Математическое моделирование волновых процессов в вязкоупругих оболочках и оболочках с конструкционным демпфированием, взаимодействующих с вязкой жидкостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Блинкова, Анастасия Юрьевна

• Блинкова, Анастасия Юрьевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Блинкова, Анастасия Юрьевна

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

1 Математические модели взаимодействия вязкоупругих цилиндрических оболочек и оболочек с конструкционным демпфированием

с вязкой несжимаемой жидкостью внутри нее

1.1 Определение напряжений, действующих со стороны жидкости

на оболочку

1.2 Вязкоупругие цилиндрические оболочки

1.3 Геометрически нелинейные оболочки с конструкционным демпфированием

1.4 Геометрически и физически нелинейные оболочки с конструкционным демпфированием

2 Математические модели взаимодействия соосных вязкоупругих оболочек и соосных оболочек с конструкционным демпфированием

с вязкой несжимаемой жидкостью между

2.1 Определение напряжений, действующих со стороны жидкости

на оболочку

2.2 Соосные вязкоупругие цилиндрические оболочки

2.3 Геометрически и физически нелинейные соосные оболочки с конструкционным демпфированием

3 Исследование ¡математической модели волновых процессов в вязко-упругих оболочках н оболочках с конструкционным демпфированием, взаимодействующих с вязкой жидкостью

3.1 Вязкоупругие цилиндрические оболочки и оболочки с конструкционным демпфированием

3.2 Соосные вязкоупругие оболочки и соосные оболочки с конструкционным демпфированием

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А кс!у1.ру

Б кау2.ру

В Справка об использовании результатов научных исследований

Г Свидетельство о государственной регистрации программы

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

КдВ - уравнение Кортевега - де Вриза

МКдВ - модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза

КдВ-Б - уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса

МКдВ-Б - модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование волновых процессов в вязкоупругих оболочках и оболочках с конструкционным демпфированием, взаимодействующих с вязкой жидкостью»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Исследование распространения волн деформации в упругих и вязкоупругих средах является важным направлением в современной волновой динамике. Моделирование и исследование волн деформаций в геометрически и физически нелинейных упругих и вязкоупругих стержнях и пластинах проведено работах Nariboli J.A., Sedov А. [1,2], У.К. Нигул [3], Л.А. Островский, A.M. Сутин [4], В.И. Ерофеева [5-10], А.И. Потапов, Солдатов И.Н. [11,11,12], а в оболочках — в работах Л.И. Могилевича, А.И. Землянухина [13-17], Г.А. Аршинова [18,19], В.М. Катсона [20-23].

В этих работах с помощью метода многих масштабов из уравнений динамики упругих и вязкоупругих конструкций выведены уравнения, имеющие точные решения, такие как уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), Кортевега - де Вриза - Бюргерса (КдВБ), модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (МКдВ), модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса (МКдВБ), уравнение Кадомцева - Петвиашвили уравнение Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса . Данные уравнения имеют точные решения, описывающие уединенные нелинейные волны деформаций, распространяющиеся без изменения формы и амплитуды, с постоянной скоростью.

В работах Л.И. Могилевича, Ю.А. Блинкова [24-26], С.В. Иванова [27-30], И.А. Ковалевой [31-36] исследуется волны деформации в упругих оболочках и упругих соосных оболочках, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью. В этих работах показано, что амплитуда волны в процессе её движения может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от величины коэффициента Пуассона материала оболочки, то есть наличие жидкости приводит к разрушению уединенной волны. При этом уравнение, описывающее волновой процесс, не имеет точного решения, поэтому это явление было обнаружено и исследовано при помощи компьютерного моделирования. Наличие слоя жидкости между соосны-ми упругими оболочками приводит к связанной системе уравнений, описывающей волновой процесс в оболочках, и имеющей точное решение. Однако, особый интерес представляет развитие волн деформаций во внутренней оболочке при наличии возмущения во внешней оболочке, что также потребовало компьютерного

моделирования. Переход от непрерывной модели к дискретной осуществлялся с помощью техники базисов Грёбнера, изложенный в работах Ю. А. Блинкова, В. П. Гердта, В. В. Мозжил кипа [31-ЛЦ.

Однако в этих работах отсутствуют исследования влияния на волновой процесс взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с оболочками из вязкоупру-гого материала и оболочками из материала с конструкционным демпфированием. Вышеизложенное определило актуальность и цель данной работы.

Волновые процессы в упругих, вязкоупругих и нелинейных вязкоупругих оболочках, не взаимодействующих с вязкой жидкостью, рассмотрены в [9,13,16,19]. При взаимодействии оболочки с вязкой жидкостью, но без учета волновых явлений рассмотрены в [45-47].

Вместе с тем, исследования влияния на волновой процесс в упругих оболочках несжимаемой вязкой жидкости, находящейся между ними, в литературе отсутствуют. В настоящей работе исследуется учет влияния вязкой несжимаемой жидкости, находящейся между соосными упругими оболочками, на распространение нелинейных волн деформаций, что требует компьютерного моделирования.

Исследования волн деформаций в упругих оболочках во многом опираются на теорию солитонов. Солитоном называется уединенная волна, сохраняющая свою структуру. Как явление, солитон был открыт Джоном Скотом Расселом в 1834 г. Название "солитон" происходит от "solitary wave" - уединенная волна. Окончание указывает на поведение солитона как частицы, то есть на его способность сохранять свою структуру при взаимодействии с другими солитонами или с различными возмущениями.

