Метод теплового ядра в теории перенормировок на примере скалярных моделей и теории Янга–Миллса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Харук Наталья Вячеславовна

• Харук Наталья Вячеславовна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Харук Наталья Вячеславовна

Введение

Глава 1. Тепловое ядро

1.1 Общая постановка задачи

1.1.1 Коэффициенты Сили-деВитта для скалярного оператора Лапласа

1.1.2 Коэффициенты Сили-деВитта для оператора Лапласа с ковариантной производной

1.2 Построение функции Грина

1.3 Регуляризация

Глава 2. Двухпетлевая перенормировка модели ф3

2.1 Основные понятия

2.2 Тепловое ядро и функция Грина

2.2.1 Явный вид функции Грина

2.2.2 Дополнительные свойства

2.3 Метод фонового поля

2.4 Диаграммная техника

2.5 Квантовое уравнение движения

2.6 Регуляризация

2.7 Перенормировка

2.7.1 Случай d=3

2.7.2 Случай d=4

2.7.3 Случай d=5

2.7.4 Случай d=6

Глава 3. Смешанная регуляризация на примере теории ф4

3.1 Основные понятия

3.1.1 Функция Грина и ее регуляризации

3.1.2 Регуляризация с импульсом обрезания

3.1.3 Размерная регуляризация

Стр.

3.2 Нелогарифмические расходимости

3.2.1 Расходимости в случае регуляризации с импульсом обрезания

3.2.2 Расходимости в случае размерной регуляризации

3.3 Сравнение регуляризаций и построение смешанной регуляризации

3.4 Обсуждение

Глава 4. Перенормировка теории Янга—Миллса

4.1 Введение

4.2 Эффективное действие теории Янга-Миллса

4.2.1 Классическое действие

4.2.2 Формулировка через интеграл по траекториям

4.2.3 Теория возмущений

4.3 Функция Грина и ее регуляризация

4.3.1 Обозначения

4.3.2 Разложение функции Грина

4.3.3 Дополнительные свойства регулярной части

4.3.4 Импульс обрезания

4.4 Первая квантовая поправка

4.5 Вторая квантовая поправка

4.5.1 Вспомогательные выражения

4.5.2 Подсчет ^

4.5.3 Выражения для компонент ^

4.5.4 Подсчет ^

4.5.5 Сумма всех ^-компонент

4.6 Результаты

4.7 Модифицированная функция Грина

4.7.1 Нулевые моды

4.7.2 Добавление дополнительных вкладов

4.8 Обсуждение

Заключение

Список литературы

Список иллюстративного материала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод теплового ядра в теории перенормировок на примере скалярных моделей и теории Янга–Миллса»

Введение

В теоретической физике особую роль играет квантовая теория поля, которая считается наиболее фундаментальной теорией материи на сегодняшний день. За последний век в этой области было совершено большое количество открытий. Первый общепризнанный успех теории пришел после описания квантового электромагнитного поля, где фундаментальную роль сыграли работы Дирака [1], Паули [2], а также совместные труды последнего с Гейзенбергом [3; 4]. Следующей важной вехой в развитии теории стало описание слабых и сильных взаимодействий. Здесь можно отметить вклад таких ученых, как Глэшоу [5], Салам [6], Вайнберг [7], Юкава [8]. В результате вершиной квантовой теории поля можно считать построение Стандартной модели, которая на основе калибровочных полей (теории Янга-Миллса) объединила электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия в единую теоретическую конструкцию.

Прогресс в теоретической физике всегда сопровождается прогрессом в математике. Развитие теории поля способствовало появлению математического аппарата для описания физических процессов. Так, например, появился формализм функционального интеграла в теории поля. Само понятие функционального, или как его еще называют, континуального интеграла, в математике предложил Винер [9; 10] в начале 20-х годов прошлого века. Строгое определение этого объекта до сих пор имеет ряд математических вопросов. Тем не менее, на сегодняшний день это очень мощный аппарат в науке, находящий применение в различных областях, например в статистической физике [11], в физике конденсированного состояния [12], биофизике [13], экономике [14]. При этом одним из первых и значимых приложений функционального интеграла является именно теория поля. Еще в 1948 году Фейнман [15] разработал формализм описания квантовых теорий, который стал одним из самых популярных среди теоретических физиков. Такой подход имеет ряд технических и интуитивных преимуществ. Развитие этого формализма привело к появлению не менее значимого метода - диаграммной техники Фейнмана [16].

Другой инструмент, широко применяемый в теории поля, - метод теплового ядра. Он впервые был предложен Фоком в работе [17] в 1937 году. Основная идея метода заключается в том, что функцию Грина можно представить в виде интеграла по вспомогательной переменной (так называемому собственному

времени) от функции, удовлетворяющей уравнению теплопроводности. Такой подход оказался удобен, так как тепловое ядро можно асимптотически раскладывать в виде ряда по степеням собственного времени, что в свою очередь позволяет получить асимптотическое разложение для функции Грина. Новый виток в развитии данного метода произошел уже в 50-е года, когда его использовал Намбу в работе [18] при изучении уравнения Дирака и построении функции Грина. Также большую роль в изучении подхода сыграл Швингер [19], который применял метод теплового ядра при исследовании калибровочной инвариантности и поляризации вакуума. Поэтому метод теплового ядра иногда называют методом собственного времени Фока-Швингера. Следующим важным шагом в истории развития подхода стали работы деВитта [20; 21], в которых исследовались ковариантные методы описания теории калибровочных полей и квантовой гравитации.

Отдельным математическим вызовом для ученых стало возникновение расходящихся величин в квантовой теории поля. При вычислениях в квантовой электродинамике известных эффектов, например, рассеяние электрона на фотоне, получаются результаты, которые прекрасно согласуются с экспериментом. Но при попытке получить более точные ответы необходимо учитывать следующие порядки в теории возмущения. В свою очередь, это приводило к возникновению сингулярностей уже во втором порядке, что было показано в работе Оппенгеймера [22]. В связи с этим почти 20 лет теория поля находилась в очень непростом положении, и многие ученые стали всерьез опасаться несостоятельности данного подхода к описанию материи.

