Метод жидкостной аппроксимации и его применение к исследованию систем поллинга с несколькими приборами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Ковалевский, Артем Павлович

• Ковалевский, Артем Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ковалевский, Артем Павлович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Метод жидкостной аппроксимации

1.1 Построение стохастической жидкостной модели

1.2 Возвратность и положительная возвратность

1.2.1 Возвратность

1.2.2 Положительная возвратность

1.3 Свойство подобия жидкостных пределов

1.4 Теорема о возвратности

1.5 Теорема о положительной возвратности

1.6 Примеры применения жидкостной аппроксимации к анализу систем обслуживания

1.6.1 Одноканальная система обслуживания

1.6.2 Сеть обслуживания

1.6.3 Система обслуживания с переключениями

1.6.4 Примеры к условиям возвратности

Глава 2. Системы поллинга с несколькими приборами

2.1 Общая модель

2.2 Существование жидкостной модели

2.3 Исчерпывающая дисциплина обслуживания

2.3.1 Свойства жидкостных пределов

2.3.2 Случай двух станций

2.3.3 Циклический поллинг

2.4 Ограниченные дисциплины обслуживания

2.4.1 Свойства жидкостных пределов

2.4.2 Случай двух станций

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод жидкостной аппроксимации и его применение к исследованию систем поллинга с несколькими приборами»

ВВЕДЕНИЕ

Изучение асимптотического поведения сложных стохастических систем массового обслуживания является одной из важных задач теории массового обслуживания. Исследуются, в частности, вопросы положительной возвратности таких систем (существования ограниченного множества, положительно возвратного для случайного процесса, который описывает состояние системы обслуживания) и их эргодичности (сходимости этого случайного процесса к предельному, соответствующему так называемому стационарному режиму). В последние годы для исследования положительной возвратности и эргодичности стохастических систем массового обслуживания с несколькими типами вызовов развит метод, получивший название метода жидкостной аппроксимации.

Ключевая идея метода состоит в следующем. Рассматривается марковский процесс Ь > 0}, характеризующий динамическое состояние системы в

момент времени t. Вводится линейное масштабирование (сжатие) по пространственной координате и времени в ¡Х(0)| раз, и изучаются масштабированные

А Л

версии процесса X, подчиненные тому условию, что ¡Х(0)( = 1. Рассматривается семейство процессов, предельных для последовательностей масштабированных процессов в смысле слабой сходимости. Такое семейство называется жидкостной моделью, а процессы {<£>(£); Ь > 0} из этого семейства называются жидкостными пределами. Вводятся различные условия стабильности жидкостной модели, достаточные для положительной возвратности исходного процесса.

Данная работа посвящена развитию подхода, основанного на изучении стохастических жидкостных пределов, к получению условий возвратности и положительной возвратности марковского процесса, а также применению этого подхода к исследованию асимптотического поведения систем поллинга с несколькими приборами.

Системами поллинга с несколькими приборами называются открытые стохастические системы массового обслуживания, состоящие из нескольких станций (очередей), на которые поступают входные потоки вызовов, и нескольких обслуживающих приборов, каждый из которых обслуживает станции последовательно и перемещается от станции к станции в соответствии с некоторым случайным маршрутом (независимо от других приборов). Помимо стохастических предположений относительно входных потоков, маршрутов приборов и времен обслуживания вызовов, разнообразие моделей поллинга с несколькими приборами определяется заданием дисциплин обслуживания каждым при-

бором каждой очереди, в частности, максимальною числа вызовов, которое разрешается обслужить прибору за один визит на станцию.

Метод жидкостной аппроксимации развит в работах [1-14] и применен к исследованию систем поллинга (с одним прибором и с несколькими одинаковыми приборами) в работах [8], [9].

В статье [1] изучается стохастическая система массового обслуживания с 2 станциями и 4 типами вызовов. Показано, что при дисциплине обслуживания спениальното вида естественные условия положительной возвратности не являются достаточными, тогда как при обслуживании вызовов на каждой станции в порядке поступления — являются достаточными (пример системы, для которой естественные условия положительной возвратности не являются достаточными при обслуживании вызовов на каждой станции в порядке поступления, приведен в работе [15]). Получено следующее условие эргодичности:

Пусть существует конечная константа Т такая, что для любого жидкостного предела о?

