Метод анализа усталостной долговечности радиоэлектронной аппаратуры на основе математического моделирования термопрочностных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Морозов Егор Александрович

• Морозов Егор Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Морозов Егор Александрович

Введение

1 СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА АНАЛИЗА УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ РЭА НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ

1.1 Информационный анализ математического моделирования теплофизических процессов в РЭА

1.2 Информационный обзор существующих методов решения дифференциальных уравнений в частных производных

1.3 Основные положения анализа усталостной долговечности

1.3.1 Методы усталостного анализа

1.3.2 Типы циклически прикладываемых нагрузок

1.3.3 Учёт средних напряжений

1.3.4 Корректирующие коэффициенты

1.4 Анализ термопрочностных процессов предшествующих расчёту усталостной долговечности

1.4.1 Теплообмен теплопроводностью (кондуктивный теплообмен)

1.4.2 Теплообмен излучением (лучистый теплообмен)

1.4.3 Анализ напряжённо-деформированного состояния

1.5 Подходы и методы к упрощению математических моделей

1.6 Основные результаты

2 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РЭА

2.1 Математическая модель анализа усталостной долговечности РЭА

2.2 Создание упрощённых моделей электрорадиоизделий

2.2.1 Компактные кондуктивные модели

2.2.2 Создание «сетевых моделей»

2.3 Создание моделей несущей конструкции первого уровня иерархии (печатной платы)

2.3.1 Компактная (усреднённая) тепловая модель

2.3.2 Компактная (слоистая) тепловая модель

2.3.3 Модель с импортом трассировки

2.4 Создание моделей несущей конструкции второго уровня иерархии (рамки)

2.5 Основные результаты

3 РАЗРАБОТКА МНОГОСЕТОЧНОГО ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА И КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ДЛЯ АНАЛИЗА УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ РЭА

3.1 Многосеточный численный метод анализа усталостной долговечности . 77 3.1.2 Математическая формулировка интерполяции

3.2 Программная реализация метода анализа усталостной долговечности РЭА

3.3 Основные результаты

4 АППРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

4.1 Математическое моделирование теплового режима работы бортовой РЭА КА

4.2 Апробация результатов моделирования деформации (перемещений)

4.3 Основные результаты

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод анализа усталостной долговечности радиоэлектронной аппаратуры на основе математического моделирования термопрочностных процессов»

ВВЕДЕНИЕ

При работе радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) в широком температурном диапазоне с циклическими воздействиями, вследствие разности температурных коэффициентов линейного и несвободного расширения конструктивных элементов из различных материалов, возникают циклические напряженно-деформируемые состояния (НДС), приводящие к усталостным изменениям в таких элементах конструкции, как проводники, металлизация переходных отверстий, паяные и клеевые соединения, полупроводниковые кристаллы, выводы электрорадиоизделий (ЭРИ), платы и подложки. Именно они приводят к механическим разрушениям и электрическим отказам после определенного времени работы.

Закономерности, описывающие деформирование и разрушение материалов, в сочетании с информацией о температурном состоянии элементов исследуемых конструкций позволяют подойти к решению важного для инженерной практики вопроса об оценке их работоспособности при заданных условиях теплового и/или механического воздействий. Напряженное и деформированное состояния обычно можно изучить с большей точностью, чем оценить опасность этих состояний. Иными словами, из двух основных этапов оценки прочности - 1) установления пространственного распределения температурных полей, а также соответствующего напряженного и деформированного состояния и 2) оценки опасности, т. е. собственно расчёта на прочность, - второй этап менее изучен, чем первый.

В общем случае количественная оценка этого вопроса связанна с определением параметров НДС рассматриваемого элемента конструкции при упругом или неупругом поведении материала вследствие циклически меняющихся температурных воздействий. Это обычно приводит к необходимости формулировать и решать соответствующую задачу термоупругости, термопластичности и/или термоползучести.

В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений такого анализа является математическое моделирование, под которым понимают замену существующего или создаваемого объекта адекватной ему математической моделью и последующее её количественное исследование путём вычислительного эксперимента с привлечением средств современной вычислительной техники.

Для анализа НДС элементов сложных теплонапряженных конструкций РЭА, в которых применены материалы с зависящими от температуры физическими характеристиками, в последнее время всё чаще применяются не аналитические методы, а более универсальный и гибкий метод конечных элементов (МКЭ).

По сути дела, сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы заменяется набором подобластей, имеющих конечное число степеней свободы. При таком подходе искомые непрерывные величины (температура, деформации (перемещения), напряжения и пр.) внутри каждого конечного элемента выражаются с помощью аппроксимирующих функций через узловые значения этих величин. В математическом плане задача состоит в приведении дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую сплошную среду, к системе алгебраических уравнений, решение которой дает значения искомых узловых неизвестных.

Решением задач математического моделирования тепловых и напряжённо-деформированных состояний, прочности, долговечности занимались такие специалисты как Соболев Н.Д., Егоров В.И., Шаповалов Л.А., Шор Б.Ф., Фридман Я.Б., Самарский А.А., Дульнев Г.Н., Лыков А.В., Кофанов Ю.Н., Шалумов А.С., Жаднов В.В. и др. Среди зарубежных Веллер, Гудман, Гербер, Содерберг, Смит, Ватсон, Топпер, Морроу, Мизес, Палгрем, Майнер и др.

Однако в этих исследованиях не рассматривались вопросы создания, на основе анализа закономерностей рассматриваемых физических процессов

эксплуатации, экономичных математических моделей (ММ) РЭА и повышения эффективности проведения анализа долговечности на основе математического моделирования термопрочностных процессов.

При высокой степени детализации ММ проведение комплексного анализа, которым является анализ долговечности, становится проблематичным либо вовсе невозможным. Использование же нескольких моделей для каждого типа проводимого анализа (тепловой, деформационный, прочностной) создаёт значительные трудности при передаче результатов с одной расчётной сетки на другую в связи с тем, что имеется большое расхождение в количестве узлов и элементов.

В этой связи актуальна разработка метода анализа усталостной долговечности РЭА на основе математического моделирования термопрочностных процессов с повышенной вычислительной эффективностью, которая и будет рассмотрена в рамках данной работы на примере тестовой конструкции бортовой РЭА (бРЭА) космических аппаратов (КА).

Целью диссертационной работы является разработка метода анализа усталостной долговечности РЭА на основе математического моделирования термопрочностных процессов с повышенной вычислительной эффективностью.

Для достижения обозначенной цели проводится:

1. Разработка экономичных математических моделей РЭА, описывающих протекание тепловых и деформационных процессов;

2. Разработка многосеточного численного метода для высокопроизводительного анализа усталостной долговечности РЭА на основе математического моделирования термопрочностных процессов;

3. Разработка автоматизированного программного комплекса для анализа усталостной долговечности РЭА на основе математического моделирования термопрочностных процессов;

4. Верификации результатов математического моделирования РЭА путём сопоставления с результатами натурного эксперимента.

Методы исследования основываются на применении в процессе выполнения работы теории: теплофизики, механики деформируемого твёрдого тела, надёжности, математического моделирования, численных методов, а также методов экспериментального исследования физических процессов и получения исходных данных на основе актуальных руководящих стандартов.

Научная новизна работы. В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

Разработаны, на основе уравнений теплопроводности и теории упругости, математические модели РЭА, отличающиеся от существующих учётом конкретных физических особенностей задачи и позволяющие проводить математическое моделирование термопрочностных процессов с повышенной вычислительной эффективностью.

Соответствует 1 пункту исследований по паспорту специальности.

Разработан новый многосеточный численный метод анализа усталостной долговечности РЭА, отличающийся тем, что в одной физической области разные уравнения решаются на разных расчётных сетках, что позволяет существенно сократить требования к памяти и быстродействию вычислительной системы.

Соответствует 3 пункту исследований по паспорту специальности.

Разработан новый программный комплекс, отличающийся от существующих возможностями автоматизированного упрощения моделей РЭА и поэтапного математического моделирования термопрочностных процессов, и позволяющий существенно сократить временные и вычислительные ресурсы на проведение анализа усталостной долговечности РЭА.

Соответствует 4 пункту исследований по паспорту специальности.

