Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Баранова, Ирина Владимировна

• Баранова, Ирина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Баранова, Ирина Владимировна

Введение

1. Постановка задачи

1.1 Научная проблема и цель диссертационного исследования

1.2 Основные понятия эвентологии и теории вероятностей

2. Решение задачи

2.1 Двудольное множество случайных элементов.

2.2 Совместное распределение случайных множеств.

2.3 Связь эвентологических распределений множества событий и эвентологических распределений множества их индикаторов

2.4 Эвентологическое распределение двудольного множества случайных элементов

2.5 Двудольное множество случайных событий.

2.6 Двудольная эвентологическая модель сложных систем

2.7 Метод двудольных множеств случайных событий в эвентоло-гическом системном анализе

3. Применение полученных результатов

3.1 Описание статистики.

3.2 Задача определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения.

3.3 Решение задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения для практических примеров

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем»

Актуальность темы диссертации определяется потребностью современной науки и техники в изучении сложных систем, которые характеризуются сложной структурой зависимостей между элементами. Интерес к этой важной задаче обусловлен стремлением выявить закономерности функционирования и развития объектов и процессов, представимых как системы, и выработать мероприятия по совершенствованию управления ими и принятию решений.

Основная трудность при проведении анализа сложных систем состоит в том, что из - за большого числа событий в них число всех возможных состояний, в которых может оказаться система, очень велико. Особенно остро стоит эта проблема в тех прикладных областях, которые связаны с анализом технических, экономических, биологических, медицинских и социальных систем. К числу таких областей науки относятся здравоохранение, экология, биология, экономика, финансы, страхование, социология, история, психология, политология, этнология, филология, лингвистика, педагогика и др.

Большинство известных методов системного анализа направлено на изучение систем, поведение которых описывается количественными или качественными показателями. К числу методов, занимающихся количественными показателями, относятся методы общеалгебраические (В.И. Городецкий и О.В. Карсаев [36], Б. Уимен [90]), теории игр (Дж. фон Нейман и О. Моргенштейн [68], Н.Н. Воробьев [27], Э.Й. Вилкас [25], Г. Оуэн [74]), исследования операций (Н.Н. Моисеев [65], JI.A. Раскин [80], Т. Саати [82]), многомерного статистического анализа (М. Кендалл и А. Стыоарт [49 - 51], Т. Андерсон [2], Р.Дж. Литтл и Д.Б.Рубин [58], B.C. Муха [66]), теории вероятностей и математической статистики, в т.ч. выдвижения и проверки статистических гипотез (А.Н. Колмогоров [52, 53], В. Феллер [91], Г. Крамер [55], А.А. Боровков [20, 21]), теории массового обслуживания (Б.В. Гнеденко и И.Н. Коваленко [35], А.А. Боровков [22]), марковских процессов (В.В. Калашников [46], Е.Б. Дынкин [41], Т.Саати [83]), теории информации (А.Дж. Вильсон [26], P.B.JI. Хартли [95]) и другие. Также существуют методы, позволяющие работать с разнотипными данными: количественными и качественными. К ним относятся методы теории графов (Ф. Харари [93, 94] , Ф.С. Роберте [104], А.А.Зыков [44]), имитационного моделирования (Р. Шэннон [97], Н.П. Бусленко [23]), непараметрических методов статистического анализа (Г. Дэйвид [42], А.В. Лапко и С.В. Чепцов [56], Б.Г. Миркин [64], В.Т. Перекрест [76]), экспертных оценок (Дж. Элти [98], Л.А. Панкова [75]), теории нечисловых статистик (А.И. Орлов [70-72], Г.В. Раушенбах [81], А.Ю. Терехина [89] и др.) и нечетких множеств (Л.А. Заде [43, 108, 109], Р. Беллман [17], А. Кофман [54], Д.А. Поспелов [78], С.А. Орловский [73], А.Е. Алтунип [1], М. Земанкова-Лич [110], Б. Коско [101] и др.). Е.В. Смирновой [86, 87] был предложен метод повышения корреляций между данными при изучении адаптации и организации сложных систем, характеризующихся разнотипными данными.

