Метод решения смешанных краевых задач для трещин продольного и поперечного сдвига в многослойном материале тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Борисова Наталья Львовна

• Борисова Наталья Львовна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Борисова Наталья Львовна

Введение

Глава I. Обзор основных работ по теме диссертации. Некоторые новые результаты, полученные автором данной работы

§1. Канонические сингулярные теории упругости кусочно-однородных сред

1.1 Задача Вильямса

1.2 Задача Зака-Вильямса

1.3 Критерии разрушения

1.4 Трещина нормального разрыва и продольного сдвига в многослойных материалах

§2. Сингулярное (особое) интегральное уравнение с обобщенным ядром типа Коши. Частный случай

§3. Методы сведения класса интегральных уравнений первого рода типа Коши к линейным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода с непрерывным ядром и обратно

3.1. Леммы [57]

3.2. Связь между интегралами Фурье и Ханкеля

3.3. Новые теоремы в теории сингулярных интегральных уравнений и связь особых интегралов с ядром Коши с интегралами абелева типа [57, 88]

§4. Анализ формулы в (1.3.27)

§5. Важные теоремы

§6. Необходимые исследования для получения сингулярного интегрального уравнения с ядром типа Коши

§7. Обращение сингулярного (особого) интеграла с обобщенным ядром типа Коши

7.1. Некоторые утверждения

7.2. Обращения особого интеграла с обобщенным ядром Коши [89]

7.3. Обращения особого интеграла с ядром типа Гильберта [89]

§8. Канонические задачи теории упругости кусочно-однородных сред, находящихся в состоянии антиплоской деформации

8.1 Тело, находящееся в состоянии антиплоской деформации с клиновидным вырезом с углом раствора больше п

8.2 Полубесконечная трещина продольного сдвига, расположенная перпендикулярно границе раздела сред

Глава II. Напряженно-деформированное состояние биупругой полосы, боковые поверхности которой подвержены воздействию внешних нагрузок (антиплоская деформация). Аналитическая функция. Новые результаты

§ 1. Постановка задачи

§2. Решение краевой задачи Неймана для двух жестко сцепленных упругих полос

§3. Краевая задача Неймана. Нахождение аналитической функции

Глава III. трещина продольного сдвига, находящаяся на границе раздела двух упругих полос разной толщины. Новые явления

§ 1. Предварительное замечание

§2. Трещина продольного сдвига на границе раздела двух упругих «жестко» сцепленных полос разной толщины, на поверхностях которых напряжения равны нулю

2.1 Постановка задачи и некоторые результаты

2.2 Важный случай. Коэффициент интенсивности напряжений

2.3 Общий случай. Коэффициент интенсивности напряжений

2.4 Новые явления, обнаруженные в рассматриваемой задаче

2.5 Необходимые замечания

§3. Трещина продольного сдвига на границе раздела двух упругих «жестко» сцепленных полос разной толщины, на поверхностях которых смещения равны нулю

3.1. Постановка задачи

3.2. Решение краевой задачи (3.3.1) - (3.3.8)

Глава IV. Трещина продольного сдвига в многослойных композитных материалах

§1. Смешанная краевая задача и ее решение

§2. Анализ коэффициента интенсивности напряжений

Глава V. Трещина продольного сдвига в чередующихся слоях, на поверхности которой смещения равны нулю

§1. Смешанная краевая задача и ее решение

§2. Анализ коэффициента интенсивности напряжений Кш

Глава VI. Трещина поперечного сдвига в упругой полосе

§1. Предварительные замечания

§2. Постановка краевой задачи [11]

§3. Решение краевой задачи (6.2.1) - (6.2.8)

§4. Анализ решений и коэффициента интенсивности напряжений

Заключение

I. Краткое содержание основных результатов, полученных в работе

II. Выводы

III. Возможные пути применения полученных результатов

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод решения смешанных краевых задач для трещин продольного и поперечного сдвига в многослойном материале»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Механика разрушения как часть механики деформируемого твердого тела, а так же, как часть теории прочности занимается изучением причин и условий, приводящих к разрушению, и указывает пути их предотвращения. Основным параметром линейной механики разрушения с трещиной является коэффициент интенсивности напряжений, который зависит от места расположения трещины, от ее длины, от геометрии тела и от внешних сил, действующих на тело.

В последнее время достаточно подробно исследованы вопросы, связанные с развитием трещины, находящейся перпендикулярно границам раздела сред. Однако, как показывает анализ работ (в том числе современных), недостаточно исследованы задачи теории трещин, когда трещина находится на границе раздела сред параллельно поверхности слоев в многослойных материалах, которые часто применяются при создании современных силовых элементов конструкций (таких, как, например, в ракетостроении, самолетостроении, судостроении, в атомных электростанциях и других областях) с целью повышения прочности и эксплуатационной надежности.

В диссертационной работе многослойные материалы рассматриваются как «жестко» сцепленные между собой полосы с разными упругими свойствами и толщиной.

Таким образом, можно считать тему диссертационной работы актуальной.

Цель диссертационной работы - разработать метод, позволяющий получить решение новых задач механики разрушения п (п > 1) -слойных сред с трещинами продольного и поперечного сдвига, находящимися параллельно поверхностям слоев, и изучить на основе полученных решений процессы роста и торможения трещины, а также обнаружить новые явления.

Научная новизна работы:

1. Новизна разработанного метода решения смешанных краевых задач для трещин продольного или поперечного сдвига х| < I, у = 0^ в многослойных

материалах, рассмотренных в диссертационной работе, состоит в получении при у ^ ±0 дуальных (парных) интегральных уравнений первого рода со сложными ядрами и сведение их решения к решению сингулярного интегрального уравнения. Этот метод состоит из следующих последовательных этапов:

1.1. Применение интегрального преобразования Фурье к уравнениям Лапласа (в случае антиплоской деформации имеет место одна гармоническая функция, а в случае плоского напряженного состояния в силу метода Папковича-Нейбера - три гармонические функции, одна из которых произвольна) и нахождение общего решения полученных дифференциальных уравнений второго порядка каждой упругой полосе.

1.2. Нахождение с помощью сквозных граничных условий интегральных представлений смещений и напряжений в каждой упругой полосе, выраженных через одну и ту же неизвестную функцию.

1.3. Представление неизвестной функции через новую неизвестную функцию таким образом, чтобы несквозное условие (вдоль направления трещины) удовлетворялось автоматически.

1.4. Учет представления неизвестной функции через новую неизвестную функцию в выражении напряжения, которое задано на одном из берегов трещины.

1.5. Изменение порядка интегрирования и представление подынтегральной функции внутреннего интеграла в виде суммы двух функций таким образом, чтобы от одной из них можно было найти значение несобственного интеграла от нуля до бесконечности , а от другой функции существовал несобственный интеграл внутри и на границах рассматриваемой упругой полосы.

1.6. После выполнения этапов (1.4) и (1.5) проведение предельного перехода у ^ +0 (или у ^ -0), чтобы удовлетворить второе несквозное условие,

что дает возможность получить сложное по структуре сингулярное интегральное уравнение для нахождения новой неизвестной функции.

1.7. Приведение сложного по структуре сингулярного интегрального уравнения к обычному сингулярному интегральному уравнению первого рода типа Коши.

2. С помощью разработанного метода построены решения новых задач механики разрушения многослойных сред с трещиной продольного сдвига, находящейся параллельно поверхностям полосы.

3. Получено аналитическое выражение для коэффициента интенсивности напряжений Кш, которая позволяет исследовать комплексные влияния толщины и модуля сдвига слоев на Кш при разных граничных условиях.

4. Установлено, что, если трещина продольного сдвига находится на границе раздела двух полос с разными упругими свойствами, но одинаковой толщины, то коэффициент интенсивности напряжений Кш не зависит от упругих свойств.

