Матричные операторы Шредингера с тривиальной монодромией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Гончаренко, Василий Михайлович

• Гончаренко, Василий Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гончаренко, Василий Михайлович

1 Матричное уравнение Шредингера и преобразование Дарбу.

1.1 Матричное преобразование Дарбу и сплетающее соотношение.

1.2 Квазидетерминанты и структура матричного преобразования Дарбу.

1.3 Операторы Шредингера, связанные матричными МДП.

1.4 Случай Ьо = — Операторы Шредингера с рациональными потенциалами.

2 Матричный оператор Шредингера с тривиальной мо-нодромией в комплексной области.

2.1 Регулярные и нерегулярные особые точки дифференциальных уравнений.

2.2 Локальный критерий тривиальной монодромии.

2.3 Доказательство локального критерия.

2.3.1 Резонансные уравнения.

2.3.2 Числа (т, п, I).

2.3.3 Усеченные полиномы и доказательство того, что

С1 = 0.

2.3.4 Завершение доказательства.

2.4 Формулировка локального критерия в инвариантной форме.

2.5 Матричные преобразования Дарбу и операторы Шредингера с тривиальной монодромией.

2.6 Уравнения локуса и матричная система Калоджеро-Мозера.

2.7 Матричные операторы Шредингера с тригонометрическими потенциалами.

3 Многомерные интегрируемые операторы Шредингера с матричным потенциалом.

3.1 Скалярный случай.

3.2 Тривиальная монодромия в многомерном случае.

3.3 Об особенностях Б-интегрируемого матричного оператора Шредингера.

3.4 Уравнения матричного локуса и

Б-интегрируемость.

3.5 Двумерный случай.

3.6 Матричные обобщенные операторы Калоджеро-Мозера.

4 Многосолитонные решения матричного уравнения КдФ. Взаимодействие солитонов.

4.1 Уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко для матричного оператора Шредингера.

4.2 Матричное уравнение КдФ и безотражательные потенциалы.

4.3 Односолитонные решения матричного уравнения КдФ.

4.4 Двухсолитонное решение матричного уравнения КдФ. Взаимодействие солитонов в общем случае.

4.5 Матричное преобразование Дарбу и солитоны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Матричные операторы Шредингера с тривиальной монодромией»

В 1967 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура [65] обнаружили замечательную связь между уравнением Кортевега-де Фриза (КдФ) щ = 6иих - иххх, (0.1) описывающим распространение волн в мелкой воде, и спектральной теорией оператора Шредингера = -1>2+ 1) = (0.2) ах что позволило решить уравнение КдФ методом обратной задачи (см., например, [17, 38]) в классе быстроубывающих потенциалов. Алгебраическое объяснение метода работы [65] было предложено Лаксом [71] в 1968 году. Он показал, что уравнение КдФ может быть записано в виде = [Ь,А], (0.3) где А = -42}3 3(иБ + - кососимметричный дифференциальный оператор третьего порядка.

С тех пор уравнение КдФ и его высшие аналоги (см. [71], [76])

Ь = [Ь,Ап], где Ап - некоторый дифференциальный оператор 2п 4- 1-ого порядка, были исследованы с различных точек зрения. Вероятно, одним из самых замечательных результатов было наблюдение Новикова [41] и Лакса [72] о том, что все периодические решения стационарной иерархии КдФ являются потенциалами операторов Шредингера с конечным числом лакун в их спектре (см. также статью МакКина и ван Мербике [75]). Дубровин [22] и Флашка [64] доказали, что таким образом могут быть получены все конечнозонные операторы Шредингера. Здесь хотелось бы упомянуть, что первые примеры конечнозонных потенциалов были найдены Айнсом [69], показавшим, что операторы Шредингера с потенциалами Ламе и(х) = М(М + 1)ф), где р(х) - классическая функция Вейерштрасса (см. e.g. [42]) имеют N лакун в спектре. Общая формула для конечнозонных потенциалов была получена Итсом и Матвеевым [28, 29] в терминах тэта-функций гиперэллиптических римановых поверхностей, точки ветвления которых совпадают с границами зон спектра соответствующего оператора Шре-дингера (см. также [25, 23]). Кричевер в серии работ [32, 33, 34, 35, 36] развил общий подход к теории конечнозонных операторов, основанный на понятии функции Бейкера-Ахиезера соответствующих римановых поверхностей.