= 0 п.и. для всех I > Т. (1)

Тогда рассмативаемая система, обслуживания эргодична.

В [2] жидкостная модель применяется для изучения детерминированного варианта сетей Джексона. Получены условия перегруженности и недогруженное!'и станций в такой системе.

В [3] метод жидкостной аппроксимации последовательно применен к ряду систем обслуживания с несколькими типами вызовов в весьма общих стохастических предположениях. Здесь жидкостные пределы понимаются как траектории слабых пределов последовательностей масштабированных процессов (что позволило исключить из рассмотрения вероятностное задание предельных процессов). Показано, что условие ( I ) достаточно для положительной возвратности и (при некоторых дополнительных предположениях) эргодичности таких систем. В частности, получено новое доказательство эргодичности обобщенной сети Джексона.

В [1] получены достаточные условия для тою, чтобы сети обслуживания с дисциплиной обслуживания вызовов в порядке их поступления были положительно возвратны и эргодичны при естественных условиях нагрузки.

В статье [5] для сетей обслуживания показано, что жидкостная модель стабильна тогда и только тогда, когда стабильна так называемая «незадержанная» (щкЗе!ауес1) жидкости ал модель, что позволяет работать напрямую с

решениями «жидкостных уравнений» (детерминированных уравнений, частично характеризующих траектории предельных процессов), независимо от того, являются ли они жидкостными пределами. Этот подход использован также в

М, [П, М-

В [6] данный подход применен к исследованию глобальной области стабильности стохастических моделей обслуживания (множества значений характеристик управляющих последовательностей, при которых система положительно возвратна для любой «консервативной» дисциплины обслуживания).

В [7] исследован класс сетей обслуживания с фиксированным маршрутом вызовов и зависимыми временами обслуживания вызова на различных этапах его маршрута.

В [8] изучается жидкостная модель для стохастической системы обслуживания с несколькими тинами вызовов. Получены условия сходимости моментов длин очередей к их стационарным значениям и оценки скорости сходимости. доказан усиленный закон больших чисел для моментов длин очередей. В частности, эти результаты получены для обычных систем поллинга (с одним прибором), циклическим порядком обхода станций и детерминированной ограниченной дисциплиной обслуживания при выполнении условий нагрузки:

N \

V А,+ А шах < 1,

4=1 *

где N — число станций; А,; — интенсивность прихода вызовов на станцию ц О,; — среднее время обслуживания вызовов на станции ¡¡; Д — среднее суммарное время переключений за цикл; к\ — максимальное число вызовов на станции г, обслуживаемых за 1 визит прибора на станцию.

В [9] аналогичные результаты полу йены для систем поллинга с несколькими одинаковыми приборами в предположении, что маршруты приборов задаются неразложимой цепью Маркова. Условия положительной возвратности и невозвратности получены для неограниченных и ограниченных дисциплин обслуживания: система положительно возвратна при р < 1 и невозвратна при р > 1, где

д V,

л — — ( N г>• А• 4- А '■"ах ——■ ^

Мч " ' \<\<п У *'

•"4-1 --

Здесь с,; — среднее число посещений станции г за цикл (циклом называется интервал времени меж л у двумя последовательными возвращениями прибора

на некоторую фиксированную станцию).

В работе [10] метод жидкостной аппроксимации применен к анализу открытых сетей обслуживания с пуассоновскими входными потоками, показательными временами обслуживания и широким классом «консервативных» дисциплин обслуживания. Жидкостная модель определяется как замыкание (относительно равномерной сходимости на компактных множествах) семейства траекторий предельных процессов. Доказано свойство подобия жидкостных пределов. Для детерминированных жидкостных пределов показано, что условие стабильности жидкостной модели i эквивалентно одному из следующих:

Для любого жидкостного предела ф существуют константы Т' и е (0, 1] такие, что:

ИТ')|<1-£ П.Н. (2)

Или:

Для любого жидкостного предела (р выполнено:

mí \u?{tM < 1 п.н. t>о'7 к "

В статье [i I] метод жидкостной аппроксимации применен к исследованию эргодичности нетголнодоступных систем обслуживания.