5. Модифицирован метод об обращении сингулярных интегралов с обобщенным ядром типа Коши, позволяющий определить коэффициент интенсивности напряжений Кш в явной форме, если трещина продольного сдвига находится на границе раздела двух полос с разными упругими свойствами, но одинаковой толщины.

6. Определены условия для п-слойных материалов, при выполнении которых произойдет торможение трещины продольного сдвига.

7. Построено решение новой задачи, когда трещина поперечного сдвига расположена посередине упругой полосы толщины 2h, берега которой параллельны поверхностям полосы у = ±И .

8. Доказано, что, если толщина полосы стремится к бесконечности, то на берегах трещины поперечного сдвига оба компонента вектора смещения не равны нулю, если на берегах трещины приложены постоянные, одинаковые по величине только касательные напряжения.

Методология и методы исследования. Решение смешанных краевых задач для трещин продольного и поперечного сдвига, находящихся в многослойных материалах, рассмотренных в диссертационной работе, с помощью преобразования Фурье сводятся к решению дуальных (парных) интегральных уравнений со сложными ядрами. Разработанным методом решение этих интегральных уравнений сначала сводится к решению сингулярных интегральных уравнений с обобщённым ядром, а затем - к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

Достоверность исследований подтверждается фундаментальностью математических и физических законов, корректными постановками смешанных краевых задач теории трещин, построением решения этих задач строгими математическими методами, сравнением аналитических и числовых результатов в частных случаях со случаями, известными в литературе.

Практическая значимость работы заключается в возможности внедрения полученных результатов на стадии проектирования многослойных элементов конструкций, находящихся в состоянии плоской или антиплоской деформации.

Теоретическая значимость заключается в предложенном в диссертационной работе методе решения смешанных краевых задач для трещины продольного и поперечного сдвига в многослойных материалах. Этот метод может быть применен для решения более сложных смешанных краевых задач для трещины в слоистых материалах.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Аналитические решения новых смешанных краевых задач для трещин продольного и поперечного сдвига в многослойных материалах предложенным новым методом.

2. Формулы для коэффициентов интенсивности напряжений, учитывающие комплексное влияние параметров задачи, а именно: толщину и упругие свойства слоев, а также напряжения, приложенные на берегах трещины.

Условия, при выполнении которых происходит торможение трещины продольного сдвига в многослойных материалах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и работа в целом были доложены и обсуждены на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Конференция «Поколение будущего: Взгляд молодых ученых - 2013». 2-я Международная молодежная научная конференция (Курск, 2013 г.);

2. Конференция «Наука и современность»: Международная научно-практическая конференция, (Новосибирск, с 2013 по 2015 гг. ежегодно);

3. Конференция «Фундаментальные и прикладные исследования»: проблемы и результаты: XII Международная научно-практическая конференция, (Новосибирск, 2014 г.);

4. Всероссийская научная школа-конференция "Механика предельного состояния и смежные вопросы", посвященная 85-летию профессора Д. Д. Ивлева, (Чебоксары, 2015 г.);

5. Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Б. Г. Миронова (Чебоксары, 2015 г.);

6. XXV Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Вятичи, Кременки, 2019 г.);

7. Городской семинар по механике под руководством Д.А. Индейцева (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург, 2019 г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 16 статей в периодической печати, в том числе 4 статьи изданы в журналах, которые входят в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит их введения, шести глав, выводов (заключения) и списка литературы из 175 наименований.

Общий объем диссертации 158 страниц. Работа содержит 31 рисунок.

ГЛАВА I. ОБЗОР ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ. НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ АВТОРОМ ДАННОЙ РАБОТЫ

§1. Канонические сингулярные теории упругости кусочно-однородных

сред

В [88] (см. глава V) предложен эффективный метод решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно-однородных сред класса N (для этого класса задач принцип Сен-Венана не выполняется [146]).

Решения этих задач определяются с точностью до некоторых произвольных постоянных, которые характеризуют интенсивность внешнего поля и должны быть определены их соответствующей внешней задачи. Следовательно, решения этих задач очень важны для корректной постановки смешанных краевых задач в линейной механике разрушения с трещиной. 1.1 Задача Вильямса

В работе [175] (см. также [122]) рассмотрена однородная плоская сингулярная задача теории упругости для полубесконечной трещины (х < 0, у = 0),

находящейся на границе раздела двух однородных изотропных упругих сред. Впервые в этой работе найдено, что напряжения в окрестности вершины трещины имеют «осциллирующий» (колебательный) характер изменений типа г 12со8 (/31п г) или г 12 8т (/1п г), где г - радиальное расстояние от вершины

трещины, в зависит от упругих постоянных: /=£(•) ■

_ г* k + 3 - 4v1 , G1

N =-7-Ц-, k =

1 + k(3 - 4у2 ) G2

Здесь G1 (j = 1,2) - модули сдвига, V} - коэффициенты Пуассона. Заметим, что первая упругая среда (G1,v1) занимает область |х| <да, у > 0, а вторая упругая среда (G2, v2) - |х| < да, у < 0.

В [88] другим методом определены поле смещений и напряжений в окрестности вершины трещины.

В этой работе показано, что N * е

где Е} - модули Юнга.

Следует заметить, что этим колебаниям напряжений не удается приписать физического смысла, так как из него следовало бы, что верхний и нижний края трещины в окрестности ее вершины изгибаются и перекрываются.

Заметим, что аналогичным образом распределяются напряжения под штампом при наличии жесткого сцепления [101, 152]. Более того, функции Гурсы принимают один и тот же вид как для задач о штампе, так и для задач о трещинах, если в качестве линии, соединяющей две среды, принять ширину штампа (см. [101, 153, 154]).

Однако, если полубесконечная трещина продольного сдвига находится на границе раздела двух сред (см. § 8 данной главы), то задача корректна, т. е. колебания напряжений отсутствуют.

В диссертационной работе рассмотрены смешанные краевые задачи, когда трещина продольного сдвига находится на границе раздела двух сред.

1,3

3

для любого е]0,1/2[ и Е} е ]0,<х>[.

1.2 Задача Зака-Вильямса

Впервые в работе [31] рассмотрена каноническая сингулярная плоская задача о полубесконечной трещине, перпендикулярной границе раздела двух различных однородных изотропных упругих сред, с вершиной, находящейся на этой границе.

В работе [88] определены компоненты тензора напряжений и вектора смещений. Приведем здесь выражение для напряжения ав (г,в) в

соответствующих областях:

1Г

при - п < в < — (первая упругая среда: G1, у1) 2

j9 (r, 9) =-1 [(Я + 2)a1 cos Я9 + a2 cos(A + 2)9 +

(Я + 2 + D,V 2пг "2Я

C

+ (Я + 2)a3 sin Я9 - a4 sin(A + 2)9] +-11 [- (Я + 2)b cos Я9 +

(Я + D2 V 2пг "2Я

+ b2 cos(Я + 2)9 - (Я + 2)b3 sin Я9 + b4 sin(Я + 2)9] при - п < 9 < п (вторая упругая среда: G2, v2)

C

<j9 (r,9) =-1 [(Я + 2)cos Я9 + D1 cos(Я + 2)9]-

(Я + 2 + D1 yj 2пг -2Я

(Я + D2 y¡2nr

C

11 [(Я + 2 )sin Я9 + D2 sin (Я + 2)9]

-2Я

71

при — < 9 < п (первая упругая среда: G1, v1)

C

j9 (r , 9) = --1 ! = [(Я + 2)a1 cos Я9 + a2 cos(Я + 2 )9

C

(Я + 2)a3 sin Я9 + a4 sin^ + 2)9] +-11 [(Я + 2)b1 cos Я9

(Я + D2 V 2nr "2Я

- b2 cos(Я + 2)9 - (Я + 2)b3 sin Я9 + b4 sin(Я + 2)9] Здесь:

D = [(Я + i)(3k -2^2 +1) + k2 -kx], D2 = ^[(Я +1)(3ki -2k2 +1) + ki -k2],

k=GLk =_k-i- k =k (1 -y2)

G/ 1 4(1 -y,)' 2 1 -Vi ' a, = k2 - k, - k, (Я +1 - D,)cosЯп,

b, = k, (Я +1 - D2) sin Яп,

a2 = (k2 - k, - 1)(Я +1 + cos Яп)- k, (Я + 1)[(Я +1) cos Яп +i]-+D, [i + k, + k, (Я +1) cos Яп],

ъ2 =

(к2 -k1 -1)-k1 (Я +1)2 + D2k1 (Я +1) a3 = к1 (Я +1 - D1 ) sin Яя,

sin Яя,

a4 =

Ъ3 = к2 - к1 + к1 (Я +1 - D2)cos Яя,

(к2 - к1 -1)- к1 (Я +1)2 + Л1к1 (Я + 1)J sin Яя,

Ъ4 = (к2 - к1 -1)( cos Яя - Я-1)- к1 (Я + 1)[(Я +1) cos Яя -1]--D2 [1 + к1 - к1 (Я +1)cos Яя].