Рациональные решения уравнения КдФ были изучены Аро, МакКи-ном и Мозером в замечательной работе [46]. Они доказали, что убывающие на бесконечности рациональные решения уравнения КдФ имеют вид п 1 и(х, t) = 2 > 7-ГТТо 5

1 ; jri(x~xAW где п = (с? G N) - "треугольное" число и точки xj = Xj(t) удовлетворяют условиям щ (Xi Х]У 6

Ъ = Т,(Т.ТЛ2 » = !»•••,«. (0.5)

XJ Xj)

В [46] множество точек х\,. удовлетворяющих (0.4) называется локусом (locus), а уравнения (0.4) - уравнениями локуса (locus equations). Locus совпадает с множеством стационарных точек интегрируемой системы Калоджеро-Мозера [54, 78] с гамильтонианом

1 п

H==2^y2j+ ^ te-O"2' j=l 1<j<k<n в то время как уравнения (0.5) соответствуют динамике, заданной ее интегралом j=l V кфз

-3

В статье [45] Адлер и Мозер показали, что как функции х рациональные решения КдФ являются потенциалами операторов Шредин-гера Ь = — £>2 + и(х), которые могут быть получены цепочкой преобразований Дарбу [60] из оператора Ьо = и имеют ВИД и = -2—1одю, (0.6) где т = ю(фг, Ф2,.,фк) - вронскиан функций ф\,ф2,. ,фк, заданных рекурсивными формулами ф'1 = 0, ¿ = 1,2,.,' так что ф\ = х, ф2 = |:г3 +>1?.

Заметим теперь, что если потенциал некоторого оператора Шре-дингера имеет конечное число полюсов второго порядка в комплексной области (к таким потенциалам относятся функции (0.6)), то решения соответствующего уравнения Шредингера

Ьф = Хф (0.7) вообще говоря, многозначны в окрестности х^,] = (см., например, [10]). Тем не менее, существует класс операторов Шредингера, таких, что все решения уравнения (0.7) однозначны в С для всех Л, т.е. которые имеют тривиальную монодромию в комплексной области. Ясно, что последнее условие соответствует специальным конфигурациям полюсов х\,.,хп. И, как было показано Дюистермаатом и Грюнбаумом [61], если потенциал и(х) безмонодромного оператора Шредингера Ь рационален и убывает на бесконечности, то Ь может быть получен конечным числом преобразований Дарбу из Ьо = —I)2, (Л(х)имеет вид (0.6) и является решением уравнения КдФ, а соответствующие конфигурации полюсов совпадают с локусными.

Двумерное уравнение Шредингера с точки зрения его интегрируемости было впервые рассмотрено в работе Дубровина, Новикова и Кричевера [24] (см. также [40, 11, 12]). Комплексная теория двумерных абелевых потенциалов была развита в недавней статье Бухшта-бера и Энольского [7]. Дальнейшие результаты в этом направлении можно найти в [53]. Они основаны на построении гиперэллиптических аналогов классических сг-, (- и р-функций Вейерштрасса (см. [52]). Заметим также, что, как было показано в [8], их аналоги также могут быть построены для (га, «)-кривых рода д = (га - 1)(з — 1)/2 вида уп ~ ~ Е V = о, а,13 где 0 < а < з — 1, 0 < (3 < п - 1, ап — (Зз < пв и п, 8 - взаимно простые числа. Пространство модулей таких кривых имеет размерность (1Щ8 = ММ£±И - [£] 3, о- = <г(и,А), и е 6 С<\ является целой функцией в С5, а коэффициенты ее разложения в окрестности 0 полиномиальны по Л (см. также [9]).

Обобщение результатов Дюистермаата и Грюнбаума на многомерный случай недавно было найдено Чалых, Фейгиным и Веселовым [57].

Далее мы будем называть оператор д2 д2 сЬ:2 <9ж2

Б-интегрируемым, если существует оператор Т>/ сплетающий Ь с лапласианом = —Д:

Оказывается, последнее операторное равенство налагает значительные ограничения на геометрию особенностей оператора Ь. А именно, Берест и Веселов [4, 50] доказали, что особенности любого Б-интегрируемого оператора расположены на конфигурации гиперплоскостей. Если предположить, что и является убывающей на бесконечности рациональной функцией, то и может быть записана в виде для некоторой конфигурации гиперплоскостей П, : (с^-, г) + = 0 с кратностями га^ Е 2+. Чалых, Фейгин и Веселов [57] нашли необходимые локальные условия на геометрию таких конфигураций (0.8), гарантирующие Б-интегрируемость соответствующего оператора Шре-дингера (условия локуса). Чалых [44] доказал замечательную теорему о том, что эти условия также достаточны, а в одномерном случае это дает другое доказательство теоремы Дюистермаата и Грюнбаума.

