинения: в 2-х т. Т. 2. М.: Педагогика, 1979. - 399 с.

15. Блонский П.П. Избранные психологические произведения. М.:1. Просвещение, 1964. 547 с.

16. Богоявленский Д.Н. Приемы умственной деятельности и их формирование у школьников //Вопросы психологии. 1969. - N 2.- С. 29-34.

17. Брадис В.М. Методика преподавания в средней школе: Учебноепособие для пед. институтов и гос. университетов /Под ред. А.И.Марушкевича, изд. 3-е, М.: Учпедгиз, 1954. - 504 с.

18. Брунер Дж. Процесс обучения. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.84 с.

19. Брунер Дж. Психология познания. М.: Прогресс, 1977. - 412с.

20. Брушлинский А.В. Мышление и прогнозирование: (Логико-психологический анализ) М.: Мысль, 1979. - 230 с.

21. Валлон А. От действий к мысли /Под ред. А.Леонтьева. М.:

22. Изд-во АН СССР, 1956. 238 с.

23. Варданян А. У. Психологические особенности моделир ования вучебной деятельности школьников //Психология учебной деятельности школьников /Под ред. В.В.Давыдова. М.: 1982. -С. 109-111.

24. Вертгемейер М. Продуктивное мышление. М.: Прогресс, 1987.- 336 с.

25. Виленкин Н.Я., Блох А.Я., Таварткиладзе Р.К. Воспитание мыс- 178 лительных способностей учащихся в процессе обучения математике //Современные проблемы методики преподавания математики. М.: Просвещение, 1985. - С. 42-51.

26. Виленкин Н.Я., Пуркина В. Ф. Использование представлений оматематическом моделировании для развития межпредметных связей в обучении //Методика преподавания математики в школе. Свердловск, 1981. - С. 132-141.

27. Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков

28. Под ред. Д.Б.Эльконина и Т.В.Драгуновой. М.: Просвещение, 1967. - 360 с.

29. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышленияучащихся /Под ред. И.С.Якиманской. М.: Педагогика, 1989. - 224 С.

30. Волович М.Б. Средства наглядности как материальная основауправления процессом усвоения знаний //Советская педагогика. 1979. - N9. - С. 64-70.

31. Выготский Л.С. Мышление и речь. М.: Соцэкгиз, 1934. - 324с.

32. Выготский Л.С. Педология подростка /Выготский Л.С. Собр.соч. в 6-ти т. Т. 4. - М.: Педагогика, 1982. - 504 с.

33. Выготский Л.С. Развитие высших психических функций. М.:1. АПН РСФСР, 1960. 500 с.

34. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. М.: Изд-во МГУ, 1985. - 45 с.

35. Гальперин П.Я. Развитие исследований по формированию умственных действий //Психологическая наука в СССР. Т. 1. -М., 1969 .

36. Гастева С. Я. Вопросы методики преподавания обыкновенных дробей в курсе средней школы: автореф. дисс канд. пед. наук. Л.: 1954. - 17 с.

37. Гамезо М. В., Ломов Б.Ф., Рубахин В.Ф., Психологические аспекты методологии и общей теории знаков и знаковых систем //Психологические проблемы переработки знаковой информации. М- : Наука, 1977. С. 5-49.

38. Гинбаяси К., Чошанов М., Ямазаки М. Радостные уроки, или почему японские дети любят математику //Народное образование. 1991. - N12. - С. 53-58.

39. Гнеденко Б. В. Математика в современном мире и математическоеобразование //Математика в школе. 1991. - N1. - С. 2-4.

40. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. М.: Педагогика, 1987. - 158 с.

41. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1990.-223 с.

42. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задачи. Воронеж: Изд-во воронежского ун-та, 1976. 327 с.

43. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика,1972. 423 с.

44. Давыдов В.В., Цветкович Ж. 0 предметных источниках понятиядроби //Психологические возможности младших школьников в усвоении математики. М.: Просвещение, 1969. - С. 76-114.

45. Давыдов В.В., Варданян А. У. Учебная деятельность и моделирование. Ереван, Луйс, 1981. - 220 с.

46. Драгунова Т.В. Подросток. М.: Знание, 1976. 96 с.

47. Дорф П. Я. Наглядные пособия по математике. М.: Учпедгиз,1955. 159 с.

