Математическое моделирование взаимодействия жидкости и твердого тела при сборке деформируемых конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Елисеев Артем Андреевич

• Елисеев Артем Андреевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Елисеев Артем Андреевич

Введение

Глава 1. Математическая модель взаимодействия жидкости и твердого тела при сборке деформируемых конструкций

1.1 Особенности взаимодействия жидкости и твердого тела при сборке деформируемых конструкций

1.2 Модель течения жидкости

1.3 Модель деформации твердого тела

1.4 Разделенный подход к описанию взаимодействия жидкости и твердого тела

1.5 Модель свободной поверхности жидкости

Глава 2. Математическая модель течения вязкоупругой жидкости в тонком слое на основе расширенного уравнения Рейнольдса

2.1 Вывод расширенного уравнения Рейнольдса

2.2 Схема численного решения задач вязкоупругой смазки на основе расширенного уравнения Рейнольдса

2.3 Примеры применения расширенного уравнения Рейнольдса к решению задач вязкоупругой смазки

Глава 3. Численные методы решения задач взаимодействия жидкости и твердого тела при сборке деформируемых конструкций

3.1 Численное решение задач взаимодействия жидкости и твердого тела в рамках разделенного подхода

3.2 Адаптация метода Эйткена к решению задач взаимодействия жидкости и твердого тела при сборке деформируемых конструкций

Глава 4. Интеграция разработанных моделей и методов в программный комплекс по моделированию сборки авиационных конструкций ASRP

Глава 5. Примеры применения разработанных моделей и методов при

моделировании сборки авиационных конструкций

5.1 Оценка времени выдавливания герметика для модельного соединения

5.2 Анализ качества сборки для части соединения крыла и фюзеляжа

Заключение

Список литературы

Приложение А. Согласованность верхней конвективной производной с принципом материальной объективности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование взаимодействия жидкости и твердого тела при сборке деформируемых конструкций»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

В современном машиностроении одним из этапов производства является сборка готового изделия из предварительно изготовленных деталей. Данный этап имеет большое значение, поскольку качество сборки напрямую влияет на срок эксплуатации изделия. В ряде отраслей требования к качеству сборки являются особенно строгими - например, в транспортном машиностроении строгость критериев качества позволяет гарантировать безопасность пассажиров в ходе перевозки. Строгость требований делает процесс сборки крайне трудоемким, поэтому сборочными инженерами предпринимаются значительные усилия для оптимизации технологий сборки с учетом существующих стандартов качества.

В настоящее время для анализа сборочных технологий инженеры все чаще пользуются инструментами компьютерного моделирования. Такой подход позволяет принять решение о модификации технологии сборки, основываясь на результатах множества вычислительных экспериментов, натурное проведение которых требует непропорционально большого количества времени и ресурсов. В основе инструментов такого рода лежат специальные математические модели, адекватно описывающие сборочный процесс. Исследования в области построения соответствующих моделей активно ведутся на протяжении последних 25 лет, и эти исследования находят свое применение при решении практических задач ([41, 42, 83] и др.).

При моделировании процесса сборки в отраслях транспортного машиностроения, особенно в авиа- и автомобилестроении, необходимо учитывать гибкость собираемых деталей, а также возникающее между ними контактное взаимодействие. В то же время, современные технологии сборки предполагают нанесение дополнительных составов между собираемыми деталями. Это может делаться с целью герметизации соединений или непосредственно для сборки деталей методом клеевого соединения. При нанесении такие составы обычно

находятся в жидком состоянии, поэтому процесс механического взаимодействия между составом и собираемыми деталями, который наблюдается в ходе сборки, можно охарактеризовать как процесс «взаимодействия жидкости и твердого тела» (англ. fluid-structure interaction). Данный процесс оказывает существенное влияние как на промежуточный, так и на конечный результат сборки, поэтому он должен быть описан при построении математической модели сборочного процесса.

Одновременное описание контактного взаимодействия и взаимодействия жидкости и твердого тела, наблюдаемых при сборке деформируемых конструкций, является крайне сложной задачей. Частичное решение данной проблемы было предложено в 2019 г. в работе [51]. В данной работе подход к решению контактной задачи, основанный на использовании вариационной постановки и переходе к решению задачи квадратичного программирования [42], дополняется специальной моделью течения жидкости [70]. На основе данной модели формулируется поправка к решению контактной задачи, которая учитывает тот факт, что нанесенный между деталями слой жидкости в ходе сборки не удается выдавить целиком.

Подход, предложенный в работе [51], может быть назван упрощенным, поскольку в нем течение жидкости не зависит от деформации конструкции и взаимодействие между жидкостью и конструкцией описывается лишь частично. Применение такого приближения представляется недостаточным при описании сборочных операций, в которых наблюдается значительное взаимное влияние деформации твердого тела и течения жидкости, как, например, при герметизации авиационных конструкций.

Также при описании взаимодействия между жидкостью и твердым телом необходимо использовать модели течения жидкости и деформации твердого тела, которые корректно описывают поведение каждого вещества при механическом нагружении. В упоминавшейся выше работе [51] течение жидкости считается ньютоновским, в то время как для современных герметизирующих и клеевых составов характерно наличие как вязких, так и упругих эффектов при

нагружении [68]. Адекватное описание явления вязкоупругости является еще одной нерешенной задачей в области моделирования взаимодействия жидкости и твердого тела в ходе сборки.

Таким образом, исследования в области математического моделирования взаимодействия жидкости и твердого тела при сборке деформируемых конструкций, несомненно, являются актуальными. В настоящее время в данной области не существует подходов, которые позволяют адекватно описать взаимное влияние деформации конструкции и течения жидкости с учетом контактного взаимодействия между элементами конструкции, а также вязкоупругого поведения жидкости при нагружении. В то же время, данные подходы крайне востребованы сборочными инженерами, поскольку их появление позволит заметно усовершенствовать существующие программные инструменты моделирования процесса сборки.

