Метод моделирующих потенциалов и квазиклассическое приближение для уравнения Шредингера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сидоренко, Владимир Николаевич

• Сидоренко, Владимир Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сидоренко, Владимир Николаевич

Введение

1. Моделирующий потенциал для уравнения Шрёдингера

1.1. Спектральная задача и моделирующий потенциал.

1.2. Приближенные решения.

1.3. Проверка метода на примере гармонического осциллятора

1.4. Проверка метода на примере полиномиального потенциала ^^.

2. Применение метода МП к нахождению спектра оператора Шрёдингера

2.1. Ангармонический осциллятор

2.2. Симметричный двуямный потенциал.

2.3. Несимметричный двуямный потенциал.

2.4. Кулоновский потенциал.

2.5. Система двух частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием.

3. Фазоэквивалентные преобразования уравнения Шрёдингера и теория рассеяния

3.1. Задача рассеяния и фазоэквивалентное преобразование

3.2. Многоканальное фазоэквивалентное преобразование.

3.3. Прямая и обратная суперсимметрия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод моделирующих потенциалов и квазиклассическое приближение для уравнения Шредингера»

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Проблема решения уравнения Шрёдингера [1] (УШ) не нова, но она является актуальной и по сей день, поскольку до сих пор существует множество нерешенных задач, так или иначе связанных с этим уравнением. К настоящему времени было развито много различных подходов его решения, в частности нахождение спектра оператора Шрёдингера, то есть собственных значений энергии, соответствующих разнообразным квантово-механическим системам. Однако, поскольку в нерелятивистской квантовой механике, описываемой при помощи УШ, существует ограниченный класс точно решаемых задач [2, 3, 4], таких как задача о гармоническом осцилляторе или об атоме водорода, то, наряду с исследованием алгебры уравнения Шрёдингера [5]-[12] и отысканием таким образом точных решений, были развиты методы нахождения приближенных решений УШ и энергетического спектра [13]-[38]. Так как в дальнейшем будут рассматриваться, в основном, связанные состояния, то следует остановиться на подходах, обычно используемых в данном случае.

1) Теория возмущений (Релея-Шрёдингера или Вигнера-Бриллюэна) [3, 4]. Данный подход использует либо разложение по степеням малого параметра собственных функций (СФ) и собственных значений (СЗ), либо метод приближенной диагонализации. Первое имеет место в теории Релея-Шрёдингера, второе — в теории Вигнера-Бриллюэна, являющейся обобщением ТВ Релея-Шрёдингера [39]. Для реализации данного подхода необходимо знание всего спектра невозмущенной задачи и всех матричных элементов. В качестве нулевого приближения выбирается точно решаемая задача. Данным методом можно решить достаточно большое число задач, однако довольно часто приходится сталкиваться с расходящимися рядами, в частности, в задачах с "сильной связью", и значительными трудностями вычислительного характера. В настоящее время существуют модификации данного подхода, позволяющие преодолеть некоторые из указанных трудностей, в частности, обойтись без знания спектра невозмущенной задачи, или получить сходящиеся ряды ТВ. Первый подход был развит П.Дж. Прайсом (1954)[40], Я.Б. Зельдовичем [41, 42], Д.А. Киржни-цем [43, 44], Долгарно и Левисом, Стейнхаммером [45] и др. Второй подход получил развитие в работах B.C. Поликанова [49, 50], А.Д. Долгова, B.C. Попова [46], Ю. Ааронова и С.К. Ау [51], а также в последние десятилетия в работах A.B. Турбинера [47, 48, 29, 30], М.А. Шифмана, А.Ю. Морозова, A.M. Переломова, В.Б. Гостева, А.Р. Френ-кина, A.C. Вшивцева, Н.В. Норина, В.Н. Сорокина, A.B. Татаринце-ва, В.Г. Багрова, Б.Ф. Самсонова, A.B. Шаповалова, С. Квесне и др. [31]-[38]. Следует отметить, что вышеупомянутые авторы с успехом используют наряду с теорией возмущений теорию алгебр Ли, теорию специальных функций, рекуррентные соотношения и элементы функционального анализа.

2) Вариационный метод (метод Хартри, Хартри-Фока и др. его модификации) [2, 3]. Данный подход успешно применяется при решении широкого класса многомерных задач. В частности, данный подход позволяет получать оценки снизу для спектра оператора Шрёдингера. Однако в рамках данного подхода трудно оценивать точность получаемых результатов, поскольку получаемые оценки довольно грубы, а их уточнение представляет собой весьма трудную задачу. Кроме того, есть определенный произвол в выборе пробных функций, который особенно сказывается на скорости достижения определенной точности и при изучении возбужденных состояний в силу возникающей проблемы ортогональности. Вариационный метод (прямой или по иному метод Ритца) тесно связан с ТВ, поскольку вычисление поправки первого порядка к дискретному спектру есть вычисление Еп с ВФ невозмущенного уравнения взятого в качестве пробной функции. В качестве современных модификаций данного подхода следует отметить адиабатическое приближение, рассматриваемое в работах A.A. Локшина, A.C. Саакяна, В.И. Тюлина и др. [25]- [28].