48. Есиков А.И. Активизация познавательной деятельности учащихсяпри формировании вычислительных умений и навыков в 4-5- 180 классах: Автореф. дисс канд. пед. наук. Л.: 1985. 17 с.

49. Жилина Е.И. Алгоритмическая и алгебраическая линии в изучении числовых систем в курсе математики 4-5 классов:Автореф. дисс канд. пед. наук. М.: 1980. - 16 с.

50. Зависимость обучения от типа ориентировочной деятельности:

51. Сборник статей /Под ред. П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной. -М.: Изд-во МГУ, 1968. 238 с.

52. Ильясов И.И. Структура процесса учения. М.: 1986. - 200 с.

53. Кабанова-Меллер E.H. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

54. Калмыкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения. М.: Знание, 1979. - 48 с.

55. Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике. Минск: Народная асвета, 1981. - 191 с.

56. Каплан Ш.Ш. САмостоятельная работа учащихся с пооперационнымуправлением и контролем в процессе изучения обыкновенныхдробей: Автореф. дисс канд. пед. наук. Алма-Ата,1973. 27 с.

57. Качества знаний учащихся и пути его совершенствования /Подред. М. Н. Скаткина, А. В. Краевского. М.: Педагогика, 1978. - 208 с.

58. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.

59. Т. 1. М.: Наука, 1987. - 432 с.

60. Колмогорова Л. С. Особенности формирования действия при разных видах его материализации: Автореф. дисс канд. псих.наук. М.: 1980. - 20 с.

61. Колягин Ю.М., Луканкин Г.А. Основные понятия современного- 181 школьного курса математики в средней школе. М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

62. Компанийц П.А. Некоторые вопросы школьного курса математики

63. Известия АПН РСФСР. вып. 95. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1958. - 292 с.

64. Кон И. С. Психология ранней юности. М.: Просвещение, 1989.- 255 с.

65. Концепция развития школьного математического образования

66. Математика в школе. 1990. - С. 2-14.

67. Крутихина М.В. Обучение элементам моделирования при решениисюжетных задач в курсе алгебры восьмилетней школы как путь реализации прикладной направленности школьного курса математики: дисс канд. пед. наук. Л.: 1986. - 213 с.

68. Кусый Ю.А. Методы и приемы применения моделирования в процессе усвоения учащимися новых знаний (на материале предметов естеств.-мат. цикла 9-10-х классов): Автореф. диссканд. пед. наук. Киев, 1978. - 25 с.

69. Кухарь В.М. Развитие понятия о числе в средней школе: Автореф. дисс канд. пед. наук. Киев, 1955. - 18 с.

70. Лебег А. Об измерении величин / Пер. с франц.; Предисл.

71. А.Н.Колмогорова. изд. 2. - М.: Учпедгиз, 1960. - 204 с.

72. Лебединцев К.Ф. Счет и мера. Арифметика в связи с зачаткамигеометрии. М., 1923. - 207 с.

73. Леонтьев А. Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Полиитиздат, 1975. 304 с.

74. Леонтьев А. Н. Проблемы развития психики. 4-е изд. М.:1. Изд-во МГУ, 1981. 584 с.

75. Лернер И. Я. Дидактические основы методов обучения. М.: Педагогика, 1981. 186 с.- 182

76. Лернер И.Я. Качества знаний учащихся. Какими они должныбыть? М.: Знание, 1978 . - 48 с.

77. Лингарт И. Процесс и структура человеческого учения. М.:1. Прогресс, 1970. 685 с.

78. ЛященкоЕ.И. Роль учебной задачи в организации деятельностиучащихся на уроках математики //Активизация познавательной деятельности учащихся. Л., 1985. - С. 98-105.

79. Малахова А. Д. Взаимодействие образных и вербальных компонетв процессах понимания //Вопросы психологии. 1981. - N5. -С. 63-73.

80. Мамардашвили М.К. Форма и содержание мышления. М.: Высшаяшкола, 1968. 48 с.

81. Манукян С.П. Формирование личностного отношения учащихся кучебной деятельности //Новые исследования в пед. науках. -1981. N1. - С. 55-58.

82. Маркова А.К. Психология обучения подростка. М.: Знания,1975 . 64 с.

