Механическое моделирование одномерного континуума Коссера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Иванова, Ольга Алексеевна

• Иванова, Ольга Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванова, Ольга Алексеевна

Введение.

В.1. Краткая историческая справка.

В.2. Основные задачи работы.

В.З. Структура и краткое содержание работы.

Глава .1. . Построение модели одномерного континуума Коссера (механическое моделирование).

1.1. Исходная дискретная модель. Уравнения динамического равновесия и определяющие соотношения.

1.2. Вывод уравнений континуальной модели (осреднение в длинноволновом приближении).

1.3. Исследование форм равновесия модели при произвольных деформациях. Интегралы «энергии».

Глава 2. Исследование собственных и вынужденных плоских движений системы при малых деформациях.

2.1. Линеаризация системы уравнений.

2.2. Случай собственных колебаний системы.

2.3. Пример конструкции антенного типа.

2.4. Случай вынужденных движений. Дивергенция.

Глава 3. Исследование плоских движений и форм равновесия континуума с частично идеально пластическими свойствами.

3.1. Постановки краевых задач при малых движениях.

3.2. Предельные формы равновесия.

3.3. Задачи о предельных формах равновесия.

3.3.1. Общий случай отсутствия распределённых нагрузок (вторая краевая задача).

3.3.2. Случай свободных краёв стержня и свободных крайних включений.

3.4. Задача о квазистатическом нагружении консольно закреплённого оснащённого стержня.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Механическое моделирование одномерного континуума Коссера»

В.1. Краткая историческая справка

В классическом труде по математической теории упругости [30] (Введение и Примечание В) отмечено, что уже в начальный период становления и развития основ механики сплошной среды классики науки уделяли существенное внимание изучению и моделированию микроструктуры деформируемых тел и ее влиянию на свойства сопротивления тел деформированию. Особо выделены подходы, предложенные Пуассоном (S. D. Poisson, 1842), Фойгтом (W. Voigt, 1887) и Кельвином (W. Thomson, 1890), обращающие внимание на возможное наличие структурных элементов, являющихся носителями дополнительных к классическим степеней свободы в виде дополнительных поступательных или вращательных форм движений и соответствующих им внутренних взаимодействий.

Первое строгое математическое воплощение эти идеи получили в классической книге братьев Э. и Ф. Коссера [59], в которой на основе энергетического подхода (использующего «евклидово действие») построены одно-, двух- и трехмерные модели сред неклассического типа, включающие континуально распределенные в теле структурные элементы, обладающие дополнительными вращательными степенями • свободы движений и энергетически соответствующими им внутренними взаимодействиями (выражаемыми тензорами моментных напряжений), чувствительные к внешним объемным и поверхностным воздействиям моментного характера.

Впоследствии теория Коссера получила название моментной теории, а среда — континуум Коссера. Одно-, двух- и трехмерные модели континуумов Коссера обладают специальной структурой, в соответствии с которой точки континуума снабжены направлениями, выражаемыми векторами, называемыми директорами (в оригинальной теории Коссера триэдр векторов). Среда такой структуры носит название ориентированной среды1, а в силу ее способности воспринимать распределенные (внешние и внутренние, массовые и поверхностные) моментные воздействия (помимо силовых) также название полярной (микрополярной), или моментной среды. Теория континуума Коссера с упругими свойствами в силу несимметричности тензора напряжений Коши получила также название теории несимметричной упругости.

В целом работа Коссера явила первый опыт математически строгого подхода к моделированию структуры и свойств микронеоднородной среды.

Однако, несмотря на неугасающий интерес физиков к изучению и моделированию микроструктуры вещества, в том числе деформируемых твердых тел (см., например, указанные в [30] работы М. Борна (М. Вот, 1915, 1923)), теория континуума Коссера не получила достойного признания и в течение более четырех десятков лет оставалась невостребованной.

