Матрицы Йоста и аналитическая структура многоканальной матрицы рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор наук Ракитянский Сергей Анатольевич

• Ракитянский Сергей Анатольевич
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Ракитянский Сергей Анатольевич

1.1.3 Интегральные уравнения

1.1.4 Равномерная оценка роста волновой функции при комплексных к

1.1.5 Функции Йоста

1.1.6 Риманова поверхность

1.1.7 Свойства симметрии функций Йоста

1.1.7.1 Преобразование к ^ —к

1.1.7.2 Комплексное сопряжение

1.1.8 Спектральные точки

1.1.8.1 Связанные состояния

1.1.8.2 Резонансы

1.1.8.3 Виртуальные состояния и подпороговые резонансы

1.1.9 Состояния рассеяния

1.1.9.1 Парциальные волны

1.1.9.2 5-матрица

1.1.10 Аналитические свойства Б-матрицы

1.1.10.1 Симметрия 5-матрицы на Римановой поверхности

1.1.10.2 Спектральное разложение Б-матрицы

1.1.10.3 Вычеты Б-матрицы

1.2 Потенциал с быстро убывающим хвостом

1.2.1 Волновая функция

1.2.1.1 Асимптотика при г ^то

1.2.2 Функции Йоста

1.2.2.1 Сходящиеся и расходящиеся волны при комплексных к

1.2.2.2 Экспоненциально-убывающий потенциал

1.2.3 Комплексное вращение

1.2.3.1 Экспоненциально-убывающий потенциал

1.2.3.2 Неаналитический потенциал

1.2.4 От обрезанного к полному потенциалу

1.3 Аналитическая структура функций Йоста

1.3.1 Факторизация

1.3.2 Область аналитичности и комплексное вращение

1.4 Численные примеры

1.4.1 Модельные задачи

1.4.2 Л-гиперядра

2 Одноканальный потенциал с Кулоновским хвостом

2.1 Чисто кулоновский потенциал

2.1.1 Уравнение Шредингера

2.1.2 Функции Йоста

2.2 Кулоновский плюс короткодействующий потенциал

2.2.1 Переход к уравнениям первого порядка

2.2.2 Интегральные уравнения

2.2.3 Функции Йоста

2.2.4 Аналитичность функций Йоста

2.2.5 Аналитическая структура функций Йоста

2.2.5.1 Область аналитичности и комплексное вращение

2.3 Притягивающий Кулоновский потенциал

2.4 Риманова поверхность для системы заряженных частиц

2.5 Симметрия функций Йоста

2.6 Численный пример

3 Нецентральный потенциал

3.1 Спин-угловые векторы состояния

3.2 Разложение по парциальным волнам: дискретный спектр

3.2.1 Радиальное уравнение Шредингера

3.3 Разложение по парциальным волнам: рассеяние

3.4 Фундаментальная матрица регулярных решений

3.5 Переход к уравнениям первого порядка

3.5.1 Сходящиеся и расходящиеся волны

3.5.2 Уравнения первого порядка

3.5.3 Альтернативная форма дифференциальных уравнений

3.5.4 Граничные условия

3.5.5 Поведение регулярного решения около точки г =

3.6 Асимптотика фундаментальной матрицы регулярных решений

3.7 Матрицы Йоста

3.7.1 Комплексное вращение

3.8 Решения Йоста

3.9 Физические решения

3.9.1 Связанные и резонансные состояния

3.9.2 Состояния рассеяния

3.9.2.1 Плоская волна с ненулевым спином

3.9.2.2 Асимптотика волновой функции рассеяния

3.9.2.3 Сечение рассеяния

3.10 Свойства симметрии матриц Йоста

3.11 Аналитическая структура матриц Йоста

3.12 Численные примеры

4 Многоканальный короткодействующий потенциал

4.1 Многоканальное уравнение Шредингера

4.2 Каналы с различным типом частиц

4.3 Разложение по парциальным волнам

4.3.1 Спин-угловые матрицы

4.3.2 Дискретный спектр

4.3.2.1 Радиальное уравнение Шредингера

4.3.3 Рассеяние

4.3.3.1 Радиальное уравнение Шредингера

4.4 Многоканальная матрица Йоста

4.5 Переход к уравнениям первого порядка

4.6 Комплексное вращение координаты

4.7 Связанные состояния

4.8 Резонансы и их парциальные ширины

4.9 Многоканальное рассеяние

4.10 Амплитуда и сечение рассеяния

4.11 Риманова поверхность

4.11.1 Разрезы и их соединения

4.11.2 Расположение спектральных точек

4.12 Аналитическая структура матриц Йоста

4.13 Свойства симметрии матриц Йоста

4.14 Численный пример

4.14.1 Двухканальный потенциал

4.14.2 Спектральные точки и сечения рассеяния

4.14.3 Разложение Миттаг-Леффлера

4.14.4 Диаграммы Аргана

5 Многоканальные задачи с заряженными частицами

5.1 Матрицы Йоста

5.2 Комплексное вращение

5.3 Аналитическая структура матриц Йоста

5.4 Притягивающий Кулоновский потенциал

5.5 Римановы поверхности

5.6 Свойства симметрии матриц Йоста

6 Обобщение приближения эффективного радиуса

6.1 Одноканальный короткодействующий потенциал

6.1.1 Стандартное приближение эффективного радиуса

6.1.2 Коэффициенты разложения: вычисление

6.1.3 Построение потенциала с заданным спектром

6.1.4 Коэффициенты разложения: подгонка данных

6.2 Одноканальный потенциал с Кулоновским хвостом

6.2.1 Коэффициенты разложения

6.3 Многоканальный короткодействующий потенциал

6.4 Многоканальный потенциал с Кулоновским хвостом

6.5 Численные примеры (модельные задачи)

6.5.1 Pade-приближение

6.5.2 Степенные разложения матриц Йоста

6.5.2.1 Вычисление коэффициентов степенных разложений

6.5.2.2 Подгонка коэффициентов степенных разложений . . . . 260 6.6 Численные примеры (физические задачи)

6.6.1 Резонансы ядерной системы а + 12С

6.6.2 Резонанс 5Не*(|+) вблизи порога М

6.6.3 Резонансное состояние 0+ изотопа бора 8В

7 Специальные вопросы

7.1 Сингулярные потенциалы

7.1.1 Граничные условия

7.1.2 Численные примеры

7.1.2.1 Потенциал Леннарда-Джонсона

7.1.2.2 Потенциалы Азиза

7.2 Одномерные задачи

7.2.1 Уравнение Шредингера и матрицы Йоста

7.2.2 Численный пример

7.3 Двумерные задачи

7.3.1 Парциальные волны на плоскости

7.3.2 Функции Йоста

7.3.3 Аналитическая структура функций Йоста

7.3.4 Численный пример

7.4 Задача нескольких тел

7.4.1 Гиперсферическое разложение и матрицы Йоста

7.4.2 Численные примеры

7.4.2.1 Мультинейтронные системы (ппп) и (пппп)

7.4.2.2 Гиперъядерные системы (Лип) и (ЛЛп)

Заключение

Приложения

A Формулы разложения по парциальным волнам

B Кулоновские функции

B. 1 Определения и основные свойства

B.2 Аналитическая структура

B.3 Поведение вспомогательных функций вблизи спектральных точек

C Асимптотический нормировочный коэффициент (АНК)

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Матрицы Йоста и аналитическая структура многоканальной матрицы рассеяния»

Введение

Матрица рассеяния, или Б-матрица, является основным математическим объектом, описывающим процессы столкновения квантовых частиц. Эта матрица зависит от энергии столкновения Е, которая (физически) может принимать лишь действительные положительные значения. Однако, с математической точки зрения, независимая переменная функции Б(Е) может рассматриваться, как число комплексное. Такое рассмотрение позволяет извлекать из этой функции гораздо больше информации, чем простое описание характеристик рассеяния. В частности, сингулярности (полюса) функции Б(Е) при отрицательных энергиях соответствуют связанным состояниям сталкивающихся частиц, а (некоторые) полюса при комплексных энергиях соответствуют резонансным состояниям. Кроме того, известны так называемые дисперсионные соотношения, которые связывают действительную и мнимую части Б-матрицы через интеграл вдоль некоего комплексного контура. Всё это означает, что изучение аналитических свойств Б-матрицы является необходимым и важным для понимания характеристик физической системы, которую данная матрица описывает.

Матрица рассеяния Б(Е) зависит от энергии не напрямую, а опосредованно через канальные импульсы1,

Несмотря на то, что канальные импульсы не являются независимыми друг от друга, иногда, для большей ясности, зависимость Б-матрицы от них указывается в явном виде, как Б(к1, к2,..., км).

Каждый из этих импульсов может быть взят, как с положительным, так и с отрицательным знаком перед квадратным корнем2. Для задачи с N каналами имеется 2м различных комбинаций набора (к1; к2,..., км), соответствующих одной и той же энергии. Каждый конкретный выбор такой комбинации даёт, вообще говоря, другие значения элементов матрицы Б(к1; к2,..., км). Иными словами, матрица рассеяния не является однозначной функцией переменной Е.

Если сталкивающиеся частицы имеют электрические заряды, асимптотика волновой функции, а значит и Б-матрица, зависит не только от канальных импульсов, но и от их логарифмов. Это приводит к дополнительной (Кулоновской) неоднозначности матричной функции Б(Е). В данном случае её многозначность следует из того факта, что комплексная функция 1п кп имеет бесконечно много различных значений,

1п кп = 1п {|кп|ег[аг^")+2™1} = 1п |кп| + г а^(кп) + г2пт , т = 0, ±1, ±2,... ,

соответствующих разным выборам произвольного целого параметра т, который не меняет значение энергии,

где —2п < < ^ 2п и а^(кп) = </2.

