Метод исследования устойчивости в целом стабилизированных преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.12, кандидат технических наук Кобзев, Геннадий Анатольевич

• Кобзев, Геннадий Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кобзев, Геннадий Анатольевич

Введение

1 Математические модели преобразователей в форме отображения Пуанкаре

1.1 Общая структура модуляционных систем автоматического регулирования напряжения

1.2 Схемы замещения и уравнения силовой части преобразователей

1.3 Схемы управления преобразователей

1.4 Широтно-импульсные модуляторы

1.5 Задержки срабатывания схемы управления и ключей

1.6 Отображение Пуанкаре

2 Методы анализа устойчивости нелинейных систем

2.1 Устойчивость в малом и первый метод Ляпунова

2.2 Методы анализа устойчивости на основе функций Ляпунова в виде суммы квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности

2.3 Анализ устойчивости в целом

2.4 Алгоритм построения последовательности множеств £)к и анализа устойчивости в~целом ' "

2.5 Особенности программной реализации алгоритма анализа устойчивости в целом

3 Численные эксперименты. Анализ стабилизатора понижающего типа

3.1 Зависимость коэффициента заполнения г от начальных условий

3.2 Трансформация областей начальных условий

3.3 Радиус области сходимости

3.4 Упрощение границ множеств начальных условий

4 Эксперименты на физической модели преобразователя

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод исследования устойчивости в целом стабилизированных преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией»

Актуальность работы. Преобразователи с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), анализу и проектированию которых посвящена данная работа, широко применяются для питания как стационарной, так и переносной аппаратуры. Если 20 лет назад только в бытовой аппаратуре, которой пользовалась семья, было три-четыре стабилизатора (телевизор и домашний компьютер), то есть в среднем один стабилизатор на человека, то сейчас бытовая электроника, начиная, от сотовых телефонов, плееров, приводов, автоэлектроники, индукционных плит и до энергосберегающей лампочки используют принципы, широтно-импульсного преобразования и стабилизации: Современного человека окружают уже десятки таких устройств, и нет сомнения в том, что их число будет расти. Промышленность предлагает широкий выбор микросхем, в которых реализуются почти все основные узлы за исключением времязадающих цепей, катушек индуктивности и фильтрующих конденсаторов. Но рост числа стабилизированных преобразователей создает и проблемы. Так, по данным сервисных центров, выход из* строям источников питания является самой распространенной причиной отказов бытовой аппаратуры. Поскольку ШИМ* преобразователи относятся-к классу импульсных нелинейных динамических систем, часть проблем построения и эксплуатации стабилизированных преобразователей связаны с их нелинейной динамикой — функционированием в субгармонических и хаотических режимах [1, 2, 3]. Если переход на субгармонический или хаотический режим и не приведет к немедленному отказу, то, вероятно, создаст акустический дискомфорт, повышенный уровень пульсаций выходного напряжения, повышенные токовые нагрузки на полупроводниковые приборы и конденсаторы, что повлечет снижение срока службы устройства. Причинами таких режимов работы наряду с дефектами компонентов и режимами функционирования в условиях перегрузок, случающихся в процессе эксплуатации, могут стать бифуркации вследствие вариации внешних параметров (температуры, входного питающего напряжения и параметров нагрузок) [45]. Такие-бифуркации могут происходить как по мягкому, так и по жесткому сценариям. Жесткий сценарий связан с неединственностью существования? основного и нежелательного стационарных движений, поэтому нежелательные режимы, на стадии проектирования и испытания опытного образца преобразователя выявляются далеко не всегда: Другая особенность заключается в «аномальности» динамических систем с ШИМ, когда лучшие, в определенном смысле, характеристики преобразования могут оказаться вблизи границ-устойчивости [3, 52]. В* этом случае часто приходится идти на компромисс между качеством* и параметрическими запасами по устойчивости [59].

Имеющиеся на рынке программы, входящие в САПР системы, позволяют лишь решать задачу Коши (Multisim, PSPICE, SwitchCad, ASIMEC и другие). Если периодический режим обнаруживается с помощью решения1 задачи Коши, то он автоматически оказывается устойчивым в малом, но при этом выводов по устойчивости в целом сделать не возможно.