Эту проблему помогла решить теория перенормировок, разработанная во второй половине 40-х годов прошлого века. В основе этого подхода лежит идея устранения расходимостей путем переопределения параметров (для квантовой электродинамики это масса и заряд электрона). Основоположниками данного метода принято считать Томонагу, который выпустил серию работ со своими коллегами [23—27], а также Швингера [28—31] и Фейнмана [32—34]. Первой реализацией данного метода является работа Бете [35], где был осуществлен расчет лэмбовского сдвига уровней в атоме водорода. Годом позже Швингер вычислил аномальный момент электрона [28], который также совпал с экспериментальными значениями. Такой успех вновь породил большой интерес к теории. Существенный вклад в развитие метода перенормировок внес Дайсон, систематизировав имеющиеся подходы [36]. Отдельно стоит отметить роль Н. Н.

Боголюбова, который совместно с Ширковым разработал метод ренормализаци-онной группы [37], а с Парасюком доказал теорему о вычитании расходимостей в квантовой теории поля [38]. Эти работы считаются классическими в теории поля. Благодаря этому квантовая теория поля вновь обрела ясный смысл и совершила большой прогресс.

Тем не менее, при попытке описания слабых и сильных взаимодействий в рамках квантовой теории поля возникали трудности. Дело в том, что теория слабого взаимодействия не может быть перенормирована путем переопределения конечного числа параметров теории, как это было в электродинамике. С другой стороны, схема перенормировки предполагает использование пертурбативных методов - разложений в ряд по малому параметру. В электродинамике такой величиной служит постоянная тонкой структуры а = 1/137. В теории сильного взаимодействия константа связи имеет порядок, сравнимый с единицей, что делает невозможным применение такого описания. Эти проблемы привели ко второму кризису квантовой теории поля, который также продолжался порядка 20 лет.

С этими проблемами помогло справиться создание калибровочной теории с неабелевой калибровочной группой. Впервые ее описали в 1954 году Янг и Миллс [39]. Они представили обобщение квантовой электродинамики, где аналогом поля является вектор, а электромагнитному полю соответствует матрица. Сначала калибровочная теория Янга-Миллса рассматривалась исключительно как математическая модель, не описывающая реальные взаимодействия, так как при всей своей математической красоте в ней возникали поля, не существующие в теории поля того времени.

В 1961 году на основе теории Янга-Миллса Глэшоу [5] предложил идею, как можно объединить электромагнитное и слабое взаимодействие в общую теорию, взяв за основу калибровочную группу Би(2) х и(1). Независимо от этого схожую теорию также получили Салам и Уорд [6]. Такой подход предсказывал существование 2 бозона. Однако, такие частицы должны были быть безмассовыми, что не подтверждалось экспериментами. Кроме этого, такая теория была неперенормируемой. Позже с этими проблемами справились Вайнберг [7] и Салам [40], предложив улучшенную теорию Глэшоу, в том числе добавив эффекты от бозона Хиггса. Это был большой шаг на пути к созданию единой теории поля. Тем не менее, строгого доказательства перенормируемости теории все еще не было.

Следующим важным этапом в изучении перенормировки калибровочных теорий стали работы Фаддеева. В своей знаменитой работе с Поповым [41] они предоставили метод для вычисления произвольных вкладов для калибровочных теорий. Независимо от этого месяцем позже вышла серия работ деВитта [42—44], в которых обсуждались схожие идеи. Окончательно перенормируемость теории была доказана 'т Хоофтом в 1971 году [45]. Таким образом, теория электрослабых взаимодействий получила законченный и математически оправданный вид.

Параллельно этому шло изучение сил, описывающих структуру атомного ядра. Первые идеи, что такое взаимодействие также можно описать в рамках неабелевой калибровочной теории с калибровочной группой Би(3), были продемонстрированы в работах Неэмана [46] и Гелл-Манна [47]. Затем Гелл-Манн [48] и Цвейг [49] независимо предположили, что адроны в свою очередь не являются элементарными частицами, а состоят из других - кварков. В изучении данной теории также большую роль сыграли Боголюбов, Струминский и Тавхелидзе, которые в работе [50] предложили, что кварки должны обладать дополнительными степенями свободы - цветовым зарядом. Именно поэтому такую теорию впоследствии назвали хромодинамикой ("хрома" в переводе с греческого - цвет). В работах Политцера [51] и в совместной публикации Гросса и Вильчека [52] была показана отличительная черта такой теории - асимптотическая свобода. Основная идея заключается в том, что константа взаимодействия теории уменьшается с увеличением значения импульса. Это позволяет использовать пертурбативную теорию в вычислениях поправок для высших порядков.

Таким образом, к 70-м годам удалось описать электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия с помощью теории Янга-Миллса с калибровочной группой Зи(3) х Зи(2) х и(1), что, как отмечено выше, привело к созданию Стандартной модели. Так драматическая история квантовой теории поля завершилась огромным успехом.

Возвращаясь к теории перенормировок, хочется отметить, что на сегодняшний день существует несколько подходов к ее реализации. Для нахождения вкладов от расходящихся величин применяют различные схемы регуляризации. Один из самых естественных подходов - регуляризация с импульсом обрезания. Согласно ей, верхний или нижний предел расходящегося интеграла заменяют на параметр регуляризации Л, что позволяет вычислить интеграл. Важно, что после перенормировки теории мы должны "снять" регуляризацию, то есть пе-

рейти к пределу Л ^ +0 или Л ^ в зависимости от того, инфракрасные или ультрафиолетовые расходимости мы рассматриваем.

Другая популярная схема - размерная регуляризация, которая заключается в формальном переходе к пространству с нецелой размерностью. Так, например, для четырехмерного пространства мы рассматриваем размерность ё, = 4 — 2е. Ее впервые описали аргентинские ученые Джамбиаги и Болли-ни для вычисления перенормировки в электродинамике. Идея подхода была настолько неожиданной, что сперва их статью не приняли в журнал, и они были вынуждены опубликовать препринт [53]. Спустя полгода такую же идею предложили 'т Хоофт и Велтман [54], но для описания перенормировки теории Янга-Миллса. После публикации этой статьи работу аргентинских ученых все же опубликовали [55]. Также как и с регуляризацией с импульсом обрезания, после перенормировки теории необходимо "снять" регуляризацию, взяв предел £ ^ +0. Преимуществом данной схемы является сохранение калибровочной инвариантности теории.