В ходе исследования динамики волн в 1877 г. Жозефом Бусинеском было выведено уравнение, которое было исследовано Дидериком Кортевегом и Густавом де Вризом в 1895 г. как модель, описывающая поведение волн на мелководье. Это уравнение получило название КдВ:

Одним из решений этого уравнения является функция, описывающая поведение солитона

/ _ 2ау2

ЩХ' ] сЬ?к{х-АкЧ-фУ Здесь амплитуда солитона равна 2к2, фаза - ф, эффективная ширина основания -к-1, скорость движения солитона - 4к2. В общем случае существует класс много-солитонных решений, таких что, с течением времени (£ —» ±оо) солитон распадается на несколько солитонов. Такое решение имеет вид

д2

где А(х, £) - матрица следующего вида:

А — л г8 «2М«п+кт)д

■г^пт — "пга п «->

/с» ~г

т

При изучении продольных диспергирующих волн в упругих и вязкоупругих стержнях и пластинах были получены уравнения КдВ и КдВ-Б для компоненты продольной деформаций [1,2]. В работе Л. А. Островского и А. М. Сутина [4] было показано, что продольная скорость волны деформаций в стержнях удовлетворяет уравнению КдВ, а также рассмотрен процесс образования солитонов. В работах А. М. Самсонова и Е. В. Сокуринской [48-51] было рассмотрено влияние параметров нелинейности среды, коэффициента Пуассона и модуля Юнга на распространение волн в среде. В работах В. И. Ерофеева [5-8,10,52] рассмотрен процесс формирования солитонов деформаций в средах с микроструктурой, определены также зависимости между параметрами волн деформаций и поврежденно-стью материала, которые могут быть использованы для диагностики повреждений конструкций акустическими методами.

Впервые солитоны в твердом деформируемом теле экспериментально обнаружены в работе [53]. В этой работе рассмотрены солитоны в тонкой металлической цилиндрической оболочке, имеющие вид огибающей изгибной волны. Такие солитоны были описаны нелинейным уравнением Шредингера. Задачи распространения линейных волн деформаций в упругих оболочках рассмотрены в работах Л. Ю. Коссовича. В частности, в [54] разрабатываются асимптотические методы

методы решения подобных задач. В работах М. Д. Мартыненко и др. [55-57] изучаются условия, при которых в нелинейно-упругих телах существуют солитоны, а также рассматриваются упругие волны в цилиндрических оболочках, находящихся в движении под действием инерционных сил, создающих нелинейные эффекты.

Методы решения солитонных уравнений рассматривали М. Абловиц и X. Си-гур [58]. Методы решения осесимметричных задач рассматриваются в работах Ю. И. Соловьева [59]. В данной работе решение строится на основе обобщенных аналитических функций. Теория вязкопластических течений освещена в в работе [60].

Исследование поведения нелинейных волн, в частности, солитонов в цилиндрических оболочках было проведено в работе А. И. Землянухина и JI. И. Мо-гилевича [14]. В частности, рассмотрены и проанализированы различные аналитические методы исследования нелинейных волновых уравнений, выведены уравнения, описывающие поведение нелинейных волн в различных видах цилиндрических оболочек - упругих, нелинейно упругих, нелинейно вязкоупругих, рассмотрен также случай осесимметричных изгибных волн в цилиндрической оболочке. На основе выведенных уравнений проведен анализ поведения волн в цилиндрических оболочках. Однако в данной работе не рассматривался случай наличия вязкой несжимаемой жидкости внутри оболочки. Этот случай рассмотрен в работах [13,15,16,18,19].

Можно выделить один из основных подходов к решению задач динамики оболочек. Этот подход, называемый классическим, основан на гипотезах Кирхгоффа - Лява. Модели оболочек в таком подходе называют моделями первого приближения.

В модели Кирхгоффа - Лява, уравнения движения элемента оболочки имеют параболический вид. В этом случае скорости распространения фронтов возмущений стремятся к бесконечности. Условие, что рассматриваемые конструкции являются тонкостенными, приводит к возникновению особого вида дисперсии, которая является причиной формирования нелинейных волн деформаций, обладающих различной структурой. Нелинейные волны деформаций в оболочках, пластинах и стержнях, по классификации Уизема [61], являются диспергирующими

и, в каждом определенном случае, следует учитывать физические представления о волновом движении при выборе исходной системы уравнений.

Во многих случаях свойства материала задаются законом Гука, что позволяет рассматривать малые деформаций. Часто встречаются задачи, в которых свойства материалов невозможно достаточно точно задать применением линейных моделей. Линейные модели в этом случае не позволяют оценить нелинейные эффекты, например, в случае нелинейных материалов наследственного типа, где физико-механические свойства при деформаций изменяются во времени. Для решения задач исследования напряженно-деформированного состояния конструкций в условиях статического равновесия, а также для анализа процессов распространения волн деформаций, требуется построение математических моделей, учитывающих физическую нелинейность вязкоупругих материалов и геометрическую нелинейность деформаций.

