Метод конечных элементов для исследования квантовых систем нескольких частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Гусев Александр Александрович

• Гусев Александр Александрович
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Гусев Александр Александрович

Введение

Общая характеристика работы

Основное содержание диссертации

Глава 1. Вычислительные схемы и алгоритмы МКЭ высокого порядка точности для эллиптических краевых задач

1.1. Формулировка задачи и описание схемы МКЭ

1.2. Алгоритм вычисления интерполяционных полиномов Лагранжа

и Эрмита на ^-мерных симплексах

1.3. Алгоритм вычисления полностью симметричных квадратурных формул на ^-мерных симплексах

1.4. Тестовые примеры

1.5. Результаты главы

Глава 2. Алгоритмы и программы решения эллиптических краевых задач

2.1. Вычислительные схемы решения многомерных и параметрических эллиптических краевых задач

2.2. Вычислительные схемы, символьно-численные алгоритмы и программы решения параметрических двумерных эллиптических краевых задач

2.3. Алгоритмы и программы решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка

2.4. Результаты главы

Глава 3. Анализ динамических характеристик квантовых систем

дискретного спектра

3.1. Эталонные расчёты связанных состояний атома гелия

3.2. Анализ спектра и коэффициента фотоабсорбции аксиально-симметричных полупроводниковых квантовых точек

3.3. Вибрационный спектр коллективной модели ядра

3.4. Результаты главы

Глава 4. Анализ динамических характеристик квантовых систем непрерывного спектра

4.1. Кулоновское рассеяние электрона магнитном поле и фотоионизация атома водорода

4.2. Рассеяние двухатомной молекулы на потенциальном барьере или

на атоме

4.3. Туннелирование кластера нескольких тождественных квантовых частиц через потенциальные барьеры или ямы

4.4. Результаты главы

Заключение

Приложение А. Интерполяционные полиномы Эрмита на треугольнике

Приложение Б. Квадратурные формулы на симплексах

Список сокращений и условных обозначений

Список публикаций по теме диссертации

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод конечных элементов для исследования квантовых систем нескольких частиц»

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Дальнейшее развитие ядерной, атомной и молекулярной физики и физики полупроводниковых наноструктур не представляется возможным без компьютерного моделирования и достоверного численного анализа широкого класса эллиптических задач для уравнения Шредингера в многомерном координатном пространстве [1-11]. Дело в том, что этому классу принадлежат эллиптические задачи, моделирующие физически интересные конфигурации и процессы, возможные в квантовой системе нескольких частиц. К ним относятся связанные и метастабильные состояния, резонансное рассеяние, туннелирование, а также фотоабсорбция и фотоионизация. Создание универсального и экономичного алгоритмического подхода, позволяющего с высокой точностью выполнять компьютерно-алгебраический и численный анализ всех перечисленных выше состояний и процессов, несомненно является актуальной и значимой с прикладной точки зрения задачей современного математического моделирования.

Решению этой задачи посвящены работы [А1-А36] и суммирующая их настоящая диссертация. Основой предлагаемого в ней подхода является существенное расширение и оптимизация метода конечных элементов (МКЭ) [12], а также естественное объединение этого метода с методом Канторовича [13, 14]. Расширение МКЭ заключается в применении новых схем высокого порядка точности, построенных на симплексах с непрерывными кусочно-полиномиальными базисными функциями нескольких переменных. Оптимизация состоит в построении и применении новых многомерных квадратурных формул интегрирования высокого порядка точности на симплексах для дискретизации и решения многомерных краевых задач, что заметно экономит компьютерные ресурсы.

Ключевым этапом в предлагаемом в диссертации подхода является приме-

нение метода Канторовича, который, по сути, применяется в многих предметных областях, но под разными специальными названиями, например, [3, 15-17]. Этим методом исходная многомерная эллиптическая задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка по одной из независимых переменных. Решение краевой задачи ищется в виде разложения по базисным функциям, которые зависят от независимой переменной системы ОДУ как от параметра. При этом в качестве базисных функций используются решения вспомогательной краевой задачи на собственные значения в пространстве меньшей размерности, переменные коэффициенты которой параметрически зависят от независимой переменной системы ОДУ. Построение решений задачи в асимптотической области выполняется с помощью разработанных символьных (компьютерно-алгебраических) алгоритмов и используется для формулировки краевых условий на границе конечной области. Для решения этих задач в конечной области изменения независимых переменных и системы ОДУ на конечном интервале с краевыми условиями смешанного типа применяется МКЭ.

В диссертации разработаны новые вычислительные схемы МКЭ высокого порядка точности, ориентированные на решение эллиптических краевых задач для многомерного уравнения Шредингера и исследование квантовых систем нескольких частиц. Дана реализация этих схем в виде созданных алгоритмов и комплексов программ. Их работоспособность проиллюстрирована анализом эталонных задач с известными решениями и физически приемлемых, или упрощенных математических моделей квантовых систем нескольких частиц ядерного, атомного или молекулярного типа, а также полупроводниковых квантовых точек.

Как показано в диссертации, предложенные в ней расширение, оптимизация и объединение позволяют существенно повысить точность МКЭ и успешно преодолеть многие проблемы и ограничения известных методов решения многомерных краевых эллиптических задач, возникающих в итоге моделирования

квантовых систем нескольких частиц.

