Метод разделения переменных при построении оптимального и гарантированного управления в однотипных дифференциальных играх и в задачах управления с помехой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гущин, Денис Васильевич

• Гущин, Денис Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гущин, Денис Васильевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Построение оптимальных управлений в однотипных дифференциальных играх

1.1. Примеры рассматриваемых задач

1.2. Однотипная дифференциальная игра с выпуклой интегральной платой

1.3. Однотипная дифференциальная игра со смешанными ограничениями и с терминальной платой

Глава 2. Построение гарантирующего управления в нелинейных

однотипных задачах управления с помехой

2.1. Модификация метода разделения переменных для нелинейной однотипной задачи управления с помехой и с выпуклой целью

2.2. Задача о минимизации расстояния до замкнутого выпуклого множества

2.3. Выпуклая однотипная задача управления с помехой и с терминальной платой

Глава 3. Решение модификации игры "мальчик и крокодил"

3.1. Построение оптимальных управлений

3.2. Случай I

3.3. Случай II

3.4. Случай III

3.5. Численная реализация на ЭВМ полученного алгоритма

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Свидетельство о регистрации электронных ресурсов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод разделения переменных при построении оптимального и гарантированного управления в однотипных дифференциальных играх и в задачах управления с помехой»

Введение

Актуальность темы. Актуальным направлением математического моделирования управления динамическими системами при наличии воздействия со стороны неконтролируемых помех, о которых известны лишь области их изменения, является подход, основанный на том, что помехам предписывается поведение, ухудшающее показатель качества, в соответствии с которым моделируется управление. Такой подход приводит к рассмотрению задачи построения управления в рамках теории игр. Такие задачи имеют своим источником многочисленные задачи из механики и других областей знаний. Актуальность этих задач, их теоретический интерес и прикладное значение обеспечивает интенсивное развитие теории дифференциальных игр, составляющее основу алгоритмов синтеза оптимальных и гарантированных управлений.

Степень разработанности темы исследования. Становление теории дифференциальных игр связано с работами зарубежных ученых Р. Айзекса, А. Брайсона, У. Флеминга. Основопологающий вклад в развитие дифференциальных игр внесли работы академиков H.H. Красовского и JI.C. Понтрягина и представителей их научных школ: Э.Г. Альбрехта, A.B. Кряжимского, А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, H.H. Субботиной, В.Е. Третьякова, В.Н. Ушакова, А.Н. Ченцова и Р.В. Гамкрелидзе, М.И. Зеликина, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова.

В работах H.H. Красовского и представителей его научной школы получены основные результаты для задач позиционных дифференциальных игр. Управления в позиционных дифференциальных играх строятся как функции от времени и фазового состояния системы. Движение, порожденное этими управлениями, определяется с помощью пределов ломаных. В рамках исследования таких задач доказана фундаментальная теорема об альтернативе [32], [33], которая утверждает существование решения дифференциальной игры в классе позиционных стратегий. В основе предложенной H.H. Красовским концепции

лежит понятие стабильного моста и правило экстремального прицеливания на него.

Этот подход был распространен в работах Э.Г. Альбрехта [3], [4], A.B. Кря-жимского [36], B.C. Пацко [10], [19], [49], [50], А.И. Субботина [68] - [70], [72], H.H. Субботиной [71], [75], [76], В.Н. Ушакова [95], [96], А.Г.Ченцова [17], [98] - [102] и других представителей школы H.H. Красовского на разные классы дифференциальных игр, в том числе с интегральными и со смешанными ограничениями на выбор управлений игроков.

В трудах JI.C. Понтрягина и представителей его научной школы предложена и обоснована аналитическая схема решения линейных дифференциальных игр преследования. В работах М. С. Никольского [43], [45], [46] доказана сходимость альтернированных сумм и разработаны вычислительные алгоритмы, в основе которых лежат первый и второй методы JI.C. Понтрягина. Они базируются на операции геометрической разности двух множеств и процедуре альтернированного интегрирования. В совместных работах A.C. Мищенко и JI.C. Понтрягина [59] - [61] разработан алгоритм моделирования управления догоняющего игрока в линейной дифференциальной игре преследования без дискриминации его позиций.

В работах В.Н. Пшеничного была развита идея второго метода JI.C. Понтрягина для нелинейных дифференциальных игр [63], [65]. Предложенная в его трудах операторная схема позволила в общем случае нелинейной системы описать структуру позиций, из которых игру преследования можно окончить к заданному моменту времени.

