Метод спектральной проекции для обработки результатов реакторных измерений и оценки параметров ядерной безопасности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Черезов, Алексей Леонидович

• Черезов, Алексей Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Черезов, Алексей Леонидович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Анализ методов определения реактивности

Раздел 1. Газокинетическая модель нейтронной кинетики

Раздел 2. Анализ методов определения реактивности

Раздел 3. Многогрупповая диффузионная модель нейтронной кинетики

Раздел 4. Анализ методической погрешности метода ОРУК

Раздел 5. Метод спектральной проекции

Раздел 6. Приближенные методы определения реактивности

Раздел 7. Область применимости методов СП и ОРУК-СП

Раздел 8. Заключение к первой главе

Глава 2. Анализ погрешности метода спектральной проекции

Раздел 1. Источники погрешности метода СП

Раздел 2. Погрешность определения собственного значения

Раздел 3. Анализ возмущения собственных функций и значений

оператора нейтронной кинетики

Раздел 4. Динамическое восстановления нейтронного поля

Раздел 5. Заключение ко второй главе

Глава 3. Расчетный анализ методов СП и ОРУК-СП

Раздел 1. Анализ методов определения реактивности

с использованием одномерной модели

Раздел 2. Программа нейтронно-физического расчета Neutron 3D

Раздел 3. Оценка эффективности методов СП и ОРУК-СП

с использованием трехмерной модели РБМК

Раздел 4. Обработка данных измерений подкритичности стенда РБМК

Раздел 5. Заключение к третьей главе

Заключение

Список литературы

Приложения

Приложение А. Численная схема алгоритма ОРУК

Приложение Б. Одномерная расчетная модель

Приложение В. Расчетная модель реактора РБМК

Приложение Г. Описание критического стенда

Приложение Д. Модель критического стенда

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод спектральной проекции для обработки результатов реакторных измерений и оценки параметров ядерной безопасности»

ВВЕДЕНИЕ

В связи с высокой потенциальной опасностью и капиталоемкостью ядерных технологий, к процессу производства энергии на ядерных энергетических установках предъявляются высокие требования по ядерной безопасности [86] и экономической эффективности [90]. Прежде всего эти требования должны удовлетворяться за счет использования продуманных конструкторских решений, разрабатываемых на стадии проектирования ядерной установки и выбора наилучшей композиции топливной загрузки. Из-за непрерывного развития технологий ядерного топливного цикла, включая разработку новых видов ядерного топлива, загрузка активной зоны на отечественных реакторах часто претерпевает изменения в ходе эксплуатации ядерной энергетической установки (ЯЭУ). По этой причине в Российской Федерации особое внимание уделяется задачам расчетно-экспериментального обоснования эффективности, безопасности и прогноза поведения реактора. Важную роль при эксплуатации энергетических установок играют задачи оперативного контроля, управления и диагностики состояния ядерного реактора.

Задача оперативного контроля состоит в наблюдении за состоянием реактора и в выявлении отклонений в его работе от режима нормальной эксплуатации. Контроль осуществляется по определенному набору нейтронно-физических характеристик (НФХ) -параметров безопасности - которые характеризуют текущее состояние реактора, а также уровень его безопасности. К числу этих параметров относятся: эффекты и коэффициенты реактивности, оперативный запас реактивности, эффективность ("веса") органов регулирования и органов аварийной защиты (АЗ), коэффициенты неравномерности полей и др. (таблица 1).

Таблица 1.

Контролируемые нейтронно-физические характеристики [87, 88]

Эффекты реактивности Эффект реактивности при изменении мощности реактора, при обезвоживании каналов; эффективность органов регулирования; подкритичность реактора; запас реактивности; пустотный эффект реактивности.

Коэффициенты реактивности Коэффициенты реактивности по мощности реактора, по температуре, давлению, плотности теплоносителя, по парообразованию, по температуре графита (в РБМК).

Другие характеристики Параметры ксеноновых колебаний, коэффициенты неравномерности, эффективная доля запаздывающих нейтронов.

По значениям этих нейтронно-физических характеристик делается вывод о текущем уровне безопасности ядерного реактора: если полученные значения параметров

укладываются в заданные допустимые диапазоны их изменения, тогда состояние реактора считается безопасным. В противном случае состояние реактора считается небезопасным, что влечет за собой принятие ряда технических мер (основанных на результатах диагностики состояния реактора) по приведению значений параметров в соответствие с допустимыми пределами. Существует три уровня допустимых диапазонов: пределы безопасной эксплуатации (максимально возможные значения, выход за которые влечет потенциальную возможность возникновения ядерной аварии), эксплуатационные пределы (предельные значения параметров безопасности для нормального режима работы) и границы эксплуатационного диапазона (крайние значения параметров безопасности, наблюдаемые в условиях нормальной эксплуатации реактора). Значения допустимых диапазонов определяются в ходе проектных расчетов и устанавливаются нормативными документами. Большинство параметров безопасности определяются дважды: путем проведения расчетов по одной из программ нейтронно-физического расчета (НФР) (табл. 2) и путем обработки экспериментальных данных, полученных в ходе специально проводимых для этого измерений.

Таблица 2.

Российские программы нейтронно-физических расчетов

Реакторная установка Программный код

1. РБМК-1000 STEPAN, POLARIS, SADCO, TROYKA, БОКР, ПРИЗМА-М,

2. ВВЭР-440,1000 БИПР, КАСКАД, ПРОСТОР, ТИГР, САПФИР, РАДУГА, NOSTRA, SVC, SVL, SV-KR,, КОРСАР, РАДАР, ХОРТИЦА,

3. БОР-60, БН-600,800 ГЕФЕСТ, ТРИГЕКС, JARFR, DIN800, BURAN, TANDEM, SKETCH

4. ЭГП-6 TS-2D, RLD, ACADEM

5. Транспортные реакторы PACHAR, ВЫМПЕЛ-РТПАК-KARLOS-HOPKA

6. Исследовательские, промышленные реакторы ПЕРМАК-А, HEXA, TIGRIS, BARS, MCNP, TRIFON-SHERATON, САПФИР, TBC-M

Универсальные программы MCU-REA, РЕАКТОР

Для подтверждения безопасности ЯЭУ необходимо, чтобы расчетные и экспериментальные значения параметров в пределах погрешности совпадали друг с другом. Это может не происходить по двум причинам: из-за погрешности параметров расчетной модели в программе НФР или из-за ошибок в интерпретации данных реакторных измерений. Погрешность параметров модели является в первую очередь следствием неточности значений технологических параметров ядерной установки и устраняется путем корректировки параметров модели по данным детекторов. Ошибки в

интерпретации измерений возникают из-за неточности предписанных эксплуатационными нормативными документами методик. Значения параметров безопасности, определяемые с использованием этих методик, зависят от условий проведения измерений и могут содержать систематическую ошибку. Неточность определения параметров безопасности несет в себе потенциальную угрозу безопасности ЯЭУ: программное средство НФР, верифицированное по неверно интерпретированным данным, становится неадекватной действующему реактору, что влечет за собой возможные ошибки в его управлении. В связи с этим становится актуальной проблема разработки такой методики определения параметров безопасности, которая не зависит от условий проведения измерений.

Задача управления включает в себя поиск оптимального вектора управляющих воздействий на реакторную установку (порядок перемещения органов регулирования при изменении мощности установки или выравнивания поля энерговыделения, последовательность перемещения кассет в ходе перегрузки активной зоны, концентрация борной кислоты, поканальный расход теплоносителя и др.) с целью уменьшения эксплуатационных затрат, снижения стоимости вырабатываемой энергии, оптимизации топливного цикла и других технико-экономических параметров [90, 91]. ПС, в которых реализованы алгоритмы решения задач оптимизации, называются генераторами стратегии управления (ГСУ) [51, 52]. Основой ГСУ является расчетная модель ядерного реактора, поэтому степень достоверности "предсказаний" ГСУ зависит от точности настройки модели.

