Математическое обеспечение автоматизированного проектирования промышленных сетей с функционально зависимыми контрольными операциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.12, кандидат наук Нгуен Ань Зунг

• Нгуен Ань Зунг
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Ань Зунг

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 АНАЛИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ КОНТРОЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В ПРОМЫШЛЕННЫХ СЕТЯХ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА GERT-СЕТЕЙ

1.1 Обзор стохастических сетей и GERT-сетей

1.2 Использование распределения Кокса в GERT-сетях

1.3 Метод имитационного моделирования Монте-Карло

1.4 Определение плотности распределения вероятностей в промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей при функциональной зависимости контрольных операций

1.5 Основные результаты

ГЛАВА 2 МЕТОДИКА РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОКСА НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ GERT-СЕТЕЙ

2.1 Разновидности распределений Кокса

2.2 Нахождение обратных функций и модулей их производных при выполнении функциональных преобразований случайных величин в GERT-сети на основе распределения Кокса

2.3 Нахождение плотности распределения вероятностей крутого распределения при наличии только простых полюсов

2.4 Нахождение плотности распределения крутого распределения при наличии полюсов первого и второго порядков и выше

2.5 Нахождение плотности распределения крутого распределения при наличии полюсов высоких порядков

2.6 Выполнение преобразований для крутого распределения

2.7 Выполнение преобразований функционально зависимых случайных величин для параллельного распределения Кокса

2.8 Выполнение преобразований функционально зависимых случайными величинами для схемы с ветвлениями и задержкой

2.9 Выполнение преобразований функционально зависимых случайных величин для последовательно-параллельно включенных блоков

с экспоненциально распределенным временем задержки

2.10 Использование экспонент с функциональными преобразованиями случайных величин в GERT-сети при произвольной форме

2.11 Условные функции распределения при функционально зависимых случайных величин

2.12 Основные результаты

ГЛАВА 3 МЕТОДИКИ РАСЧЕТА ФУНКЦИОНАЛЬНО ЗАВИСИМЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В ПРОМЫШЛЕННЫХ СЕТЯХ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ GERT-СЕТЕЙ

3.1 Методика нахождения минимальной плотности распределения вероятностей из нескольких функционально зависимых контрольных операций

3.2 Методика применения стохастических сетей при планировании сборочных операций с функциями контроля

3.3 Модели использования аналитических функций с функциями контрольных операций

3.4 Методики использования дискретных распределений функций случайных величин

3.5 Методика получения контрольной выходной операции промышленной сети на основе моделей GERT-сетей с заданным распределением путем функционального преобразования

3.6 Методика применения функциональных зависимостей от сложных распределений

3.7 Методика использования функционально связанных контрольных операций с распределениями выходных операций сложных в промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей

3.8 Методика использования стохастических сетей при планировании прибыли с учетом возможных потерь

3.9 Методика преобразования структуры промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей с положительными и отрицательными случайными величинами

3.10 Основные результаты

ГЛАВА 4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗРАБОТАННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ СЕТЕЙ С ФУНКЦИОНАЛЬНО ЗАВИСИМЫМИ КОНТРОЛЬНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

4.1 Задача проектирования процесса передачи данных в

телекоммуникационных сетях с контрольными операциями

4.2 Расчет времени передачи файла в промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей с коммутацией пакетов связи вместе с проверкой достоверности и значимости содержимого файла

4.3 Оценка вероятностно-временных характеристик систем с потерей ценности информации

4.4 Оценка вероятностно-временных характеристик систем массового обслуживания типа M/G/1 с обслуживающим прибором с операциями, зависящими от функций случайных величин

4.5 Проверка корректности методики использования функциональной

зависимости контрольных операций

4.6. Основные результаты

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

153

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое обеспечение автоматизированного проектирования промышленных сетей с функционально зависимыми контрольными операциями»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время для оптимизации и моделирования технических систем все большее распространение получают альтернативные стохастические сети, в частности модели GERT-сетей (GERT - Graphical Evaluation And Review Technique). Модели GERT-сетей применяется для оптимизации производственных и технологических процессов, моделирования распределенных систем обработки информации, исследования вероятностно-временных характеристик сетевого планирования передачи данных в телекоммуникационных сетях. GERT-сети позволяют определить не только значения переменных, связанных с моментами распределения выходной величины сети (математическое ожидание, дисперсия), но и получить функцию распределения, с использованием которой дальше провести дальнейшие математические преобразования.

В промышленных сетях выполняется обмен данными между устройствами, входящими в состав автоматизированной системы (компьютерами, контроллерами, датчиками и т.п.). GERT-сети часто используются на практике для описания процессов моделирования и исследования эффективности передачи данных между устройствами в промышленных сетях.

Процесс выполнения одной за другой пары операций в промышленной сети на основе моделей GERT-сетей может быть рассмотрен в функциональной зависимости второй операции от первой при условии строгой монотонности такой зависимости. При этом действие одной случайной величины сказывается определенным образом на исход другой случайной величины. Например, при планировании процесса передачи данных в промышленных сетях после выполнения операции передачи файла необходимо выполнить контрольные операции, которые позволяют проверить корректность, обнаружить ошибки передаваемых данных и повысить надежность процесса передачи данных. Под контрольной операцией понимается процедура проверки выполнения операций предшествования, которая позволяет получить разрешение на продолжение дальнейших информационных и технологических процессов. Время операции передачи данных в промышленных сетях определяется длиной файла, а время контрольной операции составляет до-

лю от длины файла. При этом в модели суммируются длительности обеих операций.

Проведенный анализ и исследование предметной области показал, что модели планирования и выполнения проектов в промышленных сетях (в том числе и GERT-модели) с функциональными зависимостями между операциями не освещены в научной литературе. Резюмируя все сказанное, можно считать тему данной диссертации актуальной. Актуальность темы диссертации также подтверждается тем, что она выполнялась при финансовой поддержке в рамках госзадания № 9-14Г (госрегистрация НИР № 115011560084).

