Математическое обоснование расщепления спектра и билокализации состояний при координатном и импульсном туннелировании в одномерных квантовых системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Выборный, Евгений Викторович

• Выборный, Евгений Викторович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Выборный, Евгений Викторович

Оглавление

Введение

1 Туннельные эффекты в одномерных системах с дискретным спектром. Обзор результатов и проблем

1.1 Квазиклассическое приближение без учета туннелирования

1.2 Двуямный потенциал на прямой

1.3 Динамическое туннелирование на окружности

1.4 Постановка задач

2 Туннелирование в несимметричной двойной яме

2.1 Критерий билокализации волновых функций

2.2 Случай энергии, близкой к минимуму потенциала

2.3 Сравнение амплитуд расщепления для высоких и низких энергетических уровней

2.4 Динамика частицы в случае резонансного туннелирования

2.5 Примеры резонансного туннелирования в несимметричном потенциале

2.6 Эффект туннельного захвата состояния

2.7 Туннельное возмущение спектра

2.8 Применение метода туннельного возмущения

2.9 Некоторые свойства линейных операторов

3 Туннелирование в импульсном пространстве

3.1 Операторная формула

3.2 Общая структура спектра для частицы на окружности

3.3 Уравнение Шредингера с периодическим потенциалом на прямой

3.4 Туннельное расщепление энергий для частицы на

окружности

3.5 Квантовый маятник

Заключение

Литература

108

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое обоснование расщепления спектра и билокализации состояний при координатном и импульсном туннелировании в одномерных квантовых системах»

Введение

Тема исследования и ее актуальность

Туннельный эффект является одним из базовых квантово-механичееких эффектов и играет существенную роль в различных областях современной физики, в том числе в квантовой теории поля, спектроскопии молекул, а также в квантовой химии и некоторых вопросах биологии. Задача об аналитическом описании туннельных эффектов для различных квантово-механичееких моделей имеет богатую историю, которая берет свое начало с момента становления квантовой механики [91,110]. Детальный обзор классических результатов и приложений изложен, например, в книгах [20,51,54,103]. Современный рост интереса к изучению квантового туннелирования связан также с прогрессом в наноэлектронике (см., например, [22]), где возникает возможность использования квантовых эффектов для качественно новых технологий, например, туннелирование в управляемом двуямном потенциале часто используется как модель построения кубитов [65,69,72].

Одним из проявлений туннельного эффекта является проникновение квантовой частицы через потенциальный барьер, разделяющий две области классического движения в конфигурационном пространстве, — так называемое координатное туннелирование. Например, в симметричном двуямном потенциале туннелирование через потенциальный барьер приводит к малому расщеплению энергетических уровней и двойной локализации волновых функций стационарных состояний квантовой частицы.

Другим проявлением туннельного эффекта является отражение квантовой частицы при движении выше потенциального барьера, которое также можно рассматривать как туннелирование через классически запрещенную область (барьер) в импульсном представлении [64,92,98]. Одним из проявлений импульс-

ного туннелировашш является малое расщепление спектра оператора Шредин-гера квантовой частицы, движущейся в потенциальном поле по окружности в роторном режиме, то есть с энергией, превышающий максимум потенциала.

Координатное и импульсное туннелирование являются частными случаями общего эффекта туннелировашш между двумя различными траекториями в фазовом пространстве — так называемого динамического туннелирования. Динамическое туннелирование возникает в различных квантовомеханических моделях и активно изучается в последнее время [61,84,85,95]. Очень интересные динамические случаи туннелирования связаны с присутствием магнитного поля [8,56,63]. Исследование влияния туннелирования на структуру спектра проводилось также с использованием методов адиабатического приближения для оператора Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом [67,68].

Поскольку точное аналитическое описание туннельных эффектов удается построить только в простых модельных случаях, для исследования данного круга задач обычно применяются асимптотические методы.

В настоящей диссертационной работе туннельный эффект анализируется для одномерного оператора Шредингера с действительным потенциалом:

с, й2 ,„ *

я = "7 + "М-

в приближении по малому параметру квазиклассического приближения Я > 0.

Общая спектральная теория оператора Шредингера Н хорошо развита для достаточно обширного класса потенциалов (см., например, [6,40,74]). В данной диссертационной работе рассматривается дискретный спектр оператора Н, а потенциал У(х) предполагается достаточно гладким там, где это необходимо.

Объект исследования — дискретный спектр и стационарные состояния одномерного оператора Шредингера Н. В качестве основных моделей рассмотрена квантовая частица на прямой в двуямном потенциале и квантовая частица в потенциальном поле на окружности в роторном режиме.

Предмет исследования — влияние туннельных эффектов на стационарные состояния и спектр оператора Н в квазиклассическом приближении.

Целью диссертационного исследования является построение математического обоснования квазиклассического расщепления спектра и билокализации стационарных состояний при координатном и импульсном туннелировашш для

одномерного оператора Шредингера в случае общего вида потенциалов (не симметричных, не типа Матье).

Ниже во введении дано краткое изложение основных известных результатов в этой области и обсуждаются открытые вопросы, изучению которых посвящена настоящая диссертация. Детальный обзор литературы, известных результатов и нерешенных проблем, а также основных методов исследования будет представлен в главе 1 диссертационной работы.

Координатное туннелирование

Одной из базовых моделей координатного туннелирования является движение квантовой частицы в двуямном потенциале на прямой.

Хорошо известны результаты для случая зеркально-симметричного двуям-ного потенциала. В этом случае спектр состоит из пар экспоненциально (при К —>• 0) близких точек, а соответствующие волновые функции стационарных состояний являются симметричными и антисимметричными. Следовательно, состояние, локализованное только в одной из двух потенциальных ям, не является стационарным, а представляется в виде линейной комбинации пары стационарных состояний с близкими значениями энергий. Это приводит к эффекту туннельной транспортации. Состояние начинает совершать туннельные переходы между ямами и в определенные моменты времени становится практически полностью локализованным в другой потенциальной яме, чем яма, в которой оно было сосредоточено в начальный момент времени (см., например, [20,54,60]). Подобный эффект также называют резонансным туннелированием, так как в отличие от обычного туннелирования, когда лишь малая часть волны проходит через потенциальный барьер, в этом случае наблюдается полный переход состояния через потенциальный барьер. Частота подобных туннельных переходов определяется величиной малого расщепления энергетических уровней спектра оператора Шредингера.

