Меры Пуассона-Дирихле и виртуальные подстановки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Цилевич, Наталия Владимировна

• Цилевич, Наталия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цилевич, Наталия Владимировна

Оглавление

Введение

Распределения Пуассона-Дирихле

Пространство виртуальных подстановок

Процесс Дирихле и преобразование Маркова-Крейна

Структура диссертации

1 Стационарные меры на пространстве виртуальных подстановок

1.1 Пространство виртуальных подстановок

1.1.1 Определение пространства виртуальных подстановок

1.1.2 Теория случайных разбиений

1.1.3 Описание центральных мер на пространстве виртуальных подстановок

1.1.4 Распределения длин циклов в порядке появления

1.1.5 Плотности дуг виртуальных подстановок

1.2 Распределения Пуассона-Дирихле и связанные с ними меры

1.2.1 Меры Ювенса

1.2.2 Меры Пуассона-Дирихле и СЕМ-распределения

1.2.3 Двупараметрическое обобщение мер Ювенса и Пуассона-Дирихле

1.3 Стационарные меры на пространстве виртуальных подстановок

1.3.1 Формулировка основной теоремы и ее следствия

1.3.2 Сведение к конечномерным условиям

1.3.3 Основная конечномерная лемма

1.3.4 Завершение доказательства основной теоремы в общем случае

1.3.5 Конечномерный аналог основной задачи

1.3.6 Сдвинутая проекция неприводимых характеров симметрических групп

2 Процесс Дирихле и преобразование Маркова-Крейна

2.1 Процесс Дирихле

2.1.1 Классический процесс Дирихле

2.1.2 Обобщенный процесс Дирихле

2.2 Преобразование Маркова-Крейна

2.2.1 Одномерное преобразование Маркова-Крейна

2.2.2 Многомерное преобразование Маркова-Крейна

2.2.3 Тождество для моментов

2.3 Распределения средних от процесса Дирихле

2.3.1 Распределения средних от классического процесса Дирихле

2.3.2 Распределения средних от двупараметрического процесса Дирихле

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Меры Пуассона-Дирихле и виртуальные подстановки»

Введение

Распределения Пуассона-Дирихле

Распределения Пуассона-Дирихле РО(в) на бесконечномерном симплексе монотонных последовательностей, зависящие от положительного параметра 0, были введены Дж.Кингманом [46]. Важность изучения этих распределений связана с тем, что они возникают в самых различных областях математики и приложений. Опишем кратко основные задачи, приводящие к мерам Пуассона-Дирихле.

1. Теория вероятностей. Следующие четыре определения мер Пуассона-Дирихле выявляют их связь с различными задачами теории вероятностей.

а) Распределения Дирихле. Обозначим через Еп = {(^о,..., хп): О,

T^7i=Qxi = 1} га-мерный единичный симплекс. Пусть Ро^ 0. Распределением Дирихле с параметрами /?о,.. на симплексе Еп называется абсолютно неперерывная мера, имеющая плотность

т)...г(А)

по мере Лебега йх\ ... йхп на Еп. Обозначим через Е бесконечномерный единичный симплекс монотонных последовательностей

XI < 11 .

Пусть ^ • • • ^ — вариационный ряд случайного вектора х^ £ £„, имеющего распределение Дирихле с равными параметрами ¡3^ = ... — ¡Зп = Обозначим через йп распределение последовательности (Ж(о)! • • 0,...) Е Е. Тогда меры <1п слабо сходятся к распределе-

нию Пуассона-Дирихле РО{9) (Дж.Кингман [46]).

б) Гамма—процесс. Пусть у(£) — гамма-процесс на положительной полуоси, т.е. процесс с независимыми стационарными приращени-

оо

Е = < X = {хих2, . . .) : Х\ ^ х2 ^ ... ^ 0, £

1=1

ями, такой что г/(£) имеет плотность распределения уг~1 е~у/Т, у > 0. Обозначим через ^ <$2 ^ • • • упорядоченные величины скачков этого процесса на отрезке (0,0). Мера Пуассона-Дирихле РВ(в) есть распределение нормированной последовательности (^/^(б1), 8\/у(9),...) (Дж.Кингман [46]).

