Метод Кабаре для решения двумерных задач аэроакустики и гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Яковлев, Петр Георгиевич

• Яковлев, Петр Георгиевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Яковлев, Петр Георгиевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОД КАБАРЕ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ.

1.1 Основные уравнения движения.

1.2 Метод Кабаре на ортогональных сетках (обзор).

1.2.1 Фаза 1. Вычисление консервативных переменных на промежуточном слое по времени.

1.2.2 Тензор вязких напряжений.

1.2.3 Фаза 2. Вычисление потоковых переменных на новом слое по времени.

1.2.4 Фаза 3. Вычисление консервативных переменных на новом слое по времени.

1.2.5 Граничные условия.

1.3 Метод Кабаре на треугольных сетках.

1.3.1 Фаза 1. Вычисление консервативных переменных на промежуточном слое по времени.

1.3.2 Фаза2. Вычисление потоковых переменных на новом слое по времени.

1.3.3 Процедура дополнительной коррекции.

1.3.4 ФазаЗ. Вычисление консервативных переменных на новом слое по времени.

1.3.5 Вычисление величины допустимого шага по времени.

1.4 Результаты тестовых расчетов.

1.4.1 Бегущие волны.

1.4.2 Акустическое возмущение.

1.4.3 Вихрь Гаусса.

1.4.4 Вихрь Тейлора.

1.5 ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 1.,.

ГЛАВА 2. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ВИХРЕМ РАНКИНА.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Результаты.

2.3 Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ПАР ПРОТИВОВРАЩАЮЩИХСЯ ВИХРЕЙ.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Результаты.

3.3 Квазистационарная модель.

3.4 Выводы к главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод Кабаре для решения двумерных задач аэроакустики и гидродинамики»

ВВЕДЕНИЕ

Вычислительный эксперимент [1-3] играет большую роль при решении многих практических задач в механике жидкости и газа. Например, существенной проблемой переноса результатов стендовых испытаний на натурные условия является сложность соблюдения законов подобия, таких как числа Маха и Рейнольдса, одновременно, которые могут по-разному проявляться на различных режимах течения. С другой стороны, применение вычислительных технологий может не только сократить время проведения экспериментов за счет отбраковки значительного числа неудачных вариантов на ранней стадии проектирования, но и получить решения для таких режимов течения, экспериментальная реализация которых была бы крайне затруднена. В частности, применение вычислительных технологий значительно улучшило эффективность авиационных двигателей за последние 20 лет, а также сильно сократило время, затрачиваемое на их проектирование [4].

Несмотря на быстрое развитие вычислительной техники, в вычислительной механике жидкости и газа остаётся ряд задач, которые трудно поддаются решению только за счет увеличения быстродействия компьютера [57]. Центральной из них продолжает оставаться задача расчета турбулентных течений. Наряду с этим, в силу большого перепада гидродинамических и акустических масштабов [8], задачи аэроакустики также являются примером задач повышенной сложности. Численное моделирование должно корректно разрешать все соответствующие величины, поскольку взаимное влияние аэродинамической [9] и акустической [10] составляющих может быть достаточно существенным. В этой связи важное значение играет точность вычислительного алгоритма.

Построению высокоточных алгоритмов посвящено значительное количество публикаций в литературе, где существует несколько общих подходов. Один из таких подходов основан на построении вычислительных

