«Метод численного расчета динамического взаимодействия деформируемых судовых конструкций с водо-воздушной средой» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.08.01, кандидат наук Пономарев Дмитрий Александрович

• Пономарев Дмитрий Александрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Пономарев Дмитрий Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОНСТРУКЦИЙ КОРПУСА С ВОДО-ВОЗДУШНОЙ СРЕДОЙ

1.1. Общие положения

1.2. Выводы и заключение по Главе

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ ИМЕЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОНСТРУКЦИИ С ВОДО-ВОЗДУШНОЙ СРЕДОЙ

2.1. Общие положения

2.2. Теория удара

2.3. Теория Т. Кармана

2.4. Теория Г. Вагнера и модели, основанные на ней

2.5. Выводы и заключение по Главе

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОДО-ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ И ДЕФОРМИРУЕМОЙ И ПОВРЕЖДАЕМОЙ КОНСТРУКЦИИ

3.1. Общие положения

3.2. Подходы к описанию движения деформируемой среды

3.3. Уравнения динамики сплошной среды

3.4. Замкнутая система уравнений динамики сплошной среды

3.5. Фундаментальная система уравнений задачи нелинейного деформирования конструкции при взаимодействии с водо-воздушной средой

3.6. Особенности решения фундаментальной системы дифференциальных уравнений

3.7. Выводы и заключение по Главе

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ВОДО-ВОЗДУШНОЙ СРЕДОЙ

4.1. Общие положения

4.2. Пространственная дискретизация расчетной области

4.3. Дискретизация расчетной области по времени

4.4. Алгоритм связывания сеток Лагранжа и ПЛЭ

4.5. Выводы и заключения по Главе

ГЛАВА 5. ВЕРИФИКАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО АЛГОРИТМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОНСТРУКЦИИ С ВОДО-ВОЗДУШНОЙ СРЕДОЙ

5.1. Общие положения

5.2. Погружение недеформируемого тела с постоянной скоростью

5.3. Погружение недеформируемого тела с начальной скоростью

5.4. Выводы и заключения по Главе

ГЛАВА 6. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ ЧИСЛЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ КОРПУСА КАТАМАРАНА В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

ЭКСПЛУАТАЦИИ

6.1. Общие положения

6.2. Разработка расчетной модели катамарана

6.3. Разработка расчетной модели водо-воздушной среды

6.4. Анализ кинематических и динамических параметров взаимодействия

6.5. Анализ напряженно-деформированного состояния конструкций корпуса

6.6. Метод подмоделирования для анализа возможных предельных состояний конструкций корпуса при взаимодействии с водо-воздушной средой

6.7. Выводы и заключения по Главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

При движении судна в условиях морского волнения высокой балльности, конструктивные связи корпуса неизбежно воспринимают кратковременные и высоко амплитудные нагрузки в результате ударов о взволнованную водную поверхность. Такие внешние воздействия могут приводить к возникновению больших напряжений в элементах конструкций. При этом параметры напряженно-деформированного состояния остаются нелинейно взаимосвязаны с внешними нагрузками. Данное обстоятельство осложняет точное прогнозирование параметров состояния, которые необходимы для обеспечения прочности, надежности и безопасной эксплуатации объекта. При использовании консервативных подходов, нагрузка и граничные условия прикладывается условно с введением дополнительных допущений. Общепризнанные аналитические и полуэмпирические методы применимы к достаточно узкому классу задач, в то время как для решения задач практического проектирования требуется учет многочисленных параметров конструкции и условий ее эксплуатации. Поэтому, наиболее перспективными являются методы численного моделирования с явным учетом параметров внешнего воздействия - водо-воздушной среды. Для решения подобного класса задач необходимо совместное рассмотрение вопросов динамики деформируемых и повреждаемых судовых конструкций, и движения внешней среды. Внедрение современных полимерных композиционных материалов в конструкции корпуса судов и морских инженерных сооружений нуждаются в тщательном анализе и исследовании с выявлением условий наступления опасных состояний, так как единых рекомендаций по проектированию таких объектов в Российском Морском Регистре Судоходства не приводится. Развитие эффективных средств проектирования и оценки уже эксплуатируемых сооружений позволит повысить эксплуатационные и

экономические характеристики морских сооружений, а также обеспечить требуемые параметры надежности и безопасности.

Целью настоящей работы является построение метода реализации численных процедур, позволяющих совместно решать основные задачи строительной механики: совместного определения внешних нагрузок, анализа напряженно-деформированного состояния конструкций корпуса и выявления возможных форм наступления предельного состояния конструкций. Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

- анализ классических и современных методов решений задачи взаимодействия водо-воздушной среды и конструкций;

- математическая формулировка полной задачи взаимодействия водо-воздушной среды и деформируемой и разрушаемой конструкции в виде совместной системы нелинейных дифференциальных уравнений;

- разработка алгоритма решения задачи взаимодействия водо-воздушной среды и деформируемо-разрушаемой конструкции на базе нелинейной системы уравнений;

- верификация разработанного алгоритма с помощью экспериментальных данных других авторов и общепризнанных аналитических решений;

- применение разработанных процедур к решению задачи о численном моделировании процессов динамического взаимодействия деформируемых и разрушаемых конструкций корпуса судна с водо-воздушной средой.

Методы исследований.

Для решения задач, поставленных в диссертационной работе, использовались следующие методы и положения:

- методы и положения механики сплошной среды для создания общей математической модели, описывающей процессы, протекающие при взаимодействии возмущенной водо-воздушной среды с деформируемой и разрушаемой конструкцией корпуса;

- методы и положения теории упругости, теории пластичности, механики композитов и механики разрушения для исследования процессов внутренней механики конструкций корпуса при взаимодействии с водо-воздушной средой;

- методы и принципы вычислительной механики и методы пространственной и временной дискретизации расчетной области как основной аппарат математического моделирования.

Научная новизна и основные научные результаты выносимые на защиту.

- Метод численного решения задачи взаимодействия деформируемых судовых конструкций с водо-воздушной средой, универсальный по отношению к геометрическим и физико-механическим свойствам объекта.

- Связанное решение трех проблем строительной механики - определение внешних воздействий, анализ внутренних реакций конструкции и анализ опасных состояний, выполненное впервые с помощью численных моделей на примере судна катамаранного типа из полимерных композиционных материалов.