Основы теории исследования устойчивости были заложены A.M. Ляпуновым, а метод исследования устойчивости в целом называется второй (или прямой) метод Ляпунова. Суть метода заключается в нахождении функций, определенных на пространстве состояний динамической системы, называемых функциями Ляпунова [4]. Применительно к ключевым стабилизированным преобразователям развитие метода Ляпунова пошло двумя основными путями. Идеи, на которых основана первая группа методов, опубликованы в работах А.И. Лурье и В:Н. Постникова применимы для систем с одной безынерционной нелинейностью. Они предложили находить функции Ляпунова в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности [5]. Такой подход позволяет получать критерии "абсолютной устойчивости" при соблюдении определенных ограничений на свойства нелинейного элемента. Известны работы [6] и [7], в которых в качестве безынерционной нелинейности' использовался "фиктивный диод" и были получены критерии абсолютной устойчивости для5 понижающего преобразователя с ШИМ: Этот подход детально анализируется в главе два, где ему посвящен отдельный раздел. Другая, группа подходов базируется на частотных методах исследования устойчивости. Необходимый' критерий абсолютной устойчивости был предложен М.А. Айзерманом, а достаточное условие абсолютной устойчивости - В.М. Поповым [5]. Однако практическое применение частотного анализа систем регулирования с ШИМ ограничено их ключевой природой' функционирования, т.е. минимальным временем реакции системы, которое по понятным причинам не может быть меньше периода квантования ШИМ - Тд, поэтому частотные методы, применяемые как для анализа, так и для синтеза в частотной' области /а~1 где /а -частота, на которой выполняется анализ, являются сомнительными, или, во всяком случае, требуют строгих альтернативных методов проверки. По-этой же причине частотные характеристики импульсных систем, регулирования при условии /с~1/7? часто получают приставку "псевдо", то есть называются-«псевдочастотными» [8].

За 30 лет, прошедших с момента оформления направлений, было написано большое количество работ, во- многом развивающих «критериальный» подход в одном из обозначенных направлений или в, их комбинации (например, [9]). Типичный «критериальный» метод анализа формулируется примерно следующим образом: «Динамическая система устойчива в целом, если определенный функционал (функция Ляпунова), зависящая от модели, ее параметров и параметров метода будет, меньше нуля-при частоте, изменяющейся в диапазоне от нуля до плюс бесконечности» [7,9]. При этом часто не ясно, как проверить такой функционал вычислительными методами, насколько сложна и затратна окажется такая проверка.

Среди профессиональных средств проектирования, эксплуатирующих наработки последних десятилетий, одним из наиболее известных решений является Control System Toolbox пакета MathLab [34], который в основном использует линеаризованные модели и частотные методы, малопригодные для строго анализа замкнутых систем с широтно-импульсным' регулированием.

Альтернативой «критериальному» подходу может стать v «вычислительный», целью которого является нахождение баланса между доступной вычислительной- производительностью, сложностью аналитических преобразований и точностью-расчета, который и* развивается в данной работе.

Решения проблемы устойчивости в целом в форме готовых пакетов» программ, эффективно выполняющих строгий анализ устойчивости в целом, при минимизации- вычислительных затрат для ШИМ преобразователей не известны.

Наряду с созданием таких решений актуальным также является^ переход от автоматизированного к автоматическому проектированию, для* чего необходим анализ качества динамики в условиях вариации параметров. Другим важным направлением является создание самонастраивающихся или адаптивных систем стабилизации - способных автоматически управлять внутренними параметрами при' фиксированной структуре силовой части и блока управления.

Цель работы. Целью данной диссертационной работы является разработка эффективных, с точки зрения вычислительных затрат, методов^ анализа устойчивости в целом стабилизированных преобразователей' с широтно-импульсной модуляцией для исключения их функционирования в хаотических или субгармонических режимах и решения задач по их автоматизированному проектированию.