Кроме того, в [88] доказано, что X при фиксированных значениях х, к, v1 и

v2 представляет собой единственный действительный корень

характеристического уравнения:

[4к1 (к2 - к1 )(Я + 1)2 + 2к12 - 2к1 к2 + 2к1 - к2 +1 + + 2(к2 - к1 )(1 + к1)cos^ + l)я]sin Яя = 0,

лежащий в интервале ]-1,0[.

В указанных выше формулах CI и Си - некоторые постоянные величины, подлежащие определению из решения внешней задачи.

Решения некоторых задач о конечной трещин, одна из вершин которой находится на границе раздела, построены в [72].

Прочность слоистых элементов конструкций (без трещины) изучены в работе [120].

1.3 Критерии разрушения

Укажем наиболее распространенные критерии разрушения:

1. Энергетический критерий Гриффитса [168, 169];

2. Силовой критерий Ирвина [171, 172];

3. Критерий, основанный на инвариантности Г-интеграла Черепанова-Райса [144, 145, 146,147];

4. Критическое раскрытие трещины В. В. Панасюка [107];

5. Интегральный вариационный критерий Е. М. Морозова [110, 115].

6. Деформационный критерий разрушения Н. А. Махутова [96].

1.4 Трещина нормального разрыва и продольного сдвига в многослойных материалах

Решение смешанной краевой задачи о трещине нормального разрыва, перпендикулярной границе раздела, когда ее вершина находится в первом слое материала и-слойного материала (п > 1) построено В. Д. Кулиевым в [88] (см.

главу IV). В дальнейшем решения этих задач были использованы при изучении различных достаточно важных вопросов механики разрушения [46-50, 52, 54, 55, 58, 73-86].

Решения задач о трещине продольного сдвига, перпендикулярной границам раздела и-слойных материалов (п > 1) с разными упругими свойствами построены

в работе [88] (см. главу III). В дальнейшем различные вопросы, возникающие при исследовании поведения трещины, перпендикулярной границе раздела рассмотрены В. Д. Кулиевым и его учениками [46-50, 54, 55, 58, 73-86].

Заметим, что антиплоские, плоские и осесимметричные задачи теории упругости о трещине в кусочно-однородной среде и некоторые родственные им проблемы исследовались в работах [1, 2, 3, 5-9, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 27, 32-34, 36, 37, 42, 45, 70, 71, 87, 94, 98, 99, 100, 104-106, 108, 113, 114, 117, 118, 119, 121, 122, 124, 125-128, 131, 132, 137, 138, 142, 143, 149, 150, 151, 153- 158, 161-165, 167, 170, 174].

Ниже приведем основные исследования, на которых будем опираться в дальнейшем в диссертационной работе.

В статье [57] разработаны два метода решения класса смешанных краевых задач. Первый метод позволяет найти обращение сингулярного (особого) интеграла с обобщенным ядром типа Коши.

Второй метод позволяет свести класс сингулярных интегральных уравнений первого рода типа Коши к линейным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода с непрерывным ядром и обратно. Полученные в данной статье формулы дают возможность достаточно просто вычислить главное

значение интеграла типа Коши. Предложен новый способ обращения сингулярного интеграла с ядром Коши.

Эти методы позволяют построить решение класса смешанных краевых задач, в частности, этот метод использован в диссертационной работе. Приведем эти методы более подробно.

§2. Сингулярное (особое) интегральное уравнение с обобщенным ядром типа Коши. Частный случай

Здесь и в дальнейшем под у(x)е и3 [а, Ь], где 0 < [ < 1 понимается: функция

у(х) удовлетворяет условию Гельдера, т. е. для любых двух точек отрезка [а,Ь] имеет место условие [21, 88, 101]:

И Х1 )-г( Х2 )|< ^|Х1 - Х2\[ ,

где А - положительная постоянная, не зависящая от х1 и х2. Постоянную А называют коэффициентом, а в - показателем Гельдера. Отсюда следует, что, если у(х)е и3 [а, Ь], то у(х)е С [а, Ь], где С [а, Ь] - класс

непрерывных функций. Кроме того, если в = 1, то условие Гельдера совпадает с известным условием Липшица.

Свойства класса Гельдера достаточно подробно исследованы в монографии [101], поэтому здесь не излагаются. Заметим лишь, что класс функций Гельдера является более широким, чем класс непрерывно дифференцируемых функций, и более узким, чем класс непрерывных функций.

Заметим, что если некоторая функция удовлетворяет условию Гельдера с показателем в, то она удовлетворяет условию Гельдера с показателем в1 при всяком 0 < [ < [.

Рассмотрим сингулярное (особое) интегральное уравнение с обобщенным ядром типа Коши:

, , ГV()

-11 /(I) Л \; Vе \л = ст<х) (\х\ <,), (1.2.1)

2с , „г2 I а ,1 „,2 I а

Ж— I I-Ж— х

е

е

Ж \ =

лж [ а

V С

л [ а

V С

Здесь а(х) - некоторая заданная четная функция, причем а (х) е Н3 [-/, /], 1/2 < / < 1, и, следовательно, а (х) е С [-/, / ].

Пусть искомая f (t) удовлетворяет условиям:

f ($) =

fo(t)

fo(-t) = ^o(t), f 0(0 е Н3 [-/,/], - < 3 < 1.

(1.2.2)

Здесь в - показатель Гельдера.

Далее пусть Ж

' а Л

--х

V

С

-Ж

)

а

—х V С У

. Для определенности предполагается, что

а

Ж х\ - строго монотонно возрастающая и непрерывная функция по х е[0, /]. Тогда решение уравнения (1.2.1) дается формулой [57]:

а(')

/ (х ) = -

1

Ж

2'а/1-Ж21 а х

- 1Ж (а )|-

1

Ж

21 а/1-ж21 а

ж2| а?1-Ж2[ ах

С У Ж'[ -г\л + с

(1.2.3)

Поскольку f (-х) = -f (х), то из (1.2.3) следует, что С0 = 0. Таким образом, окончательно находим решение уравнения (1.2.1) в виде:

/ (х) = -c

Ж| ах

I

а(0

ж 2 [а/1-ж 2

С УЖ

(1.2.4)

Следует заметить, что нечетность функции х) необходима для единственности решения класса сингулярных смешанных краевых задач. Очевидно, предложенный в [89] метод решения уравнения (1.2.1) является обобщением метода, предложенного в [88]. Решение (1.2.1) можно построить и

при других условиях (см. [89]), наложенных на функции f (х) и ЖI — х 1.

С

С

С

С

С

С

С

С

Формулы обращения сингулярных интегралов при некоторых других условиях получены в работе [4].