Степень разработанности темы исследования. Основоположниками теории функционально зависимых случайных величин являются Ван дер Варден Б.А., Doukhan P., Louhichi S., Dedecker J., Lang G., Leon J., Shao, X., Withers, C.S., Tran, L.T., Birkel T., Wu W.B., Rosenblatt M.F., X.; Grama, I., Liu, Q., Bernstein, S., Вентцель Е.С., Овчаров Л.А., Гнеденко Б. В., Коваленко И.Н., Филиппова А.А., Мешалкин Л.Д., Пугачев В.С., Свешников А.А., Смирнов Н.В., Дудин-Бурковсккий И.В.

Основы GERT-сетей заложили А.А., Pritsker, W.W. Happ, G.E. Whitehouse, K. Neumann, U. Steinhardt, А.П. Шибанов, Д. Филлипс, A. Гарсиа Диас. Решению прикладных проблем с помощью GERT-сетей посвящены работы как отечественных авторов: Г.П. Захарова, Д.А. Абдуллаева, У.Б. Амирсаидова, Е.А. Антамош-киной, В.П. Корячко, Н.А. Максимова, О.К. Осипчука, М.Г. Доррера, А.С. Дегте-рева, Д.М. Письмана, А.А Зырянова, В.А. Лебедева, H.H. Трохова, Р.Ю. Царева, Л.В. Ермолаевой, К.В. Вид, Е.Ф. Аврамчука, А.А. Вавилова, С.В. Емельянова так и зарубежных: W.J. Thompson, Yu, Jung-Lok, Azougagh, Driss, Kim, Jin-Soo, S. Razeghi, S. Iranzadeh, K.R. Youshanloi, M. Bagherpour, H. Bevrani, J. Wang, M. Chen, A.Wyrozebski, M. Agarwal, M.P. Pooja, H. Feili , S.H. Alavi, M. Najmoddin, R. Antkiewicz, M. Dyk, R. Kasprzyk, A. Najgebauer, D. Pierzchalam, Z. Tarapata, K.P. Jose, S.S. Hashemin, T.F. Fatemi Ghomi.

Цель и задачи исследования. Целью работы является повышение эффективности информационных и технологических процессов, а также расширение

функциональных возможностей моделей GERT-сетей посредством разработки математического обеспечения автоматизированного проектирования промышленных сетей с функционально зависимыми контрольными операциями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

- провести исследование и анализ функциональных зависимостей контрольных операций в промышленных сетях на основе математического аппарата GERT-сетей;

- разработать методику расчета распределения Кокса на основе моделей GERT-сетей;

- разработать методику планирования сборочных операций стохастической структуры для решения задач с функциями от случайных величин на основе моделей GERT-сетей;

- разработать модель использования аналитических функций в промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей для получения плотности и функции распределения вероятностей функционально зависимых контрольных операций;

- разработать методику планирования прибыли с учетом возможных потерь за счет введения в промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей отрицательных и положительных случайных величин.

Объект исследования: процессы проектирования и планирования сборочных операций промышленных сетей.

Предмет исследования: средства математического обеспечения автоматизированного проектирования промышленных сетей с функционально зависимыми контрольными операциями.

Методология и методы исследования. Методология связана с анализом логической структуры методов исследования, истинности и аргументированности результатов. Положения, выводы и экспериментальные результаты диссертационной работы получены с использованием: теории графов, полумарковских моделей, методов нахождения распределений выходных характеристик GERT-сетей,

теории вероятностей, теории аналитических функций комплексного переменного, теории массового обслуживания.

Соответствие паспорту специальности. Содержание диссертационной работы соответствует паспорту специальности 05.13.12 «Системы автоматизации проектирования» согласно пунктам:

• п.1 «Методология автоматизированного проектирования в технике, включая постановку, формализацию и типизацию проектных процедур и процессов проектирования, вопросы выбора методов и средств для применения в САПР»;

• п.2 «Разработка научных основ создания систем автоматизации проектирования и автоматизации технологической подготовки производства (САПР и АСТПП)»;

• п.3 «Разработка научных основ построения средств САПР, разработка и исследование моделей, алгоритмов и методов для синтеза и анализа проектных решений, включая конструкторские и технологические решения в САПР и АСТПП»;

• п.6 «Разработка научных основ реализации жизненного цикла проектирование - производство - эксплуатация, построения интегрированных средств управления проектными работами и унификации прикладных протоколов информационной поддержки».

Научная новизна. В диссертации содержится решение актуальной научной задачи разработки математического обеспечения автоматизированного проектирования промышленных сетей с функционально зависимыми контрольными операциями, имеющего существенное значение для повышения эффективности информационных и технологических процессов, а также расширения функциональных возможностей моделей GERT-сетей.

В работе получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

- методика расчета распределения Кокса на основе моделей GERT-сетей, позволяющая повысить эффективность информационных процессов промышленных сетей;

- методика планирования сборочных операций с функциями контроля в промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей, позволяющая повысить надежность выполнения данных операций;

- модель использования теории вычетов для получения законов распределения вероятностей функционально зависимых контрольных операций в промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей, которые позволяют провести математические преобразовании, выполняемые при анализе процессов передачи информации с учетом отношений предшествования;

- методика планирования прибыли с учетом возможных потерь за счет введения в промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей отрицательных и положительных случайных величин.

Положения, выносимые на защиту:

1 Методика расчета распределения Кокса на основе моделей GERT-сетей.

2 Методика планирования сборочных операций промышленных сетей с функциями контроля на основе моделей GERT-сетей.

3 Модель использования аналитических функций с функциями контрольных операций для получения законов распределения вероятностей функционально зависимых контрольных операций промышленных сетей на основе моделей GERT-сетей.

4 Методика планирования прибыли с учетом возможных потерь за счет введения в промышленных сетях на основе моделей GERT-сетей отрицательных и положительных случайных величин.

Степень достоверности. Степень достоверности положений и выводов диссертации определяется:

- отсутствием противоречий с известными научными положениями;

- корректностью полученных математических результатов;

- сравнением результатов, полученных численными методами, с результатами, полученными на основе теории аналитических функций;

- сравнением результатов моделирования, применения численных методов и комплекса программ с результатами реального проектирования.