В широко применяемом гиперсферическом адиабатическом методе [3] до сих пор не решена его ключевая проблема: вычисление с высокой точностью не только параметрических собственных значений и квазиугловых базисных функций, но и их производных по параметру и интегралов от произведения квазиугловых базисных функций и (или) их производных по параметру, через которые выражаются переменные коэффициенты системы ОДУ второго порядка с первой производной по гиперрадиальной переменной [18]. Для решения с заданной точностью соответствующих параметрических краевых задач и систем ОДУ с краевыми условиями третьего рода требуется разработка новых алгоритмов и комплексов программ. Первые шаги в этом направлении были предприняты в авторских работах [19-21]. Чтобы не решать эту проблему, обычно, аппроксимируют эффективные потенциалы и первую производную системы ОДУ их средними значениями на каждом шаге сетки при интегрировании задачи тем или иным численным методом. Однако, такая аппроксимация не позволяет получить искомое решение с высокой точностью [22]. Предлагаемый в диссертации подход лишён этого недостатка.

Следующая и не менее важная проблема состоит в построении решений задачи в асимптотической области, которые используется для формулировки краевых условий смешанного типа на границе конечной области [23-26]. Построение таких асимптотических состояний необходимо для применения МКЭ и уменьшения интервала интегрирования системы ОДУ с краевыми условиями третьего рода до оптимального значения, что позволяет не только повысить точность аппроксимации искомого решения на конечном отрезке, но и сэкономить требуемые компьютерные ресурсы. Эти решения имеют различное строение в разных областях конфигурационного пространства и определяются как произведения асимптотических разложений при больших значениях гиперрадиальной переменной параметрических квазиугловых базисных функций и фундаментальных решения системы ОДУ второго порядка. Для построения

таких асимптотических разложений требуется разработка новых численных и символьных (компьютерно-алгебраических) методов и алгоритмов [27-30]. Эту трудность удалось преодолеть в рамках развитого в диссертации подхода.

МКЭ давно стал стандартом для решения краевых задач математической физики. Доступны многочисленные программные реализации МКЭ в пространстве размерности, не превышающей трёх. Если квантовомеханическая задача богата симметриями и сводится к задаче для ОДУ или для уравнений в частных производных в пространстве двух или трех измерений, то численный анализ краевых задач для уравнения Шредингера в классе квадратично суммируемых функций возможен с помощью той или иной программной реализации МКЭ, но требует специальной переформулировки краевых задач с условиями первого рода [9, 10]. В предлагаемом в диссертации подходе этого ограничения в реализации МКЭ нет: можно использовать граничные условия смешанного типа (условия Дирихле, Неймана и третьего рода), согласованные с асимптотическими краевыми условиями исходной задачи. Это обстоятельство существенно расширяет область применимости развитого в диссертации метода.

Случай решения уравнений в частных производных в пространстве размерности большей трёх, фактически не охвачен программным обеспечением МКЭ. В вычислительных схемах МКЭ обычно не используются значения производных по направлениям и базисные функции, которые отличны от нуля только на нескольких элементах, смежных с соответствующими узлами, составляются сшивкой интерполяционных полиномов Лагранжа (ИПЛ). Однако, когда требуется высокая гладкость между элементами, или когда градиент решения должен быть определен с повышенной точностью, необходимо учитывать значения производных по направлениям аппроксимирующей функции. Для этого требуется разработка алгоритмов, позволяющих сгенерировать в аналитическом виде интерполяционные полиномы Эрмита нескольких переменных высокого порядка и вычислить узлы и веса соответствующих квадратурных формул на симплексах, обеспечивающих возможность решения многомерных краевых за-

дач. Такие базисные функции можно построить сшивкой интерполяционных полиномов Эрмита (ИПЭ) только на специальных сетках. Для этого требуется разработка алгоритмов, позволяющего за сравнительно небольшое время сгенерировать в аналитическом виде ИПЭ нескольких переменных высокого порядка и соответствующие квадратурные формулы. Схемы высокого порядка по числу операций асимптотически более выгодны. Иными словами из двух схем решения задачи схема более высокого порядка точности потребует меньшего числа арифметических действий, если нужно найти решение с заданной погрешностью [31]. Для одномерного случая такой алгоритм разработан в авторской работе [32]. Эти наиболее важные и трудные проблемы МКЭ и его приложений являются предметом интенсивных исследований начиная с 60-х годов по настоящее время, например, по конечным элементам [12, 31, 33-41] и по квадратурным формулам [42-48]. В подходе, предложенном в диссертации, сделано несколько важных шагов в алгоритмическом решении этой проблемы.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка эффективных численных и компьютерно-алгебраических методов, построение экономичных вычислительных схем, алгоритмов и создание проблемно-ориентированных комплексов программ для решения эллиптических краевых задач, описывающих квантовые системы нескольких частиц.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. разработка эффективных численных и компьютерно-алгебраических методов, вычислительных схем и алгоритмов построения решений в асимптотической области, необходимых для редукции эллиптических краевых задач в бесконечной области изменения независимых переменных к краевым задачам меньшей размерности в конечной области пространства.