Таким образом, уже для нейтральных частиц, при каждом фиксированном (комплексном) значении энергии Е матрица рассеяния Б(Е) принимает 2м (вообще говоря) различных значений. А при наличии Кулоновского взаимодействия число различных значений

1 Здесь /п и Еп приведенная масса и пороговая энергия в канале п.

2В этом и только в этом канальные импульсы независимы друг от друга.

Е — Еп = |Е — Еп| ехр(г< + г4пт) ,

Б(Е) становится бесконечным. Это означает, что функция Б(Е) определена не на простой комплексной плоскости, а на многолистной Римановой поверхности с весьма замысловатой топологией. Каждая пороговая энергия Еп является корневой (а при наличии Кулоновских сил и корневой, и логарифмической) точкой ветвления. Двигаясь вокруг точек ветвления, можно переходить с одного на другой лист через соответствующим образом сшитые разрезы.

Ясно, что многозначность матрицы рассеяния и сложная топология Римановой поверхности существенно затрудняют анализ математических свойств этой матрицы. Кроме того, все эти, казалось бы, абстрактные математические тонкости могут неожиданным и коварным образом проявить себя даже при анализе экспериментальных данных. Как правило, для описания экспериментальных сечений рассеяния пользуются некими феноменологическими или приближенными выражениями для матрицы рассеяния. Пока эти выражения (построенные путем подгонки экспериментальных точек) рассматриваются на действительной оси энергии, проблем не возникает. Но при попытке поиска, например, связанных и резонансных состояний приходится аналитически продолжать матрицу Б(Е) на различные листы Римановой поверхности. Тут-то и кроется опасность. Выбранное феноменологическое представление матрицы рассеяния может оказаться не соответствующим правильной топологии Римановой поверхности, что может привести к неправильным выводам. Опасность подобных ошибок особенно велика, когда данные

анализируются вблизи пороговых энергий, т.е. вблизи точек ветвления.

* * *

Один из путей преодоления подобных трудностей предложен и разработан в данной диссертации, которая основана на публикациях [1-30]. Наш подход базируется на построении матриц Йоста, /(1п) (Е) и /(ои1) (Е), используя которые, легко строится соответствующая Б-матрица,

Б(Е) = /(ои^(Е) [/(1п)(Е)]-1 . (1)

Аналитическая структура матриц Йоста проще структуры Б-матрицы, хотя тоже нетривиальна. В работах, которые составляют основу диссертации, нами показано, что матрицы Йоста могут быть представлены в следующем факторизованном виде:

/ (1п)(Е) = [X (1п)(к1,к2,-.. )а(Е)+ У (1п)(к1,к2,-.. ЖЕ)] ^(^1,^2,...) , (2) /(ои1) (Е) = [X (ои1)(кьк2,... )а(Е)+ У(ои1)(кьк2,... )6(Е)] В{къкъ...) , (3)

где матрицы а(Е) и Ь(Е) являются однозначными аналитическими функциями и определены на простой комплексной плоскости энергии без каких либо точек ветвления. Все сложности, связанные с многозначностью и Римановой поверхностью, проистекают из матриц X(1п/ои1)(к1; к2,...), У(1п/ои1)(кь к2,...) и к2,...), которые зависят от канальных импульсов и их логарифмов (в случае заряженых частиц). В наших работах получены явные выражения для матриц 1,^2,... ) и к2,...). Это сделано для произвольного числа каналов, как в случае произвольных короткодействующих потенциалов, так и при наличии у них Кулоновских хвостов. Явный вид этих матриц получен также для двумерной задачи, имеющей отношение к анализу низкоразмерных нано-структур.

Полученные факторизованные представления (2, 3) дают нам полу-аналитическое решение многоканальной задачи рассеяния. Единственными неизвестными величинами в

них остаются матрицы a(E) и b(E). В наших работах получены дифференциальные уравнения, решения которых позволяют найти эти матрицы для произвольной комплексной энергии E, когда (многоканальный) потенциал взаимодействия известен.

Поскольку вся информация о топологии Римановой поверхности заключена в известных матрицах X(in/out), Y(in/out) и d, для неизвестных матриц a(E) и b(E) могут быть использованы любые разумные приближения, что не может нарушить правильную структуру матриц Йоста, а следовательно и S-матрицы. В частности, матрицы a(E) и b(E) могут быть разложены в ряд Тэйлора около произвольной точки E0 в комплексной плоскости энергии. Такое разложение является обобщением известного в одноканальной теории рассеяния приближения эффективного радиуса. Причем в нашем подходе оно записывается в наиболее общем виде, где и центр разложения, и число каналов произвольны. При этом S-матрица, будучи отношением двух матриц Йоста, оказывается записанной, как отношение двух полиномов (с дополнительными множителями X(in/out), Y(in/out) и D), что делает такое приближение подобным так называемой Padé-аппроксимации, которая в теории численных методов считается одной из наиболее эффективных.

В диссертации показано, что матрицы Йоста с разложенными в ряд Тэйлора матрицами a(E) и b(E) могут использоваться для извлечения информации о резонансах из экспериментальных данных. При этом коэффициенты Тэйлоровских разложений служат подгоночными параметрами, позволяющими фитировать эти данные. После подгонки параметров мы получаем аналитические выражения для матриц Йоста с правильной аналитической структурой. Функции a(E) и b(E) однозначны, т.е. одни и те же на всех листах Римановой поверхности. Выбор листа определяется выбором комбинаций канальных импульсов и их логарифмов в матричных функциях X(in/out) (ki,

и D(ki, k2,... ). Таким образом, построенная на основе экспериментальных точек S -матрица (с правильной аналитической структурой) может затем рассматриваться на различных листах Римановой поверхности. Это позволяет, в частности, искать её полюса, соответствующие резонансам. Для этого достаточно найти нули детерминанта матрицы

Йоста f (in)(E), которая стоит в «знаменателе» S-матрицы (1).

* * *

Прошло уже более 70 лет с той первой публикации [31], в которой Рес Йост (Res Jost) рассмотрел амплитуды двух линейно независимых решений радиального уравнения Шре-дингера, как функции комплексного импульса, впоследствие названные его именем. История началась с работ Ма (Shih-Tsun Ma) [32] и Тер-Хаара (Dirk ter Haar) [33], которые обратили внимание на то, что S-матрица для потенциалов экспоненциального типа может иметь лишние (нефизические) нули3 там, где должны располагаться связанные состояния. В своей работе [31] Йост проанализировал причины возникновения лишних нулей и показал, как их можно отличить от «настоящих». В его новом подходе, S-матрица была представлена в виде отношения двух комплексных функций,

В данном отношении, «настоящие» нули (соответствующие связанным состояниям) это нули числителя, а «ложные» — полюса знаменателя. Функция f (k) впоследствии была названа именем Йоста.

3 Сейчас мы бы назвали их лишними полюсами, а в те годы вместо полюсов рассматривались нули, расположенные симметрично к ним на комплексной плоскости импульса.

Работа [31] положила начало целой серии новых и плодотворных исследований в квантовой теории рассеяния. В частности, Рес Йост и Вальтер Кон (Walter Kohn) в начале 1950-х годов предприняли первую попытку решения так называемой обратной задачи рассеяния, т.е. задачи восстановления потенциала взаимодействия по известным фазам рассеяния [34]. Функции Йоста и теперь являются неотъемлемой составной частью современной теории обратной задачи рассеяния (см., например, классическую монографию [35]). Функции Йоста также послужили важным инструментом в построении теории комплексного углового момента и изучении свойств так называемых полюсов Редже [36-39].

Теория Йоста была обобщена во многих направлениях: тут и состояния с произвольным угловым моментом [40,41], и много-канальные задачи, где функция Йоста становится матрицей [42], и задачи с Кулоновскими силами [43], и потенциалы, зависящие от импульса [44]. Предпринимались также попытки построения более абстрактного аналога теории Йоста. Так, в работе [45] вместо функции Йоста возникает некий интегральный оператор, который играет схожую с функцией Йоста роль в решении неразложенного по парциальным волнам уравнения Шредингера, а также в решении уравнения Дирака. Эти абстрактные построения не получили, однако, широкого распространения - возможно по причине своей математической сложности и непрозрачности их физической интерпретации.

Развитие теории малочастичных систем, основанной на уравнениях Фаддеева [46], вызвало потребность в методах получения так называемых внемассовых амплитуд рассеяния, т.е. амплитуд, в которых начальный и конечный импульсы являются независимыми переменными и не связаны с энергией законом сохранения. Одним из таких методов стал метод внемассовых функций Йоста [47-50]. Такие функции получаются из обобщенного внемассового радиального уравнения Шредингера [51]. Они зависят не от одного, а от двух (независимых) импульсов; и внемассовые амплитуды выражаются через эти обобщенные функции Йоста.

Еще одной важной областью применения функций Йоста стало построение квантовых нерелятивистских дисперсионных соотношений [52,53]. Они получаются из простого применения теоремы Коши и связывают действительную и мнимую части либо амплитуды рассеяния, либо самой функции Йоста, через некий интеграл, независящий от формы взаимодействия. Поначалу такие соотношения рассматривались с точки зрения возможности параметризовать экспериментальные данные или, например, улучшить Бор-новское приближение [54]. Однако, в силу их универсальности (независимости от вида потенциала) дисперсионным соотношениям стали придавать фундаментальный смысл. Возникло целое направление исследований, получившее название аналитическая теория S-матрицы [55, 56]. В этой теории предполагалось, что возможно построение полной релятивистской динамики, исходя только из общих фундаментальных принципов, в качестве одного из которых рассматривались дисперсионные соотношения.