- Метод подмоделирования, предложенный для анализа возможных предельных состояний и форм разрушения в междисциплинарной задаче взаимодействия корпуса с внешней средой.

Практическая значимость работы.

- Созданные виртуальные модели на базе численных алгоритмов позволяют получить весь комплекс параметров состояния динамического взаимодействия деформируемых и разрушаемых связей корпусных конструкций судов различных типов при взаимодействии с водо-воздушной средой.

- Разработанные численные процедуры применимы как для традиционных, так и для перспективных конструкционных материалов, в том числе полимерных композиционных материалов в широком диапазоне их нелинейного деформирования.

- Результаты работы численных алгоритмов позволяют получить как распределённые параметры напряженно-деформированного состояния конструкции в любой момент времени динамического процесса, так и интегральные характеристики внутренних усилий, традиционно используемые в процессе проектирования.

- Результаты работы могут быть использованы в научно-исследовательских и проектных организациях судостроительной промышленности (ФГУП КГНЦ, ФАУ «РМРС», АО "ЦНИИМФ", АО "ЦМКБ "Алмаз", АО «Северное ПКБ», АО «ЦКБ МТ «Рубин», АО «Адмиралтейские верфи» и др.), для оценки экстремальных нагрузок, определения внутренних реакций корпусных конструкций и выявления форм опасных состояний.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Метод численного расчета динамического взаимодействия деформируемых судовых конструкций с водо-воздушной средой»»

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях:

1) Конференция по строительной механике корабля, посвященная памяти профессора П.Ф. Папковича. ВНТО судостроителей им. акад. А.Н. Крылова, 23-24 декабря 2015, Санкт-Петербург, ФГУП «Крыловский государственный научный центр»;

2) XXVI Международная конференция Математическое и компьютерное моделирование в механике деформируемых сред и конструкций - ЖКЫ 2015, 28-30 сентября 2015, Санкт-Петербург, СПбГАСУ;

3) Международной конференция по судостроению и океанотехнике, NAOE2016, 6-8 Июня 2016, Санкт-Петербург, СПбГМТУ;

4) XXVII Международная конференция Математическое и компьютерное моделирование в механике деформируемых сред и конструкций - ЖКЫ 2017, 25-27 сентября 2017, Санкт-Петербург, Дом Учёных имени М. Горького РАН;

5) Конференция по строительной механике корабля, посвященная памяти академика Ю.А. Шиманского. ВНТО судостроителей им. акад. А.Н. Крылова, 14-15 декабря 2016, Санкт-Петербург, ФГУП «Крыловский государственный научный центр»;

6) Конференция по строительной механике корабля, посвященная памяти профессора В.А. Постнова и 90-летию со дня его рождения, 13-14 декабря 2017, Санкт-Петербург, СПбГМТУ.

Публикации.

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертационной работы, опубликованы в 10 научных статьях в соавторстве, авторская доля соискателя от 33% до 100%, из которых 4 опубликованы в рецензируемых научных изданиях, входящих в перечень, устанавливаемый Минобрнауки России:

1) Пономарев Д.А., Коршунов В.А., Родионов А.А. Анализ предельных форм потери несущей способности конструктивных связей корпуса из полимерных композиционных материалов. «Труды Крыловского государственного научного центра». Вып.92 (376). СПб 2016. с.9-18;(авт. 33%)

2) Пономарев Д.А., Коршунов В.А., Родионов А.А. Численное моделирование взаимодействия морских сооружений с ледовым полем. Морской Вестник, специальный выпуск №1 (13) - Труды Российского НТО судостроителей им. акад. А.Н. Крылова, выпуск №4, Материалы научно-технической конференции по строительной механике корабля памяти акад. Ю.А. Шиманского 2017, стр.41-48;(авт. 33%)

3) Пономарев Д.А., Коршунов В.А., Родионов А.А. Численное моделирование процессов деформирования судового корпуса при динамическом воздействии водо-воздушной среды. Морской Вестник, спец. выпуск №1 (13) - Труды Российского НТО судостроителей им. акад. А.Н. Крылова, вып. №4, Материалы научно-технической конференции по

строительной механике корабля памяти акад. Ю.А. Шиманского 2017, стр.49-55; (авт. 33%)

4) Пономарев Д.А. Современные методы решения задачи взаимодействия конструкций с водо-воздушной средой. Морские Интеллектуальные Технологии, Научный журнал .№3 (37) Т. 3 2017, стр. 3040. (авт. 100%)

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 166 страницах, включает 68 рисунков и 4 таблицы. Работа состоит из введения, 6-ти глав и заключения; список литературы включает 115 позиции.

ГЛАВА 1. АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОНСТРУКЦИЙ КОРПУСА С ВОДО-ВОЗДУШНОЙ СРЕДОЙ

1.1. Общие положения

При эксплуатации судов в морских акваториях в условиях волнения может происходить оголение носовой и кормовой оконечности с последующим погружением, что в свою очередь сопровождается сильными ударными воздействиями на конструкции корпуса. Такое явление гидродинамического удара получило название слеминг (от англ. to slam -хлопать). Гидродинамические давления на днище и развал борта при ударах, а также общая вибрация корпуса, могут быть причинами нарушения прочности судна. Эти нагрузки весьма различны по своим характеристикам - величинам, времени нарастания, длительности и т.д., но связаны с высокой относительной скоростью между конструкциями корпуса судна и свободной поверхностью жидкости. Они нелинейные и зависят от динамического отклика конструкций корпуса.

Согласно статистике, в течение последних лет повреждения конструкций корпуса, вызванные слемингом, составляют 10-12% от общего числа повреждений, что в свою очередь приводит к необходимости повышения качества прогнозирования гидродинамических нагрузок.

Вопросами ударных воздействий на конструкции корпуса судов занимаются с начала XX века. С одной стороны, это свидетельствует о важности изучаемого вопроса для практики, а с другой - о чрезвычайной его сложности и многогранности. Тем не менее, для традиционных и перспективных конструкций корпуса судов различных типов, воспринимающих нагрузки от слеминга, существующие противоречия между расчетными подходами и наблюдаемой картиной повреждений еще не разрешены.

