Метод моделирования отсоединенных вихрей в приложении к задачам отрывного обтекания решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Якубов, Сергей Ансарович

• Якубов, Сергей Ансарович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Якубов, Сергей Ансарович

Оглавление.

Основные обозначения.

Введение.

1. Обзор литерату ры по тематике работы.

1.1. Моделирование течений вокруг плохообтекаемых тел.

1.1.1. Обтекание круглого цилиндра.

1.1.2. Обтекание цилиндра квадратного сечения.

1.2. Использование метода отсоединенных вихрей при расчете отрывных течений.

1.3. Ускорение расчетов.

1.3.1. Использование многосеточного метода.

1.3.2. Параллелизация вычислений.

2. Математическая модель и численный метод.

2.1. Математическая модель.

2.1.1. Определяющие уравнения.

2.1.2. Моделирование турбулентности в рамках метода решения уравнений Рейнольдса (RANS).

2.1.3. Модель турбулентности Спаларта-Аллмараса.

2.1.4. Модель турбулентности Мегггера.

2.1.5. Моделирование турбулентности в рамках метода моделирования крупных вихрей (LES) и метода моделирования отсоединенных вихрей (DES).

2.2. Численный метод и его реализация.

2.2.1. Предварительные замечания.

2.2.2. Запись определяющих уравнений в обобщенной системе координат.

2.2.3. Численная схема.

2.3. Реализация параллельных вычислений.

2.3.1. Алгоритм параллелизации.

2.3.2. Эффективность параллелизации.

2.4. Реализация многосеточных вычислений.

2.4.1. Схема полной аппроксимационной памяти для решения нелинейных задач.

2.4.2. Операторы ограничения.

2.4.3. Операторы пролонгации.

2.4.4. Особенности решения уравнений для параметров турбулентности.

2.5. Исследование эффективности реализованного многосеточного метода.

2.5.1. Решение уравнения Лапласа для квадратной и кубической областей.

2.5.2. Расчет течения жидкости в каверне с движущейся крышкой.

2.5.3. Развитие турбулентного пограничного слоя на пластине.

3. Тестовые расчеты по методу отсоединенных вихрей.

3.1. Обтекание кругового цилиндра.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Результаты расчетов.

3.2. Обтекание цилиндра квадратного сечения.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Результаты расчетов.

3.3. Обтекание крылового профиля.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Результаты расчетов.

4. Расчеты турбулентных течений в областях с периодической геометрией.

4.1. Течение через решетку квадратных цилиндров.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Результаты двумерных расчетов.

4.1.3. Результаты расчетов по методу DES.

4.2. Отрывное течение через плоскую компрессорную решетку.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Результаты двумерных расчетов по методу URANS.

4.2.3. Результаты расчетов по методу DES.

4.2.4. Сводные результаты.

4.3. Моделирование пред отрывных эффектов в рабочем колесе осевого компрессора.

4.3.1. Постановка задачи.

4.3.2. Подбор входных граничных условий.

4.3.3. Стационарные численные решения по методу RANS.

4.3.4. Расчеты по методам DES и URANS.

4.3.5. Сравнение результатов, полученных по методам DES и RANS.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод моделирования отсоединенных вихрей в приложении к задачам отрывного обтекания решеток»

Метод моделирования отсоединенных вихрей (MOB, Detached Eddy Simulation, DES), предложенный менее десяти лет назад [Spalart et al., 1997] и детально разработанный [Travin et al., 1999; Spalart, 2000; Travin et al., 2002] в последние годы для расчетов турбулентных течений с обширными отрывными зонами, вызывает все больший интерес исследователей и инженеров. Сегодня наиболее распространенные коммерческие программные пакеты (FLUENT, CFX, STAR CD) и многие коды внутреннего пользования включают DES в качестве одной из «опций» для моделирования турбулентности. Этот метод предполагает расчет пристенных слоев на основе трехмерной нестационарной формулировки осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (RANS), а удаленных от стенки слоев — по методу моделирования крупных вихрей (МКВ, Large Eddy Simulation, LES). В зоне ответственности метода LES для расчета турбулентной вязкости используется по виду та же модель турбулентности, что и в пристенных слоях, но с переопределенным линейным масштабом турбулентности, обеспечивающим необходимый уровень диссипации турбулентной энергии.