Также можно отметить следующие схемы регуляризации: регуляризация Паули-Вилларса [56], согласно которой необходимо ввести вспомогательные поля с большой массой; метод высших ковариантных производных, предложенный Славновым [57; 58], при котором к лагранжиану теории добавляется вклад, который содержит высшие степени ковариантных производных и размерный параметр Л; регуляризация ^-функцией [59]. Каждая из них обладает своими преимуществами и недостатками.

Несмотря на описанный выше успех квантовой теории поля, она до сих пор имеет ряд физических и математических проблем. Один из главных вопросов - возможно ли добавить в такую модель теорию гравитации. Это четвертое и последнее фундаментальное взаимодействие, которое известно на сегодняшний день. Гравитация в свою очередь также может быть описана как калибровочная теория [60; 61]. Но при попытке ее квантования возникают проблемы, в том числе связанные с ее неперенормируемостью.

Также теория перенормировок, используемая в квантовой теории поля, имеет ряд математических и идейных вопросов. Например, размерная регуляризация, широко применяемая в расчетах, не имеет ясного физического смысла. Более того, она неприменима к суперсимметричным теориям. Поэтому изучение новых методов и подходов [62] в этой области остается актуальной и востребованной задачей.

Отдельно хочется отметить важность изучения теории Янга-Миллса. Уравнения, полученные в этой теории, являются нелинейными, поэтому их решение является крайне сложной задачей. Проблема решения уравнений Янга-Миллса в общем случае является одной из семи математических "Проблем тысячелетия", определенных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

В диссертационной работе подробно изучается теория перенормировок, которая в большой степени зависит от выбора регуляризации. Рассматривается регуляризация с импульсом обрезания, которая, с одной стороны, нарушает инвариантность и добавляет нелогарифмические расходимости, но, с другой стороны, является более физичной и сохраняет размерности. В работе описан новый подход перенормировки, основанный на использовании метода теплового ядра, преимуществами которого являются физическая наглядность, значительное упрощение вычислений и возможность использовать данный подход для перенормировки теорий в большом количестве петель.

Целью данной работы является изучение теории перенормировок в рамках метода теплового ядра для квантовой теории поля на примере скалярных моделей и теории Янга-Миллса.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Изучить тепловое ядро и функцию Грина в рамках регуляризации с импульсом обрезания. В том числе получить явный вид регуляризованной функции Грина для различных операторов Лапласа.

2. Для скалярной теории ф3 получить квантовое уравнение движения и представление для эффективного действия.

3. Вычислить расходимости в скалярной теории ф3 в размерностях <1 = 3, 4, 5,6 и выполнить перенормировку теории, используя регуляризацию с импульсом обрезания в специальном виде.

4. Изучить модификации функции Грина путем добавления к ней слагаемых специального вида. Привести описание регуляризации на основе таких модифицированных функций Грина, изучить их особенности и провести сравнение типичных расходимостей на примере скалярной теории ф4.

5. Построить смешанную регуляризацию на основе регуляризации с импульсом обрезания и размерной регуляризации.

6. Изучить асимптотическое разложение функции Грина в теории Янга-Миллса. Получить дополнительные свойства регулярного вклада в такое разложение.

7. Построить формализм для отслеживания расходимостей в двухпетле-вых вычислениях в четырехмерной теории Янга-Миллса.

8. Подсчитать двухпетлевые расходимости в четырехмерной теории Янга-Миллса, используя регуляризацию с импульсом обрезания в особой форме.

9. Выполнить перенормировку четырехмерной квантовой теории Янга-Миллса.

10. Изучить влияние добавления нулевых мод оператора Лапласа и вкладов специального типа к функции Грина на значение коэффициентов в-функции.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработана процедура перенормировки с применением метода теплового ядра при использовании регуляризации с импульсом обрезания в специальной форме.

2. С помощью нового предложенного метода проведена двухпетлевая перенормировка скалярной модели ф3 в размерностях й = 3,4, 5,6.

3. С помощью нового предложенного метода проведена перенормировка четырехмерной квантовой теории Янга-Миллса в двух петлях.

4. Представлен вариант смешанной регуляризации на основе размерной регуляризации и регуляризации с импульсом обрезания.

5. Показана инвариантность двухпетлевых поправок в теории Янга-Миллса относительно сдвига функции Грина на нулевые моды оператора Лапласа.

Научная новизна: Все положения диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Практическая значимость. Предложенный в работе метод является строгим в математическом смысле, дополнительные физические предположения или ограничения не использовались. Это позволяет применять его для перенормировки различных других теорий, в том числе и при многопетлевых вычислениях.

Методология и методы исследования. В работе при построении функции Грина используется метод собственного времени [63] для исследования

теплового ядра с оператором Лапласа. Используя полученное разложение, осуществляется вычисление расходимостеи и перенормировка модели ф3 и теории Янга-Миллса. При этом используется метод фонового поля [64—66], который является одним из наиболее мощных методов исследования калибровочных теорий. Он помогает упростить расчеты как технически, так и концептуально.

В качестве схемы регуляризации в данной работе преимущественно используется регуляризация с импульсом обрезания [67—69], которая является наиболее понятной с физической точки зрения. Основная идея заключается во введении сглаживающей функции при интегрировании по координатам пространства, что позволяет избегать появление расходимостей.

Также в работе широко применяются различные функциональные методы [15] и элементы диаграммной техники Фейнмана [16].