Практическая значимость работы. Использование результатов выполненных работ в практике проектирования РЭА позволит повысить её надёжность, а также срок активного существования за счёт снижения проектных проб и ошибок, оптимизации конструкторско-технологических решений при одновременном сокращении временных, вычислительных и финансовых затрат. По результатам работы получены 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ «АРМИТ» (№ 2013618642) и «АПК «Усталость РЭА» (№ 2015618856). Получено положительное решение о выдаче патента на изобретение РФ «Способ проведения анализа долговечности радиоэлектронной аппаратуры».

Защищаемые положения. На защиту выносятся:

1.Математические модели РЭА;

2.Многосеточный численный метод для эффективного анализа усталостной долговечности РЭА на основе математического моделирования термопрочностных процессов;

3.Программный комплекс, реализующий численный метод анализа усталостной долговечности РЭА.

Достоверность полученных результатов основана на адекватности используемых математических моделей, что подтверждается исследованием на сеточную сходимость на последовательности сгущающихся сеток, адекватностью приближения объёмных элементов элементами меньшей размерности, сравнении собственных результатов математического моделирования с экспериментальными данными.

Личный вклад автора. Состоит в постановке расчётной задачи, разработке численного метода её решения, создании математических моделей, проведении математического моделирования комплексных физических процессов, обработке и обобщении результатов теоретических исследований, анализе и обобщении полученных результатов, формулировке выводов и заключения по диссертации.

Внедрение результатов работы. Основные результаты работы внедрены в рамках следующих опытно-конструкторских работ:

- «Разработка технологических процессов изготовления макрогибридных модулей для сильноточной бортовой радиоэлектронной аппаратуры» (государственный контракт от 26 февраля 2006 г. № 307-Т393-06);

- «Разработка технологий информационной поддержки создания бортовой радиоэлектронной аппаратуры ракетно-космической техники на всех этапах ее жизненного цикла. Разработка методики тепловакуумных испытаний бортовой радиоэлектронной аппаратуры негерметичных космических аппаратов и специализированного стенда тепловакуумных испытаний» (государственный контракт от 18 марта 2008 г. № 307-Т445/08);

- «Разработка технологических процессов изготовления электронных модулей на основе коммутационных плат из низкотемпературной совместно-обжигаемой керамики для бортовой радиоэлектронной аппаратуры» (государственный контракт от 06 апреля 2009 г. № 307-Т393/09);

- «Разработка технологических процессов изготовления гипертеплопроводящих пористых структур для охлаждения бортовой радиоэлектронной аппаратуры космических аппаратов негерметичного исполнения. Разработка базовых технологических процессов изготовления и испытаний единой трехмерной сети электрических интерфейсов изделий ракетно-космической техники» (государственный контракт от 24 июня 2011 г. № 307-Т515/11);

- комплексного проекта Министерства образования и науки Российской Федерации по созданию высокотехнологичного производства (Постановление Правительства РФ №218, Ьочередь) по теме «Разработка унифицированного ряда электронных модулей на основе технологии «система-на-кристалле» для систем управления и электропитания космических аппаратов (КА) связи, навигации и дистанционного

зондирования Земли с длительным сроком активного существования» (договор от 07 сентября 2010 г. № 13.G25.31.0017);

- комплексного проекта Министерства образования и науки Российской Федерации по созданию высокотехнологичного производства (Постановление Правительства РФ №218, Ш-очередь) «Разработка перспективной системы автономной навигации с применением отечественной специализированной элементной базы на основе наногетероструктурной технологии для космических аппаратов всех типов орбит» (договор от 12 февраля 2013 г. № 02.G25.31.0042).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Научно-технической конференции молодых специалистов «Электронные и электромеханические системы и устройства» (Томск, 2008); Научно-технической конференции молодых специалистов «Разработка, производство, испытания и эксплуатация космических аппаратов и систем» (Железногорск, 2011); IV Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космического приборостроения и информационных технологий» (Москва, 2011); Международной научно-технической конференции «Навигационные спутниковые системы, их роль и значение в жизни современного человека» (Железногорск, 2012); IV Всероссийской конференции «Безопасность и живучесть технических систем» (Красноярск, 2012); V Общероссийской молодежной научно-технической конференции «Молодёжь. Техника. Космос» (Санкт-Петербург, 2013); IV Молодежной научно-технической конференции «Инновационный арсенал молодежи 2013» (Санкт-Петербург, 2013); Международной научно-технической конференции «Системы и комплексы автоматического управления летательных аппаратов», посвященной 105-летию со дня рождения академика АН СССР Н.А. Пилюгина (Москва, 2013).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в журналах: «Компьютерные исследования и моделирование», «Известия вузов. Физика», «Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники», «Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета» и «Наукоёмкие технологии». Также опубликованы материалы 6 всероссийских и 2 международных конференций.

Всего опубликовано 19 работ, 8 из которых в журналах входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.

Содержание работы. В первой главе проведено рассмотрение современного состояния вопроса обеспечения усталостной долговечности РЭА на основе математического моделирования термопрочностных процессов, характерных для этапа активного существования, вследствие циклически меняющихся внешних температурных условий.

Во второй главе рассматривается создание математических моделей РЭА, необходимых для последующего математического моделирования тепловых и прочностных режимов работы, анализа усталостной долговечности с учётом реальных режимов её работы.

В третьей главе впервые проведена разработка многосеточного численного метода (МЧМ) анализа усталостной долговечности РЭА на основе линейной интерполяции результатов математического моделирования термопрочностных процессов в конструкциях РЭА различного уровня иерархии.

В четвёртой главе проведено внедрение результатов диссертационной работы в практику проектирования и испытаний бРЭА КА АО «ИСС» (г. Железногорск).

Рассмотрены вопросы верификации результатов теплового и деформационного моделирования РЭА.

В заключении подведены итоги проведённых диссертационных исследований и разработок.

1 СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА АНАЛИЗА УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ РЭА НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ

1.1 Информационный анализ математического моделирования теплофизических процессов в РЭА

Обеспечение длительного срока активного существования (САС) радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) различного назначения является важнейшей научной, инженерной и экономической задачей, решение которой требует глубокого системного подхода на всех этапах её создания и эксплуатации. Стратегической задачей для обеспечения длительного САС является реализация на всех этапах жизненного цикла РЭА предельно достижимых показателей надёжности за счёт использования современных конструкторско-технологических решений, а также эффективных методов проектирования и производства [1].

Существующая статистическая теория надёжности позволяет прогнозировать основные параметры надёжности РЭА на основе результатов сбора сведений об отказах в различных системах в ходе эксплуатации. При проектировании РЭА с использованием новых конструкторско-технологических решений, в том числе новой (современной) компонентной базы, прогнозирование надёжности требует новых данных по отказам (интенсивность, срок работы, локализация, возможные причины и др.), которые могут быть получены только по результатам эксплуатации. Вместе с тем отказы являются результатом физико-технологических дефектов в конструкциях РЭА, прогнозировать которые можно только на основе анализа процессов при изготовлении, в том числе при испытаниях, и функционировании конкретных изделий в конкретных условиях производства и эксплуатации. При работе РЭА в широком температурном диапазоне с циклическими воздействиями, вследствие разности температурных коэффициентов линейного и объёмного расширений

различных конструктивных элементов из различных материалов, возникают циклические напряженно-деформируемые состояния, приводящие к усталостным изменениям в таких элементах конструкции, как проводники, металлизация переходных отверстий, паяные и клеевые соединения, полупроводниковые кристаллы, платы и подложки. Именно они приводят к механическим и электрическим разрушениям и отказам после определенного времени работы [1].

Процессы постепенного накопления повреждений в материале под действием циклических нагрузок, приводящие к изменению его свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению, называют усталостью, а свойство противостоять усталости - выносливостью (ГОСТ 23207-78).