Изучением конфликтных задач об управлении объектами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, занимались М. Барди, E.H. Баррон, В.Д. Батухтин, Т. Башар, Р. Беллман, С.А. Брыкалов, H.JI. Григоренко, П.Б. Гусятников, В.Н. Жуковский, H.A. Зенкевич, Н. Калтон, А.Ф. Клейменов, А.Н. Красовский, Ю.С. Ледяев, Дж. Лейтман, Н.Ю. Лукоя-нов, П.Л. Лионе. A.A. Меликян, Г. Ольдстер, H.H. Петров, Л.А. Петросян, Г.К.

Пожарицкий, Е.С. Половинкин, А. М. Тарасьев, В.И. Ухоботов, Ф.Л. Черноусь-ко, A.A. Чикрий, А. Фридман, Хо-Ю-Ши, А.Ф. Шориков, Р. Эллиот и другие ученые.

Цель работы. Целью исследования является обоснование метода разделения переменных для однотипных дифференциальных игр со смешанными ограничениями на выбор управления, который позволяет получить аналитическое решение для ряда задач об игровой встрече и управления при наличии помехи механическими системами переменной массы.

Достижение данной цели предполагает решение следующих задач:

1. Предложен метод разделения переменных для однотипных дифференциальных игр с заданным моментом окончания и со смешанным ограничением на управление. Этот метод позволяет получить простую реализацию построения управления в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от фазового состояния, а вторая - от текущего времени и начального запаса ресурсов.

2. Обоснован метод разделения переменных при построении оптимального и гарантированного управлений в однотипных задачах, содержащих определенные условия выпуклости.

3. На основе этого метода разработан алгоритм для решения однотипных дифференциальных игр. Найдена зависимость диаметра разбиения ломаных, моделирующих движение, от допустимой погрешности значения целевой функции.

4. Метод разделения переменных модифицирован для задач управления с помехой и с произвольным выпуклым терминальным множеством.

5. Этот метод апробирован на решении дифференциальной игры, которая является модификацией известной в теории дифференциальных игр задачи "мальчик и крокодил".

6. Полученные решения реализованы в виде комплекса программ с нагляд-

ным интерфейсом, позволяющим применять его в учебном процессе.

Научная новизна. Разработан и обоснован метод разделения переменных - новый метод построения оптимального и гарантированного управления в дифференциальных играх со смешанными ограничениями и в однотипных задачах управления с помехой.

Для задач, обладающих определенными свойствами выпуклости, установлено, что оптимальное управление в однотипных дифференциальных играх и в задачах управления с помехой можно строить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от текущего времени и начального запаса ресурсов, а вторая - от фазового состояния. В прикладных задачах управления системой переменного состава это означает, что расход топлива строится программным образом, а направление относительной скорости выброса топлива зависит от реализовавшегося фазового состояния. Такой метод построения назван в диссертации методом разделения переменных.

На основе предложенного метода на ЭВМ реализован и зарегистрирован комплекс программ для решения однотипной дифференциальной игры со смешанными ограничениями.

Теоретическая значимость. В диссертации рассматриваются однотипные дифференциальные игры и задачи управления с помехой. Под однотипными в диссертации понимаются задачи, в которых правая часть уравнений движения может быть представлена в виде суммы управлений двух игроков, вектограммы которых являются шарами. К такому виду с помощью замены переменных сводятся известные в теории игр задачи "изотропные ракеты"[1] и ее вариант при отсутствии трения "мальчик и крокодил"[33, С. 242], [58, С. 327], а также контрольный пример Л.С. Понтрягина [58]. В них вектограммы игроков являются шарами, зависящими от времени. Линейная задача управления с помехой, в которой целью построения управления является минимизация модуля заданной линейной функции, с помощью линейной замены переменных также сводится к задаче рассматриваемого типа. Вопросы построения цены и опти-

мальных управлений для таких однотипных игр рассмотрены в работах В.И. Ухоботова [2], [86], [87]. Рассматриваемые в диссертации однотипные задачи усложнены тем, что вектограммы игроков зависят еще от оставшегося запаса ресурсов, которые используются для формирования управления. В ряде случаев получаемые игры становятся нелинейными. Такие задачи возникают при управлении механическими системами переменного состава, в которых не перерасход начального запаса топлива приводит к интегральному ограничению на выбор управления. Так, в случае, если величина относительной скорости выброса реактивной массы постоянна, а величина тяги ограничена заданным числом, то получается задача со смешанными ограничениями на выбор управления.

В диссертации разработан алгоритм построения оптимального и гарантированного управления в однотипных дифференциальных играх со смешанными ограничениями и в однотипных задачах управления при наличии помехи.