3) Квазиклассическое приближение (метод ВКВ(Д) или метод фазового интеграла) [3]. Данный подход успешно применяется при исследовании высоковозбужденных состояний. При исследовании низколежа-щих состояний приходится учитывать высшие приближения, что, в свою очередь, связано с значительными вычислительными трудностями (см. например [52]). Кроме того, данный метод позволяет находить связь экспоненциального (в классически запрещенной области) и осцилляторного (в классически допустимой области) решений в точках поворота на действительной оси решений. Данная формула связи была получена Г. Венцелем, X. Крамерсом, J1. Бриллюэном в 1926 г. [53, 54, 55], а до этого в 1924 г. X. Джеффрисом [56], который, в свою очередь, опирался на работы Р. Ганса (1915) [57] и Дж. Релея (1912) [58]. Следует отметить, что приближение ВКБ было получено намного раньше Ж. Лиувиллем [59] и Дж. Грином (1837) [60]. Р.Е. Лангер (1937) [61] сделал метод ВКБ(Д) более эффективным, основываясь на равномерных по независимой переменной приближениях функции Эйри ("phase-integral" метод), а Дж. Хеддинг [62] обобщил этот метод на комплексные переменные. ВКБ(Д)-метод без приближений с функциями Эйри ("lateral connection" метод) был предложен А. Цвааном [63], Г. Биркгофом [64], Е. Кемблом [65] и В. Ферри [66] и подробно исследован в работах М.В. Федорюка [67], Н. Фремена и П.У. Фремена [68], Ф. Олвера [69, 70, 71] и др. Дальнейшее развитие ВКБ(Д)-метода было предложено М.А. Евграфовым [72], М.В. Федорюком и В.П. Масловым [73], В. Вазовым [75, 76], М. Накано и Т. Нишимото [78], М.С. Мариновым и B.C. Поповым [79], В.П. Масловым [21]. Так, В. Вазовым и другими учеными были разработаны различные модификации ВКБ(Д)-метода:("сеп^а1 connection" метод) [76, 77] и ("stretching-matching" метод) [75, 76]. А метод канонического оператора, предложенный В.П. Масловым, привел к развитию комплексной ВКБ и теории комплексного ростка в работах В.В. Беляева, С.Ю. Доброхотова и др. В последних модификациях квазиклассического подхода, в первую очередь, широко используются спектральный анализ операторов, теория псевдодифференциальных операторов и теория обобщенных функций (В.П. Маслов, Ф.А. Березин, М.А. Шубин А. Ворос).

4) Численные методы. В рамках данного подхода удается успешно решать многие одномерные задачи квантовой теории при помощи применения различных разностных схем к дискретному аналогу УШ [80]- [84]. Однако при переходе к многомерии не только возрастает количество вычислений, но и уменьшается их степень достоверности из-за самих проблем, связанных со сходимостью численных методов.

Кроме вышеописанных подходов в настоящее время существует довольно большое количество их модификаций, развивающих либо один их вышеупомянутых подходов, либо сочетающих в себе элементы разных подходов. Например, сочетание ТВ с вариационным методом позволило построить регулярную теорию возмущений [29], а сочетание элементов статфизики, функционального анализа и квазиклассики позволило не только детально исследовать высоковозбужденные состояния [85]-[87], но и быстро получать оценки для спектра оператора Шрёдингера, соответствующего данным состояниям.

Однако, не смотря на значительное число успехов, достигнутых в области изучения УШ [95]—[102], остается немало нерешенных задач и неясных моментов. Например, при изучении спектра оператора Шрёдингера с использованием ВКБ-приближения, рассматривают только уравнение Ри-катти, получаемое в приближении эйконала, в то время как существует точное преобразование Лиувилля-Грина, переводящее исходное УШ в УШ с новым потенциалом и дающее уравнение Рикатти в нулевом приближении. Во многих случаях указанное преобразование позволяет приводить УШ к уравнению с суммируемым потенциалом.