в) Процесс Пуассона. Пусть ^ ^ . • • — вариационный ряд неоднородного пуассоновского процесса на положительной полуоси со средней мерой вх~1е~х. Тогда сумма а = Е^ %% почти наверное конечна. Мера Пуассона-Дирихле РО(в) есть распределение нормированной последовательности (^/сг, <г2/(7,...) (Дж. Кингман [46]).

г) Модель остаточного распределения (процесс ломания палки). Пусть 17\, С/г, • • • — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин на отрезке [0,1] с плотностью 9(1 - и)в~\ и € [0,1]. Положим

= ии У2 = и2(1 - Щ, ..., к = ип( 1 - 170 ... (1 - £/„_!), ....

Мера Пуассона-Дирихле РБ(в) есть распределение вариационного ряда (У(1),Т/(2),...) последовательности V2,... (А. М. Вершик, А. А. Шмидт [5], Г.Пэтил, К.Тэйли [54]).

2. Математическая статистика. В непараметрической байесовской статистике важную роль играет так называемый процесс Дирихле, введенный в работе [34]. Самое удобное описание этого процесса опирается на распределение Пуассона-Дирихле. Пусть X — измеримое пространство, ¡3 — конечная положительная мера на X. Обозначим через в полную массу меры ¡3, и пусть т = (5/9. Процесс Дирихле на пространстве X с параметрической мерой /3 есть случайная дискретная мера М = где (Хг) — последовательность независимых случайных величин с общим распределением г, а (ф1? ...) £ £ — независимый от (Х{) вектор с распределением Пуассона-Дирихле РБ(9) (Т. Фергюсон [34]).

3. Теория чисел. В теории чисел мера Пуассона-Дирихле появляется как ответ в задаче о распределении простых делителей случайного натурального числа. А именно, пусть п — случайный элемент множества []У] = {1,..., А7"}, и п = Р\{п)р2{п)... — его разложение на простые множители р\ ^ ^ — Тогда распределение последовательности

1п/?1(п) 1пр2(п) \ 1п]У ' 1пЛГ '"')

слабо сходится к мере Пуассона-Дирихле РО( 1) (П. Биллингс ли [23],

А. М. Вершик [3]).

4. Комбинаторика. Среди задач, в которых появляются меры Пуассона-Дирихле, значительную часть составляют задачи комбинаторной природы.

а) Случайные подстановки. Ключевым фактом, определяющим значение мер Пуассона-Дирихле в комбинаторике, является следующая теорема. Пусть 1\(и>) ^ Ь(^) ^ ••• — последовательность длин циклов случайной подстановки т Е 6П, распределенной по мере Хаара на симметрической группе вп. Распределение последовательности нормированных длин циклов (/¡(г(;)/гг, ^(г^/гг,...) слабо сходится при п —> оо к распределению Пуассона-Дирихле РИ( 1) (А. М. Вершик, А.А.Шмидт [5], см. также [60]).

Если снабдить симметрическую группу 6„ мерой Ювенса с параметром 9, которая задается формулой твп(и)) = ^р, где с(«;) — число циклов подстановки т Е (5П, и [#]п = 0(6 — 1).. .(в — п + 1) — символ Похгаммера (случай 9 = 0 соответствует мере Хаара), то распределение последовательности нормированных длин циклов случайной подстановки слабо сходится к мере РО(9).

б) Случайные отображения. Пусть ап — распределение упорядоченной последовательности (<21(/)/п, а2(/)/^?...) Е £ нормированных размеров компонент случайного отображения / : [п] —>■ [п], где

[п] = {1,...,п} (мы считаем, что каждое отображение имеет вероятность 1 /пп, и элементы г, 3 Е [п] принадлежат одной компоненте, если г переводится в ] некоторой итерацией отображения /). Меры ап слабо сходятся к распределению Пуассона-Дирихле РО(\) (Д. Олдус [20]).