Слеминг характеризуется внезапной высокой силой и относительно короткой продолжительностью воздействия на тело. Это явление происходит, когда тело погружается с относительно малым углом,

образованным между поверхностью тела и водной средой. В этом случае, зона контакта между водной средой и поверхностью тела расширяется с высокой скоростью, даже если скорость движения тела является умеренной. Благодаря проведению экспериментальных исследований погружения тел с различными углами килеватости выявлено, что ударное давление в значительной степени зависит от относительного угла между телом и поверхностью водной среды. В частности, когда относительный угол становится небольшим, давление резко возрастает. Когда относительный угол становится менее 50, процесс воздействия становятся более сложный. При этом можно выделить различные виды слеминга по характеру взаимодействия.

Днищевой слеминг (bottom slamming). При более высокой балльности морского волнения, когда судно подвергается интенсивной вертикальной и продольной качке, оконечности судна поднимаются над поверхностью воды, а затем снова погружаются. В это время корпус буквально врезается в поверхность воды, рисунок 1.1 [113]. Судно воспринимает серьезные импульсные давления в зоне оконечностей, что может привести к значительному росту местных напряжений.

Рисунок 1.1 - Днищевой слеминг

Интервал действия давления на корпус достаточно мал и составляет порядка миллисекунд, при этом область действия очень локализована в пространстве. Кроме того, для проявления такого типа слеминга необходимо, чтобы днище судна было относительно плоским и параллельным поверхности воды. В результате, высокое гидродинамическое давление возникает скачкообразно в пределах всей площади конструкции, которая испытывает гидродинамический удар.

Для судов с низкой кормовой осадкой и относительно плоским дном наблюдается днищевой слеминг в кормовой оконечности, аналогичный носовой оконечности. Это является довольно распространённым явлением для современных круизных судов и паромов.

В действительности, при взаимодействии конструкций корпуса со взволнованной водной поверхностью угол, с которым происходит погружение, отличается от угла килеватости, что обусловлено качкой судна и деформируемой свободной поверхностью водной среды. Поэтому наибольшее гидродинамическое давление имеет случайный характер с большой дисперсией. По результатам натурных замеров оно может достигать нескольких мегапаскалей. Такие ударные нагрузки могут приводить к значительным пластическим деформациям, накоплению повреждений и к полному разрушению в экстремальных условиях эксплуатации, рисунок 1.2 [114-115]. Известны случаи перелома корпусов судов, оказавшихся в штормовом море при неблагоприятных условиях загрузки, в результате тяжелых ударов о волны.

Рисунок 1.2 - Последствия днищевого слеминга

После удара корпуса судна проявляется затухающие колебания, обычно с первой собственной частотой конструкций.

Увеличение скорости хода и высоты волн приводит к росту вероятности опасных ударов при слеминге, которые могут проявляться на встречном волнении при различных курсовых углах.

Бортовой слеминг (flare slamming). Бортовой слеминг представляет собой удар о волну наклонными участками борта в носовой оконечности. Он характерен для быстроходных судов с малой полнотой и существенным развалом борта в носовой оконечности. Продолжительность действия нарастающих динамических нагрузок существенно больше, чем при ударе днищем и составляет около 1 с. Давления при бортовом слеминге могут достигать 500 кПа и более.

С увеличением скорости судна растут нагрузки от бортового слеминга. Кроме того, на косых курсах часто сочетается с несимметричными относительно ДП ударами разрушающихся волн в носовой развал борта.

Бортовой слеминг может привести к вмятинам и повреждениям набора в верхней части обшивки носовой оконечности. Иногда он сопровождается заливанием и повреждением палубных конструкций. Время нарастания нагрузки часто имеет один порядок с полупериодом собственных упругих колебаний корпуса судна. Тем самым весь корпус судна при бортовом слеминге испытывает существенные дополнительные динамические напряжения от общего изгиба. Они действуют одновременно с напряжениями, вызванными волновыми нагрузками, нагрузками на тихой воде и суммируются с ними. Это приводит к увеличению общей напряженности корпуса. Значительный прогибающий динамический момент может быть причиной серьезных повреждений корпуса, связанных с потерей устойчивости палубных конструкций в средней части судна. Кроме того, в районе четверти длины корпуса в носовой части в бортах судна возникают дополнительные динамические касательные напряжения,

которые могут приводить к опасным трещинам в углах люков и в районе окончания надстройки бака [54].

Конфигурацию рассматриваемой задачи при слеминге можно условно разделить на две физические модели. Первая модель описывает явление плоского удара, характерного для плоских конструкций, таких как днище или мост катамарана, при котором удар происходит по нормали к пластинам обшивки и невозмущенной поверхности воды. Вторая модель отражает случай падения килеватого тела, когда взаимодействия с водной поверхностью происходит под определенным углом.

Важным аспектом для первой модели является учет воздушной среды. Так при плоском ударе воздух сжимается в области взаимодействия конструкции и водной поверхности непосредственно перед контактом. В момент касания телом поверхности воды образуется замкнутая воздушная каверна, которая далее погружается вместе с телом. В момент контакта тела со свободной поверхностью жидкости давления резко растут по всей поверхности днища. Таким образом, происходит удар, сопровождающийся деформациями конструкции, воды и воздуха. При этом воздушная среда может играть роль демпфирующей подушки.

При наличии угла между поверхностями тела и водной среды более 3° — 10° влияние воздушного потока и сжимаемости воды на ударные нагрузки практически не проявляется. Продолжительность взаимодействия гораздо больше, т.е. происходит динамическое погружение тела в жидкость. При этом свободная поверхность существенно деформируется, особенно в районе мгновенной ватерлинии, где она поднимается, образуя брызговую струю.

Моделирование явления удара конструкций корпуса о поверхность воды осложняется следующими обстоятельствами:

1. На поверхности воды помимо основных волн формируются вторичные волны, которые имеют острые гребни и пологие впадины. Характер распределения таких волн случайный и

нерегулярный. Данный факт приводит к сложности моделирования самого процесса волнения.

2. Поверхностный слой воды содержит большое количество воздушных пузырьков. Это приводит к увеличению сжимаемости поверхностного слоя воды.