Чаще всего на практике встречается ситуация, когда поведение сложных систем характеризуется разнотипными данными, из которых одни — числовые, а другие — множественные. Изучением подобных систем занимались преимущественно представители двух направлений: теории нечисловых статистик (А.И. Орлов) и нечетких множеств (М. Земанкова-Лич , Б. Коско, А.Е. Алтунин , М.В. Семухин). Число работ, посвященных данной тематике, очень мало. Кроме того, математические модели сложных систем, предложенные в рамках данных направлений, имеют ряд ограничений. Поэтому можно констатировать, что на данный момент сложные системы, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, недостаточно хорошо изучены.

О.Ю. Воробьевым был предложен общий эвентологический метод анализа различных систем как систем событий, которые лежат в основе их поведения [34]. С помощью данного метода были исследованы системы, поведение которых характеризуется только одним из типов данных (количественными, качественными, множественными).

Таким образом, на сегодняшний день существует проблема развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных. Решение данной проблемы позволит обеспечить дальнейшее развитие системного анализа и будет способствовать повышению эффективности управления и принятия решений в технических, экономических, биологических, медицинских и социальных системах.

Научная проблема диссертационного исследования заключается в создании математической модели сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, и разработке нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.

Изучением распределений случайных событий и случайных множеств событий, зависимостей и взаимодействий случайных событий, которые лежат в основе поведения различных систем, занимается эвентология. Основоположником эвентологии является О.Ю. Воробьев. Понятие случайного множества событий — центральное в эвентологии — позволяет выявить общие статистические закономерности распределения случайных событий в различных системах. Одной из положительных сторон эвентологии является возможность учета полной структуры зависимостей и взаимодействий систем случайных событий.

Для исследования объектов и субъектов, представимых как системы событий, О.Ю.Воробьевым был предложен общий метод эвентологическо-го системного анализа [34], в основе которого лежит рассмотрение объектов и субъектов как систем событий в целостности многообразных типов взаимосвязей событий. Данный метод применялся для анализа систем из различных прикладных областей: здравоохранения, финансов и страхования, товарных рынков и др. События, описывающие поведение исследованных систем, определялись данными одного типа.

Изучение систем, поведение которых характеризуется разнотипными данными, представляет собой новое, никем не исследованное направление в эвентологической теории.

Объект исследований. Сложная система, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными.

Предмет исследований. Математическая модель сложной системы, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными, и разработка нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.

Цель работы. Целью работы является разработка метода анализа сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, рассматривающего систему как двудольное множество событий, первая доля которого определяется случайными величинами, а вторая — случайными множествами.

Задачи исследований.

Цель работы достигается решением следующих задач:

• построение двудольной эвентологической модели сложной системы, основанной на понятиях двудольного множества случайных элементов и двудольного множества случайных событий;

• нахождение эвентологического распределения двудольного множества случайных событий для двух ситуаций: бернуллиевских случайных величин (индикаторных функций на множестве случайных событий) и произвольных случайных величин;

• изучение связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также — эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов;

• разработка метода двудольных множеств событий в эвентологичес-ком системном анализе сложных систем и применение предложенного метода к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.

Основная идея диссертации заключается в представлении любой сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели, в которой поведение каждого элемента системы характеризуется двудольным множеством событий: его первая доля определяется случайными величинами, а вторая — случайными множествами событий. Затем анализ поведения элементов системы сводится к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий предложено использовать вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому.

Методы исследования основаны на использовании теории вероятностей, эвентологии и эвентологического анализа систем случайных событий.

Основные новые научные результаты.

1. Предложена двудольная эвентологическая модель сложной системы, основанная на новых понятиях двудольного множества случайных событий и двудольного множества случайных элементов.

2. Получены эвентологическис распределения двудольных множеств случайных событий для двух ситуаций: бернуллиевских случайных величин и произвольных случайных величин.

3. Впервые введены эвентологические распределения множества индикаторов событий. Сформулированы и доказаны теоремы о связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов. Выведены формулы обращения Мебиуса, связывающие между собой все эвентологические распределения множества индикаторов событий.

4. Разработан метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем. Введены понятия сет-операций по Минковскому для двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий предложено использовать вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому. Предложен метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем. Метод двудольных множеств событий был применен к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.

Значение для теории. Полученные в диссертации результаты создают строгую математическую основу для исследования сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Значение для практики состоит в том, что предложенный в диссертации метод двудольных множеств событий существенно упрощает и работу с разнотипными данными, описывающими поведение системы, и сравнение элементов системы как эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.