схем по свойствам, приближающимся к спектральным схемам [11-13]. Примером подобного класса являются методы с сохранением дисперсионного соотношения (DRP - Dispersion relation preserving schemes) разработанные К. Тамом [13-15]. Для подавления коротко-волновых осцилляций в этих схемах используются методы искусственной вязкости высокого порядка. Другим примером построения схем высокого разрешения являются схемы повышенного порядка аппроксимации на основе принципа невозрастания полной вариации решения (TVD - Total Variation Diminishing) [16-18]. В данном подходе для борьбы с численными осцилляциями, возникающими в силу дисперсионных ошибок, при повышении порядка аппроксимации к разностной схеме добавляются ограничители потоков таким образом, чтобы схема обладала высоким порядком на гладких решениях и сохраняла монотонность в областях сильного разрыва. К методом основанных на ограничении нефизичных осцилляции относятся также методы ЕНО (ENO -essentially non-oscillatory) [19-22] . В данном роде методов применяется автоматический анализ уровня гладкости решения в ячейках, в зависимости от которого строятся полиномы заранее заданного порядка (порядок аппроксимации зависит от степени полинома). Увеличение порядка аппроксимации в таких схемах зачастую сопровождается увеличением вычислительного шаблона; последнее ведет к проблемам, как при задании граничных условий, так и при аппроксимации на произвольных расчетных сетках.

Перспективным направлением для улучшения разностных свойств является использование класса схем с разнесенными переменными на компактном шаблоне с использованием коррекции потоков на основе принципа максимума. Здесь одним из самых многообещающих подходов является схема Кабаре, обладающая вторым порядком аппроксимации для произвольно неоднородных сеток по пространству и времени. Схема Кабаре впервые предложена в консервативной форме в работах Головизнина и Самарского [23, 24]. Процедура нелинейной коррекции потоков впервые представлена в работах

Головизнина и Карабасова [25]. Усовершенствованные варианты нелинейной коррекции потоков появились в работах Головизнина и др. [26] и Головизнина и Карабасова [27]. В последующих работах схема Кабаре была обобщена на одномерные [28] и двумерные уравнения Эйлера [29].

Несмотря на простоту реализации и «небольшой» порядок аппроксимации, Кабаре хорошо проявила себя в ряде задач газодинамики и аэроакустики [3032]. Отличительными чертами схемы Кабаре являются её компактный вычислительный шаблон, малодисперсионность и бездиссипативность. Для решения задач нелинейного переноса в схеме Кабаре используется алгоритм нелинейной коррекции потоков на основе принципа максимума для потоковых переменных. Оказалось, что характеристики этой схемы исключительно хорошо приспособлены для решения вычислительных задач, связанных с вихревой динамикой.

Существенным минусом имеющихся реализаций схемы Кабаре, является использование гексаэдральный сеток. В Главе 1 настоящей диссертации разработаны новые варианты двумерной схемы Кабаре, позволяющие решать уравнения газовой динамики на произвольных треугольных сетках. Приведены результаты тестовых расчетов акустических волн и вихревых течений.

В следующих в главах 2, 3 рассмотрен ряд задач вихревой динамики и акустики представляющих сложность для вычислительных методов. Для удовлетворения высоких требований к точности, предъявляемых в этих задачах, они решены методом Кабаре на декартовых сетках.

В Главе 2 представлено решение задачи о малых колебаниях вихря Ранкина и излучения им звука. Задача рассеяния звуковых волн изолированным вихрем [33-37] является классической в теории рассеяния звуковых волн на гидродинамических неоднородностях потока. В частности, эта задача является базовой для понимания взаимодействия звуковых волн с завихренными течениями, включая турбулентные [38-41]. В случаях, когда турбулентность может быть представлена распределением локализованных вихрей (подход

Крейчнана-Татарского [42, 43]), звуковое поле, рассеянное таким течением, представляет собой суперпозицию рассеянных полей от каждого вихря. В рамках данного подхода описание элементарного события - рассеяние звука отдельным вихрем - является необходимым условием для понимания механизмов переноса звука в турбулентных течениях, включая вихревые следы летательных аппаратов гражданской авиации [44]. Кроме того, исследование взаимодействия звука с локализованными вихрями имеет особый интерес с точки зрения диагностики объектов по рассеянию звука на создаваемом ими следе, как в воздухе, так и воде.