§3. Методы сведения класса интегральных уравнений первого рода типа Коши к линейным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода с непрерывным ядром и обратно

Кулиевым В. Д. был предложен метод сведения класса интегральных уравнений первого рода типа Коши к фредгольмовым уравнениям второго рода с непрерывным ядром [88]. Этот метод в основном опирается на доказанные в [88] леммы и теоремы (см. [88], глава I, §1-§3).

Однако, приведенные в статье [57] исследования показывают, что этот метод останется справедливым, если плотность интеграла типа Коши удовлетворяет обычным условиям, принятым в общей теории сингулярных интегральных уравнений (см., например, [21, 101]). Поэтому нет необходимости введения дополнительных условий ранее сформулированных в монографии [88] при разработке данного метода.

Кроме того, эти же исследования дали ему возможность разработать новый метод, позволяющий свести интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром определенного класса к интегральному уравнению первого рода типа Коши.

Следует заметить, что метод приведения сингулярных интегральных уравнений к уравнениям Фредгольма, предложенный И. Н. Векуа [17], достаточно сложен для применения к решению конкретных задач.

Приведем исследования В. Д. Кулиева в [57] более подробно.

3.1. Леммы [57]

Определение 1. Под /+(х)е ^[0,а[, 5е[0,1[ понимается следующее: функция/+(х) принадлежит классу функций вида

/+ (х) = Т/%, /0+ (х) е и3 [0,а], 0 < 5 < [ < 1 . (1.3.1)

(а - х )

Этот класс функций является общепринятым в общей теории сингулярных интегральных уравнений (см., напр., [21, 101]).

Определение 2. Под /(х) е к5 ]-а,а[, 5 е [0,1[ понимается следующее:

f(x) = f°(x) , /,(-x) = -/0(x), /о( x) е Hß [-a, a], (1.3.2)

( a - x )

0 < 5 < ß < 1.

Лемма 1. Пусть f+ (x) е [0, a[, 5е[0,1[. Тогда для функции \//+(x), определяемой формулой

¥+ (x) = - Ой= dz (1.3.3) справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Если о < 5 < 1/2, то функция у/+(x) ограничена и непрерывна на промежутке 0 < x < a, причем

lim у/+ (x) =щ+ (a) = 0. (1.3.4)

Утверждение 2. Если 5 = 1/2,то функция у/+(x) ограничена и непрерывна на промежутке 0 < x < a, причем

lim (x) = ¥+ (a) = (1.3.5)

x^a-° a

Утверждение 3. Если 1/2 < 5 < 1, то функция у/+(x) ограничена и непрерывна на любом промежутке 0 < x < a - s(0 < s < a ), но неограниченна в каждом отрезке [a - s, a ], то есть точка а - особая точка, причем

y/ + (x)~A0(a2 -x2)2-5, (1.3.6)

A = 1 /:(a) г(1 -¿j x _a 0

A0 =~T--W-з/о x\,x ^ a - 0,

Vn a Г(3/2-5)

где Г( u) - гамма-функция Эйлера.

Утверждение 4. Для любого 5 е [0,1[

Нт

х^+0

2 а /+(т)йт _ 2 /+(х),_ а + Уа2 - х2

1 а2-т2 )Чт2 - х2 л а25

(а2 -т2 )У 1 /0+( 0)

1п -

х

л а

25

[С + У(1 - 5)] + А (5),

2

Ц(5) = Нт—

л

/0+ (т) - /0+(х)

(а2 -т2 )У

-йт

т2 - х2

А (5

<

, Г|1--р)Г(1-5)

л а

25-р

Г12 - 5 - 2 Р

(1.3.7)

(1.3.8)

(1.3.9)

Здесь А - постоянная Гельдера, в - показатель Гельдера (о < 5 < р < 1), ¥(и) -

пси-функция Эйлера, С - постоянная Эйлера.

Доказательство леммы 1 приведено в [57].

Лемма 2. Пусть /(х)е к5 [о,а[ (см. определение 2). Тогда для функции щ(х), определяемой формулой

() 2 а /(т)

ш( х) = — I —¡= ат,

л х V т

т2 - х2

(1.3.10)

справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1. Если 0 < 5< 1/2, то функция ш (х) ограничена и непрерывна в промежутке 0 < х < а, причем

Нт ш+ (х) = ш+ (а) = 0,

х^а-0

Нт ш (х) = ш (0) = — I

х^0+ 4 ' 4 ' тт 1

2 а /0(т)

л 0 (а2-т2) т

йт.

(1.3.11)

(1.3.12)

Интеграл в (1.3.12) существует в несобственном смысле, так как

/0 (-т) = -/0 (т).

Утверждение 2. Если 5 = 1/2, то функция ш ( х) ограничена и непрерывна в промежутке 0 < х < а, причем

/0 ( а )

lim ш(х) = ш(а) =

х^а-0

а

(1.3.13)

Утверждение 3. Если 1/2 < 5 < 1, то функция у(х) ограничена и непрерывна на любом отрезке 0 < х < а - а ( 0 < а < а), но неограниченна на каждом отрезке [ а - в, а ], то есть точка а - особая точка, причем

у + (х) ~ А0 (а2 - х2 )2 5,

(1.3.14)

А ^^ (х - а - 0).

Доказательство данной леммы следует как частный случай из доказательства леммы 1.

Лемма 3. Пусть /+ (х) е К5 [0,а[ (см. определение 1) и пусть

О

У (х) = - Г

я -1

/0 (т)¿т

( а2-т2 )у

2 2 Т - х

( 0

< х < а

)

(1.3.15)

Тогда

ё а ту+(т) ёт

/' (х)=-ё 1

2 2 2 х

(0 < х < а).

(1.3.16)

Доказательство леммы приведено в [57]. Определение 3. Под у (х) е к5 [0,а[ понимается:

у( х )=, У0( х2\ 5, , 5! = 5 -1/2, 5е[0,1[, (а - х )

Лемма 4. Если у (х) е к5 [0, а[, то

у0 (х) е С [0,а].

(1.3.17)

Лt а ту(т) г™

* у

Т = 0 (0 < *<да)

(1.3.18)

1 г=0

Данная лемма доказана в [57].

Замечание 1. Если у0 е Нр [0, а] (1/2 < ¡3< 1), то утверждение леммы 4

остается в силе.

Г=а

3.2. Связь между интегралами Фурье и Ханкеля

В [51, 57, 88] рассмотрены интегралы:

SiW =

1

и

J f (t)

sin At

A

dt,

и

S 2(A) = Г J t¥(t) J 0(At )dt s

(1.3.19)

J f * (t) cos Atdt, S2*(A) = -Jy*(t)J0(At)dt. (1.3.20)

n V 2 П

Г V 2'

Здесь J0(At) (ImA = 0) - бесселева функция первого рода нулевого порядка.

Определение 4. Интегралы S 1(A) и S*(A) в [51, 57, 88] названы синус- и

косинус- интегралами типа Фурье первого и второго рода, а функции f(t) и f *(t) - их плотностями соответственно.

Определение 5. Интеграл S2(A) (или S2(A)) в [51, 57, 88] назван

интегралом типа Ханкеля первого рода (или второго рода), а функция y(t) (или

*

у (t)) - плотностью интеграла типа Ханкеля.

Замечание 2. При a из (1.3.19) и (1.3.20) приходим к известным

преобразованиям Фурье и Ханкеля.

Предложенный В. Д. Кулиевым метод сведения определенного класса сингулярных интегральных уравнений 1-ого рода типа Коши к интегральным фредгольмовым уравнениям второго рода состоит из двух этапов.

Первый этап [57, 88]. Первая задача. Пусть S1(A) = S2(A). Требуется найти такой интегральный оператор, действие которого на плотность интеграла типа Фурье - функцию f (t) - дает плотность интеграла типа Ханкеля - функцию

y(t). Кроме того, следует найти формулу обращения этого интегрального оператора и доказать, что найденная таким образом связь между функциями f(t)

и y(t) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы S1(A) = S2(A) VAe]0,<ю[.