С практической стороны это может быть объяснено общей направленностью физики и механики в то время на развитие тяжелой промышленности, на решение непосредственных военных задач периода первой и второй мировых войн. С научной точки зрения теория Коссера, представленная в их книге с несомненной элегантностью, строгостью и тщательностью, хотя и оставляла заслуженное впечатление основательности и завершенности, не вполне была понята

1 Как указано в книге [75], П.Нахди отмечал, что понятие ориентированной среды было введено Дюгемом в 1893 году, а братья Коссера были первыми, кто представил систематическое развитие теории для ориентированной среды. 5 современниками. Исследователи и инженеры того времени, допуская гипотетически возможность коссератовского описания тел, скорее всего, не имели достаточного интереса к точной теории конечных деформаций в неклассическом подходе, чтобы следовать многостраничному изложению, изобилующему длинными выкладками в терминах общих понятий. Известные модели классической механики сплошной среды и требуемая точность подтверждающих их экспериментов были вполне удовлетворительны для практических нужд того времени.

О книге братьев Коссера авторы известной работы [79] с нескрываемым сожалением пишут: «Шедевр Коссера стоит как башня в поле. Даже современные воссоздатели механики сплошной среды, будучи осведомлены о нем, не знают его содержание в деталях. Освоив его, они не только сэкономили бы время и усилия для переоткрытий, но и получили бы в руки образцовый метод».

Интерес к теории Коссера и к развитию других неклассических подходов в механике сплошных сред проявился в 50-60-х гг. двадцатого столетия. В работах того времени рассматривались модели несимметричной упругости [4, 38, 72, 77, 80], их обобщения [27, 37, 67, 71, 78], распространение на неупругие среды [18, 60, 61]. В частности, обобщение понятия ориентированной среды [62], предусматривавшее возможность произвольных удлинений и поворотов директоров, было развито в работе [71] до понятия деформируемой микросреды, приписанной (подобно директорам) каждой точке макросреды. Дальнейшее обобщение и продвижение эти вопросы нашли в работах [26, 28,35, 53,63].

Следует отметить, что основное внимание исследователей в этих работах, равно как и в оригинальной работе Коссера уделено теоретической стороне вопроса: основным подходам и понятиям, моделям сред и их структуре, уравнениям баланса, общим формам определяющих соотношений, уравнениям внутренних кинематических связей. Вопросы о физической достоверности этих теорий, о разработке теории эксперимента, а именно, об экспериментальном определении материальных функций и констант, характеризующих конкретные механические свойства моделей, не решаются. Принципиальная необходимость постановки этих вопросов и возможные подходы к их решению обсуждаются лишь в работах [18, 27, 28].

В последние годы в связи с развитием микроэлектронной промышленности, продвижением наук о материалах, развитием нанотехнологий в технике, химической промышленности, биоинженерии резко возрос интерес к неклассическим построениям в механике сплошной среды, причем не только в отношении теоретических моделей, но и в отношении возможных приложений их механических свойств и сопровождающих их механических эффектов.

Среди работ последнего времени по неклассическим моделям часть посвящена развитию теории микронеоднородных (микрополярных, композитных, градиентных) сред [2, 7, 8, 12, 19-21, 23, 26, 29, 32, 33, 36, 39-42, 50-53, 64, 68, 69, 76, 79], сравнению новых моделей с известными. В работе [75] излагается, в частности, обобщенная теория стержней Коссера и показано, что известные модели стержней Эйлера [17, 30, 43, 44] и Тимошенко [46] суть ее специальные случаи, отвечающие определенным видам внутренних кинематических связей. Другая часть работ посвящена разработке методов и построению решений задач [3, 31, 34, 45, 48, 49, 5658,65,66, 74].