Рассмотрение данного преобразования, а конкретно такого нетривиального математического объекта, как производная Шварца [88, 89], изучавшегося ранее в основном в рамках ТФКП при исследовании дробно-линейных отображений [90], а также в теории поверхностей при изучении локальной изомерии поверхностей постоянной кривизны (с комплексной метрикой) сфере, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского [92] позволяет построить весьма интересную композицию ВКБ и ТВ, которая до сих пор не нашла должного отражения в работах отечественных и зарубежных авторов. Кроме того, отдельный интерес представляют фун-циональные преобразования Ньютона, применяемые в теории рассеяния. Автор данного исследования попытался остановиться на теме форминвариантных и фазоэквивалентных преобразований, считая, что в рамках сочетания ВКБ и ТВ можно не только преодолеть вышеупомянутые недостатки ВКБ и ТВ, но и эффективно применить построенную в результате теорию к решению различных квантовомеханических задач [94]-[101]. При решении поставленных задач использовались асимптотики спецфункций, данные в справочнике [103] и в книге [89]. По некоторым параметрам данные асимптотики отличаются от асимптотик из [104,105].

Цель и задачи исследования.

Основной целью данной работы является анализ и расширения сферы применимости ВКБ приближения в области определения спектра оператора Шрёдингера и фаз рассеяния за счет форминвариантных и фазоэквивалентных преобразований, позволяющих переходить от задачи с исходным, возможно, достаточно сложным (моделируемым) потенциалом к задаче с простым (моделирующим) потенциалом, не обязательно локально близким к исходному моделируемому потенциалу, но повторяющим его глобальную структуру спектра. В качестве МП можно выбрать такой потенциал, для которого задача нахождения энергетического спектра является точно решаемой (например, кусочно-линейный потенциал). В связи с поставленной целью были определены следующие задачи:

1) Построение и изучение форминвариантных и фазоэквивалентных преобразований уравнения Шрёдингера. Построение процедуры определения спектра моделирующего и моделируемого потенциалов, а также построение теории возмущений для указанных спектров и получение оценок остаточных членов.

2) Проверка метода на примере гармонического осциллятора и потенциалах вида \х\н.

3) Определение при помощи метода МП спектра ангармонического осциллятора, спектра двуямного (не)симметричного потенциала, а также кулоновского спектра.

4) Построение многокомпонентного обобщения метода и его применение к решению спектральной задачи для системы двух частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием.

5) Построение многоканального обобщения фазоэквивалентных преобразований, установление их суперсимметричных свойств и применение указанных преобразований к определению фаз многоканального NN-рассеяния с потенциалом Nijmegen II.

Объектом исследования в диссертационной работе является, в большей степени, спектр оператора Шрёдингера и, в меньшей степени, фазы рассеяния.

Предметом исследования в диссертационной работе являются фор-минвариантные преобразования, а также фазоэквивалентные преобразования уравнения Шрёдингера, позволяющие решать спектральную задачу или задачу нахождения фаз рассеяния путем построения простого моделирующего потенциала, имеющего сходную глобальную структуру спектра с исходным потенциалом, но не являющегося локально близким к моделируемому потенциалу, в первом случае, и оставляющему инвариантной матрицу рассеяния, во втором случае.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют работы отечественных и зарубежных ученых в области теоретической и математической физики (квантовой теории), а также в области ядерной физики. Кроме работ, опубликованных в ведущих международных и отечественных журналах, автор использовал монографии, учебные и справочные пособия, а также работы, находящиеся в глобальной сети "Интернет" в международной базе данных по адресу http://xxx.itrp.ru. Для проведения численных экспериментов и расчетов автор использовал такие современные языки символьных и численных вычислений как Mathematica 3.0 и Maple 4.5. Кроме того, часть вспомогательных программ для численных расчетов была написана автором с использование таких языков программирования, как Fortran и С++.

При осуществлении исследований автор придерживался следующих принципов:

1) поиск и применение форминвариантных, фазоэквивалентных преобразований оператора Шрёдингера и потенциалов;

2) построение таких МП для конкретных видов потенциалов, которые наиболее быстро давали бы решение исходной спектральной задачи;

3) построение регулярного метода нахождения энергетического спектра исходного оператора Шрёдингера;

4) получение аналитических и численных оценок для получаемых приближений;

5) сопоставление предлагаемых методов с другими и выявление их преимуществ и недостатков.

Научная новизна.

Основными результатами, полученными впервые, являются следующие положения:

1) Показано, что, исходя из форминвариантных преобразований уравнения Шрёдингера, одними из которых являются преобразования Ли-увилля, образующие бесконечномерную группу диффеоморфизмов, задачу отыскания спектра оператора Шрёдингера с исходным (моделируемым) потенциалом Ц?{х,Е) = Е — и(х) можно свести к задаче отыскания спектра оператора Шрёдингера^с новым более простым (моделирующим) потенциалом Ш(у,Е) = Е - и (у), не обязательно локально близким исходному потенциалу, но повторяющим его глобальную структуру спектра.