Достоверность полученных результатов работы подтверждается строгими математическими доказательствами, опирающимися на аппарат эвентологии, теории вероятностей и математической статистики. Все результаты теоретически доказаны и оформлены в виде теорем.

Использование результатов диссертации. Работа предложенного в диссертации метода двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе проиллюстрирована на практическом примере задачи нахождения экстремального элемента системы — задаче определения неблагополучных районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения. Результаты диссертационного исследования включены в учебную программу дисциплин «Введение в эвентологию», «Прикладная эвен-тология» и «Экономическая эвентология» кафедры «Прикладная математика» факультета математики и информатики Красноярского государственного университета для преподавания студентам специальностей 010101 «Математика», 010501 «Прикладная математика и информатика».

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены лично автором.

Рекомендации по использованию результатов диссертации.

Результаты работы рекомендуется использовать для решения задач управления в здравоохранении, обязательном медицинском страховании и банковском кредитовании; задач классификации и ранжирования на фондовом и товарном рынках и в обработке результатов социологических опросов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались на конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2001, 2002), конференциях молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999, 2002), всероссийских конференциях по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (ИВМ СО РАН, Красноярск, 2002 - 2005), малых ФАМ-конференциях (Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2004 - 2005), III, IV, V ежегодных городских конференциях по финансово-актуарной математике (ИВМ СО РАН, Красноярск, 1998 - 2000), I и II всесибирских конгрессах женщин-математиков (Красноярский государственный университет, 2000, 2002), межрегиональных конференциях «Математические модели природы и общества» (Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2002, 2004), всероссийской конференции «Информационно-аналитические системы и технологии в здравоохранении и обязательном медицинском страховании» (КМИАЦ, Красноярск, 2004), научно-практической конференции «Вопросы сохранения и развития здоровья населения Севера и Сибири» (ГУ НИИ медицинских проблем Севера СО РАН, Красноярск, 2002), международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 1999 — 2001), а также на постоянно действующем семинаре кафедры «Прикладная математика» Красноярского государственного университета (1998 — 2006гг.) и на постоянно действующем семинаре по финансово-актуарной математике Института вычислительного моделирования СО РАН (1998 - 2006гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей, из которых 1 статья в периодическом издании по списку ВАК, 1 статья в периодическом издании, 11 статей в сборниках трудов всероссийских конференций, 1 депонированная статья.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из 3 разделов, введения, заключения, содержит основной текст на 139 е., 10 иллюстраций, 12 таблиц, список использованных источников из 110 наименований.

1 Постановка задачи

В данном разделе рассматривается проблема развития системного анализа и научная проблема диссертационного исследования, формулируется и обосновывается цель и задачи работы. Проводится обзор работ ряда авторов по тематике диссертационного исследования.

Во многих областях современной научной и практической деятельности при проведении различных исследований возникает необходимость изучения сложных систем, поведение которых характеризуется разнотипными данными, из которых одни — числовые, а другие — множественные. К числу таких систем относятся технические, экономические, биологические, медицинские и социальные системы.

Трудность изучения подобных систем обусловлена большой размерностью (большим числом составляющих элементов) и сложной структурой зависимостей между элементами, а также разнотипностью данных, описывающих их поведение.

Диссертационное исследование посвящено решению актуальной на сегодняшний день проблемы развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных. Решение данной проблемы позволит обеспечить дальнейшее развитие системного анализа и будет способствовать повышению эффективности управления и принятия решений в технических, экономических, биологических, медицинских и социальных системах.

Многие известные методы системного анализа направлены на изучение систем, поведение которых описывается разнотипными данными: количественными и качественными. Подробный перечень данных методов был приведен во введении.

Изучением сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, занимались преимущественно представители двух направлений: теории нечисловых статистик (А.И. Орлов [71, 72], В.Н.Жихарев [71]) и нечетких множеств (А.Е. Алтунин и М.В. Семухин [1], М. Земанкова-Лич [110], Б. Коско [101]).

Хотя А.И. Орловым предложена обобщенная модель данных, лежащая в пространстве общей природы, большинство работ теории нечисловых статистик посвящено изучению объектов нечисловой природы определенного вида (результатам измерений в различных шкалах, интервалам, результатам парных и множественных сравнений). Кроме того, сравнение элементов систем затруднено ввиду громоздкости предлагаемых вероятностных метрик.