В случае возникновения отклонений в работе ЯЭУ появляется задача диагностики состояния ядерного реактора [54]. Основными элементами задачи диагностики являются:

1) пространственно-временная локализация места возникновения неполадки (т.е. в какой кассете в какой момент времени она произошла);

2) определение причин ее возникновения (падение расхода, разгерметизация твэлов, ошибка в загрузке активной зоны);

3) оценка последствий возникшей неполадки и выработка рекомендаций по ее устранению.

Алгоритм диагностики опирается на комплексный анализ экспериментальных и расчетных данных, осуществляемый с использованием программ НФР.

Задачи оценки ядерной безопасности, оперативного контроля, управления и диагностики тесно связаны друг с другом, так как в основе их решения лежит анализ расчетно-экспериментальных данных. Определенность и надежность результатов этого анализа напрямую зависят от информативности (то есть от количества и степени точности) данных измерений и от точности "настройки" реакторной модели. В последнем

случае важную роль в настоящее время играют нейтронно-физические характеристики ядерного реактора.

Помимо осуществления функции контроля, "измеренные" значения параметров безопасности используются также для валидации и верификации программных средств реакторного расчета (п. 5.6 "Комплексной методики..." [87]). При выполнении этих процедур важно, чтобы измеренные значения параметров безопасности были определены как можно более точно, что не всегда выполняется на практике в силу несовершенства предписанной действующими нормативными документами методики. Развитию методик определения параметров безопасности и их расчетно-теоретическому обоснованию посвящена данная работа.

Определения параметров безопасности являются производными от понятий "реактивность" и "эффективный коэффициент размножения". Термины введены в реакторную физику прежде всего для количественного описания отклонения текущей загрузки (состава, геометрии) активной зоны реактора от критического состояния. Понятие "реактивность" предложено Л.Н. Усачевым [30] в 1955 году и получило широкое распространение по следующим причинам.

1. Значение реактивности напрямую зависит от геометрии и состава ядерного реактора, что позволяет ее использовать в ходе проектирования при варьировании состава активной зоны в поиске критического состояния. В качестве варьируемых параметров могут выступать обогащение топлива, диаметр, высота активной зоны, толщина отражателя, концентрация поглотителя и др.

2. Вблизи критического состояния реактора величина "реактивность" обладает удобным с практической точки зрения свойством аддитивности. Это свойство позволяет производить оперативную, не требующую громоздких вычислений, оценку эффективности органов регулирования ядерного реактора. Свойство аддитивности обуславливает применения на практике величин "запас реактивности", "вес стержня" и возможность их сравнения между собой. Но чем более над- или подкритичен реактор, тем хуже выполняется свойство аддитивности и тем более эти величины становятся зависимыми от состояния реактора. Подробно этот вопрос рассматривается в [31].

3. Во времена становления ядерной энергетики современные расчетные средства не позволяли выполнять моделирование сложных пространственно-временных нейтронно-физических процессов. Поэтому, широкое распространение получили одноточечные нейтроно-физические модели основанные на понятии "реактивность".

4. Реактивность в определенных теоретических предположениях в явном виде параметризуется относительно свойств активной зоны (температура размножающей

среды, шаг решетки, плотность теплоносителя), что способствует формированию качественных представлений о физике внутриреакторных процессов, в том числе связанных с динамикой ЯЭУ.

С точки зрения общего подхода к задачам проектирования и эксплуатации реактора в определение реактивности естественно было бы включить требования ее независимости от текущего распределения нейтронного поля в реакторе и инвариантность относительно конкретного вида варьируемого ("подгоночного") параметра. Такими свойствами обладает обобщенная реактивность, предложенная Я.В.Шевелевым. Обобщенная реактивность -это "мера отклонения реактора от своего критического состояния" [31]. Другие определения реактивности (выраженные, например, через отношение поколений нейтронов [23]) важны для теоретического анализа внутриреакторных процессов, но с практической точки зрения решения задач управления, контроля и диагностики неудобны для использования и не находят широкого применения на практике. Поэтому, в данной работе они не рассматриваются.

Обобщенная реактивность представляет собой монотонную по двум переменным функцию рС^ь^г)» ^,где 51 - это множество значений выбранного подгоночного

параметра, влияющего на баланс нейтронов в реакторе. Первый аргумент .У] представляет собой значение параметра для текущего состояния реактора, а аргумент ¿'2 - значение подгоночного параметра, соответствующее критическому состоянию реактора. Целесообразно, чтобы функция р^ьлъ) принимала равное нулю значение в одном единственном случае = 52 и обладала свойством: 5У] , л'2) • д^ , л2) < 0. Конкретные

определения реактивности зависят от способа задания функции рС^ьЯг) и могут быть весьма многообразны. На практике в большинстве случаев используется классическое определение реактивности, выражаемое через эффективный коэффициент размножения нейтронов (ведущее собственное значение условно-критической задачи второго рода):

Подгоночным параметром в этом случае является обогащение х > 0 ядерного топлива.

Среди контролируемых параметров безопасности можно выделить две группы: параметры, представляющие собой разность реактивностей р1 и р2, соответствующих двум разным состояниям реактора ("эффект реактивности"):

(0.1)

АР = Р2-Р1

(0.2)

и параметры - коэффициенты чувствительности реактивности по выбранному физическому параметру х,-, в качестве которого могут выступать, например, температура, давление, плотность, мощность (коэффициент реактивности):

др(х)

а„ =

дх.

(0.3)

Методики измерения эффектов и коэффициентов реактивности могут несколько отличаться друг от друга, но в целом они сводятся к следующему: в стационарный (р1=0) или подкритический (р1<0) реактор вносится возмущение 5х, (изменение давления, расхода питательной воды, перемещение поглощающего стержня и т.п.), вызывающее переходный процесс, сопровождающийся пространственным перераспределением температурного поля и пространственно-энергетическим перераспределением нейтронного поля. Изменения регистрируются вне- или внутриреакторными нейтронными детекторами. На основе полученных показаний детекторов (ток, скорость счета) определяется значение реактивности текущего состояния реактора рг (после возмущения). Полученное ("измеренное") значение реактивности рг используется для расчета конкретного параметра безопасности (по соотношению 0.2 или 0.3). В случае, когда влияние обратных связей на протекание переходного процесса существенно, действующими методиками предусматриваются специальные поправки на температурные обратные связи. Более детальное описание методик измерения параметров безопасности для реакторов РБМК, ВВЭР и БН можно найти в [87, 88, 89].

Измерение реактивности является ключевым действием в методике определения параметров безопасности ядерных реакторов. Существует большое количество методов определения реактивности, основанных на различных физических принципах (табл. 3). При измерениях, проводимых на энергетических ядерных реакторах, преимущественно используются методы ОРУК, основанные на уравнениях точечной нейтронной кинетики.

Таблица 3.

Методы определения реактивности [28]

Методы Модель, положенная в основу метода Область применимости

Методы, основанные на соотношении между мощностью внутреннего источника нейтронов и полной нейтронной мощностью

1. Метод обратного счета Стационарная точечная модель нейтронного поля с внутренним источником нейтронов Активная зона без остаточного энерговыделения (свежая загрузка)

2. Метод стреляющего источника

Методы, основанные на уравнениях точечной нейтронной кинетики

3. Метод ОРУК по интегральной мощности Одноточечная модель нейтронной кинетики, разрешенная относительно реактивности. Небольшие по величине положительные и отрицательные значения реактивностей. Физически малые активные зоны, равномерная форма возмущения.

4. Метод ОРУК по (взвешенной) сумме показаний детекторов

5. Метод усреднения показаний реактиметра

6. Метод интегрального счета Одноточечная модель нейтронной кинетики с запаздывающими нейтронами, приближение "мгновенного скачка".

Методы, основанные на определении периода реактора

7. Метод установившегося периода Одноточечная модель нейтронной кинетики без учета запаздывающих нейтронов Изменение реактивности |Др|< 1,0 рэф Установившаяся форма нейтронного поля и поля эмиттеров запаздывающих нейтронов.

8. Метод обратных часов Одноточечная модель нейтронной кинетики. Соотношение обратных часов.

9. Метод импульсного источника Одногрупповая диффузионная модель однородной размножающей системы Значение р < 1,0 рэф, Равномерная форма возмущения.