2) Исследована структура указанных форминвариантных преобразований и показано, что основной вклад в спектр моделирующего потенциала дает нулевое приближение, совпадающее с квазиклассикой. Поправки получаются по предложенной автором теории возмущений, построенной на основе теории возмещений Релея-Шрёдингера. Получены оценки остаточных членов.

3) В рамках предложенного подхода исследованы задачи отыскания энергетического спектра оператора Шрёдингера с потенциалами полиномиального вида, а также даны оценки остаточных членов в нулевом и первом приближениях. Работа ММП проверена на примере гармонического осциллятора. Показано, что в данном случае ММП дает точный спектр в нулевом приближении, что соответствует квазиклассике.

4) Определен методом ММП энергетический спектр ангармонического осциллятора, а также спектр оператора Шрёдингера с потенциалом вида \х\м. Показано, что ММП в указанных случаях дает лучшие по сравнению с квазиклассикой результаты.

5) Многокомпонентное обобщение ММП позволило описать процедуру нахождения спектра в случае сингулярных потенциалов, а также построить процедуру определения спектра системы двух заряженных частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием.

6) Исследование близких по форме многоканальных фазоэквивалент-ных и, в частном случае, суперсимметричных преобразований в теории низкоэнергетического рассеяния позволило разработать процедуру определения фаз рассеяния в случае многоканального УУТУ-рассеяния, частным случаем которого является ТУТУ-рассеяние с потенциалами взаимодествия Ш^т^еЪ II и "московским потенциалом".

Автор диссертации внес существенный личный вклад в решение поставленной задачи. Им были исследованы различные классы моделируемых и моделирующих потенциалов. Также им была разработана и успешно апробирована процедура построения теории возмущений для энергетического спектра моделирующего потенциала. Показано, что основной вклад дает нулевое приближение. Проведено исследование структуры получаемой теории возмущений, и получен энергетический спектр и улучшенные правила квантования Бора-Зоммерфельда для (не)симметричного двуямного потенциала. Показано, что полученные в работе результаты согласуются с экспериментальными с точностью до 5% для п = 1,2,3,4 . , причем точность быстро улучшается, достигая, например, 0,5% при п = 4. Проведено обобщение ММП на многокомпонентный случай и исследована задача определения спектра системы двух заряженных частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием. Кроме того, исследованы фазоэквивалентные, и в частном случае, суперсимметричные преобразования в теории низкоэнергетического многоканального рассеяния.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что полученные автором результаты вносят определенный вклад в актуальное направление изучения спектров в различных задачах квантовой механики, а также в теорию многоканального низкоэнергетического рассеяния.

Практическая значимость исследования заключается в возможности отыскания спектра оператора Шрёдингера путем построения простого моделирующего потенциала, не обязательно локально близкого исходному (моделируемому) потенциалу, но повторяющего его глобальную структуру спектра. Кроме того, данный метод может быть использован при решении задач многоканального рассеяния.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью используемых автором математических методов, органически сочетающих традиционные методы математического анализа и теории групп, а также новейшие алгоритмы символьных и численных компьютерных расчетов.

Основные результаты исследования изложены в работах [107]-[112], а также обсуждены на научных семинарах кафедры квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и доложены на международной конференции аспирантов и студентов "Ломоносов-99".

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сидоренко, Владимир Николаевич

Заключение

В диссертации детально исследован метод моделирующих потенциалов, основанный на форминвариантных преобразованиях Лиувилля, образующих бесконечномерную группу диффеоморфизмов, для уравнения Шрёдингера. Предложена регулярная процедура построения приближений к спектру оператора Шрёдингера и получения оценок для остаточных членов. Работа данного метода проиллюстрирована на хорошо известном примере гармонического осциллятора, после чего данный метод применен к ряду задач: а) потенциалу б) ангармоническому осциллятору; в) двуямному (не)симметричному потенциалу; г) кулоновскому потенциалу; д) потенциалу системы двух частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием. Кроме того исследованы многоканальные фазоэквива-лентные преобразования УШ, имеющие формальное сходство с преобразованиями Лиувилля. К основным выводам диссертационного исследования следует отнести следующие положения:

• Показано, что при выборе моделирующего потенциала следует выбирать такие потенциалы, для которых асимптотика шварциана быстрее всего убывает на бесконечности. При получении же оценок остаточных членов следует использовать квадрат максимального значения шварциана, который нигде не обращается в бесконечность. Показано, что для этой цели можно ограничиться знаниями поведения шварциана в нуле. Получаемые при этом оценки являются улучшаемыми. Однако их улучшение связано в первую очередь со значительными трудностями вычислительного характера.