Практическая значимость. В диссертации приведены практические примеры дифференциальных игр и задач оптимального управления, в которых оптимальное и гарантированное управления строятся согласно предложенному подходу разделения переменных.

Метод разделения переменных апробирован на нахождении аналитического решения модификации известной в теории дифференциальных игр задачи "мальчик и крокодил".

Разработан программный комплекс, реализующий предлагаемый в диссертации метод построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх со смешанными ограничениями и в задачах управления с помехой.

Методология и методы исследования. При построении оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх со смешанными ограничениями и в задачах управления с помехой под реализовавшимся движением понимается пучок функций, каждая из которых является равномерным пределом некоторой последовательности ломаных при диаметре

измерения, стремящемся к нулю [33, С. 33].

Для доказательства сформулированных утверждений применялись методы математического и выпуклого анализа, математического моделирования, оптимизации и численные методы, теория многозначных функций.

Поставленные задачи решены в диссертации методом разделения переменных, разработанным автором. Управления в задачах строятся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от фазового состояния, а вторая -от текущего времени и начального запаса ресурсов.

При обосновании метода разделения переменных фиксировалась составляющая управления, зависящая от времени. Рассматривалась задача с геометрическими ограничениями. Функция цены игры для этой задачи зависит от выбранной составляющей управления. При наличии условия выпуклости обосновывается существование минимального значения функции цены до выбранной составляющей управления.

На основе предложенного подхода в диссертации построены алгоритмы решения задач однотипных дифференциальных игр и задач управления с помехой.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Разработан метод разделения переменных для построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх со смешанными ограничениями и в однотипных задачах управления с помехой. Этот метод имеет простую реализацию - управление строится в виде произведения двух функций, одна из которых зависит реализовавшегося фазового состояния, а вторая зависит от времени и строится программным образом согласно начальным условиям.

2. Предложенный метод обоснован для дифференциальных игр и задач управления, обладающих определенными условиями выпуклости и однотипностью в цели и в уравнениях движения.

3. Для ломаных, задающих движение в однотипной дифференциальной иг-

ре, найдена зависимость диаметра разбиения от допустимой погрешности значения целевого функционала.

4. Метод разделения переменных модифицирован для задач управления с помехой и с произвольным выпуклым терминальным множеством.

5. Построено аналитическое решение задачи управления точкой переменного состава, которая является модификацией игры "мальчик и крокодил".

6. Разработан программный комплекс для решения дифференциальной игры со смешанными ограничениями на выбор управления.

Степень достоверности результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата. Алгоритм предложенного в диссертации метода апробирован при решении модификации известной в теории дифференциальных игр задачи "мальчик и крокодил".

Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в рамках Воронежской весенней математической школы "Понтря-гинские чтения- XXI"(Воронеж, 2010), Всероссийской конференции, посвященной 80 - летию со дня рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управ-ления"(Санкт - Петербург, 2010), Международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(Екатеринбург, 2011), Конференции, посвященной 90 - летию со дня рождения академика Е.Ф. Мищенко, "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Москва, 2012).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета (Челябинск, 2010 - 2012).

Диссертационная работа докладывалась на научном семинаре отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН им. Н.Н. Кра-

совского (Екатеринбург, 2013).

Комплекс программ, реализующий алгоритм разделения переменных для построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх и в задачах управления с помехой, зарегистрирован в Объединенном фонде электронных ресурсов "Наука и образование "при Российской Академии Образования (ОФЭРНиО).

О структуре работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложения. Нумерация глав сквозная. Главы разбиты на параграфы, которые имеют двойную нумерацию - первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа в главе. Нумерация формул в параграфах тройная. Объем работы 102 страницы, библиография содержит 106 наименований.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена однотипным дифференциальным играм. Обосновывается метод разделения переменных при построении оптимальных управлений в однотипных дифференциальных играх с выпуклой интегральной платой и в однотипных дифференциальных играх со смешанными ограничениями и с терминальной платой.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В данной главе изучены нелинейные задачи управления о выводе фазовой точки на заданное множество в фиксированный момент времени при наличии воздействия со стороны неконтролируемой помехи. Управление удовлетворяет геометрическому ограничению и заданному дифференциальному уравнению. Помехе предписывается действие, ухудшающее показатель качества, который необходимо минимизировать или максимизировать. Задача управления отличается от дифференциальной игры тем, что помеха выбирается произвольно из множества возможных значений, а управление строится таким образом, чтобы достичь поставленной цели при наихудшей реализации помехи.