Теоретическая и практическая значимость работы. На основе разработанного математического обеспечения автоматизированного проектирования промышленных сетей с функциональными преобразованиями контрольных операций созданы инженерные методики. Теоретическая значимость работы заключается:

- в реализации методик получения распределения Кокса на основе моделей GERT-сетей;

- в создании методики использованием сетей стохастической структуры для решения задач с функциями от случайных величин при планирования сборочных операций на основе моделей GERT-сетей;

- использования теории вычетов и функционально зависимых контрольных операций для получения функций распределения промышленных сетей на основе моделей GERT-сетей;

- в разработке нового класса моделей промышленных сетей на основе моделей GERT-сетей с использованием положительных и отрицательных случайных величин.

Диссертация имеет практическую значимость при проектировании технических систем со сложной структурой и может быть использована в учебном процессе. Практическая значимость работы подтверждается актами о внедрении в организациях ООО «Beetech Technology And Service Multimedia» (Вьетнам) и ООО «Technology Win Win Media» (Вьетнам), а также в учебный процесс РГРТУ на кафедре САПР ВС.

Апробация результатов диссертации. Результаты исследований докладывались и обсуждались на II Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы современной науки и производства» (Рязань, 2017); III Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы совре-

менной науки и производства» (Рязань; 2018); XXIV Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях» (Рязань, 2019); XXV юбилейной Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях» (Рязань, 2020).

Публикации. По итогам проведенных исследований опубликовано 12 научных работ, в том числе 3 статьи в изданиях из перечня ВАК РФ, 5 тезисов докладов на всероссийских конференциях, 4 статьи в межвузовских сборниках научных трудов.

Результаты работы внедрены:

- в ООО «Beetech Technology And Service Multimedia (Вьетнам);

- в ООО «Technology Win Win Media» (Вьетнам);

- в учебном процессе РГРТУ имени Уткина на кафедре САПР ВС.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, 1 приложения, изложенных на 160 страницах (включая 70 рисунков и 12 таблиц). Список литературы содержит 122 наименования.

ГЛАВА 1 АНАЛИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

КОНТРОЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В ПРОМЫШЛЕННЫХ СЕТЯХ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА GERT-СЕТЕЙ

1.1 Обзор стохастических сетей и GERT-сетей

В работе [1] «Оценка числовых характеристик GERT-сети на основе эквивалентных преобразований» Доррер М.Г. рассматривает аналитический метод оценки числовых характеристик математического ожидания и дисперсии однородной GERT-сети.

Отмечается, что за последние годы для оптимизации и моделирования технических систем все большее распространение получают альтернативные стохастические сети [2], в частности математический аппарат GERT-сетей (GERT -Graphical Evaluation and Review Technique). Подробное описание GERT-сетей представлено в работах Филлипса [3], Neumann [4], Pritsker [5]. Метод оценки числовых характеристик (математического ожидания и дисперсии) однородной GERT-сети основан на алгоритме выполнения эквивалентных упрощающих преобразований структуры GERT-сети, предложенном в работе [6].

В настоящее время известно применение аппарата GERT-сетей для исследования вероятностно-временных характеристик локальных сетей, сетей передачи данных, телекоммуникационных систем, моделирования распределенных систем обработки информации, оптимизации производственных процессов, моделирования мультиверсионных программных систем. Математический аппарат GERT-сетей применяется для моделирования системы бизнес-процессов [7-8]. Основные методы расчета GERT-сетей описаны в работах [3-6]. Данные методы позволяют: преобразовать сеть к эквивалентной дуге; рассчитать вероятность стока сети; определить значения переменных, связанных с моментами распределения выходной величины сети (математическое ожидание, дисперсия и др.); построить функцию распределения выходной величины сети. Кроме того, в работе Филлипса [3] говорится, что цель использования GERT-сетей состоит в вычислении математическо-

го ожидания и дисперсии времени выполнения сети (числовые характеристики могут быть рассчитаны по любому аддитивному параметру) и вероятности выполнения стока (стоков). Анализ работ других авторов [5-7] показывает, что в большинстве практических примеров также рассчитываются числовые характеристики GERT-сети. Числовые характеристики GERT-сети могут быть использованы для оптимизации, проектирования системы, мониторинга показателей и т.д. Таким образом, актуальным является нахождение числовых характеристик GERT-сетей. Однако серьёзным сдерживающим фактором применения GERT-сетей является экспоненциальная трудоёмкость алгоритмов расчета [6], основанных на использовании топологического уравнения Мейсона [3], что характерно для классической теории GERT-сетей. При решении данной задачи известными методами возникает проблема вычислительной сложности - необходимо находить петли сети вплоть до г-ого порядка (число слагаемых в уравнении Мейсона пропорционально числу всевозможных комбинаций петель первого порядка, не имеющих общих вершин), необходимо вычислять частные производные по производящей функции моментов GERT-сети и т.д. Данную задачу решает Шибанов А.П. [6]. Им разработаны методы и алгоритмы нахождения плотности распределения времени прохождения GERT-сети большой размерности на основе эквивалентных упрощающих преобразований. Тем не менее, методы и алгоритмы, предложенные Шибановым А.П. [6] являются численными и направлены на нахождение плотности распределения GERT-сети. В данной работе решается задача разработки аналитического метода оценки числовых характеристик моментов (математического ожидания и дисперсии) случайной величины стока (в общем случае - стоков) GERT-сети на основе числовых характеристик случайных величин дуг сети минуя решение топологического уравнения Мейсона.

Автор Ермолаева Л.В. в работе «GERT-сетевая модель формирования производственных процессов» [9] рассматривает вопрос активизации узла при включении определенного чиста входов из всех возможных. Узел активируется сразу же, как только завершаются входные действия. В работе предложена постановка задачи, но решения ее нет.

В работе [10] «Модификация GERT-сети для анализа временных характеристик сетевых моделей» отмечается, что стохастические GERT-сети достаточно хорошо зарекомендовали себя в задачах оценки времени выполнения операции при последовательной обработке данных. Например, их применяют при оценке времени переработки сырья в производстве полупроводников, в производстве электроники и ремонте автономного управления электровоза.