Достоверность и обоснованность результатов работы подтверждается сравнением с результатами, полученными другими авторами при помощи различных подходов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях:

1. Международная конференция "Days on Diffraction", Санкт-Петербург, Россия, 3-7 июня, 2019;

2. Двадцать четвертая международная конференция "High Energy Physics and Quantum Field Theory", Сочи, Россия, 22 - 29 сентября, 2019;

3. Международная конференция "Mathematical Physics, Dynamical Systems and Infinite-Dimensional Analysis", Долгопрудный, Россия, 17 - 21 июня, 2019;

4. Международная конференция "Days on Diffraction", Санкт-Петербург, Россия, 31 мая - 4 июня, 2021;

5. VIII Всероссийский с международным участием Молодежный научный форум, Гатчина, Россия, 17 - 19 ноября 2021.

Личный вклад. Автор принимал активное участие в разработке теоретических методов, в проведении расчетов и изучении литературы, соответствующей теме, и внес решающий вклад при решении поставленных задач.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в шести работах [62; 67—71], опубликованных в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК. При этом научные журналы, где опубликованы статьи [67; 68; 70; 71], индексируются Web of Science и/или Scopus.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 106 страниц, включая 10 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 110 наименований. Структура работы.

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации и формулируется предмет ее исследования.

В первой главе формулируется основная идея метода теплового ядра. Полученные в ней результаты используются на протяжении всей диссертационной работы.

В разделе 1 рассматривается уравнение теплопроводности для теплового ядра К(х,у; т) и оператора Лапласа А(х):

(дх + А(х))К(х,у; т) = 0; К(х,у;0) = д-1/2(х)Ь(х - у),

где д(х) - определитель метрического тензора. При малых значениях собственного времени т ^ +0 локальное решение такой задачи представимо в виде асимптотического ряда

то

к {х,у; т) = и е-"2/4т £ т* (*.»). (2)

( ) к=0

где а^ (х, у) - коэффициенты Сили-деВитта, которые удовлетворяют рекуррентным соотношениям. В подразделах 1.1.1 и 1.1.2 приводится явный вид первых коэффициентов для различных операторов Лапласа.

В разделе 1.2 вводится функция Грина, которая согласно методу теплового ядра строится как интеграл по собственному времени т от теплового ядра:

0(х,у)= [ (1тК(х,у; т). (3)

./м+

Также в разделе приводится разложение функции Грина для четных и нечетных значений размерности.

В разделе 1.3 обсуждается общая идея регуляризации функции Грина. Во второй главе мы применяем метод, описанный в главе 1, для конкретной модели - теории ф3. Выполняется двухпетлевая перенормировка скалярной модели. При этом для перенормировки используется формализм фонового поля

и в качестве схемы регуляризации выбрана регуляризация с импульсом обрезания в координатном представлении. Также выводится уравнение движения и обсуждается его применение в процессе перенормировки.

Раздел 2.1 содержит описание основных объектов, таких как лагранжиан и действие теории. Также приводится вид действия после сдвига поля ф(ж) ^ ф(х) + В (ж), где В (ж) - фоновое поле.

В разделе 2.2 рассматривается функция Грина и тепловое ядро, доказывается несколько соотношений для этих объектов, а также приводится выражение и первая вариация для логарифма детерминанта. Явный вид функций Грина для размерностей (1 = 3,4, 5,6 содержится в подразделе 2.2.1. В подразделе 2.2.2 приведены полезные соотношения для следовой части регулярного вклада в функцию Грина.

В разделе 2.3 вводится эффективное действие теории с помощью функционального интеграла и описывается метод фонового поля. Используя функциональные методы, приводится преобразование выражения для эффективного действия. Также обсуждается фиксация нормировки.

Раздел 2.4 содержит описание диаграммной техники для модели ф3. В нем вводятся определения вакуумных, связанных и одночастично неприводимых диаграмм. Также вводится функционал р(д,В), равный сумме связанных вакуумных диаграмм и их произведений, и определение расширенной функции Грина С(х,у).

В разделе 2.5 двумя способами получается квантовое уравнение движения, с помощью которого определяется фоновое поле. Первый способ основан на использовании Лемм 2.5.1 и 2.5.2. Второй способ формулируется в Теореме 2.5.3.

Раздел 2.6 посвящен описанию схемы регуляризации. Как отмечалось выше, мы используем регуляризацию с импульсом обрезания в координатном представлении. Здесь приведены явные правила для ее осуществления.

Наконец, в разделе 2.7 содержатся главные результаты второй главы - перенормировка теории ф3. Подразделы 2.7.1-2.7.4 содержат подробные вычисления расходимостей и описание перенормировки для двух петель в пространствах с размерностями ё, = 3,4, 5,6, соответственно.

Третья глава посвящена описанию модификаций размерной регуляризации и регуляризации с импульсом обрезания, а также, используя эти схемы,

„4

построению смешанной регуляризации на примере скалярной теории ф4.

В разделе 3.1 вводятся основные понятия теории, такие как лагранжиан четырехмерной теории ф4 и элементы диаграммной техники. Подраздел 3.1.1 содержит описание построения функции Грина, ее явный вид и разложение для коэффициентов Сили-деВитта. В подразделах 3.1.2 и 3.1.3 для регуляризации с импульсом обрезания и для размерной регуляризации, соответственно, приводятся выражения для регуляризованной функции Грина и описываются ее модификации при добавлении вкладов специального вида.

Характерные расходимости, возникающие в четырехмерной теории ф4, рассмотрены в разделе 3.2. Так подразделы 3.2.1 и 3.2.2 содержат подробные вычисления сингулярностей для регуляризации с импульсом обрезания и размерной регуляризации, соответственно.

В разделе 3.3 проводится сравнение регуляризаций. Также дано описание смешанной регуляризации. Для нее рассмотрен предельный случай, при котором возникают сингулярности, между которыми строго экспоненциальное соотношение.

В завершении главы в разделе 3.4 приводятся краткие выводы и обсуждаются полученные результаты.

Четвертая глава посвящена двухпетлевой перенормировке четырехмерной квантовой теории Янга-Миллса. Так же как и в предыдущих главах, для построения разложения функции Грина используется метод теплового ядра.

Раздел 4.1 содержит историческую справку и краткий обзор имеющихся результатов. Также здесь приведены отличия нашего подхода от существующих и даны некоторые аргументы в его пользу.