Цели и задачи исследования

Целью данного исследования является разработка нового подхода к анализу взаимодействия жидкости и твердого тела, наблюдаемого при сборке деформируемых конструкций. Разрабатываемый подход должен основываться на использовании методов математического моделирования и учитывать возможное контактное взаимодействие между собираемыми деталями, вязкоупругое течение жидкости, а также влияние деформации деталей и течения жидкости друг на друга.

Для достижения указанной цели в ходе исследования было необходимо поставить и решить следующие задачи:

1. Построить новую математическую модель взаимодействия жидкости и твердого тела, наблюдаемого в ходе сборки деформируемых конструкций. Модель должна учитывать взаимное влияние течения жидкости и деформации твердого тела в ходе сборки, а также описывать контактное взаимодействие между элементами конструкции и вязкоупругий характер течения жидкости.

2. Разработать эффективные численные методы решения задач, возникающих в результате применения построенной модели.

3. Реализовать разработанные методы в виде специального модуля в одном из существующих программных комплексов, предназначенных для моделирования процесса сборки деформируемых конструкций.

4. Подтвердить адекватность разработанной модели при помощи решения серии задач, описывающих взаимодействие жидкости и твердого тела в ходе сборочных операций.

Научная новизна исследования

В ходе исследования была разработана принципиально новая математическая модель взаимодействия жидкости и твердого тела в ходе сборки деформируемых конструкций, которая в настоящее время не имеет аналогов. Также была разработана новая модель вязкоупругого течения жидкости в тонком слое на основе расширенного уравнения Рейнольдса, которая может применяться не только при моделировании сборочного процесса, но и при описании вязкоупругих течений, возникающих в других предметных областях. Кроме этого, в рамках исследования был предложен новый численный метод решения задач взаимодействия жидкости и твердого тела, наблюдаемого в ходе сборки.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработанные в ходе исследования математические модели вносят существенный вклад в развитие научных направлений, связанных с математическим моделированием сборки деформируемых конструкций, а также с описанием течения вязкоупругих жидкостей. Представленная в работе методология также имеет большое практическое значение и может быть использована при анализе технологий сборочного процесса в отраслях транспортного машиностроения.

Методология и методы исследования

Для построения математических моделей в работе использовался аппарат механики сплошных сред, механики контактного взаимодействия, динамики вязкоупругой жидкости. При построении численных методов использовались

методы вычислительной механики. Программная реализация разработанных методов велась на языках Matlab (при прототипировании) и C++ (при реализации в программном комплексе).

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработана новая математическая модель взаимодействия жидкости и твердого тела в ходе сборки деформируемых конструкций. Модель учитывает взаимное влияние между течением жидкости и деформацией конструкции, а также описывает контактное взаимодействие между элементами конструкции и вязкоупругое течение жидкости.

2. Разработана новая математическая модель течения вязкоупругой жидкости. Основу модели составляет новое расширенное уравнение Рейнольдса, которое характеризует распределение давления для вязкоупругой верхней конвективной модели Максвелла в приближении тонкого слоя.

3. Разработан новый численный метод решения задач взаимодействия жидкости и твердого тела, возникающих при моделировании сборки деформируемых конструкций. Метод представляет собой модификацию метода Эйткена вычислительной механики, которая гарантирует выполнение условий непроникновения между деталями на каждой итерации и тем самым улучшает сходимость метода.

4. Разработанные модели и численный метод интегрированы в программный комплекс ASRP (Assembly Simulation of Riveting Process), предназначенный для моделирования сборки авиационных конструкций.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных в ходе исследования результатов подтверждается данными численных экспериментов, которые воспроизводят характерные физические эффекты, связанные с применением жидких составов в ходе сборки деформируемых конструкций. Также при исследовании модели вязкоупругого течения жидкости было получено согласие численного решения тестовой задачи с известным аналитическим решением.

Результаты исследования докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях: международная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (г. Санкт-Петербург, 2019), 18-ый Международный конгресс по реологии (2020), международная конференция «Aerotech® Digital Summit» (2021), международная конференция «Математическое моделирование» (2021), международная конференция «ASME 2021 International Mechanical Engineering Congress and Exposition» (2021), 30-ый Симпозиум по реологии (г. Тверь, 2021), всероссийская конференция «Неделя Науки ФизМех» (г. Санкт-Петербург, 2022). Также результаты работы обсуждались на семинарах НИЛ виртуально-имитационного моделирования ФизМех СПбПУ (2018 - 2022), на совместных семинарах НИЛ виртуально-имитационного моделирования и компании Airbus (2020 - 2021), на совместном семинаре научной группы Технического университета Чалмерса (г. Гётеборг, Швеция) и НИЛ виртуально-имитационного моделирования (2021), совместном семинаре НИЛ виртуально-имитационного моделирования, Горной школы Парижа (MINES ParisTech) и Университета Глазго (2021).

Основные результаты работы изложены в 6 публикациях, из которых 3 в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов и изданий ВАК (индексированы в БД Scopus).

Исследования проводились при поддержке грантов РФФИ (20-38-90023) и РНФ (22-19-00062).

Структура и объем работы

Диссертация содержит введение, пять глав, заключение, список литературы, одно приложение, 37 рисунков и одну таблицу. Общий объем работы составляет 119 страниц. В работе использовано 86 литературных источников.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируются цели и задачи исследования, приводятся положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводится построение математической модели взаимодействия жидкости и твердого тела в ходе сборки деформируемых

конструкций. Отмечаются основные особенности данного процесса, наблюдаемые при проведении сборочных операций. Дается описание моделей отдельных составляющих процесса взаимодействия - модели деформации собираемых деталей с учетом возможного контакта и предварительные соображения для модели течения жидкости. Приводится схема разделенного подхода описания взаимодействия между жидкостью и твердым телом. Приводятся соображения по моделированию эффектов, связанных с наличием свободной поверхности в течении жидкости.