Асимптотическая формула для величины туннельного расщепления в случае симметричного потенциала была получена в работе [62] для высоких энергетических уровней и в работе [43] для случая нижних энергетических уровней (см. также [29,35,48,71,75,101]). Величина туннельного расщепления пары

нижних энергетических уровней найдена также и в случае многомерного симметричного потенциала [25,80,81,106].

С физической точки зрения большой интерес представляет также случай несимметричного потенциала [20,22,23,45,54,69]. Тогда задача существенно усложняется, однако примеры, рассмотренные численно, по-прежнему демонстрируют возможность возникновения резонансного туннелирования при определенных настройках потенциала [23,44,60,99,103].

Одной из основных задач настоящей диссертационной работы является построение и строгое обоснование асимптотики спектра и стационарных состояний оператора Шредингера Н с несимметричным двуямным потенциалом и определение условий, при которых эти состояния являются билокализованными, то есть условий туннельного резонанса. Данные вопросы были рассмотрены на физическом уровне строгости в работах [20,45,60,91], а некоторые строго обоснованные результаты были получены в [80,93,106]. Подробное изложение известных результатов и открытых проблем в случае несимметричного двуямного потенциала приведено в главе 1 настоящей диссертации (см. раздел 1.2).

Важный пример туннельного резонанса возникает при рассмотрении несимметричного потенциала, зависящего от внешнего параметра. Предположим, что одна из потенциальных ям двуямного потенциала является фиксированной "физической" потенциальной ямой, а вторая — является варьируемой пробной ямой, ее глубина и ширина являются внешними управляемыми параметрами. Состояние в начальный момент времени сосредоточено в заданной физической потенциальной яме. Возникновение резонансного туннелирования при определенной настройке пробного потенциала называют эффектом туннельного захвата состояния, поскольку тогда состояние начинает совершать туннельные переходы между потенциальными ямами. Критические значения внешних параметров, при которых возникает туннельный захват состояния, представляют интерес с физической точки зрения [45], они были рассмотрены численно для конкретного двуямного потенциала в работе [23]. В настоящей диссертации (см. раздел 2.6) рассмотрена задача о построении явных аналитических формул для значений параметров настройки пробного потенциала, при которых происходит туннельный захват состояния в случае прямоугольной пробной потенциальной ямы.

При рассмотрении туииелирования в несимметричном двуямном потенциале особую важность приобретает обоснование полученных результатов, поскольку некоторые работы, опубликованные ранее в физической литературе, содержат противоречивые выводы. Например, в работе Сонга [108] сделана попытка найти необходимые и достаточные условия возникновения резонансного туннели-рования, и построить квазиклассические формулы для соответствующих энергетических уровней и стационарных состояний, но эта работа не согласуется с результатами, представленными и строго доказанными ранее в работе [93]. В разделе 2.8 настоящей диссертации показано, что работа [108] содержит существенные ошибки, которые приводят к принципиально неверному результату.

Сложность построения квазиклассического приближения для туннельных эффектов в задаче о несимметричном двуямном потенциале связана с тем, что многие формулы стандартного квазиклассического приближения, такие как правила квантования энергетических уровней, правила перехода через точку поворота, формулы теории возмущений и другие, используемые на физическом уровне строгости как точные, в действительности являются асимптотическими, всего лишь, со степенной точностью по Я, а в задачах, включающих резонансное туннелирование, необходимо проводить вычисления с экспоненциальной точностью.

Одной из интересных задач, в которой возникает несимметричный потенциал, является задача о разрушении резонансного туииелирования в симметричном двуямном потенциале при деформации одной стороны потенциального барьера, разделяющего ямы. Предполагается, что деформация не затрагивает области классического движения, а следовательно, может оказывать влияние на квантовую частицу только за счет туннельных эффектов. Это так называемая задача "блоха на слоне" [73,93,107]. В работе [93] было доказано, что в этой ситуации волновые функции перестают быть билокализованными, а величина расщепления, хотя и остается экспоненциально малой (при К —» 0), но становится экспоненциально больше, чем расщепление в исходном симметричном двуямном потенциале до деформации. В работе [93] был найден показатель экспоненты величины туннельного расщепления в этой задаче, но открытым оставался вопрос о построении всего главного члена асимптотического разложения

(см. также [82]). Данная задача рассмотрена в разделах 2.7 и 2.8 настоящей диссертации.

Импульсное туннелирование

Другим важным проявлением туннельного эффекта является надбарьерное отражение частицы от потенциала, то есть импульсное туннелирование. В этом случае квантовая частица тоже преодолевает барьер, но не потенциальный, а в импульсном представлении. Важная модель, в которой импульсное туннелирование играет существенную роль — это одномерное движение квантовой частицы по окружности в потенциальном поле. Здесь, для энергий, существенно выше максимума потенциала, спектр оператора Шредингера состоит из пар близких точек, а соответствующие волновые функции стационарных состояний в импульсном представлении являются симметричными и антисимметричными. Аналогично тому, как это происходит в двуямном потенциале на прямой, здесь также возникает эффект туннельной транспортации, только в данном случае происходит туннельный переход от состояния, отвечающего движению частицы по окружности в одном направлении, в состояние, отвечающие движению в противоположном направлении.