в) Случайные многочлены над конечным полем. Обозначим через ип множество всех многочленов степени п со старшим коэффициентом 1 над конечным полем ¥д. Пусть р(х) — случайный многочлен, равномерно распределенный на конечном множестве 17п, и р(х) = р\{х)р2{х)... — его разложение на неприводимые многочлены со старшим коэффициентом 1. Обозначим через (р) ^ (р) ^ ... степени многочленов рг- в невозрастающем порядке. Распределение нормированной последовательности (Их(р)/п, В2(р)/п,...) Е Е слабо сходится к распределению Пуассона-Дирихле Р1)(1). Тот же результат имеет место и для другого распределения на множестве £/„, а именно, если р(х) — характеристический многочлен случайной матрицы, равномерно распределенной на СЬ(п,д) (Дж.Хансен [37], Дж.Хансен, Э.Шмуц [38]).

Среди многочисленных работ, посвященных комбинаторным задачам, в которых появляются распределения Пуассона-Дирихле, отметим также [40, 21, 22].

5. Приложения. Первые исследования мер Пуассона-Дирихле были инициированы задачами популяционной генетики, где они появляются в качестве стационарных распределений в моделях неодарвинистской теории эволюции, и связаны прежде всего с именами Дж. Кинг-мана [46, 47, 48, 49], Дж. Уоттерсона [62] и У. Ювенса [29]. В работе [30] содержится подробный обзор применений этих распределений в генетике. Следует отметить также возникновение распределений Пуассона-Дирихле в задачах экологии (например, [51, 28, 54]) и физики (например, [41, 52]).

Пространство виртуальных подстановок

Работа А. М. Вершика, С. В. Керова и Г. И. Ольшанского [44] позволила связать меры Пуассона-Дирихле с задачами теории представлений симметрических групп. В этой работе введено пространство виртуальных подстановок которое является проективным пределом конечных симметрических групп относительно канонических проекций 7гп : 6„+1 —>• &п, состоящих в переходе к производной подстановке. Поскольку проекция 7ГП коммутирует с двусторонними сдвигами на элементы группы (5„, то на компактном пространстве (5°° определено действие группы С = воо х ©оо, где бро = и&п — бесконечная симметрическая группа (группа всех финитных подстановок натурального ряда). Меры на пространстве виртуальных подстановок, являющиеся проективными пределами мер Ювенса на симметрических группах, квазиинвариантны относительно этого действия и имеют очень простой коцикл. В работе [44] изучено семейство унитарных представлений бесконечной симметрической группы, связанное с этим семейством квазиинвариантных мер и являющееся деформацией регулярного представления.

Особую роль играют центральные меры на пространстве виртуальных подстановок, т.е. меры, инвариантные относительно диагональной подгруппы К = {((?1,<72) Е ©оо : 91 = #2}, что связано с теорией графов ветвления (центральные меры на соответствуют центральным мерам графа ветвления классов сопряженности симметрических групп, см. [4, 9]) и с общей идеологией (£, К)-пар Гельфанда (см. [53, 15]). Изучение центральных мер на пространстве б°° тесно связано с проблематикой, касающейся классической теоремы де Финетти, и прежде всего, с теорией случайных разбиений Дж.Кингмана [46, 47, 48, 49]. Если ¡л — центральная мера на пространстве в00, то для почти всех относительно ¡л виртуальных подстановок ш = (г^,«^, •. •) Е суще-

ствуют пределы

Xi(u>)= limí^, ¿ = 12,..

' п-Ь oo n

называемые относительными длинами циклов си. При этом последовательность Х(ш) = (Xi(üj),X2(u)), ...) относительных длин циклов является достаточной статистикой для си, т.е. условное распределение и> при условии Х(и) — х не зависит от центральной меры /л. Отсюда следует, что существует взаимно-однозначное соответствие между центральными мерами на пространстве виртуальных подстановок и мерами на симплексе Е. Указанное соответствие позволяет спроектировать действие {Rg}ge<sбесконечной симметрической группы с пространства виртуальных подстановок на симплекс. Проекция сдвига Rg уже не является взаимно-однозначным отображением, а представляет собой марковский оператор (или полиморфизм, см. [2]). Основным результатом первой главы настоящей диссертации является описание мер, инвариантных относительно полученного семейства {T^gg^ марковских операторов на бесконечномерном симплексе.