Практические задачи расчета конструкций часто требуют использования уравнений динамики. При этом наличие физической и геометрической нелинейности значительно усложняет математические модели, что приводит к большим трудностям при их анализе. В связи с этим, важной становится задача упрощения и перехода к моделям динамических процессов, которые позволяют выполнять качественный и количественный анализ.

Механические свойства материалов цилиндрических оболочек (например, труб) исследуются при помощи экспериментов по измерению скорости распространения волн деформаций в оболочке. При сравнении полученных данных можно выделить закономерности зависимости скорости распространения волны деформаций от состояния материала. Таким образом, при сравнении экспериментально полученной скорости волны с полученной теоретически, можно сделать выводы о состоянии конструкции и поврежденности ее материала.

Впервые подобные результаты были получены в работах У. К. Нигула и Ю. К. Энгельбрехта [3,62]. В этих работах рассматривалось поведение волн деформаций в задачах термоупругости. В работах Л. К. Зарембо и В. А. Красиль-никова [63] рассмотрены нелинейные явления, возникающие при распространении упругих волн в твердых телах. Закономерности распространения нелинейных волн в диспергирующих средах изучены в работе В. И. Карпмана [64]. В работе

И. А. Молотова и С. А. Вакуленко [65] были выведены выражения для скорости и амплитуды возмущенного солитона, двигающегося в стержне с медленно меняющейся плотностью и модулем Юнга.

Задачи гидроупругости делятся на стационарные и нестационарные. В данной работе рассматриваются нестационарные задачи, которые, в свою очередь, распадаются на задачи колебаний и волновые задачи. По методам решения они делятся на связанные и несвязанные. В несвязанных задачах сначала решается уравнения динамики жидкости, а затем волновое движение упругого тела, при этом приоритет отдается определению параметров жидкости - скорости и давления. Такой подход применяется при исследовании механики живых организмов т. е. биомеханики.

В другом подходе рассматривается движение жидкости, взаимодействующей с твердым телом. Определяют напряжение, действующее со стороны жидкости на твердое тело, трение и давление. Это значит, что предполагается отсутствие влияния деформаций оболочки на поток жидкости [66]. Затем они подставляются в уравнения динамики тела как упругого и находятся перемещения, продольные и нормальные, то есть прогиб. Это позволяет определить напряженно деформированное состояние упругой конструкции, что является приоритетом в несвязанной задаче. Этот подход применим, например, при определении прочности крыльев и фюзеляжа самолета.

Для связанной задачи уравнения динамики упругого тела и жидкости решаются одновременно, с учетом соответствующих граничных условий на непроницаемых поверхностях. Этот подход применен, например, для исследования гидроупругих колебаний [67], а также в настоящем исследовании нелинейных волн деформаций в упругих оболочках, содержащих несжимаемую вязкую жидкость.

Огромный вклад в развитие теории упругости и решение ее динамических задач также внесли Н. А. Алумяэ, Л. А. Айнола, А. С. Вольмир [68], В. В. Болотин [69], Ш. У. Галиев [70], А. Л. Гольденвейзер, М. П. Галин, Э. И. Григолюк [71], В. Н. Кукуджанов [72], С. П. Тимошенко [73,74], Г. С. Шапиро [75], Ю. Н. Работ-нов, В. А. Фельдштейн [76] и др.

Известные подходы и методы качественного анализа математических моделей, не позволяют исследовать модели волн деформаций в случае заполнения оболоч-

ки несжимаемой вязкой жидкостью [77], а также в соосных оболочках с несжимаемой вязкой жидкостью между ними.

Дискретизация исходных моделей является универсальным способом для изучения и исследования таких моделей.

Для генерации разностных схем в диссертационной работе использован современный подход [39,40,42,78]. Данный способ позволяет развить новый подход, например, к применению интегро-интерполяционного метода. В работах [37,41,43] показана возможность построения разностных схем для гиперболических уравнений со схемной вязкостью, схем с переключателям и многослойных разностных схем. Преимуществом этого подхода является возможность построения разностных схем без схемной вязкости и переключателей для уравнений смешанного типа.

Первоначально задаются базовые разностные соотношения, которые аппроксимируют исходную систему уравнений. Выбирая вид допустимого упорядочения, можно построить базис Грёбнера разностного идеала, заданного этими разностными соотношениями. Построение базиса Грёбнера дает возможность определить совместность исходных разностных соотношений, определить произвол в решении, посчитав полином Гильберта, и, применяя специальный вид допустимого упорядочения при его построении, получить другое представление для первоначальных разностных соотношений. Применение данной техники позволяет сформировать новый подход, например, к применению интегро-интерполяционного метода.

Расчеты по полученным разностным схемам позволили сделать интерпретацию физических процессов, связанных с учетом влияния несжимаемой вязкой жидкости, находящейся внутри упругой оболочки, на распространение нелинейных волн деформаций [79,80].

Целью работы является развитие методов математического и компьютерного моделирования процессов нелинейной волновой динамики вязкоупругих цилиндрических оболочек, упругих цилиндрических оболочек с учетом конструкционного демпфирования и соосных вязкоупругих цилиндрических оболочек, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью, на основе методов компьютерной алгебры с использованием базисов Грёбнера.