83. Маркова А.К. Психология усвоения языка как средства общения. М.: Педагогика, 1974. - 239 с.

84. Маркова А.К. Формирования мотиваций учения. Книга для учителя. /А.К.Маркова, Т.А.Матис, А.Б.Орлов. М.: Просвещение, 1990. - С. 78-121.

85. Марченко Т.С. Задания к теме "Доли" в начальных классах (Методические рекомендации). Петрозаводск, изд-во. КГПИ, 1994. - 20 с.

86. Марченко Т.О. Формирование понятия дроби в курсе математики5.6 классов (Методические рекомендации). Петрозаводск, изд-во КГПИ, 1995. - 24 с.

87. Математика, ее преподавание, приложения и история /Под ред.- 183

88. Я.С.Дубнова, А.А.Ляпунова, А.И.Маркушевича. Вып. 1. - М.: Гос. издат. Технико-теор. литературы, 1957. - С. 9-22.

89. Математика: Учебник для 3 класса трехлетней начальной школы

90. Пчелко A.C., Бантова М. А., Моро М. И., Пышкало A.M. 16-е изд. М.: Просвещение, 1987. - 208 с.

91. Математика: Учебник для 4 класса четырехлетней начальнойшколы /Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др. Под ред. Ю.М. Колягина. М.: Просвещение, 1989. - 223 с.

92. Математика: Пробный учебник для 5 класса средней школы

93. И. В. Баранова, 3. Г. Борчугова; Под ред. Н. М. Матвеева. М.: Просвещение, 1989. - 239 с.

94. Математика: Пробный учебник для 6 класса средней школы

95. И.В.Баранова, 3.Г.Борчугова; Под ред. Н.М.Матвеева. М.: Просвещение 1988. - 240 с.

96. Математика: Учебник для 5 класса средней школы /Н. Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С. И.Шварцбурд, В.И.Жохов. М.: Просвещение, 1990. - 304 с.

97. Математика: Учебник для 6 класса средней школы /Н.Я.Виленкин, А. С. Чесноков, С.И.Шварцбурд, В.И.Жохов. М.: Просвещение, 1991. - 256 с.

98. Математика: Учебник собеседник для 5-6 классов средней школы / Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И. 0. Коряков, М. В. Волков. М.: Просвещение, 1989. - 495 с.

99. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении.

100. М.: Педагогика, 1972. 168 с.

101. Мелекесов Г. А. Вопросы методики изучения числовых систем вкурсе алгебры восьмилетней школы. Дисс канд. пед. наук. - М.: 1980. - 238 с.

102. Менчинская H.A. Психология обучения арифметике. М.: Учпедгиз, 1955. 432 с.

103. Менцис Я.Я. Обучение математическим действиям в их смысловомаспекте (в 4-5 классах на множестве рациональных чисел). Дисс канд. пед. наук. Рига, 1984. - 192 с.

104. Методика преподавания математики в средней школе: Частнаяметодика: Учебное пособие для студентов пед. инстиутов физ. -мат. спец. /А. Я. Блох, В.А.Гусев, Г. В. Дорофеев и др.: Состав. В.И.Мишин. М.: Просвещение 1987. - 416 с.

105. Методика преподавания математики в средней школе /Состав.

106. Р.С.Черкасов, А. А.Столяр, М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

107. Мехтизаде 3.М. Психологический анализ основных трудностей вусвоении учащимимся 5 класса раздела о делимости чисел иопераций с дробями: Автореф. дисс канд. пед. наук. 1. М.: 1953 . 15 с.

108. Микулина Г.Г. Действия с предметами как основа усвоения математических понятий //Начальная школа. 1983. - N9. - С. 36-39.

109. Минская Г.И. Формирование понятия числа на основе изученияотношения величин (младшие классы школы) //Возрастные возможности усвоения знаний. /Под ред. Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, М.: Просвещение, 1966. С. 190-235.

110. Монахов В. Н., Гуревич В. Ю. Оптимизация объема и структурыучебного материала //Советская педагогика. 1981. - N12. -С. 19-25.

111. Моро М.И., Пышкало A.M. Методика обучения математике в 1-3классах: Пособие для учителя. 2-е изд., перераб. и доп. -м.: Просвещение, 1978. - 336 с.

112. Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. М.: Мысль, 1969. - 212 с.- 185

113. Муравьев E.G. Использование моделирования как средства обучения началам математического анализа в старших классахсредней школы: Дисс---- канд. пед. наук. Л., 1988. 180 с.

114. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учебник для 5 класса средней школы. М.: Просвещение, 1990. - 304 с.

115. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э Математика: Учебник для 6 класса средней школы. М.: Просвещение, 1991. - 224 с.

116. Окунев A.A. Спасибо за урок, дети! Книга для учителя: Из опыта работы. М.: Просвещение, 1988. - 129 с.

117. Параскеви, Лаина. Результативность обучения математике в школе: Дисс канд. пед. наук. Л., 1991. - 231 с.

118. Познавательные процессы и способности в обучении /Под ред. В. Д. Шадрикова. М.: Просвещение, 1990. - 142 с.

119. Поляк Г.Б. Преподавание арифметики в начальной школе. М.: Учпедгиз, 1959. - 352 с.

120. Попкович В.В. Модели в курсе физики в средней школе: Автореф. дисс канд. пед. наук. Киев, 1971. - 22 с.

121. Проблемы формирования познавательных способностей в дошкольном возрасте (на материале овладения действиями пространственного моделирования) /Ред. Л.А.Венгер. М.: НИИ0П, 1980. - 85 с.

122. Программы восьмилетней и средней школы: Начальные классы (1-3 кл.). М.: Просвещение, 1985. - 240 с*

123. Программы средней общеобразовательной школы: Математика. -М.: Просвещение, 1988. 78 с.

124. Программы средней общеобразовательной школы: Начальные классы (1-4-й кл. одиннадцатилетней школы). М.: Просвещение, 1988. - 264 с.- 186

125. Психологические проблемы повышения качества обучения и воспитания: Сб. науч. тр. М., 1984. - 172 с.

126. Пуркина В. Ф. Методика реализации внутрипредметных связей при изучении числовых систем в восьмилетней школе. Дисс канд. пед. наук. Л.: 1985. - 173 с.

127. Психологические критерии качества знаний школьников: Сб. Науч. тр. /Под ред. И.С. Якиманской. М.: Изд-во АПН СССР, 1990. - 142 с.

128. ИЗ. Пчелко A.C. Методика преподавания арифметики в начальной школе. 5-е изд-е. М.: Учпедгиз, 1953. - 39ё с.

129. Развитие творческой активности школьников /Под ред. А.М.Ма-тюшкина. М.: Педагогика, 1991. - 154 с.

130. Рубинштейн С.Л. 0 мышлении и путях его исследования. М.: Изд-во АН СССР, 1958. - 147 с.

131. Рычик М.И. От наглядных образов к научным понятиям. Киев,1987. 79 с.

132. Салмина Н.Г. Виды материализации в обучении. М.: 1981. -134 с.

133. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. М.: Изд-во. МГУ,1988. 286 с.

134. Самарин Ю. А. Очерки психологии ума. Особенности умственной деятельности школьников. М.: Изд-во. АПН РСФСР, 1962. -503 с.

135. Самарский A.A. Эксперимент ведет математика: Интервью газете Известия //Известия. 1984. - 24.04.

136. Семикова М.Ш. Методика активного изучения курса математики на уроках в 4-5 классах общеобразовательной школы: Автореф. дисс канд. пед. наук. М., 1987. - 16 с.

137. Сенько Ю.В., Тамарин В.Э. Обучение и жизненный опыт учащих- 187 ся. M. : Знание. - 1989. - 80 с.

138. Скобелев Г.Н. Контроль на уроках математики. Минск, Народная Асвета, 1986. - 104 с.

139. Славин A.B. Наглядный образ в структуре познания. М.: Политиздат, 1971. - 271 с.

140. Слепкань 3. И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе: Дисс. в форме науч. докл. на соиск. уч. степ. д. п. н. (13.00.02).

141. Смирнов С.Д. Психология образа: Проблема активности психического отражения. М. : МГУ, 1985. - 230 с.

142. Солодухин H.A. Моделирование как метод обучения физике всредней школе: Автореф. дисс канд. пед. наук. М.,1971. 23 с.

143. Стефанова Н.Л. Методика формирования вычислительных навыков учащихся 4-5 классов: Дисс канд. пед. наук. Л., 1983.221 С.