Следует отметить, что несмотря на очевидную плодотворность подхода, выросшего из теории Йоста, применению этой теории в практических расчетах долго не уделялось должного внимания. Практически в любой из классических монографий по квантовой теории рассеяния (см., например, [57-62]) имеется несколько разделов, посвященных функциям и матрицам Йоста. Однако, ни в одной из них не предлагается какой-либо метод практического вычисления функции Йоста, исходя из известного потенциала, или метод построения этой функции на основе экспериментальных данных. Как правило,

вместо этого функция Йоста выражается через волновую функцию. Но чтобы воспользоваться подобным выражением, надо сначала найти волновую функцию (что равносильно полному решению задачи), после чего надобность в функции Йоста отпадает сама собой.

Отсутствие ясных и простых методов вычисления привело к тому, что для большей части теоретиков (не говоря уже об экспериментаторах) функция Йоста оставалась чисто математическим объектом - элегантным и полезным в формальных построениях (как, например, при доказательстве теоремы Левинсона), но совершенно бесполезным в практических вычислениях. Такое восприятие в особенности доминировало в отношении задач с нецентральными потенциалами и при наличии нескольких каналов, где в обоих случаях функция Йоста становится матрицей.

В нашей работе 1996 года [3] были впервые предложены дифференциальные уравнения, решения которых позволяют получать функции Йоста непосредственно. Причем, и относительный импульс сталкивающихся частиц, и их угловой момент входят в эти уравнения в качестве параметров и могут принимать любые комплексные значения. Впоследствии эти уравнения были нами обобщены на задачи с заряженными частицами [4] и сингулярными потенциалами [7], на много-канальные задачи [6,8, 13], на одномерные [11,12] и двумерные задачи [20], возникающие в теории полупроводниковых наноструктур, а также на многочастичные задачи [1,5,17,26], которые допускают описание в рамках метода гиперсферических функций. Этот подход послужил мостом между чисто математической теорией функций Йоста и их практическим применением в расчетах характеристик различных квантовых систем и процессов.

Одной из основных областей использования функций Йоста является описание квантовых резонансов. Эти промежуточные квази-связанные состояния сталкивающихся частиц важны для понимания природы различных процессов в ядерной, атомной и молекулярной физике. Резонансные состояния играют определяющую роль также и во многих процессах взаимодействия электронов с полупроводниковыми нано-структурами.

Предпринималось немало усилий в развитии методов расчета энергий квантовых ре-зонансов и их ширин. Весьма полный обзор таких методов можно найти, например, в книге [63]. Весь спектр разнообразных подходов к этой проблеме можно условно разделить на две большие группы.

К первой из них можно отнести все методы, основанные на традиционных вычислениях с физическими энергиями, т.е. исключительно вдоль действительной оси. Методы этой группы относительно просты и дают возможность достаточно точно находить энергии (Ег) узких резонансов, но сталкиваются со значительными трудностями при определении их ширин (Г), и, как правило, терпят полный провал при попытке анализа широких резонансов.

Вторая группа объединяет методы, в которых вычисления делаются при комплексных энергиях. Это даёт возможность одновременного нахождения и резонансной энергии, и ширины,

Е = Е, - -Г , г 2 '

причём, с одинаковой точностью. Эти «комплексные» методы обладают тем преимуществом, что они основаны на строгом математическом определении квантового резонанса, как полюса матрицы рассеяния. Таким образом, в дополнение к нахождению резонансных параметров, они дают некоторую информацию об аналитических свойствах Б-матрицы, а также о вне-массовом поведении соответствующего потенциала взаимодействия. Од-

нако, платой за универсальность яляется то, что «комплексные» методы значительно сложнее «реальных» и требуют более утонченных математических и вычислительных подходов.

Обычно методы вычисления при комплексных энергиях именуются «методами прямого вычисления», но это название чаще всего даётся в кавычках (см., например, [64]), потому что большинство из них основаны на разложениях резонансной волновой функции по тому или иному базису квадратично интегрируемых функций с последующим определением коэфициентов разложения путём либо диагонализации неэрмитова Гамильтониана, либо используя какую-нибудь вариационную процедуру.

Подход, развиваемый нами (и представленный в данной диссертации), формально принадлежит ко второй группе, т.е. к группе «комплексных» методов. Он основан на точных дифференциальных уравнениях (предложенных в наших работах) для функций, которые близко-родственны решениям Йоста и совпадают с функциями Йоста в пределе больших расстояний (r ^ œ). В отличие от традиционных подходов, он прост в применении и, хотя и использует комплексное вращение координаты, не основан ни на каких разложениях или вариационных процедурах. Вместо этого в нашем подходе функция Йо-ста (или матрица Йоста в много-канальном случае) для любого комплексного значения энергии получается путём (численного) решения точных дифференциальных уравнений, которые эквивалентны исходному уравнению Шредингера. По этой причине его с полным правом можно назвать методом прямого вычисления (без кавычек).

С целью продемонстрировать эффективность и точность нашего метода, он был опробован в целом ряде модельных задач, где для сравнения имеются результаты других вычислений [65-74]. Нам удалось не только воспроизвести все ранее полученные в этих работах резонансы, но и обнаружить регулярные последовательности резонансных полюсов матрицы рассеяния, которые были упущены в предыдущих работах. В дополнение к полюсам на Римановой поверхности энергии, наш метод позволил найти соответствующие полюса Редже на комплексной плоскости углового момента. Причем, для поиска полюсов Редже не требуется никакой модификации метода, т.к. угловой момент является простым параметром, который может принимать и комплексные значения.

Применение метода функций (матриц) Йоста не ограничилось модельными задачами. Он был также успешно использован для анализа свойств таких ядерных физических систем, как (NN) [6], (nnn) [1,5], (nnnn) [5], (Лига) и (ЛЛп) [17], (ЛА) с 6 ^ A ^ 207 [26], а также для расчета слабосвязанной молекулы (4He-4He) [7]. Наш метод активно применяется японско-бельгийско-китайской коллаборацией (H. Masui, T. Myo, K. Kato, K. Ikeda, C. Kurokawa, D. Baye и Y.K. Ho) в расчетах таких систем, как 5He and 10Li [75,76], (16O-a), (9Li-n), и (16O-n) [77], 17O и 18O [78], (4He-n) [79]. Кроме того, в рамках этого метода изучалось влияние поглощающей части оптического потенциала на свойства двух-и трех-частичных систем [80].

* * *

Практически все, упомянутые выше расчеты, принадлежат классу так называемых «прямых задач», в которых свойства физической системы получают по заданному потенциалу взаимодействия. Существует потребность и в решении «обратной задачи», где взаимодействие неизвестно, а свойства системы выводятся (тоже теоретически) из анализа экспериментальных данных.

В своей максимальной постановке «обратная задача» предполагает полное восстановление потенциала по наблюдаемым данным. Выше уже говорилось о том, что функции

Йоста в свое время послужили важным инструментом в поиске решения такой «максимальной обратной задачи». В работах, составляющих основу данной диссертации, мы касаемся этой задачи лишь периферически. Ей посвящены только две наши публикации, а именно, [9] и [10], где мы исследуем возможные неоднозначности при восстановлении потенциала. В частности, мы показали, что так называемое супер-симметричное преобразование потенциала может (в некоторых случаях) приводить к возникновению дополнительных «духовых» компонент в функции Йоста, которые соответствуют новым связанным состояниям, но оставляют S-матрицу неизменной. Мы также продемонстрировали важность учёта резонансов при восстановлении эффективных межъядерных потенциалов по данным рассеяния. Их важность следует из того факта, что распределение резонансных полюсов оказывает влияние на величины асимптотических нормализацион-ных коэффициентов в волновых функциях связанных состояний, а эти асимптотические коэффициенты входят в процедуру восстановления потенциала.

Если отвлечься от её строгой математической постановки, «обратная задача» в большинстве практических исследований рассматривается в значительно более усечённом виде, а именно, как получение любой возможной информации из теоретического анализа экспериментальных данных. При анализе сечений рассеяния наиболее важной информацией является спектр резонансных и связанных состояний сталкивающихся частиц.

Самым распространённым видом такого анализа является подгонка экспериментальных сечений с помощью некой S-матрицы, содержащей свободные параметры, с последующим поиском полюсов этой матрицы. Существует множество различных подходов к этой проблеме, которые различаются тем, как строится параметризованная S-матрица. Это может быть чисто феноменологическое выражение, основанное на интуиции исследователя, или нечто, имеющее под собой теоретический базис, как, например, в R-матричном подходе.

Наиболее простой из подобных параметризаций является старая формула Брейта-Вигнера [81-83], в которой полюс заложен изначально, а его координаты (резонансная энергия и ширина) служат подгоночными параметрами. Несколько усложненная версия того же самого подхода основана на параметризации Фано [84], где амплитуда разбита на резонансную и фоновую части, что делает её более реалистичной и позволяет фитиро-вать сложные зигзаги сечения. В том же ряду стоит параметризация Лорана-Питаринена (см., например, [85-87]), которая, по сути, реализует теорему Миттаг-Леффлера [88], позволяющую разбивать мероморфную функцию на полюсное и гладкое слагаемые. Ещё один популярный подход основан на аппроксимации матрицы рассеяния отношением двух полиномов, т.е. на так называемом Pade-приближении [63, 89,90]. В нашей работе [16] предложена и протестирована подобная схема параметризации с использованием функций Йоста. В ядерной физике и физике элементарных частиц резонансы обычно вводятся в процедуру фитирования через модельный пропагатор с явной сингулярностью при комплексной энергии (unitary isobar model) [91-93].