Условия невозвратности случайных процессов, описывающих состояние открытых сетей обслуживания, в терминах жидкостной модели исследовались в ткут [iii

В [12] показано, что достаточно выполнения условия: существуют mо > 1, да > 0, be, > 0 такие, что для всех <р имеет место:

¡^(О! ^ ~'°о + ío "v^ п.н. для всех t > 0. (3)

В [13] предложено другое условие невозвратности: существует константа 7' > 0 такая, что для любого решения жидкостных уравнений 'у?, удовлетворяющего условию у?(0) = 0, выполнено \<р{Т)\ > 0.

В [14] рассмотрены случайные жидкостные пределы и предложено более общее понятие стабильности жидкостной модели: жидкостная модель называется Lp - стабильной, р > 0, если вир Щ(р{1)\*> 0 при í -* оо. Показана эквивалентность -став ильности жидкостной модели и различных определений стабильности исходного марковского процесса.

Для исследования асимптотического поведения марковских систем массово-ю обслуживания часто оказывается полезным изложенный в книге [16] подход, основанный на построении и изучении так называемых индуцированных цепей Маркова. Этот подход применен в статьях [17], [i8].

В работе [17] исследуется асимптотическое поведение однородного случайного блуждания в Z+, соответствующего процессу, описывающему сеть Джексона с взаимодействием станций. Показано, что изучение положительной возвратности, нулевой возвратности и невозвратности этого случайного блуждания сводится к изучению асимптотического поведения соответствующей динамической системы. Дана характеризация однородных случайных блужданий

В работе [18] изучается жидкостная динамика консервативных систем обслуживания с пуассоновскими входными потоками и показательным обслуживанием. Доказана единственность траектории жидкостного предела в таких системах и описано ее поведение.

Исследованию вопросов эргодичности систем поллинга с одним прибором (М = 1) при весьма общих стохастических предположениях посвящено большое число работ (см., например, [19], [20] и списки литературы в них).

В [19] рассмотрена система поллинга, в которой перемещение обслуживающего прибора между станциями управляется неразложимой апериодической цепью Маркова, а дисциплина обслуживания к-й станции задается функцией /(х, Ь'1) = шш{х, Ь7к}, оде х — длина очереди в момент ^-того прихода прибора на эту станцию, а случайные величины {¿{}у>1 независимы, одинаково распределены для каждого к, и имеют конечное математическое ожидание = Ь'к- Входные потоки являются независимыми пуассоновскими, а времена обслуживания образуют взаимно независимые последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин. Получено необходимое и достаточное условие эргодичности:

где N — число станций; А1 — интенсивность прихода вызовов на станцию г; Ьь

— среднее время обслуживания вызовов на станции г; Д — среднее суммарное время переключений за цикл (циклом называется период между двумя последовательными посещениями прибором некоторой фиксированной станции); с,

— среднее число посещений станции г за цикл.

В [20] исследована, система поллинга со стационарным метрически транзитивным входным потоком, дисциплинами обслуживания, удовлетворяющими некоторым свойствам монотонности, и маршрутом прибора, обладающим свойством регенерации. Для системы с нулевыми начальными условиями при выполнении условия (4) доказала так называемая каплинг-сходимость к ста-

N

ЕЛ ¿6,- -4- А • тах

|<-.:<г Л;

< 1,

(4)

ционарному режиму процесса длины очереди. Для любых начальных условий доказана ограниченность длины очереди по вероятности при выполнении условия (4), а также ее неограниченность при замене знака в неравенстве (4) на противоположный.

Системы поллинга с несколькими одинаковыми приборами, кроме упомянутой работы [9], рассмотрены в [21], [22]. В [21], [22] приведены результаты численного моделирования систем поллинга с несколькими одинаковыми приборами, посещающими станции в циклическом порядке, и получены приближенные формулы для среднего времени ожидания.

Диссертация состоит из 2 глав, которые делятся на 10 параграфов. Нумерация утверждений двойная: например, теорема 2.1 является первой теоремой главы 2. Нумерация формул сквозная. Список литературы содержит 33 наименования и составлен в порядке цитирования. Работы автора помещены в конце списка.

Первая глава посвящена изучению асимптотического поведения случайных процессов методом жидкостной аппроксимации, вторая глава — приложению результатов первой главы к исследованию систем поллинга с несколькими приборами.