Вычисление туннельного расщепления дискретного спектра квантовой частицы на окружности эквивалентно задаче о вычислении ширины лакун — промежутков между зонами в блоховском спектре оператора Шредингера на прямой с периодическим потенциалом У{х) (см., например, [55,66,97]). Простой пример У(х) = сон (а;) отвечает квантовому маятнику [58], а соответствующее уравнение Шредингера эквивалентно уравнению Матье. В более общем случае, когда потенциал аналитический и топология линий Стокса имеет вид как при У(х) = соз(ж), асимптотика ширины лакун была построена в работе Дыхне [27], полное строгое доказательство и разбор еще нескольких случаев представлен в работе Симоняна [42] (см. также [46,59,64]). Существует также ряд глубоких результатов о связи гладкости потенциала со скоростью убывания ширины лакун при росте энергии [55,102]. В случае аналитического потенциала известно, что ширина лакун экспоненциально убывает [109], а в случае потенциала конечной гладкости — убывает по степенному закону [88].

В настоящей диссертационной работе представлен общей метод вычисления величины расщепления энергий в случае динамического туннелировании частицы между двумя траекториями периодического движения. Для импульсного туннелирования частицы на окружности это дает единый подход к вычислению величины расщепления, как в случае аналитического потенциала, так и для потенциала конечной гладкости.

Научная новизна

В настоящей диссертации представлен ряд существенно новых научных результатов в задачах о координатном и импульсном туннелировании для одномерного уравнения Шредингера в квазиклассическом приближении.

Положения, выносимые на защиту:

1. В работе проведено исследование туннельного резонанса в несимметричном двуямном потенциале, получен критерий билокализации волновых функций и найдена асимптотика величины туннельного расщепления энергий.

2. Доказана формула связи двойной локализации волновых функций и величины туннельного расщепления энергий для оператора Шредингера с двуямным потенциалом. Найдено явное выражение амплитуды величины расщепления в случае высоких энергетических уровней и в случае энергий, близких к невырожденным минимумам потенциала.

3. Дано описание динамики состояния в двуямном потенциале при резонансном туннелировании и рассмотрены примеры туннельной транспортации в несимметричных двуямных потенциалах.

4. Рассмотрен эффект туннельного захвата состояния в случае, когда исходная потенциальная яма является гладкой финитной функцией, а пробная потенциальная яма является прямоугольной. Представлены явные аналитические формулы для резонансных значений ширины пробной потенциальной ямы.

5. Доказано, что метод построения квазиклассического приближения для

несимметричного потенциала, предложенный в работе Сонга [108], приводит к принципиально неверным результатам. Построен соответствующий контрпример.

6. В задаче, возникающей при рассмотрении эффекта "блоха на слоне", найдена асимптотическая формула для амплитуды туннельного расщепления энергий. Также получено обобщение описания данного эффекта на случай деформаций несимметричного потенциала.

7. В общем случае туннелирования между симметричными траекториями в фазовом пространстве (динамическое туннелирование) предложен операторный метод вычисления квазиклассической асимптотики величины туннельного расщепления энергий. В качестве примера рассмотрена задача о координатном туннелировании в симметричном и несимметричном двуямном потенциале.

8. Применяя предложенный операторный метод, для частицы на окружности в случае произвольного достаточно гладкого потенциала получена новая асимптотическая формула для величины туннельного расщепления энергий, связанного с надбарьерным отражением. В качестве примера применения этой формулы подробно рассмотрена задача о квантовом маятнике и показано, что в этом примере предложенная формула переходит в известную формулу Дыхне-Симоняна.

Все новые научные результаты, представленные в настоящей диссертации, опубликованы в 5 работах автора [16-19,94], две из которых (работы [17,^^опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Апробация

Результаты диссертационной работы были представлены на следующих российских и международных научных конференциях и семинарах.

1. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, Москва, 2011.

2. 2-я Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов и молодых ученых по тематическому направлению деятельности национальной нано-технологической сети «Функциональные наноматериалы для космической техники», Москва, 2011.

3. Международная конференция посвященная 110-ой годовщине И. Г. Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им. И. Г. Петровского), Москва, 2011.

4. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, посвященная 50-летию МИЭМ, Москва, 2012.

5. Международная школа-семинар «Взаимодействие математики и физики: новые перспективы» для студентов, аспирантов и молодых исследователей, Математический институт Стеклова РАН, Москва, 2012.

6. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ НИУ ВШЭ, Москва, 2013.

7. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ, Москва, 2014.

8. Семинар лаборатории "Математические методы естествознания" НИУ ВШЭ, Москва, 2014.

9. Семинар профессора О. Г. Смолянова, мехмат МГУ, Москва, 2015.

10. Семинар лаборатории "Механика природных катастроф", Институт проблем механики РАН, Москва, 2015.

Тезисы докладов опубликованы в [10-15].

Состав диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе представлен обзор литературы, изложены известные результаты и открытые проблемы, а также основные методы исследования. Во второй главе представлены новые научные результаты, полученные автором в задаче о координатном

туннелировании в несимметричном двуямном потенциале. В третьей главе настоящей диссертации изложен общий операторный метод вычисления туннельного расщепления в задачах динамического туннелирования и представлены новые научные результаты, полученные автором в задаче об импульсном туннелировании частицы на окружности.

Глава 1

Туннельные эффекты в одномерных системах с дискретным спектром. Обзор результатов и проблем

Одной из простейших моделей, где возникает нетривиальный туннельный эффект, является одномерный оператор Шредингера с потенциалом, имеющим вид двойной ямы, в общем случае — несимметричной. Задача об аналитическом описании спектра и волновых функций в двуямном потенциале имеет богатую историю: первые результаты, носящие качественный характер, содержались еще в работе [91] 1927 года.

Другим проявлением туннельного эффекта является отражение квантовой частицы при движении выше потенциального барьера, которое также можно рассматривать как туннелирование через классически запрещенную область (барьер) в импульсном представлении [92,98]. Это частный случай общего эффекта туннелирования между двумя различными траекториями в фазовом пространстве — так называемое динамическое туннелирование. Динамическое туннелирование возникает в различных квантовомеханических моделях и активно изучается в последнее время [61,84,85,95]. Важный пример динамического туннелирования дает задача о движении частицы по окружности под действием потенциального поля в случае, если ее энергия выше максимума потенциала (роторный режим).