Основное отличие (и основная сложность) многомерного случая состоит в том, что нет эффективной процедуры описания всех локусных конфигураций. Примерами могут служить конфигурации Кокстера [6], связанные с конечными группами, порожденными отражениями, но, как оказалось, они не исчерпывают все возможные случаи. В 1996 Чалых, Фейгин и Веселов [14] нашли примеры операторов Шрединге-ра, которые не соответствуют никакой конфигурации Кокстера, но, тем не менее, удовлетворяют локусным условиям. Заметим также, что для конфигураций Кокстера Л соответствующий оператор Шредин-гера есть не что иное, как обобщение оператора Калоджеро-Мозера, рассмотренное Олыпанецким и Переломовым [81].

В последнее время появился значительный интерес к некоммутативным аналогам классических солитонных иерархий и интегрируемых

IV = Х>£, п

0.8) систем. В качестве примеров мы можем упомянуть работу Кричеве-ра [37], статью Олвера и Соколова [82], посвященную исследованию симметрий интегрируемых эволюционных уравнений в ассоциативных алгебрах и их редукцию к алгеброзначным трансцендентам Пенлеве, а также обзор по некоммутативным КдФ и КП иерархиям в статье Этингофа, Гельфанда и Ретаха [63], где использовалось понятие квазидетерминанта, обобщающее на некоммутативный случай отношение определителя матрицы и ее подматрицы (см. [18]). В связи с этим встает вопрос об аналогах упомянутых выше результатов в случае, если потенциал оператора Шредингера является матричным и их связи с матричными аналогами нелинейных эволюционных уравнений, что и является основной темой диссертации. Вероятно, Лаке был первым, кто в 1968 году ввел матричное уравнение КдФ иг = 3(иих + ихи) - иххх в связи с матричным уравнением Шредингера где и(х, ¿) - б/ х (I матрица (см. [71]), который действует на вектор-нозначных функциях ф как Ьф = —ф" + 1/ф. Метод обратной задачи рассеяния для матричного уравнения Шредингера с эрмитовым потенциалом на полупрямой 0 < х < оо был развит Аграновичем и Марченко [1]. Они также исследовали вопросы единственности восстановления потенциала по спектральным данным. Обратная задача рассеяния на всей действительной прямой —оо < х < +оо для матричного уравнения Шредингера и ее связь с матричным уравнением КдФ были исследованы Вадати и Камиджо [83]. Гораздо более широкий класс интегрируемых методом обратной задачи эволюционных уравнений был построен Калоджеро и Дегасперисом [55], также обсуждавшими матричные солитоны (см. также обзоры Вадати, Калоджеро и Дегаспериса в книге [5]). Обратная задача для общего (несимметричного) матричного оператора Шредингера изучалась Мартинесом Алонсо и Олмедилла [79, 73]. Здесь мы хотели бы также упомянуть работу Гриневича [20], где была развита конечнозонная теория для оператора

1 = А02 + 11{г) с постоянной матрицей А, собственные значения которой различны. Последнее предположение является существенным для методов статьи [20], которые не могут быть применены в случае А — I, рассматриваемом нами.

В 1984 Гиббоне и Хермсен [66] ввели матричное обобщение классической системы Калоджеро-Мозера в связи с матричным оператором

Шредингера = -Vxx + QV (0.9) где

Недавно исследование спинового обобщения системы Калоджеро-Мозера получило дальнейшее развитие в статье Криче-вера, Бабелона, Билей и Талона [70].

Вероятно, Чередник [59] был первым, кто рассмотрел матричное обобщение квантовой системы Калоджеро-Мозера. Соответствующий оператор имеет форму

L д у^ ma(maI - sa)(a,a) с м2 где 1Z+ - множество положительных корней произвольной полупростой алгебры Ли G, a sa обозначает отражение относительно корня а в некотором матричном представлении соответствующей группы Вейля W (соответствующие определения из теории полупростых алгебр Ли можно найти в книгах [68, 16]). Чередник показал, что соответствующая квантовая система имеет п = rankG коммутирующих интегралов и потому интегрируема в обычном квантово-механическом смысле. В случае тривиального одномерного представления получается скалярный оператор Шредингера, который является хорошо известным обобщенным оператором Калоджеро-Мозера, введенным Олынанецким и Переломовым (см. [81]). Другой класс матричных операторов Шредингера, связанных с полупростыми алгебрами Ли, был исследован Этингофом и Стыркасом [62]. Упомянем также интересный подход к матричным гамильтонианам Калоджеро-Сазерленда, развитый недавно Бракеном и Камраном [51]. Последующие результаты в этом направлении были получены Чалых, Веселовым и автором в [58].