Методы исследования. Исследования проводились методами математического моделирования и физического моделирования' с использованием, лабораторного макета преобразователя. Математические модели были-представлены в виде отображений Пуанкаре. Методы анализа устойчивости базировались на втором методе Ляпунова. Численные расчеты? выполнялись на ЭВМ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получены точные картины' трансформаций,замкнутого ограниченного множества начальных условий отображением Пуанкаре для стабилизированных преобразователей понижающего типа с ШИМ;

- показано экспоненциальное нарастание сложности геометрической» границы таких множеств с ростом номера- шага отображения Пуанкаре, которое вызвано.нелинейной динамикой*стабилизаторов;

- предложено в качестве функции Ляпунова рассматривать норму, характеризующую геометрический! размер трансформирующихся множеств, начальных условий для исследования устойчивости в целом;

- показано, что - замедляющаяся скорость убывания размера сжимающегося множества начальных условий позволят сделать заключение о возможности выхода на нежелательные динамические режимы при-изменениях внешних параметров;

-установлено, что в пространстве начальных условий имеется как минимум четыре1 области - две области насыщения, линия разрыва и область, регулирования - без» учета влияния которых невозможно достоверно проанализировать устойчивость в целом.

Практическая? ценность полученных результатов заключается; в; следующем:

-Предложенные алгоритмы и методы оценки и анализа устойчивости в целом- позволяют сократить - время и . затраты на . проектирование стабилизированных преобразователей.

- Новые методы исследования устойчивости: позволяют исключить функционирование проектируемых: стабилизаторов в субгармонических и хаотических режимах, что, в свою очередь, повышает качество и*надежность/ таких преобразователей:

- Предложенные методы ' позволяют определить. нарушение устойчивости как по мягкому, так и по жесткому сценарию.

-Программное обеспечение, созданное: в ходе выполнения диссертационной: работы, может быть встроено в пакеты автоматизированного проектирования? на определенных этапах; проектного пути для анализа устойчивости-: в целом; и оценки максимальной; продолжительности переходных1 процессов^

Основные положения, выносимые на защиту: а) из-за наличия в пространстве*. состояний четырех областей с. существенно отличающейся динамикой^ строго проанализировать, устойчивость в целом преобразователей с ШИМ возможно лишь применяя численно-аналитические и алгоритмические методы;, б) для анализа» устойчивости в целом стабилизированных; преобразователей с широтно-импульсной модуляцией достаточно рассмотреть последовательность преобразований замкнутого ограниченного множества--начальных условий: математической моделью стабилизатора? в; форме отображения Пуанкаре, если-; такая последовательность, сжимается^ в точку с ростом шага отображения, то преобразователь устойчив в целом; в) скорость убывания размера трансформирующегося множества начальных условий может использоваться для оценки продолжительности наиболее длительного переходного процесса в стабилизированных преобразователях с широтно-импульсной модуляцией; г) упрощение границ трансформирующегося множества начальных условий выпуклым.многоугольником'ускоряет анализ,устойчивости в целом при минимальной потере точности.

Реализация результатов работы. Результаты работы в виде методов,, алгоритмов-, и программного обеспечения для5 анализа устойчивости используются; в производственной деятельности предприятия ООО «Магнит М» в процессе проектирования источников питания= при выборе параметров-модуляции, синтезе звеньев цепей обратной связи; ООО «Томск Софт» при-создании программного обеспечения, предназначенного для анализа систем электронной техники, а также в учебном, процессе Томского* государственного университета систем управлениями радиоэлектроники при подготовке магистрантов по направлению 210100 «Электроника и микроэлектроника» по дисциплине «Системы автоматизированного проектирования электронных схем».