Второй этап[57, 88]. Вторая задача. Требуется найти такой интегральный оператор, действие которого на особый интеграл с ядром Коши с плотностью f(t) (функция f(t) одновременно является плотностью интеграла

типа Фурье) дает другой интегральный оператор от функции /(Г), причем потребуем, чтобы последний интегральный оператор совпадал с интегральным оператором от плотности интеграла типа Фурье - /(Г). Кроме того, следует найти

обращения этих интегральных операторов.

Аналогичные задачи (третья и четвертая) рассматриваются для функции / *(Г) и у(Г).

Ответ на первую и третью задачи дают лемма 5 и лемма 6 в [57] соответственно, а ответ на вторую и четвертую задачу дают теорема 1 и теорема 2 в [57], которые будут рассматриваться ниже.

Лемма 5. Пусть /(х)е к5 [0,а[ (см. определение 2). Тогда в силу леммы 2

у(х)е к51 [0,а[ (см. определение 3). Для того, чтобы = S2(*), У*е]0,,

необходимо и достаточно, чтобы

у(х)=|1#^ (1.3.21)

я х V Т - х

,( \ й а ту(т) йт

/ (х) = -*У

йх х л/т2 - х2

Данная лемма является обобщением леммы 1, доказанной в [88] (см.с. 1516). Лемма 5 доказывается аналогично только что упомянутой лемме 1. Однако формула (1.2.19) в [88] получается из доказанной выше леммы 4.

Лемма 6. Пусть у (х)е к5 [0,а[, а /* (х)е к5 [0,а[. Для того, чтобы S*(X) = £*(*), V* е ]0, , необходимо и достаточно, чтобы

/ (х) = / (1.3.22)

[х) = Г 1 7

2 -х

V2 2 ' Т - х

ч , 2 й а Т/ (Т)йт У(х) = —Т) П^Т . (1.3.23)

я йх х ^Т - х2

Данная лемма является обобщением леммы 2, доказанной в [88] (см. с. 16-

Замечание 3. Леммы 5 и 6 остаются в силе, если * = ¡^ (1т/л = 0, 0 < /л < да).

Лемма 7. Пусть f (х) е к8 [0, а[ (см. определение 2) и пусть ^Нт^^т^^г (0 < х <а). (1.3.24)

х (а -г ) Ыг -х

Для того, чтобы функция F(x) определялась формулой

Р (х) (1.3.25)

п Лсих2-г2

(0 < х < а).

необходимо и достаточно, чтобы функция у( х) определялась формулой г(х) = [ Р(т) Лт (0 < х < а). (1.3.26)

о Vх2 -г2 Данная лемма доказана в [57].

3.3. Новые теоремы в теории сингулярных интегральных уравнений и связь особых интегралов с ядром Коши с интегралами абелева типа [57, 88] Теорема 1. Пусть / (х) = /0(х) (а2 - х2)"8 , 8 е [0,1[; /0(х)ен3[-а,а],

У0( х) = -/0(-х), 0 < 8 < / < 1. Тогда

п 1тг-71™л=/7г= пно <0<х<а). (и.27)

П 0 V х -г - аТ г х V г - х 2

Доказательство приведено в [57].

Следствие 1. Поскольку /(х) е к8 [0,а[, то формула (1.3.27) дает связь между

теоремой 1 и леммой 2, т. е. все утверждения леммы 2 остаются в силе и для интеграла:

7 () ЖЛг

I г 1 г /X

п ¡л/ х2 -г2 V-г '

и, тем самым, дают полную информацию о его поведении (см. § 3). Лемма 8. [57] Пусть

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Борисова Наталья Львовна, 2019 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Амензаде А. Е., Гурьев Н. Ф. Первая краевая задача для кругового диска с прямолинейными разрезами // Докл. АН Азерб. ССР. 1976. Т. 34, №8. С. 179-184.

2. Андрейкив А. Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряжении состоянии. Киев: Наукова думка. 1979. 141 с.

3. Андрейкив А. Е., Панасюк В. В. Упругое равновесие тела, ослабленного системой круговых трещин, расположенных вдоль одной плоскости // Докл. АН СССР. 1971. Т. 197. №2. С. 312-314.

4. Ахиезер Н. И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. №4. С. 275-290.

5. Ашбаух Н. Е. Напряжение в слоистых композитах, содержащих разорванный слой // Прикл. механика. Сер. Е. 1973. Т. 40. №2. С. 221-228.

6. Ашбаух Н. Е. Развитие конечной трещины, перпендикулярной поверхности раздела двух материалов // Прикл. механика. Сер. Е. 1973.Т. 40. №2. С.312-314.

7. Банцури Р. Д. Решение первой основной задачи теории упругости для клина, имеющего конечный разрез // Докл. АН СССР. 1966. Т. 167. №6. С. 1256 -

1259.

8. Баренблатт Г. И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // Журнал прикладной механики и теоретической физики. 1961. №4. С. 3-56.

9. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О хрупких трещинах продольного сдвига // ПММ. 1961.Т. 25. вып. 6. С. 1654 - 1666.

10. Бизадце А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.

336 с.

11. Борисова Н. Л. Разработка метода решения смешанных краевых задач для трещин продольного и поперечного сдвига в многослойном материале/ Материалы Всероссийской научной школы-конференции "Механика предельного состояния и смежные вопросы" , посвященной 85-летию профессора Д. Д. Ивлева

(Чебоксары, 15-18 сентября 2015 г.) : в 2 ч. Ч. 2 / под ред. Н. Ф. Морозова, Б.Г. Миронова, А. В. Манжирова, Ю. Н. Радаева. Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т. 2015. С. 189-201.

12. Борисова Н. Л. Обращения особого интеграла с ядром типа Гильберта// Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы ии результаты:сборник материалов XXII Международной научно-практической конференции /под общ.ред. С. С. Чернова - Новосибирск: издательство ЦРНС. 2015. С. 130-134.

13. Борисова Н.Л., Локтев А.А. Построение модели трещины поперечного сдвига для рельса//Наука и техника транспорта. 2019. №1. С. 22-27.

14. Вайншельбаум В. М., Гольдштейн Р. В. Осесимметричная задача о трещине на границе раздела слоев в многослойной среде // Изв. АН СССР. МТТ.1976. №2. С. 348-351.

15. Васютин А. Н., Махутов Н. А., Морозов Е. М. К построению энергетического критерия разрушения тел с малыми трещинами // В сб.: Прочность и надежность конструкций (к 50-летию профессора Кулиева В. Д.). М.: Изд-во МГОУ. 1993. С. 142-147.

16. Веденеева Н. Н., Клюшникоов В. Д., Мазинг Р. И. Задача о склейке двух полуплоскостей // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. №1. С. 133-135.

17. Векуа И. Н. О приведении сингулярных интегральных уравнений к уравнениям Фредгольма // Сообщ. АН Груз. ССР. 1941. Т. II. №8. С. 1122-1124.

18. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959. 628 с.

19. Габдулхаев Б. Г. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // Докл. АН СССР. 1968. Т. 179. №2. С. 260-263.

20. Габдулхаев Б. Г., Душков П. И. О прямых методах решения сингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Математика.-1973. №7 (134). С.12-24.

21. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

22. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз. 1959. 470 с.

23. Глаголев В.В. Девятова М.В., Маркин А.А. Модель трещины поперечного сдвига// Прикладная механика и техническая физика. 2015. Т.56. №4. С.182-192.

24. Гольдштейн Р. В., Салганик Р. Л. Плоская задача о криволинейной трещине в упругой плоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. №3. С.69-82.

25. Дацышин А. П. Саврук М. П. Интегральные уравнения плоской задачи теории трещин // ПММ. 1974. Т. 38. вып. 4. С. 677-686.

26. Дирак П. А. Принципы квантовой механики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1979. 480 с.