3. При погружении тела в водную среду в присутствии воздушной среды изменение давлений и скорости погружения носит пульсирующий характер. Это связано с тем, что передача энергии от корпуса судна водной среде происходит через упругую воздушную прослойку и упругий, насыщенный воздухом, поверхностный слой. Упругая каверна и упругий поверхностный слой водной среды, сжимаясь, передают энергию воды, которая рассеивается в виде ударной волны, а также расходуется на деформацию свободной поверхности. После отхода ударной волны вглубь водной среды, давление в каверне снижается (или даже сменяется разряжением). Это приводит к увеличению скорости погружения и новому всплеску давления (но уже меньшей амплитуды).

При рассмотрении задач взаимодействия судовых конструкций корпуса с водо-воздушной средой можно выделить несколько подходов, которые сильно зависят от математической модели, принятых допущений и целей исследования.

Л.И. Седовым предложен подход, в основе которого лежит допущение о скачкообразном изменении скорости проникающего тела за бесконечно малый промежуток времени [45, 46]. Следовательно, процесс погружения моделируется ударом по телу, плавающему на поверхности несжимаемой жидкости. Гидродинамическая реакция при ударе по частично погруженному телу определяется из расчета обтекания симметричного тела, ограниченного смоченной поверхностью и ее зеркальным отражением относительно невозмущенной поверхности жидкости. Для таких задач, в которых время взаимодействия непродолжительно и изменением начальной геометрии можно пренебрегать, теория удара позволяет выявить наиболее

значимые особенности вызванного потока жидкости без использования сложного математического аппарата.

В работах В.Г. Логвиновича [27-29] рассмотрены предельные случаи непрерывного погружения для быстротекущих процессов в задачах об ударе по плоскому контуру, плавающему на поверхности идеальной несжимаемой жидкости. В связи с тем, что масса тела, испытывающего удар, является конечной, а изменение скорости происходит мгновенно, силы, вызывающие удар, оказываются сингулярными. Поэтому в постановках об ударе в качестве внешнего воздействия рассматривают импульс сил, и основным уравнением взаимодействия является уравнение импульсов.

При решении ударных задач, как и задач гидроупругих колебаний, вводится понятие присоединенной массы жидкости, которая характеризует инерцию окружающей среды, приводимой телом в движение. Присоединенные массы в случае безотрывного удара зависят только от формы тела и не зависят от скорости движения.

В соответствии с теорией Л.И. Седова были решены задачи удара плавающих тел различной формы [26]. Д.М. Ростовцевым эта теория была обобщена для случая удара плоского упругого тела [41]. Широкий спектр ударных задач рассмотрен Э.И. Григолюком и А.Г. Горшковым [7].

А.А. Коробкиным построены модели удара о воду с учетом нелинейных эффектов [92]. Первая модель является полуэмпирической, основана на подходе В.Г. Логвиновича, но при расчете гидродинамических нагрузок дополнительно учитывается форма проникающего в воду тела. Вторая - асимптотическая модель второго порядка. Эта модель основана на приближении Вагнера. Роль малого параметра играет безразмерная глубина погружения тела. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными [15].

Различные подходы к оценке динамической реакции корпуса, не учитывающие возмущения свободной поверхности при погружении, приводили к отличию истинных мгновенных значений кинетической

энергии от их значений, вычисляемых с помощью мгновенных присоединенных масс, получаемых для случая удара по плавающему контуру при переменном погружении. Решения, фактически заменяющие непрерывное погружение последовательностью ударных задач для плавающего контура с переменной осадкой, не учитывают «историю» движения жидкости, проявляющегося на границе раздела сред. Корректное решение задачи проникания требует рассмотрения движения системы «конструкция-водо-воздушная среда» в нестационарной постановке, когда поле возмущений в водо-воздушной среде и форма границ в каждый момент времени зависят от всей истории погружения тела и его упругой реакции.

Для учета «истории» движения водо-воздушной среды рассматривают подход непрерывного погружения. Решение такой задачи впервые изложено в работах Т. Кармана [87] применительно к посадке гидросамолета. Основное допущение подхода состоит в том, что в процессе погружения плоского призматического тела с малым углом килеватости его присоединенная масса в каждый момент времени эквивалентна присоединенной массе плоской пластины, ширина которой равна ширине смоченной поверхности тела.

Непрерывное погружение моделировалось обтеканием непрерывно расширяющейся плоской пластины без учета встречного движения жидкости и деформации свободной поверхности. Сделанные допущения приводили к завышению гидродинамический давлений на смоченной поверхности контура.

Дальнейшее развитие этой концепции было проведено в работах Г. Вагнера. В 1936 г. Г. Вагнер [104] модифицировал решение Т. Кармана, приняв во внимание эффект брызгообразования на теле. В своих работах он рассмотрел задачу о проникании с постоянной скоростью двумерного твердого клина, с заданным углом килеватости, в невозмущенную водную поверхность. Клин считается абсолютно жестким и симметричным относительно его вертикальной оси.

Основным допущением в решении Г. Вагнера для тел с относительно малым углом килеватости принимается то, что относительное движение жидкости при очень быстром погружении тела совпадает с движением жидкости при обтекании непрерывно расширяющейся плоской пластины. Скорость расширения пластины равна скорости увеличения смоченной поверхности днища, а скорость обтекания равна скорости погружения. Также, в отличии от теории Т.Кармана, учитывается увеличение смоченной поверхности тела за счет встречного движения жидкости - образование брызговой струи. Это увеличение учитывается функцией Вагнера.

Г.В. Логвиновичем [28] теория Г. Вагнера расширена для случая неравномерного погружения профилей; выведены зависимости для распределения потенциала и давлений по смоченной поверхности; решен ряд задач непрерывного погружения тел различной формы. Экспериментальные исследования, проведенные ЦАГИ С.И. Головиным [6] для клиньев и конусов различной геометрии, а также точные решения автомодельных задач З.Н. Добровольской [10] подтвердили приемлемость допущений теории Вагнера.

В работе El-M. Yettou, A. Desrochers, Y. Champoux [72] рассмотрено аналитическое решение задачи о непрерывном погружении симметричного плоского клина в покоящуюся жидкость. В отличие от предыдущих исследований, авторами был учтен эффект снижения скорости твердого тела при ударе с целью определения ударного давления, а также суммарной силы, действующей на тело. Эта особенность дает более точную оценку процесса погружения и приводит к уточненной оценке истинной динамической нагрузки на конструкцию. Справедливость предложенной модели подтверждается хорошей корреляцией между аналитическими результатами и результатами эксперимента, проведенными на нескольких моделях клина.