Обе модели туннелирования: квантовая частица в двуямном потенциале и динамическое туннелирование частицы на окружности, — объединяет наличие пары периодических траекторий классического движения для заданного уров-

ня энергии Е. Для двуямного потенциала — это движение в левой и правой потенциальной яме, а для частицы на окружности — это движение в одном из двух возможных направлений. В классической механике частица движется только по одной из этих траекторий, в зависимости от начальных данных (положения и скорости), а в квантовой механике возможно туннелирование между соответствующими состояниями.

Даже для простейших моделей не удается построить описание туннелиро-вания точно и аналитически в общем виде. Аналитическое описание влияния туннельных эффектов на спектр и стационарные состояния оператора Шре-дингера удается получить только в квазиклассическом приближении, то есть асимптотически при Я —> 0, где /г — эффективная (полученная после перенормировки и обезразмеривания задачи) постоянная Планка.

В этом приближении в ряде случаев удается аналитически описать эффекты туннельного расщепления дискретного спектра и билокализацию стационарных состояний. В данной главе приведен обзор сответствующих результатов и описываются проблемы, решению которых посвящена настоящая диссертационная работа.

1.1 Квазиклассическое приближение без учета туннели-рования

В данном разделе изложены хорошо известные результаты, полученные при помощи стандартных методов квазиклассического приближения (методов ВКБ). Подробное изложение этих методов представлено в книге [34], а также в [29,31,

Рассмотрим квазиклассическую асимптотику дискретного спектра и соответствующих стационарных состояний одномерного уравнения Шредингера:

где У(х) — достаточно гладкий действительный потенциал. Соответствующий

46,80].

(1.1)

оператор обозначим через Н:

(1.2)

В диссертации рассмотрены две основных модели: координатное туннелирова-ние в двуямпом потенциале на прямой ж 6 К и динамическое туннелирование частицы на окружности х е

Квазиклассическое приближение устанавливает соответствие между некоторыми последовательностями (спектральными сериями) приближенных собственных значений оператора Н и семействами инвариантных торов классической системы с гамильтонианом Н = р2/2 + У{х) (см. [34]). В одномерном случае невырожденные инвариантные торы сводятся к периодическим траекториям движения и определяются линиями уровня {Н(х,р) = Е} классического гамильтониана (см., например, [2]).

Приближенные собственные значения, с точностью 0(Й2), определяются правилом дискретизации Планка-Бора-Зоммерфельда [29,34]:

где сг — индекс Маслова, п ~ 1/Д — целое число, а интеграл берется по периодической траектории классического движения на уровне энергии Е. Для частицы в потенциальной яме на прямой а = 2 (см., например, [29]), а для частицы, движущейся по окружности в роторном режиме, а = 0 (см., например, работы [46,56,64] и в разделе 3.2 данной диссертации). Из правила (1.3) следует,

I

что соседние уровни заданной серии находятся на расстояниях порядка Н друг от друга.

Для каждой энергии Е = Еп, удовлетворяющей правилу (1.3), можно построить квазимоду фп — приближенное решение стационарного уравнения Шре-дингера (1.1), локализованное вблизи соответствующей периодической траектории. Квазимоды и их роль при построении приближенных решений уравнений, включающих симметрии, были рассмотрены в работах [3,35].

Предположим теперь, что каждому значению энергии Е из некоторой фиксированной области соответствует пара периодических траекторий, то есть множество {Н(х,р) = Е} состоит из двух компонент связности, дифеоморфных окружности. Следовательно, классическая частица, обладающая заданной энергией Е, движется по одной из двух периодических траекторий, в зависимости от начальных условий. На рисунке 1.1 представлена пара периодических траекторий для случая двуямного потенциала на прямой.

(1.3)

Правило дискретизации (1.3) определяет две спектральные серии Еп \ фп^ и Ет\ фт - Спектр оператора Н в окрестности энергии Е совпадает с объединением этих серий с точностью 0(/г2). При таком объединении энергетический уровень из одной серии может приближенно совпасть с энергетическим уровнем из другой серии:

- = 0(П2). (1.4)

Тогда в спектре оператора Н присутствует пара близких собственных значений, при этом говорят, что произошло квазивырождение, то есть совпадение двух точек спектра в рамках точности рассматриваемого приближения.

Заметим, что в одномерном случае на прямой дискретный спектр оператора Шредингера невырожден, если потенциал непрерывен [6,29]. Пример двуямно-го потенциала с особенностью в области барьера, для которого спектр оператора Шредингера оказывается вырожденным, разобран в книге [44]. В задаче об импульсном туннелировании частицы на окружности подобное вырождение спектра возможно и в случае аналитического потенциала [26,55,90,97].

Если квазивырождения не происходит, то есть расстояние от фиксированного уровня Е = Е^ одной серии до ближайшего уровня из другой серии много больше Я2, то в 0(Д2) окрестности точки Е существует единственная точка спектра оператора Н, а соответствующая волновая функция близка (с точностью до множителя) к фп\ В этом случае стационарное состояние практически полностью локализовано вблизи только одной из двух траекторий периодического движения. Таким образом, если квазивырождение не происходит, то для

построения асимптотики спектра и стационарных состояний оператора Н достаточно построить асимптотические серии собственных значений и соответствующие квазимоды. В этом случае туннельные эффекты не играют существенной роли при описании спектра и соответствующих стационарных состояний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Выборный, Евгений Викторович, 2015 год

Литература

[1] Альбеверио, С. А. О формулах для расщепления верхних и нижних энергетических уровней одномерного оператора Шредингера / С. А. Альбеверио, С. Ю. Доброхотов, Е. С. Семенов // Теоретическая и математическая физика. - 2004. - Т. 138. - №. 1. — С. 116-126.

[2] Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. — М.: Наука, 1989. - 472 с.