Методы, основанные на статистическом анализе показаний нейтронных детекторов

10. Корреляционный (Росси-а) Статистическая модель показаний нейтронного детектора. Системы на быстрых нейтронах, околокритическое состояние

11. Вероятностный (Фейнман-а) Околокритическое состояние с низким уровнем мощности

12. р-Могильнера

Методы, основанные на использовании передаточной функции

13 Метод осциллирующего стержня Одноточечная модель нейтронной кинетики с осциллирующим значением реактивности. Околокритическое состояние размножающей системы.

Процедура "измерения" реактивности подразумевает определение значения реактивности по дискретному множеству временных сигналов датчиков нейтронного поля, расположенных внутри и/или вне активной зоны. В начале развития реакторной физики для измерения малых по величине (|Др| < рэф) эффектов реактивности использовалось соотношение "обратных часов", связывающее значение реактивности с периодом разгона/затухания мощности реактора. Из-за наличия эмиттеров

запаздывающих нейтронов, которые оказывают определяющее влияние на кинетику ядерного реактора (ЯР), мощность последнего подчиняется более сложному закону изменения, нежели экспоненциальный, который наблюдается лишь в асимптотике. Такой подход не позволял с хорошей точностью определять большие по абсолютной величине значения Ар. Следующим шагом стала разработка реактиметра - устройства, позволяющего по временной функции некоторого функционала нейтронного поля (показания нейтронного детектора) определять значение рг. Реактиметр основан на Обращенных Решениях Уравнений точечной нейтронной Кинетики (ОРУК), вывод которых впервые предложен Л.Н. Усачевым [30]. Его достоинство заключается в возможности учета составляющей запаздывающих нейтронов в суммарном сигнале, благодаря чему реактиметр способен определять текущее значение реактивности с требуемой точностью практически сразу, не "дожидаясь" асимптотики. Однако, будучи основанным на уравнениях точечной кинетики, реактиметр оказывается нечувствительным к пространственным перераспределениям формы нейтронного поля (в общем случае фазовым перераспределениям по переменным г, Е, 12), что приводит к систематическим ошибкам в определении рг. Поэтому на практике часто возникают расхождения между расчетным значением реактивности, найденным из решения условно-критической задачи по программе НФР, и измеренным значением, полученным с помощью реактиметра. Экспериментально подтверждено, что показания реактиметра зависят от местоположения детектора, с которого снимается сигнал: определенное вблизи от точки возмущения абсолютное значение определенной по ОРУК "реактивности" завышается по сравнению со значениями, определенными вдали от места внесения возмущения.

Как показывает опыт, особенно значительные расхождения возникают в физически больших активных зонах при внесении больших по абсолютной величине (» рэф) и сильно неоднородных по пространству возмущений. Наибольшие расхождения наблюдаются в РБМК, в котором переходные процессы сопровождаются относительно большими по амплитуде и продолжительности пространственными перераспределениями полей, вследствие чего "измеренное" значение реактивности может содержать методическую погрешность 25% и более. На рис. 1 представлена статистика отклонений расчетного и измеренного значений реактивности, наблюдаемых при эксплуатации ВВЭР за период с 1973 по 2006 гг [112].

Число измерений

(всего 65) ВВЭР-1000

Число измерений

(всего 46) ВВЭР-440

д

-20 -10 0 10 20 30

10

8 6 4

П

И

и

-60

-40

-20

0

$р, %

Рис. 1. Статистика относительных отклонений измеренного и расчетного значений реактивности 5р = (р„зм - Ррасч)/Ррасч при определении эффективности стержней аварийной защиты без одного органа регулирования СУЗ на реакторах ВВЭР-1000 (о[5р] = 12%), ВВЭР-440 (о[5р] = 18%).

Обнаружение чувствительности реактиметра к формам перераспределения нейтронного поля и, как следствие, к месту расположения детектора, позволило ввести понятие о так называемом "пространственном эффекте реактивности". По существу этот эффект является "фантомным", т.к. возникает при попытке оперировать понятиями точечного приближения (реактивность р, время жизни мгновенных нейтронов /о, эффективная доля запаздывающих нейтронов рэф) в рамках распределенной модели ядерного реактора. "Пространственные эффекты реактивности", зачастую вносящие основной вклад в погрешность измеренного значения реактивности, становятся серьезной проблемой на практике при определении параметров безопасности в случае использования теоретически необоснованных методов определения реактивности.

Предпринимались и продолжают предприниматься все новые шаги на пути усовершенствования методик определения реактивности. Большинство предлагаемых решений можно отнести к одному из следующих пунктов:

• обеспечение особых условий проведения измерений (увеличение числа детекторов, размещение в особых точках активной зоны);

• введение поправок к уже полученному реактиметром значению реактивности;

• модификация вида уравнений реактиметра (введение дополнительных параметров, замена классического определения реактивности);

• формирование специального сигнала, подаваемого на вход реактиметра (суммирование сигналов детекторов со специально подобранными весами).

Один из методов повышения точности метода ОРУК основывается на предположении, что операция сложения показаний реактиметров, подсоединенных к N равномерно

расположенным в пределах активной зоны детекторам, компенсирует расхождения и дает в среднем некоторое, более близкое к истинному р, значение реактивности р,у. В пределе, когда число детекторов Ы —> оо, "измеренное" значение реактивности рдг—► р. Эта гипотеза частично подтверждается на практике: методическая погрешность метода ОРУК значительно уменьшается (измеренная реактивность меньше отличается от расчетной), но полностью не исчезает. Это объясняется тем, что хотя функция интегральной мощности Щ() реактора (которая с точностиью до постоянного множителя является пределом суммы показаний детекторов) в среднем лучше описьюается уравнениями точечной кинетики, чем сигнал какого-либо взятого в отдельности детектора, но теоретически не вполне им удовлетворяет. Поэтому данный подход хотя и позволяет уменьшить методическую ошибку ОРУК, но не является теоретически точным и не позволяет ее полностью исключить.

Другой метод связан с расстановкой детекторов в особых местах активной зоны -точках "узловой поверхности", в которых следующая после асимптотической собственная гармоника принимает нулевые значения. В этих точках одноточечное приближение выполняется лучше, чем в других точках активной зоны, поэтому значение реактивности, полученное по сигналу детекторов, размещенных на узловой поверхности, меньше отличается от истинного значения.

Описанные выше подходы упоминаются в "Комплексной методике..." [87] как рекомендуемые для использования, но там же отмечается, что их практическая реализация сопряжена со значительными техническими трудностями. В первом случае количество N внутриреакторных детекторов, которые можно расположить в активной зоне, всегда ограниченно, и их числа не всегда хватает для снижения погрешности до приемлемого уровня. Во втором случае перед каждым новым измерением необходимо производить расчет формы узловой поверхности, которая изменяется с выгоранием топлива и при изменении положения органов регулирования. В соответствии с новой формой узловой поверхности требуется соответствующим образом переставлять внутриреакторные детекторы, что увеличивает время и объем работ, затрачиваемых при измерении нейтронно-физических характеристик. Поэтому метод "узловой поверхности", как правило, не используется на практике.

Для снижения погрешности, вызываемой "пространственными эффектами", используется подход, основанный на введении специальных поправочных коэффициентов. При этом используются результаты моделирования процесса измерения по программе нестационарного расчета. На основе расчетных временных зависимостей поведения плотности потока нейтронов в местах расположения детекторов и нейтронной

мощности методом ОРУК вычисляются значения "реактивности" р((росч),р^ост). Поправка

"измеренной" реактивности p{"JV) осуществляется по правилу:

Лрасч)

(коррект) _ (игч) Кп Vi г/ р(роеч) •

В случае, если к моменту проведения измерения результатов нестационарных расчетов в наличии нет, то допускается вводить поправку, рассчитанную на основе стационарного расчета:

ф(2)

(коррект) _ (изм) ^ j

Р< Р< ф0) >

где Ф<]), Ф,(2)- значения расчетных форм-функций нейтронного поля в точках

расположения /-го детектора до и после возмущения соответственно.