Теорема 1.6. Эргодические меры на симплексе Е для действия семейства операторов {Т<,}<,€@оо параметризуются точками отрезка [0,1]. Эргодическая мера, соответствующая точке а £ [0,1], сконцентрирована на симплексе Еа = {ж £ Е : х% — а] монотонных последовательностей с суммой а и равна образу меры Пуассона-Дирихле PD( 1) под действием гомотетии Га : х н» ах.

В частности, на симплексе последовательностей с единичной суммой распределение Пуассона-Дирихле PD{ 1) есть единственная инвариантная мера. Таким образом, мы получаем новую характеризацию меры PD{ 1).

Используя эргодический метод, предложенный А. М. Вершиком [1], можно естественно обобщить определение стационарного распределе-

ния для действия локально компактной группы с вероятностной мерой (см. [35]) на случай действия локально конечной группы, каковой является бесконечная симметрическая группа. Именно, центральная мера ¡1 на пространстве виртуальных подстановок называется стационарной относительно действия бесконечной симметрической группы ©то, если при любом д £ ©оо имеет место равенство

N1 ие6„

где /I9 — образ меры /и под действием подстановки д. Задача об описании стационарных мер на пространстве виртуальных подстановок эквивалентна задаче об описании распределений, инвариантных относительно семейства марковских операторов {Тд}девоо} и ее решение приведено в теореме 1.7. В частности, в наиболее важном классе насыщенных мер (сосредоточенных на виртуальных подстановках, у которых сумма относительных длин циклов равна единице) имеется единственная стационарная мера, а именно, проективный предел мер Хаара на симметрических группах, и эта мера инвариантна относительно действия ©оо. Таким образом, мы получаем пример действия бесконечной симметрической группы, не имеющего неинвариантных стационарных мер.

Процесс Дирихле и преобразование Маркова-Крейна

Во второй главе настоящей диссертации мы изучаем распределения линейных функционалов относительно классического процесса Дирихле, а также его обобщений. Задача об описании распределения одного линейного функционала от классического процесса Дирихле рассматривалась многими авторами, например, [34, 36, 33, 25, 26]. В частности, П. Фейгиным и Р. Твиди [33] найдено необходимое и достаточное уело-

— и —

вие существования среднего J¡{х)йМ(х) почти наверное относительно процесса Дирихле М. В работе Д. М. Чифарелли и Э. Регаццини [25] получено явное описание плотности распределения случайного среднего относительно процесса Дирихле на Е. Промежуточным результатом в этой работе является следующее интегральное тождество (см. также комбинаторное доказательство в [26]). Пусть М — процесс Дирихле на вещественной прямой М. с вероятностной параметрической мерой т. Предположим, что случайное среднее JхйМ(х) существует с вероятностью 1, и обозначим его распределение через ¡1. Тогда меры ¡1 и т связаны соотношением

(*) / ^^ = ехр [ 1п—йт(х), 2-ег'М.

•1 г — х •! г — х

Это соотношение означает, что распределение случайного среднего ¡1. есть преобразование Маркова-Крейна параметрической меры т. Это преобразование играет важную роль во многих областях математики. Впервые уравнение (*) появилось в работе А.А.Маркова [50] по теории непрерывных дробей более века назад. Его изучение было продолжено М. Г. Крейном и его школой в связи с проблемой моментов Маркова (см. [12]). В работе [43] приведен обзор различных применений преобразования Маркова-Крейна, в частности, показана его связь с такими вопросами как планшерелевский рост случайной диаграммы Юнга, экспоненциальные представления аналитических функций, теория функции спектрального сдвига.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена обобщениям указанного результата о связи процессов Дирихле и преобразования Маркова-Крейна. Во-первых, мы рассматриваем совместное распределение нескольких линейных функционалов от процесса Дирихле и показываем, что оно является многомерным преобразованием Маркова-Крейна параметрической меры. Именно, пусть М — процесс Дирихле на сепарабельном метрическом пространстве X с борелевской вероят-

ностной параметрической мерой т. Измеримая функция / : X —> Мт называется допустимой для меры т, если + \\$(х)\\)<1т(х) < оо.