Задачи работы. Поставлены следующие задачи:

- вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение волн деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость;

- вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение волн деформаций в соосных вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними;

- генерация разностных схем для решения полученных уравнений, обобщающих уравнение КдВБ и уравнение МКдВБ, с использованием компьютерной алгебры и базиса Грёбнера;

- численное исследование моделей вязкоупругих цилиндрических оболочек и упругих цилиндрических оболочек с учетом конструкционного демпфирования, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость, а также соосных вязкоупругих цилиндрических оболочек, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость между ними.

Научная новизна.

- Построены новые математические модели волновых движений в бесконечно длинных вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, отличающиеся от известных учетом наличия внутри них вязкой несжимаемой жидкости, на базе связанных уравнений динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости с соответствующими краевыми условиями, в виде обобщенных уравнений КдВБ и МКдВБ;

- Построены новые математические модели волновых движений в бесконечно длинных соосных вязкоупругих цилиндрических оболочках, отличающиеся от известных учетом наличия вязкой несжимаемой жидкости между оболочками, на базе связанных уравнений динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости с соответствующими краевыми условиями, в виде системы обобщенных уравнений КдВБ и МКдВБ;

- Применен алгоритмический метод построения базиса Грёбнера при генерации разностных схем для численного решении полученных уравнений, обобщающих уравнения КдВБ и МКдВБ, и анализа распространения нелинейных

волн деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость и систем аналогичных уравнений, для соос-ных вязкоупругих цилиндрических оболочек,содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними;

- Для рассмотренных уравнений и систем уравнений с учетом наличия жидкости сгенерированы разностные схемы типа Кранка-Николсона, полученные построением базисов Грёбнера. Для генерации разностных схем использовались базовые интегральные разностные соотношения, аппроксимирующие исходную систему уравнений;

- На основе полученного вычислительного алгоритма разработан комплекс программ с использованием пакета SciPy для численного решения задач Ко-ши и построения графиков соответствующих уравнений КдВБ и МКдВБ, когда в качестве начального условия принимаются точные решения, имеющих место при отсутствии влияния жидкости;

- С помощью разработанного программного комплекса проведены вычислительные эксперименты, позволившие выявить новый эффект влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформаций в оболочках и в соосных оболочках.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры "Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика" Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А., кафедры "Математического и компьютерного моделирования" Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, на международной научной конференции "International Conference Polynomial Computer Algebra", Санкт-Петербург, 2012; международной научной конференции "Компьютерные науки и информационные технологии", Саратов, 2012 г.; международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (ММТТ-25), Волгоград, 2012.

Достоверность полученных результатов. Построение новых математических моделей проводится на основе известной теории оболочек и уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости. Вывод нового нелинейного уравнения для волн деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилин-

дрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, проведен с помощью апробированного асимптотического метода малого параметра, корректность которого обоснована в литературе по асимптотическим методам. Анализ предложенной математической модели проводится с использованием известных методов компьютерной алгебры.

В диссертации для рассматриваемого класса нелинейных дифференциальных уравнений построены разностные схемы типа Кранка-Николсона с применением интегро-интерполяционного метода и техники базисов Грёбнера. Они были проверены на большом классе точных решений.

Кроме того, разработанные программы для численного решения выведенных уравнений протестированы на точных частных решениях известных уравнений, являющихся частным случаем полученных уравнений.

Все положения, сформулированные в диссертации, обоснованы математически.

Практическая значимость. Полученные результаты могут использоваться для диагностики поврежденности материалов акустическими методами. Использование данных моделей в свою очередь позволит существенно расширить возможности анализа экспериментальных данных по исследованию систем подачи топлива, систем охлаждения для авиакосмической техники и т.д., динамика которых носит принципиально нелинейный характер.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии и применении методов компьютерной алгебры для моделирования и исследования процессов распространения нелинейных дисперсионных волн в вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих вязкую несжимаемую жидкость. Результаты работы позволяют выявить новые закономерности в процессе распространения нелинейных дисперсионных волн в вязкоупругих соосных бесконечно длинных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними, и могут послужить созданию фундаментального научного задела в области математического и численного моделирования нелинейных волн в упругой среде, взаимодействующей с жидкостью.

Материалы работы могут быть использованы в лекционных курсах по математическому моделированию, механике деформируемого твердого тела, компьютерной алгебре, численным методам.

Работа выполнена в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ имени Гагарина Ю. А., Проблема 11В.02. Фундаментальные и прикладные проблемы теплогазоснабжения, водообеспечения, гидрогазодинамики и гидроупругости; гранта РФФИ 13-01-00049 "Нелинейные дисперсионные волны в упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость", гранта президента РФ МК-1696.2014.8 и государственной бюджетной темы СГТУ-5 "Исследование взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании", выполняемой по заказу министерства науки и образования.