Среди всех этих методов особняком стоит R-матричная параметризация [94,95]. В отличие от других методов, построение R-матрицы стартует с точного многоканального уравнения Шредингера. Правда, в ходе этого построения используется целый ряд приближений. И тем не менее, R-матричный анализ на сегодняшний день считается наиболее точным и достоверным. Достаточно сказать, что большая часть таблиц ядерных резонансов, которые можно найти в литературе, получены с помощью R-матричного фитирования.

Все подобные методы анализа данных рассеяния основаны на известной в комплексном анализе теореме [96]: две аналитические функции, совпадающие на отрезке кривой, идентичны во всей области их аналитичности. Иными словами, если приближенная (подогнанная) Б-матрица совпадает с точной на отрезке действительной оси, то есть надежда, что она имеет те же полюса (что и точная) при комплексных энергиях.

Разумеется, в условии этой математической теоремы имеется ввиду абсолютно точное совпадение двух функций, чего на практике достичь невозможно. Однако обычно предполагается, что, чем точнее подгонка данных, тем на большем расстоянии от действительной оси можно «доверять» приближенной Б-матрице.

Многие авторы (см., например, главу 6 книги [63], а также работы [93,97,98]) обращают внимание на то, что для заслуживающего доверия аналитического продолжения матрицы рассеяния чрезвычайно важно использовать такую параметризацию, которая сохраняет правильные аналитические свойства этой матрицы, т.е. её точки ветвления, различные симметрии и т.д. Этого относительно легко добиться в одно-канальной задаче [63] и с некоторыми усилиями и ограничениями в двух-канальном случае (см. представление Далица-Туана в работах [99, 100]). Однако, если число каналов превышает два, да ещё если присутствуют Кулоновские силы, в рамках традиционных подходов построение Б-матрицы с правильными свойствами становится очень сложным, или вообще невозможным [100,101].

В наших работах [18-25] предложена и протестирована на модельных задачах универсальная параметризация матриц Йоста (а через них и Б-матрицы) для любого числа каналов и любого потенциала (с Кулоновскими силами и без них). Эта параметризация с успехом использовалась для анализа двухканальных систем ^ [28] и р7Ве [30], а также одноканальных резонансов в а12 С столкновениях [29]. Этот подход основан на полученном нами полу-аналитическом представлении матриц Йоста (2, 3), в котором все факторы, ответственные за точки ветвления, даны в явном виде. Это гарантирует правильную аналитическую структуру параметризованной Б-матрицы.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ракитянский Сергей Анатольевич, 2020 год

Литература

[1] V.V. Pupyshev, S.A. Rakityansky, Semianalytical treatment of the N-body problem with complex total energy within the hyperspherical approach, Zeitschrift fur Physik, A348, pp.227-232(1994)

[2] S.A. Rakityansky, S.A. Sofianos, M. Braun, V.B. Belyaev, and W. Sandhas, Quasibound states of n-nucleus systems, Phys. Rev. C, 53(5), pp. R2043-R2047 (1996)

[3] S.A. Rakityansky, S.A. Sofianos, K. Amos, A method of calculating the Jost functionfor analytic potentials, Nuovo Cimento, B111, pp. 363-378 (1996)

[4] S.A. Sofianos, S.A. Rakityansky, Exact method for locating potential resonances and Regge trajectories, Journal of Physics, A30, pp. 3725-3737 (1997)

[5] S.A. Sofianos, S.A. Rakityansky, G.P. Vermaak, Sub-threshold resonances in few-neutron systems, Journal of Physics, G23, pp. 1619-1629 (1997)

[6] S.A. Rakityansky, S.A. Sofianos, Jost function for coupled partial waves, Journal of Physics, A31, pp. 5149-5175 (1998)

[7] S.A. Sofianos, S.A. Rakityansky, S.E. Massen, Jost Function for Singular Potentials, Phys. Rev. A60, pp. 337-343 (1999)

[8] S.A. Rakityansky, S.A. Sofianos, Jost function for coupled channels, Few-Body Systems Suppl., 10, pp. 93-96 (1999)

[9] S.E. Massen, S.A. Sofianos, S.A. Rakityansky, S. Oryu, Resonances and off-shell characteristics of effective interactions, Nucl. Phys. A654, pp. 597-611 (1999)

[10] M. Lassaut, S.Y. Larsen, S.A. Sofianos, S. A. Rakityansky, Ghost Components in the Jost Function and a New Class of Phase Equivalent Potentials, Journal of Physics, A34, pp.2007-2022 (2001)

[11] S.A. Rakityansky, Unified treatment of bound, scattering, and resonant states in semiconductor nano-structures, Phys. Rev., B68, 195320 (2003)

[12] S.A. Rakityansky, Modified Transfer-matrix for nano-structures with arbitrary potential profile, Phys. Rev., B70, 205323 (2004)

[13] S.A. Rakityansky, N. Elander, Analyzing the contribution of individual resonance poles of the S-matrix to two-channel scattering, Int. J. Quantum Chem., 106, pp. 1105-1129, (2006)

[14] S.A. Rakityansky, N. Elander, Analysis of individual resonance contributions to two-channel scattering, South African Journal of Science, 102, pp. 73-77, (2006)

[15] N. Elander, K. Shylyaeva, V.N. Ostrovsky, E. Yarevsky, S. Rakityansky, Tools for assigning resonance structures in collisions of few-body quantum systems, Few-Body Systems, 38, pp. 109-114, (2006)

[16] S.A. Rakityansky, S.A. Sofianos, N. Elander, Pade approximation of the S-matrix as a way of locating quantum resonances and bound states, Journal of Physics, A40, pp. 14857-14869 (2007)

[17] S.A. Rakityansky, V.B. Belyaev, W. Sandhas, Three-body resonances Lambda-n-n and Lambda-Lambda-n, Nucl. Phys., A803, pp. 210-226 (2008)

[18] S .A. Rakityansky, N. Elander, Generalized effective-range expansion, Journal of Physics, A42, 225302 (2009)

[19] S.A. Rakityansky, N. Elander, Multi-channel analog of the effective-range expansion, Journal of Physics, A44, 115303 (2011)

[20] S.A. Rakityansky, N. Elander, Analytic structure and power-series expansion of the Jost function for the two-dimensional problem, Journal of Physics, A45, 135209 (2012)

[21] S.A. Rakityansky, N. Elander, Analytic structure of the multichannel Jost matrix for potentials with Coulombic tails, Journal of Mathematical Physics, A54, 122112 (2013)

[22] S.A. Rakityansky, N. Elander, A method for extracting the resonance parameters from experimental cross-sections, International Journal of Modern Physics, E22, 1350032 (2013)

[23] N. Elander, S.A. Rakityansky, Resonances and Their Relations to Spectral Densities and Scattering Cross Sections in the Schrodinger Formulation, Few-Body Systems, 54, pp. 685-695 (2013)

[24] S.A. Rakityansky, N. Elander, Analytic Structure and Power-Series Expansion of the Jost Matrix, Few-Body Systems, 54, pp. 673-683 (2013)

[25] P. Vaandrager and S.A. Rakityansky, Extracting the resonance parameters from experimental data on scattering of charged particles, International Journal of Modern Physics, E25, 1650014 (2016)

[26] S.A. Rakityansky, I.M. Gopane, Effective-range parameters and vertex-constants for Lambda-nuclear systems, International Journal of Modern Physics, E26,1750014 (2017)

[27] S.A. Rakityansky, Partial widths of a multi-channel resonance, Journal of Physics: Conf. Series, 915, 012008 (2017)

[28] S.A. Rakityansky and S.N. Ershov, Jost-matrix analysis of the resonance 5He*(| ) near the dt-threshold, International Journal of Modern Physics, E28 (8), 1950064 (37 pages) (2019)

[29] P. Vaandrager and S.A. Rakityansky, Residues of the s-matrix for several a12C resonances from the Jost function analysis, Nucl. Phys., A992,121627 (15 pages) (2019)

[30] S.A. Rakityansky, S.N. Ershov, T.J. Tshipi, Resonance states 0+ of the Boron isotope 8B from the Jost-matrix analysis of experimental data, International Journal of Modern

Physics, E28 (8), 1950083 (21 pages) (2019)

* * *

[31] Res Jost, Über die falschen Nullstellen der Eigenwerte der S-Matrix, Helvetica Physica Acta, 20, pp. 256-266 (1947)

[32] S.T. Ma, Redundant zeros in the discrete energy spectra in Heisenberg's Theory of characteristic matrix, Phys. Rev. 69, 668 (1946)

[33] D. ter Haar, On the redundant zeros in the theory of the Heisenberg matrix, Physica, 12(8), pp. 501-508 (1946)

[34] Res Jost and Walter Kohn, Construction of a Potential from a Phase Shift, Phys. Rev. 87, pp.977-992 (1952)

[35] K. Chadan and P.C. Sabatier, Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, SpringerVerlag, New York, Heidelberg, Berlin (1977)

[36] Tullio Regge, Introduction to complex orbital momenta, Nuovo Cimento, 14, pp. 951-976 (1959)

[37] Roger G. Newton, Nonrelativistic S-Matrix Poles for Complex Angular Momenta, J. Math. Phys., 3, pp. 867-882 (1962)

[38] Marcel Froissart, Complex Angular Momenta in Potential Scattering, J. Math. Phys., 5, pp. 922-927 (1962)

[39] Roger G. Newton, The complex j-plane, (W.A. Benjamin, Inc., New York, Amsterdam, 1964)

[40] R. Jost and W. Kohn, Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat. Fys. Medd. 27, No. 9 (1953)