27. Дудукаленко В. В., Ромалис Н. Б. О направлении распространения трещины продольного сдвига // Прикл. мех. 1971. Т. 7. №8. С. 1115-1117.

28. Журавлева Т. Ю., Конев Ф. Б., Кулиев В. Д., Панихава Ш. И. Основы информатики. М.: ЭКСИМ. 2000. 288 с.

29. Забрейко П. П., Кошелов А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С, Стеценко В. Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 448 с.

30. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. М.: Наука, 1970. 704 с.

31. Зак А.Р., Вильямс М.Л. Сингулярности в напряжениях у конца трещины на поверхности раздела двух материалов // Прикл. механика. Сер. Е.-1963. Т. 30. №1. С. 356-361.

32. Звягин А. В., Рахматулин Х.А., Шемякин Е.И., Демьянов Ю.А. Прочность и разрушение при кратковременных нагрузках. М.: Логос: Университетская книга. 2008. 624 с.

33. Звягин А. В., Геворкян А.Г. Метод фиктивных нагрузок в контактных задачах теории упругости на примере задачи движения жесткого штампа по границе упругой полуплоскости // В сборнике The proceedings of international conference. Topical problems of continuum mechanics. 4-8 October, Armenia.: Dilijan. 2010. С. 254-258.

34. Заргарян С. С. Решение основной смешанной задачи плоской теории упругости для односвязных областей с углами // Докл. АН Арм. ССР. 1976. Т. 63. № 5. С.297-302.

35. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка. 1968. 288 с.

36. Ивлев Д. Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения // ПМТФ. 1967. №6. С. 88-128.

37. Ингленд Дж. Трещина между двумя разными средами // Тр. Амер. Об-ва инженеров-механиков. Прикл. мех. Сер. Е. 1965. Т.32. №2. С. 165-168.

38. Каландия А. И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов // ПММ. 1969. Т. 33. №1. С. 132-135.

39. Каландия А. И. Математические методы двумерной теории упругости. М.: Наука . 1973. 304 с.

40. Келдыш М. В., Седов Л. И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций// Докл. АН СССР. 1937. Т.16. №1. С. 7-10.

41. Келдыш М. В., Лаврентьев М. А. О единственности задачи Неймана // Докл. АН СССР. 1937. Т. 16. №3. С. 151-152.

42. Кит Г. С., Хай М. В. О решении интегральных уравнений в телах с плоскими разрезами. Теорет. прикл. механика. 1982. №15. С. 586-592.

43. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.-Л.:ОНТИ. 1935. 224 с.

44. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Тр. Московского матем. общ-ва. 1976.Т.16. С. 209-292.

45. Кудрявцев Б. А., Партон В. З., Черепанов Г. П. Упругопластическая задача для плоскости с прямолинейными щелями // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. №3. С. 174-176.

46. Кулиев В. Д . К теории криволинейных трещин// Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. 1978. №6. С. 289-292.

47. Кулиев В. Д . Некоторые задачи о ветвлении трещины сдвига в кусочно-однородной упругой среде// Докл. АН Азерб.ССР.1979. №6. С. 136-139.

48. Кулиев В. Д . Некоторые проблемы механики разрушения и связанной с ней математики на рубеже XXI века // Новые технологии. Сер. матем. 1999. №3. С. 34-45.

49. Кулиев В. Д . Новый метод решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно-однородных сред // в сб.: Механика разрушения. М. Изд-во «Истек». 1999. С. 56-64.

50. Кулиев В. Д. Преломление трещины продольного сдвига// Докл. АН СССР. 1979. Т. 249. №2. С. 315-318.

51. Кулиев В. Д. Связь между плотностями интегралов типа Фурье первого и второго рода и плотностями интегралов типа Ханкеля первого и второго рода// Новые технологии. Сер. матем. 2000. №5. С. 61-70.

52. Кулиев В. Д . Усталостная прочность элементов конструкций летательных аппаратов // В сб.: Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных констр. М: МАИ им. С.Орджоникидзе. 1978. вып. 467. С.128-136.

53. Кулиев В. Д. Асимптотика особого интеграла с ядром Коши // Новые технологии. Сер. матем. 2000. №5. С. 82-84.

54. Кулиев В. Д. Влияние симметричных отростков в конце трещины на ее развитие // Прикл. мех. 1979. Т.15. №8. С. 64-68.

55. Кулиев В. Д., Бугаенко С. Е., Разумовский И. А. Хрупкая прочность многослойных материалов ИТЭР. Анализ особенностей НДС в зонах стыка разнородных материалов. // 15th International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology. 1999. Seoul, Korea. С. 276-284.

56. Кулиев В. Д. Некоторые математические вопросы плоской теории упругости // В сб.: Проблемы механики деформированных твердых тел и горных пород. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2006. С. 376-388.

57. Кулиев В. Д. Новые эффективные методы решения класса смешанных краевых задач / Кулиев В. Д. Вестник ЧГПУ им. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 1 (23). С. 132-162.

58. Кулиев В. Д. Трещина на границе раздела двух сред с ответвлением в случае антиплоской деформации // Пробл. прочности. 1979. №7. С. 67-70.

59. Кулиев В. Д. Трещина с конечным ответвлением в кусочно-однородной упругой среде // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246. №6. С. 1330-1333.

60. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л. , Глушкова И. В. Трещина продольного сдвига в биупругой полосе, боковые поверхности которой без зазора упираются на абсолютно жесткие тела // Наука и современность-2015:сборник материалов XXXV Международной научно-практической конференции/под общ.ред. С. С. Чернова. Новосибирск: издательство ЦРНС. 2015. № 35. С. 143-147.

61. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л. , Юркова Е. А. Ка - метод и модифицированный метод Плана суммирования функциональных рядов и некоторые их применения// Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и результаты: сборник материалов XII Международной научно-практической конференции /под общ. ред. С. С. Чернова. Новосибирск: издательство ЦРНС. 2014 . С. 89-94.

62. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л. , Юркова Е. А. Об одном разложении функции в ряд Фурье, имеющем важное значение в механике разрушения и тригонометрии// Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и результаты: сборник материалов XII Международной научно-практической конференции /под общ. ред. С. С. Чернова. Новосибирск: издательство ЦРНС. 2014. С.104 - 109.

63. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л. , Юркова Е. А. Регуляризация начальных условий задачи термоупругости К-класса прямоугольника // Наука и современность-2014:сборник материалов XXVIII Международной научно-практической конференции/под общ. ред. С. С. Чернова. Новосибирск: издательство ЦРНС. 2014. С.192-198.

64. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л. Напряженно-деформированное состояние биупругой полосы, боковые поверхности которой подвержены воздействию внешних нагрузок (антиплоская деформация). Новые результаты // Наука и современность-2015: сборник материалов XXXVII Международной научно-практической конференции: в 2-х частях. Часть 2 / Под общ. ред. С.С. Чернова. Новосибирск: Издательство ЦРНС. 2015. С. 15-20.

65. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л., Алексеева Т.Н. Воздействие температуры на распределение напряжений в двухслойных материалах с трещиной // Поколение будущего: Взгляд молодых ученых - 2013. Материалы 2-й Международной молодежной научной конференции (13-15 ноября 2013 года) в 6 томах. Т. 5. Юго-Зап. Гос. Ун-т. Курск. 2013. С. 289-292.

66. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л. К проблеме разрушения многослойных композитных материалов// Вестник ЧГПУ им. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 4 (26). С. 62-69.

67. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л. Трещина продольного сдвига в многослойных композитных материалах //Вестник ЧГПУ им. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 3 (25). С. 152-161.

68. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л. Трещина продольного сдвига, находящаяся на границе раздела двух биупругих полос разной толщины. Новые явления / / Вестник ЧГПУ им. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. №2 (24). С.33-49.

69. Кулиев В. Д., Борисова Н. Л., Остапенко Е. С. Ка - метод суммирования в теории расходящихся рядов // Наука и современность-2013:сборник материалов XXVII Международной научно-практической конференции/под общ. ред. С. С. Чернова. Новосибирск: издательство ЦРНС. 2013. С. 38-43.