С точки зрения аналитического описания задача хорошо известна. В несжимаемой жидкости колебания такого вихря рассматривались еще Кельвином [45]. В сжимаемой жидкости задача также рассматривалась, поскольку она является одним из наиболее простых модельных примеров распределенного вихря, когда динамику вихревого поля и звук можно вычислить точно [46]. Теоретически были обнаружены такие особенности излучения звука вихрем как акустическая неустойчивость [47], объяснение которой на языке волн отрицательной энергии было дано в [48, 49]. С точки зрения численного моделирования задача является исключительно сложной, поскольку вихревое течение отличается резкой границей, разделяющей завихренное и потенциальное течение. Деформации этой границы (возмущения Кельвина) вращаются с постоянной угловой частотой и медленно нарастают из-за акустической неустойчивости.

Вторая задача, рассмотренная в настоящей работе в Главе 3, посвящена решению задачи о взаимодействии пар плоских вихрей [50-52]. Данная задача имеет большое значение в теории генерации звука в нестационарных и неоднородных гидродинамических потоках, включая турбулентные [53-55]. Покоящаяся в начальный момент времени, в результате взаимодействия, система вихрей приходит в движение. Вихри начинают проскальзывать друг относительно друга, и их центр масс приходит в движение. Задача о

проскальзывающих вихрях представляет интерес не только с точки зрения изучения фундаментальных механизмов генерации звука для относительно простого течения, но и с точки зрения тестирования расчетных методик, поскольку разрешение как самих мелких филаменов завихренности так и порождённых ими акустических пульсаций требует повышенной точности расчета. В частности, при использовании традиционных конечно-разностных сеточных методов на эйлеровых сетках для выполнения этих требований из-за дисперсионных и диссипативных ошибок необходимо использовать аппроксимации высокого порядка и достаточно мелкую сетку. До недавнего времени соответствующие решения уравнений Навье-Стокса [56] были получены в литературе только для относительно низких чисел Рейнольдса, определенных по отношению к циркуляции вихря и не превышающих 10004000 [57]. Для исключения проблем эйлеровых методов при решении этой задачи при рекордно большом числе Рейнольдса, Яе=10000, в работе [52] был реализован специальный эйлерово-лагранжевый метод [58-60], оперирующий в переменных вихрь - дивергенция скорости. В этом методе для описания переноса завихренности используются лагранжевые частицы [61], которые наряду с завихренностью также переносят дивергенцию скорости. Для достижения устойчивой работы этого алгоритма на длительных временах, лагранжевые шаги чередуются с пересчётом решения на эйлеровой сетке, для чего используется интерполяция высокого порядка. К достоинствам лагранжевого метода [52] можно отнести его небольшую вычислительную сложность относительно классических разностных методов, требующих большого сеточного разрешения, а также использование в расчёте переменных завихренности и дивергенции поля, которые удобны для интерпретации результатов расчета в рамках классических подходов акустической аналогии [62]. В настоящей работе данная задача о проскальзывающих вихрях при высоких числах Рейнольдса, 5000-10000, была решена методом Кабаре и проведены сравнения с результатами в статье [52].

Цели и задачи исследования

Разработка нового численного алгоритма на основе метода Кабаре для решения двумерных задач гидродинамики на расчетных областях, состоящих из треугольных элементов.

Численное моделирование методом Кабаре для ортогональных сеток классических задач вихревой динамики и акустики, таких как задача о малых колебаниях вихря Ранкина и задача о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей.

Научная новизна и практическая значимость

Предложен новый вариант обобщения схемы Кабаре на треугольные сетки, включающий в себя новую экстраполяционную формулу и процедуру коррекции потоков. Разработанный алгоритм предоставляет возможность численного решения задач гидродинамики и аэроакустики методом Кабаре на расчетных областях смешанного типа с рядом ограничений.

На основе метода Кабаре для ортогональных сеток численно решена задача об излучении звука вихрем Кельвина с учетом совокупности процессов генерации и обратного влияния звука на вихревое течение. Проведено численное моделирование задачи о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей методом Кабаре для ортогональных сеток, как для ближнего, так и дальнего полей. Предложена квазистационарная модель периодически зарождающихся вихрей, на основе которой продемонстрирована связь модельной задачи о парах вихрей с более общей задачей об идентификации механизмов шума турбулентной струи.