2. построение алгоритмов дискретизации краевых задач в конечной области для эллиптических уравнений и для систем ОДУ второго порядка на основе метода Канторовича и МКЭ высокого порядка точности с интер-

поляционными полиномами Лагранжа и Эрмита нескольких переменных, многомерных квадратурных формул и создание проблемно-ориентированных комплексов программ для численного решения с заданной точностью эллиптических краевых задач математических моделей квантовых систем нескольких частиц;

3. численный анализ скорости сходимости разложения искомого решения краевых задач по числу базисных функций МКЭ и порядка точности приближенных решений с помощью разработанных алгоритмов и комплексов программ на эталонных моделях, и численных экспериментов на сгущающихся сетках;

4. применение разработанных комплексов программ для анализа динамических характеристик математических моделей квантовых систем нескольких частиц, а именно: а) аксиально симметричных полупроводниковых квантовых точек, б) кулоновского рассеяния электрона в магнитном поле и фотоионизации атома водорода, в) рассеяния двухатомной молекулы на потенциальном барьере или на атоме, г) туннелирования кластера нескольких тождественных квантовых частиц через потенциальные барьеры или ямы.

Методология и методы исследования. В качестве общего подхода для анализа многомерных краевых эллиптических задач квантовых систем нескольких частиц используется предложенное объединение МКЭ и метода Канторовича. Для оптимизации и расширения МКЭ использованы интерполяционные полиномы Лагранжа и Эрмита, многомерные квадратурные формулы и асимптотические методы построения решений параметрических уравнений и фундаментальных решений систем ОДУ при больших значениях аргумента.

Научная новизна диссертации состоит в следующем.

1. Впервые предложен алгоритмический подход к построению схем МКЭ высокого порядка точности с интерполяционными полиномами Лагранжа

и Эрмита нескольких переменных и квадратурными формулами на симплексах для решения многомерных краевых задач:

а) построен алгоритм и создана программа в системе Maple и на языке Fortran разбиения ^-мерного куба на симплексы,

б) построен алгоритм и создана программа в системе Maple вычисления в аналитическом виде полиномов Эрмита двух переменных на треугольных конечных элементах,

в) предложен и реализован в среде Maple-Fortran новый алгоритм вычисления полностью симметричных гауссовых квадратурных формул для многомерных интегралов по симплексам,

г) разработанные схемы МКЭ и алгоритмы протестированы решением эталонных краевых задач для уравнения Гельмгольца в конечной области размерностью от двух до шести.

2. Впервые создан проблемно-ориентированный комплекс алгоритмов и программ в среде Maple-Fortran для решения МКЭ с заданной точностью эллиптических задач математических моделей квантовых систем нескольких частиц:

а) программа POTHEA решения однопараметрических краевых задач на собственные значения для системы ОДУ второго порядка и двумерных эллиптических уравнений конечной области, и вычисления первых производных по параметру от собственных значений и собственных функций,

б) программы KANTBP 2.0 и KANTBP 3.0 решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка с краевыми условиями смешанного типа.

3. Впервые с помощью разработанных вычислительных схем, созданных алгоритмов и проблемно-ориентированных комплексов программ, численными экспериментами подтверждены оценки порядка точности вычислительных схем при решении эталонных задач и выполнен анализ:

а) поведения коэффициента фотоабсорбции в зависимости от энергии межзонных переходов и геометрических параметров аксиально-симметричных

полупроводниковых квантовых точек;

б) зависимости сечения резонансной фотоионизации атома водорода от магнитного квантового числа атома и напряженности магнитного поля;

в) эффектов резонансного прохождения и отражения в процессах рассеяния двухатомной молекулы на потенциальном барьере или на атоме, туннелирования кластера нескольких тождественных квантовых частиц через потенциальные барьеры или ямы.

Теоретическая значимость. Разработаны и апробированы вычислительные схемы и символьно-численные алгоритмы МКЭ высокого порядка точности с интерполяционными полиномами Лагранжа и Эрмита нескольких переменных и новыми многомерными квадратурными формулами на симплексах. Показано, что эти схемы, использующие объединение метода Канторовича и МКЭ, позволяют численно решать краевые задачи для многомерных эллиптических дифференциальных уравнений, описывающих математические модели квантовых систем нескольких частиц.

Практическая значимость. На основе разработанных вычислительных схем и алгоритмов созданы проблемно-ориентированные комплексы программ. Эти комплексы могут найти широкое применение для численного решения краевых задач моделей систем нескольких квантовых частиц, волноводных и квантовых систем полупроводниковой, молекулярной, атомной и ядерной физики. Комплексы программ включают в себя программы KANTBP 2.0 и KANTBP 3.0 решения с заданной точностью краевых задач для системы ОДУ второго порядка и программу POTHEA решения параметрических краевых задач для ОДУ второго порядка и двумерных эллиптических уравнений в конечной области. Эти программы с полным описанием и тестовыми примерами представлены в библиотеке программ журнала Computer Physics Communications [A9, A10, A13]. К программам KANTBP 2.0, KANTBP 3.0 и POTHEA было официально зарегистрировано 318, 85 и 71 обращений пользователей, соответственно

(данные на 04.11.2018 г.).

Разработанные вычислительные схемы, алгоритмы и проблемно-ориентированные комплексы программ уже интенсивно используются в Объединённом институте ядерных исследований (ОИЯИ, Дубна, Россия), Российском университете дружбы народов (РУДН, Москва, Россия), Саратовском государственном университете (СГУ, г. Саратов, Россия), Институте ядерной физики (ИЯФ, г. Алматы, Казахстан), Российско-Армянском (Славянском) университете (РАУ, г. Ереван, Армения), Педагогическом университете Хошимина (г. Хошимин, Вьетнам) и университете им. Марии Кюри-Склодовска (UMCS, г. Люблин, Польша).