Этот метод получил широкое распространение на практике (РБМК и ВВЭР), хотя не имеет строгого теоретического обоснования и полученные этим методом коэффициенты реактивности содержат значительные вычислительные и методические погрешности

В работах [55,56] Казанским Ю.А., Матвеенковым И.П., Шокодько А.Г. и др. развивается подход, основанный на модификации алгоритма ОРУК. В этих работах приводится подробное обоснование подхода, которое включает в себя строгий вывод уравнений точечной кинетики и введение понятия "эффективности детектора". Более кратко основные положения метода могут быть сформулированы, если его рассматривать как задачу регуляризации, заключающуюся в аппроксимации известного (полученного в ходе измерений) сигнала детектора J¡(t) функцией /(/), удовлетворяющей уравнениям точечной кинетики. В предположении, что параметр р не зависит от времени, аппроксимация производится методом наименьших квадратов. К числу неизвестных (также постоянных по времени) параметров точечной кинетики р и (Зт, /о, q (эта группа параметров приближенно оценивается на основе априорных данных) добавляется дополнительный параметр s„ называемый "эффективность детектора". Этот параметр фактически увеличивает "степень свободы" модели показания детектора I(t) = I(t, р, Р;,..., Рм /о, q, S/), что позволяет учесть влияние «пространственных эффектов» и тем самым повысить точность получаемого значения реактивности. К достоинствам метода следует отнести простоту его практической реализации, а также тот факт, что он позволяет существенно уменьшить методическую погрешность определения реактивности даже при обработке данных с одного детектора.

Данный метод реализован в программе WCR [57] для реактора БН-600. Проведен анализ результатов международного эксперимента по программе RECINE

подкритического стенда МАЗУРКА. Расчеты продемонстрировали возможность существенного снижения влияния "пространственных эффектов" при использовании предлагаемой методики. Однако при реализации метода на практике приходится предполагать независимость параметров (Зт, /0 от времени, что в общем случае не выполняется и вносит некоторый вклад в методическую погрешность метода. Данный метод в более общем подходе рассматривается в п. 6.4 [6].

С целью расширить область применимости уравнения ОРУК, в работах О.Ю. Кавуна, А.И. Попыкина и Р.А. Шевченко [58, 59] предлагается использовать следующее определение реактивности:

где х "%(**,£,Ц) - единичная функция (из соответствующего сопряженного пространства), n=n(r,E,£l,t) - распределение плотности нейтронов, оператор L, = (fi, V -) + v(E)Y.a (г, Е, i2), К/ - оператор генерации нейтронов (мгновенных и

запаздывающих). Функция k'-b(t) имеет ясный физический смысл, так как показывает

отношение полного числа появившихся за счет деления нейтронов к полному числу исчезнувших нейтронов (за счет поглощения и утечки) в момент времени t. Очевидно, что Ко (0 kyoиз (0-1) в условиях независимости свойств среды от времени. Используя

балансное соотношение, связывающее полное число испытавших взаимодействие, поглощенных и рассеянных нейтронов:

{Ъ К ,п) + (%, vZan) = (х, vE,n)

и новое определение реактивности (0.4) в ходе вывода обращенного решения уравнений кинетики, получается то же по виду уравнение ОРУК, что и для классического определения реактивности, но не требующее выполнение условий о разделении переменных. В этом случае "пространственные эффекты" принципиально не влияют на точность определения величины (0.4), что является безусловным достоинством предлагаемого определения. Но "платой" за это становится неинвариантность реактивности р(/) относительно возмущений нейтронного поля: если

n(r,E,Q,t)^ nas(r,E,CT) - асимптотическое распределение, тогда, даже при постоянстве свойств среды во времени, р(/) Ф const, что следует из определения (0.4). Это нежелательное следствие затрудняют использование рассмотренного метода на практике. Следует отметить, что в силу зависимости реактивности р от текущего распределения п(г, Е, ii, /) она не определяется однозначно только лишь свойствами (состав, геометрия)

реактора и поэтому ne подходит под определение обобщенной реактивности, данное Я.В. Шевелевым. В литературе рассматриваются такого рода определения реактивностей [23].

В ходе вывода ОРУК методом JI.H. Усачева свертка уравнений нейтронной кинетики производится с использованием функции ценности \|/+(r, v). В обращенном решении фигурируют функции вида: ^\f/+(r,v), АФ(г, v,?)) (где А - оператор генерации мгновенных

или запаздывающих нейтронов), которые должны в качестве сигналов подаваться на вход реактиметра (без требования выполнения точечного приближения). Поэтому, в качестве весовых коэффициентов для сигнала в реактиметр естественно выбрать значения пространственно-распределенной функции ценности нейтронов в точках, соответствующих координатам детекторов. При этом в реактиметр подается сигнал вида:

I>+(r*,v)/, ,

к

который при увеличении числа детекторов приближается к точному. Таким образом, подготовленный сигнал для реактиметра позволяет существенно снизить погрешность определения реактивности. Данный метод (метод весовых коэффициентов) развивается в работах C.B. Цыганова и JI.K. Шишкова для реакторов ВВЭР [62, 63].

Следует отметить, что для реакторов типа РБМК метод весовых коэффициентов будет работать не столь эффективно, как для ВВЭР. Это объясняется большим физическим размером РБМК и относительно невысокой плотностью расположения внутриреакторных детекторов, что приводит к большей, по сравнению с ВВЭР, погрешностью определения

функции ^y+(r,v), A/V(r,v,/)^. Для более точного расчета требуется определение функции N(r,\,t), что предполагает решение задачи восстановления нестационарного нейтронного поля по показаниям нейтронных детекторов.

Переходные процессы в ядерном реакторе обладают рядом особенностей, которые позволяют разработать методы определения реактивности по известной функции vV(r, v, t). Первая особенность заключается в существовании асимптотического распределения нейтронного поля (форма которого не зависит от начальных условий). На основе этого факта основан принцип работы реактиметра, сигналом для которого является функция P(t) изменения амплитуды поля от времени в некоторой точке (в силу отмеченного свойства существования асимптотики - все ровно в какой). Однако, формирование асимптотического распределения может осуществляться сколь угодно долго, а в силу ограниченности чувствительности детекторов нейтронного поля время измерения ограниченно. Вторая особенность заключается в ортогональности асимптотического распределения пространственным гармоникам, участвующим в формировании форм-

функции нейтронного поля N(r, v, t) и затухающим в ходе переходного процесса. Это свойство может быть использовано для "фильтрации" сигнала P(t) от "высших" пространственных гармоник: проекция текущего распределения N(r, v, t) на асимптотическую форм-функцию дает амплитуду именно асимптотического распределения. Использование этой функции в качестве входного сигнала должно расширить область примененимости метода ОРУК.

Следует отметить, что похожие по физическому и математическому содержанию методы предлагаются в работах Я.В. Шевелева [31], Абрамова Б.Д. [66], Краюшкина A.B. [61].

Существует проблема оценки влияния внутреннего источника нейтронов. Этот вопрос рассматривается в работах В.М. Качанова, В.Е. Житарева [64, 65]. Метод ОРУК зависит от распределения внутреннего источника нейтронов, который не всегда можно рассчитать с требуемой точностью. Для того чтобы исключить эту зависимость предлагается следующий подход. Задача об определении величины реактивности возмущенного реактора по данным внутриреакторных детекторов теоретически точно решается путем нахождения крайнего правого собственного значения ¿¡о оператора возмущенной нестационарной задачи и последующего его "пересчета" в терминах реактивности с использованием соотношения "обратных часов". Согласно теореме о спектральном разложении [16] наибольшее собственное значение может быть найдено (как показатель экспоненты) после проецирования вектора состояния модели Y(/) (содержащий компоненты нейтронного поля и концентраций эмиттеров запаздывающих нейтронов) на нулевой собственный элемент %о, соответствующую собственного значения При этом возникает задача об определении вектора Y(t) на каждый момент времени по дискретному набору измерительных сигналов, полученных в ходе регистрации переходного процесса. Достоинством подхода является независимость от внутреннего источника нейтронов.