В первой главе диссертации мы исследуем матричное преобразование Дарбу для одномерного матричного оператора Шредингера. В частности, мы находим соотношение между потенциалами операторов, связанных матричным преобразованием Дарбу и подробно рассматриваем случай, когда потенциал соответствующего оператора Шредингера рационален, а начальный оператор имеет нулевой потенциал.

Во второй главе мы выводим локальные условия на потенциал матричного уравнения Шредингера, с тривиальной монодромией в комплексной области (уравнения матричного лок.уса), что является матричным обобщением соответствующего критерия Дюистермаата и

Грюнбаума в скалярном случае. Затем мы доказываем основной результат этой части - матричное обобщение теоремы [61] о том, что все безмонодромные операторы Шредингера с рациональным потенциалом, убывающим на бесконечности, могут быть получены преобразованиями Дарбу из оператора Ь0 = —И2. Мы также доказываем аналогичное утверждение в тригонометрическом случае, что является матричным обобщением соответствующего результата Чалых [44].

В третьей главе мы вводим понятие безмонодромного многомерного оператора Шредингера Ь и находим соответствующие локальные условия на потенциал (условия многомерного локуса). Основной результат здесь состоит в том, что эти условия достаточны для существования сплетающего оператора £>, т.е. такого оператора, что VLo в определенном классе матричных операторов Шредингера Ь. Мы также приводим некоторые примеры таких операторов и обсуждаем связь с одномерным случаем (в частности, для двумерных операторов Шредингера).

В четвертой главе мы обсуждаем многосолитонные решения уравнения матричного уравнения КдФ и взаимодействие матричных соли-тонов. Мы подробно рассматриваем случай взаимодействия двух со-литонов, а затем показываем, что общий случай АГ-солитонного взаимодействия сводится к попарному взаимодействию солитонов, т.е., как и в скалярном случае, многочастичные эффекты при таком взаимодействии отсутствуют. В конце главы мы обсуждаем связь между двумя подходами к построению многосолитонных решений - решение уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко и преобразования Дарбу.

В заключении автор хотел бы выразить свою благодарность В. М. Бухштаберу за полезные обсуждения и критические замечания, А. П. Веселову за постановку задач и постоянное внимание к работе и О. А. Чалых за полезные советы и многочисленные дискуссии. Автор признателен также В. 3. Энольскому за ценные советы и М. Фейгину за полезные обсуждения некоторых задач, решенных в настоящей работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гончаренко, Василий Михайлович, 2000 год

1. 3. С. Агранович, В. А. Марченко. Обратная задача теории рассеяния. Издательство Харьковского университета, Харьков (1960).

2. Э. Л. Айне. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Государственное научно-техническое издательство Украины (1939).

3. Ф. А. Березин. Операторы Лапласа на полупростых группах Ли. Труды Московского Математического общества, б (1957), 371— 463.

4. Ю. Ю. Берест, А. П. Веселов. Об особенностях потенциала точно решаемых операторов Шредингера и проблема Адамара. Успехи мат. наук. 53, вып. 1 (1998), 208-209.

5. Солитоны (под редакцией Р. Буллафа и Ф. Кодри). "Мир", Москва (1983).

6. Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Часть 4■ "Мир", Москва (1972).

7. В. М. Бухштабер, В. 3. Энольский. Абелевы блоховские решения двумерных уравнений Шредингера. Успехи мат. наук. 50, вып. 1 (1995), 191-192.

8. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, В. 3. Энольский. а-функции (п, я)-кривых. Успехи мат. наук. 54, вып. 3 (1999).

9. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, В. 3. Энольский. Рациональные аналоги абелевых функций. Функц. анализ и его прилож. 33, вып. 2 (1999), 1-15.

10. В. Вазов. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. "Мир", Москва (1968).

11. А. П. Веселов, С. П. Новиков. Конечнозонные двумерные периодические операторы Шредингера: явные формулы и эволюционные уравнения. Доклады АН СССР 279, вып. 1 (1984), 20-24.