К настоящему времени в литературе накоплен достаточно обширный положительный опыт применения метода DES к внешним задачам аэродинамики [Strelets, 2001]. Однако для численного моделирования внутренних отрывных течений, включая проблемы турбомашиностроения, этот метод широко еще не использовался. Вместе с тем, для ряда важных и одновременно сложных задач аэродинамики турбомашин н турбоустановок метод DES потенциально способен обеспечить не только повышение точности предсказаний интегральных/осредненных характеристик, но и получение качественно новой информации о вихревой структуре течения и нестационарных силовых нагрузках, действующих на элементы конструкции. К таким задачам, в частности, относятся: обтекание профилированных и непрофилированных стоек в осевых или осерадиальных выхлопных диффузорах энергетических газовых турбин; течение пара в выхлопных патрубках паровых турбин, включая вопросы обтекания конструктивных элементов жесткости; сильно нерасчетные режимы течения рабочего тела через лопаточные венцы турбомашин, сопровождающиеся массивным отрывом потока от передних кромок лопаток или образованием больших отрывных пузырей; предотрывные режимы течения в рабочих колесах осевых компрессоров с проявлением сильных эффектов перетекания газа через концевые зазоры.

Задачи, актуальные для современной вычислительной гидродинамики, в частности, упомянутые выше, требуют, для моделирования с приемлемой точностью, использования сеток с достаточно большим количеством узлов, особенно для случая трехмерных расчетов. В связи с этим, проблема ускорения вычислений всегда привлекала особое внимание исследователей. Данную проблему можно разбить на две составляющие: ускорение сходимости итерационного процесса решения дискретизированных задач и ускорение собственно вычислений за счет эффективного использования современной вычислительной техники (применение новейших компьютеров, суперкомпьютеров, параллелизации вычислений). Прогресс в ускорении сходимости итераций требует внедрения специальных алгоритмов, обладающих, как правило, достаточно сложной логикой расчета и трудностью реализации, а ускорение счета предполагает привлечение новейших, часто дорогостоящих вычислительных ресурсов и своевременное их обновление. Естественно, наиболее эффективным с точки зрения уменьшения временных затрат будет согласованное использование обоих подходов.

Среди итерационных методов наибольший эффект ускорения сходимости позволяет получить многосеточный метод, а наиболее экономически привлекательным и сегодня уже весьма распространенным способом ускорения счета является параллелизация процесса вычислений с использованием кластерных систем.

Исходя из изложенных соображений, определены основные цели работы. Диссертационная работа направлена на:

- реализацию многосеточного алгоритма численного решения уравнений гидродинамики и реализацию параллельных вычислений на основе базового программного комплекса S INF, а также на проведение тестовых расчетов по оценке эффективности реализованных методик;

- апробацию реализованного в программном комплексе S INF метода моделирования отсоединенных вихрей на ряде тестовых задач и на исследование влияния выбора численной схемы;

- численное исследование отрывных турбулентных течений в решетках, включая изучение вопроса о влиянии на решение поперечного размера расчетной области (числа каналов), анализ вихревой структуры течения в области концевых зазоров и оценку эффективности метода DES для рассматриваемого круга задач.

Первая глава диссертации посвящена обзору литературы по задачам обтекания плохообтекаемых тел, в частности, по обтеканию цилиндров круглого и квадратного сечений - базовых задач для тестирования методов DES и LES. Также приведен обзор метода моделирования отсоединенных вихрей, рассмотрены области его применения и перспективы использования для задач внутренней аэродинамики. Третья часть главы посвящена обзору возможностей по ускорению расчетов — рассматриваются способы параллелизации задачи, а также ускорение вычислений с помощью многосеточного алгоритма решения уравнений гидродинамики.