В данной работе дается вывод и обоснование точных методов определения реактивности с применением аппарата математической теории ядерных реакторов, развитого в работах отечественных и зарубежных ученых С.М. Фейнберга [22], А.Д. Галанина [26], Ю.И. Ершова, С.Б. Шихова [15, 16,18], Т.А. Гермогеновой [29], Ю.А. Кузнецова [33], А. Вейнберга и Е. Вигнера [24], К. Кейза и П. Цвайфеля [17] и др.

Следует отметить, что понятие "реактивность" используется главным образом лишь для приближенного решения некоторых из перечисленных выше задач. В случае, когда имеется достаточно точно настроенная распределенная реакторная модель, необходимость в понятии "реактивность" и связанных с этим термином понятиях отпадает [31]. Например, одной из эксплуатационных задач является определение длительности

кампании активной зоны реактора. Неопределенность в длительности кампании возникает из-за неполноты сведений об истиной загрузке (погрешности в обогащении топлива, в размерах конструкционных элементов и пр.), что приводит к невозможности достаточно точного определения параметров модели реактора и ее использования для расчета искомой величины. В связи с этим используют приближенный метод определения времени кампании, связанный с вычислением "начального запаса реактивности" с целью последующей "привязки" к нулевому моменту времени функции "запас реактивности-время работы реактора". В предположении, что форма этой функции не зависит от величины начального запаса реактивности, может быть определена длительность кампании. Эта задача решается более точно с использованием "настроенной" программы нейтронно-физического расчета, включающей модель изотопной кинетики ядерного реактора.

Потребность в определении значения реактивности может быть снижена, если в распоряжении персонала станции имеется хорошо настроенная реакторная модель. Однако на практике понятие реактивности играет большую роль в понимании и управлении реактором, реактивность используется для определения параметров безопасности, на основе которых осуществляется контроль состояния реактора и верификация реакторных моделей, и прописана в нормативных документах, регламентирующих эксплуатацию ЯЭУ. По этой причине разработка методов и алгоритмов правильного однозначного определения значения реактивности представляется на сегодняшний день актуальной. Решению этой проблемы посвящена данная работа.

Представленные в диссертационной работе материалы сгруппированы в три главы.

В главе 1 диссертации на основе спектральных свойств линейной модели нейтронной кинетики в газокинетическом и диффузионном приближениях анализируются область применимости уравнений точечной кинетики и погрешность метода ОРУК, приводится теоретическое обоснование использования "взвешенного" по функции ценности сигнала, подаваемого на вход реактиметра. Приводится теоретическое обоснование метода спектральной проекции, обсуждается вопросы области применимости и практической реализации.

Главная проблема, встающая на пути практической реализации предлагаемого метода, заключается в необходимости динамического восстановления нейтронного поля. Эта проблема исследуется в главе 2. Приводится формулировка и результаты теоретического анализа задачи восстановления в рамках теории оптимальной фильтрации. Предлагается и

обосновывается алгоритм динамического восстановления вектора-состояния многогрупповой диффузионной модели, исследованной в первой главе.

Глава 3 посвящена вопросам численной реализации методов определения реактивности. Приводятся результаты расчетных исследований методов ОРУК и спектральной проекции на одномерной модели. Исследуется эффективность различных методов определения реактивности на полномасштабных трехмерных моделях. Приводятся результаты обработки экспериментальных данных по "взвешиванию" органов регулирования на стенде реактора 5-го блока Курской АЭС НИЦ "Курчатовский институт" с использованием метода спектральной проекции и разработанных алгоритмов восстановления нейтронного поля.

Актуальность работы

Обоснование ядерной безопасности действующих и проектируемых перспективных ядерных реакторов является важнейшим аспектом приемлемости развития ядерной энергетики. Ключевую роль в анализе ядерной безопасности играют программы нейтронно-физического расчета, предназначенные для проектирования и поддержки эксплуатации реакторных установок. С их помощью производится моделирование протекания проектных и гипотетических аварий, по результатам которого делается вывод об уровне безопасности реакторной установки. Поэтому, надежность обоснования ядерной безопасности зависит от качества математической модели и точности настройки расчетного программного средства. Верификация программ реакторного расчета производится преимущественно по значениям нейтронно-физических характеристик реактора, полученных в результате обработки данных реакторных измерений. Действующие методики расчетно-экспериментального определения параметров ядерной безопасности основаны на точечном приближении нейтронной кинетики, они не в полной мере учитывают специфику реактора как объекта с распределенными параметрами, поэтому могут содержать значительную методическую погрешность. По этой причине разработка более точной и универсальной методики обработки результатов реакторных измерений и корректного определения параметров ядерной безопасности является важной и актуальной задачей.

Основные научные результаты

1. Предложен метод обработки реакторных измерений, позволяющий определять экспериментальные значения параметров безопасности с точностью, не зависящей от характера пространственно-временного перераспределения нейтронного поля и расположения нейтронных детекторов.

2. Получены оценки основных составляющих погрешности метода спектральной проекции.

3. Получены новые результаты анализа тонкой структуры спектра оператора нейтронной кинетики в многогрупповом диффузионном приближении, на которых основана практическая реализация приближенного метода спектральной проекции.

4. Разработаны новые модели и алгоритмы для анализа специфических спектральных свойств задачи переноса нейтронов, необходимых для реализации метода спектральной проекции, расчетно-экспериментального восстановления и фильтрации нейтронных полей.

Практическая ценность работы

Практическая ценность работы определяется использованием и перспективами применения разработанных методов, расчетных алгоритмов и программных средств:

- для определения эффектов реактивности на действующих АЭС в ходе проведения регламентных измерений параметров безопасности;

- для верификации и аттестации ПС НФР по определенным параметрам безопасности;

- в учебном процессе для изучения динамики ядерного реактора как объекта с распределенными параметрами;

- для выработки рекомендаций по совершенствованию действующих регламентных методик определения параметров ядерной безопасности.

Достоверность результатов

Достоверность представленных в диссертации результатов и выводов подтверждается результатами расчетных и теоретических исследований.

Личный вклад автора

В основном можно охарактеризовать либо как существенный, либо как определяющий при решении всех задач, описанных в пунктах "Основные научные результаты", "Практическая ценность работы". В том числе:

■ предложен и обоснован метод спектральной проекции, позволяющий получать значение реактивности по дискретному набору результатов измерений, не зависящее от характера пространственно-временного переходного процесса;

■ проведен анализ методической погрешности метода ОРУК, проведено расчетно-теоретическое обоснование метода спектральной проекции;

■ осуществлена обработка данных по измерениям параметров безопасности на стенде РБМК РНЦ КИ с использованием предложенных методов определения реактивности;

■ разработаны программные средства, необходимые для решения поставленных задач.

Объем работы:

Диссертация состоит из введения, литературного обзора, трех глав, заключения и 5 приложений. Содержит 130 страниц печатного текста, 50 рисунков, 5 таблиц. Библиография насчитывает 120 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Черезов, Алексей Леонидович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ

Первая глава диссертационной работы посвящена анализу методов определения реактивности и теоретическому обоснованию метода спектральной проекции.

В разделе 1 рассмотрена математическая модель нейтронной кинетики ядерного реактора в газокинетическом приближении. Сформулированы и проанализированы основные свойства решения \(х, /) задачи и свойства спектра оператора Е. Показано, что благодаря свойству спектральной разложимости оператора полугруппы Т(Е, из решения ¥(х, /) можно выделить крайне правое собственное значение ^ оператора нейтронной кинетики Е.

В разделе 2 введено определение реактивности, получены и проанализированы обращенные уравнения нейтронной кинетики для газокинетической модели. Доказана теорема, устанавливающая связь между собственным значением ^ и реактивностью р.

В разделе 3 проведен расчетно-теоретический анализ структуры спектра оператора нейтронной кинетики в многогрупповом диффузионном приближении А. Уточнены некоторые особенности расположения точек точечного спектра, характерные для реакторных задач, на основе которых предложено приближенное представление решения Ф(г, 0- Путем проведения прямых расчетов спектра одномерной модели реактора продемонстрировано, что свойство биортогональности собственных элементов оператора А достигается, преимущественно, за счет знакопеременности по пространственной координате.