Разрушение от усталости по сравнению с разрушением от статической нагрузки имеет ряд особенностей [2]:

- оно происходит при напряжениях, меньших, чем при статической нагрузке (меньших предела текучести или временного сопротивления);

- разрушение начинается на поверхности (или вблизи от неё) локально, в местах концентрации напряжений (деформации). Локальную концентрацию напряжений создают повреждения поверхности в результате циклического нагружения либо надрезы в виде следов обработки, воздействия среды;

- разрушение протекает в несколько стадий, характеризующих процессы накопления повреждений в материале, образования трещин усталости, постепенное развитие и слияние некоторых из них в одну магистральную трещину и быстрое окончательное разрушение;

- разрушение имеет характерное строение излома, отражающее последовательность процессов усталости. Излом состоит из очага разрушения (места образования микротрещин) и двух зон - усталости и долома.

Закономерности, описывающие деформирование и разрушение материалов, в сочетании с информацией о температурном состоянии элементов исследуемых конструкций позволяют подойти к решению важного для инженерной практики вопроса об оценке их работоспособности при заданных условиях теплового и/или механического воздействий. В общем случае решение этого вопроса связанно с определением параметров напряженно-деформированного состояния рассматриваемого элемента конструкции при упругом или неупругом поведении материала. Это обычно приводит к необходимости формулировать и решать соответствующую задачу термоупругости, термопластичности и/или термоползучести.

Напряженное и деформированное состояния обычно можно изучить с большей точностью, чем оценить опасность этих состояний. Иными словами, из двух основных этапов оценки прочности - 1) установления напряженного и деформированного состояния, а также соответствующих температурных полей и 2) оценки опасности, т. е. собственно расчёта на прочность, - второй этап менее изучен, чем первый. В статье Н.Д. Соболева и В.И. Егорова [3] приведены результаты расчётов на термическую усталость, в статье Л.А. Шаповалова - на термическую устойчивость [4], в статье Б.Ф. Шора - на ползучесть [5].

Как указывает зарубежный источник [6], многолетний опыт тестирования электронного оборудования в военной промышленности показал, что 80% электромеханических отказов связано с различными термическими воздействиями на оборудование и примерно 20% отказов приходится на различные виды вибраций и ударное воздействие, поэтому расчёту тепловых режимов РЭА уделяется более пристальное внимание, чем полному спектру механических нагрузок.

Большое количество работ посвящено методу поэтапного моделирования теплового режима сложных систем [7-10].

В работе [1] разработана методика и представлены результаты вычислительного прогнозирования надёжности радиотехнического модуля на основе коммутационных плат из низкотемпературной совместно-обжигаемой керамики (КП НТК) (английская аббревиатура LTCC - Low Temperature Co-fired Ceramics) космического назначения, которое базируется не на статистических (справочных) данных об отказах, а на физической модели надёжности и компьютерном моделировании циклических напряженно-деформированных состояний, возникающих при несвободной деформации конструкции модуля вследствие реальных тепловых режимов его работы, колебаний температуры внешней среды и действующих механических закреплений.

Алгоритм прогнозирования надёжности модуля КП НТК включал в себя следующие этапы: 1) разработка конструкции модуля КП НТК на основе схемы электрической принципиальной; 2) создание геометрической модели модуля; 3) подготовка геометрической модели модуля средствами ANSYS DesignModeler к расчёту, а именно: а) исправление проблемных мест в геометрии образующихся в результате трансляции; б) «группировка» отдельных деталей в части, которое позволяет сократить количество деталей и контактов между ними, обеспечив более удобную работу с элементами конструкции; в) построение расчётной сетки на основе примитивов в виде в виде геометрических фигур: тетраэдр, пирамида, призма, гексаэдр, с учётом глобального и локального контролей сетки; 4) проведение стационарного теплового анализа конструкции модуля в ANSYS Mechanical и получение пространственного распределения температур; 5) проведение статического конструкционного анализа конструкции модуля в ANSYS Mechanical и получение пространственного распределения механических напряжений; 6) проведение усталостного анализа конструкции модуля в ANSYS Fatigue и расчёт показателей долговечности: усталостного ресурса, запаса по

долговечности, усталостного повреждения, двухосности напряжений и прочего.

Возникающая в данном случае тепловая деформация вычисляется с

помощью уравнения: е* = е^ = е^ = а (т - т^), где е - тепловая

деформация; а - температурный коэффициент линейного расширения; т -приложенная температура; т ^ - исходная температура, относительно

которой измеряется тепловое расширение.

В [11] выведены уравнения теплопроводности и термоупругости для рабочих элементов металлокерамических корпусов (МКК), которые содержат секторные и клинообразные включения. Исследование температурных напряжений проводилось согласно линейной теории упругости. Рабочие элементы МКК рассматривались как тонкостенные кусочно-однородные конструкции, состоящие из отдельных частей с различными, но постоянными в пределах каждой из них, физико-механическими характеристиками. В каждом конкретном случае физико-механические характеристики кусочно-однородного тела как едино целого описаны с помощью единичных асимметричных функций. Для вывода основных уравнений задачи теплопроводности и термоупругости, а также получения их решений авторами применялся аппарат обобщенных функций.

Авторами [12] аналитически решена задача теплопроводности для прямоугольных подложек, используемых в производстве МКК. Отмечено, что возникновение значительных температурных градиентов в рабочих узлах МКК интегральных микросхем в процессе твёрдой пайки выводов к ним приводит к появлению температурных напряжений, которые вызывают дефекты в керамике типа микротрещин, расслоений, разрывов внутренних проводников. В то же время увеличивающаяся плотность выводов при коммутации металлокерамических корпусов в единый радиоэлектронный корпус приводит к уменьшению шага между ними. Особо важную роль при

этом начинают играть вопросы рассеивания мощности и нагрева корпусов. Поэтому учёт распределения температурных полей в узлах МКК важен для решения проблемы отвода тепла.

В [13] описано численное моделирование нестационарных температурных полей больших интегральных схем в керамических корпусах в процессе монтажа многокомпонентной схемы с целью: 1) минимизировать время нагрева и тем самым увеличить производительность монтажа; 2) рассчитать поля термических напряжений и деформаций. Моделирование проводилось с помощью электрической модели на переменных резисторах по причине ограниченного времени эксперимента и отсутствия готовых пакетов программ.

В работе [14] изложена физическая модель разрушения многослойной контактной системы полупроводникового прибора при циклическом температурном воздействии. При анализе термического нагружения многослойной контактной системы, включающей слои металла толщиной порядка 1 мкм, нанесенные на полупроводниковую подложку, показано наличие существенной пластической деформации в зонах металла, контактирующих с полупроводником, при изменении температуры системы всего на несколько десятков градусов. Циклическое изменение температуры многослойной контактной системы прибора приводит к локальному изменению её проводимости и зависящих от неё электрофизических характеристик прибора, причём продолжительность срока активного существования системы принципиально ограничена наступлением механического отказа. Выведено уравнение для критического числа термоциклов, предшествующих отказу структуры в некоторой зоне.

1.2 Информационный обзор существующих методов решения дифференциальных уравнений в частных производных

Для анализа напряжённо-деформированного состояния элементов

сложных теплонапряженных конструкций РЭА, в которых применены

18

материалы с зависящими от температуры физическими характеристиками, в последнее время всё чаще применяются не аналитические [15-20], а более универсальные и гибкие численные методы. Кроме анализа работоспособности теплонапряженных конструкций численные методы решения задач термоупругости часто используют при анализе неупругого поведения конструкций. Такой анализ можно проводить последовательными приближениями или последовательными этапами нагружения, так что при каждом приближении или на каждом этапе нагружения приходится решать соответствующую задачу термоупругости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Морозов Егор Александрович, 2015 год

Источник

Термопара

□

- Термопара

-Микросхема

Изолятор Водяная трубка

а б

Рисунок 2.3 - Внешний вид конструкции для измерения теплового сопротивления «источник-плата»: а - вид сбоку (сечение); б - вид сверху

(изоляция условно не показана)

а

б

Рисунок 2.4 - Параметры конструкции тестовой (2в2р) платы с высокой эффективной теплопроводностью: а - стек слоёв; б - габаритные размеры

Внутренний слой тестовых плат (рисунок 2.4) представляет собой сплошной металлизированный полигон («plane»), а топология выполняется на внешних слоях. Базовый материал для изготовления тестовой платы должен соответствовать спецификации FR-4 по классификации NEMA. Подробно требования к изготовлению и трассировке тестовой печатной платы изложены в стандарте JEDEC51-7.