Теорема 2.1. Пусть .. .,/то : X —> К — допустимые функции для меры т. Рассмотрим отображение / : X —> составленное из этих функций, /(ж) = (/1 (ж), • •., /т(х)). Обозначим через т/ образ меры т под действием отображения и через ц/ — распределение случайного среднего значения J f(x)dM(x) в Мт. Тогда мера ¡л/ есть многомерное преобразование Маркова-Крейна меры Tf, т.е. для всех г £ г

/—_^ — ехр [ 1п ——--1—--

С. В. Керов [43] и Дж. Питман [58] независимо предложили конструкции, приводящие к обобщениям процесса Дирихле. Пусть X — измеримое пространство, т — вероятноятностная мера на X, и V — вероятностная мера на бесконечномерном симплексе £. Обобщенным процессом Дирихле на пространстве X с параметрами г, V называется случайное распределение

оо оо

¿=1 г'=1

где (Хг) — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с общим распределением г, а (<5ь • • •) £ £ — независимый от (Х{) вектор с распределением V.

Семейство распределений Пуассона-Дирихле РО(в) естественным образом включается -в двупараметрическое семейство распределений РБ(а^9) (Дж. Питман, М.Йор [59]). Простейшее его описание использует модель остаточного распределения. Рассмотрим последовательность 11\, 112, ■.. независимых случайных величин на отрезке [0,1], таких что 11{ имеет бета-распределение В(1 — а, 9 + 1а). Положим Уп = ип(1 — £/].)...( 1 — ип-1), п = 1,2,— Двупараметрической мерой Пуассона-Дирихле РИ(а, 9) называется распределение вариационного ряда Т^) ^

У(2) ^ • •• последовательности (Уп). Область допустимых параметров есть объединение множеств

{(а, 0) : 0 < а < 1, 0 > -а} и {(а, -та) : а < 0, т £ М}.

В работах [55, 56, 57, 58, 59] изучены различные свойства распределений РВ(а^в)1 в том числе, показано, что они тесно связаны с устойчивыми субординаторами, броуновским движением и бесселевским процессами. Так мера РИ(а, 0) является распределением упорядоченной последовательности нормированных скачков устойчивого субординатора с показателем а, а также распределением упорядоченных длин экскурсий бесселевского процесса размерности 2 — 2а. В частности, мера Р2}(|,0) есть распределение упорядоченных длин экскурсий броуновского движения. Мера является распределением упорядоченных длин экскурсий броуновского моста.

Обобщенный процесс Дирихле с параметрами т и Р1)(а, 0), называется двупараметрическим процессом Дирихле.

Теорема 2.2. Пусть т — борелевская вероятностная мера с компактным носителем на вещественной прямой М, (а, 0) — допустимые параметры, М — двупараметрический процесс Дирихле с параметрами т и РИ(а, в). Обозначим через // распределение случайного среднего значения JxdM(x). Тогда

1) если а, в ф 0, то меры ¡лит связаны соотношением

(1 - ги)~9= (/(1 - ги)айт(и))" , 2 £ Ш;

2) если в = 0, то

ехр11п(1 - ги)айц(и) = |(1 - ги)айт(и), г £ г'М;

3) если а = 0; то

I(1 - ги)~Ч^{и) = ехр11п(1 - ги)~вйт(и), г £ гМ.

Аналогично случаю классического процесса Дирихле, это соотношение обобщается на совместное распределение нескольких линейных функционалов. Однако полученный результат является новым уже в одномерном случае.

Структура диссертации

Параграф 1.1 содержит сведения о пространстве виртуальных подстановок и центральных мерах на этом пространстве.

В параграфе 1.2 приведены различные определения и характе-ризации распределений Пуассона-Дирихле и мер Ювенса, а также их двупараметрических обобщений.

