Методические основы процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Крючкова, Валентина Владимировна

• Крючкова, Валентина Владимировна
• кандидат педагогических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Крючкова, Валентина Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ПОНЯТИЙ.

§ I. Содержание процесса определения понятий.

1.1. 0 различных смыслах понятия "определение"

1.2. Специфика процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы.

1.3. Критерии строгости определений в школьном курсе математики.

1.4. Познавательные функции определений.

§ 2. Психолого-дидактические основы процесса определения понятий.

2.1. Место процесса определения в формировании у учащихся математических понятий.

2.2. Проблема овладения логическим приемом определения понятий.

2.3. Процесс определения как предмет специального внимания учителя.

2.4. Логический прием определения как предмет специального усвоения учащимися.

Глава П. МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ПОНЯТИЙ.

§ I. Система методического обеспечения процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы.

1.1. Основные принципы методического обеспечения процесса определения понятий.

1.2. Содержание знаний о понятиях и их определениях, методы их введения и изучения.

1.3. Язык учебного предмета "алгебра" и определения.

1.4. Система требований к заданиям, обучающим учащихся процессу определения понятий (на материале курса алгебры восьмилетней школы).

§ 2. Методические особенности уроков введения и определения понятий в теме "Основные понятия"

§ 3. Методические вопросы процесса определения понятий в теме "Многочлены".

3.1. Принципы и подходы к определению понятий к теме "Многочлены"

3.2. Содержание и методика экспериментальной работы по теме "Многочлены".

§ 4. Задачи, организация и этапы педагогического эксперимента.

ЗА К Л Ю Ч Е Н И Е.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методические основы процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы»

Общество развитого социализма, научно-технический прогресс, противоборство двух социальных систем предъявляют новые повышенные требования к всестороннему развитию и коммунистическому воспитанию подрастающего поколения. Партия добивается того, подчеркивалось на июньском (1983 г.) Пленуме ЦК КПСС, чтобы человек воспитывался "не просто как носитель определенной суммы знаний, но прежде всего - как гражданин социалистического общества, активный строитель коммунизма с присущими ему идейными установками, моралью и интересами, высокой культурой труда и поведения?'®' В связи с этим очень важно, чтобы учащиеся не только приобретали глубокие знания, но и умели ими активно пользоваться, важно воспитать привычку и любовь к полезному труду, достичь определенного уровня культуры учебной деятельности.

В свете данных требований особое значение приобретает задача обучения учащихся логической стороне учебно-познавательной деятельности. Школа обязана дать учащимся навык определения, классификации понятий, построения умозаключений и доказательств. Поэтому учитель должен быть вооружен средствами организации и управления соответствующей логико-познавательной деятельностью. В первую очередь это относится к процессу формирования понятий.

Общая методика безотносительно к учебному предмету смотрит на определение как на этап в формировании у учащихся научных понятий. Каждый из учебных предметов вносит свою лепту в представление об определениях, их месте и роли в организации научных знаний, однако приоритет в этом деле принадлежит учебным дисциплинам естественно-математического цикла и, в первую очередь, Материалы Пленума ЦК КПСС, 14-15 июня 1983 г. - М.: Политиздат, 1983, с.18. математическим предметам. Это обусловливается тем, что они должны отличаться и отличаются отточенностью логической формы определений, многообразием видов. Их содержание позволяет органически связать работу над формированием собственно математических понятий с развитием необходимых общелогических умений. Отсюда то особое внимание работе с определениями, на которое обращают руководящие документы Министерства просвещения СССР "Культура обращения учащихся с определениями является очень показательным проявлением их общего математического развития" (140, с.7).

Отчетные материалы об итогах выпускных экзаменов в средних школах и вступительных экзаменов в вузы, а также наши констатирующие эксперименты свидетельствуют об имеющихся трудностях и недостатках в усвоении учащимися математических понятий и их определений. Медленно происходит дифференциация понятий. Учащиеся имеют смутные представления о смысле определения,его значении, правилах построения и использовании. Они испытывают трудности в воспроизведении определения известного понятия,воспринимая его "нерасчлененным куском", путают определения и теоремы, не умеют аргументированно воспользоваться определением в рассуждениях. Эти недостатки во многом связаны с тем,что работа с определениями, доказательств ом теорем на уроках часто сводится к простому пересказу учебника.

В условиях реформы математического образования,составления принципиально новых программ, написания новых учебников, поднимается острая дискуссия вокруг качества принятой системы понятий и их определений, по вопросу о месте и роли определений в школьном курсе математики.

Б логике термин "определение" имеет двоякий смысл. С одной стороны, определение - это мыслительный процесс, логическая операция, посредством которой раскрывается содержание понятия; с другой - итог операции, форма выражения содержания понятия, предложение . В дидактико-методических исследованиях превалирует обычно второй смысл. В результате, рассматривая отношение между понятием и определением как отношение между содержанием и формой, некоторые из методистов противопоставляют процесс обучения понятиям процессу обучения определениям, выдвигая на первое место проблему обучения понятиям. Но и при таком подходе методика обучения давать правильные определения оказывается сложной и по сути дела недостаточно разработанной (39,54,55,127).

В методической литературе мы отмечаем свободное, многозначное, вольное употребление термина "определение": "наглядно-описательное определение" (138,с.15), "нестрогое, но интуитивно понятное определение" (103,с.47), "формально-логическое определение" (192,с.154), "педагогическое определение" (116,с.18) и т.д. Школьные учебники математики не выдерживают единого подхода к использованию термина "определение". В них можно найти достаточно много примеров, когда предложения, и структурно, и содержательно одинаковые в одном случае называются определениями, а в другом - нет. Наконец, в методической литературе оказывается до сих пор дискуссионным вопрос об отношении (сходстве или различии) определений и теорем-признаков. Возникающие трудности делают понятными требования учительской массы о необходимости "облегчить работу учителя и учащихся по безошибочному выявлению в учебном математическом материале различных форм мысли. Необходимо, чтобы вещи назывались там своими "логическими" именами: определение, аксиома, теорема" (165,с.77).

Описанное разночтение термина "определение" оставляет неясным вопрос о смысле и назначении определения в школьном курсе математики, затрудняет чтение учителем методических рекомендаций, не снимает сомнений учителя в выборе того или иного определения, в целесообразности отдельных определений, затруднений в формулировке некоторых определений, в постановке вопросов, относящихся к использованию определений.

Нам представляется целесообразным остановиться на первом смысле термина "определение" - процессе определения понятий. "Определить понятие - означает развить его, превратить его в другое понятие, включить в узловую линию понятийных превращений. Это означает далее, определить его место в системе понятий, в теоретической структуре" (24,с.53).

Процесс определения школьных математических понятий может осуществляться многопланово: через описание правил оперирования с понятием; посредством сравнения понятий и установления отношений между ними; с помощью существенных свойств, зафиксированных либо в дефинициях - определяющих предложениях, либо в теоремах-признаках понятия; путем создания теории, отличительной чертой которой является определенная система взаимосвязанных понятий и т.д. Работа с определениями-предложениями - лишь один из этапов осуществления в школе процесса определения понятий. Поэтому и на нее полезно смотреть под следующим углом зрения: овладение определением не в целях запоминания, а в качестве познавательного приема. В этом случае возникает необходимость описания процесса определения, актуальным оказывается исследование соответствующей познавательной деятельности как предмета специального усвоения, как объекта управления со стороны обучающего .