Реализация физического эксперимента по измерению теплового сопротивления «источник-плата» ЭРИ сопряжена с многочисленными трудностями и издержками. В этой связи был создан виртуальный стенд для определения теплового сопротивления «источник-плата» ЭРИ посредством компьютерного моделирования тепловых процессов. Для этого понадобилась JEDEC (2s2p) плата (рисунок 2.4) на внешние поверхности которой с обеих сторон были добавлены «рамки» шириной 4 мм с постоянной температурой (граничное условие первого рода) (рисунок 2.5, а). Ещё одним (более экономичным с точки зрения вычислений) вариантом реализации виртуального стенда является JEDEC (2s2p) плата ограниченная расстоянием в 5 мм от посадочного места ЭРИ на краях которой, по всей толщине, задано граничное условие первого рода (рисунок 2.5, б).

а б

Рисунок 2.5 - Виртуальный стенд для определения теплового сопротивления «источник-плата»: а - на основе стандартной тестовой ^2р) платы; б - на основе укороченной тестовой ^2р) платы

2.3 Создание моделей несущей конструкции первого уровня иерархии (печатной платы)

Несущая конструкция первого уровня иерархии (печатная плата) состоит из диэлектрика и проводящего слоя, на котором впоследствии формируется рисунок печатных проводников. Так как теплопроводность меди достаточно высока, а плотность проводников неоднородна на поверхности платы, встает вопрос об учёте распределения тепла за счёт проводящих дорожек и контактных площадок.

Использование детализированной модели (т.е. модели, которая включает полную структуру проводящего слоя) для тепловых расчётов представляет значительные трудности, за счёт чрезвычайной сложности расчётной сетки (количество узлов КЭ-сетки может превышать 500 тыс.). Для решения этой проблемы, необходима разработка экономичных моделей, которые позволят учитывать наиболее значимые свойства объекта, что в результате позволит повысить скорость расчёта, при сохранении необходимой точности [101-104].

2.3.1 Компактная (усреднённая) тепловая модель

Особенности модели [102-103]:

- самая простая из доступных;

- представляет собой однородный материал с ортотропной проводимостью: проводимость в плоскости 1111 (к 1апе) >> проводимости в

направлении нормали к 1111 (к ,);

1 1 V norm a l J

- проводящие слои (верхний, нижний и внутренние) задаются в процентном соотношении от величины поверхности диэлектрика;

- проводящие слои не моделируются (не рассматриваются) в отдельности.

к. , = у kt / у t. , (2.6)

in - p lane / у i / у i ' \ У

к . = у X. / у (X. /к.), (2.7)

погта1 / а г / а х г г 7 ~ V /

* / (2.8)

где /. - коэффициент покрытия меди; к - теплопроводность материала (Вт/м • К ); ? - толщина слоя (м).

На основании анализа выражений (2.6-2.8) видно, что наибольшее влияние на итоговую теплопроводность модели оказывает теплопроводность в плоскости, нежели по нормали. В свою очередь на теплопроводность в плоскости, большее влияние оказывают слои меди, в то время как на теплопроводность по нормали влияет слой диэлектрика.

К примеру:

- количество внутренних проводящих слоев = 6;

- площадь покрытия каждого проводящего слоя = 40%;

- толщина верхнего, нижнего и внутренних слоев проводящего материала = 35 мкм;

- толщина слоя ПП = 145 мкм;

- теплопроводность проводящего материала (меди) = 388Вт/м • К ;

- теплопроводность диэлектрического основания (FR4) = 0,35 Вт/м • К .

На основании (2.6) теплопроводность в плоскости:

к. , = (8 • 35 • 10-6 • 388 • 0,4 + 7 • 145 • 10~б-0,35)/

гп -р 1апв 4 '

(8 • 3 5 • 10 6 + 7 • 145 • 10 б) = 3 3,06 Вт/м • К .

На основании (2.7) теплопроводность по нормали:

- 3 - б - б

к„огта1= 1,29 • 10 /((8 • 35 • 10 / 388) + (7 • 145 • 10 / 35)) = 0,44 Вт/м • К .

Применение данной численной модели ПП, как правило, оправдано при проведении оценочного моделирования теплового режима РЭА, когда погрешность порядка 15-20% некритична.

2.3.2 Компактная (слоистая) тепловая модель

Особенности модели [102-103]:

- имеет более детальное представление структуры, чем компактная (усреднённая) модель, поскольку ПП моделируется, как слой диэлектрического основания со слоями меди;

- проводящие слои задаются в процентном соотношении от величины поверхности диэлектрика;

- проводящие слои представляются тонкими пластинами и моделируются по отдельности.

Рассмотренная модель, находит применение при расчётах многослойных 1111, на которых установлены сложные и чувствительные к температуре элементы (например, процессоры, системы на кристалле). Погрешность теплового моделирования с применением данной модели составляет 5-10%.

Для представления многослойной платы в слоистой модели можно использовать многослойные оболочечные элементы.

2.3.3 Модель с импортом трассировки

Особенности модели [102-103]:

- локальная теплопроводность 1111 оценивается на основе проводящего рисунка;

- геометрия трассировки не включается в геометрическую модель 11 и необходима лишь для определения значений локальной теплопроводности с применением фоновой сетки. Как следствие не требуется создание геометрической модели проводников и усложнение расчётной сетки;

- для проведения моделирования значения локальной теплопроводности транслируются в численную модель из фоновой сетки.

Матрица фоновой сетки (строки и столбцы) используются в модели 1111 с импортом трассировки для определения (задания) ортотропной

теплопроводности ПП, причём строки матрицы отвечают за направление х, а столбцы - за направление у. Размер матрицы зависит от размерности фоновой сетки. Значения (кх, ку, кг) в каждой ячейке определяются локальной плотностью проводящих слоев и их ориентацией в пространстве (рисунки 2.6-2.7). Затем эти значение переносятся на расчётную сетку, которая строится без учёта геометрии проводника, таким образом, теплопроводность проводника учитывается в структуре модели.

0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

0.3 щ т Р1 0.3 0.3 0.3 0.3

0.3 ш 1 ПТ! ш 0.3 0.3 0.3 0.3

0.3 0.3 0.3 т 0.3 0.3

0.3 0.3 0.3 ГЩ I27) 0.3 0.3

0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

Рисунок 2.6 - Пример матрицы теплопроводности (Вт/мК) на основе

фоновой сетки

а б

Рисунок 2.7 - Зависимость пространственного распределения температуры от разрешения фоновой сетки: а - 50х50; б - 400x400

Как следствие, подобный подход (модель) позволяет более детально учитывать неоднородность трассировки, без необходимости дополнительного усложнения расчётной сетки, что, в сравнении с компактными (усредненной и слоистой) моделями, даёт ей преимущество.

Модель этого типа, может быть использована при расчёте теплового режима высокомощных устройств, в которых протекают большие токи, так как именно в таких устройствах, общий объём медного слоя платы, зачастую превышает объём самих элементов.

Ещё одним преимуществом указанной модели является возможность проведения теплового расчёта, с учётом тепла вносимого протеканием тока по проводникам [103-104], которое, в некоторых случаях, значительно влияет на картину распределения тепла в объекте. Так, в таблице 2.4, приведено сравнение результатов двух тепловых расчётов ЭРИ печатного узла модуля вычислителя бортового комплекса управления КА, один из которых проводился на модели с учётом джоулева тепла, а другой - без учёта джоулева тепла. Лерегрев по печатному узлу модуля с учётом джоулевого тепла составил более 31 °С (порядка 80 %).