В §1.1 проводится построение жидкостной модели для марковского процесса (Х(Ь), Z(t)), состояхцего из двух компонент: пространственной компоненты Х(Ь), принимающей значения в метрическом пространстве с компактными шарами, и индексной компоненты Z(t), принимающей значения в конечном множестве индексов. Для этого строится процесс У({), подсчитывающий время, в течение которого процесс находился в каждом из возможных состояний, и доказывается относительная компактность на бесконечности семейства масштабированных версий процесса (А (г:), У(0) ПРИ выполнении условий асимптотической липшицевости. Предельные процессы (жидкостные пределы) обозначаются через <р — (х, у).

В §1.2 получены условия возвратности и положительной возвратности в терминах поведения жидкостных пределов в неслучайный момент времени Т. Эти условия могут быть записаны (при ряде дополнительных ограничений) следующим образом.

Условие возвратности: существуют '1\ е > 0. 6 > 0 такие, что для любого <р ~ (х, у) имеет место:

Е 1о§+тах{о; ¡х(Т)|} < —е. (5)

Условие положительной возвратности: существуют Т, е > 0, такие, что для

любого <р — (х, у) имеет место:

Е|х(Т)| < 1 - с-

(б)

Это условие является естественным аналогом в терминах стохастических жидкостных пределов известных теорем о положительной возвратности (см. [23], §4), а также результата А. Л. Столяра [10].

пределов со случайными начальными условиями. С. Г. Фоссом в [33] доказано следующее свойство жидкостных пределов: если для жидкостного предела <р — (х, у) Е Ф неслучайный момент t > 0 таков, что Р(|х(£)| > 0) > 0, то

Моменты остановки, сдвиг относительно которых обладает тем же свойством, названы допустимыми. Получены различные условия допустимости моментов остановки.

В § 1.4 условия возвратности (5) перенесены на случай марковских моментов остановки.

В §1.5 приводится результат С. Г. Фосса (теорема 2.2 в [33]) о положительной возвратности и следствие из него. Условия положительной возвратности получены в терминах случайных моментов остановки. Эти условия можно рассматривать как аналог исходного критерия для случайных Т (которые могут быть различны для различных жидкостных пределов <р). В частности , показано. что такое определение стабильности эквивалентно /^-стабильности [14] для некоторого р > 1 (Теорема 1.5 (пункт (¡у)) и замечание 1.5).

Заметим, что в отличие от общего критерия положительной возвратности для цепей Маркова (теорема 1. Ш в [23]) здесь не требуется даже существования конечного математического ожидания у моментов остановки. Это обусловлено спецификой рассматриваемых процессов — выполнением для них свойства асимптотической липшицевости.

В £1-6 приведены примеры построения жидкостной модели для систем обслуживания. Показано, что сети обслуживания с несколькими типами вызовов могут быть рассмотрены с помощью излагаемого подхода.

Рассмотрен пример системы обслуживания с одним прибором, для которой жидкостная модель не является стабильной в смысле (2), но является стабильной в смысле определений главы 1. Показано, что жидкостные модели даже для простых систем массового обслуживания могут иметь ветвления (для одно-

В §1.3 вводится понятие сдвига жидкостного предела на неслучайное время: <рс(и) = , и рассматривается семейство Ф всех жидкостных

условное распределение Р(у>* € • | |х(£){ > 0) принадлежит Ф.

родных случайных блужданий в Z+ такой тип поведения предельного процесса описан в [17]).

Получены условия положительной и нулевой возвратности этой модели.

Основные результаты главы 1 являются совместными с С. Г. Фоссом и опубликованы в работе [33]. В этой работе автору принадлежат доказательства лемм 3.1, 6.1, 6.2 и теорем 2.1, 2.3, 3.1, 3.2.

В главе 2 рассматриваются различные системы поллинга с несколькими приборами.

В §2.1 описана общая модель системы поллинга с исчерпывающим или ограниченным обслуживанием.

Последовательности интервалов между приходами вызовов, времен обслуживания вызовов приборами, времен перехода приборов со станции на станцию предполагаются последовательностями независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием (которое равно X.: для интервалов между приходами вызовов, ц™ для времен обслуживания вызовов приборами). Маршрут каждого прибора определяется траекторией неразложимой цепи Маркова.