В разделе 4.2 приводятся формулировки основных объектов для теории Янга-Миллса. Так в подразделе 4.2.1 вводится поле и напряженность Янга-Миллса, а также дается определение классического действия теории. Подраздел 4.2.2 включает в себя описание метода фонового поля и представление действия через интеграл по траекториям. В подразделе 4.2.3 определяются элементы диаграммной техники и с помощью теории возмущения приводится выражение для эффективного действия теории Янга-Миллса.

Раздел 4.3 содержит описание построения разложения для функции Грина. В подразделе 4.3.1 вводятся обозначения, такие как левая и правая ко-вариантные производные и оператор взятия следа. Подраздел 4.3.2 содержит построение функции Грина с помощью метода теплового ядра. Рассматриваются два оператора Лапласа и приводятся дополнительные свойства следовых

значений коэффициентов Сили-деВитта. Также описываются некоторые соотношения для регулярных вкладов РЗ(х, у) из разложения функции Грина. В подразделе 4.3.3 приводятся дополнительные свойства регулярной части. Проводится размерный анализ и строится анзатц для локального поиска функции РЗ(х, у). Подраздел 4.3.4 содержит описание схемы регуляризации с импульсом обрезания. Также выписывается выражение для регуляризованной функции Грина и рассматриваются основные соотношения, возникающие при подсчетах расходимостей.

В разделе 4.4 приводится вычисление первой поправки в эффективное четырехмерное действие Янга-Миллса. Такой вклад пропорционален логарифму детерминанта.

Раздел 4.5 содержит описание вычисления второй поправки. В подразделе

4.5.1 представлены дополнительные выражения для упорядоченной экспоненты. При вычислениях двухпетлевой поправки мы получили 6 слагаемых, которые дают вклады. Подробное вычисление для первого вклада приводится в подразделе 4.5.2. Следующий подраздел 4.5.3 включает в себя результаты для второго, третьего, четвертого и пятого вкладов. В подразделе 4.5.4 приводятся подробные вычисления для последнего шестого вклада, так как он имеет отличную структуру. Сумма всех вкладов приводится в подразделе 4.5.5.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Харук Наталья Вячеславовна, 2022 год

Список литературы

1. Dirac, P. A. M. The quantum theory of the emission and absorption of radiation / P. A. M. Dirac // Proceedings of the Royal Society of London A. — 1927. - Vol. 114, no. 767. - P. 243-65.

2. Jordan, P. Zur quantenelektrodynamik ladungsfreier felder / P. Jordan, W. Pauli // Zeitschrift für Physik. - 1928. - Vol. 47. - P. 151-173.

3. Heisenberg, W. Zur quantendynamik der wellenfelder / W. Heisenberg, W. Pauli // Zeitschrift für Physik. - 1929. - Vol. 56. - P. 1—61.

4. Heisenberg, W. Zur quantentheorie der wellenfelder ll / W. Heisenberg, W. Pauli // Zeitschrift für Physik. - 1930. - Vol. 59. - P. 168-190.

5. Glashow, S. Partial symmetries of weak interactions / S. Glashow // Nuclear Physics. - 1961. - Vol. 22. - P. 579-588.

6. Salam, A. Electromagnetic and weak interactions / A. Salam, J. Ward // Physics Letters. - 1964. - Vol. 13. - P. 168-171.

7. Weinberg, S. A model of leptons / S. Weinberg // Physical Review Letters. — 1967. - Vol. 19, no. 21. - P. 1264-1266.

8. Yukawa, H. On the interaction of elementary particles. I. / H. Yukawa // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3rd Series. — 1935. - Vol. 17. - P. 48-57.

9. Wiener, N. The average value of a functional / N. Wiener // Proceedings of The London Mathematical Society. - 1924. - Vol. s2-22. - P. 454—467.

10. Wiener, N. Differential space / N. Wiener // Journal of Mathematics and Physics. - 1923. - Vol. 1-4. - P. 131-174.

11. Brush, S. G. Functional integrals and statistical physics / S. G. Brush // Reviews of Modern Physics. - 1961. - Vol. 33, no. 1. - P. 79-92.

12. Negele, J. W. Quantum Many-Particle Systems / J. W. Negele, H. Orland. — Boca Raton : CRC Press, 2018. - 476 p.

13. Bernido, C. C. White noise analysis: some applications in complex systems, biophysics and quantum mechanics / C. C. Bernido, M. V. Carpio-Bernido // International Journal of Modern Physics B. — 2012. — Vol. 26, no. 29. — P. 1230014.

14. Linetsky, V. The path integral approach to financial modeling and options pricing / V. Linetsky // Computational Economics. — 1997. — Vol. 11, no. 1. - P. 129-163.

15. Feynman, R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics / R. P. Feynman // Reviews of Modern Physics. — 1948. — Vol. 20, no. 2. — P. 367-387.

16. Feynman, R. P. Space-time approach to quantum electrodynamics / R. P. Feynman // Physical Review. - 1949. - Vol. 76, no. 6. - P. 769-789.

17. Fock, V. A. Die eigenzeit in der klassischen- und in der quantenmechanik / V. A. Fock // Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion. — 1937. — Vol. 12. — P. 404-425.

18. Nambu, Y. The use of the proper time in quantum electrodynamics I / Y. Nambu // Progress of Theoretical Physics. — 1950. — Vol. 5. — P. 82—94.

19. Schwinger, J. On gauge invariance and vacuum polarization / J. Schwinger // Physical Review. - 1951. - Vol. 82. - P. 664-679.

20. DeWitt, B. Dynamical Theory of Groups and Fields / B. DeWitt. — New York : Gordon & Breach, 1965. — 258 p.

21. De Witt, B. Quantum field theory in curved spacetime / B. DeWitt // Physics Reports. - 1975. - Vol. 19. - P. 295-357.

22. Oppenheimer, J. R. Note on the theory of the interaction of field and matter / J. R. Oppenheimer // Physical Review. — 1930. — Vol. 35, no. 5. — P. 461-77.

23. Tomonaga, S. On a relativistically invariant formulation of the quantum theory of wave fields / S. Tomonaga // Progress of Theoretical Physics. — 1946. - Vol. 1. - P. 27-42.