В третьей главе построено аналитическое решение задачи управления точкой переменного состава из §1.1, которая является модификацией игры "маль-

чик и крокодил". В первых четырех параграфах приведена схема построения оптимального управления в зависимости от начальных условий. В пятом параграфе третьей главы описывается программный комплекс, реализующий алгоритм метода разделения переменных для построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх и в однотипных задачах управления с помехой.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гущин, Денис Васильевич

Заключение

В результате проведенного исследования однотипных дифференциальных игр и задач управления с помехой разработан новый метод построения оптимального и гарантированного управления, названный в диссертации "методом разделений переменных".

В диссертации иследован класс однотипных дифференциальных игр, для которых предложенный метод позволяет построить оптимальные управления игроков. Доказана теорема, указывающая способ для отыскания управлений в линейных однотипных играх с выпуклой интегральной платой и в нелинейных однотипных играх со смешанными ограничениями и с терминальной платой.

В результате исследования нелинейных однотипных задач управления с помехой, выявлен класс задач управления, для которых в диссертации обоснован алгоритм построения гарантирующего управления. В случае терминальной платы в задачах построена функция цены.

Методика построения оптимальных управлений апробирована на решении практического примера, который является модификацией игры "мальчик и крокодил ".

Алгоритм построения оптимального и гарантирующего управления в однотипной дифференциальной игре, которая является модификацией примера "мальчик и крокодил" , реализован на ЭВМ. Программный комплекс зарегистрирован в Объединенном фонде электронных ресурсов "Наука и образова-ние"при Российской Академии Образования.

Разработанный метод разделения переменных для построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных задачах управления с помехой может быть развит и для случая, когда множество окончаний имеет форму кольца. Вопрос решения таких задач требует проведения дополнительных исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гущин, Денис Васильевич, 2013 год

Список литературы

1. Айзеке, Р. Дифференциальные игры / Р.Айзеке. - М.: Мир, 1967. - 479 с.

2. Алеева, С.Р. Однотипная игра с интегральным ограничением первого игрока / С.Р.Алеева, В.И.Ухоботов // Вестник ЧелГУ. Серия 3. Математика. Механика. - 1999. - № 1(4). - С. 16-29.

3. Альбрехт, Э.Г. О сближении квазилинейных объектов в регулярном случае / Э.Г.Альбрехт // Дифференциальные уравнения. - 1971. - Т. 7, № 7. -С. 1171-1178.

4. Альбрехт, Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр / Э.Г.Альбрехт // Тр. ИММ УрО РАН. -2000. - Т. 6, № 1. - С. 27-38.

5. Байбазаров, М. Существование цены дифференциальных игр с интегральными ограничениями / М.Байбазаров, В.Н.Ушаков // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27, № 6. - С. 931-941.

6. Батухтин, В.Д. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре сближения / В.Д.Батухтин // Докл. АН СССР. - 1972. - Т. 207, № 1. - С. 11-14.

7. Батухтин, В.Д. Регулярный случай в линейной дифференциальной игре / В.Д.Батухтин, А.И.Субботин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. -1971. - № 6. - С. 8-12.

8. Белецкий, В.В. Очерки о движении космических тел / В.В.Белецкий. -М.: Наука, 1972. - 360 с.

9. Благодатских, В.И. Дифференциальные включения и оптимальное управление / В.И.Благодатских, А.Ф.Филиппов // Тр. МИАН СССР. - 1985. -Т. 169. - С. 195-252.

10. Боткин, H.Д. Универсальная стратегия в дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания / Н.Д.Боткин, В.С.Пацко // Problems of Control and Information Theory. - 1992. - Vol. 11, № 6. - P. 419-432.

11. Боткин, H.Д. Алгоритм построения множества разрешимости в линейной дифференциальной игре высокой размерности / Н.Д.Боткин, Е.А.Рязанцева // Тр. ИММ УрО РАН. - 1992. - Т. 2. - С. 128-134.

12. Грауэрт, Г. Дифференциальное и интегральное исчисление / Г.Грауэрт, И.Либ, В.Фишер. - М.: Мир, 1971. - 680 с.

13. Гусев, М.И. Равновесные ситуации в многокритериальных игровых задачах с непротивоположными интересами / М.И.Гусев, А.Б.Куржанский // Докл. АН СССР. - 1976. - Т. 229, № 6. - С. 1295-1298.

14. Гусятников, П.Б. Простая квазилинейная задача преследования / П.Б.Гусятников, Е.С.Половинкин // Прикл. матем. и мех. - 1980. - Т. 44, Вып. 5. - С. 771-782.

15. Гущин, Д.В. Об одном классе однотипных игр со смешанными ограничениями / Д.В.Гущин // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXI". ВГУ. - 2010. - С. 73-74.