Численное решение поставленных в главах 2, 3 задач методом Кабаре для ортогональных сеток оказалось способным предсказать тонкие эффекты взаимодействия вихревой динамики и сжимаемости, выражаемые величинами, пропорциональными четвертой степени числа Маха, несмотря на всегда имеющиеся неконтролируемые ошибки, связанные с дискретизацией уравнений и схемной вязкостью. Это значит, что схема КАБАРЕ в целом допускает

расширение прямого численного моделирования на задачи, характеризующиеся локализованными вихрями с выраженным ядром, в том числе на задачи, когда турбулизация течения и генерация звука определяются тонкими эффектами взаимодействия колебаний ядра вихря и обтекающего ядро потока.

На защиту выносятся следующие результаты

1) Новый алгоритм численного решения уравнений гиперболического типа на треугольных расчетных сетках, который можно считать обобщением известного метода Кабаре.

2) Результаты расчетов методом Кабаре для ортогональных сеток задачи о динамики вихря Кельвина для «ближнего» и «дальнего» полей.

3) Результаты расчетов методом Кабаре для ортогональных сеток задачи о взаимодействии пар противовращающихся плоских вихрей как для «ближнего» и «дальнего» полей.

Личный вклад автора заключался

1).. в разработке численного алгоритма на основе метода Кабаре для решения задач гидродинамики на треугольных сетках; исследование процедуры коррекции нелинейных потоков; в проведении тестовых расчетов и анализе полученных результатов.

2) ..в проведении численных расчетов задач о вихре Кельвина и движении пар плоских вихрей.

3) научному руководителю д.ф.-м.н. С.А. Карабасову принадлежит помощь в постановке задачи о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей. Д.ф.-м.н. В.Ф. Копьеву принадлежит помощь в постановке задачи о вихре Кельвина. Д.ф.-м.н. В.М. Головизнину принадлежит помощь при проведении численных расчетов.

Аппробация работы

Основные результаты, содержащиеся в диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации" (РФ, г. Якутск, 2009 г.);

• Всероссийская научно-практическая конференция "Вычислительный эксперимент в аэроакустике" (РФ, г. Светлогорск, 2010 г.);

• Научная конференция МФТИ (РФ, г. Москва, 2010 г.);

• 17th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (32nd AIAA Aeroacoustics Conference) (USA, Portland, Oregon, 2011 г.);

• Всероссийская конференция по авиационной акустике (РФ, г.Звенигород, 2011г.);

• Международная конференция "Суперкомпьютерные технологии математического моделирования" (РФ, г.Якутск, 2011 г.).

Объем и структура диссертации

Общий объем диссертации составляет 89 страниц. Библиография содержит 81 наименования работ. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении сформулирована цель работы, обоснована актуальность, научная новизна темы и кратко описано содержание диссертации.

Первая глава состоит из трех разделов: в первой части приведен вывод основных уравнений газовой динамики; во второй - обзор метода Кабаре для ортогональных сеток; в третьей части описаны проведенные исследования по обобщению метода Кабаре на треугольные сетки, включая тестовые расчеты. Первые два раздела имеют вспомогательное значение и не претендуют на новизну или оригинальность.

Во второй части проведено численное моделирование классической задачи о малых колебаниях вихря Ранкина в сжимаемом газе. Уравнения Эйлера для сжимаемого газа решались методом КАБАРЕ для ортогональных сеток. Исследовались малые возмущения границы вихря и излучаемое звуковое поле. Показано, что результаты численного моделирования хорошо

предсказывают величину собственной частоты колебаний границы для азимутальной гармоники п=2 и практически совпадают с аналитическим решением. Удалось количественно предсказать величину инкремента акустической неустойчивости, несмотря на то, что эта величина очень мала и проявляется при числе колебаний больших 100.

