Метод математического моделирования процесса обработки результатов измерений при ограниченном объеме априорных данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Саакян, Георгий Рубенович

• Саакян, Георгий Рубенович
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Саакян, Георгий Рубенович

Введение.

Глава I. Анализ математических методов выделения тренда.

§ 1.1. Постановка задачи. Основные трудности выделения тренда.

§ 1.2. Критерии качества фильтрации. Сглаживание как способ фильтрации.

§ 1.3. Методы «размножения» выборок.

§ 1.4. Анализ локальных методов фильтрации.

§ 1.5. Анализ глобальных методов фильтрации.

§ 1.6. Анализ спектральных методов фильтрации.

Выводы.

Глава II. Математическая модель разработанного метода выделения тренда.

§ 2.1. Обоснование выбора моделей сигналов и аддитивной помехи.

§ 2.2. Моделирование случайной составляющей (шума) с заданным законом распределения

§ 2.3. Описание алгоритма предлагаемого метода выделения функции полезного сигнала (тренда).

§ 2.4. Анализ сезонности.

§ 2.5. Сравнительный анализ метода РАЗОЦ и квадратичной сплайнаппроксимации

Выводы.

Глава III. Анализ эффективности предлагаемого метода выделения тренда.

§ 3.1. Определение параметров метода РАЗОЦ.

§ 3.2. Оценка эффективности метода РАЗОЦ при наличии аддитивного шума.

§ 3.3. Оценка эффективности метода РАЗОЦ в сравнении с методом простого скользящего среднего при наличии и отсутствии шума.

§ 3.4. Результаты обработки натурных данных.

Выводы.

Глава IV. Способы реализации разработанного алгоритма метода РАЗОЦ.

§ 4.1. Средства обработки результатов измерений в пакетах прикладных программ. Сравнение с методом РАЗОЦ.

§ 4.2. Оценка производительности вычислительного устройства, реализующего метод РАЗОЦ.

§ 4.3. Предлагаемые варианты вычислительного устройства, реализующего алгоритм метода РАЗОЦ.

§ 4.4. Описание программы, реализующей метод РАЗОЦ.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод математического моделирования процесса обработки результатов измерений при ограниченном объеме априорных данных»

Актуальность темы. Задача обработки сигналов (данных, результатов измерений) является типичной для практики технических и естественнонаучных исследований. Поскольку основные физические процессы, для исследования которых используются методы обработки сигналов, являются случайными, то объектами изучения часто являются случайные процессы или их реализации.

Интерес к методам обработки сигналов существенно возрос в последние годы. Это объясняется, прежде всего, интенсивным развитием вычислительной техники. ЭВМ в настоящее время обладают такими возможностями, что они позволяют реализовать очень сложные алгоритмы обработки. Хотя многие из методов, лежащих в основе этих алгоритмов, были известны давно, их практическая реализация стала возможной лишь с появлением быстродействующих ЭВМ. Интерес к методам обработки вырос и в связи с бурным развитием производства интегральных схем и микропроцессоров, на основе которых можно создавать специализированные устройства для обработки данных, обладающие большим быстродействием и высокой точностью обработки. Во многих случаях микропроцессоры являются элементом измерительной установки и обеспечивают возможность обработки в реальном времени, осуществляя, таким образом, совмещение процесса измерения и обработки. Богатые вычислительные возможности оказали заметное влияние на развитие самих методов обработки, вызвав к жизни целый ряд задач, решение которых ранее было невозможно. К ним относится, например, изучение нестационарных случайных процессов.

Вопросы анализа случайных процессов (и, в частности, временных рядов) относятся к числу наиболее важных (по крайней мере, с точки зрения приложений). Число публикаций и предлагаемых методов по этой тематике огромно. Укажем лишь некоторых авторов, чьи работы стали уже классическими: Т. Андерсон [2], Дж. Бендат [7], Дж. Бендат и А. Пирсол [8], [9], [10], Дж. Бокс и Г. Дженкинс [11], А.В. Балакришнан [4], Н. Винер [113], В.Б. Давенпорт и В.Л. Рут [34], Р. Калман [110], [111], М. Кендалл и А. Стьюарт [44], Э. Хен-нан [99], [100], А.Н. Колмогоров [50], Б.Р. Левин [56], B.C. Пугачев [78], [79], В.И. Тихонов [94], Э.И. Цветков [101].

Основной особенностью данных, определяющей требования к алгоритмам их обработки, является чрезвычайное разнообразие этих данных как по источникам информации (результаты локальных и дистанционных измерений, официальная статистика и т.п.), так и по целям, с которыми была получена информация (фундаментальные научные исследования, практическая деятельность и т.п.). Эти данные имеют разную степень достоверности и характеризуют изучаемый процесс с различных сторон. Наиболее значимая часть сведений получается с помощью измерений. Характерной особенностью методов измерения является многоэтапность, причем каждый этап измерений вносит свои систематические составляющие погрешности. Выявление и оценка этих составляющих погрешностей становится основной задачей обработки данных. В результате обработка данных превращается в сложную, комплексную задачу, требующую для своего решения привлечения разнообразных методов и средств. Неудивительно, что первичной, необработанной информации накоплено очень много, и объемы такой информации продолжают быстро увеличиваться. На данном этапе технические средства для получения информации намного обогнали возможности ее осмысления исследователями. Поэтому создание новых подходов к проблеме обработки информации и, прежде всего, компьютерной обработки данных рассматривается во всем мире как чрезвычайно важная задача. Компьютерная обработка первичной информации основывается, с одной стороны, на идеях и методах конкретной области знания, для которой создается система обработки данных. С другой стороны, в компьютерных системах обработки используются разнообразные методы прикладной математики - математическая статистика, теория случайных процессов, спектральный анализ и т.д.

Достаточно общей моделью в задачах обработки сигналов служит модель вида «сигнал + шум». Отсутствие априорной информации о статистических характеристиках аддитивного шума и функции измеряемого процесса существенно усложняет процесс обработки, и в ряде случаев делает невозможным обработку в автоматическом режиме. Особенно данная проблема проявляется при обработке результатов измерений, представленных единственной реализацией измеряемого процесса. В связи с этим широко используется так называемая визуальная обработка результатов измерений, которая с увеличением объема поступающей информации существенно уменьшает точность выделения функции полезного сигнала и задерживает время представления информации. Широкое внедрение вычислительных систем и увеличение потока измерительной информации требует разработки и внедрения автоматизированных систем, позволяющих производить обработку сигналов (информации) в автоматическом режиме. Существование большого количества сложных информационно-измерительных систем, реализующих методы обработки сигналов, ставшие уже классическими, не делают эту задачу менее актуальной. Это связано с тем, что реальные задачи, в которых приходится заниматься обработкой информации, как правило, решаются в условиях априорной недостаточности данных о характеристиках функции полезного сигнала и случайного шума и при наличии единственной реализации исследуемого процесса. Подобные задачи могут возникать: 1) в работе приемо-передающих устройств дальней или космической связи; 2) в радиотехнике при оценке помехоустойчивости схем (алгоритмов) обработки сигналов в моделируемых системах; 3) в экономических расчетах при выделении основной тенденции развития каких-либо показателей и удалении результатов воздействия случайных факторов; 4) в метеорологии при измерении различных характеристик состояния атмосферы; 5) в сейсмологии; 6) в медико-биологических исследованиях; 7) при разработке средств контроля и управления различными объектами и т.д.