Апробация« работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры Промышленная'электроника ТУ СУР (Томск, 09 ноября 2010г.); на всероссийских научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (Томск, 4-7 мая 2010г.; 5-8-мая 2008г. и 18-20 мая 2004г.); Ежегодной научно-практической конференции «Итоги научно- исследовательских работ и курсового проектирования студентов 1-4 курсов кафедры ПрЭ» (Томск, ТУСУР, 26-27 февраля- 2009г.); на Шестой международной . научно-практической г конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технологии» (Томск, ТПУ, 2000г.); на региональной научно-технической конференции «Радиотехнические и информационные системы и устройства» (Томск, ТУ СУР, 1999г.); на 9-ом межотраслевом совещании «Проблемы и перспективы развития Томского нефтехимического комбината» (Томск, ТНХК, 1995г.).

Публикации. Результаты выполненных исследований отражены в восьми печатных работах, в том числе двух статьях в периодических изданиях из перечня ВАК [13, 40].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 73 наименования, и двух приложений. Диссертация содержит 112 страниц машинописного текста, 49 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Силовая электроника», Кобзев, Геннадий Анатольевич

Выводы. Проведенные эксперименты качественно подтвердили; результаты моделирования:. Однако, были случаи, особенно при значительно : увеличенном* значении« емкости конденсатора выходного фильтра; когда сложные субгармонические или хаотическиедвижениянамакетеобнаружить не удалось,: хотя: математическая модель, допускала возможность их. существования: Физические: эксперименты позволили сформулировать» нижеследующие примечания.

Примечание 1. Для того, чтобы неединственность устойчивых движений; оказалась обнаруживаемой в эксперименте с помехами; необходимо, чтобы она обладала «достаточно большой» величиной области; притяжения, поэтому обнаружить такие движения на фоне сетевых помех не всегда представляется возможньш.

Примечание 2. Сложные т-цикловые периодические режимы, как известно,, обладают повышенной чувствительностью к вариациямпараметров,5 и имеют узкие параметрические области существования. Поэтому обнаружить такие движения путем воздействия на объект случайных помех также не всегда представляется возможным. .

Примечание 3: Если? математическая модель совместно с алгоритмом анализа устойчивости в целом уже не гарантирует устойчивой, работа; но в тоже: время; с помощью; физического эксперимента не удается обнаружить аномальные режимы, то от использования стабилизатора- с. таким набором параметров все равно следует, отказаться. Поскольку в этом случае существует значительная; вероятность возникновения^ субгармонических- или хаотических режимов; в результате малых вариаций внешних параметров или синхронизации динамики стабилизатора с: окружающими; системами; находящимися? на стороне потребителя энергии- или связанными со стабилизатором по входному питающему напряжению.

5 Заключение

В работе рассмотрены проблемы определения устойчивости в целом стабилизированных преобразователей с ШИМ регулированием. Показано, что динамику широкого класса стабилизаторов в области частот, где существенно влияние обратной связи, можно представить одно- двух- или трехмерными моделями в виде отображения Пуанкаре, что делает их динамику доступной для анализа предлагаемыми алгоритмами на основе трансформаций множеств начальных условий в пространстве состояний.

Нарушения динамики вследствие изменения параметров случаются по двум возможным сценариям мягкому и жесткому. При этом алгоритмы, предложенные в настоящей диссертационной работе, позволяют обнаружить любой из этих сценариев.

Созданное в рамках выполнения диссертационной работы программное приложение позволяет с минимальными вычислительными затратами выполнять анализ устойчивости в целом произвольных моделей размерности один и два.

Развитие предложенной в работе методики открывает путь к автоматическому анализу и выбору параметров нелинейных систем управления такого вида.

Переход к размерности три потребует перевода ядра программы от двумерных полигонов к 3(1 фигурам с использованием библиотек, выполняющих булевы операции в 3с1 и 3с1 визуализацию.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кобзев, Геннадий Анатольевич, 2010 год

1. Баушев B.C. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием /

2. B.C. Баушев., Ж.Т. Жусубалиев // Электричество; 19921 №8.

3. Баушев B.C. Стохастичность в динамике стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием / B.C. Баушев, Ж.Т. Жусубалиев, С.Г. Михальченко // Электричество, 1996. № 3. - С. 47-53.

4. Зубов В.И» Теория уравнений управляемого движения / В.И. Зубов — Изд-во Ленинградского ун-та, 1980.— 286 с.