24. Koba, Z. On a relativistically invariant formulation of the quantum theory of wave fields. II. / Z. Koba, T. Tati, S. Tomonaga // Progress of Theoretical Physics. - 1947. - Vol. 2. - P. 101-116.

25. Koba, Z. On a relativistically invariant formulation of the quantum theory of wave fields. III / Z. Koba, T. Tati, S. Tomonaga // Progress of Theoretical Physics. - 1947. - Vol. 2. - P. 198-208.

26. Kanesawa, S. On a relativistically invariant formulation of the quantum theory of wave fields. IV / S. Kanesawa, S. Tomonaga // Progress of Theoretical Physics. - 1948. - Vol. 3. - P. 1-13.

27. Kanesawa, S. On a relativistically invariant formulation of the quantum theory of wave fields. V / S. Kanesawa, S. Tomonaga // Progress of Theoretical Physics. - 1948. - Vol. 3. - P. 101-113.

28. Schwinger, J. On quantum-electrodynamics and the magnetic moment of the electron / J. Schwinger // Physical Review. — 1948. — Vol. 73, no. 4. — P. 416-417.

29. Schwinger, J. I. A covariant formulation / J. Schwinger // Physical Review. - 1948. - Vol. 74, no. 10. - P. 1439-1461.

30. Schwinger, J. II. Vacuum polarization and self-energy / J. Schwinger // Physical Review. - 1949. - Vol. 75, no. 4. - P. 651-679.

31. Schwinger, J. III. The electromagnetic properties of the electron radiative corrections to scattering / J. Schwinger // Physical Review. — 1949. — Vol. 76, no. 6. - P. 790-817.

32. Feynman, R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics / R. P. Feynman // Reviews of Modern Physics. — 1948. — Vol. 20, no. 2. — P. 367-387.

33. Feynman, R. P. A relativistic cut-off for classical electrodynamics / R. P. Feynman // Physical Review. - 1948. - Vol. 74, no. 8. - P. 939-946.

34. Feynman, R. P. Relativistic cut-off for quantum electrodynamics / R. P. Feynman // Physical Review. - 1948. - Vol. 74, no. 10. - P. 1430-1438.

35. Bethe, H. The electromagnetic shift of energy levels / H. Bethe // Physical Review. - 1947. - Vol. 72, no. 4. - P. 339-341.

36. Dyson, F. J. The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman / F. J. Dyson // Physical Review. - 1949. - Vol. 75, no. 3. - P. 486-502.

37. Bogoliubov, N. N. Charge renormalization group in quantum field theory / N. N. Bogoliubov, D. V. Shirkov // Nuovo Cimento. - 1956. - Vol. 3. -P. 845-863.

38. Боголюбов, Н. Н. К теории умножения причинных сингулярных функций / Н. Н. Боголюбов, О. С. Парасюк // Доклады АН СССР. — 1955. — Т. 100. — С. 25—28.

39. Yang, C.-N. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance / C.-N. Yang, R. L. Mills // Physical review. - 1954. - Vol. 96, no. 1. -P. 191-195.

40. Salam, A. Weak and electromagnetic interactions / A. Salam // Elementary particle theory, Proceedings of the Nobel Symposium. — 1968. — P. 367—377.

41. Faddeev, L. Feynman diagrams for the Yang-Mills field / L. Faddeev, V. Popov // Physics Letters B. - 1967. - Vol. 25. - P. 29-30.

42. DeWitt, B. Quantum theory of gravity. I. The canonical theory / B. DeWitt // Physical Review. - 1967. - Vol. 160, no. 5. - P. 1113-1148.

43. DeWitt, B. Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory / B. DeWitt // Physical Review. - 1967. - Vol. 162, no. 5. - P. 1195-1239.

44. DeWitt, B. Quantum theory of gravity. III. Applications of the covariant theory / B. DeWitt // Physical Review. - 1967. - Vol. 162, no. 5. -P. 1239-1256.

45. 't Hooft, G. Renormalizable Lagrangians for massive Yang-Mills fields / G. 't Hooft // Nuclear physics: B. - 1971. - Vol. 35. - P. 167-188.

46. Ne'eman, Y. Derivation of strong interactions from a gauge invariance / Y. Ne'eman // Nuclear physics. - 1961. - Vol. 26, no. 2. - P. 222-229.

47. Gell-Mann, M. Symmetries of baryons and mesons / M. Gell-Mann // Physical Review. - 1962. - Vol. 125. - P. 1067-1084.

48. Gell-Mann, M. A schematic model of baryons and mesons / M. Gell-Mann // Physics Letters. - 1964. - Vol. 8, no. 3. - P. 214-215.

49. Zweig, G. An SU(3) model for strong interaction symmetry and its breaking / G. Zweig // preprint CERN 8419 TH. 412. - 1964. - P. 22-101.

50. Bogoliubov, N. On composite models in the theory of elementary particles / N. Bogoliubov, B. Struminsky, A. Tavkhelidze // Joint Institute for Nuclear Research D-1968. - 1965.

51. Politzer, H. Reliable perturbative results for strong interactions / H. Politzer // Physical Review Letters. — 1973. — Vol. 30, no. 26. — P. 1346-1349.

52. Gross, D. Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories / D. Gross, F. Wilczek // Physical Review Letters. - 1973. - Vol. 30, no. 26. -P. 1343-1346.

53. Bollini, C. Dimensional renorinalization: The number of dimensions as a regularizing parameter / C. Bollini, J. Giambiagi // Il Nuovo Cimento B. — 1972. - Vol. 12, no. 1. - P. 20-26.

54. 't Hooft, G. Regularization and renormalization of gauge fields / G. 't Hooft, M. Veltman // Nuclear Physics B. - 1972. - Vol. 44, no. 1. - P. 189-213.

55. Bollini, C. Lowest order "divergent" graphs in v-dimensional space / C. Bollini, J. Giambiagi // Physics Letters B. - 1972. - Vol. 40, no. 5. -P. 566-568.