16. Гущин, Д.В. Об одной дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания и с интегральной платой / Д.В.Гущин // Вестник ЮУрГУ. Математика. Механика. Физика. - 2012. - Вып. 7, № 34(293). - С. 150-152.

17. Дятлов, В.П. Об одном классе линейных дифференциальных игр с ограниченным числом коррекций / В.П.Дятлов, А.Г.Ченцов// Управление и оценивание в динамических системах: Сб. науч. тр. - Свердловск: УрО АН СССР, 1982. - С. 9-16.

18 Жуковский, В И Линейно-квадратичные дифференциальные игры / В И Жуковский, А А Чикрип - Киев Наукова думка, 1994 - 320 с

19. Зарх, М А. Построение управления второго игрока в линейной дифференциальной игре на основе свойства отталкивания / М.А.Зарх, В.С.Пацко // Позиционное управление с гарантированным результатом Сб науч тр -Свердловск- УрО АН СССР, 1987 - С. 37-70

20. Зарх, М.А. Построение функции цены в линейной дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания / М А Зарх, А.Г Иванов // Тр. ИММ УрО РАН - 1992 - Т 2 - С 140-155

21. Иванов, В А. Задача тореадора / В А Иванов, А М Тарасьев, В.Н.Ушаков, А.П Хрипунов // Прикл матем и мех - 1993 - Т 57, Вып 3 - С 15-22.

22 Иоффе. А Д Теория экстремальных задач /АД Иоффе, В М Тихомиров.

- М Наука, 1974 - 480 с

23 Колмогоров, А Н Элементы теории функций и функционального анализа /АН Колмогоров, С В Фомин - М Наука, 1972 - 496 с

24. Красовский, Н Н Дифференциальная игра для позиционного функционала / Н Н Красовский // Докл АН СССР - 1980 - Т 253, № 6 -С 1303-1307

25 Красовский, Н Н Игровые задачи о встрече движений / Н Н Красовский

- М . Наука, 1970. - 420 с

26 Красовский, Н Н К задаче о преследовании в случае линейных однотипных объектов / Н Н Красовский // Прикл матем и мех - 1966 - Т 30, Вып 2-С 209-225

27 Красовский, Н Н Об одной задаче преследования / Н Н Красовский // Прикл матем и мех - 1963 - Т 27 Вып 2-С 244-254

28. Красовский, H.H. Теория управления движением / Н.Н.Красовский. - М.: Наука, 1968. - 175 с.

29. Красовский, H.H. Управление динамической системой / Н.Н.Красовский. - М.: Наука, 1985. - 518 с.

30. Красовский, H.H. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры / Н.Н.Красовский, А.Н.Красовский, В.Е.Третьяков// Прикл. матем. и мех. - 1981. - Т. 45, Вып. 4. - С. 579-586.

31. Красовский, H.H. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем / Н.Н.Красовский, Ю.М.Репин, В.Е.Третьяков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1965. - № 4. - С. 3-23.

32. Красовский, H.H. Альтернатива для игровой задачи сближения / Н.Н.Красовский, А.И.Субботин // Прикл. матем. и мех. - 1970. - Т. 34, Вып. 6. - С. 1005-1022.

33. Красовский, H.H. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н.Красовский, А.И.Субботин. - М.: Наука, 1974. - 456 с.

34. Красовский, H.H. К задаче о преследовании в случае ограничений на импульсы управляющих сил / Н.Н.Красовский, В.Е.Третьяков // Дифферент уравнения. - 1966. - Т. 2, № 5. - С. 587-599.

35. Красовский, А.Н. Программный синтез дифференциальной игры с интегральной платой / Н.Н.Красовский, В.Е.Третьяков // Прикл. матем. и мех. - 1982. - Т. 46, Вып. 4. - С. 605-612.

36. Кряжимский, A.B. К теории дифференциальных игр сближения уклонения / А.В.Кряжимский // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 239, № 4. -С. 779-782.

37. Куржанский, H.H. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / H.H.Куржанский. - М.: Наука., 1977. - 392 с.

38. Ледяев, Ю.С. Регулярные дифференциальные игры со смешанными ограничениями на управления / Ю.С.Ледяев // Труды МИАН СССР. - 1985.

- Т. 167. - С. 207-215.

39. Лукоянов, Н.Ю. К задаче конфликтного управления при смешанных ограничениях / Н.Ю.Лукоянов // Прикл. матем. и мех. - 1995. - Вып. 6. С. 995-964.

40. Люстерник, A.A. Элементы функционального анализа / А.А.Люстерник,

B.И.Соболев. - М.: Наука, 1965. - 520 с.