В советской методике А.Я.Хинчин первым заострил внимание учителей и методистов на вопросах, связанных с определением математических понятий в школьном преподавании. Он подчеркнул, что они "могут получить успешное разрешение при том условии, что от беспочвенных споров по поводу определения тех или иных понятий мы перейдем к постановке этой большой научно-методической задачи и выработаем основные принципы построения математических определений в школе" (197,с.86). Ецу принадлежат бесспорные и основополагающие принципы - фундамент решения поставленных вопросов.

В обзоре дальнейших исследований по данной тематике мы выделим три направления.

Первое направление вытекает из существовавшего до 1953 г. учебного предмета "логика". В нем излагались некоторые элементы логики, в частности, - понятие, определение, деление и т.д., в традиционном для формальной логики духе. Для практических заданий, иллюстраций примеры черпались из разных учебных предметов, в том числе, из математики.

После того, как учебный предмет "логика" был исключен из учебного плана средней школы, его "нагрузка" была переложена на плечи других предметов, в первую очередь, на учебные предметы математического цикла.

В работах И.А.Гибша, А.Д.Семушина и А.И.Фетисова (47,191, 192) исследуются возможности развития логического мышления у учащихся в процессе преподавания математики в средней школе. Авторы рекомендуют вводить в преподавание элементы логики (с УШ класса). Среди этих элементов ими выделены определение и деление понятий, сделана попытка раскрыть содержание этих логических операций в духе требований учебного предмета "математика", заострен вопрос о методическом обеспечении работы с определениями. Эти методисты выделили некоторые знания и умения (в том числе, связанные с определениями понятий), которыми должны овладеть учащиеся.

Работы Ф.Ф.Притуло (154,155) - этого же направления. Особенно выпукло в них исследуется вопрос о том, как сделать определение в курсе математики оперативным, как облегчить его запоминание учащимися, как научить их понимать значение определения, давать определение и использовать его. Книга (154), ориентированная на студентов (будущих учителей), убеждает их в том, что учитель должен знать логику, сообщает необходимые сведения из традиционного учения логики. В статье (155) Ф.Ф.Притуло описывает свой опыт включения предварительных сведений из логики в предметное содержание математики 9 класса. Оставаясь в рамках часов, отведенных на изучение математики, он увязывает эти сведения с курсом математики, выделяет вопросы в отдельные темы, делая обязательным их усвоение.

Рассмотрению принципиальных вопросов, относящихся к логической сущности понятия, к структуре определения математических понятий, к методике изложения определения, посвящена книга В.В.Никитина и K.A.FynacoBa (127). Направления их исследования -определение и культура математической речи учащихся; определение и дедукция в математике; определение и теоремы - признаки; определение и классификация и т.д. Структура книги свидетельствует о том, что ее авторы методически исследуют процесс определения понятий в школьном курсе математики. Эта книга адресована учителю, но предполагается сообщение учащимся сведений о логическом смысле, структуре и правилах определения с помощью специально поставленных вопросов и задач. В процессе определения понятий, подчеркивают В.В.Никитин и К.А.Рупасов, важна работа через задачи на нахождение характеристических признаков, сравнение понятий, формулировку эквивалентных определений.

Традиционность" исследований первого подхода состоит в том, что выделенные их авторами элементы логики, равно как и сведения о них излагаются в духе традиционных курсов формальной логики, приближаясь к потребностям математических курсов.

Второе направление в методике работы с определениями связа--но с исследованиями М.А.Артамонова, А.А.Столяра, М.Е.Драбкиной, И.Б.10циной, И.Л.Никольской, В.Г.Болтянского, Т.А.Кондрашенковой и др. (20,177,68,207,133,26,27,90), использующих теоретико-множественный аппарат и элементы современной математической логики.

М.Е.Драбкина провела теоретический анализ логических понятий: "определение", "признак", "доказательство". Она предложила комплексы упражнений, группирующихся вокруг следующих вопросов: выявление логической структуры определений со сложными определяющими признаками и их отрицаний; создание навыков общего подхода при применении распознавающих и определяющих признаков сложной структуры. Упражнения предназначены для студентов (будущих учителей) и ориентируют на работу с известным определяющим предложением. Ее эксперимент со школьниками (6-7 классов) показал отсутствие у них представления о дедуктивном характере математики. Для подготовки в сознании учащихся представлений об элементах аксиоматического метода ею выделены упражнения на построение схем-деревьев понятия, задачи на конструирование признаков и установление их равносильности с распознаваемым понятием.

В глубоком исследовании И.Л.Никольской (133) указан минимум логических знаний и умений учащихся, именуемый ею логической грамотностью. Среди прочих выделено: умение определять известные понятия, распознавать логическую форму математических предложений. И.Л.Никольская обращает внимание на развитие способности учащихся мыслить критически, последовательно, четко и полно; на овладение ими основными мыслительными приемами. Использование элементов теории множеств в школьном курсе математики позволило И.Л.Никольской уже в 6-7 классах организовать обучение учащихся определениям "через ближайший род и видовое отличие". В своих статьях (128-132) она акцентирует внимание на тех логических понятиях и действиях, которые присутствуют (явно или неявно) в современном курсе математики, представив их предварительно в соответствующей методической обработке. Не упускается из вида и факультативное их изучение, хотя значительный эффект можно получить, как отмечает И.Л.Никольская, лишь при продолжительном изучении элементов логики и в связи с обучением математике.

Т.А.Кондрашенкова продолжила это исследование. Используя наглядный графический язык схем Эйлера-Венна, она, в частности, организовала в 4-5 классах изучение сведений об определении понятий в следующем объеме: родо - видовые отношения между понятиями; видовое отличие; структура определения через род и видовое отличие; правила определения понятия, ошибки в определениях.

Логическим проблемам преподавания математики посвящены общетеоретические исследования А.А.Столяра (174т-177). Он одним из первых в советской методике обосновал эффективность использования в обучении математике инструментария в виде элементов символической логики, теории множеств. Исследуя проблему систематизации математических знаний в книге (80), он вместе с другими ее авторами выделяет в ней два аспекта: а) "умение учителем систематизировать учебный материал; б) обучение учащихся структурированию знаний, включению новых знаний в систему" (80,с.67). Опыт решения этих задач полезен в нашем исследовании, поскольку в процессе определения и классификации понятий науки образуется ее система понятий.

Работы В.Г.Болтянского (26,27) освещают опыт использования логических средств в обучении определениям. Он предлагает общую символическую запись определений и их отрицаний, считая, что это упростит курс математики, сделав его более четким и доступным. В пробном учебнике (27) авторы рекомендуют задания для упражнения учащихся в символической записи определений.

Третий подход связан с исследованием определения как логического приема мышления, как психической деятельности. Сюда мы относим, в первую очередь, работы М.С.Петербургской (144), Л.Л.Гуровой (57). С позиций теории поэтапного формирования умственных действий П.Я.Гальперина ставится проблема управления обучением этой деятельности или отдельным ее действиям на основе выявления ее объективного состава. Этой задачей занимались также Н.Ф.Талызина, Г.А.Буткин, М.Б.Волович, Н.А.Подгорецкая, И.П.Калошина, Г.И.Харичева (181,182,37,38,146-148,76,77).