Во второй главе подробно описывается модель течения жидкости в тонком слое. Выполняется безразмерный анализ определяющих уравнений вязкоупругой верхней конвективной модели Максвелла. Пользуясь полученными в ходе анализа результатами, выводится расширенное уравнение Рейнольдса, описывающее распределение давления жидкости в тонком слое. Приводится схема численного решения задач вязкоупругой смазки на основе выведенного уравнения. Обсуждаются результаты численных расчетов, содержащие сравнение с ранее полученным решением для задачи о смазочном клине, анализ выбора производной в реологическом законе модели Максвелла как для двух-, так и трехмерной постановки задачи.

Вопросы численного решения уравнений, составляющих разработанную модель взаимодействия жидкости и твердого тела, обсуждаются в третьей главе. Дается обзор существующих методов, позволяющих реализовать разделенный подход. Приводится построение модификации метода Эйткена группы релаксационных методов, которая гарантирует выполнение условий непроникновения между собираемыми деталями на каждой итерации метода. Описывается алгоритм, реализующий указанную модификацию.

В четвертой главе рассматриваются вопросы, связанные с интеграцией разработанных моделей в программный комплекс по моделированию сборки авиационных конструкций ASRP.

В пятой главе приводятся результаты численного моделирования сборки авиационных конструкций с учетом присутствия герметика между собираемыми

деталями. На основе полученных результатов делается вывод об адекватности разработанной модели взаимодействия. Даются качественные и количественные оценки влияния герметика на процесс сборки для модельного соединения. Основные выводы по итогам исследования приводятся в заключении. Приложение содержит выкладки, подтверждающие согласованность верхней конвективной производной с принципом материальной объективности.

Глава 1. Математическая модель взаимодействия жидкости и твердого тела при сборке деформируемых конструкций

1.1 Особенности взаимодействия жидкости и твердого тела при сборке

деформируемых конструкций

При производстве современных транспортных средств (автомобилей, самолетов) особенное значение имеет процесс сборки готового изделия из предварительно изготовленных гибких деталей. Неточности, допущенные в ходе сборки, могут иметь серьезные последствия вплоть до преждевременного разрушения конструкции в ходе эксплуатации из-за возникновения повышенных механических напряжений [46]. Современные технологии сборочного процесса предполагают проведение множества операций, которые позволяют гарантировать надежность и долговечность итогового соединения. В частности, в ходе некоторых операций между собираемыми деталями наносятся специальные жидкие составы, присутствие которых позволяет решить ряд технологических задач. Механическое взаимодействие данных жидких составов с собираемыми деталями, наблюдаемое в ходе сборки, имеет ряд особенностей, которые напрямую связаны с характером соответствующих сборочных операций. Данные особенности будут подробно описаны ниже на примере двух типовых сборочных операций, а именно, операций герметизации и клеевого соединения деталей.

Герметизация соединений является одной из центральных процедур при сборке современных авиационных конструкций. В настоящее время такие конструкции собираются из множества крупногабаритных деталей (см. Рисунок 1). В данной отрасли основным методом сборки является клепочное и болтовое соединение [60], поэтому в ходе сборки между собираемыми деталями могут оставаться пустоты. Появление подобных пустот является крайне нежелательным, поскольку через них соединение может подвергаться агрессивному влиянию внешней среды, приводящему к возникновению коррозии

и разрушению соединения. Именно использование специальных герметизирующих составов позволяет предотвратить образование пустот и обеспечивает длительный срок службы соединения [50].

Рисунок 1 - Сборочная линия авиастроительной компании Airbus

(airbus.com)

Герметизация соединения обычно производится перед заключительным этапом сборки. При помощи специальных инструментов герметик наносится на одну из собираемых деталей, а затем равномерно распределяется по ее поверхности (см. Рисунок 2). Далее детали фиксируются на специальном сборочном стенде (или стапеле). Важно отметить, что при фиксации не всегда удается достичь плотного прилегания деталей друг к другу, поэтому после данной операции герметик обычно заполняет не все пространство между деталями, а только его часть.

После закрепления детали соединяются с использованием так называемых временных крепежных элементов, которые устанавливаются в часть отверстий, просверленных на предыдущих этапах сборки (см. Рисунок 3). В ходе дальнейших сборочных операций постоянные крепежные элементы (болты или заклепки) последовательно устанавливаются во все отверстия, надежно соединяя детали между собой (см. Рисунок 4).

Рисунок 2 - Метод нанесения герметика на деталь

Стоит отметить, что присутствие герметика между собираемыми деталями играет свою роль при установке постоянных крепежных элементов. Дело в том, что отверстия для временного крепежа обычно имеют небольшой диаметр, поэтому перед установкой постоянных болтов или заклепок эти отверстия рассверливаются. В процессе сверления неизбежно образуется металлическая стружка, и благодаря присутствию герметика эта стружка не попадает внутрь соединения. Отсутствие стружки является одним из требований к качеству сборки, поскольку ее наличие приводит к повышению механических напряжений и может вызвать усталостное разрушение соединения [46].

Рисунок 3 - Соединение деталей временными крепежными элементами [69]

Рисунок 4 - Конечный результат сборки [69]

В ходе описанных сборочных операций герметик начинает растекаться внутри соединения, причем данный процесс имеет следующие характерные

особенности:

1) Как упоминалось выше, перед сборкой герметик распределяется тонким слоем на одну из собираемых деталей. Это означает, что для описания возникающего течения можно воспользоваться методами теории смазки [73], в которой основным предположением является малость толщины слоя жидкости по сравнению с характерными продольными размерами области течения.