А.А. Коробкин рассмотрел пространственное погружение тел в жидкость [92]. На основе теории Вагнера проведен учет нелинейных

эффектов и геометрии погружаемых тел. Это было сделано для более точной оценки возникающих гидродинамических сил на тело. Предложена модифицированная модель Логвиновича, в которой распределение давления в смачиваемой области рассчитывается с использованием исходного нелинейного уравнения Бернулли с приблизительной оценкой геометрии удара. Показано, что новая модель существенно улучшает классический подход Вагнера и точно предсказывает гидродинамические нагрузки, действующие на конструкции при ударе воды. Новая модель не требует обширных численных расчетов и может быть рекомендована для практического использования на стадии проектирования.

В работе В.А. Катана рассматривается задача об ударном взаимодействии пластинки с жидкостью, которая имеет свободную границу. Пластинка расположена под углом наклона к свободной поверхности жидкости и моделирует работу органа управления судном [14].

В работах М.В. Норкина [31-33] были рассмотрены удары различной направленности как в условиях безотрывности возникшего течения, так и при наличии отрывных зон, проанализировано влияние на присоединенные массы плавающих тел сжимаемости и твердых границ, ограничивающих область течения жидкости.

Помимо эффектов сжимаемости водной среды важную роль могут играть упругие и пластические характеристики самого тела. К одному из подходов учета деформируемости конструкций относятся колебания судовых конструкций, которые возникают благодаря движению частиц жидкости, окружающей судно. При этом жидкость оказывает на конструкцию силовое воздействие, т.е. в свою очередь влияет на ее колебания [7], [41]. В создании силового воздействия жидкости на упругую конструкцию определяющая роль принадлежит силам инерции жидкости, проявление которых обнаруживается в виде кажущегося возрастания инерции упругого тела. Вязкость жидкости, появление звуковых и поверхностных волн увеличивают демпфирование упругих колебаний.

Сложное воздействие на колебания тонких обшивок и подводных крыльев оказывает набегающий поток. Возбуждая или усиливая взаимодействие между различными формами (модами) колебаний упругой конструкции, набегающий поток может как поглощать энергию колебаний (усиливать демпфирование), так и при некоторых условиях передавать часть своей энергии колеблющемуся телу. В последнем случае с ростом скорости потока появляется опасность недопустимого возрастания амплитуд колебаний, возможно развитие динамической неустойчивости гибкой конструкции.

Для случая абсолютно жесткого тела предполагается, что гидродинамическое давление зависит только от формы контура и времени. В случае деформируемой конструкции, давление также зависит и от деформаций (перемещений), т.е. р = р(х, w, где w = w(x, -перемещения, которые определяются из уравнения равновесия, которое можно записать как

д2w д4ш /л

М~дё + = Р(Х' ^ ( )

где М - масса на единицу длины, Е1 - изгибная жесткость. Основным допущением в решении уравнения (1.1) является то, что перемещения тела w могут быть представлены как суперпозиция собственных форм колебаний. При этом для пустоты и жидкости они совпадают [25], [36]. Предположение о совпадении форм колебаний в пустоте и жидкости позволяет перейти к уравнению свободных колебаний при р(х, ж, €) = 0,

-^МЪ + Е1-^ =0; (1.2)

шI - собственная частота, равная

С

=

1 Ми

" (1.3)

где Ма = Мгр1(х)с1х и Са = ¡^ Е11-^(х)Ох.

Для потенциального течения жидкости граничное условие не протекания должно соответствовать деформированному состоянию контура. Поскольку для возникновения упругих деформаций w(x) €) требуется время, гидродинамическое давление уравновешивается силой инерции контура. В связи с этим предполагается, что инициализируется первая фаза взаимодействия - фаза инерции конструкции. Тело испытывает большой импульс силы в течение небольшого промежутка времени относительно самого высокого периода собственных колебаний. Это приводит к тому, что усредненная по пространству скорость упругих

колебаний ^ будет равна скорости погружения V в конце начальной фазы.

В конце инерционной фазы происходит смачивание поверхности контура. Затем конструкция начинает вибрировать подобно свободным колебаниям балки на поверхности жидкости с начальной осредненной скоростью и нулевым начальным отклонением. Максимальные деформации возникают во время фазы свободных колебаний.

Предполагается, что инерция конструкции преобладает над жесткостью конструкции во время фазы инерции, т.е. вторым слагаемым в (1.1)Ошибка! Источник ссылки не найден. можно пренебречь. Если выразить гидродинамическое давление через потенциал и пренебречь квадратичными членами в уравнении Бернули, можно получить следующую постановку для первой фазы

д2w дю /л ..

М-^2 = при х< |с(0|; (14)

= 0 при х >|с(0|. (1.5)

Эта проблема была решена БаШшеп [73], со следующими начальными условия для фазы свободных колебаний

Ы

= -у,

(1.6)

€) « 0.

Для второй фазы - фазы свободных колебаний балки Эйлера описывается контур тела, рисунок 1.3.

Граничные условия на концах балки

€) = 0 при х = ± —;

и

(1.7)

кв дш д2ш Ь

шИ ± = 0 при * = ±2;

(1.8)

А г £

У ■'к0 X

кв>

1/2 1/2

Рисунок 1.3 - Расчетная схема балки

кв - жесткость упругой заделки. Когда кв равно нулю, опорный изгибающий момент равен нулю, что соответствует случаю свободной опоры. При кв ^ ю приходим к случаю жесткого закрепления. В результате решение описанной задачи получают функции форм колебаний балки, а также функции гидродинамических давлений. Стоит отметить, что давление, действующее на деформируемую балку, пропорционально скорости погружения, в отличии от случая абсолютно жесткого тела, где давление пропорционально квадрату скорости. Другими словами, возможно уменьшение пика давления при учете деформирования балки.

В [73] приводятся результаты экспериментов, которые подтверждают, что важна только первая форма колебаний. Кроме того, датчики деформаций не реагируют на очень высокие пики начальных давлений.

Определяемые функции для плоской балки также справедливы и для килеватых тел. Для оценки давлений, собственных частот, присоединенных

масс и других характеристик необходимо использовать выражение для ширины смоченной поверхности с(£) вместо предельного случая с(€) = 1/2.