На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что задача обработки сигналов (данных, результатов измерений) по единственной реализации является актуальной, и ее решение имеет несомненную теоретическую и практическую ценность.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка и исследование методов обработки результатов измерений при ограниченном объеме априорных данных о статистических характеристиках аддитивного шума и функции выделяемого сигнала при наличии единственной реализации измеряемого процесса, а также исследование возможности их использования в автоматизированных системах обработки телеметрической информации.

Объектом исследования являются технические и прикладные проблемы, связанные с применением математических методов обработки результатов измерений.

Предмет исследования. Разработка новых математических методов и алгоритмов обработки результатов измерений в условиях априорной недостаточности информации и анализ их эффективности.

Методика исследования. Анализируются известные методы обработки результатов измерений (фильтрации сигналов), показывается ограниченность возможностей их применения для обработки единственной реализации нестационарного случайного процесса. Описываются два новых метода фильтрации, решающие задачу выделения функции полезного сигнала при наличии единственной реализации нестационарного случайного процесса в условиях недостаточности априорных данных. Подробно анализируется один из новых методов фильтрации: средствами имитационного моделирования определяются оптимальные параметры метода (в смысле выбранного критерия качества фильтрации), производится сравнение разработанного метода с некоторыми из известных методов фильтрации. Предлагаются алгоритмическая, программная и аппаратная реализация нового метода.

При решении поставленных задач были использованы методы статистической радиотехники, математической статистики, теории случайных процессов, методы аппроксимации и имитационного моделирования.

Новые положения и результаты, выносимые на защиту диссертационной работы:

- разработанные методы решения задачи фильтрации сигналов в условиях априорной недостаточности информации о функции полезного сигнала и статистических характеристиках аддитивного шума;

- обоснование выбора оптимальных параметров метода средствами имитационного моделирования;

- оценивание эффективности разработанного метода в сравнении с методом скользящего среднего;

- варианты программной и аппаратной реализаций алгоритма предлагаемого метода.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

-3-й Международной научно-технической конференции «Новые технологии управления движением технических объектов» в г. Новочеркасске (ноябрь 2000 г.);

- 3-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» в г. Москве (ноябрь-декабрь 2000 г.);

- Международной научно-практической конференции в г. Новочеркасске (апрель 2001 г.);

- ежегодных научно-технических конференциях ЮРГУЭС в г. Шахты (20002001 гг.);

- научных семинарах кафедр «Математика» и «Радиотехника» ЮРГУЭС (2000-2001 гг.);

- научном семинаре кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ (НПИ) (ноябрь 2001 г.).

Научные результаты работы внедрены в учебном процессе ЮРГУЭС и в деятельности предприятия ООО ПКФ «Ирма».

Публикации. По теме диссертации опубликованы 8 работ, которые указаны в конце библиографического списка. 9

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доценту кафедры «Радиотехника» ЮРГУЭС Марчуку Владимиру Ивановичу за постоянное внимание и помощь в работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Саакян, Георгий Рубенович

Выводы

1. Анализ результатов имитационного моделирования показывает, что наименьшее значение среднеквадратического отклонения (СКО) достигается при следующих значениях параметров метода РАЗОЦ: минимальная длина покрытий 5-9, число проходов 25 - 30, число покрытий равно 10% от длины реализации.

99

2. Показано, что независимо от закона распределения аддитивной случайной составляющей (шума) и вида функции полезного сигнала оценка СКО аппроксимирующей функции линейно растет с ростом дисперсии шума.

3. Исследование средствами имитационного моделирования показывает, что при использовании скользящего среднего оценка СКО определяется шириной скользящего «окна», оптимальное значение которой (для минимизации СКО) зависит как от функции полезного сигнала, так и от статистических характеристик шумовой составляющей.

4. Исследование показывает, что эффективность разработанного метода по сравнению с методом скользящего среднего (при оптимальной ширине «окна») в 1,42 раза выше при равномерном шуме (независимо от величины его дисперсии).

5. При нормальном шуме (независимо от дисперсии) эффективность разработанного метода по сравнению с методом скользящего среднего выше приблизительно в 1,3 раза.

Глава IV. Способы реализации разработанного алгоритма метода РАЗОЦ

§ 4.1. Средства обработки результатов измерений в пакетах прикладных программ. Сравнение с методом РАЗОЦ

Одним из наиболее мощных пакетов прикладных программ по своим возможностям анализа случайных данных является система STATISTICA (фирма-производитель StatSoft Inc, USA) [12-14], [106]. В системе STATISTICA реализованы такие методы анализа временных рядов, как скользящее среднее, экспоненциальное сглаживание, процессы авторегрессии и смешанные модели АРСС, АРПСС (см. § 1.4). Система STATISTICA имеет широкие возможности для визуализации обрабатываемого временного ряда на всех этапах его анализа. Установить, является ряд стационарным или нет, можно, исходя из графических представлений [14, с. 117]. Нестационарность ряда часто видна «на глаз», например, если в ряде имеется ярко выраженный тренд. Особенно легко определить визуально наличие монотонного тренда: логарифмического, экспоненциального, линейного, параболического и др. При этом следует сделать, конечно, оговорку: наблюдается отрезок ряда, где тренд проявился, т.е. амплитуда колебаний ряда «не заслоняет» тренд. Далее имеет смысл посмотреть на амплитуды колебаний на разных участках ряда: возможно, амплитуда колебаний существенно различна для разных частей траекторий.

Если тренд не выражен ярко и нет других особенностей ряда, указывающих на его нестационарность, то следует рассмотреть автокорреляционную функцию, точнее, выборочную автокорреляционную функцию. Если автокорреляционная функция не имеет тенденции к затуханию, можно говорить о нестационарности ряда. Найти оценку автокорреляционной функции и получить с ее помощью ответ на вопрос о стационарности временного ряда также можно посредством системы STATISTICA.

Кроме того, STATISTICA позволяет идентифицировать модели

АРСС(Р,Ч) и АРПСС(P,d,q ), т.е. определить параметры p,d,q , где d порядок разности, р - порядок авторегрессии, q - порядок скользящего среднего. После того, как процесс идентификации привел к пробному варианту модели, эта модель подгоняется к наблюденным данным построением более эффективных оценок параметров Основной метод для этого - метод наименьших квадратов.

Описанная обработка временного ряда, в отличие от метода РАЗОЦ, не производится системой STATISTICA в автоматическом режиме. Каждый этап этой обработки осуществляется отдельно. Ни о каком приближении к режиму реального времени нет речи. Кроме того, неизвестна достоверность получаемых оценок. Другие недостатки методов, реализованных в системе STATISTICA, отмечались в § 1.4.