На защиту выносятся следующие положения:

- новые математические модели в виде нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравнения КдВБ и МКдВБ, позволяют описывать волновые процессы в вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих вязкую несжимаемую жидкость внутри, и в соосных вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними;

- применение компьютерной алгебры, в частности, базисов Грёбнера позволяет генерировать разностные схемы для численного исследования полученных моделей;

- результаты численного исследования волновых процессов в вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость, показывают зависимость поведение волны от значения введенного параметра, характеризующего вязкоупругие свойства материала оболочки, аналогичного коэффициенту Пуассона для упругой среды, а также сглаживание профиля волны деформации и колебаний возникающих за ее фронтом;

- результаты численного исследования волновых процессов в соосных вяз-коупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними, показывают, что наличие волны деформации во внешней оболочке приводит к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке, которой данной волны не было. Этот процесс сопровождается выравниванием амплитуд и скоростей волн в оболочках и сглаживанием профиля волны деформации и колебаний возникающих за ее фронтом. Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 17 научных работах, в том числе в 7 изданиях, рекомендованных ВАК РФ [81-87]

и десять в прочих изданиях [79,80,88-95].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы, включающего 108 наименования, четырех приложений и содержит 96 страниц наборного текста.

В первом разделе построены математические модели, описывающие поведение волны деформаций в цилиндрической оболочке, содержащей несжимаемую вязкую жидкость, в виде нелинейных уравнений в частных производных, которые обобщают уравнения КдВБ и МКдВБ, содержащих члены, учитывающие наличие жидкости.

В начале записаны уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява и получены формулы поверхностных напряжений со стороны слоя жидкости. Затем записываются и решаются уравнения динамики оболочки и уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости. Выведено уравнение динамики с учетом наличия жидкости внутри оболочки. Введены безразмерные переменные и выделены малые параметры задачи. Выведено основное уравнение, описывающее волну деформаций в оболочке, содержащую несжимаемую вязкую жидкость, и записаны полученные аналитически решения этих уравнений для различных частных случаев.

Во втором разделе построены математические модели, описывающие поведение волны деформаций в двух цилиндрических упругих соосных оболочках, содержащих несжимаемую вязкую жидкость между ними, в виде нелинейных уравнений в частных производных, которые обобщают уравнения КдВБ.

Во втором разделе, как и в первом, в начале записаны уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява и получены формулы поверхностных напряжений со стороны слоя жидкости. Затем записываются и решаются уравнения динамики оболочки и уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости. Выведено уравнение динамики с учетом влияния жидкости на упругие оболочки. Введены безразмерные переменные и выделяются малые параметры задачи. Выведено основное уравнение, описывающее волну деформаций в оболочках, содержащих несжимаемую вязкую жидкость, и записаны полученные аналитически решения этих уравнений для различных частных случаев.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Блинкова, Анастасия Юрьевна, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nariboli G. A. Nonlinear longitudiinal waves in elastic rods // Journal of Mathematical and Physical Sciences. — 1970. — Vol. 4. — P. 64-73.

2. Nariboli G. A., Sedov A. Burgers's - Korteveg - de Vries equation for viscoelastic rods and plates // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1970. — Vol. 32. — P. 661-677.

3. Нигул У. К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям // Прикл. мат. и мех. — 1969. — Т. 33, № 2. — С. 308-322.

4. Островский А. Л., Сутин А. М. Нелинейные упругие волны в стержнях // Прикладная математика и механика. — 1977. — Т. 41, № 3. — С. 531-537.

5. Ерофеев В. И. Волновые процессы в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Волновая динамика машин. — 1991. — С. 140-152.

6. Ерофеев В. И., Раскин И. Г. О распространении сдвиговых волн в нелинейно-упругом теле // Прикладная механика. — 1991. — Т. 27, № 1. — С. 127-129.

7. Ерофеев В. И. Плоские стационарные волны повреждений в среде с микроструктурой // Акустический журнал. — 1994. — Т. 40, № 1. — С. 67-70.

8. Ерофеев В. И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой // Прикладная механика. — 1993. — Т. 29, № 4. — С. 18-22.

9. Ерофеев В. И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) // Акустический журнал. — 2002. — Т. 48, № 6. — С. 725-740.

10. Ерофеев В. И. Солитоны огибающих при распространении изгибных волн в нелинейно-упругом стержне // Акустический журнал. — 1992. — Т. 38, № 1.—С. 172-173.

11. Потапов А. И., Солдатов И. Н. Квазиплоский пучок нелинейных продольных волн в пластине // Акуст. Журн. — 1984. — Т. 30, № 6. — С. 819-822.

12. Потапов А. И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. — Горький.: Изд -во Горьк. гос. ун - та, 1984. — С. 984.

13. Землянухин А. И., Могилевич JI. И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение // РАН. Акустический журнал. — 2001. — Т. 47, № 3. — С. 359-363.

14. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция.— Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999. — С. 132. — ISBN: 5-7433-0553-6.

15. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1995. — Т. 3, № 1. — С. 52-58.

16. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1995. — Т. 3, № 1. — С. 52-58.

17. Землянухин А. И. Нелинейные интегрируемые уравнения в динамических задачах теории упругости: Дис. канд. физ.-мат. наук. — Саратов: СГУ, 1995.

18. Аршинов Г. А., Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Волны деформации в геометрически и физически нелинейной вязкоупругой цилиндрической оболочке // Труды VIII сессии РАО. — 1998. — С. 7-9.

19. Аршинов Г. А., Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупругой деформируемой среде // РАН Акустический журнал. — 2000. — Т. 46, № 1. — С. 116-117.

20. Ерофеев В. И., Землянухин А. И., Катсон В. М. Нелинейные продольные маг-нитоупругие волны в стержне // Нелинейный мир. — 2009. — Т. 7, № 7-8. — С. 533-540.