Максимальные напряжения в конструкции могут не соответствовать моменту времени действия максимальных гидродинамических давлений, которые инициализируются в начальный момент погружения. Но энергия и импульс, передающаяся конструкции в течение погружения, может стать ключевым фактором. В связи с этим осцилляции давлений могут быть усреднены по первой собственной частоте колебаний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пономарев Дмитрий Александрович, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х т. - М.: Мир, 1990. - т. 1.

2. Белостоцкий А.М., Акимов П.А., Кайтуков Т.Б., Афанасьева И.Н., Вершинин В.В., Усманов А.Р., Щербина С.В. О моделировании связанных систем «сооружение - жидкость»: Постановки задач, конечно-элементные аппроксимации и алгоритмы решения. // «Вопросы прикладной математики и вычислительной механики». Москва. МГСУ. Сб. науч. тр. №17, 2014, с. 203-228.

3. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.

4. Бубнов И.Г. Избранные труды .Судпромгиз. Ленинград. 1956г.440с.

5. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. - М.: Наука, 1973.

6. Головин С.И. Экспериментальное исследование погружения профилей в жидкость Тр.ЦАГИ Вып. 807 с 55-78

7. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью, изд. Судостроение, 1976

8. Гришин В.И., Дзюба А.С., Дударьков Ю.И. Прочность и устойчивость элементов и соединений авиационных конструкций из композитов. - М.: Издательство физико-математической литературы, 2013. - 272 с.

9. Димитриенко Ю. И. Нелинейная механика сплошной среды. — М.: Физматлит, 2009. — 624 с.

10. Добровольская З.Н. Численное решение интегрального уравнения одной плоской автомодельной задачи о движении жидкости со свободной поверхностью, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, том 6, номер 5, 934941

11. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости Л.: Судостроение, 1984

12. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.

13. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск. унта, 1978. — 287 с.

14. Катан В.А. Моделирование ударного взаимодействия тела и жидкости со свободной поверхностью, Восточно-Европейский журнал передовых технологий 2/7 (68) 2014 c 32-35

15. Коробкин A.A. Численное и асимптотическое исследование плоской задачи о гидроупругом поведении плавающей пластины на волнах // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 2. С. 90-96

16. Короткин А.И. Присоединенные массы судостроителтных конструкций: Справочник. - СПб.: Мор Вест, 2007

17. Коршунов В.А. Численное моделирование процессов глубокого пластического деформирования судовых констуркций. Дисс. кандидата тех. наук: 05.08.01, СПбГМТУ, 2012.

18. Коршунов В.А., Пономарев Д.А., Родионов А.А. Анализ предельных форм потери несущей способности конструктивных связей корпуса из полимерных композиционных материалов В сб. «Труды Крыловского государственного научного центра». Вып.92 (376). СПб 2016.с.9-18.

19. Коршунов В.А., Пономарев Д.А., Родионов А.А. Анализ предельных форм потери несущей способности конструктивных связей корпуса из полимерных композиционных материалов В сб. «Труды Крыловского государственного научного центра». Вып.92 (376). СПб 2016.с.9-18.

20. Коршунов В.А., Пономарев Д.А., Родионов А.А. Виртуальные модели движения судна в условиях волнения. Тезисы Конф. по строительной механике корабля, посвященная памяти академика Ю.А. Шиманского. ВНТО судостроителей им. акад. А.Н. Крылова. (19-20 декабря 2013 г. Санкт-Петербург). Тезисы докладов Стр. 115-116.

21. Коршунов В.А., Пономарев Д.А., Родионов А.А. Исследование несущей способности корпусных конструкций из композитных материалов численными методами В сб. «Труды Международной конференция по судостроению и океанотехнике» 6-8 Июня 2016, СПб, Россия, (NAOE2016) с.356-370

22. Коршунов В.А., Пономарев Д.А., Родионов А.А. Исследование несущей способности корпусных конструкций из композитных материалов численными методами. В сб. «Труды Международной конференция по судостроению и океанотехнике» 6-8 Июня 2016, СПб, Россия, (NAOE2016) с.356-370

23. Коршунов В.А., Пономарев Д.А., Родионов А.А. Численная реализация возможных форм нелинейной потери устойчивости сэндвич-панелей из полимерных композиционных материалов В сб. «Труды Крыловского государственного научного центра». Вып.93 (377). СПб 2016.с.17-26.

24. Коршунов В.А., Пономарев Д.А., Родионов А.А. Численное моделирование ударного взаимодействия конструкций корпуса с водо-

воздушной средой. Труды международной конференции по судостроению и океанотехнике, 6-8 Июня 2016, Санкт-Петербург, 348-355.

25. Крыжевич Г.Б. Гидроупругость конструкции судна. - СПб.: ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, 2006.

26. Лаврентьев М.А., Елдыш М.В. Общая задача о жестком ударе о воду Тр.ЦАГИ Вып 152, с 5-12, 1935

27. Логвинович В.Г. Погружение тел в жидкость и нестационарное глиссирование Тр. ЦАГИ 1960 Вып. 807 с 1-38

28. Логвинович В.Г. Гидродинамика течений со свободными границами Киев Наукова думка, 1969

29. Логвинович В.Г. Погружение профилей в жидкость. Удар и глиссирование Тр. ЦАГИ 1958 Вып. 707 с 1-22

30. Минаков А.В. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости с подвижными границами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». Красноярск, ФГОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», 2008.

31. Норкин М. В. Методы решения нелинейных задач гидродинамического удара в ограниченных областях / М. В. Норкин // Изв. РАН. МЖГ. - 2005. - № 4. - С. 138-150.

32. Норкин М. В. Отрывной удар круглого диска, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости бесконечной глубины / М. В. Норкин // ПМТФ. - 2009. - Т. 50, № 4. - С. 76-86.

33. Норкин М. В. Отрывной удар эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины / М. В. Норкин // Изв. РАН. МЖГ. - 2008. - № 1. - С. 120-132.

34. Пономарев Д.А. Современные методы решения задачи взаимодействия конструкций с водо-воздушной средой. МОРСКИЕ

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, Научный журнал №3 (37) Т. 3 2017, стр. 30-40

35. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций Л.: Судостроение, 1977

36. Постнов В.А., Калинин В.С., Ростовцев Д.М. Вибрация корабля. - Л.: Судостроение, 1983

37. Родионов А.А., Коршунов В.А. Исследование форм глубокого пластического деформирования судовых панелей при сжатии. Морские интеллектуальные технологии 4(14) 2011г. с.16 - 20.