С использованием полученных результатов спектрального анализа диффузионного оператора нейтронной кинетики проведен анализ методической ошибки метода ОРУК. В разделе 4 показано, что амплитуда методической ошибки прямопропорциональна амплитудам возмущения собственных элементов оператора, а период релаксации ошибки обратнопропорционален величине спектрального зазора. Продемонстрировано, что в общем случае методическая ошибка метода ОРУК не равна строго нулю в случае однородного возмущения и в случае использования в качестве сигнала интегральной мощности реактора Щ/). Объяснены наблюдаемые в практике реакторных измерений эффекты, возникающие при измерении реактивности (выход показаний реактиметра "на полку", "пространственные эффекты реактивности", метод "узловой поверхности").

В разделе 5 рассмотрены расчетные и расчетно-экспериментальные методы определения реактивности. Рассмотрен алгоритм определения собственных значений оператора нейтронной кинетики из анализа решения У(х, /) (метод спектральной проекции).

В разделе 6 предложены и обоснованы два метода определения реактивности, позволяющие исключить систематическую составляющую погрешности измеренного значения реактивности, связанную с пространственно-временным перераспределения нейтронного поля (методы СП и ОРУК-СП). Предлагается конкретная схема реализации методов на практике.

В разделе 7 определена область применимости метода спектральной проекции и алгоритмов СП и ОРУК-СП, обсуждаются вопросы дальнейшего теоретического обоснования методов.

ГЛАВА II

АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА СПЕКТРАЛЬНОЙ

ПРОЕКЦИИ

В предыдущей главе получено теоретическое обоснование двух методов определения реактивности: метода спектральной проекции и метода ОРУК-СП. Вторая глава посвящена анализу погрешности предлагаемых методов.

Практическая реализация методов спектральной проекции и ОРУК-СП основывается на процедуре восстановления пространственно-энергетического распределения плотности потока нейтронов по показаниям нейтронных детекторов. Анализ спектра многогруппового диффузионного оператора нейтронной кинетики показал, что с достаточной точностью в обоих методах вместо распределения дифференциальной плотности потока нейтронов можно использовать интегральную по угловой и энергетической переменным характеристику, например поле энерговыделения. Это предположение приводит к возникновению методической погрешности методов СП и ОРУК-СП, оценить величину которой целесообразно прямыми численными расчетами. Этот вопрос рассматривается в третьей главе диссертации. В настоящей главе исследуется иная составляющая погрешности метода спектральной проекции, связанная с неопределенностью параметров нейтронно-физической модели, используемой для восстановления нейтронного поля и расчета амплитуды спектральной проекции.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Черезов, Алексей Леонидович, 2011 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иосида X.. Функциональный анализ. Пер. с англ. Изд. 2-е. - М.: Издательство ЛКИ, 2007.-624 с.

2. Данфорд Н., Шварц Дж.. Линейные операторы. Т. 1, 2, 3. Пер. с англ. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

3. Крейн С. Г. Функциональный анализ, изд.2. М.: Наука, 1972. 544 с.

4. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. Пер. с англ. М.: Издательство "Мир", 1972.-740 с.

5. Красносельский М. А., Вайникко Г. М. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 453 с.

6. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов. УМН XXVI, 4, 160,1971.

7. Эльскгольц Л. Э.. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Изд. 2-е, стереот. -М.: Издательство "Наука", 1969.-422 с.

8. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения: Пер. с англ. - М.: Мир, ООО "Издательство АСТ", 2003. - 408 с.

9. Синицын И. Н. Фильтры Калмана и Пугачева. Учеб. пособие. - М.: Университетская книга, Логос, 2006. - 640 с.

Ю.Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. СПб.: Наука, 1999. 459 с.

11. Non-linear DSGE Models, The Central Différence Kalman Filter, and The Mean Shifted Particle Filter. Martin Moller Andereasen/School of Economies and Management University of Aarhus. Creates Research Paper 2008-33, Denmark, 45 c.

12. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

13. М. А. Красносельский, А. В. Соболев, "Спектральный зазор фокусирующего оператора" , Функц. анализ и его прил., 17:1 (1983), 73-74

14. Келлин Н. С. Условия справедливости гипотез Нелкина и Корнгольда. Ядерная физика и инжиниринг, 2011.

15. Ершов Ю. И., Шихов С. Б. Математические основы теории переноса. Т. 1,2. М.: Энергоатомиздат, 1985.

16. Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов. М.: Атомиздат, 1973.

17. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.

18. Новиков В. M., Шихов С. Б. Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов. М.: Энергоиздат, 1982. 192 с.

19. Попыкин А. И. Математические задачи динамики ядерных реакторов в многогрупповом диффузионном приближении / Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, МИФИ, 1976 г.

20. Макин Р. С. О собственных значениях для некоторых классов положительных операторов. Математические заметки, 85:2 (2009), 214-226

21. Макин P.C. О спектре многогруппового диффузионного приближения уравнения переноса нейтронов // Дифференциальные уравнения. 1986. Т.22. №9. с. 1623-1626.

22. Фейнберг С. М., Шихов С. Б., Троянский В. Б. Теория ядерных реакторов. Т. 1,2. Элементарная теория реакторов: Учебник для вузов. - М.: Атомиздат, 1978.

23. Белл Д., Глестон С. Теория ядерных реакторов: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1974.

24. Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерного реактора: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит. 1961, С. 575.

25. Бать Г. А. Основы теории и методы расчета ядерных энергетических реакторов М., Энергоиздат, 1982, 512 с.

26. Галанин А. Д. Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах. М., Энергоатомиздат, 1990.

27. Хетрик Д.. Динамика ядерных реакторов. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1975.

28. Кипин Дж. Р.. Физические основы кинетики ядерных реакторов. М., Атоиздат, 1967.

29. Гермогенова Т. А.. Локальные свойства решений уравнения переноса. -М.: НАУКА, 1986, С.270

30. Усачёв Л. Н. Уравнение для ценности нейтронов, кинетика реакторов и теория возмущений /В кн.: Реакторостроение и теория реакторов. М.: АН СССР, 1955.

31. Шевелев Я.В. Динамика ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1990.

32. Глебов В. В., Пригоровский А. А., Сабаев Е. Ф. Устойчивость стационарных режимов кипящих каналов и кипящих ядерных реакторов. Вестник ННГУ, серия Механика, вып. 1(3) 2001. С. 65-81.

33. Кузнецов Ю. А. Математические задачи динамики ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1994.

34. Сабаев Е. Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и

их приложения в динамике реакторов. М.: Атомиздат. 1982. - 192 с.

35. Макин Р. С. Введение в динамическую теорию бифуркаций / P.C. Макин. -

Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2008. - с. 59, илл. 16.

36. Макин Р. С. Математические задачи нелинейной теории переноса.

Газокинетическая теория / Р. С. Макин. - Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2006. -268 е., илл. 115.

37. Макин Р. С. О спектре стационарного односкоростного оператора переноса с анизотропным рассеянием. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1993. Вып. 1. с. 13-19.

38. Постников Н. С. Импульсный хаос и управление им в ядерных реакторах // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных реакторов. 2009. Вып. 4. С. 77-85.

39. Постников Н. С. Исследование хаотических колебаний в кипящих реакторах / Н. С. Постников // Атомная энергия. - 2009. - Т. 107, вып. 5. - С. 243-252

40. Крянев А. В., Лукин Г. В. Метрический анализ и обработка данных. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.-280 с. - ISBN 978-5-9221-1068-6

41. Щиголев Б. М. Математическая обработка наблюдений. - М.: Гос.изд-во физ.-мат. литературы, 1962.

42. Крянев А. В., Удумян Д. К. Интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных на метрическом анализе, и их применение в ядерной физике. Ядерная физика и инжиниринг, т.1, №6, 2010, с. 512-521.

43. Филлипчук Е. В., Потапенко П. Т., Постников В. В. Управление нейтронным полем ядерного реактора. М.: Энергоиздат, 1981, 280 с.