[3] Арнольд, В. И. Моды и квазимоды / В. И. Арнольд // Функциональный анализ и его приложения. — 1972. — Т. 6. - №. 2. — С. 12-20.

[4] Арнольд, В. И. Замечания о теории возмущений для задач типа Матье / В. И. Арнольд. // Успехи математических наук. — 1983. — Т. 38. — №. 4 (232). — С. 189-203.

[5] Базилевский, М. В. Метод молекулярных орбит и реакционная способность органических молекул / М. В. Базилевский. — М.: Химия, 1969. — 302 с.

[6] Березин, Ф. А. Уравнение Шредингера. / Ф. А. Березин ,М. А. Шубин. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. — 392 с.

[7] Браун, П. А. Метод ВКБ для трехчленных рекуррентных соотношений и квазиэнергии ангармонического осциллятора / П. А. Браун // Теоретическая и математическая физика. — 1978. — Т. 37. — №. 3. — С. 355-370

[8] Брюнинг, Й. Расщепление нижних энергетических уровней в квантовой двойной яме в магнитном поле и туннелирование волновых пакетов в на-нопроводах / Й. Брюнинг, С. Ю. Доброхотов, Р. В. Некрасов // Теоретическая и математическая физика. — 2013. — Т. 175. — №. 2. — С. 206-225.

[9] Васильева, А. Б. О соответствии между некоторыми свойствами решений линейных разностных систем и систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений / А. В. Васильева // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — 1967. — Т. 5. — С. 21-44.

[10] Выборный, Е. В. Экспоненциальное расщепление спектра одномерного оператор Шредингера / Е. В. Выборный // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. - М.: МИЭМ, 2011. — С. 8-9.

[11] Выборный, Е. В. Туннельное расщепление спектра в несимметричном наноладшафте / Е. В. Выборный // Труды 2-й всероссийской школы-семинара студентов, аспирантов и молодых ученых по тематическому направлению деятельности национальной нанотехнологической сети «Функциональные наноматериалы для космической техники»: сб. научн. тр. — М.: МИЭМ, 2011. - С. 72-74.

[12] Выборный, Е. В. Квазиклассическая билокализация и транспортация в несимметричной двойной яме / Е. В. Выборный // Международная конференция посвященная 110-ой годовщине И. Г. Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им. И. Г. Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ и ООО «ИНТУИТ.РУ», 2011. - С. 174-175.

[13] Выборный, Е. В. Квазиклассическая билокализация и транспортация в несимметричной двойной яме / Е. В. Выборный //В кн.: Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, посвященная 50-летию МИЭМ. Тезисы докладов / Науч. ред.:

B. Н. Азаров, М. В. Карасев, Л. Н. Кечиев, Б. Г. Львов, Ю. Л. Леохин,

C. Н. Никольский, И. С. Смирнов, Н. С. Титкова, В. М. Четвериков. — М.: МИЭМ, 2012. - С. 40-40.

[14] Выборный, Е. В. Туннельное возмущение дискретного спектра / Е. В. Выборный //В кн.: Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ НИУ ВШЭ. Тезисы докладов /

Под общ. ред.: А. Н. Тихонов, В. Н. Азаров, М. В. Карасев, В. П. Кулагин, Ю. JI. Леохин, Б. Г. Львов, У. В. Аристова, Н. С. Титкова. — М. : МИЭМ НИУ ВШЭ, 2013. — С. 10-10.

[15] Выборный, Е. В. Туннельный захват состояния / Е. В. Выборный // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ. Материалы конференции. — М: МИЭМ НИУ ВШЭ, 2014. - С. 30-31.

[16] Выборный, Е.В. Туннельное расщепление спектра и билокализация собственных функций в несимметричной двойной яме / Е. В. Выборный // Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. — 2012. — Т. 7.

— Ж 2. - С. 5-16.

[17] Выборный, Е. В. Туннельное расщепление спектра и билокализация собственных функций в несимметричной двойной яме / Е. В. Выборный // Теоретическая и математическая физика. — 2014. — Т. 178. — №. 1. — С. 108-131.

[18] Выборный, Е. В. Об энергетическом расщеплении при динамическом тун-нелировании / Е. В. Выборный // Теоретическая и математическая физика. — 2014. — Т. 181. — №. 2. — С. 337-348.

[19] Выборный, Е. В. Эффект туннельного захвата / Е. В. Выборный, М. В. Карасев // Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. — 2014. — Т. 11. — №. 1. — С. 27-36.

[20] Гольданский, В. И. Туннельные явления в химической физике / В. И. Гольданский, Л. И. Трахтенберг, В. Н. Флёров. — М.: Наука, 1986.

— 296 с.

[21] Горьков, Л. П. Энергия расщепления термов молекулы водорода / Л. П. Горьков, Л. П. Питаевский // Докл. Акад. наук СССР. — 1963.

— Т. 151. - С. 822-825.

[22] Демиховский, В. Я. Физика квантовых низкоразмерных структур / В. Я. Демиховский, Г. А. Вугальтер. — М. : Логос, 2000. — 248 с.

[23] Демиховский, В. Я. Моделирование резонансных туннельных процессов в гетероструктуре, состоящей из двух квантовых ям / В. Я. Демиховский, С. С. Савинский // Физика твердого тела. — 1992. — Т. 34. — №. 8. — 2382-2385.

[24] Доброхотов, С. Ю. Об амплитуде расщепления нижних энергетических уровней оператора Шредингера с двумя симметричными ямами / С. Ю. Доброхотов, В. Н. Колокольцов // Теоретическая и математическая физика. — 1993. — Т. 94. — №. 3. - С. 426-434.

[25] Доброхотов, С. Ю. Расщепление нижних энергетических уровней уравнения Шредингера и асимптотика фундаментального решения уравнения кщ = }г2Аи/2 — У(х)и / С. Ю. Доброхотов, В. Н. Колокольцов, В. П. Мас-лов // Теоретическая и математическая физика. — 1991. — Т. 87. — №. 3. - С. 323-375.