• Уже в нулевом приближении для всех энергетических уровней гармонического осциллятора, кроме основного состояния, получены точные значения. На этом же примере хорошо прослеживается независимость получаемых результатов от конкретного вида моделирующего потенциала и от изменения его параметров. Как отмечалось в первом параграфе, важно лишь совпадение глобальной структуры спектров исходного и моделирующего потенциалов. Кроме того, изучение асимптотики поведения функции Еп(а) на том же самом примере подтвердило устойчивость данного метода по отношению к возмущениям моделирующего потенциала при изменении его параметров.

При рассмотрении других типов потенциалов данный метод позволил не только качественно оценить общие свойства потенциалов такого вида, но и дал возможность найти для них улучшенные правила квантования и энергетический спектр. Показано, что зная конкретный вид исходного потенциала и вычисляя для него действие между точками поворота, можно с большой степенью точности довольно просто получить энергетический спектр для данных типов потенциалов в виде ряда по постоянной Планка К . Получены оценки остаточных членов, которые, как говорилось выше, являются улучшаемыми, но их улучшение связано со значительными трудностями вычислительного характера.

На примере кулоновского потенциала показана процедура отыскания точного преобразования, переводящая исходное уравнение Шрёдингера с кулоновским потенциалом в одинаковое по форме уравнение, но с потенциалом гармонического осциллятора. При этом показано, что, помимо точной связи спектров для 3-х мерного кулона и 4-мерного гармонического осциллятора, существует приближенная связь спектров для 3-х мерного кулона и 3-мерного гармонического осциллятора (для радиальных компонент), которая позволяет точнее определять спектр кулона и получать улучшенные правила квантования Бора-Зоммерфельда. Данный пример приводится для иллюстрации того факта, что в качестве моделирующего потенциала можно выбирать не только потенциалы с одинаковой глобальной структурой всего спектра, но и потенциалы с одинаковым количеством связанных состояний.

В главе, посвященной фазоэквивалентным преобразованиям в задачах квантовой теории рассеяния, показано, что аналог метода моделирующего потенциала можно применить в теории низкоэнергетического многоканального рассеяния. При этом полученное фазоэк-вивалентное преобразование является обобщением преобразования, предложенного P.P. Ньютоном для одноканального случая.

• Доказано, что суперсимметричные преобразования, предложенные Дж. Спаренбергом и Д. Байе, обеспечивающие инвариантность матрицы рассеяния, являются частным случаем полученного фазоэкви-валентного преобразования, которое может быть использовано для получения класса моделирующих потенциалов заданного вида в теории низкоэнергетического рассеяния.

Дальнейшие пути развития метода моделирующих потенциалов могут быть следующие:

• Детальное изучение группы и соответствующей алгебры преобразований Лиувилля и их представлений.

• Исследование вопроса о влиянии группы преобразований Лиувилля на самосопряженность и область определения оператора Шрёдингера.

• Строгое построение теории возмущений и получение оценок остаточных членов более высокого порядка (п > 1) для спектра исходной задачи в случае однокомпонентного и многокомпонентного УШ.

• Исследование вопроса об аналитичности и сходимости получаемой теории возмущений для определения спектра исходного оператора Шрёдингера в общем случае.

• Постоение точных оценок для спектра исходного оператора Шрёдингера с использованием элементов теории псевдодифференциальных операторов.

• Рассмотрение класса задач, связанных с отысканием спектра оператора Шрёдингера с потенциалами, которые приводят к существованию непрерывного, сингулярного и дискретного (точечного) спектра.

• Применение полученных фазоэквивалентных преобразований к решению задачи рассеяния с потенциалом Nijmegen-II, "московским" и другими потенциалами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сидоренко, Владимир Николаевич, 1999 год

1. Schödinger Е. Abhandlungen zur Wellenmechanik. Leipzig: Barth, 1927. 1.. 169 s.

2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. 6-е изд. М.: Наука. 1983. 664 с.

3. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 4-е изд. М.: Наука, 1989. 768 с.

4. Соколов A.A., Тернов И.М., Жуковский В. Ч. Квантовая механика. М.: Наука, 1979. 528 с.

5. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965. 588 с.

6. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966. 587 с.

7. Винтерниц П., Смородинский H.A., Углирж М., Фриш И. // Ядер, физ. 1966. Т. 4. №3. С. 625-635.

8. Никитин А.Г., Наконечный В.В. // Укр. физ. журн. 1980. Т. 25. №4. С. 618-621.