В третьей части рассмотрена классическая задача о движении двух вихревых пар противовращающихся плоских вихрей конечного радиуса. На основе метода Кабаре для ортогональных сеток решались уравнения Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса. Приведено сравнение решения по схеме Кабаре с известным в литературе численным решением, полученным на основе эйлеро-лагранжевого метода повышенного порядка аппроксимации. Для основных интегральных характеристик решения, таких как период проскальзывания вихревых пар и скорости движения их центра масс, приведено сравнение с аналитическим решением, полученным для случая точечных вихрей в идеальной жидкости. Проверена чувствительность полученных численных решений к плотности сетки, включая как гидродинамическое ближнее поле, так и мгновенные и среднеквадратичные акустические пульсации. Предложена квазистационарная модель периодических зарождающихся квадруполей. Показана связь полученных результатов для предложенной модели с результатами, полученными на основе прямого моделирования турбулентной струи.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Яковлев, Петр Георгиевич

3.4 Выводы к главе 3

Рассмотрено решение задачи о движении двух пар противовращающихся плоских вихрей на основе метода Кабаре с использованием метода наименьшей локальной вариации для построения нелинейного потока.

Показано хорошее качественное соответствие решений полученных по схеме Кабаре на сетках плотностью 6 и 12 точек на радиус вихря с решением, полученным в литературе с использованием метода лагранжевых частиц.

Приведено сравнение с известным аналитическим решением для пар точечных вихрей в невязком потоке. Показано хорошее соответствие численного и аналитического решений для средней скорости движения системы и времени между соседними проскальзываниями вихревых пар. Показана незначительная чувствительность полученных параметров к плотности расчетной сетки.

Рассмотрено решение пульсационной составляющей решения в дальнем поле. Исследовано влияние вязкости потока и угла наблюдения на излучаемый звук, включая как среднеквадратичные пульсации так и рассмотрение временного сигнала в нескольких контрольных точках. Отмечен эффект усиления звука под малыми углами к потоку и влияния вязкости на мелкомасштабные структуры вблизи ядра вихря. Установлена слабая количественная зависимость рассмотренных эффектов от плотности расчетной сетки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен новый алгоритм численного решения задач гидродинамики на треугольных расчетных сетках. Данный алгоритм включает в себя экстраполяционную формулу для вычисления потоковых переменных для метода Кабаре на расчетных сетках, состоящих из треугольных элементов; алгоритм фильтрации решения для коррекции потоковых переменных. Проведены исследования применимости разработанной методики Кабаре для треугольных сеток на классических тестовых задач аэроакустики и вихревой динамики.

2. Задача об излучении звука вихрем Кельвина решена численно методом КАБАРЕ, для ортогональных сеток, как для ближнего, так и для дальнего поля. Произведена оценка излучаемого звукового поля. Показано согласованность пульсаций давления в дальнем поле с аналитическим решением. Показано, что численный метод хорошо моделирует малые возмущения вихря Кельвина: инкремент неустойчивости хорошо согласуется с аналитическими данными, частота собственных колебаний вихря практически совпадает с аналитическим решением.

3. Рассмотрено решение задачи о движении двух пар противовращающихся плоских вихрей на основе метода Кабаре для ортогональных сеток. Показано хорошее качественное соответствие решений полученных по схеме Кабаре на сетках плотностью 6 и 12 точек на радиус вихря с решением, полученным в литературе с использованием метода лагранжевых частиц. Показано хорошее соответствие численного и аналитического решений для средней скорости движения системы и времени между соседними проскальзываниями вихревых пар. Отмечен эффект усиления звука под малыми углами к потоку и влияния вязкости на мелкомасштабные структуры вблизи ядра вихря. Установлена слабая количественная зависимость рассмотренных эффектов от плотности расчетной сетки.

4. Предложена квазистационарная модель зарождающихся вихрей. Проанализированы спектральные характеристики идуцированного ими акустического поля. Показано, что при высоких числах Рейнольдса спектральная мощность результирующего сигнала в дальнем поле содержит важные черты спектров турбулентных струй.

83

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Яковлев, Петр Георгиевич, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент //Вестник АН СССР. - 1979. - Т. 4. - №. 5.-С. 3849.