2) Временные крепежные элементы обычно устанавливаются по одному или небольшими группами в близко расположенные отверстия. Это означает, что в ходе временного крепежа в областях, где элементы еще не устанавливались, зазор между собираемыми деталями будет заполнен герметиком лишь частично (как и перед началом сборки, см. стр. 13). Таким образом, при описании течения герметика необходимо предусмотреть эффекты, связанные с наличием у него свободной поверхности.

3) Используемые в авиастроении герметики обычно представляют собой специальные двухкомпонентные составы. Особенность этих составов состоит в том, что в ходе сборки компоненты составов вступают в химическую реакцию, приводящую к переходу герметика из жидкого состояния в твердое (этот процесс называется отверждением [36]). Данный процесс напрямую влияет на

физические свойства герметика и должен быть учтен при описании возникающего течения.

Еще одной сборочной операцией, при которой используются жидкие составы, является клеевое соединение деталей. Такой способ сборки частично используется в авиастроении, поскольку его применение обеспечивает более равномерное распределение механических напряжений внутри соединения по сравнению с клепочной или болтовой сборкой [17]. Также использование клеевого соединения позволяет уменьшить вес собираемой конструкции, поэтому этот метод сборки широко применяется в автомобильной промышленности [11]. Как и при герметизации соединений, клей предварительно наносится на одну из собираемых деталей (см. Рисунок 5). Далее детали соединяются и фиксируются, пока не завершится процесс отверждения клея, приводящий к образованию прочного контакта между деталями.

Рисунок 5 - Применение клея в автомобилестроении (gcc.sika.com)

Течение клея, наблюдаемое в ходе сборки, обладает теми же особенностями, что и описанное ранее течение герметика - клей также растекается тонким слоем между собираемыми деталями и отверждается в процессе сборки. Одновременно с этим, при описании взаимодействия между клеем и деталями необходимо учесть прилипание, возникающее между ними (адгезию [68]), ради которого клей и наносится внутрь соединения.

Итак, описанные выше особенности процесса взаимодействия жидкости и твердого тела, наблюдаемого в ходе сборки деформируемых конструкций, должны быть корректно описаны при построении соответствующей математической модели, что будет сделано в следующих параграфах.

1.2 Модель течения жидкости

Начнем построение модели с описания течения жидкости, возникающего в ходе сборки деформируемых конструкций. Любой используемый в процессе сборки жидкий состав можно рассматривать как несжимаемую сплошную среду, поэтому возникающее течение может быть описано с использованием законов сохранения массы и импульса, которые имеют следующий вид:

V • V = 0

+ = ^р + V•т + f , (1)

где V - вектор скорости жидкости в декартовой системе координат, р - плотность, t - время, р - давление, т - тензор напряжений, f - плотность внешних объемных сил.

Система уравнений (1) является незамкнутой - действительно, если считать тензор напряжений симметричным, то неизвестными в ней являются 10 скалярных величин (давление р, 3 компоненты вектора скорости V, 6 компонент тензора напряжений т), в то время как уравнений в данной системе всего 4. Для замыкания системы (1) необходимо определить, каким образом в жидкости связаны между собой напряжения и деформации (соответствующее уравнение обычно называют реологическим законом [3]). Довольно часто в качестве реологического закона используют уравнение ньютоновской жидкости, которое выглядит следующим образом:

т = ^(Vv + (Vv)T), (2)

где д - динамическая вязкость жидкости.

Модель ньютоновской жидкости позволяет во многих случаях корректно описать явление вязкости, однако, как упоминалось во введении, для жидких составов, используемых в ходе сборки, характерно более сложное вязкоупругое поведение [68]. Это связано с тем, что данные составы представляют собой полимерные материалы, которые в ряде экспериментов проявляют свойства, нехарактерные для вязкой жидкости. Возникающие эффекты можно в определенном смысле считать упругими и одним из них является эффект Вайзенберга, изображенный на Рисунке 6 [13]. Данный эффект наблюдается, когда в колбу с полимерной жидкостью помещают стержень, который в ходе эксперимента вращается с заданной угловой скоростью. В случае ньютоновской жидкости (левая фотография на Рисунке 6) вращение стержня приводит к образованию небольшого вихря, в то время как полимерная жидкость (правая фотография) в ходе эксперимента начинает «наматываться» на стержень (в литературе этот эффект также называют rod-climbing - букв. «подъем на стержень»).

® ® Рисунок 6 - Эффект Вайзенберга [13]

Наблюдаемый эффект можно объяснить следующим образом - при вращении стержня длинные полимерные молекулы жидкости стремятся ориентироваться вдоль концентрических линий тока возникающего течения, что приводит к растяжению молекул и появлению дополнительных упругих напряжений вдоль линий тока. Эти напряжения «затягивают» жидкость по направлению к оси вращения стержня и приводят к возникновению эффекта Вайзенберга. Стоит отметить, что наличием дополнительных упругих напряжений можно объяснить и многие другие эффекты, возникающие в полимерных жидкостях [13, 71].

Для описания явления вязкоупругости довольно часто используются модели на основе соединений «пружин» и «демпферов» [38]. В таких моделях упругие элементы, подчиняющиеся закону Гука («пружины») могут соединяться с вязкими ньютоновскими элементами («демпферами») при помощи параллельного и/или последовательного соединения. Далее, предполагая возникающие деформации квазистационарными, можно считать, что при последовательном соединении в элементах возникают одинаковые напряжения, а деформации складываются (при параллельном соединении ситуация меняется на противоположную: деформации в элементах будут одинаковыми, а напряжения -складываться). Используя данные правила, аналогичные известным правилам анализа электрических цепей, можно определить соотношение между напряжениями и деформациями, соответствующее любому заданному соединению.