70. Кулиев В. Д., Бугаенко С. Е., Разумовский И. А. Разработка критериев проектирования многослойных материалов ИТЭР. Хрупкое разрушение многослойных материалов. // В сб.: Термоядерный синтез. М.: НИКИЭТ. 1998.

71. Кулиев В. Д., Жеков Н. Д. Краевая трещина в ортотропной полуплоскости // Физ.-хим. механика материалов. 1987. №1. С. 307-311.

72. Кулиев В. Д., Жеков Н. Д. Сингулярные задачи теории упругости для трещин, перпендикулярных границе раздела сред // ПММ. 1985. Т. 49. вып. 3. С. 380-386.

73. Кулиев В. Д., Каплун А. Б. Разрушение гетерогенных сред (антиплоская деформация) // Докл. АН Азерб. ССР. Механика. 1981. №3. С. 196 -

199.

74. Кулиев В. Д., Каплун А. Б. Трещина продольного сдвига в кусочно-однородной упругой среде // Мех. композитных материалов. 1981. №4. С. 577591.

75. Кулиев В. Д., Каплун А. Б., Садыхов Н. Э. Прочность и долговечность слоистых композиционных материалов с центральной трещиной // Физ.-хим. механика материалов. 1989. №2. С. 236-241.

76. Кулиев В. Д., Каплун А. Б., Садыхов Н. Э. Центральная трещина в многослойных материалах // Проблемы машиностроения и автоматизации.-Москва-Будапешт. 1989. №28. С. 196-199.

77. Кулиев В. Д., Кипнис Л. А. Полупространство с трещиной, неперпендикулярной его границе // Докл. АН Азерб.ССР. Сер. физ.-тех. и матем. науки. 1979. №3. С. 156-159.

78. Кулиев В. Д., Мехтиев А. К., Насибов В. И. К проблеме разрушения многослойных сред с трещинами // Физ.-хим. механика материалов. 1986. 22. №2. С. 33-39.

79. Кулиев В. Д., Насибов В. И. К проблеме торможения трещины в многослойных средах // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288. №3. С.578-581.

80. Кулиев В. Д., Насибов В. И. Краевая трещина в биупругой полосе // Мех. композитных материалов. 1983. №4. С. 236-241.

81. Кулиев В. Д., Новрузов Г. М. К проблеме разрушения кусочно-однородной среды с трещиной // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288. №5. С. 1079-1081.

82. Кулиев В. Д., Новрузов Г. М. Плоская задача для кусочно однородной среды с ломаной трещиной // Прикл. механика. 1984. Т. 20. №9. тС. 76-82.

83. Кулиев В. Д., Работнов Ю. Н., Черепанов Г. П. О торможении трещины на границе раздела различных упругих сред / Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №4. С. 120-128.

84. Кулиев В. Д., Раджабов З. Р. Краевая трещина продольного сдвига в многослойной среде/ Кулиев В. Д., Раджабов З. Р. Вестник МГОУ. 2009. №2. С.43-49.

85. Кулиев В. Д., Разумовский И. А. К проблеме определения остаточных напряжений в биметаллах // Докл. АН СССР. 1990. Т. 315. №3. С. 561-565.

86. Кулиев В. Д., Разумовский И. А., Злочевская О. Б. Краевая трещина в двухслойных материалах. Аналитические и экспериментальные методы определения хрупкой прочности и остаточных напряжений // Научно-технический прогресс в машиностроении. 1990. Вып. 29. С. 62-66.

87. Кулиев В.Д. Наклонная краевая трещина продольного сдвига на границе раздела двух сред / Кулиев В.Д.// Сборник трудов X Международной научной школы «Гидродинамика больших скоростей» и Международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки.» (к 145 -летию со дня рождения академика А.Н. Крылова). Чебоксары: ЧПИ МГОУ. 2008. С. 555-569 .

88. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи / Кулиев В.Д. М.: Физматлит. 2005. 720 с.

89. Кулиев В.Д., Обращение особого интеграла с обобщенным ядром Коши и одно его применение // Сборник трудов Х Международной научной школы «Гидродинамика больших скоростей» и Международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки.» (к 145 -летию со дня рождения академика А.Н. Крылова). Чебоксары: ЧПИ МГОУ. 2008. С. 317-333.

90. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. В 2-х т. 3-е изд. М. -Л.: Физматгиз. 1951. Т.1. 525 с.

91. Лавтрентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука .1973. 749 с.

92. Локтев А.А., Борисова Н.Л. Моделирование трещины поперечного сдвига на поверхности катания рельса // Внедрение современных конструкций и передовых технологий в путевое хозяйство. 2018. Т. 13. № 13 (13). С. 80-84.

93. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи конических точек // Докл. АН СССР.1974.Т.219. №2. С. 286-289.

94. Максудов Ф. Г., Кулиев В. Д., Искендер-заде Ф. А. К проблеме разрушения биупругой среды // Докл. АН СССР. 1982. Т. 264. №6. С. 1349-1352.

95. Манжиров А. В. Полянин А. Д. Методы решения интегральных уравнений: справочник. М.: Факториал. 1999. 272 с.

96. Махутов Н. А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций. М.: Машиностроение. 1981. 272 с.

97. Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. 384 с.

98. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. 1984. 256 с.

99. Моссаковский В. И., Рыбка М. Т. Трещина на границе соединения двух различных полуплоскостей // Деп. ВИНИТИ. 1986. №7666-В Деп. С. 196201.

100. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 708 с.

101. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 513 с.

102. Мюнтц Г. М. Интегральные уравнения. В 3-х т. М.-Л.: Гостехиздат. Т. 1. 1934. 330 с.

103. Нейбер Г. Концентрация напряжений. М. - Л. Гостехиздат. 1947.

204 с.

104. Никитин Л. В., Туманов А. Н. Анализ локального разрушения в композите // Мех. композитных материалов. 1981. №4. С. 595-601.

105. Образцов И. Ф., Кулиев В. Д., Каплун А. Б. К теории разрушения многослойных материалов с трещиной. Статистическое нагружение // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303. №4. С. 818-821.

106. Образцов И. Ф., Кулиев В. Д., Разумовский И. А., Фарзалибеков Н. Э. К проблеме разрушения биметаллических материалов с краевой трещиной //Докл. АН СССР. 1989. Т. 308. №3. С. 570-574.

107. Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова думка. 1968. 246 с.

108. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка. 1976. 442 с.

109. Папкович П. Ф. Теория упругости. М.: Гостехиздат. 1939. 640с.

110. Партон В. З., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. Литературы. 1985. 504 с.

111. Партон В. З., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977. 312 с.

112. Партон В. З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука. 1981. 688 с.

113. Партон В. З., Седов Л. И., Черепанов Г. П. Моделирование явлений разрушения в твердых телах // В сб.: Избр. проблемы прикл. мех. М.: ВИНИТИ. 1974. С. 543-558.

114. Партон В. З., Черепанов Г. П. Механика разрушения // В сб.: Механика в СССР за 50 лет. В 4-х т.: Т .3. М.: Наука. 1972. 479 с.

115. Пестриков В. М., Морозов Е. М. Механика разрушения твердых тел // С.-П.: Изд-во Профессия. 2002. 320 с.

116. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. 3-е изд.-М.: Наука. 1965. 128 с.

117. Положий Г. Н. Решение некоторых задач плоской теории упругости для областей с угловыми точками // Укр. матем. ж. АН УССР. 1949. №4. С. 16-41.

118. Прусов И. А. Напряженное состояние в неоднородной плоскости с разрезами. Прикл. мех. 1966. Т. 2. №6. С. 11-18.