41. Мезенцев, A.B. О задаче преследования с интегральными ограничениями на управления игроков / А.В.Мезенцев // Вестник МГУ. Вычисл. матем. и киберн. - 1981. - Вып. 1. - С. 964-971.

42. Никольский, М.С. Задача о переправе с возможной остановкой двигателя / М.С.Никольский // Дифференц. уравнения,- 1993. - Т. 29, № 11. -

C. 1937-1940.

43. Никольский, М.С. О времени первого поглощения / М.С.Никольский // Мат. методы исслед. и оптимизации систем: Кн. - Вып. 2. - Киев, 1970. -С. 32-44.

44. Никольский, М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования / М.С.Никольский // Мат. сб. - 1985. - Т. 128, № 1. - С. 35 -48.

45. Никольский, М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями / М.С.Никольский // Упр. Новосибирск.

- 1969. - Вып. 2. - С. 50-59.

46. Никольский, М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с общими интегральными ограничениями / М.С.Никольский // Дифференц. уравнения. - 1972. - Т. 8, № 6. - С. 964-971.

47. Осипов, Ю.С. Альтернатива в дифференциально-разностной игре / Ю.С.Осипов // Докл. АН СССР. - 1971. - Т. 197, № 5. - С. 619-624.

48. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами / Ю.С.Осипов // Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 223, № 6. - С. 1314-1317.

49. Пацко, B.C. Дифференциальная игра качества второго порядка / В.С.Пацко // Прикл. матем. и мех. - 1982. - Т. 46, Вып. 4. - С. 596-604.

50. Пацко, B.C. Численное решение дифференциальных игр на плоскости / В.С.Пацко, В.Л.Турова. - Екатеринбург: МММ УрО РАН, 1995. - 78 с.

51. Петров, H.H. Об одной задаче преследования со многими убегающими / Н.Н.Петров // Вестник Удмурт, ун-та. - 2000. - № 1. - С. 131-136.

52. Петросян, Л.А. Дифференциальные игры преследования / Л.А.Петросян.

- Л: ЛГУ, 1977. - 222 с.

53. Петросян, Л.А. Геометрия простого преследования / Л.А.Петросян, Г.В.Томский. - Новосибирск: Наука, 1983. - 140 с.

54. Половинкин, Е.С. Структура дифференциальных игр, описываемых уравнениями с запаздывающим аргументом / Е.С.Половинкин // Кибернетика.

- 1971. - Вып. 6. - С. 87-89.

55. Пономарев, А.П. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтрягина / А.П.Пономарев, Н.Х.Розов // Вести МГУ. Вычисл. математика и кибернетика. - 1978 - Вып. 1. - С. 82-90.

56. Понтрягин, JT.С. О линейных дифференциальных играх. 1 / Л.С.Понтрягин // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 174, № 6. - С. 1278-1280.

57. Понтрягин, Л.С. О линейных дифференциальных играх. 2 / Л.С.Понтрягин // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 175, № 4. - С. 764-766.

58. Понтрягин, Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования / Л.С.Понтрягин // Матем. сб. Новая серия. - 1980. - Т. 112, Вып. 3. -С. 307-330.

59. Понтрягин, Л.С. Линейные дифференциальные игры (аналитическая теория на основе альтернированного интеграла) / Л.С.Понтрягин, А.С.Мищенко // Тр. МИАН СССР. - 1988. - Т. 185. - С. 208-214.

60. Понтрягин, Л.С. Решение линейной дифференциальной игры преследования без дискриминации убегающего объекта / Л.С.Понтрягин, А.С.Мищенко // Докл. АН СССР. - 1984. - Т. 277, № 5. - С. 1063-1066.

61. Понтрягин, Л.С. Решение линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования без дискриминации убегающего объекта / Л.С.Понтрягин, А.С.Мищенко // Докл. АН СССР. -1984. - Т. 277, № 6. - С. 1330-1334.

62. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и эстремальные задачи / Б.Н.Пшеничный. - М.: Наука, 1980. - 319 с.

63. Пшеничный, Б.Н. Структура дифференциальных игр / Б.Н.Пшеничный // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 184, № 2. - С. 285-287.

64. Пшеничный, Б.Н. Линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями / Б.Н.Пшеничный, Ю.П.Онопчук // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1968. - № 1. - С. 13-22.

65. Пшеничный, Б.Н. О дифференциальных играх с фиксированным временем / Б.Н.Пшеничный, М.И.Сагайдак // Кибернетика. - 1970. - № 2. -С. 54-63.

66. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф.Рисс, Б.Секефальви-Надь. - М.: Мир, 1979. - 289 с.

67. Соломатин, A.M. Конструирование множества позиционного поглощения в линейной игре с интегральными ограничениями / A.M.Соломатин,

B.Н.Ушаков // Управление и оценивание в динамических системах: Сб. науч. тр. Свердловск. ИММ АН СССР. - 1982. - С. 74-89.

68. Субботин, А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр / А.И.Субботин // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 254, № 2. -

C. 293-297.

69. Субботин, А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби / А.И.Субботин. - М.: Наука, 1991. - 215 с.

70. Субботин, А.И. Кусочно-линейная функция цены дифференциальной игры с простым движением / А.И.Субботин // Тр. МИАН СССР. - 1988. -Т. 185. - С. 242-251.

71. Субботин, А.И. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой дифференциальной игры / А.И.Субботин, Н.Н.Субботина // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 243, № 4. - С. 862-865.

72. Субботин, А.И. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры / А.И.Субботин, А.М.Тарасьев // Докл. АН СССР. - 1985. -Т. 283, № 3. - С. 559-564.

73. Субботин, А.И. Альтернатива для дифференциальной игры сближения-уклонения при интегральных ограничениях на управления игроков /

А.И.Субботин, В.Н.Ушаков /'/' Прикл. матем. и мех. - 1975. - Т. 39, Вып. 3. - С. 387-396.

74. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления /

A.И.Субботин, А.Г.Ченцов. - М.: Наука, 1981. - 288 с.

75. Субботина, H.H. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана / Н.Н.Субботина // ДАН СССР. -1991. - Т. 320, № 3. - С. 556-561.

76. Субботина, H.H. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх / Н.Н.Субботина // Дифференц. уравнения. -1983. - Т. 19, № 11. - С. 1890-1896.

77. Тарасьев, A.M. О построении множеств поглащения в игровых задачах управления / A.M.Тарасьев, В.Н.Ушаков, А.П.Хрипунов// Тр. ИММ УрО РАН. - 1992. - Т. 1. - С. 160-177.

78. Третьяков, В.Е. Регуляризация одной задачи о преследовании /

B.Е.Третьяков // Дифференц. уравнения. - 1967. - Т. 3, № 12. -

C. 2108-2121.

79. Третьяков, В.Е. К теории стохастических дифференциальных игр / В.Е.Третьяков // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 269, № 3. - С. 1049-1053.

80. Ухоботов, В.И. Об одной дифференциальной игре с импульсными управлениями / В.И.Ухоботов // Тр. Ин-та механики мех.-мат. фак. МГУ. -1973. - № 3. - С. 177-183.

81. Ухоботов, В.И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральным ограничением / В.И.Ухоботов // Прикл. матем. и мех. - 1977. - Т. 41, Вып. 5. - С. 810-824.

82. Ухоботов, В. И. Однотипная линейная игра со смешанными ограничениями на управления / В.И.Ухоботов // Прикл. матем. и мех. - 1987. - Т. 51, Вып. 2. - С. 179-185.

83. Ухоботов, В.И. Однотипные дифференциальные игры с выпуклой целью / В.И.Ухоботов // Тр. ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 5. - С. 196-204.

84. Ухоботов, В.И. Линейная дифференциальная игра с ограничениями на импульсы управлений / В. И.У хоботов / / Прикл. матем. и мех. - 1988. - Т. 52, Вып. 3. - С. 355-362.

85. Ухоботов, В.И. Дифференциальная игра с простым движением / В.И.Ухоботов // Изв. ВУЗов. Сер. матем. - 1991. - № 8. - С. 69-72.

86. Ухоботов, В.И. Область безразличия в однотипных дифференциальных играх удержания на ограниченном промежутке времени / В.И.Ухоботов // Прикл. матем. и мех. - 1994. - Т. 58, Вып. 6. - С. 55-60.

87. Ухоботов, В.И. Метод одномерного проектирования в линейной игре с интегральными ограничениями и однотипные игры / В.И.Ухоботов // Изв. АН. Техн. кибернетика. - 1994. - № 3. - С. 192-199.

88. Ухоботов, В.И. Синтез управления в однотипных дифференциальных играх с фиксированным временем / В. И. Ухоботов / / Вестник Чел ГУ. Сер. 3. Математика, механика. - 1996 - № 1(3). - С. 178-184.

89. Ухоботов, В.И. Об одном классе однотипных дифференциальных игр со смешанными ограничениями на управления / В.И.Ухоботов, Д.В.Гугцин // Вестник УдГУ. - 2010. - Вып. 3. - С. 81-86.