Несомненным достоинством системы STATISTICA является возможность осуществить сезонную декомпозицию, т.е. выделить сезонную компоненту, если такая имеется во временном ряде [14, с. 88-100].

Еще одна возможность, которую представляет система STATISTICA -анализ остатков [12, с. 574]. Этот анализ можно провести с помощью статистики Дарбина-Уотсона. Эта статистика позволяет исследовать зависимость между остатками. Формально остатки представляют собой разность: наблюдаемые значения зависимой переменной минус оцененные с помощью модели значения зависимой переменной.

Идея проверки зависимости остатков проста: если остатки существенно коррелированны (зависимы), то модель неадекватна (нарушено важное предположение о независимости ошибок в регрессионной модели). Статистика Дарбина-Уотсона является стандартом для проверки некоторых видов зависимости остатков и используется для проверки гипотезы о том, что остатки построенной регрессионной модели некоррелированы (корреляции равны нулю), против альтернативы: остатки связаны авторегрессионной зависимостью вида: t = pstx + S0 где „ - независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами (0,сг), i = l,.,n. Формально статистика Дарбина-Уотсона вычисляется следующим образом: i=2 / ;=1 или, через коэффициент корреляции: d — 2(1 — р). Критические точки статистики Дарбина-Уотсона табулированы. Правила проверки гипотезы о независимости остатков с помощью статистики Дарбина-Уотсона приведены, например, в [12, с. 575-577].

Для сравнения отметим, что метод РАЗОЦ также позволяет вычислять остатки, а проверку адекватности модели с помощью статистики Дарбина-Уотсона, хотя она и не является исчерпывающей, можно включить в алгоритм метода РАЗОЦ.

В книге [12], автор которой - научный директор компании StatSoft Russia, для профессиональных пользователей системы STATISTIC А отмечается: «Мы не следим тщательно за строгим обоснованием методов, а просто говорим: имеются такие-то методы и там-то их применение принесло успех. Если вы желаете, попробуйте применить эти методы для анализа собственных данных и, быть может, получите обнадеживающий результат. Для широкого круга пользователей полезно знать, где и какие методы применялись на практике и когда привели к успеху, и мы хотим максимально развить интуитивное представление пользователя об анализе данных, не предполагая наличия у него специальной подготовки. Таким образом, мы хотим познакомить читателя с культурой анализа данных» [12, с. 17-18]. Заметим, что уровень читателя книги [12], которая выбрана нами в качестве базовой для обзора возможностей системы STATISTICA, анонсируется как «опытный эксперт».

Система компьютерной математики MATLAB 6.x содержит пакеты расширений, предназначенные для обработки сигналов [38]. Но средства обработки сигналов системы MATLAB ориентированы на применение спектральных методов (анализ Фурье и вейвлет-анализ), недостатки которых применительно к задачам обработки нестационарных случайных процессов с априорной недостаточностью данных уже обсуждались в § 1.6.

Системы Maple и Mathcad имеют ограниченные возможности для анализа случайных данных [37]. Так, например, система Maple, кроме спектральных методов (анализ Фурье) содержит пакет stats для простых статистических расчетов, в частности, дает возможность находить аппроксимирующую зависимость любой функцией (по критерию минимума среднеквадратической ошибки) [37, с. 277]. При этом выбор вида функции предоставляется пользователю (что, конечно, не дает возможности производить обработку в автоматическом режиме и превращает нахождение аппроксимирующей зависимости в целый ряд экспериментов).

Автор работы [37] отмечает: «Мир математических систем сейчас насыщен статистическими системами, например, такими, как STATISTICA или StatGraphics. Они прекрасно приспособлены для решения задач статистической обработки обширных массивов данных. Тем не менее проведение статистических расчетов в системе Maple V возможно и в ряде случаев весьма целесообразно, например, когда они являются частью исследовательского проекта» [37, с. 275].

§ 4.2. Оценка производительности вычислительного устройства, реализующего метод РАЗОЦ

Введем для удобства следующие обозначения, используемые в этой главе: N - количество проходов (повторений); / - минимальная длина покрытия; т - число покрытий; п - номер разбиения; j - индекс номера прохода; i - индекс номера промежутка в одном проходе; k - индекс номера отсчета (момента времени) в исходной реализации; t - время; я/, Ъ( , cf - коэффициенты аппроксимирующего полинома для l -го покрытия при j -м проходе; yt -значение i -го отсчета исходной реализации (временного ряда), т.е. для момента времени tt; у\ - значение, рассчитанное с помощью аппроксимирующего полинома на j -м проходе.

На рисунке 4.1 приведена структурная схема устройства, реализующего метод РАЗОЦ. Это устройство содержит следующие элементы: блок 1 - информационный вход устройства, блоки 2.j ( j = 1, 2,., N ) - блоки хранения результатов измерений, блок 3 - блок разбиения исходной реализации, блоки 4.j ( j = 1, 2,., N) - блоки аппроксимации, блоки 5.j ( j — 1, 2,., N) - регистры хранения оценок коэффициентов аппроксимирующих полиномов для j-ro разбиения, блок 6 - арифметическое суммирующее устройство, блок 7 - регистр хранения оценки функции полезного сигнала (тренда), выход которого является информационным выходом устройства. Блок 3 содержит генератор случайных чисел 8, распределенных по равномерному закону. Выход генератора 8 подключен к входу блока 9 устранения связанных значений, выход которого подсоединен к входу блока ранжирования 10. Выход блока 10 подключен к входу регистра 11 хранения выборки случайных чисел, выход которого является информационным выходом блока разбиения. Итак, блок разбиения 3 формирует ранжированные последовательности случайных чисел, распределенных по равномерному закону, с устраненными «связками», которые поступают последовательно через коммутатор К на каждый из блоков 2.j. Синхронность работы устройства обеспечивается генератором тактовых импульсов 12.

Таким образом, описанное устройство производит параллельную обработку единственной исходной реализации результатов измерений в N каналах обработки с последующим усреднением в каждый момент времени полученных оценок функции полезного сигнала (тренда).

Реализация данного алгоритма в лабораторных условиях программным способом на базе персонального компьютера особых сложностей не представляет. В качестве входной реализации сигнала может быть использована ранее накопленная и соответствующим образом обработанная информация из долговременной памяти либо преобразованный с помощью встроенного в компьютер аналого-цифрового преобразователя (АЦП) реальный аналоговый сигнал.

Программа для ПК, реализующая данный алгоритм без особых затруднений, может быть написана на языке высокого уровня либо на ассемблере, что, конечно, предпочтительнее; результирующая выборка может быть также сохранена в долговременной памяти либо представлена в виде аналогового сигнала с помощью встроенного в компьютер ЦАП.