Во второй главе дается изложение математической модели и численного метода, на основе которого были проведены расчеты (все задачи рассматриваются в работе в рамках модели несжимаемой ньютоновской жидкости с постоянными физическими свойствами). Излагаются вопросы реализации замыкающих моделей метода RANS (модели турбулентности Спаларта-Аллмараса и Ментера), LES (модель Смагоринского) и метода DES (на основе моделей турбулентности Спаларта-Аллмараса и Ментера) в использованном для расчетов программном "конечно-объемном" комплексе SINF. второго порядка точности rio времени и пространству.

В третьей главе проводятся результаты апробации метода DES для ряда тестовых задач внешней аэродинамики. Одним из важнейших тестов при численном моделировании отрывных течений является задача о турбулентном обтекании неограниченного по длине цилиндра. Приводятся результаты ряда расчетов по моделированию обтекания круглого и квадратного цилиндра, включая исследование сеточной сходимости задачи и сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, а также результаты численного моделирования задачи об обтекании крылового профиля NACA 0012. Проводится сравнение результатов, полученных по методу DES для двух углов атаки с расчетами других авторов и с экспериментальными данными.

В четвертой главе излагаются постановки задач и результаты применения метода моделирования отсоединенных вихрей к расчетам турбулентных течений в областях с периодической геометрией. В качестве первой, модельной задачи рассмотрено течение жидкости через решетку квадратных цилиндров. Исследуются вопросы выбора поперечного размера области, другими словами, числа включаемых в расчет шагов решетки. В качестве примера сильно нерасчетного режима работы лопаточного венца турбомашины рассмотрено течение в плоской компрессорной решетке при большом положительном угле атаки. Здесь также проводится исследование зависимости решения от выбранного числа межлопаточных каналов. Возможности метода DES для расчета предотрывных режимов течения в рабочих колесах осевых компрессоров, с проявлением сильных эффектов перетекания газа через концевые зазоры, исследуются на примере одиночного ротора с 16-ю лопатками. Полученные данные сопоставляются с результатами расчета по методу RANS и с экспериментальными измерениями.

В заключении представлены основные результаты и выводы, полученные в работе.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Якубов, Сергей Ансарович

Основные выводы по диссертационной работе сводятся к следующему:

1) На основе базового "конечно-объемного" программного комплекса SINF, использующего неявные итерационные схемы и блочно-структурированные сетки, реализован многосеточный атгоритм численного решения уравнений Навье-Стокса. Достигнуто существенное сокращение времени получения сошедшегося решения (в 3 раза и более). В результате программной доработки комплекса, обеспечена также возможность проведения высокоэффективных параллельных вычислений на кластерных системах.

2) Реализованный в программном комплексе SINF метод моделирования отсоединенных вихрей (DES) апробирован на ряде тестовых задач внешней аэродинамики, для которых характерно образование обширных зон отрыва: круглый и квадратный цилиндр в безграничном потоке, аэродинамический профиль при большом угле атаки. Полученные для этих задач осредненные поля течения и интегратьные характеристики хорошо согласуются с экспериментальными результатами и расчетами других авторов, использовавших тот же подход. Тем самым обоснована возможность получения по методу DES достаточно точных результатов с использованием не только высокоразрешающих схем, но и типичных для метода конечных объемов схем пространственной дискретизации второго порядка точности.

3) Результаты проведенных тестовых расчетов турбулентного течения вокруг квадратного цилиндра не уступают по качеству данным, полученным другими исследователями методом моделирования крупных вихрей (LES) на сетках с существенно большим числом расчетных ячеек. При этом для ближнего следа за цилиндром достигнуто хорошее согласование с измерениями не только для осредненной скорости, но и для среднеквадратичных пульсаций.

4) Впервые метод моделирования отсоединенных вихрей применен для расчетов отрывных турбулентных течений через решетки разной геометрии, включая плоские и кольцевые решетки турбомашин. Результаты метода DES сопоставлены с данными расчетов на основе стационарных и нестационарных уравнений Рейнольдса (методов RANS и URANS).