21. Формирование еолитонов деформации в континууме Коесера со стеснённым вращением / В. И. Ерофеев, А. И. Землянухин, В. М. Катсон, С. Ф. Шеше-нин // Вычислительная механика сплошных сред - Computational continuum mechanic. — 2009. — T. 2, № 4. — С. 67-75.

22. Землянухин А. И., Катсон В. М. Численное исследование уединённо-волновых решений уравнения Кавахары-Бюргерса // Нелинейный мир.— 2008. — Т. 6, № 5-6. — С. 363-367.

23. Катсон В. М. Уединённые волны двумерного модифицированного уравнения Кавахары // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. — 2008. — Т. 16, № 6. — С. 76-85.

24. Блинков Ю. А., Иванов С. В., Могилевич JI. И. Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость // Труды МАИ. — 2013. — Т. 69. — С. 141-149. — URL: http ://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=43095.

25. Волны деформаций в физически нелинейных упругих каналах, заполненных вязкой жидкостью, с круговым и кольцевым сечением / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич // Нелинейные колебания механических систем: Труды IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И.Неймарка, Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г. — 2012. — № 3. — С. 141-150.

26. Блинков Ю. А., Иванов С. В., Могилевич Л. И. Математическое и компьютерное моделирование нелинейных волн деформаций в оболочке, содержащей вязкую жидкость // Вестник РУДН. Математика. Информатика. Физика. — 2012. — № 3. — С. 52-60.

27. Иванов С. В. Моделирование волн деформаций в геометрически и физически нелинейной цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость // Вестник СГТУ. — 2012. — № 4. — С. 22-28.

28. Иванов С. В. Моделирование взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с физически и геометрически нелинейной упругой стенкой трубы кругового

сечения при воздействии волны деформации // Математика. Механика: сб. науч. тр. — 2012. — № 14. — С. 110-112.

29. Иванов С. В., Могилевич JI. И., Попов В. С. Моделирование колебаний и волн в цилиндрической оболочке с вязкой несжимаемой жидкостью внутри нее // Вестник СГТУ. — 2011. — № 4. — С. 13-19.

30. Иванов С. В., Могилевич JI. И., Попов В. С. Колебания и волны в упругой цилиндрической оболочке с вязкой несжимаемой жидкостью // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25: сб. трудов XXV Между-нар. науч. конф. — 2012. — Т. 3. — С. 6-9.

31. Ковалева И. А. Динамика нелинейных волн в соосных упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Математические методы в технике и технологиях (МММТ-26): сборник трудов XXVI Междунар. науч. конф,. — Т. 2. — 2013. — С. 58-61.

32. Ковалева И. А. Моделирование взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с физически и геометрически нелинейными упругими стенками трубы кольцевого сечения при воздействии волны деформации. — 2012.

33. Ковалева И. А. Моделирование динамики нелинейных волн в соосных физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2012. — Т. 4, № 1(68). — С. 28-36.

34. Ковалева И. А., Кузнецова Е. JI., Могилевич JI. И. Моделирование нелинейных волн деформации в трех упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Проблемы управления, обработки и передачи информации (АТМ-2013): сб. тр. III Междунар. науч. конф. — Т. 2. — Издательский Дом «Райт-Экспо», 2013. — С. 153-159.

35. Ковалева И. А., Могилевич JI. И. Нелинейные волны в соосных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Магистраль: Межвуз. сб.научн. статей.— 2011.— № 3.— С. 11-19.

36. Ковалева И. А., Ридель В. В., Могилевич JI. И. Динамика взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками цилиндрической трубы кольцевого сечения при воздействии волны деформации. — 2013.

37. Блинков Ю. А., Мозжилкин В. В. Генерация разностных схем для уравнения Бюргерса построением базисов Грёбнера // Программирование. — 2006. — Т. 32, № 2. — С. 71-74.

38. Блинков Ю. А., Мозжилкин В. В. Метод конечных объемов для уравнения высших порядков // Аэродинамика: Нелинейные проблемы. Межвуз. науч. сб. — 1997. —Т. 14(17). —С. 141-149.

39. Блинков Ю. А., Мозжилкин В. В. Генерация разностных схем для гиперболических уравнений построением базисов Грёбнера // СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ПРИЛОЖЕНИЯ. — Казань, 2004. — С. 29-35.

40. Мозжилкин В. В., Блинков Ю. А. Методы построения разностных схем газовой динамики // Известия Саратовского университета. — 2001. — Т. 1, № 2. — С. 145-156.

41. Blinkov Yu. A., Mozzhilkin V. V. Generation of difference schemes for the burgers equation by constructing Grobner bases // Programming and Computer Software. — 2006. — Vol. 32, no. 2. — P. 114-117.

42. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes equations // Computer Algebra in Scientific Computing.— Springer Berlin/Heidelberg, 2009. — Vol. 5743 of Lecture Notes in Computer Science. — P. 94-105.

43. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A., Mozzhilkin V. V. Grobner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — 2006. — Vol. 2. — P. 26. — URL: http://www.emis.de/journals/SIGMA/2006/Paper051/index.html.

44. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. On computer algebra-aided stability analysis of difference schemes generated by means of Grobner bases // Computer Algebra

and Differential Equations / Ed. by A. Mylläri, V. Edneral, N. Ourusoff. — Acta Academiae Aboensis, Ser. В, 2007. — Vol. 67. — P. 168-177.