Рис. 4.1. Структурная схема устройства, реализующего метод РАЗОЦ

Для реального устройства обработки сигналов, реализующего данный алгоритм, в качестве основных требований к устройству выделим следующие: обработка каждой реализации исходного сигнала в реальном масштабе времени, т.е. в темпе поступления входной информации; реальная частота пропускания информационного канала с использованием разрабатываемого уст, 1 ройства может быть оценена как Л ~ q j, ; здесь TR - время обработки одной реализации, С - константа, определяемая периодом дискретизации; данная оценка не затрагивает вопросы выбора частоты дискретизации входного сигнала; минимальная стоимость аппаратной реализации устройства; минимальные весогабаритные показатели.

Оценим приблизительно требуемые характеристики аппаратной части устройства при использовании в расчетах целочисленной арифметики.

Пусть tk - целое положительное число из диапазона 0-г99 .

1. Требуемая разрядность внутренней шины устройства, исходя из промежуточных результатов при вычислении коэффициентов аппроксимирующего полинома по формулам (2.10), может составить (например, для чисел принимающих значения в диапазоне

1012-НО14 при h ~ 99, ук = 255) 42 - 44 двоичных разряда.

2. Число уровней разбиения входного аналогового сигнала принимаем равным 256, что соответствует 8-разрядной входной шине вычислительного устройства.

3. Размер оперативной памяти для хранения входной информации, промежуточных данных и результатов вычислений при последовательном выполнении алгоритма может быть определен как сумма количества входных переменных Квх =100 (если имитационная модель строится для исходной реализации сигнала, содержащей 100 отсчетов), максимально возможного количества покрытий на одном проходе Кразб = 25 5 количества промежуточных переменных при определении коэффициентов аппроксимирующих полиномов К»„ = 36 5 количества индексных переменных Кип = 20 5 количества выходных переменных Квых =100. Таким образом, минимально допустимый объем памяти составит Квх + Кразб + 4Кпп+ Кип + Квых = 350 байт.

Коэффициент 4 при слагаемом Кпп отмечает, что для размещения переменной потребуется слово двойной длины.

При необходимости буферизации входных и выходных данных необходимый объем ОЗУ возрастает до 550 байт.

С целью сокращения объема вычислений переменные ^^h , УЛс , можно размещать в ППЗУ (программируемое постоянное запоминающее устройство), если таковое имеется в составе вычислительного устройства, объемом 6x21 + 5x21 + 2x21 + 21 = 294 байт при использовании целочисленной арифметики либо 81x4 = 324 байт. При отсутствии ППЗУ массив констант (исходная реализация исследуемого процесса) может быть загружен в ОЗУ вычислительного устройства из программы при ее инициализации. Таким образом, Ктт для случая целочисленной арифметики составит 874 байт, а для арифметики с плавающей точкой - менее одного килобайта. Следовательно, минимальный объем ОЗУ данных устройства можно принять равным 1 Кбайт при условии, что tk < 21).

4. Определим приближенно количество операций вычислительного устройства при обработке одной реализации входного сигнала при N = 25.

Исходя из анализа блоков 3, 4, 5, 6 алгоритма метода РАЗОЦ, приведенного на рисунке 2.1, определим количество элементарных арифметических операций за один проход: операция сложения ( +) - 515; операция умножения х) - 464; операция деления ( /) - 3. Таким образом, сумма всех элементарных арифметических операций, совершаемых при реализации алгоритма за один проход равна 981. Следовательно, за 25 проходов количество таких операций составит 24525 (количеством арифметических операций при разбиении временного промежутка для организации очередного прохода пренебрегаем и учтем его позже введением поправочного коэффициента). С учетом блока 10 алгоритма (рис. 2.1) число арифметических операций увеличивается на 2750, следовательно, полное количество арифметических операций при 25-ти проходах метода РАЗОЦ равно 27275. При решении алгебраических задач число операций пересылок данных, условных и безусловных переходов, как отмечается в [23], составляет до 70% от полного объема элементарных операций, выполняемых в ходе реализации алгоритма. В связи с этим полное число операций при 25-ти проходах приблизительно равно 90920.

Для того, чтобы учесть операции по приему данных из внешнего устройства, генерацию кодов разбиений и неэффективность сгенерированного исполняемого кода программ для полного числа операций вводим поправочный коэффициент 1,1. В результате окончательно получаем, что для обработки одной реализации временного ряда (входного сигнала) необходимо приблизительно 100000 инструкций центрального процессора при условии, что исходный модуль программы написан на языке ассемблера. Принимая полученное значение полного числа операций за средневзвешенное по количеству инструкций при решении математических задач для определенного типа процессора, можно определить время обработки одной реализации как 100000 ^ 100000 / «- и «п 2 п ц п

Здесь П, и производительность вычислительного устройства, т.е. скорость выполнения средневзвешенной смеси арифметических операций (декларируется фирмой-изготовителем) для процессора соответственно с целочисленной арифметикой и плавающей точкой. Необходимость обращения к таким статистическим смесям операций связана с проблемой интегральной оценки скорости выполнения компьютером задач различного типа. Основная идея этих смесей заключается в следующем [53]: если для группы типовых задач, обрабатываемых компьютером, определить частоту выполнения различных операций (для этого используется не только анализ листингов, но и специальная аппаратура сбора статистики), то можно составить программу, имитирующую среднестатистическую нагрузку; отношение числа операций к длительности выполнения этой программы дает число, которое характеризует среднюю производительность компьютера.

Для оценки производительности вычислительного устройства используются (соответственно при целочисленных операциях и операциях с плавающей точкой) числа MIPS (Million Instructions Per Second) и MFLOPS (Million Floating-point Operations Per Second) [23], [53]. Для того, чтобы определить пиковую производительность компьютера, надо умножить тактовую частоту на количество параллельно выполняемых операций. Например, арифметическое устройство Pentium каждый такт может формировать один результат полноразрядной (64 бит) операции с плавающей точкой или два результата 32-разрядных целочисленных операций [53]. Следовательно, для Pentium/90 пиковая производительность равна 90 MFLOPS при выполнении вычислений с плавающей точкой и 180 MIPS при целочисленной 32-разрядной обработке

Пв =90 MFLOPS, Пч =180 MIPS) и соответственно Тх « 5,6-10-4 сек и

Г2 «1,11-1 (Г сек. Заметим, что под пиковой производительностью понимается [53] теоретический максимум быстродействия компьютера при самых идеальных условиях. Так, если процессор содержит одно арифметическое устройство, то предельное быстродействие достигается при обработке бесконечной последовательности не связанных между собой команд сложения/вычитания (т.е. когда результат любой операции не зависит от действий, выполненных предыдущими командами). Разумеется, подобная ситуация чисто гипотетическая, и на практике ни одна система не в состоянии работать с пиковой производительностью, хотя и может приближаться к этой величине. Пиковая производительность является единственной по-настоящему объективной оценкой (для ее определения необходимо знать всего несколько строго детерминированных параметров процессора) и совершенно не зависит от программной нагрузки. Кроме того, этот показатель только на первый взгляд кажется чисто теоретическим, лишенным какого-либо практического смысла. В действительности же мы пользуемся подобными характеристиками почти всегда. Речь идет о тактовой частоте процессора, которая для подавляющего большинства современных компьютеров определяет темп формирования результатов на выходе арифметического конвейера.