Параграф 1.3 посвящен доказательству основной теоремы 1.7 об описании стационарных мер на пространстве виртуальных подстановок относительно действия бесконечной симметрической группы. Приводятся различные формулировки и следствия этой теоремы. Кроме того, этот параграф содержит некоторые самостоятельные результаты, полученные в процессе работы над доказательством основной теоремы. Именно, рассмотрен конечномерный аналог основного марковского оператора, действующий на пространстве разбиений натурального числа п. Собственными функциями сопряженного оператора, действующего на пространстве центральных функций на симметрической группе 6П, являются характеры неприводимых представлений 6П (предложение 1.12). Собственные числа также выражаются через значения характеров. В частности, единица является простым собственным числом, так что инвариантная мера в этом случае единственна. Другим самостоятельным результатом является формула, обобщающая известное описание действия канонической проекции 7ГП : бп+1 —6П на неприводимые характеры группы 6п (предложение 1.13).

Параграф 2.1 содержит определения и основные свойства классического и обобщенного процесса Дирихле.

Параграф 2.2 посвящен преобразованию Маркова-Крейна. Приведены необходимые сведения из одномерной теории и описано ее обобщение в многомерном случае. Доказано тождество для моментов, эквивалентное соотношению Маркова-Крейна и обобщающее известную формулу для одномерного случая (предложение 2.3).

Параграф 2.3 содержит основные результаты второй главы, а именно, описания совместных распределений линейных функционалов относительно случайных мер Дирихле в классическом (теорема 2.1) и двупараметрическом (теорема 2.2) случаях.

Результаты разделов 2.2.2, 2.2.3 и 2.3.1 получены в соавторстве с С. В. Керовым.

Автор пользуется случаем, чтобы выразить самую искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору А. М. Верши-ку, а также профессору С. В. Керову, за постановку задач и оказание неоценимой помощи на всех этапах работы над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цилевич, Наталия Владимировна, 1998 год

Литература

[1] Вершик А. М. Описание инвариантных мер для действия некоторых бесконечных групп // Доклады АН СССР.— 1974.— Т. 218, m — С. 749-752.

[2] Вершик А. М. Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские операторы // Записки научных семинаров ЛОМИ.— 1977.— Т. 72.— С. 26-61.

[3] Вершик А. М. Асимптотическое распределение разложений натуральных чисел на простые делители // Доклады АН СССР.— 1986.— Т. 289, №2,— С. 269-272.

[4] Вершик A.M., Керов C.B. Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и Kq функтор //В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения.— М.: ВИНИТИ, 1985.— Т. 26.— С. 3-56.

[5] Вершик A.M., Шмидт A.A. Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. I // Теория веро-ятн. и ее примен.— 1977.— Т. 22.— С. 72-88.

[6] Вершик A.M., Шмидт A.A. Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. II // Теория ве-роятн. и ее примен.— 1978.— Т. 23.— С. 42-54.

[7] Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп.— М.: Мир, 1982,— 216 с.

[8] Игнатов Ц. Об одной константе, возникающей в асимптотической теории симметрических групп, и о мерах Пуассона-Дирихле // Теория вероятн. и ее примен.— 1982.— Т. 27.— С. 129-140.

[9] Керов С. В. Комбинаторные примеры в теории AF-алгебр // Записки научных семинаров ЛОМИ.— 1988.— Т. 172.— С. 55-67.

[10] Керов C.B. Субординаторы, и действия перестановок с квази-

инвариантной мерой // Записки научных семинаров ПОМИ.— 1995.— Т. 223.— С. 181-218. [11] Керов C.B., Цилевич Н.В. Случайное дробление отрезка порождает виртуальные перестановки с распределением Ювенса // Записки научных семинаров ПОМИ.— 1995.— Т. 223.— С. 162— 180.

Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи.— М.: Наука, 1973.— 551 с. Кэртис Ч., РайнерИ. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр.— М.: Наука, 1969.— 668 с. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла.— М.: Мир, 1985,— 224 с.

Ольшанский Г. И. Унитарные представления (G, К)-пар, связанных с бесконечной симметрической группой // Алгебра и анализ.— 1989.— Т. 1.— Вып.4— С. 178-209.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1,— М.: Мир, 1984,— 528 с.