144. Сохор А.М. Логическая структура учебного материала. М.: Педагогика, 1974. - 192 с.

145. Столетнев B.C. Оперирование пространственными образами при решении задач //Новые исследования психологии. 1979. - N1 (20). - С. 41-45.

146. Стукалов В. А. Использование представлений о математическом моделировании в обучении математике: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1975. - 31 с.

147. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 343 с.

148. Требования к знаниям и умениям школьников: Дидактико-мето-дический анализ /Под ред. А.А.Кузнецова. М.: Педагогика, 1987. - 176 с.- 188

149. Тюхтин B.C. Особености переработки знаковой информации человеком и ЭВМ //Психологические проблемы переработки знаковой информации. М.: Наука, 1977. - С. 57-69.

150. Уметский В,А, Некоторые вопросы преподавания арифметики в 5-6 классах. М.: Учпедгиз, 1959. - 96 с.

151. Усова A.B. Психолого-дидактические основы формирования у учащихся научных понятий. Челябинск» ЧГПИ, 1986. - 84 с.

152. Фокин Б.Д. Здравый смысл и решение задач: В помощь учителю //Математика в школе. 1994 . - N2. - С. 21 - 23.

153. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного формирования умственных действий / Под ред. П.Я. Гальперина и Н.Ф.Талызиной. М.: Изд-во МГУ, 1968.- 136 с.

154. Фридман Л.М., Земцова Л.И. К вопросу о реализации потенциальных возможностей учащихся в учении // Вопросы психологии. 1981. - N6. - С. 93-98.

155. Фридман Л. М. Моделирование в учебной деятельности школьников /Пол ред. В.В.Давыдова, И.Ломпшера, А.К.Марковой. М.: Педагогика, 1982. - С. 73-86.

156. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. М.: Знание, 1984. - 80 с.

157. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю о педагогической психологии . М.: Просвещение, 1983. - 157 с.

158. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Часть 1. М.: Просвещение, 1982. - 208 с.

159. Фрумин И.Д., Эльконин Д.Б. Образовательное пространство как пространство развития ("школа взросления") //Вопросы психологии. 1993. - N1. - С. 24-32.

160. Хинчин А.Я. Основные понятия математики и математические- 189 определения в средней школе. М.: Учпедгиз, 1940. - 52 с.

161. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: АПН РСФСР, 1963. -302 с.

162. Чудновский В. Э. Индивидуальный стиль деятельности школьника //Советская педагогика. 1988. - N9. - С. 69-75.

163. Цукарь А.Я. Практика и образы при изучении обыкновенных дробей //Математика в школе. 1994. - N5. - С. 5-8.

164. Шадыев Т. Использование моделирования в обучении решениюфизических задач: Автореф. дисс канд. пед. наук. М.,1982. 16 с.

165. Шапоринский С.А. Обучение и научное познание. М.: Педагогика, 1981. - 208 с.

166. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 303 с.

167. Шевченко И.Н. Методика преподавания арифметики в 5-6 классах. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961. - 390 с.

168. Шибанов A.A. Моделирование в обучении //Советская педагогика. 1967. - N4. - С. 119-126.

169. Шихалиев X.Ш. Изучение числа (натурального, целого и рационального в 4-5 классах на теоретико-множественной основе: Автореф. дисс канд. пед. наук. М., 1972. - 19 с.

170. Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики: Пособие для учителей средних учебных заведений. Изд-е т-ва "И.Д.Сытина", Москва С-Петербург. 1914. - 524 с.

171. Штофф В.А. Роль моделей в познании. Л.: Изд-во ЛГУ, 1963. - 128 с.

172. Штофф В.А. Моделирование и философия. М. -Л.: Наука, 1966. - 301 с.

173. Эльконин Д.Б. Психологические вопросы формирования учебной- 190 деятельности в младшем школьном возрасте //Вопросы психологии обучения и воспитания /Под ред. Г.С.Костюка. Киев, 1961. - С. 25-36.

174. Эльконин Д. Б. Психология обучения младшего школьника. М.: Знание, 1974. - 64 с.

175. Эльконин Д.Б. Экспериментальный анализ начального этапа обучения чтению //Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - С. 7-50.

176. Якиманская И.С. Знание и мышление школьника. М.: Знание, 1985. - 78 с.

177. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. - 141 с.