[26] Дубровин, Б. А. Периодический и условно периодический аналоги мно-госолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1974. - Т. 67. - №. 6. - С. 2131-2144.

[27] Дыхне, А. М. Квазиклассическая частица в одномерном периодическом потенциале / А. М. Дыхне // Журнал экспериментальной и теоретической физики. —1961.— Т. 40. — С. 1423-1426.

[28] Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. — Пер. с англ. — М.: Мир 1972. — 740 с.

[29] Ландау, Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц // Теоретическая физика. — Т. 3. — Издание 1-е. — Л.: Гос. изд-во РСФСР, 1948. — 567 с.

[30] Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский // Теоретическая физика. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — Т. 9. — М.: Наука, 1978. — 448 с.

[31] Маслов, В. П. Операторные методы / В. П. Маслов. — М.: Наука, 1973. — 544 с.

[32] Маслов, В. П. Комплексный метод ВКВ в нелинейных уравнениях / В. П. Маслов. — М.: Наука, 1977. — 384 с.

[33] Маслов, В. П. Глобальная экспоненциальная асимптотика решений туннельных уравнений и задачи о больших уклонениях / В. П. Маслов. // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 1984. — Т. 163. - С. 150-180.

[34] Маслов, В. П. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики / В. П. Маслов, М.В. Федорюк. — М.: Наука, 1976. — 296 с.

[35] Панкратова, Т. Ф. Квазимоды и экспоненциальное расщепление собственных значений / Т. Ф. Панкратова // Проблемы математической физики, выпуск 11: Дифференциальные уравнения и теория рассеяния / ред. М. Ш. Бирман. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. — С. 167-177.

[36] Панкратова, Т. Ф. Квазимоды и экспоненциальное расщепление гамака / Т. Ф. Панкратова // Математические вопросы теории распространения волн. 21./ ред. В. М. Бабич. — Зап. научн. сем. ЛОМИ. — Т. 195 — СПб.: Наука, 1991. — С. 103-112.

[37] Покровский, В. Л. Надбарьерное отражение в квазиклассическом приближении / В. Л. Покровский, С. К. Саввиных, Ф. Р. Улинич // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1958. — Т. 34. — №. 5. — С. 1272-1277.

[38] Покровский, В. Л. Надбарьерное отражение в квазиклассическом приближении. II / В. Л. Покровский, С. К. Саввиных, Ф. Р. Улинич // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1958. — Т. 34. — №. 6. — С. 1629-1631.

[39] Покровский, В. Л. К вопросу о надбарьерном отражении частиц высоких энергий / В. Л. Покровский, И. М. Халатников // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1961. — Т. 40. — С. 1713-1719.

[40] Рид, М. Методы современной математической физики. Том 2. Гармонический анализ. Самосопряженность / М. Рид, Б. Саймон. — Пер. с англ. — М.: Мир 1978. — 394 с.

[41] Рид, М. Методы современной математической физики. Том 4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон. — Пер. с англ. — М.: Мир 1982. — 428 с.

[42] Симонян, С. Г. Асимптотика ширины лакун в спектре оператора Штурма-Лиувилля с периодическим аналитическим потенциалом / С. Г. Симонян // Дифференциальные уравнения. — 1970. — Т. 6. — С. 1265-1272.

[43] Славянов, С. Ю. Асимптотика некоторых сингулярных задач Штурма-Лиувилля по большому параметру в случае близких точек перехода / С. Ю. Славянов // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т. 5. — №. 2. — С. 313-325.

[44] Славянов, С. Ю. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей / С. Ю. Славянов, В. Лай. — СПб.: Невский Диалект, 2002. - 312 с.

[45] Тавгер, Б. А. Квантовые размерные эффекты в полупроводниковых и полуметаллических пленках / Б. А. Тавгер, В. Я. Демиховский // Успехи физических наук. — 1968. — Т. 96. — №. 9. — С. 61-86.

[46] Федорюк, М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М. В. Федорюк. — М.: Наука, 1983. — 352 с.

[47] Федорюк, М. В. Метод перевала / М. В. Федорюк. — М.: Наука, 1977. — 368 с.

[48] Федорюк, М. В. Асимптотика дискретного спектра оператора w"(x) — \2p(x)w(x) / М. В. Федорюк // Математический сборник. — 1965. — Т. 68 (110). — №. 1. — С. 81-110.

[49] Agmon, S. Lectures on exponential decay of solutions of second order elliptic equations: bounds on eigenfunctions of N-body Schrodinger operators. /

S. Agmon // Mathematical Notes, Vol. 29 — Princeton: Princeton University Press, 1982. - C. 24-87.

[50] Anikin, A. Yu. Asymptotic behavior of the Maupertuis action on a libration and tunneling in a double well / A. Yu. Anikin // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2013. — T. 20. — №. 1. — C. 1-10.

[51] Ankerhold, J. Quantum Tunneling in Complex Systems: The Semiclassical Approach / J. Ankerhold. — Springer Tracts in Modern Phisics, Vol. 224. — Berlin: Springer, 2007. — 210 c.

[52] Avron, J. The asymptotics of the gap in the Mathieu equation / J. Avron,

B. Simon // Annals of Physics. — 1981. — T. 134. — №. 1. — C. 76-84.

[53] Ayub, M. Atom optics quantum pendulum / M. Ayub, K. Naseer, M. Ali, F. Saif // Journal of Russian Laser Research. — 2009. — T. 30. — №. 3. —

C. 205 223.

[54] Bell, R. P. The tunnel effect in chemistry / R. P. Bell. — New York: Chapman and Hall, 1980. - 222 c.

]55] Brown, B. M. Periodic differential operators / B. M. Brown, M. S. P. Eastham, K. M. Schmidt // Operator Theory: Advances and Applications — Springer, 2012. — T. 228. — 216 c.