Все предложенные в диссертации разработки могут быть использованы в ИЯИ БАН (София, Болгария), СПбГУ (Санкт-Петербург), МИФИ (Москва), МФТИ (Москва), ТвГУ (Тверь), Университете Северной Каролины (Северная Каролина, США), университете Темпл (Филадельфия, США), Национальном автономном университете Мексики (Куернавака, Мексика) и других научных и исследовательских центрах для компьютерного моделирования систем нескольких квантовых частиц, низкоразмерных полупроводниковых квантовых систем и коллективной модели атомного ядра.

Исследования выполнялись автором в соответствии с научно-тематическими планами научно-исследовательских работ ОИЯИ и РУДН, и в рамках протоколов о выполнении совместной научно-исследовательской работы c СГУ, ИЯФ, РАУ и UMCS.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Алгоритмический подход, реализованный в виде комплексов программ в среде Maple-Fortran, к построению схем МКЭ высокого порядка точности с интерполяционными полиномами Лагранжа и Эрмита нескольких переменных на симплексах. Этот подход включает: а) алгоритм разбиения ^-мерного куба на симплексы;

б) алгоритм вычисления в аналитическом виде интерполяционных полиномов Эрмита двух переменных на треугольных конечных элементах;

в) численный и компьютерно-алгебраический алгоритмы для построения полностью симметричных гауссовых квадратурных формул с положительными весами и узлами внутри симплекса.

2. Алгоритмы и схемы МКЭ высокого порядка точности решения однопа-раметрических двумерных краевых задач на собственные значения для эллиптических уравнений, и их применение к решению эллиптических краевых задач методом Канторовича.

3. Алгоритмы вычисления асимптотик однопараметрических базисных функций, матриц коэффициентов и фундаментальных решений системы ОДУ второго порядка, применяемые для формирования граничных условий третьего рода в методе Канторовича и редукции многомерной краевой задачи в конечную область.

4. Проблемно-ориентированные комплексы алгоритмов и программ для анализа математических моделей систем нескольких квантовых частиц:

а) программа РОТНЕА решения однопараметрических краевых задач на собственные значения для системы ОДУ второго порядка и двумерных эллиптических уравнений конечной области и вычисления первых производных по параметру от собственных значений и собственных функций,

б) программы КАКТБР 2.0 и КАКТБР 3.0 решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка с краевыми условиями смешанного типа.

5. Оценки порядка точности разработанных вычислительных схем, полученные в численных экспериментах при решении эталонных задач. Этими оценками подтверждено соответствие зависимости погрешностей собственных значений и собственных функций от шага конечноэлементной сетки и числа кусочно-полиномиальных базисных функций с их теоретическими оценками.

6. Расчеты динамических характеристик квантовых систем и резонансных эффектов, впервые проведенные с помощью разработанных математических моделей, численных и компьютерно - алгебраических вычислительных схем, алгоритмов и созданных комплексов программ. Такими характеристиками являются следующие физически интересные величины и функциональные зависимости:

а) ярко выраженное резонансное поведение коэффициента фотоабсорбции в зависимости от энергии оптических межзонных переходов и геометрических параметров аксиально-симметричных полупроводниковых квантовых точек;

б) зависимость сечения резонансной фотоионизации атома водорода от магнитного квантового числа атома и напряженности однородного магнитного поля;

в) резонансные зависимости коэффициентов прохождения и отражения, сгенерированные метастабильными состояниями с комплексными собственными значениями энергии, в процессах рассеяния двухатомной молекулы на потенциальном барьере или на атоме; туннелирования кластера нескольких тождественных квантовых частиц через потенциальные барьеры или ямы.

Достоверность результатов. Достоверность результатов подтверждена применением корректных математических методов и численными экспериментами на точно решаемых математических моделях квантовых систем, проверкой выполнения известных теоретических оценок погрешностей численных решений, а также сравнением с известными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing (2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018); Международное рабочее совещание по компьютерной алгебре (2012, 2014, 2015, 2016,

2018); Лазерная физика и фотоника, Симпозиум: Оптика и биофотоника, Saratov Fall Meeting, Саратов (2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018), International Conference "Computer Algebra" (2016, 2017), International Conference on Integrable Systems and Quantum symmetries (2013, 2014, 2015, 2016, 2017), Distributed Computer and Communication Networks (2016), 2nd International Symposium on Optics and its Applications (2014), Nuclear Physics Workshop "Marie & Pierre Curie" (2015, 2016, 2018), Mathematical Modeling and Computational Physics (2013, 2015, 2017), 67-е Совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра (2017) и на научных семинарах Лаборатории информационных технологий ОИ-ЯИ (г. Дубна), кафедры прикладной информатики и теории вероятностей факультета физико-математических и естественных наук РУДН (г. Москва), Компьютерная алгебра на факультете ВМК МГУ и ВЦ РАН (г. Москва).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 36 публикациях [A1-A36] из них 35 в виде статей в журналах, цитируемых в Scopus и Web of Science и рекомендованных ВАК РФ, и 1 статья в трудах международной конференции [A36].

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, самостоятельно создал формулировку, выполнил проверку и улучшение математических моделей, а также компьютерное моделирование физических задач, анализ достоверности и указанной точности полученных результатов. Его вклад в разработку всех вычислительных схем, в создание всех комплексов алгоритмов и программ, в их тестирование, в анализ и обоснование оценок точности вычислительных схем, является определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений, списка основных публикаций из 36 наименований с номерами [А1-А36], списка цитируемой литературы из 117 наименований. Главы разбиты на разделы, разделы - на пункты. Нумерация формул, таблиц и рисунков сквозная в пределах каждой главы. Объём диссертации - 223 страницы, 58 рисунков, 31 таблица.