56. Pauli, W. On the invariant regularization in relativistic quantum theory / W. Pauli, F. Villars // Reviews of Modern Physics. - 1949. - Vol. 21, no. 3. - P. 434-444.

57. Slavnov, A. Invariant regularization of non-linear chiral theories / A. Slavnov // Nuclear Physics B. - 1971. - Vol. 31. - P. 301-315.

58. Славнов, А. Инвариантная регуляризация калибровочных теорий / А. Славнов // Теоретическая и математическая физика. — 1972. — Т. 13, № 2. — С. 174—177.

59. Hawking, S. W. Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime / S. W. Hawking // Communications in Mathematical Physics. — 1977. - Vol. 55, no. 2. - P. 133-148.

60. Фаддеев, Л. Ковариантное квантование гравитационного поля / Л. Фаддеев, В. Попов // Успехи физических наук. — 1973. — Т. 111. — С. 427—450.

61. Ponomarev, V. Gauge approach and quantization methods in gravity theory / V. Ponomarev, A. Barvinsky, Y. Obukhov. — Moscow : Nauka, 2017. — 360 p.

62. Харук, Н. В. Регуляризации смешанного типа и нелогарифмические сингулярности / Н. В. Харук // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН. — 2020. — Т. 494. — С. 242—249.

63. Vassilevich, D. V. Heat kernel expansion: user's manual / D. V. Vassilevich // Physics Reports. - 2003. - Vol. 388. - P. 279-360.

64. Arefeva, I. Y. Generating functional for the S-matrix in gauge-invariant theories / I. Y. Arefeva, A. A. Slavnov, L. D. Faddeev // Theoretical and Mathematical Physics. - 1974. - Vol. 21. - P. 1165-1172.

65. Abbott, L. F. Introduction to the Background Field Method / L. F. Abbott // Acta Physica Polonica B. - 1982. - Vol. 13. - P. 33-50.

66. Faddeev, L. D. Gauge Fields: Introduction To Quantum Theory / L. D. Faddeev, A. A. Slavnov // Frontiers in Physics. - 1980. - Vol. 50. - P. 1-232.

67. Ivanov, A. V. Quantum equation of motion and two-loop cutoff renormaliza-tion for ф3 model / A. V. Ivanov, N. V. Kharuk // Journal of Mathematical Sciences. - 2021. - Vol. 257, no. 5. - P. 526-536.

68. Ivanov, A. V. Two-loop cutoff renormalization of 4-D Yang-Mills effective action / A. V. Ivanov, N. V. Kharuk // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. - 2020. - Vol. 48, no. 1. - P. 015002.

69. Харук, Н. В. Нулевые моды оператора Лапласа в двухпетлевых вычислениях в теории Янга-Миллса / Н. В. Харук // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН. — 2021. — Т. 509. — С. 216—226.

70. Ivanov, A. V. Non-recursive formula for trace of heat kernel / A. V. Ivanov, N. V. Kharuk // Proceedings of the International Conference "Days on Diffraction 2019". - 2019. - P. 74-77.

71. Ivanov, A. V. Heat kernel: proper time method, Fock-Schwinger gauge, path integral representation, and Wilson line / A. V. Ivanov, N. V. Kharuk // Theoretical and Mathematical Physics. — 2020. — Vol. 205, no. 2. — P. 1456-1472.

72. van de Ven, A. E. M. Index-free heat kernel coefficients / A. E. M. van de Ven // Classical and Quantum Gravity. - 1998. - Vol. 15. - P. 2311-2344.

73. Barvinsky, A. O. Beyond the Schwinger-DeWitt technique: converting loops into trees and in-in currents / A. O. Barvinsky, G. A. Vilkovisky // Nuclear Physics B. - 1987. - Vol. 282. - P. 163-188.

74. Barvinsky, A. O. Covariant perturbation theory (II). Second order in the curvature. General algorithms / A. O. Barvinsky, G. A. Vilkovisky // Nuclear Physics B. - 1990. - Vol. 333. - P. 471-511.

75. Luscher, M. Dimensional regularisation in the presence of large background fields / M. Luscher // Annals of Physics. - 1982. - Vol. 142. - P. 359-392.

76. Ivanov, A. V. Two function families and their application to hankel transform of heat kernel / A. V. Ivanov, N. V. Kharuk // arXiv:2106.00294 [math-ph]. — 2021.

77. Faddeev, L. D. Mass in quantum Yang-Mills theory: comment on a Clay Millenium problem / L. D. Faddeev // arXiv:0911.1013. - 2009.

78. Macfarlane, A. J. theory in six dimensions and the renormalization group / A. J. Macfarlane, G. Woo // Nuclear Physics B. - 1974. - Vol. 77. -P. 91-108.

79. Low energy effects of new interactions in the electroweak boson sector / K. Hagiwara [et al.] // Physical Review D. — 1993. — Vol. 48, no. 5. — P. 2182-2203.

80. Nakahara, M. Geometry, Topology and Physics / M. Nakahara. — Boca Raton : FL: CRC Press, 2003. - 596 p.

81. Jaffe, A. Quantum Yang-Mills theory / A. Jaffe, E. Witten // The Millennium Prize Problems. American Mathematical Society. — 2006. — Vol. 1. — P. 129.

82. Collins, J. C. Renormalization : an introduction to renormalization, the renormalization group and the operator-product expansion / J. C. Collins. — Cambridge : Cambridge University Press, 1984. — 392 p.

83. Zavialov, O. I. Renormalized Quantum Field Theory / O. I. Zavialov. — Dodrecht : Kluwer, 1990. - 524 p.

84. Kazakov, D. I. Radiative corrections, divergences, regularization, renormaliza-tion, renormalization group and all that in examples in quantum field theory / D. I. Kazakov // arXiv:0901.2208 [hep-ph]. - 2009.

85. Itzykson, C. Quantum Field Theory / C. Itzykson, J. B. Zuber. — New York : McGraw-Hill, 1980. - 705 p.

86. Peskin, M. E. An Introduction to Quantum Field Theory / M. E. Peskin, D. V. Schroeder. — Reading, MA : Addison-Wesley, 1995. — 842 p.