5) Результаты численного моделирования турбулентного течения через решетку квадратных цилиндров позволили заключить, что для проведения расчетов, как по методу URANS, так и DES. поперечного размера области в один шаг решетки оказывается недостаточно для получения удовлетворительного решения. Сколько-нибудь близкие к реальным результаты можно получить, если использовать расчетные области, покрывающие, как минимум, два шага решетки. Наибольшие отличия между решениями для областей с различным поперечным размером заключаются в длине рециркуляционной зоны за цилиндром. Значение же коэффициента лобового сопротивления оказывается менее чувствительным к изменению поперечного размера области.

6) Для течения жидкости через плоскую компрессорную решетку с развитым отрывом установлено, что результаты двумерных расчетов по методу URANS для областей с одним, двумя и тремя межлопаточными каналами сильно различаются; при этом ведущая частота колебаний потока уменьшается пропорционально поперечному размеру области. При дальнейшем увеличении числа включаемых в расчет каналов результаты изменяются не столь сильно, по крайней мере, в отношении действующих на лопатку осредненных сил и ведущей частоты колебаний потока.

В случае же трехмерных расчетов по методу моделирования отсоединенных вихрей было получено, что сильные изменения в решении происходят только при переходе от области с одним каналом к области с двумя каналами; включение в расчет трех и более каналов оказывается избыточным.

7) Проведено сопоставление возможностей методов RANS и DES по предсказанию характеристик течения в рабочих колесах осевых компрессоров с проявлением сильных эффектов перетекания газа через концевые зазоры. Для близкого к проектному режиму работы ротора с 16-ю лопатками получено, что как метод RANS, так и DES, дают хорошее согласование с экспериментальными данными для осредненного течения, а также для коэффициентов повышения полного давления и мощности па валу. Для предотрывного режима полученное по методу RANS решение характеризуется наличием весьма обширной зоны обратного осевого течения в выходном сечении за ротором; при этом предсказываются значения коэффициентов повышения полного давления и мощности существенно ниже экспериментальных. Метод DES дает существенно отличную от метода RANS картину осредненного течения на больших радиусах и в окрестности концевого зазора. В решении DES зона обратного течения в выходном сечении отсутствует, а эффект общего "запирания" потока гораздо слабее, чем в стационарном решении метода RANS. Зависимости интегральных характеристик работы ротора от коэффициента расхода, рассчитанные по методу DES, хорошо согласуются с данными измерений.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Якубов, Сергей Ансарович, 2005 год

1. Андерсон В.К., Томас Дж.Л., Уайтфшд Д.Л. Ускоренный многосеточный метод с использованием расщепления потоков для уравнений Эйлера // Ж. Аэрокосмическая техника, 1989. № 6. - Стр. 15-23.

2. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор // ЖВМ и МФ, 1966. — Т.6, №5. — С. 861884.

3. Брандт А. Расчеты многосеточным адаптивным методом в гидродинамике // Ж. Ракетная техника и космонавтика, 1980. № 10. - С. 18-29.

4. Ваи-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа / М.: Мир, 1986 184 с.

5. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости / Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, 1966.-С. 186-192.

6. Вольп Г. Многосеточная приближенно факторизованная схема для расчета обтекания двухэлементных профилей // Ж. Аэрокосмическая техника, 1988. № 5. -С. 3-12.

7. Головачев Ю.П., Колешко С.Б. Численные методы решения уравнений динамики жидкости и газа / Уч. пособие. Л.: изд. НГ1РО ГИПХ, 1988. 126 с.

8. Гхиа У., Рамамурти Р., Гхиа К.Н. Решение задачи Неймана для давления на ортогональной сетке с помощью многосеточного метода // Ж. Аэрокосмическая техника, 1989.-№ 7. С. 3-14.

9. Девнин С.И. Аэродинамический расчет плохообтекаемых судовых конструкций / Л: Судостроение, 1967. 223 с.