38. Родионов А.А., Коршунов В.А. Исследование характеристик предельной прочности бортового перекрытия при различных значениях остаточных толщин связей. //Морской вестник 1(9) 2012г. с.35 - 42.

39. Родионов А.А., Коршунов В.А. Численное моделирование форм пластического разрушения перекрытий в условиях двухкомпонентного нагружения. Морские интеллектуальные технологии» 4(14) 2011г. с.34 - 37

40. Родионов А.А., Коршунов В.А.. Исследование форм глубокого пластического деформирования судовых панелей при поперечном давлении. Морские интеллектуальные технологии 4(14) 2011г. с.21 - 26.

41. Ростовцев Д.М. Гидроупругие колебания судовых конструкций изд. ЛКИ 1977,

42. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980.

43. Семенюта С.С., Кураев В.Н., Прикладная механика, Москва 2004, 87стр.,

44. Седов Л.И. - Механика сплошной среды. Том 1. М., Наука, 1970 г., 492с.

45. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики М. Наука, 1980

46. Седов Л.И. Об ударе твердого тела, плавающего на поверхности жидкости, Тр. ЦАГИ 1934 Вып. 187 с 1-27

47. Седов Л.И., Механика в СССР за 50 лет. Том 2 Механика жидкости и газа. Изд. «Наука», Москва, 1970г

48. Сычева С.Н., Родионов А.А. Моделирование прогрессирующего разрушения деталей корпусных конструкций из полимерных композиционных материалов при столкновении с жестким препятствием

49. Хабахпашева Т. И. Методы гашения гидроупругих колебаний плавающей пластины, вызванных набегающими поверхностными волнами // тезисы докл. Восьмого Всероссийского Съезда по Теоретической и Прикладной Механике, Пермь, 2001. С. 583.

50. Хабахпашева Т. И. Нестационарное взаимодействие упругих тел с жидкостью // Тез. докл. Всеросс. конф. "Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва"посвященная 50-летию института Гидродинамики им.М.А. Лаврентьева СО РАН. 2007. С. 171-172.

51. Хабахпашева Т.И. Связь гидродинамических и упругих параметров при дифракции поверхностных волн на плавающей пластине // Изв. РАН. МЖГ, 2003. N 4. С. 101-110.

52. Хабахпашева Т.И. Удар поверхностной волной по упругой обшивке судна // Известия РАН. МЖГ. 2006. № 3. С. 111-121.

53. Хабахпашева Т.Н. Плоская задача об упругой плавающей пластине // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2000. Вып.116. С. 166-169.

54. Чижиумов, С. Д. Основы динамики судов на волнении: учеб. пособие / С. Д. Чижиу- мов. - Комсомольск-на-Амуре : ГОУВПО «КнАГТУ», 2010. - 110 с.

55. Шахверди Г.Г. Ударное взаимодействие твердых и деформируемых тел со сжимаемой жидкостью: дисс. на соиск. уч. ст. докт. физ.-мат. наук, Горький 1985

56. Шахверди Г.Г. Ударное взаимодействие судовых конструкций с жидкостью. - СПб.: Судостроение, 1993.

57. Aquelet N, Seddon C., Souli M. and M Moatamedi. Initialisation of volume fraction in fluid/structure interaction problem, IJCrash 2005 Vol. 10 No. 2

58. Aquelet N, Souli M, Olovsson L, 2006, Euler-Lagrange coupling with damping effects: application to slamming problems. Comput Methods Appl Mech Eng 195(1—3): 110—132

59. Aquelet N. , M. Souli, L. Olovsson Euler-Lagrange coupling with damping effects: Application to slamming problems Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 195 (2006) 110-132.

60. Aquelet N., , Couty N., Souli M. 2003, Damping effect in fluid-structure interaction: Application to slamming problem, Proceeding of PVP-ASME conference, Cleveland

61. Armand, J. L. & Cointe, R. (1987) Hydrodynamic impact analysis of a cylinder. Proc. Fifth Int. Offshore Mech. and Arctic Engng. Symp., pp. 609-634. Tokyo, Japan.

62. Bathe K.J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, New York, 1996.

63. Bathe K.J., Wilson E.L. Numerical methods in finite element analysis. Prentice - Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1976.

64. Bathe K.J., Zhang H. Finite element developments for general fluid flows with structural interactions. // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 60, 2004, pp. 213-232.

65. Bathe K.J., Zhang H., Ji S. Finite element analysis of fluid flows fully coupled with structural interactions. // Computers & Structures, 1999, Vol. 72, pp. 1-16

66. Belytschko Ted, Wing Kam Liu, Brian Moran, Khalil Elkhodary. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, 2nd Edition, Wiley, 2014.

67. BELYTSCHKO, T and NEAL M O. Contact-impact by the pinball algorithm with penalty, projection, and Lagrangian methods, Proc. Symp. on Computational Techniques for Impact, Penetration, and Perforation of Solids, New York, NY, ASME, AMD-Vol. 103, pp. 97-140, 1989.

68. Benson D.J., Computational methods in Lagrangian and Eulerian hydrocodes, 1990

69. Braess H., Wriggers P. Arbitrary Lagrangian Eulerian finite element analysis of free surface flow. // Computer Meth ods in Applied Mechanics and Engineering,190, 2000, pp. 95-109.

70. Cho J.R., Lee S.Y. Dynamic analysis of baffled fuel-storage tanks using the ALE finite element method. // International Journal for Numerical Methods in Fluids, 41, 2003, pp. 185-208.

71. Donea J., Antonio Huerta, J.-Ph. Ponthot, A. Rodriguez-Ferran. Arbitrary Lagrangian-Eulerian Methods. The Encyclopedia of Computational Mechanics, 2004.

72. El-M. Yettou, A. Desrochers, Y. Champoux A new analytical model for pressure estimation of symmetrical water impact of a rigid wedge at variable velocities Journal of fluids and structures 23 (2007) 501-522

73. FALTINSEN, O. M. 1997. The effect of hydroelasticity on ship slamming. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 355, 575-591

74. Hallquist J.O LS-DYNA : Theoretical Manual. Livermore Software Technology Corporation, 2006.

75. Hill R. A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals. Proc. Roy. Soc. London, 193:281-297, 1948

76. Hirt C.W., Nichols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries. // J. Comput. Phys., 1981, 39(1), pp. 201-225.