87. Pronin, P. I. The two-loop beta-function of the N = 1 supersymmetric electrodynamics regularized by a loop momentum cutoff / P. I. Pronin, B. A. Rozentul, K. V. Stepanyants // Moscow University Physics Bulletin. — 2002. - Vol. 57N4. - P. 18-22.

88. Kataev, A. L. The Adler D-function for N = 1 SQCD regularized by higher covariant derivatives in the three-loop approximation / A. L. Kataev,

A. E. Kazantsev, K. V. Stepanyants // Nuclear Physics B. — 2018. — Vol. 926. - P. 295-320.

89. Abbott, L. F. The background field method beyond one loop / L. F. Abbott // Nuclear Physics B. - 1982. - Vol. 185. - P. 189-203.

90. Jack, I. Two-loop background field calculations for arbitrary background fields / I. Jack, H. Osborn // Nuclear Physics B. - 1982. - Vol. 207. -P. 474-504.

91. Börnsen, J.-P. Three-loop Yang-Mills ß-function via the covariant background field method / J.-P. Börnsen, A. E. M. van de Ven // Nuclear Physics

B. - 2003. - Vol. 657. - P. 257-303.

92. van Ritbergen, T. The four-loop ß-function in quantum chromodynamics / T. van Ritbergen, J. A. M. Vermaseren, S. A. Larin // Physics Letters B. — 1997. - Vol. 400. - P. 379-84.

93. Czakon, M. The four-loop QCD ß-function and anomalous dimensions / M. Czakon // Nuclear Physics B. - 2005. - Vol. 710. - P. 485-98.

94. Baikov, P. A. Five-loop running of the QCD coupling constant / P. A. Baikov, K. G. Chetyrkin, J. H. Kühn // Physical Review Letters. — 2017. — Vol. 118. - P. 082002.

95. The five-loop beta function of Yang-Mills theory with fermions / F. Herzog [et al.] // Journal of High Energy Physics. - 2017. - Vol. 90. - P. 1-18.

96. Shatashvili, S. L. Two-loop approximation in the background field formalism / S. L. Shatashvili // Theoretical and Mathematical Physics. — 1984. — Vol. 58. - P. 144-50.

97. Oleszczuk, M. A symmetry-preserving cut-off regularization / M. Oleszczuk // Zeitschrift für Physik C Particles and Fields. - 1994. - Vol. 64. - P. 533-8.

98. Liao, S.-B. Operator cutoff regularization and renormalization group in Yang-Mills theory / S.-B. Liao // Physical Review D. - 1997. - Vol. 56. -P. 5008-33.

99. Cynolter, G. Cutoff regularization method in gauge theories / G. Cynolter, E. Lendvai // (arXiv:1509.07407 [hep-ph]). - 2015.

100. Faddeev, L. D. Scenario for the renormalization in the 4D Yang-Mills theory / L. D. Faddeev // International Journal of Modern Physics A. — 2016. — Vol. 31. - P. 1630001.

101. Derkachev, C. E. Renormalization scenario for the quantum Yang-Mills theory in four-dimensional space-time / C. E. Derkachev, A. V. Ivanov, L. D. Faddeev // Theoretical and Mathematical Physics. — 2017. — Vol. 192. - P. 1134-40.

102. Oh, C. H. Two-loop approximation of the effective potential for the Yang-Mills field / C. H. Oh // Progress of Theoretical Physics. — 1976. — Vol. 55. - P. 1251-8.

103. Berezin, F. A. The Method of Secondary Quantization / F. A. Berezin. — Moscow : Nauka, 1965. — 240 c.

104. Jones, D. R. T. Two-loop diagrams in Yang-Mills theory / D. R. T. Jones // Nuclear Physics B. - 1974. - Vol. 75. - P. 531-8.

105. Ivanov, A. V. Diagram technique for the heat kernel of the covariant Laplace operator / A. V. Ivanov // Theoretical and Mathematical Physics. — 2019. — Vol. 198. - P. 100-17.

106. Batalin, I. A. Vacuum polarization by a source-free gauge field / I. A. Batalin, S. G. Matinian, G. K. Savvidy // Yadernaya fizika. — 1977. — Vol. 26. — P. 407-14.

107. Slavnov, A. A. Universal gauge invariant renormalization / A. A. Slavnov // Physics Letters B. - 2001. - Vol. 518. - P. 195-200.

108. Slavnov, A. A. Regularization-independent gauge-invariant renormalization of the Yang-Mills theory / A. A. Slavnov // Theoretical and Mathematical Physics. - 2002. - Vol. 130. - P. 3-14.

109. How to preserve symmetries with cut-off regularized integrals? / T. Varin [et al.] // Nuclear Physics A. - 2007. - Vol. 791. - P. 422-33.

110. Chankowski, P. H. Two-loop RGE of a general renormalizable Yang-Mills theory in a renormalization scheme with an explicit UV cutoff / P. H. Chankowski, A. Lewandowski, K. A. Meissner // Journal of High Energy Physics. - 2016. — Vol. 11. — P. 1-83.

Список иллюстративного материала

Рисунок 2.1 Элементы диаграммной техники для модели ф3................31

Рисунок 2.2 Главный 1Р1 член р(д,В)..........................................32

Рисунок 2.3 Расширенная функция Грина......................................32

Рисунок 2.4 Диаграммное представление расширенной функции Грина в

виде ряда по константе связи..............................................32

Рисунок 2.5 Эффективное действие с 1Р1 поправками до 0(д3)..............34

Рисунок 3.1 Элементы диаграммной техники для скалярной модели ф4. . 46

Рисунок 3.2 Трехпетлевая диаграмма в теории ф4............................50

Таблица 1 Типичные интегралы и их расходимости для (3.18),

полученные с помощью регуляризации с импульсом обрезания и

размерной регуляризации, где Ь = 1п(А/ц,), ^ =1, а,в £ N и п = 0,1,2 56

Рисунов4.1 Элементы диаграммной техники..................................64

Рисунок 4.2 Двухпетлевые диаграммы Фейнмана..............................64

Рисунок 4.3 Пример функции f..................................................92