90. Ухоботов, В.И. Об одном классе однотипных игр со смешанными ограничениями на выбор управления / В.И.Ухоботов, Д.В.Гущин // Устойчивость

и процессы управления. Всероссийская конференция посвященная 80-ти летию со дня рождения В.И. Зубова. СПбГУ. - 2010. - С. 182

91. Ухоботов, В.И. Однотипная дифференциальная игра с выпуклой платой и терминальным множеством в форме кольца / В.И.Ухоботов, Д.В.Гущин // Известия Института математики и информатики УдГУ. - 2012. - Вып. 1.

- С. 136-137

92. Ухоботов, В.И. Однотипные дифференциальные игры с выпуклой интегральной платой / В.И.Ухоботов, Д.В.Гущин // Тр. ИММ УрО РАН. -2011. - Т. 17, № 1. - С. 251-259.

93. Ухоботов, В.И. Однотипная задача управления с выпуклой целью при наличии помехи / В.И.Ухоботов. Д.В.Гущин // Вестник ЮУрГУ. Математика. Механика. Физика. - 2012. - Вып. 6, № 11(270). - С. 24-29.

94. Ухоботов, В.И. К вопросу о существовании цены игры в однотипной игре со смешанными ограничениями / В.И.Ухоботов, Д.В.Гущин // Вестник ЧелГУ. Математика. Механика. Информатика. - 2010. - Вып. 12, №23(204).

- С. 67-74.

95. Ушаков, В.Н. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с интегральными ограничениями / В.Н.Ушаков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1980. - № 4. - С. 29-36.

96. Ушаков, В.Н. К вопросу стабильности в дифференциальных играх / В.Н.Ушаков // Позиционное управление с гарантированным результатом: Сб. науч. тр. - Свердловск: УрО АН СССР, 1988. - С. 101-109.

97. Филиппов, А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования / А.Ф.Филиппов // Вест. МГУ. Сер. мат-ка, механика. - 1959. - Вып. 2.

- С. 25-32.

98. Ченцов, А.Г. Асимптотическая достижимость при возмущении интегральных ограничений в абстрактной задаче управления, I / А.Г.Ченцов // Изв. вузов. Матем. - 1995. - № 2. - С. 60-71.

99. Ченцов, А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения / А.Г.Ченцов // Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 224, № 6. - С. 1272-1275.

100. Ченцов, А.Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом окончания / А.Г.Ченцов // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 240, № 1. - С. 36-39.

101. Ченцов, А.Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сближения-уклонения / А.Г.Ченцов. - Свердловск. ИММ УНЦ АН СССР, 1979. - 103 с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.05.79, № 1933-79.

102. Ченцов, А.Г. О дифференциальных играх с ограничением на число коррекций. / А.Г.Ченцов. - Свердловск, 1979. - 53 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.12.80, № 5272-80.

103. Черноусько, Ф.Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф.Л.Черноусько, А.А.Меликян - М.: Наука, 1978. - 270 с.

104. Hermes, Н. The generalized differential equation x <G M(t,x). / H.Hermes // Advances Math. - 1970. - 4, № 2. - P. 149-169.

105. Krasovskii, N.N. Game-Theoretical Control Problems / N.N.Krasovskii, A.I.Subbotin. - Berlin etc.: Springer, 1987. - 515 pp.

106. Ukhobotov, V.I. Single-type differential games with convex integral payoff / V.I.Ukhobotov, D.V.Gushchin // Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN. - 2011. - Vol. 17, № 1. - P. 251-258.

Приложение 1. Свидетельство о регистрации

электронных ресурсов

ГОСУДАРСТВ I Н II А Я АКАДЕМИЯ НАУК РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ И ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ФОНД ЭЛЕКТРОННЫХ РЕСУРСОВ "НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ

Лига вилачи £ 5. 01. ¿¿>/3

СВИДЕТЕЛЬСТВО О РЕГИСТРАЦИИ

ЭЛЕКТРОННОГО РЕСУРСА

№ 18958

Настоящее свидетельство выдано на >лектронпый ресурс, отвечающий требованиям новизны и. приоритетности

Комплекс программ для решения задач однотипных дифференциальных игр и задач оптимального управления

Дата регистрации 25 февраля 2013 годя

\вюры Гущин Д.В.. Ухобогов П.И.

Дирсюпр ИНН ПИ РАО. /. С, 1

окдлсмМъ РАО. [ ю.н . проф '' _ В.Е. Усамов

Р/ШвОДМГСЛЬ ОФ')РНиО. КС1ЧСТИ! рлбпгсюк науки и техники

'^/^А II I я (кмна