Простейшей моделью такого типа является модель Максвелла, которая представляет собой последовательное соединение упругого и вязкого элементов [38]. Таким образом, в данной модели жидкость под действием заданного напряжения одновременно претерпевает две независимые деформации (вязкую и упругую), которые алгебраически складываются. Реологический закон данной модели выглядит следующим образом:

т + Л^ = + (3)

где Л = £ - так называемое время релаксации жидкости, которое определяется отношением между вязкостью «демпфера» д и упругим модулем «пружины» Стоит отметить, что, когда время релаксации Л обращается в ноль, модель Максвелла (3) переходит в модель ньютоновской жидкости (2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Елисеев Артем Андреевич, 2022 год

Список литературы

1. Зайцева, Н.И. Математическое моделирование отклонений поверхностей деталей и анализ качества сборки в авиастроении: дисс. на соискание уч. степ. канд. техн. наук: 05.13.18 / Зайцева Надежда Игоревна. - СПб., 2021. - 105 с.

2. Киндерлерер, Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. - М.: Мир. - 1983. - 256 с.

3. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа: учеб. для вузов. — 7-е изд., испр. / Л.Г. Лойцянский. - М.: Дрофа. - 2003. — 840 с.

4. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука. - 1970. - 940 с.

5. Пальмов, В.А. Теория определяющих уравнений в нелинейной термомеханике деформируемых тел. Учебное пособие / В.А. Пальмов. - СПб: Изд-во СПбГПУ. - 2008. - 113 с.

6. Пальмов, В.А. Фундаментальные законы природы в нелинейной термомеханике деформируемых тел. Учебное пособие / В.А. Пальмов. - СПб: Изд-во СПбГПУ. - 2008. - 143 с.

7. Петухова, М.В. Разработка алгоритмов решения одного класса контактных задач: дисс. на соискание уч. степ. канд. техн. наук: 05.13.18 / Петухова Маргарита Владимировна. - М., 2013. - 119 с.

8. Погарская, Т.А. Разработка методов выбора расположения и порядка установки временных крепежных элементов при математическом моделировании сборки авиационных конструкций: дисс. на соискание уч. степ. канд. техн. наук: 05.13.18 / Погарская Татьяна Аркадьевна. - СПб., 2021. - 121 с.

9. Стефанова, М.В. Адаптация метода внутренней точки к решению задач квадратичного программирования, возникающих при моделировании сборки деформируемых конструкций: дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Стефанова Мария Владимировна. - СПб., 2021. - 131 с.

10. Baklanov, S. Newton projection method as applied to assembly simulation / S. Baklanov, M. Stefanova, S. Lupuleac // Optimization Methods and Software. - 2020.

- https://doi.org/10.1080/10556788.2020.1818079.

11. Banea, M.D. Multi-material adhesive joints for automotive industry / M.D. Banea, M. Rosioara, R.J.C. Carbas, L.F.M. da Silva // Composites Part B. - 2018. -V.151. - P.71-77.

12. Benra, F.-K. A comparison of one-way and two-way coupling methods for numerical analysis of fluid-structure interactions / F.-K. Benra, H.J. Dohmen, J. Pei, S. Schuster, B. Wan // Journal of Applied Mathematics. - 2011. - V.2011. - Article ID 853560 (16 p.).

13. Bird, R.B. Dynamics of Polymetric Liquids, Vol. 1: Fluid Mechanics / R.B. Bird, R.C. Armstrong, O. Hassager. - New York: Wiley. - 1987. - 670 p.

14. Bogaers, A.E.J. Quasi-Newton methods for implicit black-box FSI coupling / A.E.J. Bogaers, S. Kok, B.D. Reddy, T. Franz // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.

- 2014. - V.279. - P. 113-132.

15. Boucherit, H. Comparison of non-Newtonian constitutive laws in hydrodynamic lubrication / H. Boucherit, M. Lahmar, B. Bou-Said, J. Tichy // Tribol. Lett. - 2010. - V.30. - №1. - P.49-57.

16. Broyden, C.G. A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations / C.G. Broyden // Mathematics of Computation. - 1965. - V.19. - №92. -P.577-593.

17. Burka, P. Modelling of adhesive bonding for aircraft structures applying the insertion squeeze flow method / P. Burka, X. Liu, M.C. Thompson, J. Sheridan // Composites Part B. - 2013. - V.50. - P.247-252.

18. Chung, J. A time integration algorithm for structural dynamics with improved numerical dissipation: the generalized-a method / J. Chung, G.M. Hulbert // ASME. J. Appl. Mech. - 1993. - V.60. - №2. - P.371-375.

19. Dafermos, C.M. Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, Volume IV / C.M. Dafermos, M. Pokorny (eds.). - North-Holland: Elsevier.

- 2008. - 597 p.

20. Dapp, W.B. Self-affine elastic contacts: percolation and leakage / W.B. Dapp, A. Lücke, B.N. Persson, M.H. Müser // Physical Review Letters. - 2012. - V.108. -№24. - 244301 (4 p.).

21. Dennis, J.E. Convergence theorems for Least-Change Secant Update methods / J.E. Dennis, H.F. Walker // SIAM J. Numer. Anal. - 1981. - V.18. - №6. - P.949-987.

22. Dimakopoulos, Y. The Free (Open) Boundary Condition at inflow boundaries / Y. Dimakopoulos, G. Karapetsas, N.A. Malamataris, E. Mitsoulis // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 2012. - V.187-188. - P.16-31.

23. Dimakopoulos, Y. Direct numerical simulation of a 2D-stented aortic heart valve at physiological flow rates / Y. Dimakopoulos, A.C.B. Bogaerds, P.D. Anderson, M.A. Hulsen, F.P.T. Baaijens // Comput. Methods Biomech. Biomed. Eng. - 2012. -V.15. - №11. - P. 1157-1179.

24. Eliseev, A. Numerical simulation of aircraft assembly process with presence of sealant / A. Eliseev, S. Lupuleac, B. Grigor'ev, J. Shinder // SAE Technical Papers. -- 2021. - 2021-01-0001 (8 p.).