12. А. П. Веселов, С. П. Новиков. Конечнозонные двумерные периодические операторы Шредингера: случай потенциала. Доклады АН СССР 279, вып. 4 (1984), 784-788.

13. А. П. Веселов, К. Л. Стыркас, О. А. Чалых. Алгебраическая интегрируемость уравнений Шредингера и конечные группы отражений. Теор. и мат. физика. 94, вып. 2 (1993), 253-275.

14. А. П. Веселов, М. В. Фейгин, О. А. Чалых. Новые интегрируемые деформации квантовой задачи Калоджеро-Мозера. Успехи мат. наук. 51, вып. 3 (1996), 185-186.

15. А. П. Веселов, А. Б. Шабат. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера. Функц. анализ и его прилож. 27, вып. 2 (1993), 1-21.

16. Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. "Наука", Москва (1988).

17. И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Известия АН СССР. Серия матем. 15 (1951), 309-360.

18. И. М. Гельфанд, В. С. Ретах. Детерминанты матриц над некоммутативными кольцами. Функц. анализ и его прилож. 25, вып. 2 (1991), 13-25.

19. И. М. Гельфанд, В. С. Ретах. Теория квазидетерминантов и характеристические функции графов. Функц. анализ и его прилож. 26, вып. 4 (1992), 1-21.

20. П. Г. Гриневич. Векторный ранг ' коммутирующих матричных дифференциальных операторов. Доказательство гипотезы Новикова. Известия АН СССР. Серия матем. 50, вып. 3 (1986), 458-478.

21. Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, X. Моррис. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. "Мир", Москва (1988).

22. Б. А. Дубровин. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. Функц. анализ и его прилож. 9, вып. 3 (1975), 41-51.

23. Б. А. Дубровин. Тета-функции и нелинейные уравнения. Успехи матем. наук. 36, вып. 2 (1981), 11-80.

24. Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Новиков. Уравнение Шредингера в периодическом поле и римановы поверхности. Доклады АН СССР 229, вып. 1 (1975), 15-18.

25. Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. Успехи матем. наук. 31, вып. 1 (1976), 55-136.

26. Б. А. Дубровин, А. Т. Фоменко, С. П. Новиков. Современная геометрия: Методы и приложения. "Наука", Москва (1986).

27. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский. Теория солитонов. Метод обратной задачи. "Наука", Москва (1980).

28. А. Р. Итс, В. Б. Матвеев. Операторы Хилла с конечным числом лакун. Функц. анализ и его прилож. 9, вып. 1 (1975), 69-70.

29. А. Р. Итс, В. Б. Матвеев. Операторы Шредингера с конечнозон-ным спектром и Ы-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза. Теор. и мат. физика. 23, вып. 1 (1975), 51-68.

30. Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Издательство иностранной литературы, Москва (1958).

31. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функциональный анализ. "Наука", Москва (1984).

32. И. М. Кричевер. Алгебро-геометрическое построение уравнений Захарова-Шабада и их периодических решений. Доклады АН СССР 227, вып. 2 (1976), 291-294.

33. И. М. Кричевер. Алгебраические кривые и коммутирующие матричные дифференциальные операторы. Функц. анализ и его прилож. 10, вып. 2 (1976), 75-77.

34. И. М. Кричевер. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии. Функц. анализ и его прилож. 11, вып. 1 (1977), 15-31.

35. И. М. Кричевер. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. Успехи матем. наук. 32, вып. 6 (1977), 183— 208.

36. И. М. Кричевер. Коммутативные кольца обыкновенных дифференциальных операторов. Функц. анализ и его прилож. 12, вып. 3 (1978), 20-31.

37. И. М. Кричевер. Периодическая неабелева цепочка Тоды и ее двумерное обобщение. Успехи матем. наук. 36, вып. 2 (1981), 72-80.

38. В. А. Марченко. Некоторые вопросы теории одномерных дифференциальных операторов. Труды Московского Математического общества. 1 (1952), 327-420.

39. Ю. Мозер. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевск (1999).

40. С. П. Новиков. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях. Итоги науки и техники, Сер."Современные проблемы математики", том 23 (1983), 3-32.

41. С. П. Новиков. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза. Функц. анализ и его прилож. 8, вып. 3 (1974), 54-66.

42. Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. Курс современного анализа. Гос. издательство физ.-мат. литературы, Москва (1965).