Таблица 2.4 - Температура ЭРИ печатного узла вычислителя, °С

ЭРИ 1 2 3 4 5 6 7

Модель без учёта джоулевого тепла 41,1 50,2 22,4 46,4 36,5 25,7 38,1

Модель с учётом джоулевого тепла 42,5 64,3 24,7 48,9 41,7 29,4 39,9

Расхождение результатов 1,4 14,1 2,3 2,5 5,2 3,7 1,8

2.4 Создание моделей несущей конструкции второго уровня иерархии (рамки)

Геометрия базовой несущей конструкции (рамки), на примере УЭМ бРЭА КА разработки АО «ИСС» (рисунок 1.7), представляет собой монолитное основание полученное из плиты однородного материала (АмГ6, МА2 и/или пр.) путём фрезерования и включает в себя: скругления, отверстия, монтажные окна и др. Разбиение точной геометрической модели на конечные элементы приводит к значительному измельчению расчётной сетки в окрестности небольших и малозначимых областей, а это сказывается только на увеличении времени счёта без ощутимого прироста точности. В этой связи использование упрощённого представления геометрии даёт гораздо лучшие результаты по времени анализа по сравнению с точной объёмной моделью при сохранении приемлемой точности расчёта [105-106].

К упрощению геометрию рамки можно отнести: игнорирование малозначащих элементов конструкции (сгруглений, отверстий); использования оболочечных элементов и балочных элементов поперечного сечения при соответствующей адекватности приближения объёмных элементов элементами меньшей размерности; применение структурированной КЭ-сетки.

Для внедрения оболочечных и балочных элементов, а также структурированной КЭ-сетки предлагается провести разделение конструкции рамки на две части: внешнюю и центральную как показано на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 - Разделение геометрии рамки УЭМ бРЭА КА

При некотором допущении подобное разделение конструкции рамки на составляющие позволит моделировать: а) внешнюю часть рамки набором балочных элементов переменного сечения; б) центральную часть рамки оболочечными элементами.

Вместе с уменьшением размерности итоговой системы уравнений за счёт уменьшения количества элементов и изменения общего количества степеней свободы, постановка задачи по-прежнему остаётся пространственной, так как рассматривается поведение комплекса элементов в пространстве.

Для создания упрощённой модели базовой несущей конструкции (рамки) был составлен вычислительный факторный эксперимент, в ходе которого проведено моделирование теплонапряжённого состояния УЭМ бРЭА КА со следующими вариантами расчётной модели:

Модель №1 - подробная расчётная модель;

Модель №2 - исключение из расчётной модели разъёмов и заглушек;

Модель №3 - включает в себя модель 2 с дополнительным исключением из расчётной модели отверстий и скруглений;

Модель №4 - включает в себя модель 3 с объединением четырёх слоёв клея СТП в один слой;

Модель №5 - включает в себя модель 3 с заменой слоёв клея их

тепловыми сопротивлениями: я =-, где 5 - толщина слоя клея; 1 -

£ терм. с ^

О

коэффициент теплопроводности клеевого слоя; 5 - площадь теплового контакта (вычисляется в ходе моделирования).

Тепловое сопротивление численно равно температурному напору,

Л

необходимому для передачи единичного теплового потока (равного 1 Вт/м )

Л

к поверхности тела или через слой клея, выражается в м К/Вт;

Модель №6 - включает в себя модель 3 с применением оболочечных элементов - для центральной части рамки и слоёв клея; балочных элементов поперечного сечения - для внешней части рамки.

Результаты построения конечно-элементной модели перечисленных вариантов приведены в таблицах 2.5-2.6. Для наглядности результаты таблиц 2.5-2.6 представлены также в виде графиков (рисунки 2.9-2.10).

Таблица 2. 5 - Количество узлов и элементов расчётной сетки

Показатель Модель №1 Модель №2 Модель №3 Модель №4 Модель №5 Модель №6

Количество узлов, шт. 1016133 682075 456257 349529 225105 189342

Количество элементов, шт. 454136 274597 77825 51554 34040 51588

Таблица 2. 6 - Результаты моделирования

Показатель Модель №1 Модель №2 Модель №3 Модель №4 Модель №5 Модель №6

Максимальная температура, °С 87,330 87,710 87,470 87,474 87,890 66,815

Максимальная деформация, мм 0,61882 0,63404 0,64032 0,64245 1,4177 1,0282

Примечание: минимальная температура УЭМ равна температуре установочной поверхности, т.е. плюс 50 °С; минимальная деформация (перемещение) УЭМ равна 0 мм (в местах крепления).

Результаты проведённого исследования (таблицы 2.5-2.6 и рисунки 2.92.10) показали, что оптимальным, с точки зрения «достоверность-производительность» :

- для теплового моделирования является модель №5 - с исключением разъёмов и заглушек, с дополнительным исключением отверстий и скруглений, а также с заменой слоёв клея их тепловыми сопротивлениями (относительная погрешность не превышает 1%);

- для термодеформационного моделирования является модель №4 - с исключением разъёмов и заглушек, с дополнительным исключением отверстий и скруглений, а также с объединением четырёх слоёв клея СТП в один слой (относительная погрешность не превышает 4%). Модель №5 для термодеформационного расчёта имеет погрешность превосходящую 56%.

Модель №6 - с применением оболочечных элементов - для центральной части рамки и слоёв клея; балочных элементов поперечного сечения - для внешней части рамки, - не может быть применима: относительная погрешность теплового расчёта более чем 30% и термодеформационного около 40%.

Рисунок 2.9 - Количество узлов и элементов конечно-элементной сетки для различных расчётных моделей УЭМ

Рисунок 2.10 - Результаты максимальных значений температуры и термодеформации для различных расчётных моделей УЭМ

2.5 Основные результаты

1. Разработаны, на основе уравнений теплопроводности и теории упругости, экономичные математические модели РЭА, отличающиеся от существующих учётом конкретных физических особенностей задачи и позволяющие проводить математическое моделирование термопрочностных процессов с повышенной вычислительной эффективностью.

2. В качестве упрощённых численных моделей ЭРИ разработаны

компактные кондуктивные и «сетевые» модели. Посредством компьютерного

73

моделирования тепловых процессов BGA-микросхем со 128, 400 и 841 шариковыми выводами показано, что внедрение «сетевых» моделей в инженерную практику проведения математического моделирования является наиболее производительным (выигрыш по загруженности временных и вычислительных ресурсов на 40-60%, для сравнения у кондуктивных 5-10%) при сохранении точности проводимых расчётов (погрешность моделирования не превышает 5%, у кондуктивных не более 8%). Однако, в силу специфики реализации, их применение ограничено лишь анализом тепловых режимов работы электронных модулей и аппаратуры в целом.

3. На основе группы зарубежных EIA/JEDEC стандартов JESD51 «Methodology for the Thermal Measurement of Component Packages (Single Semiconductor Device)» («Методология теплового измерения параметров корпусов компонентов (Одиночные полупроводниковые устройства)») разработан виртуальный стенд для определения теплового сопротивления «источник-плата» необходимых для создания «сетевых» моделей ЭРИ посредством компьютерного моделирования тепловых процессов, который позволяет сократить издержки на реализацию соответствующего физического эксперимента.

4. Для упрощения численных моделей печатных плат в зависимости от требований, предъявляемых к точности получения результатов математического моделирования, в работе предложено применять: компактные усреднённую и слоистую модели, модель с импортом трассировки. Указано, что:

- компактная усреднённая тепловая модель ПП является самой простой из перечисленных и применима, как правило, при проведении оценочного моделирования теплового режима РЭА, когда погрешность порядка 10-15% некритична;

- компактная слоистая тепловая модель имеет более детальное представление структуры находит применение при расчётах многослойных

1111, на которых установлены сложные и чувствительные к температуре элементы (например, процессоры, микросхемы памяти, «системы-на-кристалле»);

- модель с импортом трассировки позволяет более детально учитывать неоднородность трассировки, без необходимости дополнительного усложнения расчётной сетки, что, в сравнении с компактными (усредненной и слоистой) моделями, даёт ей преимущество. Модель данного типа, может быть использована при математическом моделировании теплового режима высокомощных устройств (к примеру, аппаратуры систем электропитания КА), в которых протекают большие токи, так как именно в таких устройствах, общая площадь поверхности медного слоя 1111, зачастую превышает площадь поверхности самих элементов. Ещё одним преимуществом указанной численной модели является возможность проведения теплового моделирования, с учётом тепла вносимого протеканием тока по проводникам (джоулевого тепла);

5. Для упрощения базовой несущей конструкции (рамки) был составлен вычислительный факторный эксперимент, в ходе которого проведено моделирование теплонапряжённого состояния УЭМ бРЭА КА разработки АО «ИСС» с учётом: игнорирования малозначащих элементов конструкции (сгруглений, отверстий); использования оболочечных элементов и балочных элементов поперечного сечения при соответствующей адекватности приближения объёмных элементов элементами меньшей размерности; применение структурированной КЭ-сетки. Результаты проведённого исследования показали, что оптимальным, с точки зрения «достоверность-производительность»:

- для теплового моделирования является модель с исключением разъёмов и заглушек, с дополнительным исключением отверстий и скруглений, а также с заменой слоёв клея их тепловыми сопротивлениями (относительная погрешность не превышает 1%);

- для термодеформационного моделирования является модель с исключением разъёмов и заглушек, с дополнительным исключением отверстий и скруглений, а также с объединением четырёх слоёв клея в один слой (относительная погрешность не превышает 4%).