В работе [11] Вид К.В. отмечает, что необходимость дальнейшего развития функциональных возможностей системы GERT и решения постановкой новых задач, связанных с использованием графов:

■ анализа систем профилактического обслуживания и резервирования на основе решетчатых многоразмерных стохастических случайных графов;

■ исследования самоорганизующихся матричных сред отказоустойчивого мультимикроконтроллера с поиском ближайших резервных микроконтроллеров с учетом случайного времени перемещения программ между каждым микроконтроллером;

■ проектирования отказоустойчивых цифровых систем с адаптивной многоярусной мажоритарной структурой, применяющихся в телекоммуникационных системах управления критическими техническими комплексами с различным временем активного применения (авиационными, космическими);

■ расчета надежности ретрансляционной сети связи с аддитивной структурой и т.д.

Числовые характеристики GERT-сети определяются по топологическому уравнению Мейсона.

Математическое ожидание и дисперсию для последовательно и параллельно соединенных дуг, а также для преобразованной с помощью этих двух операций всей GERT-сети можно найти в работах [20-22].

При увеличении числа петель первого порядка, их число возрастает по экспоненциальному закону, что делает невозможным решение задачи. Поэтому одним из наиболее важных направлений исследований является получение произ-

вольного закона распределения выходной величины графовой модели, содержащей большое число циклов.

Вид К.В. ставит задачу, но не решает ее из-за отсутствия алгоритмов нахождения произвольного закона распределения выходной величины графовой модели, содержащей большое число циклов.

Письман Д.М. и Шабалин С.А. в работах [12-15] отмечают, что стохастические GERT-сети достаточно хорошо зарекомендовали себя в задачах оценки времени выполнения операции на сложном конвейере, допускающем отбраковку, возврат детали на доработку и т.п. Также позволяют получить качественно новые результаты при оценке времени выполнения распараллеленной задачи на неспециализированном вычислительном кластере Condor.

В работе [16] Зырянов А.А. и Доррер М.Г. дали оценку показателей бизнес-процессов на основе GERT-сетей; рассматривается подход с привлечением имитационного эксперимента и оценки вероятностных характеристик бизнес-процессов на основе GERT-сетей.

Гринин Е.К., Царев Р.Ю. в статье «Применение методологии мультиверсий в виде базовых ГЕРТ-сетевых моделей» [17] рассматривают мульверсионную отказоустойчивость программного обеспечения.

Мультиверсионная отказоустойчивость основана на использовании двух или более версий модуля программного обеспечения, исполняемых последовательно или параллельно. Версии используются как альтернативы (с отдельными средствами обнаружения ошибок), в парах или в больших группах (чтобы маскировать ошибки через голосование). Поэтому, если одна версия производит сбой на специфическом вводе, по крайней мере, одна из альтернативных версий должна обеспечить корректный вывод. Для принятия решения о правильности вывода различных блоков могут быть использованы базовые ГЕРТ-сетевые модели.

Модель блоков восстановления комбинирует основные идеи метода контрольных точек и рестарта для мультиверсионных компонент программного обеспечения таким образом, что различные версии используются только после того, как обнаруживается ошибка.

В работах [21-24] описаны:

- численный метод интегрирования непрерывной случайной выходной величины GERT-сети и получения ее плотности распределения вероятностей. Соответствующая программа зарегистрирована в агентстве по интеллектуальной собственности РФ;

- численный метод вычисления плотности распределения вероятностей дискретной выходной величины GERT-сети;

- аналитический метод определения плотности распределения вероятностей выходной величины GERT-сети, заданной экспоненциальными и равномерными случайными величинами;

- численный метод вычисления плотности распределения вероятностей смешанной выходной величины GERT-сети.

Сети GERT (GERT: Graphical Evaluation and Review Technique) разработаны Аланом Прицкером [25]. Известны, в частности, применения GERT-сетей для решения задач: моделирования промышленных комплексов [26-28], исследования вероятностно-временных характеристик локальных сетей [29] и сетей передачи данных [30], моделирования программ [31, 32], моделирования систем обработки изображений [33], управления инновационными рисками [34]. Решению задач выполнения упрощающих преобразований структуры исходной GERT-сети, в частности за счет исключения циклов, посвящена работа [35]. В статье [36] сети GERT используются для моделирования процесса восстановления изношенных автомобильных электронных компонентов в Китае. Вопросы анализа рисков и неопределенности в планировании сложных и инновационных проектов на основе GERT-сетей рассматриваются в работе [37]. Применение метода z-преобразований для GERT-моделей c большим числом циклов рассматривается в работе [38]. Метод оптимизации использования рабочей силы с использованием GERT-сетей предложен в [39]. В [40] рассматриваются гибридные модели и методы GERT с использованием теории массового обслуживания и оптимизации применительно к уголовно-процессуальному процессу. В работе [41] использована GERT-сеть для улучшения характеристик технической системы с тремя блоками

холодного резерва. Обзор результатов исследований по оптимальному распределению ресурсов в сетевых проектах на основе GERT дан в [42]. Нечеткие GERT-сети рассматриваются в работе [43].

В моделях GERT-сетей состояниям исследуемого объекта соответствуют узлы графа, а выполняемым операциям - дуги графа. Дуга характеризуется W-функцией, равной произведению производящей функции моментов случайной величины, характеризующей данную дугу, на условную вероятность выбора дуги. Можно рассматривать любую случайную величину, которая обладает аддитивностью по дугам любого пути. Основной выходной характеристикой GERT-сети является эквивалентная W-функция WE (s)= pEME (s), где pE - вероятность достижения стока, а ME (s) - эквивалентная производящая функция моментов выходной случайной величины данного стока. Зная j -ю частную производную по s функции ME (s) и полагая s = 0, можно найти j -й момент ¡jE относительно начала координат л jE = <Эj [ME (s)]/d sj . Для простых моделей чаще всего вы-

s=0

числяются математическое ожидание л 1Е и дисперсия &Е = Л 2Е _(Л1Е)2. При увеличении j и усложнении структуры GERT-сети определение моментов становится все более проблематичным из-за сложности нахождения производных. Формула Мейсона позволяет получить эквивалентную производящую функцию моментов выходной случайной величины GERT-сети через производящие функ-

ции моментов петель порядка а, а = 1, а тах . Они образуются из всевозможных

сочетаний петель первого порядка, не имеющих общих узлов. Петля первого порядка GERT-сети соответствует простому контуру в ориентированном графе. С увеличением размерности GERT-сети может резко возрастать число петель порядка а, что ведет к экспоненциальному увеличению времени счета.