Нетрудно установить соответствие между единицами измерения тактовой частоты и производительности процессора. Очевидно, что 1 МГц равен 1 MFLOPS или 1 MIPS пиковой производительности конвейера, в зависимости от того, какой тип операций рассматривается - с плавающей или фиксированной точкой. Конечно, такой упрощенный переход от частоты к производительности не дает полной оценки предельных возможностей процессора по скорости обработки данных, поскольку необходимо учесть еще число конвейеров, способных функционировать параллельно (в частности, для процессоров с суперскалярной архитектурой). Не следует забывать также о разрядности обрабатываемых чисел, чтобы избежать некорректного сравнения производительности для 32- и 64-разрядных данных.

§ 4.3. Предлагаемые варианты вычислительного устройства, реализующего алгоритм метода РАЗОЦ В связи с вышеизложенным в качестве базового варианта устройства, реализующего рассматриваемый алгоритм, можно принять системную плату компьютера с процессором Pentium II в минимальной конфигурации. На плате устанавливаются модули АЦП и ЦАП. Вместо программы начальной загрузки BIOS в ППЗУ прошивается программа инициализации работы процессора в реальном режиме и код программы, реализующей описываемый алгоритм. Емкости системной ППЗУ для этих целей вполне достаточно. Никаких аппаратных доработок предлагаемая реализация не требует. Затраты на разработку при этом минимальны.

Предлагаемое устройство может быть выбрано в качестве базового, т.к. известны все его характеристики: время обработки одной реализации (ориентировочно 0,56 мс и 1,1 мс); весогабаритные показатели; стоимость аппаратных средств.

Далее рассмотрим несколько альтернативных вариантов реализации вычислителя метода РАЗОЦ с использованием сигнальных контроллеров на основе RISC архитектуры и микропрограммного устройства.

Наиболее очевидным является техническое решение, представленное на рисунке 4.2. Здесь вычислительный процесс распараллелен на N ветвей (проходов), и каждая ветвь выполняется с помощью своего вычислителя. Обработка входного сигнала разбита на три этапа: 1) прием, оцифровка и буферизация входного сигнала с помощью блока НВх (накопитель входной); 2) прием с шины последовательности из 100 восьмизначных кодов реализации входного сигнала и обработка ее в соответствии с блоками 5, 9, 10 алгоритма (представленного блок-схемой на рис. 2.1), передача на шину последовательности из 100 кодов аппроксимирующей функции каждыми из 25-ти вычислительных устройств (ВУ); 3) преобразование (с помощью ЦАП) полученной аппроксимирующей функции в соответствии с блоком 14 алгоритма в аналоговую форму либо запись полученной функции в виде набора отсчетов в запоминающее устройство (ЗУ).

Все три этапа обработки осуществляются одновременно, и минимальное время обработки одной реализации определяется наиболее «медленным» устройством. При этом предполагается, что промежуток времени между двумя соседними отсчетами при оцифровке (дискретизации) входного сигнала не может быть меньше, чем Т/100, где Т — длина временного промежутка всей реализации входного сигнала.

Рис. 4.2. Вариант вычислительного устройства, реализующего метод РАЗОЦ, с параллельной обработкой результатов измерений Очевидно, наиболее «медленным» устройством будет являться блок вычислительных устройств (ВУ) из-за необходимости производить приблизительно 2600 циклов обмена по шине при условии одновременного приема входной информации всеми вычислительными устройствами одновременно. Решение вопросов синхронизации обмена по шине может быть возложено на одно (например, первое) из вычислительных устройств (ВУ). Вычислительные устройства (ВУ1 - ВУ25) могут быть реализованы на базе 16-тиразрядных микропроцессоров, например: ХА51 фирмы PHILIPS, С 166(167) фирмы INFINEON AG, MN10200 фирмы PANASONIC, OLMS66K фирмы OKI, MPS430 фирмы TEXAS INSTRUMENTS. Эти микропроцессоры получили название сигнальных контроллеров (DSP) и основные области их применения -устройства цифровой обработки сигналов и устройства управления в режиме реального времени.

Все указанные микропроцессоры имеют, как минимум, 16-тиразрядную шину данных, что позволяет производить умножение с получением 32-разрядного операнда и деление 32-разрядного операнда на 16-тиразрядный. Необходимый объем внутреннего ОЗУ (в зависимости от модификации микропроцессора) 1 -j-4 Кбайт, внутренняя FLASH для программного кода 2-г 124 Кбайт, средняя производительность от 2 до 6 млн. операций в секунду по арифметической смеси. Таким образом, время обработки исходной реализации при одном проходе составит, исходя из ранее проведенных расчетов, 1 ± 0,2 миллисекунды. При выбранном способе синхронизации обмена по шине время реакции на запрос прерывания каждого ВУ (в зависимости от выполняемой в данный момент времени команды) может составить максимально до 5 микросекунд. При этом время работы с шиной составит миллисекунд, и, следовательно, суммарное время выполнения с учетом второй фазы обработки входной реализации составит (при наиболее неблагоприятных условиях) 13 +1,2 = 14,2 миллисекунды.

На рисунке 4.3 представлена структура вычислителя, реализующая дополнительные возможности микропроцессоров, список которых был приведен выше, а именно, наличие в их составе встроенного АЦП. В этом случае оцифровка (дискретизация) входного аналогового сигнала осуществляется в каждом ВУ по сигналу ведущего (например, первого) ВУ. Сигнал внешнего прерывания (INT) запускает АЦП каждого ВУ, и после преобразования входного сигнала очередной отсчет записывается в буферную область ОЗУ. Одновременно по этому же сигналу прерывания в выходные порты данных каждого ВУ записывается очередная реализация аппроксимирующей функции с номером j (рис. 2.1). Каждый из портов подключен к одному из входов 25-тивходового двенадцатиразрядного сумматора, выполненного на двухвходовых сумматорах, соединенных по каскадной схеме. К выходу последнего сумматора подключен делитель на 25. Таким способом реализован блок 14 алгоритма (рис. 2.1).

Рис. 4.3. Вариант вычислительного устройства, реализующего метод РАЗОЦ, с параллельной обработкой результатов измерений, с встроенным АЦП в каждом В У

Технически сумматор и делитель могут быть выполнены на базе ПЛИС. К блоку БР расчета аппроксимирующей функции подключен блок временной задержки.

Введение дополнительного объема вычислений в каждое В У незначительно изменит полное время обработки сигнала при одном проходе алгоритма, т.к. время, необходимое для обработки прерывания не превысит 12% от времени вычислений. Таким образом, время расчета аппроксимирующей функции с помощью устройства, приведенного на рисунке 4.3 ориентировочно составляет 1 ± (0,5 миллисекунд (второе слагаемое определяет время обработки прерываний от встроенного АЦП).

Недостатком предложенного устройства является неодинаковое время реакции на прерывание, что приводит к некоторой ошибке оцифровки значений yt) для различных отсчетов. Это время может составлять до 50%-временного интервала измерений между соседними импульсами.