3 РАЗРАБОТКА МНОГОСЕТОЧНОГО ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА И КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ДЛЯ АНАЛИЗА УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ РЭА

3.1 Многосеточный численный метод анализа усталостной долговечности

В настоящей работе проведена разработка многосеточного численного метода (МЧМ) для расчёта параметров усталостной долговечности РЭА на основе последовательного решения на разных расчётных сетках уравнений теплопроводности, термоупругости и усталостной долговечности в конструкциях РЭА различного уровня иерархии [107].

Традиционные МЧМ представляют собой итерационные алгоритмы на последовательности вложенных сеток и предназначены для повышения скорости сходимости алгоритма. Разработанный в данной работе МЧМ не является итерационным и состоит из трёх этапов, на которых последовательно решаются задачи определения полей температур, термодеформаций и усталостной долговечности. При этом на каждом следующем этапе уменьшается область решения задачи и увеличивается сеточная детализация.

Разработанный метод позволяет добиться более точных результатов в конкретной физической области (элементе), при этом расчётная сетка в остальных областях (элементах) модели может быть довольно «грубой», что в свою очередь позволяет повысить эффективность моделирования, так как сначала производиться расчёт для грубой сетки, а затем для интересующей области - подмодели - измельчается сетка и уточняется расчёт.

Использование МЧМ особенно оправданно для исследования надёжности (усталостной долговечности) проводников и контактных площадок, паек, металлизаций переходных отверстий, выводов ЭРИ, поскольку требуемое, для данных элементов модели РЭА, значительное

улучшение качества сетки может быть слишком затратным как по времени, так и по ресурсам. Вместо этого можно использовать «подмоделирование» для построения независимой, более мелкой расчётной сетки.

Использование МЧМ даёт следующие преимущества [108-109]:

- исключается необходимость выполнять трудновыполнимый переход между областями модели с крупной и мелкой сеткой;

- исследование влияния вносимых в проект локальных изменений геометрии проводится без повторного анализа модели целиком;

- уточнение подробностей в зонах особого внимания (например, областей высоких напряжений) можно выполнить, не располагая информацией о местоположении этих зон до начала анализа;

- исключается необходимость описывать мелкие подробности геометрии (отверстия и др.), которые можно рассмотреть с помощью подмоделей.

Согласно разработанному МЧМ анализ усталостной долговечности предлагается проводить в три этапа, при этом использовать:

- экономичные математические модели, разработанные под конкретный анализ;

- различные расчётные сетки;

- интерполяцию результатов.

Перечень этапов и выполняемых работ разработанного МЧМ включает в себя, на примере анализа усталостной долговечности бРЭА КА разработки АО «ИСС» (рисунок 1.7):

Этап 1. Глобальный (тепловой) анализ. Проводится расчёт температурного поля бРЭА КА. Используется тепловые ММ УЭМ на основании которых проводится создание тепловых ММ бРЭА КА. Учитываются переизучения с соседних поверхностей УЭМ, теплопередача теплопроводностью (кондукция) с соседних УЭМ.

Этап 2. Промежуточный (деформационный) анализ. Расчёт деформаций (перемещений) в УЭМ по результатам теплового расчёта бРЭА КА этапа 1. Проводится выбор интересующего УЭМ с последующей передачей температур посредством линейной интерполяции. Используются деформационные ММ УЭМ.

Этап 3. Локальный анализ (долговечности). Анализ долговечности УЭМ. Проводится расчёт НДС элементов УЭМ (ЭРИ, пайка, печатные проводники, переходные отверстия) посредством линейной интерполяции результатов расчёта деформаций (перемещений) ПП УЭМ этапа 2. По окончании расчёта НДС проводится анализ долговечности элементов УЭМ. Используются усталостные ММ УЭМ.

Создание упрощённых ММ УЭМ бРЭА КА проводится на основании общепризнанных методов и подходов, оказывающих влияние на результаты расчётов в допустимых пределах, таких как: физическое, геометрическое и математическое (сеточное) упрощения.

При реализации тепловых ММ УЭМ игнорируется детализация моделей БНК (скругления, отверстия), печатного узла (ЭРИ, паяное соединение, печатные проводники, переходные отверстия и их металлизация) [110-111]. Деформационная ММ УЭМ детализирует интересующие ЭРИ, БНК (металлическая рамка, печатный узел), а также прочих конструктивных элементов УЭМ (разъёмы, заглушки и пр.), оказывающих влияние на жёсткость конструкции в недопустимых пределах [112]. В качестве усталостной ММ УЭМ используется подробная (детализированная) ММ локальных элементов УЭМ: учитываются пайка, печатные проводники, металлизация переходных отверстий.

На рисунке 3.1 представлены разработанные модели УЭМ.

Так, согласно разработанному МЧМ анализа усталостной долговечности, процесс интерполяции результатов глобального (теплового) анализа бРЭА КА с тепловой ММ УЭМ насчитывающей 139 тыс. узлов и 50

тыс. элементов осуществлялся на деформационную ММ УЭМ со 735 тыс. узлами и 262 тыс. элементами (превышение размерности последней более чем в 5 раз). В свою очередь процесс интерполяции результатов промежуточного (деформационного) анализа с деформационной ММ УЭМ размерностью 125 тыс. узлов/72 тыс. элементов на прочностную ММ УЭМ -520 тыс. узлов/117 тыс. элементов, что более чем в 4 раза. Соответствующая подробная (детализированная) ММ УЭМ (рисунок 1.7) насчитывает более чем 6 000 тыс. узлов и 3 500 тыс. элементов. Размерность ММ бРЭА КА определяется размерностью входящих в её состав ММ элементов.

а б в

Рисунок 3.1 - Геометрии моделей УЭМ бРЭА используемых на этапах: а - глобального (теплового) анализа; б - промежуточного (деформационного) анализа; в - локального анализа (долговечности)

Впоследствии, на основании разработанного МЧМ, проведены анализы деформационного и прочностного процессов поведения конструкции УЭМ в результате теплового режима эксплуатации бРЭА КА (рисунок 3.2). Результаты работы МЧМ представлены на рисунках 3.3-3.4: - 1: время расчёта, сек;

- 2: производительность решения (решателя), мегафлопс;

- 3: скорость обмена данными (ввод/вывод), МБ/сек;

- 4: объём оперативной памяти используемой для расчёта, МБ.

В качестве решателей использованы варианты: прямой решатель разреженных матриц (SPARSE Matrix Direct Solver) и итерационный решатель с предварительно заданным сопряжённым градиентом (Preconditioned Conjugate Gradient, PCG).

Прямой решатель систем линейных уравнений основан на методе LU-разложения матрицы (одного из разновидностей метода Гаусса), т.е. представления матрицы A в виде произведения двух матриц, A=LU, где L -нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица. Максимальное ускорение расчёта достигается, когда узловая задача полностью помещается в оперативную память.

Итерационный метод сопряжённых градиентов с предобусловленностью применим ко всем действительным симметричным положительно определённым матрицам. Решатель PCG строит предобуславливатель на основе разложения Холецкого, т.е. представление симметричной положительно-определённой матрицы A в виде A=LL , где L -

нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на

т т

диагонали; либо в эквивалентной форме: A=U U, где U=L - верхняя треугольная матрица.