Функциональные возможности рассматриваемого графо-аналитического метода существенно возрастают, если удается найти закон распределения выходной случайной величины GERT-сети. При этом решаются задачи определения нормативных времен реализации проектов, использования условных распределе-

ний в моделях со старением информации, создания комбинированных систем моделирования с использованием GERT-сетей и средств имитации и т.д.

Методы нахождения выходных плотностей распределения вероятностей GERT-сетей, в которых все дуги характеризуются или дискретными распределениями или распределениями Эрланга, описаны в основополагающей работе [25] Алана Прицкера. Более сложной оказалась задача нахождения распределений выходных величин GERT-сети, дуги которой характеризуются случайными величинами с дискретными и непрерывными законами распределения при условии, что выходная величина GERT-сети должна быть непрерывной.

В работах [44-46] были предложены численные методы нахождения закона распределения выходной величины GERT-сети, основанные на применении формулы обращения [47] и интерполяции характеристических функций дуг GERT-сети многочленами Лагранжа второй степени. При этом используется топологическое уравнение Мейсона, что не позволяет получать результаты для моделей достаточно большой размерности из-за экспоненциальной сложности алгоритмов.

В работе [48] предложен метод нахождения распределения непрерывной выходной случайной величины GERT-сети на основе эквивалентных упрощающих преобразований ее структуры, имеющий полиномиальную вычислительную сложность.

В работе [49] изложены основы теории GERT-сетей.

Различным аспектам применения GERT-сетей в телекоммуникациях посвящены работы [50-53].

Функционально зависимые случайные величины подробно описаны в [5860].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Ань Зунг, 2021 год

Ж5 - -

Характеристики дуг W2, Ж5 пока не определены.

Время выполнения операции W1 характеризуется непрерывной случайной величиной Х1 с плотностью f1{x), а время выполнения операции W4 - случайной

величиной Х2 с плотностью f2 (х). Случайная величина 71 выражается через случайную величину Х1 функциональной зависимостью 71 = ( (Х1). Случайная величина У2 выражается через случайную величину Х2 функциональной зависимостью 72 = ( (Х2). Требуется найти закон распределения случайных величин 71

и 72.

Экспоненциальные функции (р1 (Х) и (р2 (Х) строго монотонны, непрерывны и дифференцируемы в интервале всех возможных значений случайных величин Х1 и Х2. Функция распределения G1 (у) случайной величины 71 определяется по формуле G1 (у) = Р |71 < у} и

81 (У ) = = / [*1 (У )]* (У), (3.2)

где ф1 (у) есть функция обратная функции <р1 (Х1 ) = 71; ё 1(у) - плотность

распределения вероятностей случайной величины у .

Функция распределения G 2 (2) случайной операции Г2 определяется по

формуле G 2 (2)= Р {г2 <

и

ё 2\2

(2) = ^^ = / [ф2 (2)]Ф'2(2)

¿у

(3.3)

где ф 2 (2) есть функция обратная функции р2 (Х2) = Г2; ё 2 (2) - плотность

распределения вероятностей случайной операции 2.

Пусть время выполнения операций линейно связано с временем их контроля по формулам

Г1 = к 1 Х1' Г2 = к 2 Х2 . Найдем, пользуясь формулами (3.2-3.3), плотности распределения ё 1 (у),

ё 2 (2) случайных операций Г1 и Г2. Обратная функция ф1 (у)=—; а ее производ-

к 1

ная Ф1 (у) = —; модуль производной 1/ к 1 . Формула (3.1) дает

к1

ё 1(у ) = /

с \

ч к 1 ч 1У

к1

(3.4)

2 1 Обратная функция ф2 (2 )=—; а ее производная ф2 (2 ) = —; модуль произ

к

к

водной 1 к2 . Формула (3.1) дает

ё 2 (2)= /

Г \ 2

к

Ч 2 У

к

(3.5)

Пусть случайная операции Х1 распределена по показательному закону

/1 (х)= е х (х > 0).

1

2

1

Необходимо найти плотность распределения случайной операции 71 = ^ Х1. Случайная операции Х1 определяет время ранее выполненной операции W1.

В данном случае обратная функция ф1 (у)= 7^k 1. Условие х > 0 переходит в условие у > 0. По формуле (3.1) получим:

81( у )=л1е

-л,

( \ у_

kl

1

-^1

Х1 k

kl kl

(3.6)

Получили также экспоненциальное распределение, но уже для операции контроля.

Пусть случайная операция Х2, определяющая время операции Ж4, также распределена по показательному закону

/2 (х)=Л2 е Л2х (х > 0).

Найти плотность распределения случайной операции 72 = k 2Х2. В данном случае обратная функция ф2 (г) = 72/k 2. Условие х > 0 переходит в условие у > 0. По формуле (3.1) получим:

ё 2 (2)=Л2 е

—Л2

( \ 2

k 2

—X 2

—е 2 k 2

(3.7)

Найдены задержки по формулам (3.6, 3.7) для операций Ж2 и W5. Дуги W1, W2 и Ж4, Ж5 заменяем соответственно эквивалентными дугами и 2. Тогда получим модель, изображенную на рисунке 3.12.

Рисунок 3.12 - Эквивалентная модель

Эквивалентные W-функции равны произведению производящих функций моментов дуг W1, W2 и ^4, W5 соответственно

1

k

2

W - 22/ki w - 2Vk2

E1 -(2i -s)(2/k 1)-s) И £2 "(я2 -s)((я2/k2)-s)■

Wei

2-i jk i 2i • 2i!k i 2i - s ki)-s (2i - s)((2^ki)-s)'

W - . 22 ' 22 /k2

E2 (22 - sМ22/k2)-s) '

Производим замену комплексных переменных z - -s [ii5,ii6]. Тогда получаем функции

i(z )-242k)+z); (з-8)

22 • 22 k 2

Найдем плотность распределения вероятностей свертки распределений дуг Wi и W2.