Завершая обзор исследований, отметим, что известные нам методические рекомендации для учителя (50,127,191 и др.), связанные с обучением учащихся определению понятий, оказываются полными, и оригинальными лишь в том случае, когда их авторы смотрят на определение как на процесс. Но тогда и возникает проблема описания этого процесса с вццелением всех его компонентов с указанием места и роли каждого из них. Рассмотрение этого вопроса на алгебраическом материале восьмилетней школы представляет интерес из следующих соображений. Во-первых, курс алгебры отличается многообразием способов определения, а вместе с тем прозрачностью определяющих признаков его понятий. Во-вторых, дедуктивная направленность процесса определения понятий в курсе алгебры менее выражена. По сей день актуален вопрос повышения обоснованности теории алгебры и арифметики. В-третьих, практически все упомянутые работы сориентированы на геометрический материал. Даже предполагаемое в них включение в содержание образования сведений об определении зачастую осуществляется в курсе геометрии с помощью только геометрических иллюстраций. Такое решение приводит к проблеме переноса умственных действий на содержание другого учебного предмета.

Анализ специальной (логической) и методической литературы (64,65,67,85,86,141) поставляет богатый материал дискуссий и споров вокруг качества определений, их эффективности, выдержанных при этом критериев строгости. Философская наука выступает в качестве всеобщего арбитра всех этих споров, относя обсуждаемые логические и методологические проблемы к теории определений. Природа операции определения, познавательные функции определений включаются в предмет исследования этой теории. Уяснение ее выводов, на наш взгляд, должно содействовать осознанию роли определений в обучении, формированию общих норм и навыков оперирования понятиями. "Коммуникативная установка в анализе логических процессов более общая нежели устоявшаяся математико-логическая, она все более укрепляется в литературе" (25,с.237). Поэтому представляет интерес и несомненную пользу коммуникативно-дидактический подход К.Попа (149) к анализу познавательных функций определений. Особенность этого подхода состоит в том, что, изучая определения, надлежит учитывать не только их синтаксический аспект и синтаксическую функцию в языке и не только семантические отношения, но и отношение между определением и использующими определение личностями. Такой семиотико-прагматический взгляд на процесс определения связывает его с исследованием человеческой деятельности, с операциональными подходами к анализу некоторых важных сторон познания. Для нас он существенен в том плане, что позволяет объединить психолого-дидактические основы процесса определения понятий с его логическими и методическими основами.

Итак, проблема нашей работы заключается в исследовании процесса определения понятий курса алгебры восьмилетней школы, в поиске его методического обеспечения.

Гипотеза нашего исследования. Более полный учет содержания понятия "определение", места и роли процесса определения при изучении курса алгебры позволит выявить наиболее эффективные средства формирования научных понятий курса, служит усовершенствованию системы упражнений в курсе алгебры. Понимание учителем познавательных функций и компонентов процесса определения понятий окажет ему помощь в организации работы над усвоением понятий как в плане повышения теоретического уровня преподавания учебного материала, так и в плане осознания школьниками своей деятельности в процессе определения. Последнее должно служить существенному улучшению практических навыков, повышению логической грамотности школьников.

Объектом нашего диссертационного исследования являются процессы определения и усвоения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы. Предметом исследования является организация логической деятельности учителя и учащихся в процессе определения понятий, направленной на развитие понятийного мышления обучаемых и повышение их логико-математической культуры.

Цель исследования - разработка методических основ процесса определения понятий (в курсе алгебры восьмилетней школы), способствующих повышению уровня усвоения учащимися понятийного аппарата курса алгебры, а также обеспечивающих возможности формирования элементов логико-математической культуры.

Для этого предполагается решить частные задачи.

1. Исследовать специфику процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы, критерии строгости и познавательные функции определений.

2. Описать психолого-дидактические основы процесса определения понятий: его место в формировании у учащихся научных понятий; особенности процесса определения как предмета специального усвоения.

- 15

3. Выявить и раскрыть основные принципы методического обеспечения процесса определения понятий.

4. Разработать систему требований к заданиям, обучающим учащихся процессу определения понятий.

5. Установить содержание знаний о понятиях и их определениях, методы введения и обучения им учащихся.

6. Исследовать возможности факультативного изучения элементов логики (7 класс), направленных на углубление и систематизацию знаний учащихся о предмете и дедуктивном характере математики, на повышение их логической грамотности.

7. Рассмотреть вопросы методики уроков введения и определения понятий конкретных тем курса алгебры: "Основные понятия", "Многочлены".

Структура диссертации полностью соответствует поставленным задачам. Работа состоит из введения, двух глав (в шести параграфах), заключения, списка использованной литературы, приложения.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Крючкова, Валентина Владимировна

Выводы по экспериментальной работе на обучающем этапе

1. Экспериментальная проверка показала доступность и перспективность применения разработанной методики.

2. Работа с динамическими таблицами (их заполнение учащимися, воспроизведение ими определений понятий по заданной мнемиче-ской схеме) позволила учащимся быстро, грамотно, обоснованно дифференцировать рассматриваемые понятия, верно формулировать (запоминать и даже самостоятельно конструировать) определяющие предложения.

3. Дидактические материалы с печатной основой содержат некоторые элементы управления работой учащихся с учебными текстами. Автором было проанализировано 480 работ учащихся в дидактических материалах.

4. Система заданий полностью соответствует принятым нами методам обучения в экспериментальной работе, методам организации учебного материала, может корректироваться с учетом принципа ранжирования трудностей.

5. Рекомендуемая работа не выходила за пределы часов, отведенных тематическими планами. Это объясняется тем, что предлагаемые дидактические средства легко вписываются в учебный процесс, а большая часть упражнений может быть включена в число группы

Задание I-П | Задание j Задание I-H l-lzli

Задание 1-4

I- j Заданж. 2 ,М

Задание 3 о х ft QJ Я о СО и О ! i i

1—1 1—1 h-t О 1—1 о ю О С\2 о : о

X • X • • К • к ж

Е* ft ч ft Ч ч ft Ч ft ft

0) 0) <D <D w ф W « Ф w аГ! 5Г

X X X Я !« и PQ Я № я я f я s о 5 ®

Я ft Gf Е* (Ч 0) 0) х к

ЗШ„ о X ft D и и о ! ч < .

К >4

Р* CQ

3(2) о о X ft (D Я

0)

---т

3(3), • со о ; <й я ! w J 3 ! m в процентах

Экс- 29 24 13 16 90 2 95 2 2 71 18 69 84 16 52 37 55 24 10 42 47 пер.

Контр. - 71 89 83 30 39 34 27 33 - 70 9 27х 73 х) Всего 11% не только выбрали нужный рисунок, но и правильно расставили соответствующие буквы.

I-a I-б .1

-i.

I—Б

2a !2б !2в ! .1iil. т группы о Я ft (1) и

С\2 а> X о Я ft 0) (С)

1 ! S й. о X t=Cm » о о о • X • •

X я t о {=£ t?

Бч (1) ft Ы и н (1) ? & § я 3 и я о д нно

•1—I ч ч

W Я д f j о t о

X } £ ft ft

D t Ф Я | Я j о со я 1—1 С\2 t о о ft я я <ю о О о о ft ft я я я я Я t CD ft ft ft ft i ra я Я (D а> а> <D

Я Р0 я Я ю !ud о jo x ! x !& я f я oo

I DC t Я о x сг> о я ft

Ю Я в процентах

Экспер. 76 0,8 68 13 57 14 19 12 99 86 94 94 6 87 79 81 85 79 53 68 32 64 Контр. 51 18 13 67 6 61 31 21 82 69 79 9 91 53 56 47 56 69 - 56 - 6 устных.