Предполагается, что дисциплина обслуживания либо исчерпывающая (прибор после прихода на. станцию продолжает обслуживание вызовов из очереди до тех нор, пока на станции есть вызовы, не обслуживаемые другими приборами), либо монотонная ограниченная (число обслуживаемых вызовов ограничено константой и является стохастически неубывающей случайной функцией длины очереди в момент прихода прибора). Обозначим Г™ — предел среднего числа обслуживаемых вызовов при длине очереди, стремящейся к бесконечности.

Предполагается, что все введенные случайные последовательности независимы в совокупности.

В §2.2 доказана относительная компактность на бесконечности семейства (X, У), соответствующего исследуемой системе обслуживания. Показано, что для любого жидкостного предела <р(Ь) = (х(£),у^)) существует неслучайный момент времени £0 такой, что для всех Ь > ¿о остаточные характеристики жидкостного предела равны нулю: х(£) = ((?т(0) ••) 9/^(0) 0, ...,0), где — жидкостный предел для длины очереди на станции г.

В §2.3 изучается случай исчерпывающей дисциплины обслуживания для системы поллинга с несколькими приборами, которые обходят станции по одному и тому же циклу. Входные потоки предполагаются пуассоновскими, времена обслуживания показательными, а времена перехода приборов нулевыми. До-

казано, что в случае, когда N = 2, М — 2, а также в случае, когда д™ > А, для всех г 6 Мт) т € М, для любого жидкостного предела, любых t > 0 к г & 2 имеет место + 0) £ {0, 1} п.н. В этом случае корректным является

следующее определение «положения прибора в жидкостном пределе»: будем полагать гт(Ь) = г, если ^УГ(^) —

Рассмотрен пример системы с 2 станциями и 2 различными приборами. Условия возвратности и условия эргодичности получены применением результатов §1.4 и §1.5 соответственно. Показано, что в этом случае область значений интенсивностей прихода вызовов (Ах, Аз), соответствующих нулевой возвратности, имеет положительную меру Лебега в Показано, что для двух приборов и числа станций, большего 3, возможно одновременное существование как жидкостных пределов, удовлетворяющих условию (1), так и жидкостных пределов, удовлетворяющих (3). Для исследования таких систем методами жидкостной аппроксимации ни результаты главы 1, ни результаты о невозвратности, полученные III. 11. Майном, напрямую применены быть не могут.

В §2.4 изучается случай ограниченных дисциплин обслуживания. Доказана теорема о достаточных условиях положительной возвратности и достаточных условиях невозвратности. Рассмотрена задача выбора дисциплины обслуживания, обеспечивающей положительную возвратность, при фиксации остальных параметров системы.

В случае двух станций исследуется единственность жидкостных пределов, а также изучается, какое множество значений параметров (Ах, А2) соответствует положительной возвратности. Предполагается, что интервалы между приходами вызовов, времена обслуживания, а также те времена перехода приборов со станции на станцию, которые не являются равными нулю почти наверное, имеют показательные распределения. Показано, что для почти всех относительно меры Лебега в Н.+ значений параметров (А!, А3) жидкостный предел для каждого начального условия является детерминированным и единственным. В тех же предположениях доказано, что область значений параметров (А^ А2), соответствующих положительной возвратности, является связной областью в 11+, включающей начало координат, но, вообще говоря, не является выпуклой. Область значений параметров (Ат, А2), соответствующих нулевой возвратности, имеет меру Л ебега 0 в

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С. Г. Фоссу за. постановку задач и постоянную помощь в их решении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ковалевский, Артем Павлович, 1999 год

Литература

[1] Рыбко A.M., Столяр A.JL Об эргодичности случайных процессов, описывающих функционирование открытых сетей массового обслуживания //

Проблемы передачи информации. 1992. Т.28. №3. С.3-26.

[2] Chen Н., Mandelbaum A. Discrete flow networks: bottleneck analysis and fluid approximations // Math. Oper. Res. 1991. V.16. P.408 446.

[3] Dai J.G. On positive Harris recurrence of multiclass queueing networks: A unified approach via fluid models // Ann. Appl. Probab. 1995. V.5. P.49-77.

[4] Poss S., Rybko A. Stability of multiclass Jakson-type networks. // Mark. Proc. Rel. Fields. 1996. V.2. №3. P.261-287.