77. Hoffman O. The brittle strength of orthotropic materials. Journal of Composite Materials, 1967, 1: 200-206.

78. Howison, S. D., Ockendon, J. R. & Wilson, S. K. (1991) Incompressible water-entry problems at small deadrise angles. J. Fluid Mech. 222, 215-230.

79. I.Stenius et al., "Experimental hydroelastic characterization of slamming loaded marine panels," Ocean Engineering, vol. 74, pp. 1-15, 2013.

80. I.Stenius, A. Rosén and J. Kuttenkeuler, "Hydroelastic interaction in panel-water impacts of high-speed craft," Ocean Engineering, vol. 38, no. 2-3, pp. 371381, 2011.

81. I.Stenius, A. Rosén and J. Kuttenkeuler, "On Structural Design of Energy Efficient Small High-Speed Craft," Marine Structures, vol. 24, no. 1, pp. 43-59, 2011

82. I.Stenius, A. Rosen Explicit FE-modelling of fluid-structure interaction in hull-water impacts International Shipbuilding Progress 53 (2006) p. 103-121.

83. I.Stenius, A. Rosen Hydroelastic Effects in Slamming Loaded Panels 11th International Conference on Fast Sea Transportation FAST 2011, Honolulu, Hawaii, USA, September 2011.

84. I.Stenius, A. Rosen Hydroelastic interaction in panel-water impacts of high-speed craft Ocean Engineering 38 (2011) p. 371-381.

85. I.Stenius, A.Rosen, J. Kuttenkeuler Explicit FE-modelling of fluid-structure interaction in hull-water impacts. Internation Shipbuilding Progress 53 (2006), p. 103-121

86. Jean-François Sigrist. Fluid-Structure Interaction: An Introduction to Finite Element Coupling. Wiley, 2015.

87. Karman T., 1929, The impact on seaplane floats during landing, Technical Report, NACA TN 321

88. Kennedy J.M., Belytschko T.B. Theory and application of finite element method for arbitrary lagragian-eulerian fluids and structures/ nuclear Engineering and Design 68 (1981) p.129-146.

89. Khoei A.R. Extended Finite Element Method: Theory and Applications. Wiley, 2015.

90. Korobkin A. A. & Scolan, Y.-M. (2003) Three-dimensional theory of water impact. Part 2. Linearized Wagner problem. J. Fluid Mech. (submitted).

91. Korobkin A. A. Analytical models of water impact. European Journal of Applied Mathematics, 2004, pp 821-838.

92. Korobkin A.A. Three-dimensional nonlinear theory of water impact, 18th International Congress of Mechanical Engineering November 6-11, 2005, Ouro Preto, MG

93. Korobkin A.A. Water entry problem, School of Mathematics, University of East Anglia, Norwich, NR4 7TJ, UK.

94. Korobkin A.A., 1996. Water impact problems in ship hydrodynamics. In: Ohkusu, M. (Ed.), Advances in Marine Hydrodynamics. Computational Mechanics Publications, Southampton, pp. 323-371.

95. Kuhl E., Hulshoff S., de Borst R. An arbitrary Lagrangian Eulerian finite element approach for fluid - structure interaction phenomena. // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 57, 2003, pp. 117-142.

96. Mei X., Liu Y. & Yue D. K. P. (1999) On the water impact of general two-dimensional sections. Appl. Ocean Res. 21, 1-15.

97. Olav Aagaard Hydroelastic Analysis of Flexible Wedges Master Thesis, Spring Norwegian University of Science and Technology 2013.

98. Oliver, J. M. (2002) Water entry and related problems. PhD thesis, University of Oxford.

99. Oliver, J. M. (2002) Water entry and related problems. PhD thesis, University of Oxford.

100. Robert G Dean, Robert A Dalrymple. Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists, World Scientific Publishing Company, 1991

101. Scolan, Y.-M. & Korobkin, A. A. (2001) Three-dimensional theory of water impact. Part 1. Inverse Wagner problem. J. Fluid Mech. 440, 293-326.

102. Shorygin, O. P. (1973) Oblique water entry of axisymmetrical bodies of simple shape. In: Proc. IUTAM Symposium on Non-Steady Flow of Water at High Speeds, Sedov, L. I. and Yu, G. (eds.), Stepanov Leningrad, USSR, pp. 397403.

103. Tsai S. W. and Wu E. M. A general theory of strength for anisotropic materials. Journal of Composite Materials, 1971, vol. 5.

104. Wagner H., 1932, Uber Stoß- und Gleitvogange an der Oberache von Flüssigkeiten, Zeitschrift f. Angew. Math. Und Mech., 12, pp.293-235.

105. Zhao R., Faltinsen O. & Aarsnes J. (1996) Water entry of arbitrary two-dimensional sections with and without separation. Proc. 21st Symposium on Naval Hydrodynamics, pp. 118-133. Trondheim, Norway.

106. Zhao R., Faltinsen O.M., 1993, .Water entry of two dimensional bodies,. JFM, 246, 593-612.

107. Zhong Z.H., Finite Element Procedures for Contact-impact Problems, Oxford University Press, Oxford, 1993.

108. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method: vol.1 The Basis.Butterworth-Heinemann, 2000.

109. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method: vol.2 Solid Mechanics. Butterworth-Heinemann, 2000.

110. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method: vol.3 Fluid Dynamics. Butterworth-Heinemann, 2000

111. LS-DYNA Aerospace Working Group Modeling Guidelines Document, Version 14-1 dated August 12, 2014

112. LS-DYNA keyword user's manual. Volume II. Materials models, Livermore Software Technology Corporation (LSTC)

113. http://sea-library.ru/plavanie-v-shtormovyx-usloviyax/471 -vliyanie-shtormovyx-uslovij -na-morexodnye-kachestva-sudna. html

114. http://sea-library.ru/plavanie-v-shtormovyx-usloviyax/471 -vliyanie-shtormovyx-uslovij -na-morexodnye-kachestva-sudna. html

115. https: //www. marineinsight. com/marine-navigation/effects-of-rogue-wave-on-ships/