10. ХЪ.Кофи Д. А. Многосеточный неявный метод для уравнений Эйлера с диагонализцией блочных матричных элементов // Ж. Аэрокоемическая техника, 1989.-№ 6.-Стр. 3-15.

11. Лаборатория параллельных информационных технологий НИВЦ МГУ, http://parallel.ru.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / М.: Наука, 1973. 848 с.

13. Хб.Мэвриплис Д. Дж. Решение двумерных уравнений Эйлера многосеточнымметодом на неупорядоченных триангулярных сетках // Ж. Аэрокосмическая техника, 1989.-№6.-Стр. 31-41.

14. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / М.: Мир, 1980, 616 с.

15. Смирнов Е.М., Зайцев Д.К. Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии // НТВ СПбГПУ, 2004. №2(36). - С.70-81.

16. Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур М.Л., Спаларт Ф.Р. Метод моделирования отсоединенных вихрей для расчета отрывных турбулентных течений: предпосылки, основная идея и примеры применения // НТВ СПбГПУ, 2004. -№2(36). С.22-33.

17. Травин А.К. Численное моделирование турбулентного обтекания цилиндра при докритических числах Рейнольдса // Вестник молодых ученых, 1997. №1. - С. 62-71.

18. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ, 1961. Т. 1, №5. - С. 922-927.

19. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса // ЖВМ и МФ, 1964. Т.4, №3. - С. 559-564.

20. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости / М.: Мир, 1991. — Т. 1. -502 с.

21. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости / М.: Мир, 1991. Т. 2. -552 с.

22. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / М.: Наука, 1974 712 с.

23. Ahuja V., Deshpande M. Practical applications of parallel processing in computational fluid dynamics //AIAA Journal, 1997. P. 1036-1048.

24. Bcilcichandar S., Parker S. J. Onset of vortex shedding in an inline and staggered array of rectangular cylinders // J. Physics of Fluids, 2002. Vol.14, N. 10. - P. 3714-3732.

25. Bailey S.C.C., Kopp G.A., Martinuzzi R.J. The irregular vortex shedding regime for a square cylinder wake near a wall // Turbulence and Shear Flow Phenomena. 2nd Int. Symposium, 2001. Vol. 3. - P. 101- 106.

26. Brandt A. Guide to multigrid development / Multigrid Methods (Hackbusch, W. and Trottenberg, U. (eds.)). Springer, 1982. P. 220-312.

27. Braza M. The 3D transition to turbulence in wake flows by means of direct numerical simulation // Int. J. Turbulence and Combustion, 1999. Vol. 63. - P. 315-341.

28. Cantwell B„ Coles D. An experimental study of entrainment and transport in the turbulent near wake of a circular cylinder // J. Fluid Mech., 1983. Vol. 136. - P.321-374.

29. Chen K.H. A diagonally-dominant coupled strongly implicit procedure for 3D viscous flows / In: Proc. 1st Asian CFD Conference. Hong Kong, 1995. P. 325-333.

30. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems / J. Comput. Phys, 1967.-Vol. 2.-P. 12-26.

31. Cummings R.M., Morton S.A., Forsythe J.R. Detached eddy simulation of slat and flap aerodynamics for a high-lift wing // AIAA Paper 2004-1233, 2004. 14 P.

32. Dick E., Steelant J. Multigrid solution of steady compressible Navier-Stokes equations coupled to the k-e turbulence equations // AIAA paper 95-1669-CP, 1995.

33. Durao D.F.G., Heitor M.V., Pereira J.C.F. Measurements of turbulent and periodic flows around a square cross-section cylinder // J. Exp. Fluids, 1988. Vol. 6. - P. 298304.

34. Edwards J.R. An implicit multigrid algorithm for computing hypersonic chemically reacting viscous flows // Journal of computational physics, 1996. Vol. 123. - P. 84-95.