2. Попов Ю. П., Самарский А. А. Вычислительный эксперимент //М.: Знание. - 1983.

3. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. - Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.

4. Johnson, F.T., Tinoco, E.N. andYu, NJ. (2003). Thirty years of development and application of CFD at Boeing commercial airplanes, Seattle, 16th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, Orlando, AIAA Paper 2003-3439.

5. Spalart P. R. Strategies for turbulence modelling and simulations //International Journal of Heat and Fluid Flow. - 2000. - T. 21. - №. 3. - C. 252-263.

6. Chapman D. R. Computational aerodynamics development and outlook //AIAA journal.-1979.-T. 17.-№. 12.-C. 1293-1313.

7. Sagaut P. Large eddy simulation for incompressible flows. — Berlin : Springer, 2000.-T. 3.

8. Colonius, T. and Lele, S.K., Computational aeroacoustics: progress on nonlinear problems of sound generation. Progress in Aerospace sciences 40 (2004), pp. 345-416.

9. Мунин А. Г. Аэродинамические источники шума. — " Машиностроение ", 1981.

10. Голдстейн M. Е. Аэроакустика //М.: Машиностроение. -1981.

11. Толстых А.И. О методе численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса, Докл. АН СССР. 1973. Т. 210. № 1. С. 48-51.

12. Lele, S.K., Compact finite-difference scheme with spectral-like resolution, J.Comput. Physics, 103 (1992), 16-42.

13. Tarn, C.K.W. and Webb. J.C., Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics, J.Comput. Physics, 107 (1993), 262281.

14. Tam С. K. W., Kurbatskii K. A. Multi-size-mesh multi-time-step dispersion-relation-preserving scheme for multiple-scales aeroacoustics problems //International Journal of Computational Fluid Dynamics. - 2003. - T. 17. - №. 2. -C. 119-132.

15. Tam С. K. W., Kurbatskii K. A. A wavenumber based extrapolation and interpolation method for use in conjunction with high-order finite difference schemes //Journal of Computational Physics. - 2000. - T. 157. - №. 2. - C. 588-617.

16. Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа. Математическое моделирование. 1989. т.1, N5. с.95-120.

17. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws //Journal of computational physics. - 1983. - T. 49. - №. 3. - C. 357-393.

18. Harten A. On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes //SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1984. - T. 21. - №. 1. -C. 1-23.

19. Harten A., Osher S. Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes. I. - Springer Berlin Heidelberg, 1997. - C. 187-217.

20. Shu C. W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes //Journal of Computational Physics. - 1988. - T. 77. - №. 2.-C. 439-471.

21. Shu C. W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, II //Journal of Computational Physics. - 1989. -T. 83. -№. l.-C. 32-78.

22. Liu, X.D., Osher, S., and Chan, Т., Weighted essentially non-oscillatory schemes, J.Comp. Phys, 115 (1994), 200-212.

23. Самарский А.А., Головизнин, В.М., Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной, Матем. моделирование, 1998, 10:1, 86-100.

24. Самарский А.А., Головизнин, В.М., Некоторые свойства разностной схемы "кабаре", Матем. моделирование, 1998, 10:1, 101—116.

25. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Нелинейная коррекция схемы Кабаре, Матем. моделирование, 1998, 10:12, 107-123.

26. Головизнин, V.M., Карабасов, С.А., Кобринский, И.М. Балансно-характеристические схемы с разделенными консервативными и потоковыми переменными, Матем. моделирование, 2003, 15:9, 29-48.

27. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Балансно-характеристические схемы на кусочно-постоянных начальных данных. Прыжковый перенос, Матем. моделирование, 2003, 15:10, 71-83.

28. Головизнин В.М., "Балансно-характеристический метод численного решения одномерных уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных", Матем. моделирование, 2006, 18:11, 14-30.

29. Karabasov, S.A., Berloff, P.S., and Goloviznin V.M. CABARET in the Ocean Gyres, J. Ocean Model., 30 (2009), pp. 155-168.