25. Eliseev, A. An approach to variation simulation of final aircraft assembly with presence of sealant / A. Eliseev, S. Lupuleac, B. Grigor'ev, J. Shinder // ASME J. Comput. Inf. Sci. Eng. - 2022. - V.22. - №4. - 040904 (6 p.).

26. Garschke, C. Cure kinetics and viscosity modelling of a high-performance epoxy resin film // C. Garschke, P.P. Parlevliet, C. Weimer, B.L. Fox // Polym. Test. -2013. - V.32. - №1. - P.150-157.

27. Gerbeau, J.-F. A quasi-Newton algorithm based on a reduced model for fluid-structure interaction problems in blood flows / J.-F. Gerbeau, M. Vidrasku // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. - 2003. - V.37. - №4. - P.631-647.

28. Grigor'ev, B. An extended Reynolds equation for non-Newtonian lubrication with the upper convected Maxwell model / B. Grigor'ev, A. Eliseev // ASME J. Tribol. - 2022. - V.144. - №8. - 081805 (10 p.).

29. Guyan, R.J. Reduction of stiffness and mass matrix / R.J. Guyan // AIAA Journal. - 1965. - V.3. - №2. - P.380.

30. Haelterman, R. Analytical study of the Least Squares Quasi-Newton method for interaction problems: PhD thesis / Robby Haelterman. - Gent, 2009. - 254 p.

31. Hlavacek, I. Solution of variational inequalities in mechanics / I. Hlavacek, J. Haslinger, J. Necas, J. Lovisek. - New York: Springer-Verlag. - 1998. - 275 p.

32. Ingelsten, S. A Lagrangian-Eulerian framework for simulation of transient viscoelastic fluid flow / S. Ingelsten, A. Mark, F. Edelvik // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 2019. - V.266. - P.20-32.

33. Irons, B.M. A version of the Aitken accelerator for computer implementation / B.M. Irons, R.C. Tuck // Int. J. Numer. Methods Eng. - 1969. - V.1. - P.275-277.

34. Johnson, K.L. Shear behaviour of elastohydrodynamic oil films / K.L. Johnson, J.L. Tevaarwerk // Proc. R. Soc. London A. - 1977. - V.356. - №1685. -P.215-236.

35. Kalnay, E. Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability / E. Kalnay. - New York: Cambridge University Press. - 2003. - 369 p.

36. Karami, Z. Effect of carbon black content on curing behavior of polysulfide elastomer // Z. Karami, O.M. Jazani, A.H. Navarchian, M.R. Saeb // Prog. Color, Color. Coat. - 2018. - V.1. - №2. - P.103-112.

37. Küttler, U. Fixed-point fluid-structure interaction solvers with dynamic relaxation / U. Küttler, W.A. Wall // Comput. Mech. - 2008. - V.43. - №1. - P.61-72.

38. Lakes, R. Viscoelastic Materials / R. Lakes. - New York: Cambridge University Press. - 2009. - 481 p.

39. Li, X.K. On non-Newtonian lubrication with the upper convected Maxwell model / X.K. Li, Y. Luo, Y. Qi, R. Zhang / Appl. Math. Model. - 2011. - V.35. - №5. -P.2309-2323.

40. Lindau, B. Efficient contact modeling in nonrigid variation simulation / B. Lindau, S. Lorin, L. Lindkvist, R. Söderberg // ASME J. Comput. Inf. Sci. Eng. - 2016. - V.16. - №1. - 011002 (7 p.).

41. Liu, S.C. Variation simulation for deformable sheet metal assemblies using finite element methods / S.C. Liu, S.J. Hu // ASME J. Manuf. Sci. Eng. - 1997. -V.119. - №3. - P.368-374.

42. Lupuleac, S. Assembly simulation of riveting process / S. Lupuleac, M. Kovtun, O. Rodionova, B. Marguet // SAE Int. J. Aerosp. - 2010. - V.2. - №1. -P.193-198.

43. Lupuleac, S. Methodology for solving contact problem during riveting process / S. Lupuleac, M. Petukhova, Y. Shinder, B. Bretagnol // SAE International Journal of Aerospace. - 2011. - V.4. - №2. - P.952-957.

44. Lupuleac, S. Software complex for simulation of riveting process: concept and applications / S. Lupuleac, M. Petukhova, J. Shinder, A. Smirnov, M. Stefanova, N. Zaitseva, T. Pogarskaia // SAE Technical Papers. - 2016. - 2016-01-2090 (4 p.).

45. Lupuleac, S. Simulation and optimization of airframe assembly process / S. Lupuleac, N. Zaitseva, M. Stefanova, S. Berezin, J. Shinder, M. Petukhova, E. Bonhomme // Proceedings of the ASME 2018 IMECE. V.2: Advanced Manufacturing. Pittsburgh, Pennsylvania, USA. November, 9-15. - 2019. - V002T02A109 (10 p.).

46. Lupuleac, S. Simulation of the wing-to-fuselage assembly process / S. Lupuleac, N. Zaitseva, M. Stefanova, S. Berezin, J. Shinder, M. Petukhova, E. Bonhomme // ASME. J. Manuf. Sci. Eng. - 2019. - V.141. - №6. - 061009 (9 p.).

47. Lupuleac, S. Simulation of body force impact on the assembly process of aircraft parts / S. Lupuleac, A. Smirnov, M. Churilova, J. Shinder, N. Zaitseva, E. Bonhomme // Proceedings of the ASME 2019 IMECE. V.2B: Advanced Manufacturing. Salt Lake City, Utah, USA. November, 11-14. - 2020. -V02BT02A057 (9 p.).