6. Описанная нами методика учит осознанным, организованным и последовательным действиям с изучаемым материалом, обеспечивает высокое качество усвоения знаний учащимися.

7. Предлагаемая методика неявляетсяжесткощ>ивязаднойк кадо^=либоучебникух она охватывает традиционный по номенклатуре и в существенной части по подходам к определению понятийный материал.

Проводимый нами педагогический эксперимент включал в себя работу с учителем и студентами - будущими преподавателями математики. Нами был прочитан цикл лекций для студентов 4 курса ЧГПИ (декабрь 1980 г.), учителей (декабрь 1980 г., г.Челябинск, ноябрь 1981 г., г.Рязань) по теме "Методика работы над определением понятий в курсе алгебры восьмилетней школы". Подробно мы касались вопроса "Выявление системы понятий - как метод работы учителя". Обсуждение предлагающейся методики показало, что работы, подобной описанной, учителя при изучении курса алгебры фактически не проводят. Причина - в неразработанности методики формирования у учащихся понятийного мышления на базе алгебраического содержания. Занятия с учителями, отзывы учителей -экспериментаторов показывают, что выявленная нами система понятий курса алгебры восьмилетней школы (см. с.с. 25, 26 ) помогает учителю в организации работы над определением понятий, выясняет существенные свойства и отношения между понятиями, подчеркивает дедуктивные особенности математической теории.

Отмеченных вопросов мы касались и в работе со студентами. Ограничимся здесь схемой семинарского занятия "Научно-методические основы темы "Многочлены" в школьном курсе алгебры" (П курс РГПИ, 1982 год).

План занятия.

1. Система понятий темы "Многочлены" в школьном курсе алгебры и особенности их определений.

2. Дискуссия о терминологии и понятиях начальной алгебры (сообщение-обзор студента по предложенной нами литературе).

3. Обсуждение результатов констатирующего эксперимента № 3.

4. Схематичное построение кольца многочленов в школьном курсе алгебры (алгебраическая точка зрения).

5. Особенности усвоения учащимися понятийного материала темы "Многочлены".

6. Характеристика возможной методической работы учителя на уроках по данной теме.

- 167 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования подтвердилась наша гипотеза. Знание учителем содержания процесса определения понятий и его познавательных функций позволяет ему глубже видеть возможности в работе по формированию у учащихся общелогического приема определения, способствует целенаправленной и планомерной её организации, упорядочивает систему используемых им для этого методических средств. Как показал наш обучающий эксперименту итоге такой работы может быть достигнут более высокий уровень логической культуры учащихся. Учащиеся оказываются способными фиксировать определяющие признаки понятий, у них складываются отчетливые знания об их объеме. Понятия в сознании учащихся отдифференцированы. Они умеют устанавливать иерархические отношения между понятиями, четко прослеживают линию: базовые понятия (основные или наиболее общие) - другие определяемые понятия. Повышается их мыслительная самостоятельность. Учащиеся более свободно анализируют, сравнивают, обобщают свойства понятия, умеют собрать их в жесткую форму дефиниции. Под руководством учителя они вырабатывают эффективные с мнемической точки зрения схемы определений. Повышается обоснованность рассуждений учащихся. Сведения об определении, его смысле, значении, правилах построения становятся действенным орудием в их учебно-познавательной практике.

Проведенное исследование позволило решить все поставленные задачи, связанные с совершенствованием методических основ процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетнейшколы.

I. На основе анализа специальной (философской и математической) и психолого-педагогической литературы, наших наблюдений

- 168 учебного процесса уточнено и обосновано содержание процесса определения школьных математических понятий, выявлены его особенности для курса алгебры восьмилетней школы, познавательные функции и критерии строгости.

2. Исследован процесс определения понятий как предмет специального внимания учителя. Выяснен объективный состав логического приема определения как предмета специального усвоения учащимися.

3. Осуществлен качественный и количественный анализ допускаемых учащимися 6,7, выпускных 8 и 10 классов ошибок при оперировании понятиями школьной алгебры и их определениями. Он показал,что в реальном учебном процессе не в полной мере учитываются требования к организации понятийного познания учащимися математических объектов, недостаточна со стороны учителя работа над культурой математической речи учащихся, над обоснованностью встречающихся в курсе алгебры логических рассуждений. При изучении алгебраического материала формирование логических приемов мышления у учащихся происходит стихийно и неосознанно.

4. Анализ действующих учебников и методических пособий по алгебре показал, что они не обеспечивают в должной мере систематичность и последовательность формирования алгебраического понятийного мышления; незначительно количество заданий по варьированию несущественных свойств понятий; недостаточно упражнений, формирующих навыки логической организации учебного материала, задач, непосредственно использующих дефиниции и вытекающие из них необходимые и достаточные (в своей совокупности) определяющие свойства. Для учителя остаются в тени принципы и подходы авторов учебников к определению понятий и теоремам-признакам.

5. На основании анализа и обобщения опыта организации работы с понятиями и их определениями конкретизированы общие принципы методического обеспечения процесса определения понятий применительно к алгебраическому материалу.

6. Выявлен комплекс требований к системе заданий, обучающих мыслительной деятельности в процессе определения понятий, paciqpbi-та ее структура, разработана типология задач.

7. Разработана и экспериментально осуществлена система работы учителя по развитию понятийного мышления учащихся, формированию логического приема определения понятий на примере тем "Основные понятия", "Многочлены". В основу всех видов работ, входящих в систему, положена специально подобранная система заданий, динамические таблицы, схематизирующие определения соответствующих понятий, дидактические материалы с печатной основой для организации самостоятельной работы учащихся с учебным текстом.

8. Предложена и экспериментально проверена программа факультативного курса "Элементы логики" (7 класс), направленного на изучение элементов логики и их применение к анализу дедуктивных особенностей школьной" математики. .

9. Результаты специальных контрольных работ, сравнение их с результатами констатирующего эксперимента, наблюдения за работой учителя и учащихся на уроках, отзывы учителей-экспериментаторов, наконец, результаты обсуждения итогов эксперимента в учительских аудиториях позволяют сделать выводы, что целенаправленное использование при продолжительном изучении на уроках алгебры предлагаемых доступных методических средств обеспечения процесса определения понятий увеличивает эффективность усвоения учащимися учебного материала, повышает уровень их понятийного мышления, формирует элементы их логико-математической культуры, поднимает на более высокий уровень их познавательную активность. Предлагаемая методика может быть реализована в условиях любой программы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Крючкова, Валентина Владимировна, 1984 год

1. Маркс К. Экономические рукописи 1857-1858 г.г. Введение.- Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т.12, с.709-738.

2. Ленин В.И. Ещё раз о профсоюзах, текущем моменте и об ошибках товарищей Троцкого и Бухарина. Полн.собр.соч., т.42, с.264-304.

3. Ленин В.И. Материализм и эмпириокритицизм. Полн. собр. соч., т.18, с.7-384.

4. Ленин В.И. Философские тетради. Полн.собр.соч.,т.29, с.1-620.