30. Karabasov, S. A. and Goloviznin, V.M. "A New Efficient HighResolution Method for Non-Linear problems in Aeroacoustics", AIAA Journal, 2007, vol. 45, no. 12, pp. 2861 - 2871.

31. Головизнин B.M., Карабасов С. А., Яковлев П.Г. "Прямое моделирование взаимодействия вихревых пар" // Журнал Математическое моделирование т.23 №11 2011г. стр. 21-32.

32. Яковлев П.Г. "Излучение звука плоским локализованным вихрем" // Акустический журнал, том 58, № 4, Июль-Август 2012, стр. 563-568.

33. Lindsay R. В. Compressional wave front propagation through a simple vortex //The Journal of the Acoustical Society of America. - 1948. - T. 20. - C. 89.

34. Georges Т. M. Acoustic ray paths through a model vortex with a viscous core //The Journal of the Acoustical Society of America. - 1972. - T. 51. - C. 206.

35. Broadbent E. G. Acoustic ray theory applied to vortex refraction //IMA Journal of Applied Mathematics. - 1977. - T. 19. - №. 1. - C. 1-27.

36. Butler G.W., Holbeche T.A., Fethney P. 1973. Some experimental observations of the refraction of sound by a rotating flow. // AGARD Conf. Proc. №131, p.91.

37. Dowling A. P. The refraction of sound by a shear layer made up of discrete vortices. - HM Stationery Office, 1975.

38. Crow S. C., Champagne F. H. Orderly structure in jet turbulence //J. Fluid Mech. - 1971. - T. 48. - №. 3. - C. 547-591.

39. Ahuja K. K., Whiffen M. C. Tone excited jets, part II: Flow visualization //Journal of Sound and Vibration. - 1985. - T. 102. - №. 1. - C. 63-69.

40. Hussain А. К. M. F. Coherent structures—reality and myth //Physics of Fluids. - 1983. - T. 26. - C. 2816.

41. Kopiev V. F. et al. Visualization of the Large" Cscale Vortex Structures in Excited Turbulent Jets //Journal of visualization. - 2003. - T. 6. - №. 3. - C. 303311.

42. Kraichnan R. H. The scattering of sound in a turbulent medium //The Journal of the Acoustical Society of America. - 1953. - T. 25. - C. 1096.

43. Lund F., Rojas C. Ultrasound as a probe of turbulence //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1989. - T. 37. -№. 1. - C. 508-514.

44. Ferziger J. H. Low- frequency acoustic scattering from a trailing vortex //The Journal of the Acoustical Society of America. - 1974. - T. 56. - C. 1705.

45. Лэмб Г. Гидродинамика. M. Гостехихдат, 1947, 928 с.

46. Broadbent E.G. Jet noise radiation from discrete vortices. ARC Rep. & Memor. 1978, No.3826, 28p

47. Broadbent E.G., Moore D.W. Acoustic destabilization of a vortex, Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A 290, 1979, C.353-371.

48. Кольев В.Ф., Леонтьев E.A. Об акустической неустойчивости аксиального вихря. 1983. Т.28. №2. С.192-198.

49. Копьев В.Ф., Леонтьев Е.А. Излучение и рассеяние звука вихревым кольцом. Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. №3. 83-95.

50. В.Е. Mitchell, S.K. Lele, P. Moin, Direct computation of the sound from a compressible co-rotating vortex pair, Journal of Fluid Mechanics 285 (1995) 181— 202.

51. Tang, S.K., Ко, N.W.M., Sound sources in the interactions of two inviscid two-dimensional vortex pairs, Journal of Fluid Mechanics 419 (2000) 177201.

52. Eldredge, J.D., "The dynamics and acoustics of viscous two-dimensional leapfrogging vortices", J. Sound Vib., 301 (2007), pp. 74-92.