48. Lupuleac, S. Complex fastener model for simulation of airframe assembly process / S. Lupuleac, A. Smirnov, J. Shinder, M. Petukhova, M. Churilova, E. Victorov, J. Bouriquet // Proceedings of the ASME 2020 IMECE. V.2B: Advanced Manufacturing. Virtual, Online. November, 16-19. - 2021. - V02BT02A061 (8 p.).

49. Lynch, D.R. Finite element simulation of flow in deforming regions / D.R. Lynch, W.G. Gray // Journal of Computational Physics. - 1980. - V.36. - P.135-153.

50. Mardis, C.S. Form-in-place seals / C.S. Mardis // 2021. - (https://www. gore.com/sites/g/files/ypyipe116/files/2016-09/Form-in-place%20Seals_0.pdf).

51. Mato, P.C. Enhanced bondline thickness analysis for non-rigid airframe structural assemblies / P.C. Mato, P. Webb, Y. Xu, D. Graham, A. Portsmore, E. Preston // Aerosp. Sci. Technol. - 2019. - V.91. - P. 434-441.

52. Najji, B. New formulation for lubrication with non-Newtonian fluids / B. Najji, B. Bou-Said, D. Berthe // ASME J. Tribol. - 1989. - V.111. - №1. - P.29-34.

53. Nocedal, J. Numerical Optimization (2nd ed.) / J. Nocedal, S.J. Wright. -New York: Springer. - 2006. - 664 p.

54. Oldroyd, J.G. On the formulation of rheological equations of state / J.G. Oldroyd // Proc. R. Soc. London A. - 1950. - V.200. - №1063. - P.523-541.

55. Papanastasiou, T.C. A new outflow boundary condition / T.C. Papanastasiou, N. Malamataris, K. Ellwood // Int. J. Numer. Methods Fluids. - 1992. - V.14. - №5. -P. 587-608.

56. Patankar, S.V. Numerical heat transfer and fluid flow / S.V. Patankar. - Boca Raton: CRC Press. - 1980. - 205 p.

57. Peiran, Y. A generalized Reynolds equation for non-Newtonian thermal elastohydrodynamic lubrication / Y. Peiran, W. Shizhu // ASME J. Tribol. - 1990. -V.112. - №4. - P.631-636.

58. Perez-Rafols, F. Modelling of leakage on metal-to-metal seals / F. Perez-Rafols, R. Larsson, A. Almqvist // Tribology International. - 2016. - V.94. - P.421-427.

59. Petukhova, M.V. Numerical approach for airframe assembly simulation / M.V. Petukhova, S.V. Lupuleac, Y.K. Shinder, A.B. Smirnov, S.A. Yakunin, B. Bretagnol // Journal of Mathematics in Industry. - 2014. - V.4. - Article number 8 (12 p.).

60. Pogarskaia, T. Optimization of the installation sequence for the temporary fasteners in the aircraft industry / T. Pogarskaia, S. Lupuleac, J. Shinder, P. Westphal // ASME J. Comput. Inf. Sci. Eng. - 2022. - V.22. - №4. - 040901 (9 p.).

61. PR 1782 C / Le Joint Francais (PPG Aerospace) // 2011. -(http://www.ppgaerospace.com/getmedia/c073722a-461a-4ef1-a9fa-e51523f6ca89/Pr17 82cmaj 1011 en.pdf).

62. Raous, M. Quasistatic Signorini problem with Coulomb friction and coupling to adhesion / M. Raous // In: New developments in contact problems, P. Wriggers - P. Panagiotopoulos (eds.), CISM Courses and Lectures, №384, Wien-New York: Springer Verlag. - 1999. - P.101-178.

63. Reddy, J.N. The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid Dynamics, 3rd ed. / J.N. Reddy, D.K. Gartling. - Boca Raton: CRC Press. - 2010. -515 p.

64. Renardy, M. Imposing 'No' Boundary Condition at Outflow: Why Does It Work? / M. Renardy // Int. J. Numer. Methods Fluids. - 1997. - V.24. - №4. - P.413-417.

65. Rider, W.J. Reconstructing Volume Tracking / W.J. Rider, D.B. Kothe // Journal of Computational Physics. - 1998. - V.141. - P. 112-152.

66. Sethian, J.A. Level Set Methods and Fast Marching Methods, Second Edition / J.A. Sethian. - Cambridge: Cambridge University Press. - 1999. - 404 p.

67. Shvarts, A. Coupling mechanical frictional contact with interfacial fluid flow at small and large scales: PhD thesis / A. Shvarts. - Paris, 2019. - 190 p.

68. da Silva, L.F.M. Handbook of Adhesion Technology, Second Edition / L.F.M. da Silva, A. Öchsner, R.D. Adams. - Cham: Springer. - 2018. - 1805 p.

69. da Silva Rodrigues, N.M. Evaluate the influence of temperature and humidity on the cure process of aeronautic sealants: Master thesis (in Portuguese) / N.M. da Silva Rodrigues. - Lisbon, 2016. - 88 p.

70. Smiley, A.J. Influence and control of bondline thickness in fusion bonded joints of thermoplastic composites / A.J. Smiley, M. Chao, J.W. Gillespie Jr. // Compos. Struct. - 1991. - V.2. - №3-4. - P.223-232.

71. Spagnolie, S.E. Complex Fluids in Biological Systems: Experiment, Theory, and Computation / S.E. Spagnolie (ed.). - New York: Springer. - 2015. - 440 p.

72. Stefanova, M. Convex optimization techniques in compliant assembly simulation / M. Stefanova, O. Minevich, S. Baklanov, M. Petukhova, S. Lupuleac, B. Grigor'ev, M. Kokkolaras // Optim Eng. - 2020. - V.21. - P. 1665-1690.

73. Szeri, A.Z. Fluid Film Lubrication, 2nd ed. / A.Z. Szeri. - New York: Cambridge University Press. - 2011. - 565 p.

74. Tichy, J.A. Non-Newtonian lubrication with the convected Maxwell model / J.A. Tichy // ASME J. Tribol. - 1996. - V.118. - №2. - P.344-348.