Цилевич Н. В. Распределение длин циклов бесконечных перестановок // Записки научных семинаров ПОМИ.— 1995.— Т. 223.— С. 148-161.

Цилевич Н. В. Распределение среднего для некоторых случайных мер // Записки научных семинаров ПОМИ.— 1997.— Т. 240.— С. 268-279.

Ширяев А.Н. Вероятность.— М.: Наука, 1980.— 576 с. Aldous D. J. Exchangeability and related topics // In: Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour XII / Editor P. L. Hennequin.— Lecture Notes in Mathematics.— Berlin: Springer-Verlag, 1985.— Vol. 1117,— P. 1-198. [21] Arratia R., Tavaré S. The cycle structure of random permutations //

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ann. Prob.— 1992,— Vol. 20,— P. 1567-1591.

[22] Arratia R., Tavare S. Independent process approximations for random combinatorial structures // Adv. Math — 1994,— Vol. 104 — P. 90154.

[23] Billingsley P. On the distribution of large prime divisors // Periodica Mathematica Hungarica— 1972.— Vol. 2.— P. 283-289.

[24] Blackwell D., MacQueen J.B. Ferguson distributions via Polya urn schemes // Ann. Statist.— 1973,— Vol. 1 — P. 353-355.

[25] Cifarelli D.M., Regazzini E. Some remarks on the distribution functions of means of a Dirichlet process // Ann. Statist.— 1990.— Vol. 18,— P. 429-442.

[26] Diaconis P., Kemperman J. Some New Tools for Dirichlet Priors // In: Bayesian Statistics 5 / Editors J.M.Bernardo, J.O.Berger, A. P. Dawid, A. F. M. Smith.— Oxford: Oxford University Press, 1995,— P. 95-104.

[27] Donnelly P., Joyce P. Continuity and weak convergence of ranked and size-biased permutations on the infinite simplex // Stock. Proc. Appl.— 1989.— Vol. 31,— P. 89-103.

[28] Engen S. A note on the geometric series as a species frequency model // Biometrika— 1975.— Vol. 62,— P. 697-699.

[29] Ewens W.J. The sampling theory of selectively neutral alleles // Theor. Popul. Biol.— 1972,— Vol. 3.— P. 87-112.

[30] Ewens W. J. Population genetics theory - the past and the future // In: Mathematical and statistical developments of evolutionary theory. Editor S. Lessard / Amsterdam: Kluwer, 1990 — P. 177-227.

[31] Ewens W. J., Tavare S. Multivariate Ewens distribution // In: Discrete Multivariate Distributions / Editors N.S.Johnson, S.Kotz, N. Balakrishnan.— New York: Wiley, 1997,— Chapter 41.— P. 232246.

[32] Exton H. Multiple Hypergeometric; Functions and Applications.— New York: Wiley, 1976,— 312 p.

[33] Feigin P. D., Tweedie R. L. Linear functionals and Markov chains associated with Dirichlet process // Math. Proc. Camb. Phil. Soc.— 1989,— Vol. 105.— P. 579-585.

[34] Ferguson T. A Bayesian analysis of some nonparametric problems // Ann. Statist.— 1973.— Vol. 1 — P. 209-230.

[35] Furstenberg H. Boundary theory and stochastic processes on homogeneous spaces // In: Harmonic Analysis on homogeneous spaces. Proc. of Symposia in Pure Mathematics / Editor C. C. Moore.— Providence, Rhode Island, AMS, 1973,— Vol. XXVI — P. 193-232.

[36] Hannum R. C., Hollander M., Langberg N. A. Distributional results for random functionals of a Dirichlet process // Ann. Probab.— 1981.— Vol. 9,— № 4,— P. 665-670.

[37] Hansen J. C. Order statistics for decomposable combinatorial structures // Random Structures Algorithms.— 1994.— Vol. 5.— P. 517-533.

[38] Hansen J. C., Schmutz E. How random is the characteristic polynomial of a random matrix? // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.— 1993.— Vol. 114.— P. 507-515.