В случае переноса тепла излучением плотность радиационного теплового потока {Q} является функцией T4, в этой связи характер процесса явно нелинейный. Для поиска решения систем нелинейных уравнений применяется итеративная процедура, основанная на методе Ньютона-Рафсона, который предполагает решение последовательности линейных уравнений для получения нелинейного приближения:

{AT}i+1 = {Qa} - [QIR}t , (3.1)

где индекс i определяет номер итерации установления равновесия.

Рисунок 3.2 - Схема проведения анализа усталостной долговечности УЭМ

бРЭА КА

а б

Рисунок 3.3 - Временные и вычислительные затраты теплового анализа УЭМ: а - подробная ММ УЭМ; б - тепловая ММ УЭМ

а б

Рисунок 3.4 - Временные и вычислительные затраты деформационного анализа УЭМ: а - подробная ММ УЭМ; б - деформационная ММ УЭМ

Уравнение (3.1) на первой итерации решается при некоторой начальной температуре (которая должна быть задана); в последующих итерациях для вычисления коэффициентов матрицы теплопроводности используются значения температур, полученные на предыдущей итерации. Процесс итераций продолжается, пока не достигается сходимость решения, т.е. пока не будет выполнен установленный пользователем критерий сходимости.

Сходимость контролируется по норме вектора невязок {R]={Qi]-{QNR]i и/или по изменению температуры от итерации к итерации.

Следует отметить, что параметр №3 - скорость обмена данными (ввод/вывод) - не доступен для итерационного (Iteration, PCG) решателя (значение «0» на рисунках 3.3 и 3.4).

Характеристики вычислительной станции, на которой проводилось решение:

- Windows 7 x64;

- центральный процессор Intel Core i7-970 (12M кэш, 3,20 ГГц, 4,80 GT/s Intel6 QPI, 6 физических ядер);

- материнская плата ASUS P6T7 WS Supercomputer;

- оперативная память DIMM DDR3 4096МБ PC10666 1333МГц (6

шт.);

- дисковый накопитель SATA-3 3Тб Seagate 7200 Barracuda XT [ST33000651AS] кэш 64МБ.

Используемые компиляторы:

- Intel(R) FORTRAN Compiler версии 11.1.0 (сборка: 20100414);

- Microsoft(R) Visual C/C++ Compiler версии 15.0 (сборка: 30729); Intel(R) Math Kernel Library версии 10.3.3 (сборка 20110314). Представленные, на рисунках 3.3 и 3.4, результаты временных и

вычислительных затрат, необходимых для проведения анализа усталостной долговечности на комплексного физического моделирования тепловых и деформационных процессов УЭМ бРЭА КА разработки АО «ИСС» (рисунок 1.7), свидетельствуют об эффективности разработанного МЧМ за счёт сокращения размерности ММ.

В отдельности для теплового анализа УЭМ бРЭА КА:

- сокращение времени расчёта более чем в 193 раза для прямого решателя и более чем в 34 раза для итерационного решателя;

- увеличение скорости обмена данными для прямого решателя более в чем 70 раз;

- сокращение объёма оперативной памяти более чем в 13 раз для прямого решателя и более чем в 38 раз для итерационного решателя;

- производительность решения (решателей) сопоставима для обоих вариантов.

В отдельности для деформационного анализа УЭМ бРЭА КА:

- сокращение времени расчёта более чем в 123 раза для прямого решателя и более чем в 20 раз для итерационного решателя;

- увеличение скорости обмена данными для прямого решателя более в чем 1 000 раз;

- сокращение объёма оперативной памяти более в чем 3 раза для прямого решателя и более чем в 12 раз для итерационного решателя;

- производительность решения (решателей) сопоставима для обоих вариантов.

Для связанного теплового и деформационного анализа УЭМ бРЭА КА сокращение времени расчёта составило более чем в 127 раз для прямого решателя и более чем в 20 раз для итерационного решателя.

В таблице 3.1 приведены значения погрешности МЧМ при проведении теплового и деформационного анализов УЭМ бРЭА КА в сравнении с результатами, полученными на основе подробной ММ. Погрешности разработанного МЧМ основываются на погрешностях упрощения подробной модели и для данного случая соответствуют 1,24% - для теплового анализа, 3,58% - для деформационного анализа и 4,06% - для анализа усталостной долговечности.

Таблица 3.1 - Погрешность разработанного МЧМ

Макс. температура, °С

Макс. деформация (перемещение),

мм

Усталостная долговечность, циклов

Подробная ММ

34,717

0,19309

124 536

МЧМ

35,147

0,20001

129 598

Погрешность, %

1,24

3,58

4,06

Погрешность МЧМ определяется исходя из следующих выражений: %т = (тт - тп)/ тп • 100% , где %Т - погрешность температуры; ТТ -температура тепловой ММ; ТП - температура подробной ММ; % е = (ед-£п)/ £п • 100% , где % £ - погрешность расчёта деформации

(перемещений); £ - деформация (перемещения) деформационной ММ; £П -деформация (перемещения) подробной ММ;

% N = (- ) / • 100% , где % N - погрешность расчёта долговечности; - долговечность усталостной ММ; £п - долговечность подробной ММ.

3.1.2 Математическая формулировка интерполяции

При использовании метода конечных элементов расчётная область апроксимируется системой элементов. В пределах элемента функция Х(х,у,я) определяется следующим выражением:

Е ( X , у, 2 ) =

I

( X , у , 7 ) ,

(3.2)

где N - функции формы элемента, / - значение функции X в /-ом узле элемента, /=Х(хг-,уЬ2г).

Таким образом, если известны функции формы элементов и узловые значения функции, то можно определить значение функции X в произвольной точке х*, у*, 2 расчётной области. Если точка х*, у*, я* совпадает с узловой точкой X, у, то: Х(х*,у*,Я*)= Х(Ху,Уу,Яу)= /

* * *

Если точка х , у , 2 располагается внутри или на границе элемента, то для определения функции р(х *,у *) используется выражение (3.2).

* * *

Рассмотрим методику определения функции р в точке х , у , 2 на примере элементов первого порядка - плоского треугольного элемента и плоского четырехугольного элемента.

3.1.2.1 Плоский линейный треугольный элемент

Функция Р(х,у) на таком элементе (рисунок 3.5) представляется линейным полиномом:

Е ( х, у ) = «+«2 х + «3 у , (3.3)

где « - коэффициенты полинома. Коэффициентов полинома (3.3) определяются по узловым значениям функции Р(х,у). Для этого записывается система линейных алгебраических уравнений:

Л = «1 + « 2 хк + ук; = «1 + «2х, + «з у,;

^ = «, + «„ х +«, у .

^ т 1 2 т 3^ т

(3.4)

У

т

X

Рисунок 3.5 - Изображение плоского линейного треугольного элемента

По правилу Крамера:

8

« =—, У=1Д3, 1 д

(3.5)

1 Xk ук /к Xк ук 1 /к ук

где д = ае! 1 X, у, ; = ае! у, ; зг = ае1 1 /, у,

1 X т у т / X ^ т т у т 1 / ^ т у т

1 /к

8Ъ = ае1 1 /

1 X т / т

Детерминанты 8{ можно раскрыть по столбцу, содержащему узловые значения функции:

X. у, ( Xк ук Xk ук

= /к • + / , ■ I - ае! + /к • ае!

X т у 1 X т у т у у

Г 1 у, 1 ук Г 1 ук \

/ -I - ае! | + • ае! + /к-I - ае! | ;

V 1 у ^ т у 1 у т V 1 у у

(3.6)

= / • ^

1 X,

1 X

+ /, - I - ае!

1 X,

1 X

+ / • ае!

1 X,

1 X,

или

у

^ а,,

1 к 1, 1 т

а^ а,, а,

2 к 21 2 т

а^ а,, а,

3 к 31 3 т

I

V / ,

V т у

(3.7)

где dij - соответствующие детерминанты из (3.6).

При подстановке (3.5) и (3.7) в полином (3.3) получается:

р (x, у) = д-1[ (, + а, ^ + аз кУ) + (+ x + а3, у) /1 +

+ (а. + а9 X + а, у) / ]

\ 1 т 2 т 3 т ^ / ^ т л

(3.8)

В результате приходим к выражению (3.2), где функции формы элемента имеют вид:

а1 к + а2 ^ + а3 кУ

N. (X, у) =

N. (X, у) =

N (X, у) =

т 4 у ■/ /

д

+ а21X + а31 у .