При разработке и создании сложных и объемных цифровых схем появляется проблема повышения эффективности труда разработчиков и гибкости проекта, а основным требуемым критерием эффективности разработки является время, затраченное на разработку, или, иначе говоря, «time to market» - время от начала реализации проекта до выхода готового продукта на рынок [89].

Другая (и не менее важная) проблема разработчиков - это выбор наиболее подходящей архитектуры проекта, которая обеспечивала бы наивысшую надежность работы микросхемы, приемлемую стоимость и легкость модификации проекта в будущем.

В этих случаях часто рассматривается возможность построения электронных цифровых схем в виде микропрограммных автоматов (МА), оптимизацию их структуры и адаптацию системы команд для заданных условий. Использование МА позволяет решить большинство вышеописанных проблем, создавая высокопроизводительные процессоры с ограниченной функциональностью внутри микросхемы.

Обычно MA имеют стандартную архитектуру, применяя которую с небольшими изменениями для различных проектов, можно существенно облегчить проектирование специализированных интегральных схем (СПИС) и в несколько раз уменьшить время от начала разработки до выхода конечного продукта. Весь процесс разработки в таком случае включает в себя следующие этапы: описание (на уровне блоков) алгоритма; создание необходимой системы команд; подключение к микропрограммному автомату необходимых библиотек; написание и отладка микропрограммы.

Применение СПИС дает следующие преимущества: сокращение габаритов устройства; повышение технических характеристик (повышение быстродействия и сокращение потребляемой мощности); повышение надежности (так как вероятность поломки прямо пропорциональна количеству ИС, использование СПИС значительно ее сокращает); обеспечение защиты разработки (скопировать устройство, содержащее СПИС, практически невозможно, что позволяет обеспечить авторские права разработчика); повышение гибкости модификации (модификация СПИС не требует переработки остальных узлов, переразводки печатных плат и т.д.).

Дальнейшее уменьшение времени обработки возможно при использовании специализированных вычислительных устройств, ориентированных на решение данной задачи на аппаратном уровне с использованием микропрограммного управления. Один из возможных вариантов такой системы представлен на рисунке 4.4.

Здесь использован конвейерный способ обработки информации, и решение задачи разбито на 5 последовательно выполняемых этапов, причем, выполнив очередное задание, каждый блок получает с выхода предыдущего следующую порцию данных для обработки. Следовательно, время расчета одной peaлизации входного сигнала определяется быстродействием самого «медленного» блока в цепочке.

Каждый блок (Б1 - Б4) реализован на базе микропрограммного автомата, аппаратная часть которого максимально ориентирована на специфику решаемой задачи, и снабжен двумя буферными устройствами, поочередно используемыми либо для закачки новой порции информации, либо для передачи пользуемыми либо для закачки новой порции информации, либо для передачи данных после обработки другому блоку. Общую синхронизацию устройства выполняет микропрограммный автомат второго уровня. Очевидно, наиболее критичными по времени работы будут блоки Б1 и БЗ в соответствии с алгоритмом предлагаемого метода (рис. 2.1). При последовательном способе обработки информации время обработки одной реализации составит не менее 2750 тактов микропрограммного автомата УУ1 (УУЗ). При реально достижимой тактовой частоте 70 МГц с использованием ПЛИС время обработки одной реализации составит 25 микросекунд, что вполне достаточно для большинства применений и в отдельных случаях может быть использовано при обработке видеоизображений в режиме, близком к режиму реального времени.

Относительным недостатком данного устройства является высокая стоимость разработки.

§ 4.4. Описание программы, реализующей метод РАЗОЦ

В приводимой ниже (рис. 4.5) блок-схеме программы (см. Приложение), реализующей предлагаемый метод использованы следующие обозначения: массив S(i) - входная реализация, y(i) - массив оценки функции полезного сигнала для каждого из проходов, gg(i) - оценка функции выходного сигнала, ost(i) - массив остатков (после вычитания из исходной реализации выходного сигнала), P(i) - массив координат точек разбиения исходного временного интервала на каждом проходе, pop - количество проходов, Ras - число покрытий, L - минимальная длина покрытия.

Рис. 4.4. Вариант аппаратной реализации метода РАЗОЦ со специализированными ВУ

Ввод длины исходной реализации и исходных данных алгоритма

Ввод исходной реализации

Вычисление основных данных для разбиения исходного массива на покрытия

Формирование массива случайных чисел по равномерному закону для разбиения на покрытия i=Ras

1 r

P(i)=P(i-1)

Блок 1:

N=P(o); k=P(o-1); sx2y=0 ; sx=0; sx2=0; sx3=0; sxy=0; sy=0; sx4=0 .

Аппроксимация по MHK

Блок 2: sx2y=sx2y+(iA2)*S(i); sx=sx+i ; sx2=sx2+iA2; sx3=sx3+iA3 ; sxy=sxy+i*S(i); sy=sy+S(i); sx4=sx4+iA4.

Блок 3: c=((sx2*sy-sx2y*(N-k+1))*(sx*sx-(N-k+1)*sx2) -(sx*sx2-sx3*(N-k+1 ))*(sx*sy-(N-k+1 )*sxy))/ ((sx2*sx2-sx4*(N-k+1 ))*(sx*sx-(N-k+1 )*sx2)-(sx2*sx-sx3*(N-k+1))*(sx*sx2-sx3*(N-k+1))); b=((sy*sx-(N-k+1)*sxy)-c1*(sx2*sx-sx3*(N-k

1 )))/(sx*sx-(N-k+1 )*sx2); a=(sy-b*sx-c1 *sx2)/(N-k+1).

Погрешности аппроксимации

НЕТ в

Рис. 4.5. Блок-схема программно реализованного (см. Приложение) алгоритма метода РАЗОЦ Выводы

1. Наиболее экономичным с достаточно высокой пропускной способностью следует признать вариант базового устройства на основе системной платы персонального компьютера Pentium, так как затраты на разработку аппаратной части устройства практически отсутствуют, а основная программная реализация уже отработана на языке высокого уровня в настоящей работе.

2. Второй и третий варианты реализации устройства на базе DSP при сравнимой с основным (базовым) вариантом производительностью требуют достаточно серьезных затрат на разработку аппаратного и программного обеспечения, что делает сомнительным проведение работ в этом направлении.

3. Вариант реализации алгоритма на базе микропрограммируемых устройств может быть принят при условии, что имеется существенная необходимость работы устройства в диапазоне высоких частот входного сигнала в режиме реального времени, причем экономический эффект от применения данного устройства покроет весьма высокие затраты на его разработку и изготовление.

Заключение

1. Проведенный анализ известных методов фильтрации сигналов показал, что их применение требует априорной информации о функции полезного сигнала и статистических характеристиках аддитивного шума. Указанный анализ известных методов фильтрации позволяет заключить, что не существует универсального метода обработки, который можно было бы рекомендовать как наилучший. В условиях априорной недостаточности информации о параметрах функции полезного сигнала и статистических характеристиках аддитивной случайной составляющей ни один из рассмотренных методов не может быть безоговорочно принят за основу при разработке автоматизированных систем обработки сигналов.