5. Душин С.Е. Теория автоматического управления: учебное пособие /

6. C.Е. Душин, Н.С. Зотов, Д:Х. Имаев. Москва : Высшая школа, 2003. - 767 с.

7. Беркович Е.И. Устойчивость в целом замкнутой системы регулирования с широтно-импульсным преобразователем / Е.И. Беркович // Электричество, 1985. — № 7.

8. Белов Г. А. Д инамика импульсных преобразователей / Г. А. Белов. -Чебоксары : Чуваш, ун-та, 2001. 528 с.

9. Тонкаль В.Е. Вентильные преобразователи переменной структуры /

10. B.Е. Тонкаль, B.C. Руденко, В.М. Жуйков. — Киев: Наукова Думка, 1989. — 336с.

11. Зорич В.А. Математический анализ, часть I. / В.А. Зорич // М.: Физматлит, 1984. 544 с.

12. Колмогоров А.Н. Элементы теории множеств / А.Н.Колмогоров, C.B. Фомин // Элементы теории функций и функционального анализа : 3-е изд. -М.: Наука, 1972.-256 с.

13. Нелинейная динамика полупроводниковых преобразователей* / А.В. Кобзев, Г.Я. Михальченко, А.И Андриянов, С.Г. Михальченко. — Томск: Томск, гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2007. 224 с.

14. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л:С. Понтрягин. М: Наука, 1974.

15. Гелиг А.Х.;. Устойчивость» нелинейных систем с неединственным состоянием: равновесия / А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович. М.: Наука, 1978. -400 с:

16. Гелиг А.Х. Об устойчивости в целом систем с импульсным воздействием / А.Х. Гелиг, А.Н. Чурилов // Дифференциальные уравнения, 1997,-№6;-С. 748-753.

17. Беркович Е.И. Устойчивость замкнутой системы, автоматического? регулирования однофазного инвертора с самовозбуждением / Е.И. Беркович //Электричество^ 1990:-№2. ,

18. Зубов В.И.; Теория уравнений управляемого движения / В .И. Зубов.- Изд-во Ленинградского университета, 1980. 286с.

19. Барбашин Е.А. Функция Ляпунова / Е.А. Барбашин. М.: Наука,1970.

20. Гелиг А.Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей / А.Х. Гелиг. Л.: Изд. ЛГУ, 1982:

21. Шипилло В.П. Устойчивость замкнутой системы с широтно-импульсным преобразователем! / В.П. Шипилло, И.И: Чикотилло // Электричество, 1978. — № 1.

22. Кобзев Г. А. О классификации методов управления / Г.А. Кобзев, Д.А. Савин, Ю.Н. Тановицкий // Доклады Томского государственного университета систем управления и .радиоэлектроники, 2008. №1(17). — С. 53-55.

23. К* расчету локальной устойчивости периодических режимов в импульсных системах автоматического регулирования / B.C. Баушев, Ж.Т. Жусубалиев, Ю.В. Колоколов, И.В. Терехин. — Автоматика и-телемеханика, 1992. — № 6.

24. Мидлбрук Р.Д. Малосигнальное моделирование ключевых усилителей мощности с широтно-импульсным регулированием / Р.Д. Мидлбрук // ТИИЭР. Энергетическая электроника : Под ред. В.А. Лобунцова, 1988, т. 76. - № 4.

25. Н'.Н.С. Iu and С.К. Tse: Bifurcation Behavior in Parallel-Connected Buck Converters // IEEE Transactions Circuits Syst. I, vol. 48, Feb. 2001. -pp. 233-240.

26. Очкова В.Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров : русская версия / В.Ф: Очкова. СПб.: BHV, 2009: - 512 с.

27. Глебов А.Л. Актуальные проблемы моделирования в системах автоматизации схемотехнического проектирования : Под ред. А. Л. Стемпковского / А.Л. Глебов, М.М. Гурарий, М.М. Жаров: Москва : Наука,2003.-430 с.