5. Материалы ХОТ съезда КПСС. М.: Политиздат, 1981. -223 с.

6. Материалы Пленума ЦК КПСС, 14-15 июня 1983 г. М.; Политиздат, 1983. - 80 с.

7. Программы восьмилетней и средней школы (1983/84 учебный год). Математика. М.: Просвещение, 1983. - 48 с.

8. Алгебра 6. Учебник для 6 класса средней школы /Макары»чев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С.; Под ред. Маркушевича А.И.-6-е изд. М.: Просвещение, 1982. - 223 с.

9. Алгебра 7. Учебник для 7 класса средней школы (Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С., Оуворова С.Б.; Под ред.Марку-шевича А.И. 5-е изд. - М.: Просвещение, 1982. - 254 с.

10. Алгебра 8. Учебник для 8 класса средней школы /Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Монахов В.М. и др.; Под ред.Маркушевича А.И.- 4-е изд. М.: Просвещение, 1982. - 256 с.

11. Алгебра в 6 классе. Метод.пособие для учителей /Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С. и др. М.: Просвещение, 1977. - 239 с.

12. Алгебра в 7 классе. Метод.пособие для учителей /Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С. и др. М.: Просвещение, 1978. -254 с.

13. Алгебра в 8 классе. Метод.пособие для учителей Д1акарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С. и др. М.: Просвещение, 1979.239 с.

14. Алгебра. Пробные учебники для 6-8 классов средней школы /Алимов Ш.А., Ильин Б.А., Колягин Ю.М. и др. М.: Просвещение, 1981. - 543 с.

15. Александров А.Д. Общий взгляд на математику. В кн.: Математика, её содержание, методы и значение. T.I. М.: Наука,1956, с.5-68.

16. Александров П.С. Научное содержание школьного курса алгебры. Математика в школе, 1946, № I, с.1-12.

17. Александров П.С., Колмогоров А.Н. Алгебра. Пособие для средних школ. М.: Учпедгиз, 1938. - 192 с.

18. Антипов И.Н., Шварцбурд Л.С. Символы, обозначения, понятия школьного курса математики. М.: Просвещение, 1979. - 63 с.

19. Арсеньев А.С., Библер B.C., Кедров Б.М. Анализ развивающегося понятия. М.: Наука, 1967. - 439 с.

20. Артамонов М.А. Элементы логики в курсе математики средней школы. Львов, 1957. - 326 с.

21. Базисная программа содержания математического образования в средних школах. Математика в школе, 1981, № 4, с.7-15.

22. Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. М.Просвещение, 1971. - 296 с.

23. Барыбин К.С. Методика преподавания алгебры. М.: Просвещение, 1965. - 343 с.

24. Библер B.C. Понятие как процесс. Вопросы философии,1965, № 9, с.47-56.

25. Бирюков Б.В., Горский Д.П. Определение как логико-семиотическая и операционально-праксеологическая процедура. (Послесловие к книге К.Попа "Теория определения"). В кн.: Попа К. Теория определения. -М., с.225-237.

26. Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями. Математика в школе, 1973, № 5, с.45-50.

27. Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушин А.Д. Геометрия 6-8. Пробный учебник. М.: Просвещение, 1979. - 272 с.

28. Брадис В.М. Воспитание логических навыков при изучении математики. Математика в школе, 1953, )Г° I, с.20-24.

29. Буданцев П.А. К методике изучения рациональных выражений в курсе алгебры У1-УП классов. Математика в школе, 1966, № 2, с.40-43.

30. Вейц Б.Е. Язык школьного курса математики. Математика в школе, 1977, № 3, с.42-46.

31. Верзилин Н.М. Проблема развития понятий в процессе обучения. Советская педагогика, 1966, № 12, с.53-63.

32. Виленкин Н.Я. Выражения, значения и числа. Математика в школе, 1975, № I, с.61-64.

33. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Высказывания, выражения, переменные. Математика в школе, 1970, № 3, с.34-41.

34. Виноградов С.Н. Логика. Учебник для средней школы. -М.: Учпедгиз, 1953. 176 с.

35. Войшвилло Е.К. Понятие. М.: МГУ, 1967. - 286 с.

36. Волковыский Р.Ю. Определение физических понятий и величин. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1976. - 48 с.

37. Волович М.Б. Усвоение понятия при существующей в настоящее время методике преподавания.- В кн.: Психологические иссле- 173 дования, вып.2. М.,1970, с.112-118.

38. Волович М.Б. Формирование общих приемов работы с понятиями (на материале начального курса геометрии): Автореф. дисс. . канд.пед.наук. М., 1967. - 17 с.

39. Воробьев Г.В. Прием уточнения учащимися усваиваемых понятий. В кн.: Обучение школьников приемам самостоятельной работы. М., 1963, с.5-34.

40. Восканян К.В. Зависимость усвоения учебных предметов от особенностей изучения системы исходных понятий: Автореф.дис. . докт.психолог.наук. JI.-д, 1983. - 54 с.

41. Гальперин П.Я. Поэтапное формирование как метод психологического исследования. К кн.: Актуальные проблемы возрастной психологии. М.: МГУ, 1978, с.93-110.

42. Гальперин П.Я. Управление процессом учения. Новые исследования в пед.науках, 1965, вып.1У, с.15-29.

43. Гальперин П.Я., Георгиев Л.С. К вопросу о формировании начальных математических понятий. Докл.АПН РСФСР. Сообщ.4, I960, № 5, с.41-44. Сообщ.5, 1961, № I, с.63-66.

44. Гальперин П.Я., Талызина Н.Ф. Формирование начальных геометрических понятий на основе организованного действия учащихся. Вопросы психологии, 1957, № I, с.28-44.

45. Гибш И.А. Принципы, формы и методы обучения математике. -Изв. АПН РСФСР, 1958, вып.92, с.95-148.

46. Гибш И.А., Семушин А.Д., Фетисов А.И. Развитие логического мышления учащихся в процессе преподавания математики: пособие для учителей. 2-е испр.и доп.изд.- М.:Учпедгиз, 1958.- 131 с.

47. Глейзер Г.И. Определения в школьном курсе математики и требование независимости видовых признаков. Математика в школе, I960, № 6, с.62-63.

48. Гнеденко Б.В. О развитии мышления и речи на уроках математики. Математика в школе, 1964, № 6, с.8-20.

49. Гончаров В.Л. Математика как учебный предмет. Изв.АПН РСФСР, 1958, вып.92, с.37-66.

50. Гончаров В.Л. Начальная алгебра. М.: АПН РСФСР,I960.- 452 с.

51. Горский Д.П. Определение. (Логико-методологические проблемы). М.: Мысль, 1974. - 310 с.

52. Гресс Н.П. Приемы мышления и их "конструирование". В кн.: Вопросы методики и психологии формирования физических понятий, вып.5. Челябинск, 1974, с.3-16.

53. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. М.: Просвещение, 1981. - 96 с.

54. Грузин А.И. Из опыта работы по пособию А.В.Погорелова в У1-УП классах. Математика в школе, 1982, № I, с.47-49.

55. Г^ревич Г.Б. 0 терминологии начальной алгебры. Математика в школе, 1962, № 6, с.39-44.

56. Гурова Л.Л. К вопросу о формировании логических операций. В кн.: Применение знаний в учебной практике школьников. М., 1961, с.227-276.