2. Предложен новый метод фильтрации сигналов (метод РАЗОЦ), позволяющий выделять функцию полезного сигнала при ограниченном объеме априорной информации как о параметрах самого сигнала, так и о статистических характеристиках аддитивного шума; необходимая априорная информация заключается в том, что на не слишком малых временных интервалах полезный исходный сигнал может быть достаточно точно описан полиномом не выше второй степени, а аддитивная шумовая составляющая является центрированной случайной функцией (математическое ожидание равно нулю).

3. Исследования, проведенные средствами имитационного моделирования, позволили установить, что наименьшее значение среднеквадратического отклонения (СКО) достигается при следующих значениях параметров метода РАЗОЦ: минимальная длина разбиения 5-9, число проходов 25 - 30, число разбиений равно 10% от длины реализации, и независимо от закона распределения аддитивной случайной составляющей (шума) и вида функции полезного сигнала оценка СКО аппроксимирующей функции линейно возрастает с ростом дисперсии шума.

4. Проведенные исследования на основе имитационного моделирования показали, что эффективность предлагаемого метода по сравнению с методом

127 скользящего среднего (при оптимальной ширине «окна») в 1,42 раза выше при равномерном шуме (независимо от величины его дисперсии), а при нормальном шуме (независимо от дисперсии) эффективность разработанного метода по сравнению с методом скользящего среднего выше приблизительно в 1,3 раза.

5. Показано, что предлагаемый метод позволяет обрабатывать результаты измерений, представленные в виде единственной реализации нестационарного случайного процесса при ограниченном объеме априорной информации как о параметрах самого сигнала, так и о статистических характеристиках аддитивного шума.

6. Рассмотренные варианты аппаратной реализации показали, что наиболее экономичным с достаточно высокой пропускной способностью следует признать вариант базового устройства на основе системной платы персонального компьютера Pentium, так как затраты на разработку аппаратной части устройства практически отсутствуют, а основная программная реализация в настоящей работе уже отработана на языке высокого уровня. Второй и третий варианты реализации устройства на базе DSP при сравнимой с основным (базовым) вариантом производительностью требуют достаточно серьезных затрат на разработку аппаратного и программного обеспечения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Саакян, Георгий Рубенович, 2002 год

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов: Пер. с англ. М.: Мир, 1976.-756 с.

3. Афанасьев В.Н. и др. Математическая теория конструирования систем управления / Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. М.: Высш. шк., 1998.-574 с.

4. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.- 169 с.

5. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Изд. 3-е, перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2000. - 462 с.

6. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Наука, 1987. - 600 с.

7. Бендат Дж. Основы теории случайных шумов и ее применения: Пер. с англ. -М.: Наука, 1965.-463 с.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. - 464 с.

9. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. -М.: Мир, 1989.-540 с.

10. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 312 с.

11. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. - Вып. 1,2.

12. Боровиков В.П. STATISTICA: искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. СПб.: Питер, 2001. - 656 с.

13. З.Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA® Статистический анализ и обработка данных в среде Windows®. - Изд. 2-е, стер. - М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1998. - 608 с.

14. Н.Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 1999. - 384 с.

15. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. М.: Гардарика, 1998. - 328 с.

16. Брамм П., Брамм Д. Микропроцессор 80386 и его программирование: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 448 с.

17. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Сов. радио, 1971.-328 с.

18. Васильев В.Н., Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам. СПб.: БХВ - Санкт-Петербург, 1998. -240 с.

19. Введение в цифровую фильтрацию: Пер. с англ. / Под ред. Р. Богнера и А. Константинидиса. М.: Мир, 1976. - 216 с.

20. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 1998. - 576 с.

21. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983 .-416с.

22. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. - 383 с.

23. Волков Д. Как оценить рабочую станцию // Открытые системы, 1994. № 2. с. 44-48. WEB: http://www.osp.ru/os/1994/02/index.htm.

24. Волов А. Анализ // Компьютерра, № 24(302), 1999. WEB: http://www. computerra.ru/offline/1999/302/3763/.

25. Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. -СПб.: БХВ Санкт-Петербург, 1999. - 336 с.

26. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. М.: Высш. шк., 1999. - 479 с.

27. Гнатек Ю.Р. Справочник по цифроаналоговым и аналогоцифровым преобразователям: Пер. с англ./ Под ред. Ю.А. Рюжина. М.: Радио и связь, 1982. -552 с.

28. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 448 с.

29. Голуб М. Приближенно не значит неточно // Компьютер в школе, № 3(7), 1999.

30. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. -М.: Радио и связь, 1986. 512 с.

31. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М.: Знание, 1991.-160 с.

32. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника: Примеры и задачи. Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.И. Тихонова. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Сов. радио, 1980. - 544 с.

33. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1960. - 468 с.

34. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 512 с.

35. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. М.: Финансы и статистика, 1998. - 352 с.

36. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3 / R4 / R5. М.: Солон, 1998.-400 с.

37. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

38. Исследование операций: В 2-х томах. Пер. с англ./ Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. Том 1. Методологические основы и математические методы. -М.: Мир, 1981.-712 с.

39. Исследование операций: В 2-х томах. Пер. с англ./ Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. Том 2. Модели и применения. М.: Мир, 1981. - 677 с.

40. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации: Пер. с англ. / Под ред. А.В. Скорохода. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 320 с.

41. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды: Пер. с англ. М.: Наука, 1976. - 736 с.

42. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании: Пер. с англ. Вып. 1. - М.: Статистика, 1978. - 221 с.

43. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Пер. с англ. Том 2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977. - 728 с.

44. Кобел ев Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей. М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. - 246 с.

45. Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика. Принципы и примеры. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 200 с.

46. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ИНФРА-М, 1997. - 302 с.

47. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. математическая. -1941.-№5.-С. 3-14.

48. Крамер Г. Математические методы статистики: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. - 648 с.

49. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543 с.

50. Кручинин С. Стандартные тесты измерения производительности // Computer Weekly, 1996. -№ 5. WEB: http://novosti.online.ru/it/press/cwm/0596/ 4268.htm.

51. Крюков В.В., Марчук В.И., Слобунов С.М. Некоторые вопросы построения модели биоэлектрического сигнала мышц. В кн.: «Электроника и спорт -6». Краткие тезисы 6-й Всесоюзной научно-технической конференции. - М., 1981.-С.21.

52. Лабутин С.А., Пугин М.В. Метод анализа временных рядов при отсутствии информации о тренде и законе распределения шума // Труды 4-й научной конференции по радиофизике. Н.Новгород: ННГУ, 2000. WEB: http://rf.unn.runnet.ru/koi/sci/conf/00/thesis.html.

53. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. М.: Сов. радио, 1974. - 552 с.

54. Левкович-Маслюк Л., Переберин А. Введение в вейвлет-анализ. WEB: http://inet.keldysh.ru/gc98/cd/tutorial/leolev/lecturel.