Из всего множества выделяются пионерские работы, направленные на экспериментальное определение неклассических свойств реальных тел [22, 24, 25, 70]. Следует также особо отметить работы встречного направления, ориентированные на механическое моделирование и целенаправленное искусственное изготовление неклассических структур коссератовского типа с наперед заданными свойствами. К числу последних относятся работы, выполненные при участии автора [9, 10, 13, 14, 54, 55], непосредственно связанные с тематикой настоящей диссертации.

В.2. Основные задачи работы

Одной из актуальных проблем является технология изготовления материалов и конструктивных элементов (покрытий, пленок, волокон) с наперед заданными механическими свойствами как классического, так и неклассического типов. В связи с этим особую важность приобретает

1) разработка теоретических подходов к конструктивному моделированию материалов и элементов с механическими свойствами определенного типа,

2) оценка и прогнозирование их конкретных механических свойств,

3) выработка возможных рекомендаций по технологии их изготовления.

Имеющиеся модели в области моментных теорий (включая среды типа Коссера, одномерные и двумерные континуумы с моментными свойствами) носят феноменологический характер, оснащаются, как правило, гипотетическими материальными константами, характеризующими неклассические механические свойства, и не затрагивают вопрос о материальной микроструктуре, по существу определяющей особенности неклассических свойств материалов и конструкций (и величины констант). Более того, вопрос о существовании или возможности изготовления материальных элементов с механическими свойствами моментного типа не ставился.

В этом смысле продуктивным представляется подход механического конструктивного) моделирования, предусматривающий учет моделирование) микроструктуры представительного элемента 8 континуума с присущими ему видами движений и взаимодействий, способный дать четкую наглядную интерпретацию материальным константам модели и прогнозировать ее свойства, позволяя тем самым решать поставленные три задачи, связанные с изготовлением материалов и конструктивных элементов с наперед заданными (моментными) свойствами.

В связи с этим целью настоящей работы стало изучение возможности конструктивного моделирования одномерного континуума Коссера, изучение особенностей его форм равновесия, форм собственных и вынужденных движений, выявление новых (в сравнении с классическими теориями) механических эффектов, исследование влияния конструктивных элементов на усредненные свойства модели, оценка возможности управления материальными константами модели (прогнозирования свойств).

Задачи настоящей работы соответственно предусматривали построение модели континуума, изучение его общих свойств, исследование собственных и вынужденных колебаний при малых движениях (линеаризованный случай), их устойчивости, а также изучение особенностей форм равновесия континуума с частично пластическими свойствами (см. ниже п. В.З настоящего Введения).

В исследовании использован метод механического моделирования, принцип виртуальных работ, соотношения классической теории тонких стержней, теории стержней Коссера, известного типа определяющие соотношения свойств упругости и пластичности (сухого трения), известные в механике классических сред подходы к исследованию колебаний и их устойчивости, построен пример конкретной конструкции оснащенного стержня Коссера, наглядно иллюстрирующий полученные теоретические результаты.

В.З. Структура и краткое содержание работы

Работа содержит 89 страниц, 13 рисунков и графиков, и состоит из Введения, трех Глав, Заключения и списка Литературы из 80 наименований.

Во Введении приведена краткая историческая справка о становлении и развитии моментных теорий, представлены задачи настоящей работы и дано краткое описание ее содержания.

В первой Главе рассматривается подход к моделированию одномерного континуума Коссера. Используется предложенный A.A. Ильюшиным метод математического моделирования, состоящий в построении модели конструкции, составленной элементами (ячейками) специального вида, осредненные свойства которой воспроизводят свойства моделируемого континуума. Для дискретной модели выводятся уравнения динамического равновесия в произвольных плоских движениях и приняты определяющие соотношения, выражающие упругие свойства модели. Осреднение этих соотношений в длинноволновом приближении приводит к уравнениям одномерного континуума Коссера. Рассматриваются формы равновесия построенной континуальной модели оснащенного стержня при произвольных (больших) деформациях (произвольных изгибах несущего тонкого стержня и произвольных поворотах включений). Изучаются интегралы «энергии» системы с использованием обобщённой аналогии Кирхгофа.