9. Фушич В.И., Штеленъ В.М. // ТМФ. 1983. Т. 56. №3. С. 387-394.

10. Fushchich W.I., Serov N.I. // J. Phys. A: Math, and Gen. 1987. V. 20. №6. P. L929.

11. Фушич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990. 400 с.

12. Багров В.Г., Самсонов В.Ф., Шаповалов A.B. // Известия вузов. Сер. физ. 1990. №7. С. 59-64.

13. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

14. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977. 329 с.

15. Рид И., Саймон Б. Методы современной математической физики. Функциональный анализ. Т. 1. М.: Мир, 1977. 360 с.

16. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Анализ операторов. Т. 4. М.: Мир, 1982. 428 с.

17. Рисс Ф., Секефалъви-Надъ В. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 592 с.

18. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978. 280 с.

19. Березин Ф.А., Шубин М. А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.

20. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988. 312 с.

21. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 543 с.

22. Саймон В., Кирш В. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 319 с.

23. Schödinger operators: The quantum mechanic many-body problem / Ed. by E. Balslev. Proc. of workshop: Held at Aarhus. Denmark. Berlin etc: Springer, 1992. 264 p.

24. Йоргенс К., Вайдман И. Спектральные свойства гамильтоновых операторов. М.: Мир, 1976. 149 с.

25. Локшин A.A., Лопатников С.Л., Саакян A.C. Метод сжатых отображений в симметричной проблеме собственных значений. М.: Изд-во МГУ, 1995. 143 с.

26. Локшин A.A., Саакян A.C. Геометрические методы в теории спектров. М.: Изд-во МГУ, 1996. 62 с.

27. Локшин A.A., Саакян A.C., Тарасов Ю.И. Параметрические собственные значения. М.: Изд-во МГУ, 1997. 63 с.

28. Локшин A.A., Саакян A.C. Уравнение Шрёдингера в квантовой химии. М.: Диалог-МГУ, 1998. 64 с.

29. Турбинер A.B. // УФН. 1984. Т. 144. С. 35.

30. Turbmer A.V. Quasi-exactly-solvable Differential Equations, Preprint IFUNAM FT 94-57, 1994. 32 p.

31. Shifman M.A. // Int. Journ. of Mod. Phys. Ser. A. 1989. V. 4. P. 2897.

32. Morozov A.Yu., Perelomov A.M., Rosly A.A., Shifman M.A., Turbmer A.V. // Int. Journ. Mod. Phys. Ser. A. 1990. V. 5. P. 803.

33. Вшивцев A.C., Сорокин B.H. // Известия вузов. Сер. физика. 1984. №1. С. 95-101.

34. Вшивцев A.C., Норин Н.В., Сорокин В.Н. // Известия вузов. Сер. физ. 1996. №5. С. 55-70.

35. Гостев В.В., Френкин А.Р. // Известия вузов. Сер. физ. 1989. №2. С. 45-49.

36. Гостев В.В., Френкин А.Р. // Известия вузов. Сер. физ. 1989. №6. С. 14-18.

37. Voros A. An algebra of pseudo-differential operatotrs and the asymptotics of quantum mechanics. Gif. s/Yvette, 1976. P. 32.

38. Holden H., Ensen A., (Eds.) Schrödinger Operators: Proc. of the Nordic Summer School in Mathemathic Held at Sandbjerg Slot, Sonclerborg, Denmark. Berlin etc: Springer, cop. 1989. 458 p.

39. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. М.: Наука, 1976. 336 с.

40. Price P.J. // Proc. Phts. Soc. 1954. V. 67. P. 383.

41. Зельдович Я.Б. // ЖЭТФ. 1956. Т. 31 С. 1101.

42. Вазь А.И., Зельдович Я.В., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971. 544 с.

43. Киржниц Д.А. // Опт. и спектр. 1958. Т. 31. С. 486.

44. Киржниц Д.А. Полевые методы многих частиц. М.: Атомиздат, 1963. 344 с.

45. Hirschfelder J. О., Brown W.B., Epstein S.T. // Adv. Quantum Chem. 1964. V. 1. P. 225.

46. Долгов А.Д., Попов B.C. // ЖЭТФ. 1978. Т. 75. С. 2010.

47. Турбинер A.B. // ЖЭТФ. 1980. Т. 79. С. 1719.

48. Турбинер A.B. // Письма ЖЭТФ. 1981, Т. 33. С. 181.

49. Поликанов B.C. // ЖЭТФ. 1967. Т. 52. С. 1326.

50. Поликанов B.C. // ЖЭТФ. 1975. Т. 24. С. 230.