28. Андронов A.A. Грубые системы / A.A. Андронов, JI.C. Понтрягин. -Москва,: ДАН СССР, 1937. 247 с.

29. Постон Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И.1 Стюарт. — Москва: Мир, 1980. 610 с.

30. Обрусник В.П. Теория и практика оптимального расчета магнитных элементов / В.П. Обрусник. Томск : ТУ СУР, 2009. - 42 с.

31. Обрусник В.П. Оптимальная геометрия магнитных элементов электронных устройств / В.П: Обрусник. Томск : ТУ СУР, 2009. - 52 с.

32. Баушев B.C. Нормальные структуры устройств преобразования электрической» энергии и, автоматизации проектирования. Проблемы преобразования электроэнергии / B.C. Баушев, A.B. Кобзев, Г.Я. Михальченко Москва: МЭТ, 1993. - 38 с.

33. Холодниок М., Методы анализа нелинейных математических моделей / М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. М. : Мир, 1991. — 368 с.

34. Колоколов Ю.В. Синтез« регуляторов импульсных преобразователей энергии с применением теории бифуркаций / Ю.В. Колоколов, П.С. Устинов, А.П. Шолоник // Электричество, 2008. Т. 11. - С. 49-56.

35. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Н.Т. Кузовков. -М.: Машиностроение, 1976.

36. Селяев А.Н. Электромагнитная совместимость устройств промышленной электроники : Учебное посбие / А.Н. Селяев Томск : ТУ СУР, 2007. - 245 с.

37. Баушев B.C. Нормализация структуры стабилизатора напряжения с ШИМ / B.C. Баушев., Ä.B. Кобзев, Ю.Н. Тановицкий // Техшчна електродинампса: Тематичний випуск : Пробеми сучасшл електротехшки, 2000.-Т. 8.-С. 59-64.

38. Сазонов В.В. Курс теории автоматического управления : учеб. Пособие /В.В. Сазонов. Москва : Наука, 1986. - 616 с.

39. Первозванский A.A. Чувствительность грубость и эффективность адаптации / A.A. Первозванский // Техническая кибернетика, 1992. — Т. 6. — С. 30-41.

40. Бутенин Н.В., Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, H.A. Фуфаев Москва : Букинист, 1976. - 384 с.

41. Арнольд В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. — Москва : Наука, 1990.-312 с.

42. Гласс JI. От часов к хаосу : Ритмы жизни1: Пер. с англ. / JI. Глас, М. Мэки. Москва : Мир, 1991.-248 с.

43. Бессонов JI.A. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учебник : 7е изд. перераб: и дополненное / Л.А. Бессонов. Москва : Высшая школа, 1978. - 528 с.

44. Чуа Л.О. Машинный анализ электронных схем : Алгоритмы и вычисл. Методы / Л.О. Чуа, Пен-Мин Лин. Москва : Радио и связь, 1990. - 272 с.

45. Калабеков Б.А. Методы автоматизированного расчета электронных схем в технике связи / Б.А. Калабеков, В.Ю. Лапидус, В.М. Малафеев. — Москва: Радио и связь, 1990. — 272 с.

46. Автоматизация проектирования радиоэлектронных средств : Учебное пособие / A.A. Головков, О.В. Алексеев, Г.Г. Чавка и др. — Москва : Высшаяшкола, 2000. 479 с.

47. Сигорский В.П. Алгоритмы анализа электронных схем : Изд. 2-е, перераб. и дополнен. / В.П. Сигорский, А.И. Петренко. — Москва : Сов. радио, 1976. 608 с.

48. Бахвалов Н.С. Численные методы : 8-е изд. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.Г. Кобельков Москва : Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 624 с.

49. Гладышев С.П. Динамика дискретно управляемых полупроводниковых преобразователей / С.П. Гладышев, В.Б. Павлов. — Киев : Наукова думка, 1983.-224 с.

50. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, X. Джонсон. -М. : Мир, 1989.

51. Лоскутов А.Ю. Основы теории сложных систем / А.Ю. Лоскутов, A.C. Михайлов. Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2007. — 620 с.