[41] R.G. Newton, Analytic Properties of Radial Wave Functions, J. Math. Phys., 1, pp. 319-347 (1960)

[42] R.G. Newton, R. Jost, The construction of potential from the S-matrix for system of differential equations, Nuovo Cimento, vol. I, pp. 590-622 (1955)

[43] C.A.Lopez, I.Saavedra, Analyticity of the jost functions for the coulomb potential in the complex angular momentum plane, Nucl. Phys., vol. 53, pp. 519-528 (1964)

[44] Chindhu S. Warke, The Jost Function of a Momentum-Dependent Potential, J. Math. Phys., 13, pp. 1-3 (1972)

[45] H.E. Moses, Generalization of the Jost functions, J. Math. Phys., 5, pp. 833-840 (1964)

[46] L.D. Faddeev, Scattering theory for a three-particle system, Soviet Physics JETP, 12(5), pp. 1014-1019(1961)

[47] Michael G. Fuda and James S. Whiting, Generalization of the Jost function and its application to off-shell scattering, Phys. Rev. C, 8(4), pp. 1255-1261 (1973)

[48] B. Talukdar, M. N. Sinha Roy, N. Mallick, and D.K. Nayek, Off-shell Jost function and T matrix for the Morse potential, Phys. Rev. C, 12, pp. 370-373 (1975)

[49] Michael G. Fuda, Some results on the off-shell Jost function, Phys. Rev. C, 14, pp. 37-39 (1976)

[50] U. Laha, Off-Shell Jost Solution for the Hulthen Potential, Few-Body Syst., 59, 68, 10 pages(2018)

[51] J.M.J. Van Leeuwen and A.S. Reiner, On the calculation of the t-matrix for potentials with a hard core, Physica, 27, pp. 99-110 (1961)

[52] S. Gasiorowicz and H.P. Noyes, Dispersion Relation for Potential Scattering, Nuovo Cimento, 10(1), pp. 78-89 (1958)

[53] Abraham Klein and Charles Zemach, Analytic Properties of the Amplitude for the Scattering of a Particle by a Central Potential, Annals of Physics, 7, pp. 440-455 (1959)

[54] J.J Giambiagi, T.W. Bkibble, Jost functions and dispersion relations, Annals of Physics, 7, pp. 39-51 (1959)

[55] Дж. Чью, Аналитическая теория S-матрицы (Мир, Москва, 1968)

[56] P.D.B. Collins, Euan J Squires, Regge Poles in Particle Physics (Springer, 1968)

[57] Marvin L. Goldberger and Kenneth M. Watson, Collision Theory, (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1964)

[58] В. де Альфаро, Т. Редже, Потенциальное рассеяние (Мир, Москва, 1966)

[59] А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике (Наука, Москва, 1966)

[60] Р. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц (Мир, Москва, 1969)

[61] Ф.Г. Ситенко, Лекции по теории рассеяния, (Вища Школа, Киев, 1971)

[62] John R. Taylor, Scattering Theory: The quantum theory on nonrelativistic collisions, (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1972)

[63] V. I. Kukulin, V. M. Krasnopol'sky, and J. Horacek, Theory of Resonances: Principles and Applications (Academia, Praha, 1989)

[64] T.N. Rcscigno and C. William McCurdy Normalization of resonance wave functions and the calculation of resonance widths, Phys. Rev., A34(3), pp. 1882-1887 (1986)

[65] A.D. Isaacson, C.W. McCurdy, and W.H. Miller, On the possibility of calculating Siegert eigenvalues for autoionizing electronic states, Chem. Phys., 34, pp. 311-317 (1978)

[66] C.H. Maier, L.S. Cederbaum, and W. Domcke, A spherical-box approach to resonances, J. Phys. B: At. Mol. Phys., 13, pp. L119-L124 (1980)

[67] V.A. Mandelshtam, T.R. Ravuri, andH.S. Taylor, Calculation of the Density of Resonance States Using the Stabilization Method, Phys. Rev. Lett., 70, pp. 1932-1935 (1993)

[68] H.A. Yamani and M.S. Abdelmonem, Characterization of resonances using an exactmodel S-matrix, J. Phys. A: Math. Gen., 28, pp. 2709-2715 (1995)

[69] T. Noro and H.S. Taylor, Resonance partial widths and partial photodetachment rate using the rotated-coordinate method, J. Phys. B: Atom. Molec. Phys. 13, pp. L377-L381 (1980)

[70] J.N.L. Connor and A.D. Smith, Quantum complex rotation and uniform semiclassical calculations of complex energy eigenvalues, J. Chem. Phys., 78, pp. 6161-6172 (1983)

[71] H.W. Jang and J.C. Light, Finite range scattering wave function method for scattering and resonance lifetimes, J. Chem. Phys. 99, pp. 1057-1069 (1993)

[72] E. Anemogiannis, E.N. Glytsis, T.K. Gaylord, Quantum reflection pole method for determination of quasiboundstates in semiconductor heterostructures, Superlattices and Microstructures, 22(4), pp. 481-496 (1997)

[73] E. Anemogiannis, E.N. Glytsis, and T.K. Gaylord, Quasibound state determination of arbitrary-geometry quantum heterostructures, Microelectron. J., 30, pp. 935-951 (1999)

[74] F.M. Fernandez, Tunnel resonances for one-dimensional barriers, Chem. Phys. Lett., 281, pp. 337-342 (1997)

[75] Hiroshi Masui, Shigeyoshi Aoyama, Takayuki Myo, Kiyoshi Kato, Kiyomi Ikeda, Study of virtual states in 5 He and 10Li with the Jost function method, Nucl. Phys., A 673, pp. 207-218 (2000)

[76] Hiroshi Masui, Shigeyoshi Aoyama, Takayuki Myo, Kiyoshi Kato, Kiyomi Ikeda, Study of resonant and virtual states with the complex scaling method and the developments, Nucl. Phys., A 684, pp. 609c-611c (2001)

[77] Hiroshi Masui, Chie Kurokawa and Kiyoshi Kato, Study of Resonance States in a Coupled-Channel System with the Jost Function Method Applying the Orthogonality Condition Model, Progress of Theoretical Physics, 110(2), pp. 233-246 (2003)

[78] Hiroshi Masui, Takayuki Myo, Kiyoshi Kato and Kiyomi Ikeda, Coupled-channel study for O-isotopes with the core plus valence neutrons model, Nucl. Phys., A 722, pp. 469c-473c (2001)

[79] Hiroshi Masui1, Shigeyoshi Aoyama, and Daniel Baye, Jost function method on a Lagrange mesh, Prog. Theor. Exp. Phys., vol. 2013, 123A02 (15 pages) (2013)

[80] H. Masui and Y.K. Ho, Resonance states with the complex absorbing potential method, Phys. Rev., C65, 054305, 6 pages (2002)

[81] G. Breit and E. Wigner, Capture of Slow Neutrons, Phys. Rev., 49, 519 ( 1936)

[82] S. Ceci, M. Hadzimehmedovic, H. Osmanovic, A. Percan and B. Zauner, Fundamental properties of resonances, Scientific Reports, 7, 45246, 7 pages (2017)

[83] S. Ceci, M. Vuksic, and B. Zauner, Physical properties of resonances as the building blocksof multichannel scattering amplitudes, arXiv:1702.00659v1 [hep-ph] (2017)

[84] U. Fano, Effects of Configuration Interaction on Intensities and Phase Shifts, Phys. Rev., 124, 1866 (1961)

[85] E. Pietarinen, Fixed momentum transfer analysis ofpion-nucleon scattering, Nucl. Phys., B107, 21-44 (1976)

[86] A. Svarc, M. Hadzimehmedovic, H. Osmanovic, J. Stahov, L. Tiator, and R. L. Workman, Introducing the Pietarinen expansion method into the single-channel pole extraction problem, Phys. Rev., C88, 035206, 13 pages (2013)

[87] Alfred Svarc, Mirza Hadzimehmedovic, Hedim Osmanovic, Jugoslav Stahov, Lothar Tiator, Ron L. Workman, Generalization of the model-independent Laurent-Pietarinen single-channel pole-extraction formalism to multiple channels, Physics Letters, B 755, pp.452-455(2016)

[88] H. Jeffreys, B.S. Jeffreys, Methods of mathematical physics, p.383 (3rd Ed., Cambridge University Press, Cambridge, England, 1988)

[89] Pere Masjuan, Juan Jose Sanz-Cillero, Pade approximants and resonance poles, Eur. Phys. J., C73, 2594, 14 pages (2013)

[90] Pere Masjuan, Jacobo Ruiz de Elvira, and Juan Jose Sanz-Cillero, Precise determination of resonance pole parametersthrough Pade approximants, Phys. Rev., D90, 097901, 5 pages(2014)

[91] T.-S. H. Lee, Models for extracting n * parameters from meson-baryon reactions, in: Nstar 2005: Proceedings of the Workshop on the Physics of Excited Nucleons, World Scientific Pub Co Inc, p.1 (2006)

[92] L. Tiator, S. Kamalov, MAID analysis techniques, in: Nstar 2005: Proceedings of the Workshop on the Physics of Excited Nucleons, World Scientific Pub Co Inc, p.16 (2006)

[93] M. Hadzimehmedovic, S. Ceci, A. Svarc, H. Osmanovic, and J. Stahov, Poles, the only true resonant-state signals, are extracted from a worldwide collection of partial wave amplitudes using only one, well controlled pole-extraction method, Phys. Rev., C84, 035204 15 pages(2011)

[94] A.M. Lane and R.G. Thomas, R-matrix theory of nuclear reactions, Rev. Mod. Phys., 30(2), pp. 257-353 (1958)