55. Левкович-Маслюк Л. Дайджест вэйвлет-анализа, в двух формулах и 22 рисунках // Компьютерра, № 8(236), 1998.

56. Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. М.: Сов. радио, 1974.-456 с.

57. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. Том 1. Основные принципы и классические методы. М.: Мир, 1983. - 312 с.

58. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. Том 2. Техника обработки сигналов. Применения. Новые методы. М.: Мир, 1983. - 256 с.

59. Марпл C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.-584 с.

60. Марчук В.И., Старченко Н.И. Исследование адаптивного алгоритма устранения сбойных измерений при наличии сложного тренда // Радиоэлектроника и физико-химические процессы / Науч. труды ДГАС. Вып. 20. - Шахты: ДГАС, 1997.

61. Марчук В.И., Старченко Н.И. Повышение вероятности правильного обнаружения сбойных измерений // Радиотехника, оборудование и технологии сервиса / Сб. науч. трудов. Вып. 26. - Часть 2. - Шахты: ДГАС, 1997.

62. Мирский Г .Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. М.: Энергия, 1972. - 455 с.

63. Многомерный статистический анализ в экономике: Учеб. пособие / JI.A. Сошникова, В.Н. Тамашевич, Г. Уебе, М. Шефер; Под ред. В.Н. Тамашеви-ча. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 598 с.

64. Моттль В.В., Мучник И.Б. Скрытые марковские модели в структурном анализе сигналов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. - 352 с.

65. Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещества. М.: Физматгиз, 1960. - 430 с.

66. Невдяев Л. Теория и практика цифровой обработки сигналов (по материалам международной конференции DSPA 98) // Network World (Глобальные сети и телекоммуникации). Август сентябрь, 1998, № 7 - 8. WEB: http://www.tliestandard.ru/nets/1998/0708/index.htm.

67. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53. -№ 6(324). - С. 53-128.

68. Новиков JI.B. Основы вейвлет-анализа сигналов. СПб.: Изд-во «МО-ДУС+», 1999. - 153 с.

69. Орлов А.И. / Заводская лаборатория, 1991. Т. 57, № 7. - С. 64 - 66. WEB: http://orlov.i-comiect.ru.

70. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов (Обобщающая статья) // Заводская лаборатория, № 1, 1992. С. 67 - 74. WEB: http://orlov.i-connect.ru.

71. Орлов А.И. Современная прикладная статистика. WEB: http://orlov.i-connect.ru; http://phisica.boom.ru/pri/art5.htm.

72. Переверткин С.М. и др. Бортовая телеметрическая аппаратура космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1977. - 208 с.

73. Песаран М., Слейтер JI. Динамическая регрессия: Теория и алгоритмы. Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1984. - 310 с.

74. Пугачев B.C. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, 1962. - 884 с.

75. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Гостехиздат, 1957. - 659 с.

76. Радиотехнические системы / Под ред. Ю.М. Казаринова. М.: Высш. шк., 1990.-496 с.

77. Разработка и оптимизация цифровых средств управления электровозами для БАМа: Научно-технический отчет / ШТИБО; Н.Н. Прокопенко, В.М. Редько и др. -ШТ-481;№ГР 81060301; Инв. №2840057951. -Шахты, 1983.- 131 с.

78. Разработка, исследование, внедрение новых методов диагностики и контроля биологических объектов: Научно-технический отчет / В.И. Марчук, В.В.

79. Крюков и др. Премия Ленинского комсомола в области науки и техники. -Москва, 1981.-566 с.

80. Ракетные двигатели / М. Баррер и др. М.: Оборонгиз, 1962. - 799 с.

81. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 128 с.

82. Рудаков П.И., Сафонов И.В. Обработка сигналов и изображений. MATLAB 5.x / Под общ. ред. к.т.н. В.Г. Потемкина. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000. -416 с.

83. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968.-464 с.

84. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. 256 с.

85. Семенов Н., Каршенбойм И. Микропроцессорные автоматы на базе специализированных ИС // CHIP NEWS, № 7, 2000. WEB: http://chipnews.gaw.ru/.

86. Современная математика для инженеров: Сб. ст. Под ред. Э.Ф. Беккенбаха. Пер. с англ./ Под общ. ред. И.Н. Векуа. М.: ИЛ, 1959. - 500 с.

87. Спиридонов В. Самоподобие, всплески и квазикристаллы // Компьютерра, № 8(236), 1998.

88. Справочник по радиолокации. Под ред. М. Сколника. Нью-Йорк, 1970 / Пер. с англ. (в четырех томах) под общей ред. К.Н. Трофимова. Том 1. Основы радиолокации. Под ред. Я.С. Ицхоки. М.: Сов. радио, 1976. - 456 с.

89. Статистические методы для ЭВМ / Под ред. К. Энслейна, Э. Рэлстона, Г.С. Уилфа: Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 464 с.

90. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966. - 678 с.

91. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995. - 384 с.

92. Уилкс С. Математическая статистика: Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 632 с.

93. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т. 2. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 738 с.

94. Функциональный анализ / Бирман М.Ш., Виленкин Н.Я. и др. Под общ. ред. С.Г. Крейна. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. - 544 с.

95. Хеннан Э. Анализ временных рядов: Пер. с англ. М.: Наука, 1964.

96. Хеннан Э. Многомерные временные ряды: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. -576с.

97. Цветков Э.И. Основы теории статистических измерений. Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1979. - 288 с.

98. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике: Цикл лекций. М.: Радио и связь, 2000. - 584 с.

99. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. М.: Дело, 2000. - 440 с. - (Сер. «Наука управления»).

100. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. -640 с.

101. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. В.В. Федосеева. М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.

102. Электронный учебник по статистике. StatSoft, Inc. (1999). Москва, StatSoft. WEB: http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm.

103. Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.-351 с.

104. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979.-312 с.

105. Hemelruk J. Rules for building statistical models // Statistica Neerlandica. -1978. V. 32, № з. p. 123 - 134.

106. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. Amer. Soc. Mech. Eng., J. Basic Engineering. 1960. - V. 82. - P. 35 -45.

107. Kalman R.E. New methods of Wiener filtering theory // pp. 270 388 in Proc. First Symp. on Eng. Applications of Random Function Th. and Prob. / Eds. J.L. Boganoff and F. Kozin. - New York, John Wiley. - 1963.

108. Kalman R.E., Bucy R.S. New results in linear filtering and prediction theory // Trans. Amer. Soc. Mech. Eng., J. Basic Engineering. 1961. - V. 83. - P. 95 -108.

109. Wiener N. Extrapolation, interpolation and soothing of stationary time series. New-York: John Wiley, 1949. - 162 p.

110. Марчук В.И., Саакян O.B., Саакян Г.Р. Пространственно-временная аппроксимация при выделении сигнала для случая априорной недостаточности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1999. - № 3. - С. 67 - 70.

111. Марчук В.И., Саакян Г.Р., Тартанов А.А. Способы реализации методов первичной обработки телеметрической информации // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2001. - № 2. - С. 5 - 6.