[5] Chen H. Fluid approximations and stability of multiclass queueing networks: work-conserving disciplines // Ann. Appl. Probab. 1995. V.5. P.637-665.

[6] Dai J.G. Stability of multiclass queueing networks via fluid models. Proceedings of the IMA workshop on stochastic networks, eds. Frank Kelly and Ruth Williams (Springer-Verlag, New York). 1995. P.71-90.

[7] Dai J.G., Weiss G. Stability and instability of fluid models for sertain reentrant lines // Math. Oper. Res., submitted.

[8] Dai J.G., Meyn S.P. Stability and convergence of moments for multiclass queueing networks via fluid limit models // IEEE Trans. Autom. Control. 1995. V.40. P. 1889-1904.

[9] Down D.G. On the stability of polling models with multiple servers. CWI Report BS-R 9605. Amsterdam. 1996.

[10] Stolyar A.L. On the stability of multiclass queueing networks: a relaxed sufficient condition via limiting fluid processes // Mark. Proc. Rel. Fields. 1995. V.l. №4. P.491- 512.

[11] Foss S.G., Chernova N.I. On stability of a partially accessible milti-station queue with state-dependent routing // Queueing Systems. 1998. V.29. №1. P.55-73.

[12] Meyn S.P. Transience of multiclass queueing networks and their fluid models if Ann. Appl. Probab. 1995. V.5. P.946-957.

[13] Dai J.G. A fluid limit model criterion for instability of multiclass queueing networks // Ann. Appl. Probab. 1996. V.6. P.751-757.

[14] Kumar P.R., Meyn S.P. Duality and linear programs for stability and performance analysis of queueing networks and scheduling policies. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1996. V.41. P.4-17.

[15] Bramson M. Instability of FIFO queueing networks // Ann. Appl. Probab. 1994. V.4. P.414-431.

[16] Fayolle G., Malyshev V.A., Menshikov M.V. Topics in the constructive theory of countable Markov chains. Cambridge University Press. 1995.

[17] Malyshev V.A. Networks and dynamical systems // Adv. Appl. Probab. 1993. V.25. P. 140-175.

[18] Botvich D.D., Zamyati n A. A. Fluid approximations for conservative networks // Mark. Proc. Rel Fields. 1995. V.l. №l. P.113-140.

[19] Borovkov A.A., Schassberger R. Ergodicity of a polling network // Stochastic Processes and Applications. 1994, V.50. P.253 - 262.

[20] Фосс С.Г. , Чернова Н.И. Теоремы сравнения и эргодические свойства систем иоллинга // Проблемы передачи информации. 1996. Т.32, №4. С.46— 71.

[21] Borst S.C. Polling Systems Ph.D.Thesis. CWI, Amsterdam. 1994.

[22] Borst S.C., Van der Mei R.D. Analysis of multiple-server polling systems by means of the power-series algorithm. CWI Report BS-R 9410. Amsterdam. 1994.

[23] Borovkov A. A. Ergodicity and stability of stochastic processes. New York: Wiley. 1998.

[24] Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1968.

[25] Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука. 1977.

[26] Боровков А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука. 1980.

[27] Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука. 1989.

[28] Meyn S.P., Tweedie R.L. Markov Chains and Stochastic Stability. (SpringerVerlag, London, 1992).

[29] Беляев Ю.К. Линейчатые марковские процессы и их приложение к задачам теории надежности. Тр. IV Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике, 1960. — Вильнюс: Гос. издательство политической и научной литературы Литовской ССР. 1962. С.309-323.

[30] Davis М.Н.А. Piecewise deterministic Markov processes: a general class of non-diffusion stochastic models //Journ. Royal Statist. Soc. series B. 1984. V.46. P.353-388.

[31] Ковалевский А.П. Эргодичность системы обслуживания с двумя приборами, прерывающими работу // Актуальные проблемы современной математики. НИИ МИОО НГУ, Новосибирск. 1996. Т.2. С.70-80.

[32] Ковалевский А.П. Положительная возвратность и оптимизация систем поллинга с несколькими приборами // Актуальные проблемы современной математики. НИИ МИОО НГУ, Новосибирск. 1997. Т.З. С.75-86.

[33] Foss S., Kovalevskii A. A stability criterion via fluid limits and its application to a polling system // Queueing Systems. 1999. V.32. №1.