Основное содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены положения выносимые на защиту. Кратко изложено содержание разделов диссертации.

В главе 1 предложены новые вычислительные схемы метода конечных элементов высокого порядка точности решения краевых задач для эллиптического уравнения в частных производных в ограниченной области многомерного евклидова пространства, сохраняющие непрерывность производных приближенного решения [A1, A2, A3, A4, A5, A36].

В разделе 1.1 дана постановка краевой задачи и её редукция МКЭ к алгебраической задаче.

В разделе 1.2 представлен новый символьно-численный алгоритм генерирования в аналитическом виде интерполяционных полиномов Эрмита (ИПЭ) нескольких переменных порядка р', применяемых для построения кусочно-непрерывного базиса Nf, (х) МКЭ, обеспечивающего непрерывность не только приближенных решений, но и их производных по направлениям до заданного порядка на границах конечных элементов в зависимости от гладкости переменных коэффициентов уравнения.

В разделе 1.3 представлены новые символьно-численные алгоритмы, реализованные в среде Maple-Fortran, построения полностью симметричных гауссовых квадратурных формул (ПСГКФ) на d-симплексе с положительными весами такими, что никакие узлы не находятся за пределами симплекса.

В разделе 1.4 эффективность и порядок точности вычислительных схем, алгоритмов и программ продемонстрирована расчетами нижней части спектра эталонных краевых задач на собственные значения для треугольной мембраны, куба и гиперкуба, в зависимости от числа конечных элементов разбиения области и от числа компонент собственного вектора алгебраической задачи.

Эффективность алгоритмов и программ подтверждена согласием численных и теоретических оценок погрешности приближённых решений. Построена новая схема МКЭ с треугольными лагранжевыми элементами решения неоднородной краевой задачи, описывающая рассеяние квантовой частицы на аксиально-симметричном потенциале.

В главе 2 представлены проблемно-ориентированные комплексы алгоритмов и программ для анализа математических моделей систем нескольких квантовых частиц: программа POTHEA решения однопараметрических краевых задач для системы ОДУ второго порядка и двумерных эллиптических уравнений в конечной области; программы KANTBP 2.0, KANTBP 3.0 и KANTBP 4.0 решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка [A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17]. Эффективность алгоритмов и программ продемонстрирована эталонными расчетами связанных, метастабильных состояний и состояний рассеяния для систем ОДУ второго порядка с вещественными и комплексными потенциалами.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Гусев Александр Александрович, 2019 год

Список литературы

1. Вильдермут К., Тан Я. Единая теория ядра. Мир, М. (1980).

2. Kukulin V.I., Krasnopol'sky V.M., Horacek J. Theory of resonances. Academia, Praha (1989).

3. Greene C.H., Giannakeas P., Perez-Rios J. Universal few-body physics and cluster formation // Rev. Mod. Phys. 89, 035006-1-66 (2017).

4. Dobrowolski A., Mazurek K., GoZdZ A. Consistent quadrupole-octupole collective model // Phys. Rev. C 94, 054322-1-20 (2016).

5. Dobrowolski A., Mazurek K., GoZdZ A. Rotational bands in the quadrupole-octupole collective model // Phys. Rev. C 97, 024321-1-11 (2018).

6. Turovtsev V.V., Orlov Y.D., Tsirulev A.N. Potential and matrix elements of the hamiltonian of internal rotation in molecules in the basis set of Mathieu functions // Opt. Spectr. 119, 191 (2015).

7. Белов А.Н., Орлов Ю.Д., Туровцев В.В., Цирулев А.Н. Поиск собственных значений функций Матье как часть алгоритма численного расчета спектров внутреннего вращения молекул // Вестник ТвГУ. Сер. Прикл. мат. № 2, 25-34 (2015).

8. Цирулев А.Н., Орлов М.Ю., Туровцев В.В., Орлов Ю.Д. Исследование спектра торсионных состояний молекул в базисе функций Матье. Вестник ТвГУ. Сер. Прикл. мат. № 1, 39-50 (2014).

9. Пузырев Д.А., Яревский Е.А. Использование CUDA BLAS в решении квантовой задачи трёх частиц методом конечных элементов высоких порядков // Вестник Санкт-Петербургского университета. Физика и химия. № 2. 123-126 (2010).

10. Градусов В.А., Яревский Е.А. Резонансные состояния ядра 12C в модели трех а-частиц // Известия Российской академии наук. Серия физическая 80, 998-1003 (2016).

11. Harrison P., Quantum Well, Wires and Dots. Theoretical and Computational

Physics of Semiconductor Nanostructures, Wiley, New York (2005).

12. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир 1980.

13. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М: Физматгиз, 1951.

14. Власова З.А. О методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, Работы по приближенному анализу // Тр. МИАН СССР 53, 16-36 (1959).

15. Любарский Г.Я., Повзнер А.Я. К теории распространения волн в нерегулярных волноводах // ЖТФ. 29, 170-179 (1959).

16. Мальцев Н.Е. Некоторые модификации метода поперечных сечений // Акустический журнал. 16, 102-109 (1970).

17. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М. Наука, 1973.