Во второй Главе в предположении о малости кинематических характеристик конструкции проводится линеаризация системы уравнений.

Изучаются собственные колебания конструкции конечной длины в случае упругих внутренних взаимодействий. В случае шарнирного закрепления краев стержня, отсутствия моментов на крайних включениях

10 и равенства нулю всех внешних сил и моментов ставится и решается краевая задача о собственных колебаниях системы в предположении, что амплитуды колебаний имеют простой периодический вид. В этом случае оказывается, что каждому значению параметра (натурального числа), характеризующего моду собственных колебаний, соответствуют ровно две формы колебаний, каждая со своей частотой. Рассматривается пример конкретной конструкции, состоящей из металлического стержня с насаженными на него такими же стержнями меньшей длины, которые связаны между собой упругой (резиновой) передачей. Численно-аналитическим методом решается задача о собственных колебаниях такой конструкции. На примере одного из значений параметра моды колебаний выписывается явный вид движений для соответствующей пары частот и приведены иллюстрации характеров этих движений для разных частот этой пары. Изучаются вынужденные колебания конструкции конечной длины при внешнем воздействии, зависящем от угла поворота включений, и однородных граничных условиях.

В третьей Главе рассматривается случай частично идеально пластической связи - все внутренние взаимодействия, кроме момента воздействия включения на стержень, остаются упругими, на момент же взаимодействия стержня и включения накладывается лишь одно условие: он должен быть по абсолютной величине всегда не больше некоей определенной константы, в остальном его значения произвольны. Это условие носит характер сухого трения (в реальной конструкции это может соответствовать заржавлению креплений между стержнем и включениями). Для этого случая исследуются общие постановки краевых задач статики при малых деформациях, выявляются условия существования решения, устанавливается его неединственность в общем случае и демонстрируется, что чисто предельные состояния равновесия единственны. Рассматривается задача о равномерном нагружении консольно закреплённого оснащённого стержня такого типа, решение которой показывает, что в каждый момент времени в предположении статики состояние равновесия будет чисто предельным.

В Заключении приведены основные результаты, полученные в работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Иванова, Ольга Алексеевна

Заключение

В работе получены следующие результаты.

1. С использованием метода механического моделирования, предложенного A.A. Ильюшиным, в работе построена дискретная модель «оснащенного стержня» следующего вида: тонкий упругий стержень постоянного поперечного сечения с помещенными на его упругой линии через равные расстояния жесткими массивными дисками, способными вращаться в плоскости изгиба стержня вокруг своих осей симметрии, жестко закрепленных на стержне и перпендикулярных плоскости его изгиба. Диски расположены в плоскости изгиба стержня, кручение стержня отсутствует. Повороты дисков относительно упругой линии стержня регулируются упругими шарнирами. Диски предполагаются связанными друг с другом (с ближайшими соседями с обеих сторон) одинаковыми ременными передачами, обеспечивающими сопротивление относительному повороту охваченных ими соседних дисков.

Для дискретной модели выведены уравнения динамического равновесия в произвольных плоских движениях и приняты определяющие соотношения, выражающие упругие свойства модели. Осреднение этих соотношений в длинноволновом приближении приводит к уравнениям одномерного континуума Коссера.

Рассмотрены формы равновесия построенной континуальной модели оснащенного стержня при произвольных (больших) деформациях (произвольных изгибах несущего тонкого стержня и произвольных поворотах включений). Найдены интегралы «энергии» системы с использованием обобщённой аналогии Кирхгофа. Установлено, что псевдоконтинуум Коссера (абсолютные углы поворотов включений совпадают с углами поворотов стержневых элементов) ведёт себя аналогично упругому стержню с более высокой жёсткостью на изгиб, причём жёсткость конструкции может быть предсказана.