Если функция ФЕ i(z) в полуплоскости Re z < 0 удовлетворяет условиям леммы Жордана, то интеграл, взятый вдоль контура Бромвича, равен сумме вычетов функции е zx0E i (z) относительно всех ее особенностей [ii5,ii6]:

1 i x и

срх(t) - — J i (z)dz - £ Res [ei (z)].

2ni -i x k-i z-zk

Для того, чтобы выполнялись условия леммы Жордана, необходимо, чтобы в левой полуплоскости функция ФЕ i(z) была аналитической за исключением конечного числа полюсов, и равномерно относительно arg z стремилась к нулю при

| z | ^ x.

(ч 2i • 2J k i

z )-y-xti—^—1 равномерно сходится к нулю относи-

(2i + z )((2i/k i)+ z)

тельно arg z при | z | ^ x. Условия леммы Жордана выполняются. Имеется полю-

сы первого порядка в точках г = — Л1 и г = — Л1 k 1 (случаи, когда два полюса рав-

ны друг другу рассматриваются ниже). Тогда

1 7Ю (г) = 2П7 I

.гГ

Х1 • Х1 k 1

2п7 г

— 7 СЮ

Х1 • Х1 k 1

(Х1 + 2 Д^/k 1 )+ 2 )

Г • k 1

Так как функция е2 у-ХГ1 —^—^ имеет только полюсы первого по-

(Х1 + 2 )((я/k 1)+ 2)

рядка, то плотность распределения времени передачи (1( Г) определяется выраже-

нием:

(1( г ) =

е2Г Х2/ k1

]] \

[(я.+2 )((л^/)+2 )]=£тю •

^2

(2,)

(3.10)

После дифференцирования имеем:

А ^2

[X + 2 )((Л/ k 1)+ 2 )]=Х1

1 + k 1

+ 2 2

После подстановки значений полюсов в знаменатель выражения (3.10) по-

лучаем значения Л1 (1 — k 1)/ k 1 и Л1 (k1 — 1)/ k 1. Окончательно имеем:

(1

(г )=я1/ (1 — k 1)[ е—я1Г — е—(л/k 1) Г ]

(3.11)

Пример плотности (1 (г ) приведен на рисунке 3.13 (Х1 = 1, ^ = 0,5).

Рисунок 3.13 - Пример плотности распределения вероятностей (1 (Г)

Аналогично получаем

(2 ( Г) = Х2 /(1 — k 2 )

е—Х2 Г — е— ( Х2 !k2 ) Г

(3.12)

Иначе ведутся вычисления, если оба корни выражений (3.8-3.9) равны друг другу. Это имеет, например, место в случае, когда к 1 = 1. Тогда, опуская индекс,

получаем

Фе ) =

Я

(Я +2)

Имеем полюс второго порядка в точке г = -Я.

В этом случае плотность распределения времени передачи файла р(х) находится по формуле нахождения вычетов с-1 от полюса — Я порядка 2

\(2 + Я)2е^ФЕ (2)'

с ! = Нт

-1 2 —я

й

й2

Подставляя значение функции Фе (2) в предыдущее выражение, получаем:

Я2

й

р( ? )= lim

2 21

(2+яУ в*

(Я + 2)

2 — -Я

й2

= Я21в —Я1

(3.13)

Пример плотности р( ?) при значении Я = 3 приведен на рисунке 3.14.

9 СО

Л.

/ / \ \ X \

1 г

Рисунок 3.14 - Пример плотности распределения вероятностей р(?)

Теперь найдем время реакции на активизацию входов сборочной системы для двух случаев:

1) система начинает сборку при активизации (срабатывании) обоих входов. Это типовая сборочная операция, например, когда требуется дождаться информации со всех входных портов маршрутизатора прежде, чем передавать сообщение на выходной порт (порты);

2

2

2) система начинает функционирование при первом срабатывании какого-либо входа. Например, на один из входных портов маршрутизатора поступает экстренное сообщение, и информацию об этом нужно передать на выходной порт немедленно.

Рассмотрим первый случай (должны сработать оба входа).

Искомое время определяется распределением максимальной из нескольких случайных операций. То есть момент начала сборки определяется случайной реализацией активности (включения последнего по времени) из двух входов.

Рассмотрим случай, когда плотности распределения вероятностей (1 (Г) и

(2 (Г) определяются выражениями (3.11) и (3.12). По значению (1 (Г) найдем функцию распределения р (Г).

2 Ч < \ k е— 1) Г е—2Г

р(,) = -А_ [[е я|Г — е—(я1/"1)Г]dГ = 1 + ^-—. (3.14)

1 — ^ 11 ] 1 — kl ' '

Аналогично получаем:

k е — (Х2^ 2 ) Г — е —Х2 Г

^2 ( Г ) = 1 + --7-Г-.

1 — k 2

Если плотность распределения вероятностей определяется выражением (3.17) ((Г)=Х2Ге —2Г, то соответствующая функция распределения вероятностей времени выполнения процесса сборки

р(г)= 1 — е —2Г(XГ +1) . (3.15)

Плотность распределения вероятностей времени выполнения процесса сборки при условии, что плотности определяются по формулам (3.11) и (3.12).