75. Turner, M.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures / M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp // J. Aeronaut. Sci. - 1956. - V.23. - №9. - P.805-823.

76. Vasiliev, A. A novel approach to dynamic contact analysis in the course of aircraft assembly simulation / A. Vasiliev, O. Minevich, E. Lapina, J. Shinder, S. Lupuleac, J. Barboule / SAE Technical Papers. - 2021. - 2021-01-0004 (7 p.).

77. Vasiliev, A. Numerical approach for detecting the resonance effects of drilling during assembly of aircraft structures / A. Vasiliev, S. Lupuleac, J. Shinder // Mathematics. - 2021. - V.9. - №22. - 2926 (15 p.).

78. Vierendeels, J. Implicit coupling of partitioned fluid-structure interaction problems with reduced order models / J. Vierendeels, L. Lanoye, J. Degroote, P. Verdonck // Computers & Structures. - 2007. - V.85. - №11-14. - P.970-976.

79. Wall, W.A. A strong coupling partitioned approach for fluid-structure interaction with free surfaces / W.A. Wall, S. Genkinger, E. Ramm // Computers & Fluids. - 2007. - V.36. - №1. - P.169-183.

80. Wolff, R. A generalized non-Newtonian fluid model incorporated into elastohydrodynamic lubrication / R. Wolff, A. Kubo // ASME J. Tribol. - 1996. -V.118. - №1. - P.74-82.

81. Wang, H. Identifying sources of variation in horizontal stabilizer assembly using finite element analysis and principal component analysis / H. Wang, X. Ding // Assembly Automation - 2013. - V.33. - №1. - P.86-96.

82. Wärmefjord, K. Tolerance simulation of compliant sheet metal assemblies using automatic node-based contact detection / K. Wärmefjord, L. Lindkvist, R. Söderberg // Proceedings of the ASME 2008 IMECE. V.14: New Developments in Simulation Methods and Software for Engineering Applications. Boston, Massachusetts, USA. October 31-November 6. - 2009. - P.35-44.

83. Wärmefjord, K. Joining in nonrigid variation simulation / K. Wärmefjord, R. Söderberg, B. Lindau, L. Lindkvist, S. Lorin // In: Computer-aided Technologies: Applications in Engineering and Medicine, R. Udroiu (ed.), London: Intech Open. -2016. - P.41-68.

84. Wriggers, P. Computational Contact Mechanics, 2nd ed. / P. Wriggers. -Berlin: Springer. - 2006. - 518 p.

85. Yang, D. Evaluation of residual clearance after pre-joining and pre-joining scheme optimization in aircraft panel assembly / D. Yang, W. Qu, Y. Ke // Assembly Automation. - 2016. - V.36 - №4. - P.376-387.

86. Zaitseva, S. Approaches to initial gap modeling in final aircraft assembly simulation / N. Zaitseva, S. Lupuleac, V. Khashba, J. Shinder, E. Bonhomme // Proceedings of the ASME 2020 IMECE. V.2B: Advanced Manufacturing. Virtual, Online. November, 16-19. - 2021. - V02BT02A059 (8 p.).

Приложение А Согласованность верхней конвективной производной с принципом материальной объективности

Как упоминалось в Главе 1, верхняя и нижняя конвективные производные тензора напряжений являются согласованными с принципом материальной объективности, и в данном приложении будут приведены выкладки, подтверждающие данный факт. Для краткости далее будет рассматриваться только случай верхней конвективной производной, так как для нижней конвективной производной доказательство можно провести аналогично.

Напомним, согласованность верхней конвективной производной с принципом материальной объективности равносильна выполнению следующего равенства:

V V

(71)

где т - тензор напряжений жидкости в произвольной точке в некоторой системе отсчета,

TQ - выражение для того же тензора в другой системе отсчета, которая в общем случае может совершать вращение относительно первой системы. Данное вращение может быть задано ортогональной матрицей Q = Q(t) (см. равенство (4)).

Сначала распишем левую часть равенства (71) по определению верхней конвективной производной (12):

та =

ОС

— (V«*«) -^а)- (72)

Следует обратить внимание, что в (72) учитывается тот факт, что вид оператора градиента и вектора скорости зависит от выбора системы отсчета. В [5] приводится следующее выражение для тензора VQVQ:

VQVQ = а - Vv - + Ч, (73)

где я - тензор, определяемый равенством DQ/Dt = —ц - Q.

Так как Q является ортогональной матрицей, то из последнего равенства домножением на Qт можно получить явное выражение для тензора ц. Подставляя полученный результат в (73), получаем:

\Т пт

т

\Т

VQvQ = Q-Vv-Qт-^-Q7\ (74)

Напомним, что TQ = Q • т • Qí из равенства (7). Подставляя это равенство и выражение для VQVQ из (74) в (72), имеем:

Пользуясь выражением для материальной производной произведения, можно раскрыть первый комплекс в правой части (75):

+ -£2-0г. (76)

Также в (76) по сравнению с (75) были раскрыты скобки и использована ортогональность матрицы Q. Перегруппируем слагаемые в (76):

V Q-(^-(Vv}т-т-т-Vv)-Qт + (^-т-Qг + Q-^-Q-т-Qт) + (Q-т-^^¡r + Q-т-

-аг (77)

Заметим, что первое выражение в круглых скобках в правой части (77) представляет собой ничто иное, как определение верхней конвективной

V

производной т. Таким образом, для доказательства исходного утверждения достаточно показать, что два других выражения в круглых скобках в правой части последнего равенства обращаются в ноль. Рассмотрим первое из них (второе можно рассмотреть аналогично):

+ = + = = (78)

Здесь используется, что выражение Qт - Q в любой момент времени равняется единичной матрице, поэтому - Q}/^t = 0, что завершает доказательство.