2. В предположении о малости кинематических характеристик конструкции (то есть, система испытывает малые движения, сопровождающиеся малыми перемещениями в направлении координатных осей, малыми относительными удлинения и малыми углами поворота элементов стержня; также диапазоны изменения величин относительного удлинения, изгиба стержня, углов относительного поворота включений и скорости изменения абсолютных углов поворотов включений считаются достаточно малыми, чтобы механические свойства системы могли быть представлены линейными соотношениями упругости) проведена линеаризация системы уравнений. Показано, что в случаях т.н. «несвязанной» модели (включения и стержень не взаимодействуют друг с другом) и псевдоконтинуума Коссера (углы поворотов включений совпадают с углами поворотов стержневых элементов) уравнения движения конструкции совпадают с известными уравнениями теории изгиба тонких стержней. Также показано, что одно из этих уравнений не связано с остальными и является уравнением, описывающим продольные движения стержня (колебания, распространения продольных волн с известной скоростью).

Изучены собственные колебания конструкции конечной длины в случае упругих внутренних взаимодействий. В случае шарнирного закрепления краев стержня, отсутствия моментов на крайних включениях и равенства нулю всех внешних сил и моментов дана постановка и найдено общее решение краевой задачи о собственных колебаниях системы в предположении, что амплитуды колебаний имеют простой периодический вид. В этом случае оказывается, что каждому значению параметра натурального числа), характеризующего моду собственных колебаний, соответствуют ровно две формы колебаний, каждая со своей частотой.

Рассмотрен пример конкретной конструкции, состоящей из металлического стержня с насаженными на него такими же стержнями меньшей длины, которые связаны между собой упругой (резиновой) передачей. Численно-аналитическим методом получено решение задачи о собственных колебаниях такой конструкции. Приведены графики зависимости частот собственных колебаний от параметра моды (для каждой из двух форм собственных колебаний). На примере одного из значений параметра моды колебаний выписан явный вид движений для соответствующей пары частот и приведены иллюстрации характеров этих движений для разных частот этой пары: первая форма колебаний (с более низкой частотой) соответствует прогибам несущего стержня, при которых повороты его элементов «сопутствуют» (совпадают по знаку) поворотам поперечных стержней-включений и даже превосходят их, вторая форма (с более высокой частотой) соответствует «встречным» (противоположным по знаку) поворотам элементов несущего стержня и стержней-включений. Можно сказать, что при колебаниях с низкой частотой включения содействуют изгибу несущего стержня, а при колебаниях с высокой частотой включения препятствуют изгибу несущего стержня.

Изучены вынужденные колебания конструкции конечной длины при внешнем воздействии, зависящем от угла поворота включений, и однородных граничных условиях. Моделируется такой вид воздействий следующим образом: предполагается, что к каждому диску приделан стержень, длина которого мала по сравнению с длиной конструкции, но велика по сравнению с диаметром включений. Эти дополнительные стержни перпендикулярны основному стержню, находятся в плоскости его изгиба, и все смотрят в одну сторону. При этом подразумевается, что с другой стороны диска имеется некий противовес, такой, что в отсутствие внешних сил и моментов диск находится в равновесии, и рассматривается обтекание конструкции перпендикулярным несущему стержню потоком газа в плоскости изгиба стержня. При граничных условиях, аналогичных поставленным для задачи о собственных колебаниях, установлено, что в случае т.н. «попутного» обтекания (вспомогательные стержни расположены по ходу потока) движения сохраняют колебательный характер во всех модах при любых скоростях обтекания. В случае же т.н. «противоположно направленного» потока (вспомогательные стержни расположены против потока) существует критическая скорость, при превышении которой колебания конструкции переходят в движение одностороннего отклонения экспоненциального во времени характера, что можно характеризовать как явление дивергенции.