35. AX.Franke R., Rodi W. Calculation of vortex shedding past a square cylinder with various turbulence models // 8-th Turbulent Shear Flows Symposium. Munich, 1991.

36. Hansen R.P., Forsythe J.R. Large and detached eddy simulation of a circular cylinder using unstructured grids // AiAA Paper 2003-0075, 2003.

37. АЪЛпоие M, Kuroumaru M„ Fukuhara M. Behavior of tip leakage flow behind an axial compressor rotor // ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 1986. -Vol. 108.-P. 7-14.

38. Jameson A. Solution of the Euler equations by a multigrid method // J. Applied Mathematics and Computation, 1983. Vol.13. - P. 327-356.

39. Kapadia, S., Roy S., Heidmann J. Detached eddy simulation on turbine blade cooling // AIAA Paper 2003-3632. 2003. 11 P.

40. AR.Khalid S.A., Khalsa A.S., Waitz LA., Tan C.S., Greitzer E.M., Cumpsty N.A., Adamczyk J.J., Marble F.E. Endwall blockage in axial compressors // ASME Journal of Turbomachinety. 1999.-Vol. 121.-P. 499-509.

41. Kordulla W., Vinokur, M. Efficient computation of volume in flow predictions // AIAA Journal, 1983. Vol. 21. - P. 917-918.

42. Kroll N., Radespiel R., Rossow C. Accurate and efficient flow solvers for 3D applications on structured meshes // von Karman institute for Fluid Dynamics, lecture series 1994-05, 1994.

43. Kwak D., Chang J.L.S., Shanks S.P., Chakravarthy S.R. A three-dimensional incompressible Navier-Stokes flow solver using primitive variables // AIAA Journal, 1986. Vol. 24. - P.390-396.

44. Lakshmirayana В., Zaccaria hi., Marathe B. The structure of tip clearance flow in an axial How compressor// ASME J. Turbomachinety, 1995. Vol. 117. - P. 336-347.

45. Laurence D. Large eddy simulation of industrial flows / Closure strategies for turbulent and transitional flows (eds. Launder B. and Sandham N.). Cambridge Univ. Press, 2000. -P. 392-406.

46. Leonard A. Energy cascade in large eddy simulations of turbulent fluid flows // Adv. In Geophys, 1974. Vol. 18A. - P. 237.

47. Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng, 1979. Vol. 19. - P. 5998.

48. Lien F.S., Leschziner M.A. Multigrid acceleration for recirculating laminar and turbulent flows computed with a non-orthogonal, collocated finite-volume scheme // UMIST report TFD/93/11, 1993.

49. Lyn, D.A., Rodi, W. The flapping shear layer formed by flow separation from the forward corner of a square cylinder // J. Fluid Mech., 1994. N. 267. - P. 353-376.

50. Magidov D., Shur M., Strelets M., Travin A. / Final report under research agreement with GE Global Research Center, 2003.6\.Martinelli L., Jameson A. Validation of a multigrid method for the Reynolds averaged equations. AIAA paper 88-0414, 1988.

51. Menter F.R. Zonal two-equation k-omega turbulence model for aerodynamic flows // AIAA Paper 1993-2906, 1993.

52. Menter F.R., Kuntz A/., Langtry R. Ten years of industrial experience with the SST turbulence model / Turbulence, Heat and Mass Transfer 4 (Hanjalic K., Nagano Y., Tummers M. (eds)), Beggel House, Inc., 2003. 8 P.

53. MPI Standard v. 1.1, June 1995, by Message Passing Interface Forum.

54. Nakamura //., Igarashi T. Unsteady heat transfer from a circular cylinder for Reynolds numbers from 3000 to 15000 / Turbulent Heat and Mass Transfer 4 (Hanjalic K., Nagano Y. and Timmers M. (eds.)), Beggel House, Inc., 2003. 8 P.

55. Oosterlee C.W., Wesseling P. On the robustness of a multiple semi-coarsened grid method // J. ZAMM Z. Angew. Math. Mech, 1995. №4. - P. 251-257.