18. Abrashkevich A.G., Kaschiev M.S., Vinitsky S.I. A new method for solving an eigenvalue problem for a system of three coulomb particles within the hyperspherical adiabatic representation //J. Comp. Phys. 163, 328-348 (2000).

19. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Abrashkevich A.G., Amaya-Tapia A., Kaschiev M.S., Larsen S.Y.. Vinitsky S.I. KANTBP: A program for computing energy levels, reaction matrix and radial wave functions in the coupled-channel hyperspherical adiabatic approach // Comput. Phys. Commun. 177, 649-675 (2007).

20. Гусев A.A., Ле Хай Л., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И. KANTBP 4M — программа решения краевых задач для самосопряжённой системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/kantbp4m/

21. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G. ODPEVP: A program for computing eigenvalues and eigenfunctions and their first derivatives with respect to the parameter of the parametric self-adjoined

Sturm-Liouville problem // Comput. Phys. Commun. 181, 1358-1375

(2009).

22. Abrashkevich A.G., Abrashkevich D.G., Shapiro M. HSTERM - A program to calculate potential curves and radial matrix elements for two-electron systems within the hyperspherical adiabatic approach // Comput. Phys. Commun. 90, 311-339 (1995).

23. Пупышев В.В. Некоторые методы и результаты аналитических исследований задачи трех ядерных частиц // ЭЧАЯ 30, 1562-1649 (1999).

24. Пупышев В.В. Строение регулярных решений уравнений Шредингера и Фаддеева в пределе линейной конфигурации трех частиц // ТМФ 155, 415-438 (2008).

25. Belov P.A., Yakovlev S.L. Binary scattering and breakup in the three-nucleon system // Ядерная физика 77, 369-375 (2014).

26. Kadomtsev M.B., Vinitsky S.I., Vukajlovic F.R. Adiabatic representation for the three-body problem in the limit of separated atoms in appropriate coordinates // Phys. Rev. A 36, 4652 (1987).

27. Абрамов С.А., Бронштейн М. Решение линейных дифференциальных и разностных систем по отношению к части неизвестных // Журнал вычислительной математики и математической физики. 46, 229-241 (2006).

28. Abramov S.A., Bronstein M., Khmelnov D.E. On regular and logarithmic solutions of ordinary linear differential systems. Lecture Notes in Computer Sci. 3718, 1-12 (2005).

29. Крянев А.В., Удумян Д.К. Интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных на метрическом анализе, и их применение в ядерной физике // Ядерная физика и инжиниринг. 1, 512-521

(2010).

30. Kryanev A.V., Udumyan D.K. Metric analysis, properties and applications as a tool for interpolation // Int. J. Math. Anal. 8, 2221 (2014).

31. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высокого порядка точ-

ности. Л: ЛГУ, 1977.

32. Gusev A.A., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I., Derbov V.L., Gozdz A., Hai L.L., Rostovtsev V.A. Symbolic-numerical solution of boundary-value problems with self-adjoint second-order differential equation using the finite element method with interpolation Hermite polynomials // Lecture Notes in Computer Science 8660, 138-154 (2014).

33. Ciarlet P.G., Raviart P.-A. General Lagrange and Hermite interpolation in Rn with applications to finite element methods // Arch. Rational Mech. Anal. 46, 177-199 (1972).

34. Argyris J.H., Buck K.E., Scharpf D.W., Hilber H.M., Mareczek, G. Some new elements for the matrix displacement method. Proceedings of the Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics (2nd), Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 15-17 October 1968.

35. Bell K. A refined triangular plate bending element // Int. J. Numer. Methods Eng. 1, 101-122 (1969).

36. Zienkiewicz O.C. Finite elements. The background story. In: Whiteman, J.R. (ed.) The Mathematics of finite elements and applications, Academic Press, London (1973).

37. Lekien F., Marsden J. Tricubic interpolation in three dimensions // Int. J. Numer. Meth. Engng. 63, 455-471 (2005).

38. Байдакова Н. В. Об оценках П. Жамэ для конечных элементов с интерполяцией в равномерных узлах симплекса // Матем. тр., 20, 43-74 (2017).

39. Ramdas Ram-Mohan L. Finite element and boundary element applications in quantum mechanics, Oxford University Press, New York (2002)

40. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М: Стройиздат 1982.

41. Стренг Г., Фикс Г., Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

42. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука.,

43. Акишин П.Г., Жидков Е.П. Некоторые кубатурные формулы для симплексов // Сообщение ОИЯИ 11-81-395, Дубна, (1981).

44. Dunavant D.A. High degree efficient symmetrical Gaussian quadrature rules for the triangle // Int. J. Num. Meth. Engng 21, 1129-1148 (1985).

45. Cools R. An Encyclopaedia of Cubature Formulas //J. Complexity, 19, 445-453 (2003).

46. Zhang L., Cui T., Liu H. A set of symmetric quadrature rules on triangles and tetrahedra //J. Comput. Math. 27, 89-96 (2009).

47. Cui T., Leng W., Lin D., Ma S., and Zhang L. High order mass-lumping finite elements on simplexes // Numer. Math. Theor. Meth. Appl. 10, No. 2, 331-350 (2017).

48. Stoyanova S.B., Invariant cubature formulae of degree 6 for the n-simplex // Journal of Computational and Applied Mathematics 193, 446-459 (2006).