[39] Hirschman 1.1., Widder D. V. The convolution transform.— Princeton: Princeton University Press, 1955.— 268 p.

[40] Joyce P., Tavare S. Cycles, permutations and the structure of the Yule process with immigration // Stoch. Proc. Appl.— 1987.— Vol. 25.— P. 309-314.

[41] Keener R., Rothman E., Starr N. Distributions of partitions // Ann. Statist.— 1987.— Vol. 15.— P. 1466-1481.

[42] Kerov S. V. Coherent Allocations, and the Ewens-Pitman Formula //

PDMI Preprint.— 1995.— №21.— P. 1-15.

Kerov S.V. Interlacing measures // Amer. Math. Soc. Transl. (2).— 1998.— Vol. 181 — P. 35-83.

Kerov S.V., Olshanski G. I., Vershik A.M. Harmonic Analysis on the Infinite Symmetric Group // Comptes Rend. Acad. Sci. Paris.— 1993.— Vol. 316.— P. 773-778.

Kerov S.V., Tsilevich N.V. The Markov-Krein correspondence in several dimensions // PDMI Preprint.— 1998.— №1— P. 1-19. Kingman J.F. C. Random discrete distributions // J. R. Stat. Soc.— 1975,— Vol. 37,— P. 1-22.

Kingman J.F.C. Random partitions in population genetics // Proc. R. Soc. Lond. (A).— 1978,— Vol. 361.— P. 1-20. Kingman J.F.C. The representation of partition structures // J. London Math. Soc. (2).— 1978.— Vol. 18,— P. 374-380. Kingman J.F.C. The coalescent // Stoch. Proc. Appl.— 1982.— Vol. 13.— P. 235-248.

Markov A. A. Nouvelles applications des fractions continues // Math. Ann.— 1896,— Vol. 47.— P. 579-597.

McCloskey J. W. A model for the distribution of individuals by species in an environment // Ph. D. Thesis / Michigan State University.— 1975.

Mekjian A. Z. Cluster distributions in physics and genetic diversity // Physical Review A— 1991,— Vol. 44,— P. 8361-8374. Olshanskii G. I. Unitary representations of infinite-dimensional pairs (G, K) and the formalism of R. Howe // In: Representations of Lie groups and.related topics. Adv. Stud. Contemp. Math.— New York: Gordon and Breach, 1990.— Vol. 7.— P. 249-463. [54] Patil G. P., Taillie C. Diversity as a concept and its implications for random communities // Bull. Inst. Internat. Statist.— 1977.—

Vol. 47.— P. 497-515.

[55] Perman M., Pitman J., Yor M. Size-biased sampling of Poisson point processes and excursions // Probab. Theory Relat. Fields.— 1992.— Vol. 92.— P. 21-39.

[56] Pitman J. Exchangeable and partially exchangeable random partitions // Probab. Theory Relat. Fields.— 1995,— Vol. 102,— P. 145-158.

[57] Pitman J. Random discrete distributions invariant under size-biased permutation // Adv. Appl. Prob.— 1996.— Vol. 28,— P. 525-539.

[58] Pitman J. Some developments of the Blackwell-MacQueen urn scheme // In: Statistics, Probability and Game theory / Editors T. S. Ferguson, L. S. Shapley, J. B. MacQueen.— IMS Lecture Notes — Monograph series.— 1996.— Vol. 30.— P. 245-267.

[59] Pitman J., Yor M. The two-parameter Poisson-Dirichlet distribution derived from a stable subordinator // Ann. Prob.—-1997.— Vol. 25.— P. 855-900.

[60] Shepp L.A., Lloyd S.P. Ordered cycle lengths in a random permutation // Trans, of the AMS.— 1966,— Vol. 121,— P. 340-357.

[61] Tsilevich N.V. Stationary measures on the space of virtual permutations for an action of the infinite symmetric group // PDMI Preprint.— 1998.— №13— C. 1-15.

[62] Watterson G. A. The stationary distribution of the infinite-many neutral alleles diffusion model // J. Appl. Prob.— 1976.— Vol. 17.— P. 662-673.