[95] Philip G. Burke, R-Matrix Theory of Atomic Collisions, (Springer, Heidelberg-Dordrecht-London-New York, 2011)

[96] А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов, Теория функций комплексной переменной, (ФИЗ-МАТЛИТ, Москва, 2005)

[97] N. Suzuki, T. Sato, T.-S. H. Lee, Extraction of resonances from meson-nucleon reactions, Phys. Rev., C79, 025205, 16 pages (2009)

[98] S. Ceci, M. Doring, C. Hanhart, S. Krewald, U.-G. Meissner, and A. Svarc, Relevance of complex branch points for partial wave analysis, arXiv: 1104.3490v1 [nucl-th] (2011)

[99] R.H. Dalitz and S.F. Tuan, The Phenomenological Representation of K-Nucleon Scattering and Reaction Amplitudes, Ann. Phys., 10(3), pp. 307-351 (1960)

[100] A. M. Badalyan, L. P. Kok, M. I. Polikarpov, Yu. A. Simonov, Resonances in coupled channels in nuclear and particle physics, Phys. Rep., 82(2), pp. 31-177 (1982)

[101] Yurii S. Surovtsev, Petr Bydzovsky, Robert Kaminski, Valery E. Lyubovitskij, and Miroslav Nagy, Parameters of scalar resonances from the combined analysis of data on processes nn ^ nn, kk, щ and j/гф decays, Phys. Rev., D89, 036010, 9 pages (2014)

[102] R.Kronig, A supplementary condition in Heisenberg's theory of elementary particles, Physica, 12(8), pp. 543-544 (1946)

[103] Walter Schutzer and J. Tiomno, On the Connection of the Scattering and Derivative Matrices with Causality, Phys. Rev., 83(2), pp. 249-251 (1951)

[104] N.G. van Kampen, s Matrix and Causality Condition. II. Nonrelativistic Particles, Phys. Rev., 91(5), pp. 1267-1276 (1953)

[105] M. Gell-Mann, M. L. Goldberger, and W. E. Thirring, Use of Causality Conditions in Quantum Theory, Phys. Rev., 95(6), pp. 1612-1627 (1954)

[106] N.N. Khuri, Analyticity of the Schrodinger Scattering Amplitude and Nonrelativistic Dispersion Relations, Phys. Rev., 107(4), pp. 1148-1156 (1957)

[107] Charles J. Joachain, Quantum Collision Theory, (North Holland Publishing Company, Amsterdam, Oxford, 1975)

[108] Ning Hu, On the Ayplication of Heisenberg's Theory of S-Matrix to the Problems of Resonance Scattering and Reactions in Nuclear Physics, Phys. Rev., 74(2), pp. 131-140 (1948)

[109] Tullio Regge, Analytic properties of the scattering matrix, Nuovo Cimento, 8(5), pp. 671-679 (1958)

[110] M. Simonius, Overlapping resonances and unitarity of the scattering matrix, Nucl. Phys. A218(1), pp. 53-60 (1974)

[111] A.K. Мотовилов, Аналитическое продолжение матрицы рассеяния в многоканальной задаче, ТМФ, 95(3), pp. 427-438 (1993)

[112] A.K. Мотовилов, Analytic continuation of the scattering matrix in multichannel problem and the Lax-Phillips approach, ЯФ, 56(7), pp. 61-65 (1993)

[113] A.K. Мотовилов, Переформулировка схемы Лакса-Филлипса в терминах стационарной теории рассеяния, ТМФ, 98, pp. 248-265 (1994)

[114] A.K. Motovilov, Resonances of Multichannel Systems, Proceedings of the DST-UNISA-JINR Symposium, Skukuza, Kruger National Park, South Africa, February 5-9, 2007, pp. 136-150 (UNISA, Pretoria, 2007)

[115] E.P. Wigner, Resonance Reactions and Anomalous Scattering, Phys. Rev., 70(1), pp. 15-33(1946)

[116] R.H. Dalitz, Resonance: Its Description, Criteria and significance, Lect. Notes in Phys. 211, pp. 1-26 (1984)

[117] T.P. Vrana, S.A. Dytman, T.-S.H. Lee, Baryon resonance extraction from nN data using a unitary multichannel model, Phys. Rep., 328, pp. 181-236 (2000)

[118] R.E. Cutkosky and B.B. Deo, Optimized Polynomial Expansion for Scattering Amplitudes, Phys. Rev., 174(5), pp. 1859-1866 (1968)

[119] F.J. Yndurain, Stable Extrapolation of Scattering Amplitudes Using Unitarity, Ann. Phys., 75(1), pp. 171-218 (1973)

[120] A. Galindo, I. Nagy, R. Diez Muino, and P.M. Echenique, Curvature of the total electron density at critical coupling, Phys. Rev., B72, 125113, 5 pages (2005)

[121] A.M. Gorbatov et al., Yad. Fiz., 50, 347 (1989)

[122] Р.И. Джибути, Н.Б. Крупенникова, Метод гиперсферических функций в квантовой механике нескольких тел, (Мецниереба, Тбилиси, 1984)

[123] С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев, Теория рассеяния для систем нескольких частиц (Наука, Москва, 1985)

[124] L. Brand, Differential and difference equations (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1966)

[125] И.И. Привалов, Интегральные уравнения (Объединенное Научно-Техническое Издательство НКТП СССР, Москва, 1935)

[126] M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds.), Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Tenth Printing (National Bureau of Standards, Washington, 1972)

[127] R.P. Boas, Invitation to complex analysis (Random House, New York, 1987)

[128] F. Klopp, M. Zworski, Generic simplicity of resonances, Helvetica Physica Acta, 68, pp. 531-538 (1995)

[129] G. Green, On the motion of waves in a variable canal of small depth and width, Trans. Cambridge Philos. Soc., 6, pp. 457-462, (1837)

[130] M.V. Fedoryuk, Asymptotic Analysis, (Springer-Verlag, Berlin, 1991)

[131] W. Wasow, Linear turning point theory, (Springer-Verlag, New York, 1985)

[132] E.T. Whittaker, G.N. Watson, A course of modern analysis, (Cambridge University Press, Cambridge, 1950)

[133] H. Poincare, Sur les groupes des equations lineaires, Acta Math., 4, pp. 201-311 (1884)

[134] G.E. Brown and A.D. Jackson, The Nucleon Nucleon Interaction, (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1976)

[135] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 77, (Cambridge University Press, New York, 1997)

[136] A.D. Isaacson, C.W. McCurdy, and W.H. Miller, On the possibility of calculating Siegert eigenvalues for autoionizing electronic states, Chem. Phys., 34, pp. 311-317 (1978)

[137] C.H. Maier, L.S. Cederbaum, and W. Domcke, A spherical-box approach to resonances, J. Phys. B: Atom. Molec. Phys., 13, pp. L119-L124 (1980)

[138] V.A. Mandelshtam, T.R. Ravuri, and H.S. Taylor, Calculation of the Density of Resonance States Using the Stabilization Method, Phys. Rev. Lett., 70, pp. 1932-1935 (1993)

[139] H.A. Yamani and M.S. Abdelmonem, Characterization of resonances using an exact model S-matrix, J. Phys. A: Math. Gen., 28, pp. 2709-2715 (1995)

[140] L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, (Pergamon Press, Oxford, 1965)

[141] Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, (AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992)

[142] Particle Data Group, Phys. Rev., D 50(3), 1319 (1994)

[143] L.D. Blokhintsev, V.O. Eremenko, B.F. Irgaziev, Yu.V. Orlov, Vertex Constants (Asymptotic Normalization Coefficients) and Mean-Square Radii of Hypernuclei in the Potential Model, Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics, Vol. 71, No. 3, pp. 408-414 (2007)

[144] A. Messiah, Quantum Mechanics, Vol. I (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1966)

[145] J. Humblet, Analytic Structure and Properties of Coulomb Wave Functions for Real and Complex Energies, Annals of Physics, 155, pp. 461-493 (1984)

[146] E. Lambert, Fonction de portée effective et déplacement en énergie des états liés en présence d'un potentiel coulombien modifié, Helv. Phys. Acta, 42, pp. 667-677 (1969)

[147] Д.А. Варшалович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, (Наука, Ленинград, 1975)

[148] F. Palumbo, Behaviour at the origin of the partial waves in the hyperspherical expansion of many-particle wave functions, Phys. Lett., B69 pp. 275-277 (1977)

[149] R.V. Reid, Local phenomenological nucleon-nucleon potentials, Ann. of Phys., 50(3) pp. 411-448 (1968)

[150] V.I. Kukulin, V.N. Pomerantsev, V.M. Krasnopolskii, P.B. Sazonov, The NN-potential with forbidden state suggested from a six-quark model with one-pion exchange, Phys. Lett., B135, pp. 20-24 (1984)

[151] V.I. Kukulin, V.M. Krasnopolskii, V.N. Pomerantsev, P.B. Sazonov, Realistic NN potential without a repulsive core, Sov.J.Nucl.Phys., 43(3) pp. 355-361 (1986)

[152] F. Michel, G. Reidemeister, Connection of Kukulin's nucleon-nucleon deep potential with realistic repulsive core interactions, Zeitschrift fur Physik, A329(4), pp. 385-392 (1988)

[153] K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J.Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, (Cambridge University Press, 2008)

[154] C.F. Gerald, P.O. Wheatley, Applied Numerical Analysis, 5-th Ed., (Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1994), pp. 406-407.