44. Рей Е. Р. Экспериментальная нейтронная спектроскопия, «Проблемы физики элементарных частиц и атомного ядра», 1971, т. 2, в. 4, с. 861

45. Горюнов В. К. Пространственные флюктуации распределения нейтронов и мощности в критическом реакторе // Атомная энергия, 1978. Т.44, Вып. 4, С.357-359.

46. Горюнов В. К. Перекосы поля нейтронов в реакторах при случайно распределенных возмущениях макросечений // Атомная энергия, 1980. Т.49, Вып.5, С.321-323.

47. Гомин Е. А., Городков С. С. О некоторых свойствах флюктуаций нейтронного поля в ядерном реакторе // Атомная энергия, 1979. Т.46, Вып. 3, С.187-188.

48. Загребаев А. М. "Математическое моделирование ядерного реактора при случайных возмущениях технологических параметров". Отчет по квалификационной работе на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Москва, 2006.

49. Загребаев А. М., Насонова В. А., Овсянникова Н. В. Математическое моделирование ядерного реактора при случайных возмущениях технологических параметров: Монография. - М.: НИЯУ МИФИ, 2011. - 180 с.

50. Sheff J.R., Albrecht R.W. The Space Dependence of Reactor Noise, I- Theory // Nuclear Science and Engineering, 1966, v.24, N3, p.246.

51. Соловьёв Д. А., Щукин H. В., Семёнов А. А. Генераторы стратегий управления для ядерных реакторов // ВАНТ, вып. 3, 2010.

52. Caves J. R., Moon H., Beczkowiak M. Operating strategy generator method and utilization in POWERTRAX PWR core monitoring system. In: Proc. of the PHYSOR 2000 ANS Int. topi. meet, on advances in reactor physics and mathematics and computations into the next millennium, may 7-12, 2000, Pittsburgh, Pennsylvania, USA. CD-ROM, ANS, 2000.

53. Семенов А. А., Соловьев Д. А. Блок оптимизации борного регулирования для снижения накопления жидких радиоактивных отходов в переходных режимах ВВЭР-1000 // Научная сессия МИФИ-2009,1:48, 2009.

54. Щукин Н.В., Филатов А.В., Семенов А.А., Романин С.Д., Сидоров B.C., Чижевский Ю.Б., Полянских С.А. ECRAN - система контроля загрузки активной зоны ядерного реактора //Сборник научных трудов "Научные исследования в области ядерной энергетики в технических ВУЗах России", М.; МЭИ, 1999, сс.36-38.

55. Казанский Ю. А., Матвеенко И. П., Тютюнников П. Л., Шокодько А. Г. К учету пространственных эффектов при измерении реактивности методом обращенного решения уравнения кинетики. - Атомная энергия, 1981, т.51, вып.6, с.387-389.

56. Шокодько А. Г. Строгое уравнение кинетики ядерного реактора. - ВАНТ, сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1988, вып.4, с.3-9.

57. Шокодько А. Г., Матвеенко И. П. и др. Отчет о верификации и обосновании комплекса программ WCR реактиметра реактора БН-600 (заключительный). Обнинск, 2008.

58. Кавун О. Ю., Попыкин А. И., Шевченко Р. А. Расчеты ввода большой реактивности в реактор ВВЭР-1000 // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 2007, вып. 1. с. 3542.

59. Попыкин А. И. Сравнение расчетных моделей для вычисления реактивности с использованием стационарных и нестационарных программ // Доклад 72-го заседания по физике ядерных реакторов, РНЦ КИ, 14 мая 2009 г.

60. Краюшкин А. В. Разработка и внедрение нестационарных математических моделей реактора РБМК. Отчет по квалификационной работе на соискание ученой степени доктора технических наук, Москва, 2007.

61. Краюшкин A.B., Кубарев A.B. Роль пространственных эффектов в измерениях нейтронно-физических характеристик в больших энергетических реакторах // ВАНТ. Сер.: Физика ядерных реакторов, 1992, вып. 1, с. 51-55.

62. Цыганов С. В., Шишков JI. К. Об измерении эффективности аварийной защиты ВВЭР // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 2004, вып. 3. - с. 85-89.

63. Цыганов С. В., Шишков J1. К. Измерение эффективности органов регулирования ВВЭР // Атомная энергия, 2004, т. 96, вып. 3, с. 183- 188.

64. Житарёв В. Е., Качанов В. М., Сергевнин А. Ю., Фёдоров В. А. Измерение подкритичности методом сброса стержней СУЗ в подкритическом состоянии на критическом стенде РБМК и реакторе РБМК. В кн.: Безопасность, эффективность и экономика атомной энергетики. Межд. научно-техн. конф. М.: ВНИИАЭС, 2008.

65. Kachanov V. M., Burlakov Е. V., Kuzmin А. N. et al. Kinetic Transient Experiments for the RBMK Design: CD Rom, Proc. Int. Conf. on the New Frontiers of Nuclear Technology: Reactor Physics, Safety and High-Perfomance Computing (Physor 2002), Seoul, Korea, Oct. 7-10, 2002.

66. Абрамов Б. Д. Некоторые вопросы классификации и оценки погрешностей метода ОРУК определения реактивности // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 2004, вып. 3, с. 3-13.

67. Абрамов Б.Д. Развитие концепции измерения реактивности как процедуры коррекции ее расчетных значений // Атомная энергия, вып. 109, №4, 10 февраля 2010.

68. Лалетин Н. И., Елыпин А. В. Уточнение метода гомогенизации гетерогенного реактора. // Атомная энергия, т.43, вып. 4,1977, с. 247-252.

69. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов / Г.И. Марчук. - М.: Госатомиздат, 1961.666 с.

70. Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа // ВМК МГУ 2006.

71. Gear С. W. Numerical Initial Value Problems in Ordinary DifferentialEquations. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971.

72. Владимиров B.C. Численные методы решения кинетического уравнения для сферы // Вычислительная математика, 1958, №3, с. 31

73. Крамеров А. Я., Шевелёв Я. В., Инженерные расчёты ядерных реакторов, М., 2001

74. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. "Наука", 1987. С. 630.

75. Гомин Е.А., Майоров JI .В. О расчёте вероятностей первых столкнове-ний в системах со сложной геометрией. Вопросы атомной науки и тех-ники (ВАНТ), серия: Физика и техника ядерных реакторов (ФиТЯР), 8(21), стр. 62, 1981.

76. Гомин Е.А., Гуревич М.И., Майоров J1.B., Марин C.B.. Описание применения и инструкция для пользователей программой MCU-RFFI расчета методом Монте-Карло нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов. Препринт ИАЭ-5837/5, Москва, 1994.

77. Давиденко В.Д., Цибульский В.Ф., Метод характеристик. Программа UNKGRO. В сб. Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов. Нейтроника-99, Обнинск, 2000 г.

78. Страуструп Б. Язык программирования С++. //Бином, Москва 2001.

79. Wolfram S. The Mathematica. Book: 4th Edition.// Media/Cambridge. University Press. 1999.

80. Марк Лутц. Программирование на Python, 4-е издание, I, II том — Перевод с английского. — СПб.: Символ-Плюс, 2011.

81. Ferguson D. R., Hanson К. F. "Solution of the Space-Dependent Reactor Kinetics Equations in Three Dimensions", Nuclear Science and Engineering: 51,189-205 (1973).

82. Протокол о проведении экспериментов на стенде РБМК с критическими сборками, содержащими кластерные ДП и КРО. инв. № 33-14/07-75 от 10.12.2007 г., ФГУ РНЦ "КИ", Москва, 2007 г.

83. Kachanov V.M., Kuzmin A.N., Jitarev V.E. at al, - RBMK Graphite Reactor: Uniform Configurations of U(1.8, 2.0, or 2.4% 235и)Ог Fuel Assemblies, and Configurations of U(2.0% 235и)Ог Assemblies with Empty Channels, Water Columns, and Boron or Thorium Absorbers, with or without Water in Channels: International Handbook of Evaluated Criticality Safety Benchmark Experiments, NEA/NSC/DOC(95) 03/IV, 2004 Edition, LEU-COMP-THERM-60.