[56] Brüning, J. The spectral asymptotics of the two-dimensional Schrödinger operator with a strong magnetic field. I / J. Brüning, S. Yu. Dobrokhotov, K. V. Pankrashkin // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2002. — T. 9. — №. 1. - C. 14-49.

[57] Brüning, J. Unstable closed trajectories, librations and splitting of the lowest eigenvalues in quantum double well problem / J. Brüning, S. Yu. Dobrokhotov, E. S. Semenov // Regular and chaotic dynamics. — 2006. — T. 11. — №. 2. — C. 167-180.

[58] Condon, E. U. The Physical Pendulum in Quantum Mechanics / E. U. Condon // Physical Review. — 1928. — T. 31. — C. 891-894.

[59] Connor, J. N. L. Eigenvalues of the Schrodinger equation for a periodic potential with nonperiodic boundary conditions: A uniform semiclassical analysis / J. N. L. Connor, T. Uzer, R. A. Marcus, A. D. Smith // The Journal of chemical physics. - 1984. - T. 80. - №. 10. — C. 5095-5106.

[60] Cordes, J. G. Tunnelling in asymmetric double-well potentials: varying initial states / J. G. Cordes, A. K. Das //Superlattices and microstructures. — 2001.

- T. 29. - №. 2. - C. 121-132.

[61] Davis, M. J. Quantum dynamical tunneling in bound states / M. J. Davis, E. J. Heller // The Journal of Chemical Physics. - 1981. — T. 75. - №. 1. — C. 246-254.

[62] Dennison, D. M. The two-minima problem and the ammonia molecule / D. M. Dennison, G. E. Uhlenbeck // Physical Review. - 1932. - T. 41. — №. 3.

- C. 313-321.

[63] Dobrokhotov, S. Yu. Tunneling, librations and normal forms in a quantum double well with a magnetic field / S. Yu. Dobrokhotov, A. Yu. Anikin // Nonlinear physical systems: spectral analysis, stability and bifurcations / 0. N. Kirillov, D. E. Pelinovsky (editors). — New York: John Wiley & Sons, 2014. — C. 85-110.

[64] Dobrokhotov, S. Yu. "Momentum" Tunneling between tori and the splitting of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator on Liouville surfaces / S. Yu. Dobrokhotov, A. I. Shafarevich // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. - 1999. — T. 2. — №. 2. - C. 141-177.

[65] Dovzhenko, Y. Nonadiabatic quantum control of a semiconductor charge qubit / Y. Dovzhenko, J. Stehlik, K. D. Petersson, J. R. Petta, H. Lu, A. C. Gossard // Physical Review B. — 2011. — T. 84. - №. 16. - C. 161302.

[66] Eastham, M. S. P. The spectral theory of periodic differential equations. / M. S. P. Eastham. — Edinburgh: Scottish Academic Press Ltd., 1973. — 130 c.

[67] Fedotov, A. Strong resonant tunneling, level repulsion and spectral type for one-dimensional adiabatic quasi-periodic Schrodinger operators / A. Fedotov,

F. Klopp // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. —2005. — T. 38. - №. 6. - C. 889-950.

[68] Fedotov, A. Weakly resonant tunneling interactions for adiabatic quasi-periodic Schrodinger operators/ A. Fedotov, F. Klopp // Mémoire de la Société mathématique de France. — 2006. — №. 104. — C. 1-108.

[69] Gangopadhyay, A. Exact solution for quantum dynamics of a periodically driven two-level system / A. Gangopadhyay, M. Dzero, V. Galitski // Physical Review B. - 2010. - T. 82. — №. 2. - C. 024303.

[70] Geronimo, J. S. WKB (Liouville-Green) analysis of second order difference equations and applications / J. S. Geronimo, D. T. Smith // Journal of Approximation Theory. - 1992. — T. 69. — №. 3. — C. 269-301.

[71] Gildener, E. Pseudoparticle contributions to the energy spectrum of a one-dimensional system / E. Gildener, A. Patrascioiu // Physical Review D. — 1977. - T. 16. - №. 2. - C. 423-430.

[72] Gorman, J. Charge-qubit operation of an isolated double quantum dot / J. Gorman, D. J. Hasko, D. A. Williams // Physical review letters. — 2005.

- T. 95. - №. 9. - C. 090502.

[73] Graffi, S. Tunnelling instability via perturbation theory / S. Graffi, V. Grecchi,

G. Jona-Lasinio // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1984.

— T. 17. - №. 15. - C. 2935-2944.

[74] Hall, B. C. Quantum Theory for Mathematicians / B. C. Hall // Graduate Texts in Mathematics. — T. 267. — New York: Springer, 2013. — 554 c.

[75] Harrell, E. M. Double wells / E. M. Harrell // Communications in Mathematical Physics. — 1980. — T. 75. — №. 3. — C. 239-261.

[76] Harrell, E. M. On the rate of asymptotic eigenvalue degeneracy / E. M. Harrell // Communications in Mathematical Physics. — 1978. — T. 60. — №. 1. — C. 73-95.

[77] Harrell, E. M. On the effect of the boundary conditions on the eigenvalues of ordinary differential equations / E. M. Harrell // American Journal of Mathematics, supplement. — 1981. — C. 139-150.

[78] Harrell, E. M. The band-structure of a one-dimensional, periodic system in a scaling limit / E. M. Harrell // Annals of physics. — 1979. — T. 119. — №. 2.

- C. 351-369.

[79] Heitler, W. Wechselwirkung neutraler Atome und homôopolare Bindung nach der Quantenmechanik / W. Heitler, F. London // Zeitschrift fiir Physik. — 1927. - T. 44. - №. 6-7. - C. 455-472.

[80] Helffer, B. Semi-classical analysis for the Schrôdinger operator and applications / B. Helffer // Lecture notes in mathematics, vol. 1336. — Berlin: Springer, 1988. — 110 c.

[81] Helffer, B. Multiple wells in the semi-classical limit I / B. Helffer, J. Sjôstrand // Communications in Partial Differential Equations. — 1984. — T. 9. — №. 4.