3. Построена модель оснащенного стержня с частично идеально пластическими свойствами - все внутренние взаимодействия, кроме момента воздействия включения на стержень, остаются упругими, на момент же взаимодействия стержня и включения накладывается лишь одно условие: он должен быть по абсолютной величине всегда не больше некоей определенной константы, причем при наличии проскальзывания включения относительно стержня — по модулю строго равен этой константе (в остальном его значения произвольны). Это условие носит характер сухого трения (в реальной конструкции это может соответствовать заржавлению креплений между стержнем и включениями).

Для этого случая исследованы общие постановки краевых задач статики при малых деформациях, выявлены условия существования решения, установлена его неединственность в общем случае. Введены понятия предельных и чисто предельных форм равновесия, и показано, что чисто предельные состояния равновесия единственны. Рассмотрены конкретные задачи статики, а также задача о квазистатическом нагружении консольно закреплённого оснащённого стержня такого типа, решение которой показывает, что в каждый момент времени в предположении статики состояние равновесия будет чисто предельным.

Таким образом, в работе установлено, что существует принципиальная возможность конструктивного моделирования сред Коссера, и поведение ряда существующих конструкций в осреднённом смысле может быть описано уравнениями движения среды Коссера. Примененный метод конструктивного моделирования демонстрирует возможность реального изготовления (в лабораторных или промышленных условиях) конструктивных элементов в виде оснащенных стержней со свойствами одномерного континуума Коссера. Выявленные механические эффекты (поведение псевдоконтинуума как обычного гибкого стержня с большей жесткостью, двойственность форм и частот собственных колебаний в каждой моде, явление дивергенции в режимах вынужденных движений, особенности форм равновесия стержней с частично пластическими свойствами) показывают, что одномерный континуум рассматриваемого типа обладает рядом интересных свойств, обусловливающих перспективность дальнейшего изучения сред подобного типа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванова, Ольга Алексеевна, 2009 год

1.Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 248 с.

2. Амбарцумян С.А. Микрополярная теория оболочек и пластин. Ереван: Изд-во HAH Армении, 1999. 214 с.

3. Атоян A.A., Саркисян С.О. Изучение свободных колебаний микрополярных упругих тонких пластин // HAH Армении. Доклады. 2004. Т. 104. № 4. С. 287-294.

4. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2. Вып. 7. С. 1399-1409.

5. Березкин E.H. Курс теоретической механики. М.: Изд-во МГУ, 1974.646 с.

6. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представленияопределяющих соотношений деформируемых сред // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. С. 814-824.

7. Бровко Г.Л. Моделирование неоднородных сред сложной структуры и континуум Коссера. // Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. 1996. №5. С.55-63.

8. Бровко Г.Л. Об одной конструкционной модели среды Коссера. // Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. №1. С. 75-91.

9. Бровко Г.Л., Иванова O.A. Моделирование свойств и движенийнеоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 2008. № 1. С. 2236.

10. П.Бровко Г. Л., Ильюшин A.A. Об одной плоской модели перфорированных плит. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1993. № 2. С. 83-91.

11. Ванин Г.А. Градиентная теория упругости // Изв. РАН. МТТ. 1999. N№ 1.С. 46-53.

12. Иванова O.A. Модель одномерного континуума Коссера. В кн.: Упругость и неупругость. M.: URSS, 2006. С. 139-146.

13. Иванова O.A. О предельных формах равновесия модели одномерного континуума Коссера с пластическими свойствами // Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. (в печати).

14. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990.

15. Ильюшин A.A. Функционалы и меры необратимости на множествах процессов в механике сплошной среды (МСС) // Докл. РАН. 1994. Т. 337. № 1. С. 48-50.

16. Ильюшин A.A., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 372 с.

17. Ильюшин A.A., Ломакин В.А. Моментные теории в механике твердых деформируемых тел // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С. 54-60.

18. Ильюшина Е.А. Вариант моментной теории упругости для одномерной сплошной среды неоднородной периодической структуры // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36. Вып. 6. С. 1086-1093.