57. Гусева Р.И. 0 процессе определения понятий: Автореф. дис. . канд.филос.наук. Л-д, 1955. - 16 с.

58. Давыдов В.В. Виды обобщений в обучении (логико-психологические проблемы построения учебных предметов). М.: Педагогика, 1972. - 432 с.

59. Данилов М.А. Логика объяснения нового материала. Докл. АПН РСФСР, 1957, № 4, с.33-36.

60. Деев А. А. Вопрос о предмете и методах математики на пов-торительно-обобщающих уроках в десятом классе. Учен.зап.Омского пед.ин-та, 1957, вып.6, с.19-41.

61. Деев А.А. О раскрытии содержания понятий в курсе математики средней школы. Учен.зап. Омского пед.ин-та, вып.6,1957, с.3-17.

62. Добромыслов В.А. Изучение грамматических определений и правил в У-УП классах. М.: АПН РСФСР, 1951. - 84 с.

63. Дорофеев Г.В. 0 правильности рассуждений и подробности изложения в решении задач. Математика в школе, 1982, № I,с.44-47.

64. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе.-Математика в школе, 1978, № 2, с.10-27.

65. Драбкина М.Е. 0 системе целенаправленных упражнений дляформирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педагогическом вузе: Автореф. дис. . канд.пед.наук. Минск, 1971. - 22 с.

66. Жесткова Н.С. Правила определения общих физико-географических понятий с позиций диалектической и формальной логики. -География в школе, 1973, № I, с.49-52.

67. Заборонков И.А. Развитие логического мышления учащихся при изучении математических понятий. В кн.: Некоторые вопросы воспитания в связи с обучением математике в школе. Горький, 1967, с.23-42.

68. Зверев И.Д. К вопросу о системе обучения основам наук.-Советская педагогика, 1970, № 6, с.44-56.

69. Зорина Л.Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников. М.: Педагогика, 1978. - 128 с.

70. Ительсон Л.Б., Креймер Е.Н. 0 сравнительной эффективности различных структур излоиения учебного материала. (Опыт экспериментально-аналитического исследования). Советская педагогика, 1965, № 4, с.61-70.

71. Кабанова-Меллер Е.Н. 0 способах переноса приемов умственной деятельности. Новые исследования в психологии и возрастной физиологии, 1970, № I, с.41-44.

72. Кабанова-Меллер Е.Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. М.: АПН РСФСР, 1962. - 376 с.

73. Калошина И.П., Харичева Г.И. Логические приемы мышления цри изучении высшей математики. Воронеж: изд. - во Воронежского ун-та, 1978. - 128 с.

74. Калошина И.П., Харичева Г.И. 0 формировании логических приемов мышления. Советская педагогика, 1975, № 4, с.97-104.

75. Канин Е.С. К вопросу об учении действий над одночлена- 177 ми в У1 классе. Математика в школе, I960, № 5, с.29-32.

76. Канин Е.С. Формирование алгебраических умений и навыков у учащихся У1-УП классов: Автореф.дис. . канд.пед.наук. М.: 1963. - 15 с.

77. Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике.- Минск: Народна асвета, 1981. 191 с.

78. Килина Н.Г. Методика формирования у учащихся понятий начальной алгебры: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М.,1966.- 15 с.

79. Килина Н.Г., Нагибин Ф.Ф. 0 некоторых вопросах методики начальной алгебры. Математика в школе, I960, № I, с.40-45.

80. Киселев А.П. Алгебра. Учебник для семилетней и средней школы. Часть I. М.: Учпедгиз, 1951. - 112 с. Часть П. - М.: Учпедгиз, 1950. - 232 с.

81. Колмогоров А.Н. 0 системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики. Математика в школе, 1971, № 2, с.17-22.

82. Колмогоров А.Н. 0 школьном определении тождества. Математика в школе, 1968, № 2, с.33-35.

83. Колмогоров А.Н. Что такое функция. Математика в школе,1978, № 2, с.27-29.

84. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия, Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. М.: Просвещение,1979, 383 с.

85. Колягин Ю.М. Математические задачи к&к средство обучения и развития учащихся средней школы: .Автореф. дис. . докт. пед.наук. М., 1977. - 55 с.

86. Кондрашенкова Т.А. Методика формирования общелогических умений при обучении математике в 4-5 классах: Автореф.дис. . канд.пед.наук. М.,1980. - 20 с.

87. Кондрашенкова Т.А., Никольская И.Л. 0 межпредметном значении "логической составляющей" курса математики. Математикав школе, 1980, № 3, с.62.

88. Крыговская С. "Языки математики" в преподавании. Математика в школе, 1962, № 6, с.68-75.

89. Крючков Н.И., Крючкова В.В. Научно-методические основы темы "Многочлены" в курсе алгебры восьмилетней школы. Методические рекомендации. Рязань: Рязанский гос. пед. ин-тут, 1984. - 24 с.

90. Крючкова В.В. Алгебра высказываний в школьном курсе математики. Методические рекомендации. Челябинск: Челябинский гос. пед.ин-тут, 1981. - 48 с.

91. Крючкова В.В. 0 работе над правописанием математических терминов. Математика в школе, 1982, № 2, с.49.

92. Крючкова В.В. 0 роли логики в выявлении системы понятий и оценке их определений в курсе алгебры восьмилетней школы.

93. Б кн.: Совершенствование содержания и методов обучения естественно-математическим дисциплинам в средней школе. М.,1981, с.83-84.

94. Крючкова В.В. Познавательные функции определений. В кн.: Методические рекомендации по активизации методов изучения математики в восьмилетней школе. Часть П. - М.: МГПИ им.В.И.Ленина, 1982, с.33-44.

95. Крючкова В.В. Содержание понятия "признак" и использование его в обучении математике. В кн.: Методические рекомендации по методике преподавания математики в средней школе. Часть П. - М.: МШИ им.В.И.Ленина, 1981, с.35-42.

96. Леонтьев А. А. Восприятие текста как психологический процесс. В кн.: Психолингвистическая и лингвистическая природа текста и особенности его восприятия. Киев, 1979, с.18-29.

97. Лернер И.Я. Качество знаний и их источники. Новые исследования в пед.науках, 1977, № 2 (30), с.16-21.

98. Липкин М.И. 0 понятии тождества в школьном курсе математики. Математика в школе, 1977, № 5, с.47-51.

99. Логика и проблемы обучения (сборник статей, сост.Фар-бер В.Г.): Под ред. Бирюкова Б.В. и Фарбера В.Г. М.: Педагогика, 1977. - 215 с.

100. Лурия А.Р. Язык и сознание. М.: МГУ, 1979. - 320 с.

101. Ляшенко А.И. Система определений и её функции в процессе формирования понятий школьного курса физики: Автореф.- 180 дис. . канд. пед. наук. Киев, 1979. - 24 с.

102. Лященко Е.И. К вопросу о системно-структурном подходе в определении предмета математики 1У-У классов. В кн.: Системно-структурный подход к определению содержания предмета математики: Тематический сборник научных трудов. Минск, 1975, с.5-53.

103. Магомедбеков П.К. Формирование математических понятий. Учен.зап.Дагестанского гос.пед.ин-та, 1966, т.5, вып.2, с. 78103.

104. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. 0 некоторых требованиях к учебнику математики для общеобразовательной средней школы. В кн.: Основные направления совершенствования математического образования в средней школе. М., 1975, вып.1, с.5-14.

105. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С. Тождественные преобразования многочленов. Математика в школе, 1973,№ I, с.17-20.

106. Марнянский И.А. К изучению определений. Математика в школе, 1982, № 5, с.57-58.

107. Математика 4. Учебник для 4-го класса средней школы: Под ред.А.И.Маркушевича. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1982. -304 с.

108. Математика 5. Учебник для 5-го класса средней школы: Под ред. А.И.Маркушевича. 7-е изд. - М.: Просвещение, 1982.224 с.

109. Математика в 4 классе. Пособие для учителей /К.И.Неш-ков, В.Н.Рудницкая, А.Д.Семушин и др.; Под ред.А.И.Маркушевича.-2-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1982. - 223 с.

110. Математика в 5 классе. Пособие для учителей /К.И.Неш-ков, В.Н.Рудницкая, А.Д.Семушин и др.; Под ред.А.И.Маркушевича.- М.: Просвещение, 1976. 256 с.

111. Матыщук В.К. Определения в преподавании математики.-Математика в школе, 1947, № 3, с.14-25.

112. Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний. Изв.АПН РСФСР, 1950, вып.28, с.3-16.

113. Методика преподавания математики: Под общей редакцией С.Е.Ляпина. Часть I. JI-д: Учпедгиз, 1955. - 484 с. Часть 2. - Л-д: Учпедгиз, 1956. - 654 с.

114. Методика преподавания математики в средней школе /Ко-лягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Оганесян В.А. и др. Общая методика.-2-е изд. М.: Просвещение, 1980. - 368 с. Частная методика.- М.: Просвещение, 1977. 479 с.

115. Монахов В.М. Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по математике. Математика в школе, 1981,№ 6, с.8-10.

116. Мотова З.П. Методика формирования геометрических понятий с помощью системы обучающих задач: Автореф.дис. . канд. пед.наук. М., 1975. - 23 с.

117. Мотова З.П. Система задач, способствующая осознанию и прочному усвоению математических понятий. В кн.: Оптимизация процесса обучения математике. М.,1978, вып.2, с.67-73.

118. Муравин К.С. Некоторые принципы построения системы упражнений в курсе алгебры восьмилетней школы. Математика в школе, 1966, № 5, с.37-39.

119. Муравин К.С. Принцип внутрипредметной связи как средство построения системы упражнений по алгебре восьмилетней школы: Автореф.дис. . канд.пед.наук. М.,1967. - 17 с.

120. Нечаев Н.Н. Одновременное формирование группы понятий, охватывающих заданный раздел знаний" Автореф.дис. . канд.пед.наук. М., 1972. - 24 с.

121. Никитин В.В. Сборник логических упражнений. М. '.Просвещение, 1970. - 96 с.

122. Никитин В.В., Рупасов К.А. Определения математических понятий в курсе средней школы: Пособие для учителей. 2не изд.-М.: Учпедгиз, 1963. 150 с.

123. Никольская И.Л. Воспитание логической культуры при обучении алгебре в У1-УП классах. В кн.: Преподавание алгебры в 6-8 классах. М., 1980, с.168-185.

124. Никольская И.Л. Изучение логического следования и логической равносильности в УП классе. Математика в школе,1977, № I, с.37.

125. Никольская И.Л. 0 единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике. В кн.: Преемственность в обучении математике. М., 1978, с.24-36.

126. Никольская И.Л. 0 прикладных аспектах обучения логике в школе. В кн.: Углубленное изучение математики и ее приложений: Сб. научных трудов. М., 1977, с.52-54.

127. Никольская И.Л. 0 факультативном курсе "Элементы логики". Математика в школе, 1972, № I, с.59-60.

128. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -М.,1973.- 26 с.

129. Новоселов С.И. По поводу статьи Г.Б.ГУревича. Математика в школе, 1963, № 3, с.53-56.

130. Обухова Л.Ф. Этапы развития детского мышления (формирование элементов научного мышления у ребенка). М.: МГУ, 1972.152 с.

131. Оксман Л.С. Проблема совершенствования системыобозначений школьного курса математики: Автореф. дис. . канд. пед.наук. М., 1979. - 17 с.

132. О методической системе учебного пособия А.В.Погорело-ва. Математика в школе, 1981, № 5, с.42-48.

133. О преподавании математики в общеобразовательных школах в 1981/82 учебном году. (Методическое письмо Министерства просвещения СССР). Математика в школе, 1981, № 2, с.12-19.

134. Парпиев Н.П. Логика и развитие мышления учащихся: Доклад о содержании книги, представленной на соискание ученой степени канд.пед.наук. Душанбе, 1969. - 79 с.

135. Пасечник Я.А. Классификации и их использование в школьном курсе математики: Автореф.дис. . канд.пед.наук. Киев, 1975. - 34 с.

136. Петербургская М.С. Психология усвоения естествоведческих понятий учащимися начальной школы: Автореф.дис. . канд. пед.наук (по психологии). Куйбышев, 1954. - 17 с.

137. Пиппиг Г. Внутреняя репрезентация и генезис научных понятий и их формирование в учебной деятельности. В информирование учебной деятельности школьников. М., 1982, с.114-122.

138. Подгорецкая Н.А. Изучение приемов логического мышления у взрослых. М.: МГУ, 1980. - 150 с.

139. Подгорецкая Н.А. Изучение у взрослых стихийно сформированных приемов классификации понятий. Вопросы психологии, 1973, № 4, с.101-108.

140. Подгорецкая Н.А. Умение соблюдать координацию объемаи содержания классов при работе с понятиями у студентов и школьников. В кн.: Проблемы управления учебно-воспитательным процессом: Под ред.Н.Ф.Талызиной. М., 1977, с.115-131.

141. Попа К. Теория определения. М.: Прогресс, 1976. -248 с.

142. Преподавание алгебры в 6-8 классах: Сборник статей. Сост. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Просвещение, 1980. - 271 С.

143. Потоцкий М.В. К вопросу о структуре и языке учебника математики. Математика в школе, 1969, № 2, с.54-56.

144. Потоцкий М.В. Логика на уроках математики и в жизни. Математика в школе, 1980, № 2, с.24-26.

145. Примерные программы факультативных курсов. Математика в школе, 1977, № 6, с.15-21.

146. Притуло Ф.Ф. Элементы логики в курсе математики средней школы. Орджоникидзе, I960. - 177 с.

147. Притуло Ф.Ф. Элементы логики в школьном курсе математики. Математика в школе, 1953, № I, с.25-35.

148. Проект программы по математике для средней школы, разработанный комиссией под руководством академика И.М.Виноградова. Математика в школе, 1979, № 2, с.7-12.

149. Проект программы по математике для 1У-Х классов средней школы, разработанный комиссией под руководством академика А.Н.Тихонова. Математика в школе, 1979, № 3, с.15-21.

150. Психологические проблемы переработки знаковой информации: Сборник статей. М.: Наука, 1977. - 276 с.

151. Ревзин И.И. Операционные определения в школьном курсе грамматики. Б кн.: Логика и проблемы обучения. М., 1977, с. I53-I7I.

152. Репникова Г. Г. Учебник как средство организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся (исследование на материале курса алгебры 6 класса): Автореф.дис. . канд.пед. наук. Л-д, 1975. - 18 с.