[155] H. Masui, S. Aoyama, T. Myo, and K. Kato, Partial Decay Widths in Coupled-Channel Systems with the Complex-Scaled Jost Function Method, Prog. Theor. Phys., 102, pp. 1119-1131(1999)

[156] N. Moiseyev and U. Peskin, Partial widths obtained by the complex resonance-scattering theory, Phys. Rev., A 42, pp. 255-260 (1990)

[157] А.А. Самарский Введение в теорию разностных схем, (Наука, Москва, 1971)

[158] A. Kuppermann, In: Potential Energy Surfaces andDynamics Calculations for Chemical Reactions and Molecular Energy Transfer, Edited by D. G. Truhlar, Plenum Press, New York, 1981, pages 375-420.

[159] F.J. Aoiz, L. Banares, J.F. Castillo, Energy dependence of forward scattering in the differential cross section of the H + D2 ^ = 3, j' = 0) + D reaction, J. Chem. Phys., 117 (6), pp. 2546-2556, (2002)

[160] R.H. Dalitz, In: Resonances - Models and Phenomena, Lecture Notes in Physics, v. 211, pp. 1-26, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

[161] M. H. Ross, G. L. Shaw, Scattering length and effective range theory for multi-channel processes, Annals of Physics: 9, 391-415, (1960).

[162] M. H. Ross, G. L. Shaw, Multichannel effective range theory, Annals of Physics: 13, 147-186, (1961).

[163] P. Nath, G. L. Shaw, Multichannel effective-range theory from the N/ D formalism, Phys. Rev., 138 B, (3), 702, (1965).

[164] M. W. Kermode, Effective range theory for multi-channel scattering, Nucl. Phys., A99, 605-624, (1967).

[165] D. W. L. Sprung, M. W. Kermode, S. Klarsfeld, On the application of effective-range theory to the 3Si — 3D1 state of the neutron-proton system, J.Phys.G: Nucl.Phys., 8, 923-935, (1982).

[166] L. Rosenberg, Multichannel effective-range theory with long-range interactions, Phys. Rev. A57,(3), 1862-1869, (1998).

[167] Claus E. Rolfs and William S. Rodney, Cauldrons in the Cosmos, (The University of Chicago Press, Chicago and London, 1988)

[168] D.R. Tilley, H.R. Weller, C.M. Cheves, Energy Levels of Light Nuclei A =16 — 17, Nucl. Phys., A564, pp. 1-183(1993)

[169] H. M. Xu, C. A. Gagliardi, R. E. Tribble, A. M. Mukhamedzhanov, N. K. Timofeyuk, Overall Normalization of the Astrophysical S Factor and the Nuclear Vertex Constant for 7Be(pY)8B Reactions, Phys.Rev.Lett., 73(15), pp. 2027-2030 (1994)

[170] B. F. Irgaziev and Yu. V. Orlov, Resonance properties including asymptotic normalization coefficients deduced from phase-shift data without the effective-range function, Phys. Rev. C 98, 015803(2018)

[171] R. Plaga, H. Becker, A. Redder, C. Rolfs, and H. Trautvetter, The Scattering of Alpha particles from 12C and the 12C(a, y)160 stellar reaction rate, Nucl. Phys. A 465, pp. 291-316(1987)

[172] P. Tischhauser et al., Elastic a — 12C Scattering and the 12C(a, y)160 E2 S Factor, Phys. Rev. Lett. 88, 072501(2002)

[173] P. Tischhauser et al., Measurement of elastic 12C + a scattering: Details of the experiment, analysis, and discussion of phase shifts, Phys. Rev. C 79, 055803(2009)

[174] T.N. Rescigno, C.W. McCurdy, Normalization of resonance wave functions and the calculation of resonance widths, Phys. Rev., A34, 1882-1887 (1986)

[175] T. Berggren, On the use of resonant states in eigenfunction expansions of scattering and reaction amplitudes, Nucl.Phys., A109, 265-287 (1968)

[176] M. Castagnino, R. Id. Betan, R. Laura, R.J. Liotta, Quantum decay processes and Gamov states, Journal of Phys., A35, pp. 6055-6074 (2002)

[177] D.R. Tilley et al., Energy Levels of Light Nuclei A = 5, 6, 7, Nucl. Phys., A708, pp. 3-163(2002)

[178] B.Haesner, W. Heeringa, H.O. Klages, H. Dobiasch, G. Schmalz, P. Schwarz, J. Wilczynski, and B.Zeitnitz, Measurement of the 3He and 4He total neutron cross sections up to 40 MeV, Phys.Rev., C28 (3), 995-999 (1983)

179] N. Jarmie, R. E. Brown, and R.A. Hardekopf, Fusion-energy reaction 2H(t,a)n from Et = 12.5 to 117 keV, Phys.Rev., C29 (6), 2031-2046 (1984); Erratum: Phys.Rev., C33 (1), 385 (1986)

180] R.E. Brown, N. Jarmie, G.M. Hale Fusion-energy reaction 3H(d, a)n at low energies, Phys.Rev., C35 (6), 1999-2004 (1987)

3 +

181] G.M. Hale, Ronald E. Brown, Nelson Jarmie, Pole Structure of the J71 = § Resonance in 5He, Phys.Rev.Lett., 59, 763-766 (1987)

182] B.M. Karnakov, V.D. Mur, S.G. Pozdnyakov, V.S. Popov, Analytic structure of the amplitude of dt scattering near the elastic threshold, JETP Lett., 51 (7), 399-402 (1990)

183] I.N. Bogdanova, G.M. Hale, V.E. Markushin, Analytical structure of the S matrix for

3 +

the coupled channel problem d + t —> n + a and the interpretation of the J71 = ^ resonance in 5He, Phys.Rev., C44 (4), 1289-1295 (1991)

184] A. Csoto, R.G. Lovas, and A.T. Kruppa, Two-pole structure of the 3/2+ resonance of 5He in a dynamical microscopical model, Phys. Rev. Lett. 70, 1389 (1993)

185] V.D. Efros and H. Oberhummer, Ground-state energies and widths of the 5He and 5Li nuclei, Phys. Rev. C54, 1485 (1996)

186] A. Csoto and G.M. Hale, S-matrix and R-matrix determination of the low-energy 5He and 5Li resonance parameters, Phys. Rev. C55, 536 (1997)

187] F.C. Barker, |+ levels of5 He and 5Li, and shadow poles, Phys.Rev., C56 (5), 2646-2653 (1997)

188] M. Drosg, R. A. Ortiz, and B. Hoop, Re-evaluation of neutron-4He elastic scattering data near 20 MeV, Phys.Rev., C83 (6), 064616 (2011)

189] B. Hoop, G.M. Hale, P. Navratil, Neutron-4He Resonant Scattering at d-3H Threshold, arXiv:nucl-th,1111.0985 (2012)

190] P. Navratil and S. Quaglioni, Ab initio many-body calculations of the 3H(d,n)4He and 3He(d,p)4He fusion reaction, Phys. Rev. Lett. 108, 042503 (2012)

191] L.S. Brown and G.M. Hale, Field theory of the d + t ^ n + a reaction dominated by a 5He* unstable particle, Phys. Rev. C89, 014622 (2014)

192] G.M. Hale, L.S. Brown, and M. W. Paris, Effective field theory as a limit of R-matrix theory for light nuclear reactions, Phys. Rev. C89, 014623 (2014)

193] B. Hoop, Interaction of neutrons with alpha particles: A tribute to Heinz Barschall, arXiv:1503.04855 [physics.hist-ph] (2015)

194] R.M. Id Betan, A.T. Kruppa, T. Vertse, Shadow poles in coupled-channel problems calculated with the Berggren basis, Phys.Rev.,C97, 024307 (2018)

195] D.R. Tilley et al., Energy Levels of Light Nuclei A = 8, Nucl. Phys., A745, p. 155 (2004)

[196] J.P. Mitchell, G.V. Rogachev, E.D. Johnson, L.T. Baby, K.W. Kemper, A.M. Moro, P. Peplowski, A.S. Volya, and I. Wiedenhover, Structure of 8B from elastic and inelastic 7Be + p scattering, Phys. Rev., C87, 054617 (2013)

[197] W.M. Frank, D.J. Land, R. Spector, Singular potentials, Rev. Mod. Phys. 43(1), pp. 36-98 (1971)

[198] S. Flügge, Practical quantum mechanics, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg (1994)

[199] J.N.L. Connor and A.D. Smith, Quantum complex rotation and uniform semiclassical calculations of complex energy eigenvalues, J. Chem. Phys., 78, pp. 6161-6172 (1983)

[200] H.W. Jang and J.C. Light, Finite range scattering wave function method for scattering and resonance lifetimes, J. Chem. Phys. 99, pp. 1057-1069 (1993)

[201] R.A. Aziz, V.P. Nain, J.S. Carley, W.L. Taylor, An accurate intermolecular potential for helium, G.T. McConville, J. Chem. Phys., 70, pp. 4330-4342 (1979)

[202] R.A. Aziz, F.R.W. McCourt and C.C.K. Wong, A new determination of the ground state interatomic potential for He2, Mol. Phys., 61(6), pp. 1487-1511 (1987)

[203] E.A. Kolganova, A.K. Motovilov, and S.A. Sofianos, Three-body configuration space calculations with hard-core potentials, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 31, pp. 1279-1302 (1998)

[204] T. Cornelius and W. Glockle, Efimov states for three 4He atoms?, J. Chem. Phys., 85(7), pp.3906-3912(1986)

[205] S. Nakaichi-Maeda and T.K. Lim, Zero-energy scattering and bound states in the 4He trimer and tetramer, Phys. Rev. A, 28(2), pp. 692-696 (1983)

[206] Y.H. Uang and W.C. Stwalley, The possibility of a 4He2 bound state, effective range theory, and very low energy He-He scattering, J. Chem. Phys. 76(10), pp. 5069-5072 (1982)