((г) = ( (г) ^2 (г) + р (г) (2 (г) =

Я

1 — ^

+ -

Х2 1 — k-

е—Х1 Г — е— 1 ) Г

е —Х2 Г — е— (я2^ 2 ) Г

1 + -

k 2 е

( Х2/k2) Г —Х2 Г

1+-

k 1 е

1 — k 2

(^1 ) Г е —X! Г

е

+

1 — k1

Когда плотности распределения вероятностей (1 (Г) и (2 (Г) определяются выражениями (3.11) и (3.13) формулы приобретают вид

((Г ) = 2 [ е—Х1Г — е—12 k 1) Г ][1 — е —ХГ (ЯГ +1)

+

, т2 , — я Г

+ Я2 Ге 2

1 +

k 1 е — (я k 1) Г — е—2Г 1—^

Если первый вход описывается выражениями (3.17) и (3.18) а второй - вы-

ражениями (3.16) и (3.19), то имеем

2+ -я Г

((Г) = Я Ге

1 +

k 2 е

—(я2/k2)'

—я2 г

1—k 2

+

я

+ -

1—k 2

е—Я2Г — е —12k2) Г ||1 — е —2Г (я1 Г +1)

Если и плотности описываются выражением (3.13), то

((Г) = я2 Ге~х1г • 1 — е ^Г(я2 Г +1)

+

+ Я2 Ге 2

1 — е Г (Я1Г +1)

Рассмотрим второй случай, когда достаточно срабатывания одного входа. Пусть плотности распределения вероятностей (1 (Г) и (2 (Г) определяются

выражениями (3.11) и (3.12).

(( г)=( ( Г )[1 — ^ ( г)]+[ 1 — р ( г)] (2 ( г) =

Я

1 — к 1

Я2

+ ■

1 — к 2

в—Я1г — в— (я/к 1) г

в—Я2 г — в— (Я2/к2 )г

,— (Я2/к2 )

к2 — в—я2 г

+

к 1 в

— я/к 1)

г —Я, г

к 1 — 1

Когда плотности распределения вероятностей р1 (г) и р2 (г) определяются выражениями (3.11) и (3.13) формулы приобретают вид

Р( г):

Я1

1 — к 1

в—я Г — в—(як 1) Г ][в —яг (Яг +1)]

+

, т2 , —я2г + Я2 гв 2

к 1 в— (Як 1) Г — в—Я Г к"—!

Если первая плотность описывается выражением (3.13), а вторая - выраже-

ниям (3.12), то имеем

р( г ) = Я2 гв

2 + „—■Я1Г

к 2 в

(я2/к2) г — в—я2 г

— в

к 2 — 1

+

Я

+ ■

1 — к 2

—Я2 г — в — (Я2/к2)

в — в

][в -Я'г (я г+1)

Если и первая и вторая плотности описывается выражением (3.13), то

р( г )=гв"(я +я) г {я2 (я2 г+1) +Я22 [(я1 г+1)]}

3.4 Методики использования дискретных распределений функций

случайных величин

Пусть в выражении У = р(Х) аргумент X - дискретная случайная величина с рядом распределения с вероятностями р, р 2,..., в точках х1, х 2,..., хп [33].

Рассмотрим распределение р(х1 ),р(х2), ... ,р(хп) в тех же точках. Нужно расположить значения р(хг-), / = 1, п в порядке возрастания и объединить те из них,

которые окажутся равными (в силу неоднозначности обратной функции). Распределение Пуассона с параметром X = 1 приведено на рисунке 3.15.

Рисунок 3.15 - Вид распределения Пуассона с параметром X = 1

Рисунок 3.16 - Вид дискретной плотности У = 0,2 X

Пример 1. Число X неисправностей в программе имеет распределение Пуассона с параметром X = 1. Общий материальный ущерб от этих неисправностей пропорционален их числу:

У = гХ,

где г = 0,2 - неслучайная операция. Вид этого распределения представлен на рисунке 3.16.

В точках 0,1,2,...,т вероятности распределения равны

3 3 О 3 / Я /

е — , 2e — , X е — /2!. 2me — /т! Значения У возрастают вместе со значениямиX и

л 1 О 1 / 1 /

обратная функция однозначна, то вероятности е — , X е — , X е — /2!. Xте — /т! соответствуют точкам 0; 0,2; 0,4;...; 0,2т .

Пример 2. Пусть выходная величина промышленной сети на основе моделей GERT-сетей (или отдельная операция, или часть промышленной сети на основе моделей GERT-сетей) подвергается функциональному преобразованию через «модуль случайной величины».

Непрерывная случайная величины X имеет плотность f (х) на участке (—х, + х). Выходная операция промышленной сети на основе моделей GERT-сетей У связана с ней зависимостью У = | X |. Надо найти плотность случайной величины У.

Функция у = | х | не монотонна. Обратная функция при данном у имеет два значения: ф1 (у) = — у, ф2 (у) = у. Получим

£(у)= f (— у)'| — 1 + f (у)'| 1 = f (— у)+ f (у)(у >0).

Рисунок 3.17 - Модель GERT-сети

В частности, если плотность f (х) симметрична относительно начала координат, то есть f (— у) = f (у) получаем

£ ( у )= ^^ (у) (у > 0) .

Модель GERT-сетей приведена на рисунке 3.17. Характеристики дуг модели представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 - Характеристики дуг модели

№ п/п Дуга Вероятность Распределение Производящая функция моментов

1 1 Нормальное ехр {0,16552}

2 0,2 Нормальное ехр {-105}

3 1 Нормальное ехр { 0}

4 1 Нормальное ехр { 0}

5 0,2 Нормальное ехр {-5 5}

6 0,2 Нормальное ехр { 0}

7 Г7 0,2 Нормальное ехр {5 5}

8 Щ 0,2 Нормальное ехр {10 5}

9 Ж9 1 Нормальное ехр { 0}

10 Ж10 1 Нормальное ехр { 0}

11 Ж11 1 Нормальное ехр { 0}

12 Ж12 1 Нормальное ехр { 0}

Плотность вероятности выходной операции модели представлена на рисунке 3.18.

Рисунок 3.18 - Плотность распределения выходной операции модели

После того, как будет удалено фиктивное нормальное распределение, мы получим ряд распределения в точках 0, 1, 2 с вероятностями соответственно 0,2; 0,4; 0,4 (рисунок 3.19).

Рисунок 3.19 - Дискретная плотность вероятности G (у)

Пример 3 Дуги Щ, Ж5 (рисунок 3.20), выбираемые с вероятностью 1/3, определяют значения дискретного распределения соответственно в точках 3, 6 и 9. Дуги Ж3 и выполняют логические функции передачи информации без задержки (их производящие функции М (^ ) = 1). Дуга реализует задержку в 3 единицы с вероятностью 0,9. Таким образом, между узлами 2 и 5 находится дискретная GERT-сеть. Значения дуги Ж8 функционально зависят от дискретной сети. Пока такая связь не определена. Для выявления этой зависимости надо найти плотность распределения выходной операции дискретной части GERT-сети.