53. Powell, A. "Theory of vortex sound", Journal of the Acoustical Society of America 36 (1) (1964) 177-195.

54. Ffowcs Williams, J. E., "Hydrodynamic Noise," Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 1, 1969, pp. 197-222.

55. Koenig, M., Cavalieri, A., Jordan, P., Delville, J., Gervais, Y., Papamoschoux, D., Samimy, M., Lele, S. "Filtering and source imaging for the study of jet noise", AIAA 2010-3779, 16th AIAA/CEAS Aeroacoustic Conference and Exhibit.

56. Темам P., Новиков В. А., Франк A. M. Уравнения Навье-Стокса: Теория и численный анализ. - Мир, 1981.

57. Inoue, О Sound generation by the leapfrogging between two coaxial vortex rings, Physics of Fluids 14 (9) (2002) 3361-3364.

58. Eldredge J. D., Colonius Т., Leonard A. A vortex particle method for two-dimensional compressible flow //Journal of Computational Physics. - 2002. - T. 179.-№. 2.-C. 371-399.

59. Eldredge J. D., Leonard A., Colonius T. A general deterministic treatment of derivatives in particle methods //Journal of Computational Physics. -2002. - Т. 180. - №. 2. - C. 686-709.

60. Cottet G. H., Koumoutsakos P. D. Vortex methods: theory and practice. - Cambridge university press, 2000.

61. Андронов П. P., Гувернюк С. В., Дынникова Г. Я. Лагранжев численный метод решения двумерных задач свободной конвекции //Тр. - С. 3841.

62. Mohring, W. "On vortex sound at low Mach number", Journal of Fluid Mechanics 85 (1978) 685-691.

63. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, т. 6. - М., Наука, 1982.

64. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: наука, 1987. - Т.

840.

65. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. - " Высшая школа, 2000.

66. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. - М. : Науч. мир, 2000.

67. Courant R., Friedrichs К., Lewy Н. On the partial difference equations of mathematical physics //IBM journal of Research and Development. - 1967. - T. ll.-№. 2.-C. 215-234.

68. Bakhvalov N. S. Courant-Friedrichs-Lewy Condition //Encyclopedia of Mathematics. - 2001.

69. Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М. : Наука, 1978. - Т. 968.

70. Temme N. М. Error functions, Dawson's and Fresnel integrals //NIST handbook of mathematical functions. - 2010. - C. 159-171.

71. Press W. H. et al. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing (; Cambridge. - 1992.

72. Сэффмэн Ф. Д. Динамика вихрей. - М. : Науч. мир, 2000.

73. Милн-Томсон JI. М. и др. Теоретическая гидродинамика: Пер. с англ. - Мир, 1964.

74. Broadbent Е. G., Moore D. W. Acoustic destabilization of vortices //Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. - 1979.-T. 290. -№. 1372. -C. 353-371.

75. В.Ф.Копьев, С. А. Чернышев «Колебания вихревого кольца, возникновение в нем турбулентности и генерация звука», УФН, т. 170, No. 7, 2000, с. 713-742.

76. Hicks, W.M. "On the mutual threading of vortex rings", Proceedings of the Royal Society of London A 10 (1922) 111-131.

77. Thompson, K.W. "Time dependent boundary conditions for hyperbolic systems, II." Journal of Computational Physics, 89, pp. 439-461, 1990.

78. Karabasov, S.A. and Goloviznin, Y.M. "Compact Accurately Boundary Adjusting high-REsolution Technique for Fluid Dynamics", J. Comput.Phys., 228(2009), pp. 7426-7451.

79. W. Grobli, Special problems on the motion of rectilinear parallel vortex filaments, Zurcher & Furrer (Zurich), 1877 (in German)

80. Shariff K. et al. Acoustics and dynamics of coaxial interacting vortex rings //Fluid Dynamics Research. - 1988. - T. 3. - №. 1. - C. 337-343.

81. Bogey, C. and Bailly, C., Computation of a high Reynolds number jet and its radiated noise using large eddy simulation based on explicit filtering. Comput. Fluids 35 (10), 2006, pp. 1344-1358.