19. Ильюшина Е.А. Колебания кусочно-однородной упругой среды с плоскопараллельными границами раздела // Механика полимеров. 1976. №4. С. 687-692.

20. Ильюшина Е.А., Короткина М.Р., Куренков В.Ю. Построение дисперсионных кривых для сред периодической структуры. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1996. № 5. С. 46-49.

21. Индейцев Д.А., Семенов Б.Н. Динамические эффекты в материале при его структурно-фазовых превращениях. В кн.: Актуальные проблемы механики сплошной среды. Ереван: Ер. гос. ун-т архитект. и строит., 2007. С. 196-199.

22. Козицын A.C., Шмаков А.П. Определяющие соотношения несимметричной теории упругости при наличии внешних полей и функция Эри. Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем., механ. 2000. №3. С.32-35.

23. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитического решения волны Лэмба в рамках континуума Коссера //Прикл. мех. и техн. физика. 2007. Т.48. №1. С. 143-150.

24. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера. // Прикл. мех. и техн. физика. 2005. Т.46. №4. С. 116-124.

25. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. 415 с.

26. Ломакин В.А. Вопросы обобщённой моментной теории упругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. 1967. № 1. С. 82-88.

27. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 140 с.

28. Лурье С.А., Белов П.А. Теория сред с сохраняющимися дислокациями. Частные случаи: среды Коссера и Аэро— Кувшинского, пористые среды, среды с «двойникованием» // Современные проблемы механики гетерогенных сред. ИПРИМ РАН, 2005. С. 235-267.

29. Ляв А. Математическая теория упругости. М.—Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 674 с.

30. Мартынова Е.Д. Определение статических и динамических осредненных характеристик периодических упругих каркасов. В кн.: Упругость и неупругость. Ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 155-162.

31. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Усредненные модели микронеоднородных сред. Киев: Наукова думка, 2005. 550 с.

32. Молодцов И.Н. Вариант линейной несимметричной теории упругости. Вестник МЭИ. 1998. №4. С.66-71

33. Мутафян М.Н., Саркисян С.О. Асимптотические решения краевых задач тонкого прямоугольника по несимметричной теории упругости // Изв. HAH Армении. Механика. 2004. Т. 57. № 1. С. 4158.

34. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

35. Зб.Огибалов П.М., Тамбовцев Е.П., Молодцов И.Н. Динамическаякалибровка диссипации в композитных нелокальных средах. Механ. композит, материалов. №2. 1985. С.217-224.

36. Пальмов В.А. Об одной модели среды сложной структуры// ПММ. 1969. Вып. 4. С. 768-773.

37. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости//ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 401-408.

38. Победря Б.Е. К теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела. В кн.: Упругость и неупругость. 4.1. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1993. С. 119-127.

39. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 336 с.

40. Победря Б.Е. Элементы структурной механики деформируемого твердого тела // Математическое моделирование систем и процессов. Пермь: ПГТУ, 1996. № 4. С. 66-74.

41. Подстригач Я. С., Повстенко Ю.З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. Киев: Наукова думка, 1985. 200 с.

42. Попов Е.П. Теория и расчёт гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986.

43. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

44. Саркисян С.О. Тонкие балки на основе несимметричной теории упругости// Проблемы механики деформируемого твёрдого тела. Ереван: 2007. С. 177-183.

45. Тимошенко С.П„ Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963.

46. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

47. Угодчиков А.Г. О корректности уравнений динамики деформируемого твердого тела // Прикладн. пробл. прочн. и пластичн. Вып. 44. Методы решения. Горький, 1990. С. 4-11.

48. Угодчиков А.Г. Об уравнениях динамики деформируемого твердого тела. ДАН СССР. 1991. Т. 317. № 4. С. 859-863.

49. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977.

50. Шмаков А.П., Козицын А.С. Влияние электромагнитных полей на несимметрию тензора напряжений. В кн. Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. С.326-328.