56. Radespiel R., Rossow C., Swanson R. C. An efficient cell-vertex multigrid scheme for the three-dimensional Navier-Stokes equations. AIAA paper 89-1953, 1989.

57. Reddy T.S.R., Srivastava R.r Mehmed O. Flutter and forced response analyses of cascades using a two-dimensional linearized Euler solver // NASA/TM-1999-209633, 1999.

58. Motlelling and Measurements (eds. Rodi, W. and Laurence, D.). Elsevier, 1999. P. 669-678.

59. Sivaloganathan S., Shaw G.J. A multigrid method for recirculating flows // J. Numerical methods in fluids, 1988. Vol. 8. - P. 417-440.

60. Sirakov T.B., Tan C. S. Effect of upstream unsteady flow conditions on rotor tip clearance //ASME-Paper GT-2002-30358, 2002. P. 1-11.

61. Smagorinsky J. Numerical study of small-scale intermittency in three-dimensional turbulence // Mon. Weather Rev. 1963. Vol. 91. - P. 99-164.

62. Smirnov E.M. Numerical simulation of turbulent flow and energy loss in passages with strong curvature and rotation using a three-dimensional Navier-Stokes solver / Department of Fluid Mechanics. Vrije Universitet, Brussel, 1993. 122 P.

63. Smirnov E.M. Solving the Full Navier-Stokes Equations for Very-Long-Duct Flows Using the Artificial Compressibility Method / ECCOMAS-2000, Barcelona, Spain (CD-ROM publication), 2000. 17 P.

64. Spalart, P.R., Jou, W.-H., Strelets, M., Allmaras, S.R. Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach / Advances in DNS/LES, C. Liu and Z. Liu eds., Greyden Press, Columbus, OH, 1997. P. 137-147.

65. Spalart, P.R. Strategies for turbulence modelling and simulations // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2000. Vol. 21. - P. 252-263.

66. Strelets M. Detached eddy simulation of massively separated flows // AIAA Paper 20010879, 2001.- 18 P.

67. Tamura T., Ono Y. LES analysis on aeroelastic instability of prisms in turbulent flow / J.

68. Wind engineering and industrial aerodynamics, 2003. Vol. 91. - P. 1827-1846.- 143, 96. Travin, A., Shur, A/., Strelets, M, Spalart, P.R. Detached-eddy simulations past a circular cylinder// Int. J. Turbulence and Combustion, 1999. Vol. 63. - P. 293-313.

69. Vatsa V.N., Singer B.A. Evaluation of a second-order accurate Navier-Stokes code for detached eddy simulation past a circular cylinder // AIAA Paper 2003-4085, 2003.21st AIAA Applied Aerodynamics Conference. Florida, 2003. 10 P.

70. Verdon J. V., Montgomery M.D., Kousen, K.A. Development of a linearized unsteady Euler analysis for turbomachinery blade rows // NASA CR 4677, 1995.

71. Vinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws. J. Comput. Phys., 1989. Vol. 81. - P. 1-52.

72. Yokuda S., Ramaprian B.R. The dynamics of flow around a cylinder at subcritical Reynolds numbers // Phys. Fluids A., 1990. Vol. 2 (5). - P.784-791.

73. Yoon S„ Chao Y.K., Jameson A. An LU-SSOR scheme for the Euler and Navier-Stokes equations // AIAA paper 87-0599, 1987.

74. Zaitsev D.K. Numerical simulation of turbulent particle laden flows using lagrangian modelling of dispersed phase behaviour / Department of Fluid Mechanics, Vrije Universitet, Brussel, 1996. 114 P.

75. Zhu Z.W., Hirsch Ch. Validation of turbulence models on the transonic flow around the F4 wing/body configuration with multigrid acceleration // Final report for ECARP project, 1995.

76. Zhu Z. W. Multigrid operation and analysis for complex aerodynamics / Ph.D. Thesis, (Dept. of Fluid Mechanics Vrije Universiteit Brussel), 1996. 171 P.