49. Duff I.S. Reid J.K. Report RAL-95-001, Rutherford Appleton Laboratory, Oxfordshire 1995.

50. http://www.hsl.rl.ac.uk

51. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

52. Brenner S.C., Scott L.R. The mathematical theory of finite element methods, Springer, New York, third edition (2008).

53. Logg A., Mardal K.-A., Wells G.N. (Eds): Automated solution of differential equations by the finite element method (The FEniCS Book). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (2012).

54. J. I. Maeztu, E. Sainz de la Maza, Consistent structures of invariant quadrature rules for the n-simplex // Mathematics of computation, 64, N. 211, 1171-1192 (1995).

55. Levenberg K. A method for the solution of certain non-linear problems in least squares. // The Quart. Appl. Math. 2, 164-168 (1944).

56. Marquardt D. An algorithm for least squares estimation of parameters // J. Soc. for Industr. Appl. Math. 11, 431-441 (1963).

57. Gill P.E., Murray W., Wright M.H. Practical optimization. Academic Press (1981).

58. Pockels F. Uber die partielle differential-gleichung Au + k2u = 0 und deren auftreten in der mathematischen physik. B. G. Teubner, Leipzig (1891).

59. McCartin B.J. Laplacian Eigenstructure of the Equilateral Triangle. Hikari Ltd, Ruse, Bulgaria (2011).

60. Ильгамов М.Л., Гильманов A.H. Неотражающие условия на границах расчетной области М. ФИЗМАТЛИТ 2003.

61. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. Москва, Наука 1979.

62. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики (М: ИИЛ, 1959)

63. Красовицкий П.М., Пеньков Ф.М. Квантовое рассеяние на несферических объектах Известия РАН. сер. физическая 81, 805-809 (2017).

64. Курант P.,Гильберт Д. Методы математической физики, т.1, М. Высшая школа 1966

65. Mead D.G. Dissection of the hypercube into simplexes // Proc. Amer. Math. Soc. 76, 302-304 (1979).

66. Muga, J.G., Palao, J.P., Navarro, B., Egusquiza, I.L. Complex absorbing potentials // Phys. Rept. 395, 357-426 (2004).

67. Moiseyev N. Non-hermitian quantum mechanics. Cambridge Univ. Press, (Cambridge Univ. Press, Cambridge 2011).

68. Siegert A.J.F. On the derivation of the dispersion formula for nuclear reactions // Phys. Rev. 56, 750-752 (1939).

69. McCurdy C.W., Stroud C.K. Eliminating wavepacket reflection from grid boundaries using complex coordinate contours // Comput. Phys. Commun., 63, 323-330 (1991).

70. Ермаков В.В., Калиткин Н.Н. Оптимальный шаг и регуляризация мето-

да Ньютона // ЖВММФ, 21, 491-497 (1981).

71. Ahmed Z. Real and complex discrete eigenvalues in an exactly solvable one-dimensional complex PT -invariant potential // Phys. Lett. A 282, 343-348 (2001).

72. Ahmed Z. Schrodinger transmission through one-dimensional complex potentials // Phys. Rev. A 64, 042716 (2001).

73. Cervero J.M., Rodriguez A. Absorption in atomic wires // Phys. Rev. A 70, 052705 (2004).

74. Болсинов А.В., Фоменко А.Т., Интегрируемые гамильтоновы системы (Ижевск: Удмуртский университет 1999).

75. De Groote J.J., Masili M., Hornos J.E. Highly excited states for the helium atom in the hyperspherical adiabatic approach //J. Phys. B 31, 4755-4764 (1998).

76. Drake G.W.F., Van Z.-C. Variational eigenvalues for the S states of helium // Chem. Phys. Lett. 229, 486-490 (1994).

77. Chuluunbaatar O., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. Uncoupled correlated calculations of helium isoelectronic bound states //J. Phys. B 34, L425-L432 (2001).

78. Abrashkevich A.G., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. ASYMPT: a program for calculating asymptotics of hyperspherical potential curves and adiabatic potentials // Comput. Phys. Commun. 125, 259-281 (2000).

79. Hayrapetyan D.B., Chalyan A.V., Kazaryan E.M., Sarkisyan H.A. Direct interband light absorption in conical quantum dot // J. Nanomaterials 2015, 915742 (2015).

80. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников М. Мир (1978).

81. Szulerecka A., Dobrowolski A., Gozdz A. Generalized projection operators for intrinsic rotation group and nuclear collective model // Phys. Scr. 89, 054033 (2014).

82. Dobrowolski A., Gozdz A., Mazurek K., Dudek J., Tetrahedral symmetry in

nuclei: new predictions based on the collective model || Int. J. Mod. Phys. E, 2G, 500-50б (2011).

83. Cornwell J.F. Group Theory in Physics. New York: Academic Press, 1984.

84. Dobrowolski A., Goutte H., Berger J.-F. Microscopic determinations of fission barriers (mean-field and beyond) || Int. J. Mod. Phys. E 16, 431-442 (2007).

85. Фаддеев Л.Д., Меркурьев С.П. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц (1985).

86. Ershov S.N., Danilin B.V., Vaagen J.S. Inelastic excitations and momentum distributions in kinematically complete breakup reactions of two-neutron halo nuclei || Phys. Rev. C, 64, 0б4б09 (2001).

87. Пеньков Ф.М., Квантовая прозрачность барьеров для структурных частиц || ЖЭTФ, 118, 80б-815 (2000); JETP, 91, б98-705 (2000).