51. Аи С.К., Aaronov Y. Phys. Rev. Ser. A. 1979. V. 20. P. 2245.

52. Hoie F. Т., Monroll E. W., Yamawaki M. / In: Perspectives in Statistical Physics / Ed. H.H. Raveche. Amsterdam: North-Holland, 1981. Ch. 16. P. 297.

53. Wentzel G. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechnik // Z. Physik. 1926. V. 38. S. 518-529.

54. Kramers H.A. Wellenmechnik und halbzahlige Quantisierung // Z. Physik. 1926. V. 39. S. 828-840.

55. Brillouin L. Remarques sur la mechnique ondulatoire // J. Phys. Radium 6]. 1926. V. 7. P. 353-368.

56. Jeffris H. On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order / Proc. London Math. Soc. 2]. 1924. V. 23. P. 428-236.

57. Gans R. Fortplanzug des Lichts durch ein inhomogenes Medium / Ann. Physik 4]. 1915. V. 47. S. 709-736.

58. Rayleigh (Lord) On the propagation of waves through a stratifild medium, with spetial reference to question of reflaction / Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1912. V. 86. P. 207-226.

59. Liuville J. Sur la développement des fonctions on parties des foctions en séries.// J. Math. Pures Appl. 1. 1837. V. 2. P. 16-36.

60. Green G. On the motion of waves in a variable canal of small depth and width. // Trans. Cambridge Philos. Soc. 1837. V. 6. P. 457-462.

61. Langer R.E. // Phys. Rev. 1937. V. 51. P. 669-676.

62. Heading J. An introduction to phase-integral methods. Wiley, N.Y. 1962.

63. Zwaan A. Inetensitäten im Ca-Funkenspektrum. Arch. Néerlandaises Sei. Exactes Natur. Ser. ЗА. 1929. V. 12. S. 1-76.

64. Birkhoff G.D. Quantum mechanics and asymptotyc series. / Bull. Amer. Math. Soc. 1933. №39. P. 681-700.

65. КетЫе E.C. // Phys. Rev. 1935. V. 48. P. 549-561.

66. Furry W.H. // Phys. Rev. 1947. V. 71. P. 360-371.

67. Федорюк M.B. // Матем. сб. T. 68. №1. С. 81-110.

68. Фремен H. и Фремен П.У. ВКБ-приближение. М.: Мир, 1967. 168 с.

69. Olver F.W.J // J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. B. 1965. V. 69. P. 271-290.

70. Olver F.W.J // J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. B. 1965. V. 69. P. 291-300.

71. Olver F.W.J. // Proc. Camridge Phil. Soc. 1966. V. 57. P. 790-810.

72. Евграфов M.A. // УМН. T. 21. №1. С. 3-50.

73. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. 296 с.

74. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1983. 352 с.

75. Wasow W. // J. Math, and Phys. 1960. V. 38. Р. 83-100.

76. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

77. Wasow W. // SIAM J. Math. Anal. 1970. V. 1. Р. 153-170.

78. Nakano М. and Nishimoto Т. On a secondary turning point problem // Ködai Math. Sem. Rep. 1970. V. 22. P. 355-384.

79. Mannov M.S., Popov V.S. // J. Phys. Ser. A. 1975. V. 8. P. 1575.

80. Браун П.А. // ТМФ. 1978. Т. 37. С. 355.

81. Браун П.А., Вопросы квантовой теории атомов и молекул. Вып. 2, 1981. С. 110.

82. Браун П.А. / В сб.: Труды VII Всесоюзного симпозиума по молекулярной спектроскопии высокого и сверхвысокого разрешения, Томск, Томский филиал СО АН СССР, часть 1, 23 (1986).

83. Браун П.А., Киселев A.A. Введение в теорию молекулярных спектров, Л.: ЛГУ. 1983. 232 с.

84. Заславский О.Б. // Известия вузов. Сер. физ. 1990. №1. С. 17-23.

85. Keller J.B., Bubinow S. // Ann. Phys. 1960. V. 9. №1. Р. 27-75.

86. Colin de Veriere Y. // Math. Zeits. 1980. V. 171. №1. P. 51-73.

87. Косыгин Д.В., Минасов A.A., Синай Я.Г. // УМН. 1993. Т. 48. Вып. 4(292). С. 4-130.

88. Schwarz H.A. Zur Integratin der Partiellen Differentialgleichung. Zusatz Ges. Ach. 1890. V. 2.

89. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. 528 с.

90. Толщин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966. С. 78-82.

91. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983. 360 с.

92. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Т. 1. М.: Эдиториал УРСС, 1988. С. 95-96, 255.

93. Трофимов В.В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448 с.