- C. 337-408.

[82] Helffer, B. Puits multiples en limite semi-classique. II: Interaction moléculaire. Symétries. Perturbation / B. Helffer, J. Sjôstrand // / Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique. — 1985. — T. 42. — №. 2. — C. 127212.

[83] Helffer, B. Multiple wells in the semi-classical limit III: Interaction Through Non-Resonant Wells / B. Helffer, J. Sjôstrand // Mathematische Nachrichten.

- 1985. - T. 124. - №. 1. - C. 263-313.

[84] Heller, E. J. Quantum dynamical tunneling in large molecules. A plausible conjecture / E. J. Heller, M. J. Davis // The Journal of Physical Chemistry.

- 1981. - T. 85. - №. 4. - C. 307-309.

[85] Hensinger, W. K. Dynamical tunnelling of ultracold atoms / W. K. Hensinger, H. Haffner, A. Browaeys, N. R. Heckenberg, K. Helmerson, C. McKenzie, G. J. Milburn, W. D. Phillips, S. L. Rolston, H. Rubinsztein-Dunlop, B. Upcroft // Nature. — 2001. - T. 412. - №. 6842. — C. 52-55.

[86] Herring, C. Critique of the Heitler-London method of calculating spin couplings at large distances / C. Herring // Reviews of Modern Physics. — 1962. - T. 34. - №. 4. - C. 631-645.

[87] Herring, C. Asymptotic Exchange Coupling of Two Hydrogen Atoms / C. Herring, M. Flicker // Physical Review A. - 1964. - T. 134. - №. 2.

- C. 362-366.

[88] Hochstadt, H. Estimates on the stability intervals for Hill's equation / H. Hochstadt // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1963.

- T. 14. - №. 6. - C. 930-932.

[89] Hochstadt, H. Instability intervals of Hill's equation / H. Hochstadt // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1964. — T. 17. — №. 2.

- C. 251-255.

[90] Hoehn, E. K. H. On the coexistence problem for a special Hill's equation / E. K. H. Hoehn // ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics.

- 1969. - T. 49. - №. 11. - C. 679-683.

[91] Hund, F. Zur Deutung der Molekelspektren. I / F. Hund // Zeitschrift für Physik. - 1927. - T. 40. - №. 10. — C. 742-764.

[92] Jaffe, R. L. Reflection above the barrier as tunneling in momentum space / R. L. Jaffe //American Journal of Physics. — 2010. — T. 78. — №. 6. — C. 620-623.

[93] Jona-Lasinio, G. New approach to the semiclassical limit of quantum mechanics / G. Jona-Lasinio, F. Martineiii, E. Scoppola // Communications in Mathematical Physics. — 1981. — T. 80. — №. 2. — C. 223-254.

[94] Karasev, M. V. Tunnel catch from potential wells and energy detection / M. V. Karasev, E. V. Vybornyi // Working papers by Cornell University. Series math-ph "arxiv.org". — arXiv:1411.4436. — 2014. — 11 c.

[95] Le Deunff, J. Instantons revisited: dynamical tunnelling and resonant tunnelling / J. Le Deunff, A. Mouchet // Physical Review E: Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. — 2010. — T. 81. — C. 046205.

[96] Leibscher, M. Quantum dynamics of a plane pendulum / M. Leibscher,

B. Schmidt // Physical Review A. - 2009. - T. 80. - №. 1. - C. 012510.

[97] Magnus, W. Hill's Equation / W. Magnus, W. Winkler. — New York: Wiley, 1966. - 127 c.

[98] Maitra, N. T. Semiclassical perturbation approach to quantum reflection / N. T. Maitra, E. J. Heller // Physical Review A. - 1996. - T. 54. - №. 6. —

C. 4763-4768.

[99] Nieto, M. M. Resonances in quantum mechanical tunneling / M. M. Nieto, V. P. Gutschick, C. M. Bender, F. Cooper, D. Strottman // Physics Letters B. - 1985. - T. 163. - №. 5-6. - C. 336-342.

[100] Olver, F. W. J. Asymtotics and special functions / F. W. J. Olver. — New York: Academic Press, 1974. — 547 c.

[101] Polyakov, A. M. Quark confinement and topology of gauge theories /

A. M. Polyakov // Nuclear Physics B. — 1977. - T. 120. — №. 3. — C. 429-458.

[102] Pôschel, J. Hill's potentials in weighted Sobolev spaces and their spectral gaps / J. Pôschel // Mathematische Annalen. — 2011. — T. 349. — №. 2. — C. 433-458.

[103] Razavy, M. Quantum Theory of Tunneling / M. Razavy. — Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2003. — 549 p.

[104] Simon, B. Instantons, double wells and large deviations / B. Simon // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1983. — T. 8. — №. 2. — C. 323-326.

[105] Simon, B. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. I. Non-degenerate minima: Asymptotic expansions / B. Simon // Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique. —1983. — T. 38. - №. 3. — C. 295-308.

[106] Simon, B. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. II: Tunneling /

B. Simon // Annals of mathematics. — 1984. — T. 120. — №. 1. — C. 89118.

[107] Simon, B. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. IV. The flea on the elephant / B. Simon // Journal of functional analysis. — 1985. — T. 63. — №. 1. — C. 123-136.

[108] Song, D. Y. Tunneling and energy splitting in an asymmetric double-well potential / D. Y. Song // Annals of Physics. — 2008. — T. 323. — №. 12.

- C. 2991-2999.

[109] Trubowitz, E. The inverse problem for periodic potentials / E. Trubowitz // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1977. — T. 30. — №. 3.

- C. 321-337.

[110] von Neumann, J. Uber merkwürdige diskrete Eigenwerte. Uber das Verhalten von Eigenwerten bei adiabatischen Prozessen / J. von Neumann, E. Wigner // Physikalische Zeitschrift — 1929. — T. 30. — C. 467-470.