88. Krassovitskiy P.M., Pen'kov F.M., Contribution of resonance tunneling of molecule to physical observables || J. Phys. B, 47, 225210 (2014).

89. Пузынин И.В., Бояджиев ^Л., Виницкий С.И., Земляная Е.В., Пузыни-на ^П., Чулуунбаатар О. О методах вычислительной физики для исследования моделей сложных физических процессов || ЭЧAЯ, 38:2 (2007), 144-232; Phys. Part. Nucl., 38, 70-11б (2007).

90. Gusev A.A., Vinitsky S.I., Chuluunbaatar O., Gerdt V.P., Rostovtsev V.A. Symbolic-numerical algorithms to solve the quantum tunneling problem for a coupled pair of ions || Lect. Notes Comp. Sci. 6885, 175-191 (2011).

91. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Gerdt V.P. et al POTHMF: A program for computing potential curves and matrix elements of the coupled adiabatic radial equations for a hydrogen-like atom in a homogeneous magnetic field || Comput. Phys. Commun. 178, 301-330 (2008).

92. Gusev A., Vinitsky S., Chuluunbaatar O., Gerdt V., Hai L.L., Rostovtsev V.A. Symbolic-numerical calculations of high jmj Rydberg states and decay rates in strong magnetic fields, || Lect. Notes Comp. Sci. 7442, 155-171

93. Guest J.R., Choi J.-H., Raithel G. Decay rates of high-|m| Rydberg states in strong magnetic fields // Phys. Rev. A. 68, 022509 (2003).

94. Guest J.R., Raithel G. High-|m| Rydberg states in strong magnetic fields // Phys. Rev. A. 68, 052502 (2003).

95. Gusev A., Vinitsky S., Chuluunbaatar O., Rostovtsev V.A., Hai L.L., Derbov V., Gozdz A., Klimov E. Symbolic-numerical algorithm for generating cluster eigenfunctions: identical particles with pair oscillator interactions // Lecture Notes in Comput. Sci., 8136, 155-168 (2013).

96. Wang J., Wang G., Zhao J. Density functional study of beryllium clusters, with gradient correction //J. Phys. Cond. Matt. 13, L753 (2001).

97. Lauhon L.J., Ho W. Direct observation of the quantum tunneling of single hydrogen atoms with a scanning tunneling microscope // Phys. Rev. Lett. 85, 4566 (2000).

98. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и куло-новские сфероидальные функции. М: Наука 1976.

99. Newton R.G. Analytic properties of radial wave functions //J. Math. Phys. 1, 319 (1960).

100. Newton R.G. Structure of the many-channel s matrix //J. Math. Phys. 2, 188 (1961).

101. Pijper E., Fasolino A. Quantum surface diffusion of vibrationally excited molecular dimers //J. Chem. Phys. 126, 014708 (2007).

102. Mitin A.V. Unusual chemical bonding in the beryllium dimer and its twelve vibrational levels Chem. Phys. Lett. 682, 30 (2017).

103. Merritt J.M., Bondybey V.E., Heaven M.C., Beryllium dimer—caught in the act of bonding // Science 324, 1548 (2009).

104. Patkowski K., Spirko V., Szalewicz K. On the elusive twelfth vibrational state of beryllium dimer // Science 326, 1382 (2009).

105. Fock V.A. Naherungsmethode zur Losung des quantenmechanischen

Mehrkörperproblems // Zs. Phys., 61, 126-148 (1930).

106. Фок В.А. Приближенный способ решения квантовой задачи многих тел // УФН, 93, 342-361 (1967).

107. Moshinsky M., Smirnov Yu.F. The harmonic oscillator in modern physics. Amsterdam. Harwood Academic Publ. 1996.

108. Kramer P., Moshinsky M. Group theory of harmonic oscillators (III). States with permutational symmetry // Nucl. Phys., 82, 241-274 (1966).

109. Novoselsky A., Katriel J. Non-spurious harmonic oscillator states with arbitrary symmetry // Ann. Phys., 196, 135-149 (1989).

110. Kramer P., Kramer T. Interacting electrons in a magnetic field in a center-of-mass free basis // Phys. Scr. 90, 074014 (2015).

111. Неудачин В.Г., Смирнов Ю.Ф., Нуклонные ассоциации в лёгких ядрах. Наука, М. (1969).

112. Baker Jr. G.A. Degeneracy of the n-dimensional isotropic harmonic oscillator // Phys. Rev., 103, 1119-1120 (1956).

113. Gusev A.A., Vinitsky S.I., Chuluunbaatar O., Gozdz A., Derbov V.L., Resonance tunnelling of clusters through repulsive barriers // Phys. Scr., 89, 054011-1-7 (2014).

114. Жанлав Т., Мижиддорж Р., Чулуунбаатар О., Непрерывный аналог метода Ньютона для нахождения собственных значений и собственных векторов матриц // Вестник ТвГУ: сер. прикл. матем. 14, 27-37 (2008).

115. Zhanlav T., Chuluunbaatar O., Ulziibayar V. Two-sided approximation for some Newton's type methods // Appl. Math. Comput., 236, 239-246 (2014).

116. Уилкинсон Дж., Райнш Ц., Справочик алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. Машиностроение, М. (1976).

117. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Derbov V.L., Krassovitskiy P.M., Vinitsky S.I. Channeling problem for charged particles produced by confining environment // Ядерная физика, 72, 811-821 (2009); Phys. Atom. Nucl., 72, 768-778 (2009).