Методы теории нечетких множеств и нечеткой логики, разработанные профессором Л. Заде [43, 108, 109] и развитые его последователями Р. Беллманом [17], А. Кофманом [54], Д.А. Поспеловым [78], С.А. Орловским [73], А.Е. Алтуниным [1], М. Земанковой-Лич [110], Б. Коско [101] и другими, позволяют успешно моделировать сложные системы управления и экспертные системы нового поколения, способные хранить и обрабатывать неточную информацию, в том числе качественную и множественную. Но математические модели данной теории имеют серьезный недостаток: из-за отсутствия строгого обоснования правил задания функции принадлежности элементов к нечеткому множеству, изучение конкретной системы требует подбора функций принадлежности и операций над ними. Следовательно, успешность решения задач системного анализа методами теории нечетких множеств и нечеткой логики зависит от правильности выбора функции принадлежности.

Таким образом, можно говорить об ограниченности результатов, полученных вышеупомянутыми авторами, в области исследования сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, и решении поставленной проблемы развития системного анализа.

Для устранения трудностей анализа сложных систем, связанных с большой размерностью, сложной структурой зависимостей между элементами и разнотипностью данных, описывающих их поведение, предлагается применить эвентологический подход к изучению систем и рассматривать системы как множества событий, характеризующих их поведение.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Баранова, Ирина Владимировна

В ы в о д ы. В третьей главе рассмотрено применение предложенного в диссертации метода двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем к решению практического примера задачи нахождения экстремального элемента системы — задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья их населения. Решение задачи основано на статистике показателей здоровья населения районов Красноярского края. Приведено описание этой статистики и дана классификация показателей здоровья населения по группам. Дана формулировка задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья их населения и показана ее актуальность. Предложено рассматривать Красноярский край как систему, состоящую из районов края и пред-ставимую в виде двудольной эвентологической модели, в которой состояние здоровья населения каждого района края характеризуется двудольным множеством случайных событий. Найдено решение задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения для двух практических примеров. В первом примере состояние здоровья оценено по 26 показателям, во втором — по всем 74 показателям, представленным в статистике. Было проведено сравнение предложенного метода с двумя известными методами оценки здоровья населения: интегральной оценки социально - гигиенического риска потерь здоровья населения и методом главных компонент в кластерном анализе показателей здоровья населения. Проведено обсуждение полученных результатов диссертационного исследования и показана их научная новизна. Предложены рекомендации по использованию результатов диссертации.

Заключение

Предложенные в диссертации новые понятия двудольного множества случайных элементов и двудольного множества случайных событий позволили построить двудольную эвентологическую модель сложных систем и преодолеть трудности их анализа, связанные с большой размерностью, сложной структурой зависимостей между элементами и разнотипностью данных, описывающих их поведение.

Находятся эвентологические распределения двудольных множеств случайных событий для двух ситуаций: бернуллневских случайных величин и произвольных случайных величин. Эвентологические распределения двудольных множеств случайных событий для бернуллиевских случайных величин были получены в результате изучения связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также — эвентологического распределения множества событий и впервые введенного эвентологического распределения множества их индикаторов. Эвентологические распределения для ситуации произвольных случайных величин были найдены с помощью выражения совместного распределения случайных величин через события-терраски.

Метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе, разработанный в диссертации, заключается в представлении сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели и сведению анализа поведения элементов системы к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Введены понятия сет-операций по Минковскому для двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий была использована вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому, которая является примером произвольной сет-операции по Минковскому. Метод двудольных множеств событий был применен к решению задачи определения экстремального элемента системы. В диссертации работа предложенного метода проиллюстрирована на практическом примере задачи нахождения экстремального элемента — задаче определения неблагополучных районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения. Ее решение основано на реальной статистике показателей здоровья населения районов Красноярского края. Было проведено сравнение предложенного метода с двумя известными методами комплексной оценки здоровья населения, которое показало близость к результатам других методов, а также выявило преимущества метода двудольного множества событий: возможность учета полной структуры зависимостей и взаимодействий случайных событий, описывающих состояние элементов системы, и учета множественных показателей здоровья населения.

Таким образом, были решены все намеченные задачи диссертационного исследования и достигнута его цель. Разработка метода двудольных множеств событий позволила в полной мере решить поставленную научную проблему и проблему развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных.

Все научные результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми в эвентологической теории и в анализе сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными.