[207] Low-dimensional Semiconductor Structures, edited by K. Barnham and D. Vvedensky, Cambridge University Press, Cambridge, (2001)

[208] Ying Fü, Magnus Willander, Physical Models of Semiconductor Quantun Devices, Klüwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London (1999)

[209] E.E. Mendez, K. von Klitzing, Physics and Applications of Quantum Wells and Superlattices, Plenum Press, New York and London (1987)

[210] E. Anemogiannis, E.N. Glytsis, and T.K. Gaylord, Quantum reflection pole method for determination of quasibound states in semiconductor heterostructures, Superlattices and Microstruct. 22(4), pp. 481-496 (1997)

[211] A.K. Aringazin, Yu. Dahnovsky, V.D. Krevchik, M.B. Semenov, A.A. Ovchinnikov, K. Yamamoto, Two-dimensional tunnel correlations with dissipation, Phys.Rev., B 68, 155426 (2003)

[212] D. Bollé, F. Gesztesy, Low-energy parametrization of scattering observables in n-dimensional quantum systems, Phys. Rev. Lett., 52(17), pp. 1469-1472 (1984)

[213] D. Bolle, F. Gesztesy, Scattering observables in arbitrary dimension n ^ 2, Phys. Rev., A30(3), pp. 1279-1293 (1984)

[214] B.J. Verhaar, J.P.H.W. van den Eijnde, M.A.J. Voermans, M.M.J. Schaffrath, Scattering length and effective range in two dimensions; application to adsorbed hydrogen atoms, J. Phys. A: Math. Gen., 17, pp. 595-598 (1984)

[215] B.J. Verhaar, L.P.H. De Goey, E.J.D. Vredenbregt, J.P.H.W. van den Eijnde, Scattering length and effective range for scattering in a plane and in higher dimensions, Phys. Lett., A110 (7,8), pp. 371-374 (1985)

[216] B.J. Verhaar, L.P.H. De Goey, E.J.D. Vredenbregt, J.P.H.W. van den Eijnde, Scattering length and effective range for scattering in a plane and in higher dimensions, Phys. Rev., A32, 1424 (1985)

[217] W.G. Gibson, Two-dimensional scattering: low-energy behaviour of the Jost function and Levinson's theorem, Phys. Lett., A117 (3), pp. 107-110 (1986)

[218] M. Klawunn, A. Pikovski, L. Santos, Two-dimensional scattering and bound states of polar molecules in bilayers, Phys.Rev., A 82, 044701 (2010)

[219] I. R. Lapidus, Quantum-mechanical scattering in two dimensions, Am.J.Phys., 50 (1), pp. 45-47 (1982)

[220] S. K. Adhikari, Quantum scattering in two dimensions, Am.J.Phys., 54 (4), pp. 362-367 (1986)

[221] Д.А. Варшалович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, «Наука», Ленинград (1975)

[222] A.J. Markvoort, P.A. Hilbers, R. Pino, Laterally coupled jellium-like two-dimensional quantum dots, J. Phys.: Condens. Matter, 15, pp. 6977-6984, (2003)

[223] S. De Filippo, M. Salerno, Spectral properties of a model potential for quantum dots with smooth boundaries, Phys. Rev. B, 62(7), pp. 4230-4233, (2000)

[224] J. Adamowski, M. Sobkowicz, B. Szafran, S. Bednarek, Electron pair in a Gaussian confining potential, Phys. Rev. B, 62(7), pp. 4234-4237, (2000)

[225] O. Ciftja, An experimentally justified confining potential for electrons in two-dimensional semiconductor quantum dots, Journal of Computer-Aided Material Design, 14, pp. 37-44,(2007)

[226] M. Fabre de la Ripelle, in: Models and Methods in Few-Body Physics, Lecture Notes in Physics Vol. 273, Springer Verlag, Berlin (1986)

[227] Н.Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп, «Наука», Москва (1965)

[228] Z.H. Yang et al., Study of multi-neutron systems with SAMURAI spectrometer, Proceedings of XXII International Conference on Few-Body Problems in Physics, 913 July, Caen, France (2018)

[229] O. Ivanytskyi, Angeles Perez-Garcia, C. Albertus, Tetraneutron condensation in neutron rich matter Eur. Phys. J., A55, 184 (2019)

[230] A.M. Badalyan et al., Yad. Fiz., 6 473 (1967)

[231] A.M. Badalyan, E.S. Birger and N.B. Konyuhova, Yad. Fiz. 20, 1147 (1974)

[232] W. Glockle, S-matrix pole trajectory in a three-neutron model, Phys. Rev., C18, pp. 564-572 (1978)

[233] R. Offermann and W. Glockle, Is there a three-neutron resonance?, Nucl. Phys. A318, pp. 138-144 (1979)

[234] J.J. Bevelacqua, Theoretical estimates of the trineutron and tetraneutron binding energies, Nucl. Phys. A341, pp. 414-420 (1980)

[235] R.A. Malfliet and J. A. Tjon, Solution of the Faddeev equations for the triton problem using local two-particle interactions, Nucl. Phys. A127(1) pp. 161-168 (1969)

[236] R.A. Malfliet and J. A. Tjon, Three-Nucleon Calculations with Realistic Forces, Ann. Phys. (N.Y.) 61 pp. 425-450 (1970)

[237] A.M. Badalyan et al., Yad. Fiz., 41 1460 (1985)

[238] I.F. Gutich, A.V. Nesterov and I.P. Okhrimenko, Yad. Fiz., 50 19 (1989)

[239] A.M. Gorbatov et al., Yad. Fiz., 51 697 (1990)

[240] A. Csoto, H. Oberhummer and R. Pichler, Searching for three-nucleon resonances, Phys. Rev., C53(4) pp. 1589-1592 (1996)

[241] E. Hiyama, R. Lazauskas, J. Carbonell, M. Kamimura, Possibility of generating a 4-neutron resonance with a T=3/2 isospin 3-neutron force, Phys.Rev. C93(4), 044004 (2016)

[242] K. Kisamori et al., Candidate Resonant Tetraneutron State Populated by the 4He(8He,8Be) Reaction, Phys. Rev. Lett. 116, 052501 (2016)

[243] J. Schaffner-Bielich, Hypernuclear physics and compact stars, In: Pochodzalla J., Walcher T. (eds) Proceedings of The IX International Conference on Hypernuclear and Strange Particle Physics. Springer, Berlin, Heidelberg; arXiv: astro-ph/0703113v1 (2007)

[244] Miyagawa K., Kamada H., Glockle W., Stoks V., Properties of the bound A(E)NN system and hyperon-nucleon interactions, Phys. Rev., C51, pp. 2905-2913 (1995)

[245] Nemura H., Akaishi Y., Suzuki Y., Ab initio approach to s-shell hypernuclei |H, \H, \He, and |He with a AN - EN interaction, Phys. Rev. Lett., 89, 142504 (2002)

[246] Garcilazo H., Fernandez-Carames T., Valcarce A., ANN and ENN systems at threshold, Phys. Rev. C75, 034002, pp. 1-10 (2007)

[247] H. Nemura, Y. Suzuki, Y. Fujiwara, C. Nakamoto, Study of light A- and AA-hypernuclei with the stochastic variational method and effective AN potentials, Prog. Theor. Phys., 103, pp. 929-958 (2000)

[248] H. Takahashi et al., Observation of a A\He Double Hypernucleus, Phys. Rev. Lett., 87(21), 212502 (2001)

[249] I.N. Filikhin, A. Gal, Faddeev-Yakubovsky calculations for light AA hypernuclei, Nucl. Phys., A707, pp. 491-509 (2002)

[250] I.N. Filikhin, A. Gal, Light AA hypernuclei and the onset of stability for AS hypernuclei. Phys. Rev. C65, 041001(R), 1-4 (2002)

[251] H. Garcilazo, A. Valcarce, and T. Fernandez-Carames, ANN and ENN systems at threshold. II. The effect of D waves, Phys. Rev., C76, 034001 (2007)

[252] A. Gal and H. Garcilazo, Is there a bound An?, Phys. Lett., B736, pp. 93-97 (2014)

[253] E. Hiyama, S. Ohnishi, B.F. Gibson, and T.A. Rijken, Three-body structure of the nnA system with AN - EN coupling, Phys. Rev., C89, 061302 (2014)

[254] H. Garcilazo and A. Valcarce, Nonexistence of a Ann bound state, Phys. Rev., C89, 057001 (2014)

[255] H. Garcilazo, A. Valcarce, and J. Vijande, Chinese Physics, C41, 074102 (2017)

[256] S. R. Beane et al., Light nuclei and hypernuclei from quantum chromodynamics in the limit of SU(3) flavor symmetry, Phys. Rev., D87, 034506 (2013)

[257] C. Rappold et al., Search for evidence of An by observing d + n- and t + n- final states in the reaction of 6Li + 12C at 2A GeV, Phys. Rev., C88, 041001(R) (2013)

[258] H. Garcilazo and A. Valcarce, Strangeness —2 Hypertriton, Phys. Rev. Lett., 110,012503 (2013)

[259] A. Gal, Comment on "Strangeness —2 Hypertriton", Phys. Rev. Lett., 110, 179201 (2013)

[260] H. Garcilazo and A. Valcarce, Garcilazo and Valcarce Reply, Phys. Rev. Lett., 110, 179202 (2013)

[261] Sebastian Bleser, Michael Bolting, Theodoros Gaitanos, Josef Pochodzalla, Falk Schupp, Marcell Steinen, Has the neutral double hypernucleus aAn been observed?, Phys. Lett., B790 pp. 502-508 (2019)