45. Бочкарев С. А. Собственные колебания вращающейся круговой цилиндрической оболочки с жидкостью // ВМСС. — 2010. — Т. 3, № 2. — С. 24-33.

46. Лекомцев С. В. Конечно-элементные алгоритмы расчета собственных колебаний трехмерных оболочек // ВМСС. — 2012. — Т. 5, № 2. — С. 233-243.

47. Бочкарев С. А., Матвеенко В. П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // ВМСС. — 2013. — Т. 6, № 1. — С. 94-102.

48. Самсонов А. М. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения // Доклады Академии наук СССР. — 1984. — Т. 277, № 2. — С.332-335.

49. Самсонов А. М., Сокуринская Е. В. Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне переменного сечения // Прикладная математика и механика. — 1987. — Т. 51, № 3. — С. 483-488.

50. Самсонов А. М. О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне // Доклады Академии наук СССР. — 1988. — Т. 299. — С. 1083-1086.

51. Самсонов А. М., Сокуринская Е. В. О возможности возбуждения солитона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне // ЖТФ. — 1988. — Т. 58, № 8. — С. 1632-1634.

52. Erofeev V. I. Microstructured solids. Mathemamatical models and wave processes analiysis. — Nizhnny Novgorod.-Intelservice Publ. Сотр., 1996. — P. 80.

53. Flexural waves envelope solitonsin a metallic cylindrical thin shell / I. Rudnick, J. Wu, J. Wheatley, S. Putterman // Проблемы нелинейной акустики. Сборник трудов 11 Международного симпозиума по нелинейной акустики. Новосибирск 24-28 августа 1987 г. — 1987. — Т. 2. — С. 208-212.

54. Коссович JI. Ю. Нестационарные задачи упругих тонких оболочек. — Саратов. Издательство Саратовского университета, 1986. — С. 176.

55. Мартыненко М. Д., Нгуен Данг Бик. Уединенные волны в нелинейной упругой среде с трением // Весщ АН Беларусь Сер. физ.-мат. наук. — 1992. — № 1.

56. Мартыненко М. Д., Нгуен Данг Бик. Существование уединенных волн, распространяющихся в упругопластическом пространстве // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26, № 12. — С. 36-39.

57. Мартыненко М. Д., Нгуен Данг Бик, Фам Ши Вень. Уединенные волны в упругопластической среде с предварителдьным напряжением // Доклады АН БССР. — 1991. — Т. 35, № 4. — С. 24-27.

58. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.— М.: Мир, 1987.—С. 479.

59. Соловьев Ю. И. Некоторые вопросы, связанные с решением пространственной осесимметричной задачи теории упругости при помощи обобщенных аналитических функций // Тр. Новосиб. ин-та инж. ж.-д. трансп. — 1967. — № 62. — С. 42-44.

60. Георгиевский, Д. В. Климов Д. М., Петров А. Г. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание.— М.: Наука, 2005.— С. 394. — ISBN: 5-02-032945-2.

61. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — С. 624.

62. Никул У. К., Энгельбрехт Ю. К. Нелинейные и линейные переходные волновые процессы деформации термоупругих и упругих тел // АН ЭССР. — 1972.—С. 52-56.

63. Зарембо Л. К., Красильников В. А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // Успехи физ. наук. — 1970. — Т. 102, №4.

64. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. — М.: Наука, 1973.—С. 175-178.

65. Молотков И. А., Вакуленко С. А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях // Интерференционные волны в слоистых средах. — Наука, 1980. — Vol. 99 of Зап. науч. семин. ЛОМИ. — Р. 64-73.

66. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. — М.: Наука, 1979. — С. 320.

67. Андрейченко К. П., Могилевич Л. И. О динамике взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками // Изв. АН СССР. МТТ. — 1982. — № 2. — С. 162-172.

68. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1972. — С. 984.

69. Болотин В. В., Новиков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. — М.: Машиностроение, 1980. — С. 375.

70. Галиев Ш. У. Вынужденные продольные колебания нелинейно-упругого тела // Изв. АН СССР. Сер. Мех. тв. тела. — 1972. — № 4.

71. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Сер. Механика твердых тел. — 1973. —Т. 5.—С. 135.

72. Кукуджанов В. Н. Распространение упруго-пластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации // Труды, вычисл. центра АН СССР. — 1967.—С. 48.

73. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1975.

74. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. — М.: Наука, 1966. —С. 636.

75. Шапиро Г. С. Ораспространении волн в упруго-вязко-пластических средах // Материалы II симпозиума по распростр. упр.-пласт. волн в сплошных средах.— 1966.

76. Фельдштейн В. А. Упруго-пластические деформации цилиндрической оболочки при ударе // Волны в неупругих средах. — 1970.

77. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — 2-е, исправленное изд. — Физматлит, 2001. — С. 320.

78. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Janet Trees in Computing of Toric Ideals // Computer algebra and its applications to physics. — Dubna, Russia, 2002. — P. 71-82.

79. Блинкова А. Ю., Иванов С. В., Могилевич JI. И. Нелинейные волны деформаций в упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Магистраль: Межвуз. сб.научн. статей.— 2011.— № 3.— С. 3-11.