Значение для теории. Полученные в диссертации результаты создают строгую математическую основу для исследования сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Значение для практики состоит в том, что предложенный в диссертации метод двудольных множеств событий существенно упрощает и работу с разнотипными данными, описывающими поведение системы, и сравнение элементов системы как эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Баранова, Ирина Владимировна, 2006 год

1. Алтунин, А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: монография / А.Е.Алтунин, М.В.Семухин. — Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2000. — 352с.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ / Т.Андерсон. — М.: Физматгиз, 1963. — 500с.

3. Баранова, И.В. Об эвентологических распределениях двудольных множеств случайных элементов / И.В.Баранова // Экономика. Психология. Бизнес. — Красноярск: Красноярский гос. торг.-экон. ин-т, 2004. т. - С. 229-239.

4. Иванюкова (Баранова), И.В. Визуализация статистических данных, заданных в абстрактных пространствах / И.В. Иванюкова, О.Ю.Воробьев М., 2000. - 16с. - Деп. в ВИНИТИ, №1903-В00.

5. Баранова, И.В. Задача исследования рынка здоровья / И.В.Баранова,

6. B.Ф. Мажаров // Труды II всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2003. 2т. - С.25-29.

7. Баранова, И.В. Мозаичный алгоритм визуализации элементов случайного множества // И.В.Баранова // Труды I всероссийской конференции ио финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2002. - 2т.1. C.27-33.

8. БАРАНОВА, И.В. Случайно множественная визуализация множества заболеваний/ И.В.Баранова. // Сб. статей II всесибирского конгресса женщин - математиков / Краснояр. гос. ун-т. — Красноярск, 2002. - С. 8-12.

9. Баранова, И.В. Задача исследования рынка здоровья / И.В.Баранова. // Труды межрегиональной конференции "Математические модели природы и общества". Красноярский гос. торгово экономический инст-т. — Красноярск, 2002. — С.16-21.

10. Беллман Р., Заде JI. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р.Беллман, Л.Заде // Вопросы анализа и процедуры принятия решений: сб. науч. статей. — М: Мир, 1976. — С.172-215.

11. Бернштейн, С.Н. Теория вероятностей / С.Н.Бернштейн. — М.: ГТТИ, 1934. 412с.

12. Большаков, A.M. Оценка и управление рисками влияния окружающей среды на здоровье населения / А.М.Большаков, В.Н.Крутько, Е.В.Пуцилло. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 256с.

13. Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А.Боровков. — М.: Наука, 1986. 432с.

14. Боровков, А.А. Математическая статистика / А.А.Боровков. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1997. — 771с.

15. Боровков, А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания / А.А.Боровков. — М.: Наука, 1980. — 381с.

16. Бусленко, Н.П. Автоматизация имитационного моделирования сложных систем / Н.П.Бусленко. — М.: Наука, 1977. — 400с.

17. Бусленко, Н.П. Моделирование сложных систем / Н.П.Бусленко. — М.: Наука, 1978. 400с.

18. Вилкас, Э.Й. Оптимальность в играх и решениях / Э.И.Вилкас. — М.: Наука, 1990. 256с.

19. Вильсон, А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем / А.Дж.Вильсон. — М.: Наука, 1978. — 247с.

20. Воробьев, Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры / Н.Н.Воробьев. М.: Наука, 1984. - 495с.

21. Воробьев, О.Ю. Среднемерное моделирование / О.Ю.Воробьев. — М.: Наука, 1984. 133с.

22. Воробьев, О.Ю. Сет-суммирование / О.Ю.Воробьев. — Новосибирск: Наука, 1993. 137с.

23. Воробьев, О.Ю. Теория случайных событий и ее применение / О.Ю.Воробьев, Е.Е. Голденок, Т.В. Куприянова, Д.В. Семенова, А.Ю. Фомин. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003. - 502с.

24. Воробьев, О.Ю. Структурный сет-анализ зависимостей случайных событий / О.Ю.Воробьев, Е.Е.Голденок. Красноярск: КрасГУ, ИВМ СО РАН, 2003. - 106с.

25. Воробьев, О.Ю. Регрессионный сет-анализ случайных событий / О.Ю.Воробьев, А.Ю.Фомин. Красноярск: КрасГУ, ИВМ СО РАН, 2004. - 116с.

26. Воробьев, О.Ю. Эвентологические структуры и эвентологический скоринг / О.Ю.Воробьев // Труды III всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2004. Т.1. - С.49-90.34