84. Протокол о проведении экспериментов на стенде РБМК с критическими сборками, содержащими кластерные ДП и КРО. инв. № 33-14/07-75 от 10.12.2007 г., ФГУ РНЦ "КИ", институт ядерных реакторов, отделение канальных реакторов, Москва, 2007 г.

85. Филатов A.B., Щукин Н.В., Семенов A.A., Романин С.Д., Чижевский Ю.Б. Расчетно-измерительная система ECRAN диагностики состояния активной зоны РБМК. // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 2000, вып. 3., С. 23-32.

86. Правила ядерной безопасности реакторных установок атомных станций. НП-082-07, 21 января 2008 г.

87. Комплексная методика определения физических и динамических характеристик реакторов РБМК. РДЭО-1.1.2.09.0137-2009, М.: Росэнергоатом, 2009.

88. Методики расчёта нейтронно-физических характеристик по данным физических экспериментов на энергоблоках атомных электростанций с реакторами ВВЭР-1000. РД Э0-0151-2004, М.: Росэнергоатом, 2005.

89. Номенклатура эксплуатационных нейтронно-физических расчетов АЭС с реактором БН-600. РД 30-0409-02, М.: Росэнергоатом, 2002.

90. Шевелев Я.В., Клименко A.B. Эффективная экономика ядерного топливно-энергетического комплекса. М.: Изд-во РГТУ, 1996

91. Теплотехника и теплоэнергетика т.1 Общие вопросы. \ A.B. Клименко,В.М. Зорина. Издательство МЭИ. Москва 1999г. 527с.

92. Черезов A.JL, Щукин Н.В. Модуль пространственной нейтронной кинетики комплекса РОСА. //Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. -2009 г. № 1.С. 48-55.

93. Щукин Н.В., Черезов А.Л. Задачи интерпретации измерений динамических характеристик с позиций математической теории реакторов // Научная сессия МИФИ-2009. Сб. научных трудов в 6 томах. Том II. Ядерная физика и энергетика. М.: НИЯУ МИФИ, 2009, с. 25-31.

94. Черезов А.Л., Щукин Н.В., Семёнов A.A., Соловьёв Д.А. Использование процедуры спектральной проекции для определения реактивности в физически больших ядерных реакторах // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 2010, вып. 4., С. 41-50.

95. Черезов А.Л., Щукин Н.В. Определение динамических характеристик ядерного реактора с использованием методов математической теории переноса. "Информационно-измерительные и управляющие системы", № 10,2011, С.58-66.

96. Черезов А.Л., Щукин Н.В. «Реализация основных положений «комплексной методики определения физических и динамических характеристик реакторов РБМК-1000» на основе метода спектральной проекции» //Сборник тезисов докладов седьмой международной научно-технической конференции «Безопасность,

эффективность и экономика атомной энергетики» МНТК-2010, 26-27 мая 2010 г., с. 105.

97. Черезов A.JI., Щукин Н.В., «Определение параметров безопасности реакторов РБМК на основе метода спектральной проекции» ////НОВАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ ПЛАТФОРМА АТОМНОЙ ОТРАСЛИ: Материалы XVI семинара по проблемам физики реакторов. Москва, 3-7 сентября 2010 г. М.: НИЯУ МИФИ, 2010.

98. Зимин В. Г. Моделирование пространственной нейтронной кинетики для анализа динамики и безопасности перспективных быстрых реакторов. Отчет по квалификационной работе на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, 1994.

99. Балыгин A.A. Расчетный анализ методов измерения коэффициентов реактивности РБМК. Отчет по квалификационной работе на соискание ученой степени кандидата технических наук, Москва, 2008.

100. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени: Пер. с англ. Изд. 5-е, исправл. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 240 с.

101. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 4-е, сущ. перераб. и доп. - М.: КомКнига, 2005. -312 с.

102. Пригожин И., Николас Г. Познание сложного: Введение. Пер. с англ. / Предисл. Г.Г. Малинецкого. Изд. 3-е, доп. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 352 с.

103. Босс В. Лекции по математике. Т. 5: Функциональный анализ. Изд. 2-е, испр. - М.: Книжный дом "ЛИБРКОМ", 2009. - 256 с.

104. Босс В. Лекции по математике. Т. 4: Вероятность, информация, статистика. Изд. 2-е, испр. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 216 с.

105. Босс В. Лекции по математике. Т. 15: Нелинейные операторы и неподвижные точки. Изд. 2-е. - М.: Книжный дом "Либроком", 2011. - 224 с.

106. Гомин Е.А., Гуревич М.И., Майоров Л.В., Марин C.B.. Описание применения и инструкция для пользователей программой MCU-RFFI расчета методом Монте-Карло нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов. Препринт ИАЭ-5837/5, Москва, 1994.

107. Артемов Г., Артемова Л.М., Иванов A.C., Пискарев A.B., Шемаев Ю.П. Моделирование свободных ксеноновых колебаний в активной зоне ВВЭР-1000 с использованием комплекса программ САПФИР-95&11С. Тезисы докладов научно-

технического семинара «Оценка экспериментальных данных и верификация расчетных кодов». (Сосновый Бор, 4-8 октября 2004 г.).

108. Zimin V.G. SKETCH-N: A Nodal Neutron Diffusion Code for Solving Steady-State and Kinetics Problems. Vol. II. User's Guide. JAERI, 2002.

109. Аннотация программы БИПР -7 // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных реакторов, 1991. - Вып. 1. - С. 31

110. Описание программы GETERA. Пряничников A.B. ВАНТ Сер. Физ. ядер.реакторов, Vol: 2009, No: 3

111. Программа NOSTRA (версия 5.0). Аттестационный паспорт программного средства. Регистрационный номер ПС в ЦОЭП №478 от 25.07.2000. Регистрационный номер паспорта аттестации ПС № 167 от 23.12.2003. Федеральный надзор России по ядерной и радиационной безопасности, Москва, 2003 г.

112. Разработка программы крупносеточного расчетоа активной зоны ВВЭР БИПР-2007 и включение ее в комплекс КАСКАД-2007. Подготовка материалов для аттестации программы БИПР-2007. Подготовка верификационного отчета и передача программы на аттестацию.

113. Чернавский Д.С. Синергетика и информация (динамическая теория информации) / Послесл. Г. Г. Малинецкого. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Едиториал УРСС, 2004. -288 с.

114. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб: Для вузов. - 4-е изд. - М.: Наука. Физматлит, 1999. - 296 с.

115.Черезов А.Л., Романин С.Д., Щукин Н.В. Разработка модулей, расширяющих возможности программного комплекса "ROSA". //Сборник научных трудов научной сессии МИФИ-2007, Москва 2006, т.8, с. 133-135.

116. Черезов А.Л., Романин С.Д. Транспортные ядерные установки. Проектирование установок транспортного назначения. //Труды восьмой баксанской молодежной школы экспериментальной и теоретической физики. Москва 2007, т.2

117. Черезов А.Л., Щукин Н.В., Романин С.Д. Модуль комплекса ROSA для решения 3D задач нейтронной кинетики. //Сборник научных трудов научной сессии МИФИ-2008, Москва 2008, т.8, с.112-113.

118. Черезов А.Л., Романин С.Д., Семенов A.A., Соловьев Д.А., Н.В.Щукин. Возможности программного комплекса РОСА для интерактивных проектных исследований ЯЭУ. //Актуальные проблемы физики ядерных реакторов -

эффективность, безопасность, нераспространение: Материалы XV семинара по проблемам физики реакторов. Москва, 2-6 сентября 2008 г. М.: МИФИ, 2008. - с. 225 - 227.

119. Дружаев А.А, Щукин Н.В., Черезов A.JI. Разработка модуля программы Neutron-SD для расчета макропараметров. Научная сессия МИФИ-2011. Т.1 Инновационные ядерные технологии, стр. 62-63.

120. Черезов A.JL, Щукин Н.В., Семенов A.A., Соловьев Д.А. "Настройка" параметров нейтронно-физических моделей на основе измерительных данных. Научная сессия МИФИ-2011. Т.1 Инновационные ядерные технологии, стр. 51-52.