80. Блинкова А. Ю., Ковалева И. А., Иванов С. В. Оценка взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками трубы кругового и кольцевого сечений при воздействии волны деформации // Прикладная математика и механика : сборник научных трудов. — 2011. — С. 104-116.

81. Распространение волн деформации в двух упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая жидкость / А. Ю. Блинкова, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2011. — Т. 4, № 1. — С. 7-12.

82. Блинкова А. Ю., Блинков Ю. А., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, с учетом рассеяния энергии // Вестник московского авиационного института. — 2013. — Т. 20, № 3. — С. 186-195.

83. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих

вязкую несжимаемую жидкость / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Физика. — 2012. — Т. 12, № 2. — С. 12-18.

84. Блинкова А. Ю. Моделирование нелинейных волн деформаций в физически линейных вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Вестник саратовского государственного технического университета. — 2012. — Т. 4, № 1. — С. 7-15.

85. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в соосных физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними / А. Ю. Блинкова, А. Д. Ковалев, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика.— 2012.— Т. 12, № 3.— С. 96-104.

86. Блинкова А. Ю., Блинков Ю. А., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними, с учетом рассеяния энергии // Вычислительная механика сплошных сред. — 2013. — Т. 6, № 3. — С. 336-345.

87. Нелинейные волны в вязкоупругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость и окруженной упругой средой / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, Е. Л. Кунецова, Л. И. Могилевич // Электронный журнал "Труды МАИ". — 2014. — Т. 78. — С. 18.

88. Блинкова А. Ю. Взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с вязко-упругими стенками трубы кругового сечения при воздействии волны деформации // Математика. Механика. — 2012. — № 3. — С. 101-104.

89. Блинкова А. Ю., Иванов С. В., Могилевич Л. И. Динамика взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругой стенкой цилиндрической оболочки при воздействии волны деформации // Исследования нелинейных динамических систем: Межвузовский сборник научных трудов. — 2013. — № 3. — С. 45-54.

90. Blinkova A. Yu., Kovaleva I. A. The Application of Grôbner bases to the construction of solutions to some nonlinear wave hydroelasticity problem // International Conférence Polynomial Computer Algebra '2012. — St-Petersburg, Russia, 2012.—P. 16-19.

91. Блинкова A. Ю., Ковалева И. A., Могилевич JI. И. Математическое моделирование динамики взаимодействия физически и геометрически нелинейных упругих цилиндрических оболочек с вязкой несжимаемой жидкостью между ними при воздействии волны деформации // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. научн. конф. — Саратов: Из-дат. центр "Наука 2012. — С. 45^16.

92. Волны в оболочке с конструкционным демпфированием, содержащей жидкость и окруженной упругой средой / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Вторая Международная научно-практическая конференция «Ресурс о-энергоэффективные технологии в строительном комплексе региона». — 2014. — № 3. — С. 106-114.

93. Волны деформации в двух упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая жидкость / А. Ю. Блинкова, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-25: сб. тр. XXV Междунар. науч. конф. — Т. 3. — 2012. — С. 11-13.

94. Блинкова А. Ю., Могилевич Л. И. Математическое моделирование нелинейных волн в упругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость, с учетом конструкционного демпфирования // Проблемы управления, обработки и передачи информации (АТМ-2013) : сб. тр. III междунар. науч. конф. — Т. 20. — 2013. — С. 116-124.

95. Блинкова А. 10. Нелинейные волны деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26 : сб. тр. XXVI междунар. науч. конф., г. Н. Новгород, 27-30 мая 2013 г. — Т. 5. — 2013. — С. 27-30.

96. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — С. 840.

97. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. — Л., Изд. ЛГУ, 1978. — С. 296.

98. Чивилихин С. А., Попов В. С., Гусаров В. В. Динамика скручивающихся на-нотрубок в вязкой жидкости // Доклады РАН. — 2007. — Т. 412, № 2. — С. 201-203.

99. Солитон в стенке нанотрубки и стоксово течение в ней / В. С. Попов, О. А. Родыгина, С. А. Чивилихин, В. В. Гусаров // Письма в ЖТФ. — 2010. — Т. 36, № 18. — С. 48-54.

100. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.— М.: Наука, 1972. — С. 432.

101. Москвитин В. В. Сопротивление вязко-упругих материалов.— М.: Наука, 1972.—С. 328.

102. Аршинов Г. А., Могилевич Л. И. Статические и динамические задачи вяз-коупругости. — Сарат. гос. агр. ун-т им. Н. И. Вавилова. Саратов, 2002. — С. 152. — ISBN: 5-7011-0297-1.

103. Каудерер Г. Нелинейная механика. — М.: Иностранная литература, 1961. — С. 778.

104. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек.— Л.: Судпромгиз, 1962.— С. 431.

105. LDA.— URL: http://wwwb.math.rwth-aachen.de/Janet/lda.html.

106. Gerdt V. P., Robertz D. A Maple Package for Computing Grôbner Bases for Linear Récurrence Relations // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. — 2006. — Vol. A559. — P. 215-219. — arXiv:cs.SC/0509070.

107. Maple. — URL: http : //www. maplesof t. com.

108. SciPy. — URL: http : //www. scipy. org.