Рисунок 3.20 - Модель GERT-сетей на основе дискретных распределений

Для этого вводится дуга W1 с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением, равным 1,33. Введение этой операции временно переводит модель в непрерывную область, благодаря чему достигается две цели:

1) обеспечивается выполнение условий интегрирования формулы обращения [47], что необходимо для достижения необходимой точности вычислений плотности распределения вероятностей;

2) каждое дискретное значение «обрамляется» узким нормальным распределением (фиктивной случайной величиной), причем на непрерывной плотности распределения вероятностей между соседними дискретными значениями располагается достаточно длинный линейный участок (равный нулю) (рисунки 3.21, 3.22). Это позволяет восстановить истинную дискретную функцию распределения, исключив в промежуточной непрерывной дискретной функции распределения фиктивную нормально распределенную величину.

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05 0,01

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

Рисунок 3.21 - Плотность распределения вероятностей выходной операции модели GERT-сети на основе дискретных распределений (дуги W2 - W7)

/7 Л

/

Рисунок 3.22 - Функция распределения вероятностей выходной операции модели GERT-сети на основе дискретных распределений (дуги W2 - W7)

Для нахождения истинной дискретной плотности распределения (для исключения влияния на результаты вычислений фиктивной нормально распределенной случайной операции) находим линейные участки функции распределения ¥ (I) и определяем приращения между соседними линейными участками. Эти значения относятся к точкам 3, 6, 9, 12, .... Значения выходной случайной операции дискретной GERT-сети определяются рядом распределения (таблица 3.3):

Таблица 3.3 - Ряд распределения выходной операции модели GERT-сети

дискретных распределений

№ Значения t Вероятности

1 3 0,3

2 6 0,3

3 9 0,31

4 12 0,02

5 15 0,03

6 18 0,021

7 21 0,012

8 24 0,002

9 27 0,002

10 30 0,001

11 33 0,0005

Теперь определим функциональную зависимость операции Ж8 от выходной операции дискретной промышленной сети на основе моделей GERT-сетей. Пусть У линейно зависит от X

У = сХ,

где с = 2.

Тогда окончательно имеем ряд распределения всей дискретной сети, включающей дуги Ж2 - Ж8 (таблица 3.4).

Таблица 3.4 - Ряд распределения выходной операции дискретной GERT-сети,

состоящей из дуг Ж2 - Ж8

№ Значения t Вероятности

1 6 0,3

2 12 0,3

3 18 0,31

4 24 0,02

5 30 0,03

6 36 0,021

7 42 0,012

8 48 0,002

9 54 0,002

10 60 0,001

11 66 0,0005

3.5 Методика получения контрольной выходной операции промышленной сети на основе моделей GERT-сетей с заданным распределением путем

функционального преобразования

На практике часто встречаются преобразования контрольных операций типа

Y = kX, У = а/X, У = Xй, У = | X). Это возможно, если эта зависимость заранее

известна. При проектировании часто возникает необходимость решить обратную задачу: какую функцию распределения для зависимых контрольных операций надо выбрать, чтобы функция распределения для операции, части еще не созданной промышленной сети, или всей промышленной сети на основе моделей GERT-сетей в целом соответствовала определенным требованиям.

Здесь рассматриваются два случая:

- не меняется выполняемая операция, часть еще не созданной промышленной сети, или вся промышленная сеть на основе моделей GERT-сетей в целом. На это затрачивается определенное время, и тогда должно выполняться условие G (у )> ^ (х), где G (у) - функция распределения будущей операции, части еще не созданной промышленной сети , или вся промышленная сети на основе моделей GERT-сетей в целом.

- нужно изменить функцию распределения уже существующей операции, часть еще не созданной промышленной сети на основе моделей GERT-сетей, или всей промышленной сети на основе моделей GERT-сетей в целом. Тогда на функцию распределения G (у) не накладывается ограничений, кроме того, что должно

выполняться условие интегрирования формулы обращения.

Это условие реализуется путем введения в дискретное распределение фиктивной контрольной операции. Наиболее удобно ввести для этой цели операцию, характеризующуюся нормальным распределением с нулевым математическим ожиданием и малой дисперсией. Для корректности расчетов в конечном итоге фиктивная величина должна быть исключена из промышленной сети на основе моделей GERT-сетей.

Здесь мы рассмотрим задачу о получении контрольной операции У с заданным дискретным распределением путем функционального преобразования другой случайной величин. Задача формулируется так: в нашем распоряжении имеется случайная величина X с заданной плотностью f (х). Требуется определить, какому функциональному преобразованию У = р( х) ее надо подвергнуть, чтобы контрольная операция У имела заданное распределение?

Для решения этой задачи используем метод обратной функции. Исходной случайной величины X является непрерывная случайная величины X, распределенная с постоянной плотностью на интервале (0,1):

х )=|1при х е(0Д),

У ; |0 при х^(0,1).

Необходимо, чтобы функциональным преобразованием У = ф( х) из нее получилась контрольная операция с заданной функцией распределения G (у). Покажем, что для этого надо случайную величину X подвергнуть функциональному преобразованию У = G_1 (X), где G_1 (X) - функция, обратная требуемой функции распределения G (у).

Изобразим функцию распределения G (у) на графике (рисунок 3.23).

Рисунок 3.23 - Функция распределения G (у)

Если эта функция непрерывна и строго монотонна, то и обратная функция G-1 (X) так же непрерывна. В этом случае функция распределения контрольной операции У

Р{У < у}=Р{X <G(у)}= G(у).

Для получения дискретной контрольной операции необходимо проделать следующие действия:

1. Величина Р{У = у, }= Р (■ = 2, ...,и ) равна величине скачка функции распределения G (у) в точке уг-. Таким образом, участок от 0 до 1 можно разбить на и непересекающихся отрезков:

А 1(0; Р1 ] ; А 2 = ( р 1 + р2 ] ;

А 3 =( Р

+ Р2, Р + Р2 + Р 3

а = (Р1