51. Шоркин B.C. Модель сплошной упругой среды, основанная на представлении о дальнодействующем потенциальном взаимодействии ее частиц. В кн.: Упругость и неупругость. Под ред. И.А.Кийко, Р.А.Васина, Г.Л.Бровко. М.: URSS, 2006. С. 271-282.

52. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости// Разрушение. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 646-751.

53. Brovko G.L., Grishayev A.G., Ivanova О.А. Continuum models of discreet heterogeneous structures and saturated porous media: constitutive relations and invariance of internal interactions // Journal of Physics: Conference series. 2007. № 62. P. 1-22.

54. Burton D.A. Wake Oscillator models and Cosserat rods. Preprint. Lancaster University, 2000.

55. Cao D.Q., Tucker R.W., Wang C. Natural frequency and mode shape analysis for a Cosserat model of a cable-stayed bridge. Preprint. Lancaster University, 2000.

56. Chroscielewski J., Makowski J., Pietraszkiewicz W. Statyka i dynamika powlok wieloplatowych. Warszawa: Wydawnictwolnstytutu Podstawowych Problemow Techniki PAN, 2004. 612 pp.

57. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Hermann, 1909.

58. Ericksen J.L. Anisotropic fluids. Arch. Rat. Mech. Anal. 4. 1959/60. Pp. 231-237.

59. Ericksen J.L. Conservation laws for liquid crystals. Trans. Soc. Rheol. 5. 1961. Pp. 23-24.

60. Ericksen J.L., Truesdell C. Exact theory of stress and strain in rods and shells. Arch. Rat. Mech. Anal. 1. 1958. Pp. 296-323.

61. Eringen A.C. Mechanics of continua. New York: John Wiley & Sons, 1967.

62. Forest S., Cailletaud G., Sievert R. A Cosserat theory for elastoviscoplastic single crystals at finite deformation // Archives of Mechanics. 1997. Vol. 49. Issue 4. P. 705-736.

63. Gould T., Burton D.A. A Cosserat rod model with microstructure// New Journal of Physics. 2006. Vol. 8. P. 137-153.

64. Gratus J., Tucker R.W. The dynamic of Cosserat nets. Preprint. Lancaster University, 2001.

65. Green A.E. Micro-materials and multipolar continuum mechanics// Intern. J. Eng. Sci. 1965. V.3. N 5. P. 533-537.

66. Green A.E., Naghdi P.M. A thermomechanical theory of a Cosserat point with application to composite materials. Q. J. Mech. Appl. Math. 1991. V. 44. Pt. 3.Pp. 335-355.

67. Green A.E., Naghdi P.M. A unified procedure for construction of theories of deformable media // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1995. V. 448. N 1934. I. Classical continuum physics. P. 335-356. II. Generalized continua. P. 357-377.

68. Lakes R. Experimental methods for study of cosserat elastic solids and other generalized elastic continua. Continuum models for materials withmicro-structure. Ed. H. Muhlhaus. New York Chicago: John Wiley, 1995. Pp. 1-22.

69. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Archive of Rational Mechanics and Analysis. 1964. № l.P. 51-78.

70. Rubin M.B. Cosserat theories: shells, rods and points. Ser. Solid mechanics and its application. Ed. G.M.L. Gladwell. Vol. 79. Dordrecht Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 2000. 480 pp.

71. Rymarz Cz. Mechanika osrodkow ci^gfych. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1993. 515 pp.

72. Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses // Arch. Rat. Mech. Anal. 1962. V. 11. N5. P. 385-414.

73. Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress. Arch. Rat. Mech. Anal. 17. 1964. Pp. 85-112.

74. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Third edition. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2004. 602 pp. (+XXIX)

75. Truesdell C., Toupin R.A. The classical field theories // Handbuch der physics. Berlin: Springer, 1960. V. 3/1. S.226-793.