43. JI. Д. Фаддеев. Обратная задача в квантовой теории рассеяния. Успехи хматем. наук, 14 (1959), 57-119.

44. О. А. Чалых. Преобразования Дарбу для многомерных операторов Шредингера. Успехи матем. наук 53, вып. 2 (1998), 167-168.

45. М. Adler, J. Moser. On a class of polynomials connected with the Korteweg-de Vries equation. Commun. Math. Phys. 61 (1978), 1-30.

46. H. Airault, H. P. McKean, J. Moser. Rational and elliptic solutions of the Korteweg-de Vries equation and a related many-body problem. Comm. Pure Appl. Math. 30 (1977), 95-178.

47. D. V. Anosov, V. I. Arnol'd. (Eds.) Dynamical Systems I: Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical systems. SpringerVerlag: New-York -Berlin Heidelberg (1988).

48. Yu.Yu. Berest. Huygens' Principle and the bispectral problem. CRM, Proceedings and Lecture Notes 14 (1998), 11-30.

49. Yu. Yu. Berest, I. M. Lutsenko. Huygens' principle in Minkowski spaces and soliton solutions of the Korteweg-de Vries equation. Commun. Math. Phys. 190 (1997), 113-132.

50. Yu. Yu. Berest, A. P. Veselov. On the structure of singularities of integrable Schrodinger operators. Submitted to Letters in Math. Physics.

51. P. Bracken, N. Kamran. Matrix С'alogero-Sutherland Hamiltonians and the multi-dimensional Darboux transformation. J. Geom. Phys. 30 (1999), 283-294.

52. A. Chalykh, V. M. Goncharenko, A. P. Veselov. Multidimensional integrable Schrodinger operators with matrix potentials. J. Math.Phys. 40 (11) (1999), 5341-5355.

53. C. Gardner, J. Green, M. Kruskal, R. Miura. A method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys. Rev. Lett. 19 (1967), 1095-1098.

54. J. Gibbons, Th. Hermsen. A generalisation of the Calogero-Moser system. Physica 11 D (1984), 337-348.

55. V. M. Goncharenko, A. P. Veselov. Monodromy of the matrix Schrddinger equations and Darboux transformations. J.Phys. A: Math.Gen 31 (1998), 5315-5326.

56. J. E. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer-Verlag: New-York Berlin - Heidelberg (1972).

57. E. L. Ince. Further invesigations into the periodic Lame Potentials, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 60 (1940), 83-99.

58. I. Krichever, O. Babelon, E. Billey, M. Talon. Spin generalisation of the Calogero-Moser system and the matrix KP equation. Amer. Math. Soc. Transl. 170 (2) (1995), 83-119.

59. P. D. Lax. Integrals of nonlinear equation of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math. 21 (5) (1968), 467-490.

60. P. D. Lax. Periodic solutions of the Korteweg-de Vries equation. Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), 141-188.

61. L. Martinez Alonso, E. Olmedilla. Trace identities in the inverse scattering method associated with matrix Schrddinger operator. J.Math. Phys 23 (11) (1982), 2116-2121.

62. V. B. Matveev, M. A. Salle. Darboux Transformations and Solitons. Springer Ser. Nonlinear Dynamics. Springer-Verlag: New-York Berlin - Heidelber (1991).

63. H. P. McKean, P. van Moerbeke. The spectrum of Hill's equation. Inventions Math. 30 (1975), 217-274.

64. R. Miura, C. Gardner, M. Kruskal. Korteweg-de Vries equation and Generalisation. J. Math. Physics, 9 (8) (1968), 1202-1209.

65. J. Moser. Integrable Hamiltonian systems and spectral theory. Ac-cademia Nationale Dei Lincei (1982).

66. J. Moser. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformation. Adv. Math. 16 (1975), 197-220.

67. E. Olmedilla. Inverse scattering transform for general matrix Schrddinger operators and the related symplectic structure. Inverse Problems 1 (1985), 219-236.

68. E. Olmedilla, L. Martinez Alonso, F. Guil. Infinite-dimensional hamil-tonian systems associated with matrix Scherodinger operator. Nuovo Cimento. 61 B (1) (1981), 49-61.

69. M. A. Olshanetsky, A. M. Perelomov. Quantum integrable systems related to Lie algebras. Pliys. Rep. 94 (1983), 313-404.

70. P. J. Olver, V. V. Sokolov. Integrable evolution equations on associative algebras. Commun. Math. Physics 193 (1998), 245-268.

71. M. Wadati, T. Kamijo. Prog. Theor. Physics 52 (1974), 397.