д

а + а, X + а, у

1 т_2 т_3 т '

д

(3.9)

2

т

к

Имея функции формы (3.9) элемента и узловые значения функции можно вычислить значение функции в произвольной точке внутри элемента.

3.1.2.2 Плоский линейный четырехугольный элемент

Четырехугольный элемент (рисунок 3.6) в пространстве X, У отображается на прямоугольник в пространстве V. Функции формы в пространстве V имеют вид:

N ) = (1 )(1 -V )/4; N 2(£ V ) = (1 )(1 + 1 )/4; N3(£,1) = (1 + £ )(1 + V ) / 4; N ,1) = (1 + £ )(1 -V ) / 4.

(3.10)

У

2

3

4

X

2

о -

V

-1

1 £

4

Рисунок 3.6 - Изображение плоского линейного четырёхугольного элемента

Если для точки с координатами х , у, лежащей внутри

* *

четырехугольника, известны соответствующие координаты £ , V , то по (3.2), используя (3.10), можно определить значение функции Х(х(£, г/)у(£, V)) этой точке.

Зная координаты V можно легко найти соответствующие им координаты х, у по формулам:

1

3

1

1

х(4 ] ) = ^ (4 ] );

' (3.11)

у (4 г) = ^ (4 г),

/

где хг-, у1 - координаты узлов четырехугольника. Однако обратный переход

* * *

х , у ^ 4 , г не имеет простого аналитического представления. Поэтому для выполнения этого перехода следует использовать численные методы. Возможно применение метода, аналогичного методу деления отрезка пополам. Его алгоритм содержит следующие этапы:

1. Среди координат х, у узлов четырехугольника существуют значения

* *

ХтЫ, Хтах и УтЫ, УтаХ, между которыми лежат величины х и у .

2. В пространстве 4, ] прямоугольник делится на четыре прямоугольника. Для каждого вновь получившегося прямоугольника с помощью формулы (3.11) определяются Хт/п, Хтах и Утт, Утах.

3. Используя значения Хт/п, Хтах и Ут/п, Утах находим прямоугольник, в

* *

который попадает точка с координатами х , у .

4. Если условия:

\Хтах~Хт1п\ < £ и \Утах~Утт\ < £

не выполняются, то возвращаемся к п.2. Если же условия выполняются, то переходим к п. 5.

5. Определяется координата 4*, как среднеарифметическое координат 4

по всем узлам прямоугольника. Таким же образом определяется координата

*

г .

6. По формуле:

Ж * * * ^^ 1 * *

р (X , у ) - р (4 г ) = \ (4 ,г )

/

* *

определяется значение функции в точке с координатами х , у .

3.2 Программная реализация метода анализа усталостной долговечности РЭА

Инструментарий ANSYS предоставляет пользователю широкие возможности в проведении теплового и механического анализов и анализа усталостной долговечности конструкций РЭА. Однако процесс не автоматизирован, что в конечном счёте приводит к значительным временным и финансовым затратам, ошибкам персонала при разработке изделий.

Процесс автоматизации проведения анализа усталостной долговечности РЭА методом конечных элементов непосредственно связан с созданием специализированного инструментария - автоматизированного программного комплекса (АПК).

Разработанный «АПК «Усталость РЭА» состоит из следующих модулей (рисунок 3.7): управляющая программа, импорта данных из механических САПР (SolidWorks, CATIA, NX, AutoCAD, КОМПАСА и др.), импорта данных из электрических САПР (Altium Designer, PADS, Expedition PCB, Allegro, Zuken, TopoR и др.), препроцессора (ПреП), постпроцессора (ПостП), базы данных (БД), интерпретатора данных и расчётного ядра (решателя) ANSYS.

Рисунок 3.7 - Структура АПК для анализа усталостной долговечности

АПК разработан в интегрированной среде разработчика Microsoft Visual Studio Ultimate на языке C#. Для разработки БД выбрана база данных Microsoft SQL Server 2012. Связывание модулей АПК с БД осуществлена посредством технология Entity Frame Work.

Управляющая программа (рисунок 3.8) является центральным связующим звеном АПК и осуществляет автоматизированную передачу данных между всеми модулями, входящими в его состав. Каждый модуль представляет собой динамически загружаемую библиотеку классов (DLL-файл), в которой реализован определённый комплекс процедур, функций и программных объектов.

Рисунок 3.8 - Интерфейс «Управляющей программы» с активной вкладкой

«Препроцессора»

Препроцессор (ПреП) разработанного АПК осуществляет функции упрощения моделей, создания конечно-элементных моделей (построение расчётной сетки), задания начальных и граничных условий.

Для упрощения моделей РЭА в препроцессор АПК включены следующие подмодули (рисунок 3.8):

- ЭРИ - на основе импорта данных об ЭРИ из рсЬ-файлов электрических САПР и выбранного пользователем подхода к упрощению модели осуществляет автоматизированное упрощение ЭРИ, посредством заимствования их упрощённых ММ содержащихся в БД АПК, и последующую трансляцию (внедрение) в общую расчётную модель РЭА (рисунок 3.9);

- ПП - на основе импорта данных о ПП из механических САПР и выбранного пользователем подхода к упрощению модели осуществляет автоматизированное создание упрощённой модели ПП и последующую трансляцию (внедрение) в общую расчётную модель РЭА (рисунок 3.10).

Рисунок 3.9 - Блок-схема алгоритма автоматизированного упрощения

моделей ЭРИ РЭА

Рисунок 3.10 - Блок-схема алгоритма автоматизированного создания

упрощённых моделей ПП РЭА

Для создания расчётной сетки (КЭМ) в препроцессоре АПК доступны два варианта функций управления плотностью сетки: базовый (используется по умолчанию) и расширенный (должен быть активирован пользователем).

Базовые функции управления плотностью сетки позволяют учитывать области сильного искривления рёбер и включают возможности установки:

- фактора плотности сетки, который можно задавать в пределах: от минус 100 до плюс 100; и установки среднего значения фактора плотности сетки, который может принимать значения: грубая, средняя и мелкая расчётная сетка;

- сглаживания сетки, необходимой для улучшения качества конечных элементов путём перемещения расчётных узлов. Может принимать значения: низкого, среднего и высокого сглаживания;

- перемешивания сетки между областями с различной плотностью конечных элементов. Может принимать значения: быстрого и медленного перехода;

- центра диапазона углов, который регулирует размеры элементов на рёбрах с учётом кривизны последних. Возможные варианты: грубая сетка -от 91° до 60°; средняя сетка - от 75° до 24°; мелкая сетка - от 36° до 12°;

- проверки формы элементов. Для линейного анализа следует использовать стандартный способ, для нелинейного - задавать более жёсткие требования к форме элементов.

Расширенные функции управления плотностью сетки позволяют вести более точную настройку параметров расчётной сетки и включают возможности ручного ввода значений (рекомендуется для продвинутых пользователей): угол кривизны; минимальный размер элемента; максимальный размер поверхности элемента; максимальный размер элемента; темп роста элементов.

В качестве начальных и граничных условий для проведения моделирования пользователю потребуется ввести:

- значение начальной температуры (°С);

- температуру установочной поверхности аппаратуры (°С) -граничное условие 1-рода;

- мощности тепловыделений ЭРИ (Вт).

Для учёта теплообмена посредством излучения (граничное условие III-рода - задача Дирихле (1.15)) потребуется выбрать поверхности аппаратуры, задать температуру внешней среды (°С) и приведённый коэффициент черноты поверхности тела и окружающей среды (1.18).

Для задания условия механического закрепления конструкции

потребуется выбрать соответствующие поверхности.

Функции настройки решателя вкладки «Расчёт» АПК предоставляют пользователю возможности:

- выбора типа решателя: прямой решатель, итерационный решатель или (по умолчанию) программный выбор.

Прямой решатель является более устойчивым и используется для моделей, содержащий двухмерные и одномерные тела. Итерационный решатель наиболее эффективен при расчёте массивных твердотельных моделей и нелинейных задач;