153. Репьев В.В. Очерки по методике преподавания геометрии (планиметрия). М.: Учпедгиз, 1959. - 276 с.

154. Сагатовский В.Н. К вопросу о соотношении понятия и определения. Вестник ЛГУ, 1967, № 17, вып.З, с.85-93.

155. Садовский В.Н., К|цин Э.Г. Система. В кн.: Философская энциклопедия, 1967, т.5, с.18-21.

156. Салмина Н.Г., Сорокин В.В., Чернышева В.К. Способы построения учебного предмета. Советская педагогика, 1982, № I, с.66-70.

157. Саннинский В.Я. Вопросы методики обучения математическим понятиям. Учен.зап. Орского гос.пед. ин-та, 1963, вып.5, с.74-91.

158. Семенов Е.Е. Обучение обобщению и конкретизации при изучении геометрических понятий в восьмилетней школе. Автореф. дис. канд. пед.наук. М., 1976. - 23 с.

159. Семушин А.Д. Формирование логических понятий и развитие логического мышления учащихся. В кн.: Вопросы повышениякачества знаний учащихся по математике. М., 1955, с.71-150.

160. Сиваковский Б.Я. Из опыта работы с определениями. -Математика в школе, 1977, № 3, с.29-30.

161. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. М.: Педагогика, 1980. - 96 с.

162. Скаткин М.Н. Совершенствование процесса обучения: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов.- М.: Педагогика, 1971. 208 е.

163. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: Метод.пособие. Киев, Рад.школа, 1983. - 192 с.

164. Современные основы школьного курса математики /Вилен-кин Н.Я., Ддшчев К.И., Калужнин Л.А., Столяр А.А. М.: Просвещение, 1980. - 240 с.

165. Сохор A.M. Логическая структура учебного материала. -М.: Педагогика, 1974. 192 с.

166. Столяр А. А. Логические конструкции школьной алгебры и практика преподавания. В кн.: Логика и проблемы обучения. М., 1977, с.88-124.

167. Столяр А.А. Методы обучения математике. М.: Высшая школа, 1966. - 190 с.

168. Столяр А.А. 0 некоторых применениях логики в педагогике математики. В кн.: Логика и проблемы обучения. М., 1977,с.125-139.

169. Столяр А.А. Педагогика математики. 2-е изд. Минск: Вышэйшая школа, 1974. - 382 с.

170. Стратилатов П.В. Числовые выражения. Выражения, содержащие переменные. Преобразование выражений. Математика в школе, 1968, № I, с.42-48.- 187

171. Суворова С.Б. Принципы построения системы упражнений в курсе алгебры восьмилетней школы. В кн.: Пути совершенствования обучения математике в средней школе. М., 1979, с.40-51.

172. Суворова С.Б. Упражнения как средство организации учебной деятельности при обучении алгебре в 6-8 классах: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1982 г. - 24 с.

173. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. -М.: МГУ, 1975. 344 с.

174. Талызина Н.Ф., Буткин Г.А. К проблеме доказательства в начальном курсе геометрии. Докл. АПН РСФСР, I960, № 3, с. 43-46.

175. Талызина Н.Ф., Кочурова Э.И. Перенос приема подведения под понятие с одного вида понятий на другие. Изв. АПН РСФСР, 1965, вып.138, с.86-91.

176. Талызина Н.Ф., Степанова К.А. Применение понятий в затрудненных условиях. Докл. АПН РСФСР, 1959, № I, с.55-58.

177. Теребилов О.Ф. Логические основы формирования математических понятий: Автореф. дис. . канд. филос. наук. Л-д,1978. 24 с.

178. Тесленко И.Ф. 0 структуре профессиональной деятельности учителя математики и повышение эффективности урока. Математика в школе, 1980, № 3, с.11-17.

179. Тигранова Л.И. Психологические особенности усвоения существенных признаков понятий. Учен. зап.Моск. гор. пед. ин-та им.В.П.Потемкина, 1957, т. XIX, вып.4, часть П, с.3-54.

180. Усова А.В. Психолого-дидактические основы формирования у учащихся научных понятий: Учебное пособие. Челябинск,

181. Челябинский гос.пед.ин-тут. Часть I. 100 е.,1978. Часть 2,1979, 86 с.

182. Фаддеев Д.К. Алгебра 6-8: Материалы для ознакомления. М.: Просвещение, 1983. - 272 с.

183. Фарбер В.Г. Некоторые вопросы педагогических применений логики. Советская педагогика, 1962, № I, с.45-56.

184. Фетисов А.И. Формирование математических понятий. -Изв.АПН РСФСР, 1958, вып.92, с.67-94.

185. ФЕтисов А.И. Элементы логики в преподавании математики. Изв.АПН РСФСР, 1958, вып.92, с.149-198.

186. Фискович Т.Т. Повышение уровня логического развития учащихся 1У-У классов. Математика в школе, 1973, № 6, с.23-25.

187. Фридман JI.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

188. Фридман Л.М. Учебные алгоритмы распознавания. Новые исследования в пед.науках, 1963, вып.129, с.125-132.

189. Харичева Г.И. Проверять сформированность логического мышления. Вестник высшей школы, 1974, № 10, с.76-78.

190. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: Учпедгиз, 1963. - 204 с.

191. Хлабыстова Я.П. К методике формирования понятий. Математика в школе, 1978, № 5, с.45-47.

192. Чеснокова А.Д. Формирование математических понятий у учащихся средней школы: Учебное пособие для студентов -заочников. Новосибирск, 1961. - 30 с.

193. Шардаков М.Н. Мышление школьника. М.: Учпедгиз, 1963. - 255 с.

194. Шварцбурд С.И. Проблемы повышенной математической подготовки учащихся: Автореф. дис. . докт. пед. наук. М., 1972. - 105 с.

195. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. М.: АПН РСФСР, 1959. - 303 с.

196. Шеншев JI.B. Общие моменты мышления в процессах усвоения математики и иностранного языка. Вопросы психологии, I960,4, с.9-22.

197. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. 2-е изд. дополн. и перераб. М.: Просвещение, 1970. - 319 с.

198. Зрдниев П.М. Проблемы интенсификации обучения математике: Доклад на соискание учен.степ.докт. пед.наук. Алма-Ата, 1973. - 75 с.

199. Юдина И.Б. Тождественные преобразования в курсе математики 8-летней школы. В кн.: Методические рекомендации и указания по методике преподавания математики в средней школе. - М.: МШИ им.В.И.Ленина.

200. К|дина И.Б. Элементы математической логики в курсе математики средней школы: Автореф. дис. . канд.пед.наук, М., 1965. - 15 с.

201. Ясиновый Э.А. Об определениях, даваемых учениками. -Математика в школе, 1982, № 3, с.35-36.

202. Adams L.J.Intermediate algebra.-New York;1961.-414 p.

203. Miller J.,Green S. Algebra and trigonometry.- Prentice-Hall, Inc. Englewood gliffs. IT.J., 1970.- 405 p.

204. Nichols E.D., Heimer R.T., Garland E.H. Algebra.-New York, 1966,- 582 p.

205. Peters M., Schaaf V/.L. Fundamentals of algebra. A simplified approach.- New York, 1970.- 622 p.

206. Vollrath H.J. Rettet die Ideen.- Math, und Naturwiss. Unterricht, 1978, Hf.8, S.449-455.