94. Пономарев Л.И. Лекции по квазиклассике. Киев, 1968. С. 5-79.

95. Cannata F., Junker G., Trost J. Schrodinger operators with complex potential but real spectrum. 1998. http://xxx.itep.ru/quant-ph/9805085. 10 p.

96. Atakishiyev N.M.,Jafarov E.L., Nagiyev S.M., Wolf K.B. Meixner Ocsillators. 1998. http://xxx.itep.ru/marh-ph/9807035. 18 p.

97. Mennicken R., Motovilov A.K. Operator Interpretation of Resonances Arising in Spectral Problem for 2x2 Operator Matricies. 1997. http://xxx.itep.ru/funct-an/9708001. V. 3. 62 p.

98. Mesa A. Del Sol, Quesne C., Smirnov Yu. F. Generalized Morse potential: symmetry and satellite potential. 1997. http://xxx.itep.ru/physics/9708004. V. 2. 23 p.

99. Quesne C., Vansteenkiste N. Сд-extended harmonic oscillator and (para)supersymmetric quantum mechanics. 1998. http://xxx.itep.ru/quant-ph/9802066. 18 p.

100. Quesne C., Vansteenkiste N. Algebraic Realization of Supersymmetric Quantum Mechanics for Cyclic Shape Invariant Potential. 1998. http://xxx.itep.ru/quant-ph/9901016. 22 p.

101. Bijker R., Iachello F., Santopinto E. Algebraic treatment of the hypercoulomb problem. 1998. http://xxx.itep.ru/nucl-ph/9801051. 181. P

102. Sveshnikov N., Shirokov A. Bound States without Turning Points of Electric Dipole in Magnetic Field / В сб. "Современные проблемы квантовой теории", под ред. проф. В.И.Саврина и О.А.Хрусталева. М.: НИИЯФ МГУ, 1998. Препринт №98-23/524. С. 214-234.

103. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. 304 с.

104. Nikiforov A.F., Uvarov V.В. Spetial Funktions of Mathematical Physics. Basel, Boston.: Birkhauser. 1988. P. 248-251.

105. Эрдеи А. Асимптотические разложения. M.: Наука, 1962. С. 60, 105, 111-115, 376-377.

106. Свешников Н.А., Сидоренко В.Н. Введение в квантовою теорию поля: сб. задач. М.: Диалог-МГУ, 1998. 28 с.

107. Сидоренко В.Н. // Вестник-МГУ. Сер. Физ. 1999. №5. С. 59.

108. Сидоренко В.Н. // Вестник-МГУ. Сер. физ. 1999. №6. С. 57.

109. Сидоренко В.Н. // Вестник-МГУ. Сер. физ. 2000. №1.

110. Сидоренко В.Н. Спектральная задача для системы двух частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием. М.: Диалог-МГУ, 1999. 17 с.

111. Shirokov N.A. Stdorenko V.N. Multi-channel phase-equivalent transformation and suppersymmetry. M.: NPI MSU, 1998. Preprint №99-09/567. 14 p.

112. Shirokov N.A. Sidorenko V.N. //Ядер. Физ. 2000. №10. (в печати

113. Ноге F.T., Monroll E.W., MacMillen D. // Phys. Rep. 1978. V. 43. P. 306.

114. Bender C.M., Wu T.T. // Phys. Rev. 1969. V. 184. P. 1231.

115. Bender C.M., Wu T.T. // Phys. Rev. 1973. V. 7. P. 1620.

116. Speliotopoulos A.D. The General Structure of Eigenvalues of Non-Linear Oscillators. 1998. http://xxx.itep.ru/physics/9611006. V. 2. 25 p.

117. Voros A. Airy function: exact WKB results for potentials of odd degree. 1998. http://xxx.itep.ru/marh-ph/9811001. 13 p.

118. Вайштейн А.И. Препринт ИЯФ CO АН СССР. Новосибирск. 1964.

119. Langer J.S. // Ann. Phys. (N.Y.) 1967. V. 63. P. 108.

120. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Т. 1. М.: Мир, 1974. 344 с.

121. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Т. 2. М.: Мир, 1974. 316 с.

122. Nikitin A.G. // Acta Physica Polonica. 1985. V. 16. №1. P. 3.

123. Прасолов В.В., Соловьев Ю.П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. М.: Факториал, 1997. 288 с.

124. Ньютон P.P. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1967. 607 с.

125. J. М. Sparenberg and D. Вауе // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 3802.

126. Широкое A.M., Смирное Ю.Ф., Зайцев С.A. №// ТМФ. 1998. Т. 117. №2. С. 227-248.

127. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М.: Мир, 1994. 494 с.