119. Пэрис П., Эрдоган Ф. Критический анализ законов распространения трещин // Техническая механика. Труды Американского общества инженеров механиков. 1963. Серия D. Т. 85. № 4. С. 60-68.

120. Работнов Ю. Н. Прочность слоистых материалов // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №1. С. 111-119.

121. Разрушение / под редакцией Г. Либовица. В 7 т. Том 2. Математические основы теории разрушения. М.: Мир. 1975. 768 с.

122. Райс Дж., Си Г. Плоские задачи о трещинах, расположенных на границе раздела двух различных сред // Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Прикл. мех. Сер. Е. 1965. Т. 32. №2. С. 418-423.

123. Риман Б. Сочинения. М.: Гостехиздат. 1948. 543 с.

124. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. -Киев: Наукова думка. 1981. 324 с.

125. Садыхов В. Э. К теории разрушения слоистых композитов с трещиной сдвига// Докл. АН СССР. 1989. Т. 305. №6. С. 1331-1334.

126. Садыхов В. Э. О напряжениях в двухслойной полосе с трещиной продольного сдвига // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. №3. С. 140-147.

127. Садыхов В. Э. Смешанная краевая задача для функций, гармонических в многоугольнике, и ее приложение к теории упругости // Докл. АН Азерб.ССР. 1989. Т. 45. №12. С. 1112-1116.

128. Салганик Р. Л. О хрупком разрушении склеенных тел // ПММ. 1963. Т. 27. вып. 5. С. 1468-1478.

129. Самко С. Г. Обобщенное уравнение Абеля и уравнение с ядром Коши // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176. №5. С. 1019-1022.

130. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.-Л.: ГИТТЛ. 1950. 443 с.

131. Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение. 1990. 296 с.

132. Слепян Л. И., Троянкина Л. В. Теория трещин. Основные представления и результаты. Л.: Судостроение. 1976. 43 с.

133. Слепян Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение. 1980. 344 с.

134. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ. 1955. 668 с.

135. Титчмарш Э. Ч. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехиздат. 1946. 479 с.

136. Тихонов А. Н. Об асимптотическом поведении интегралов, содержащих бесселевы функции // Докл. АН СССР. 1959. Т. 125. №5. С. 982-985.

137. Устинов К.Б. О расслоении полосы по границе раздела упругих свойств. Часть 2. Случай сдвиговой трещины //Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2016. № 2. С. 131-142.

138. Устинов К.Б. О расслоении полосы по границе раздела упругих свойств часть 1. Постановка задачи, случай нормального отрыва //Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2015. № 4. С. 226-245.

139. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Наука. 1967. 403 с.

140. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т. Т.2. М.: Физматлит. 2001. 810 с.

141. Харди Г. Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностранной литературы. 1951. 504 с.

142. Хечумов Р. А., Кулиев В. Д. , Каплун А. Б. Инженерные задачи механики хрупкого разрушения. М.: Изд-во МИСИ им. В. В. Куйбышева. 1985. 124 с.

143. Храпков А. А. Первая основная задача для кусочно однородной плоскости с разрезом, перпендикулярным прямой раздела // ПММ. 1968. Т. 32. вып.4. С. 647-659.

144. Черепанов Г. П. Инвариантные Г-интегралы и некоторые их приложения в механике // ПММ. 1977. Т. 41. вып.3. C. 397-410.

145. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука. 1983. 296 с.

146. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука.1983.

640 с.

147. Черепанов Г. П. О сингулярных решениях в теории упругости // В сб.: Механика твердого деформируемого тела (к 60-летию академика В. В. Новожилова). Л.: Судостроение. 1970. С. 46-53.

148. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965. 412 с.

149. Шерман Д. И. О приемах решения некоторых сингулярных интегральных уравнений // ПММ. 1948. Т. 12. вып. 4. С. 423-452.

150. Шерман Д. И. Об одном случае регуляризации сингулярных уравнений // ПММ. 1951. Т. VX, вып. 1. С. 75-82.

151. Шерман Д. И. Об одном способе рассмотрения краевых задач теории функций и двумерных задач теории упругости // В сб.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа (к 80-летию академика Н. И. Мусхелишвили). М.: Наука. 1972. С. 25-31.

152. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат. 1949. 273 с.

153. Эрдоган Ф.Е. Распределение напряжений в неоднородной упругой плоскости, имеющей трещины // Прикл. мех. Сер. Е. 1963. Т. 30. №2. С. 232-236.

154. Эрдоган Ф.Е. Распределение напряжений в связанных разнородных материалах с трещинами // Прикл. мех. Сер. Е. 1965. Т. 32. №2. С. 403-410.

155. Эрдоган Ф.Е. Теория распространения трещин. Т. 2. // В кн.: Разрушение под ред. Любовица Г.М. М.: Мир. 1975. Т. 2. С. 521-615.

156. Atkinson C. On crack and screw dislocation pile ups crossing a biomaterial interface // J. Elast. 1973. V.3. №1. P. 15-22.

157. Atkinson C. On stress singularities and interfaces in linear elastic fracture mechanics // Int. J. Fract. 1977. V. 13. №6. P. 807-820.

158. Atkinson C. The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1997. 571 p.

159. Bateman H. On the numerical solution of linear integral equations // Proc. Roy. Soc. (A). 1922. V. 100. №705. P. 441-449.

160. Borisova N.L., Loktev A.A. Modeling the behavior of longitudinal shear cracks in a two-layer elastic strip// IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2019. Vol.537. P.022055.

161. Bueckner H.F. Some stress singularities and their computation by means of integral equation // In: Boundary Problems in Differential Equations. Univ. Wisconsin Press. 1960. P. 215-230.

162. Erdogan F.E., Cook T.S. Antiplane shear crack terminating at and going through a bimaterial interface // Int. J. Fract. 1974. V. 10. № 2. P. 227-240.

163. Erdogan F.E., Gupta G.D. Bonded wedges with an interface crack under anti-plane shear loading // Int. J. Fract. 1975. V. 11. №4. P. 583-593.

164. Erdogan F.E., Gupta G.D. Layered composites with an interface flaw // Int. J. Solids and Struct. 1971. V. 7. № 8. P. 1078-1107.

165. Erdogan F.E., Gupta G.D. The stress analysis of multilayered composites with a flaw // Int. J. Solids and Struct. 1971. V. 7, № 1. P. 39-61.

166. Golberg A. Ed. Numerical Solution of Integral Equations. N.Y.: Plenum Press. 1990. 436 p.

167. Gol'dshtein R.V., Salganik R.L. Brittle fracture of solids with arbitrary cracks // Int. J. Fract. 1974. V. 10. № 4. P. 507-523.

168. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. 1920. Ser. A. № 221. P. 163-198.

169. Griffith A.A. The theory of rupture // Proc. 1st Intern. Conf. Appl. Mech., Delft. 1924. P. 55-63.

170. Hilton P.D., Sih G.C. A laminated composite with a crack normal to the interfaces // Int. J. Solids Structures. 1971. V.7. P. 913-930.

171. Irwin G.R. Analysis of Stresses and Strains Near the End of Crack Traversing a Plate // J. Appl. Mech. 1957. V. 24. № 3. P. 361-364.

172. Irwin G.R. Fracture // In: Handbuch der Physik VI. Berlin: SpringerVerlag. 1958. P. 551-590.

173. Kuliev V.D., Izmailova N.V., Borisova N. L. On the problem of the destruction biuprugih media with longitudinal shear crack at the interface // Australian journal of scientific research, Adelaide University Press. Adelaide. 2014. № 1 (5). V.4. P. 149-160.

174. Loktev A.A., Fazilova Z.T., Zaitsev A.A., Borisova N.L. Modeling the behavior of longitudinal shear cracks in a two-layer elastic strip // Transportation Soil Engineering in Cold Regions TRANSOILCOLD // St. Petersburg. 2019. P. 251-258.

175. Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension // J. Appl. Mech. 1952. V.19. №4. P. 526-528.