Математическое моделирование вибрационного состояния, отстройки критических частот и понижения уровня вибрации валопровода на сегментных подшипниках скольжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Булашов Дмитрий Анатольевич

• Булашов Дмитрий Анатольевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Булашов Дмитрий Анатольевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Построение общей математической модели валопровода на сегментных подшипниках скольжения

§ 1.1 Уравнения движения многоопорного валопровода с распределенными по длине и сосредоточенными массами

§ 1.2 Математическая модель расчета динамических характеристик опорных подшипников скольжения с самоустанавливающимися подушками при индивидуальном подводе смазки

§ 1.3 Математическая модель расчета динамических характеристик опорных подшипников скольжения с самоустанавливающимися подушками конструкции ООО ТРИЗ

§ 1.4 Выводы

Глава 2. Определение параметров пластинчатых муфт

§ 2.1 Моделирование пластинчатых муфт

§ 2.2 Результаты расчетов

§ 2.3 Сравнение конечно-элементного решения с приближенным решением по балочной теории

§ 2.4 Выводы

Глава 3. Метод отстройки критических частот валопровода газоперекачивающего агрегата от рабочего диапазона

§ 3.1. Определение параметров конструктивных решений для отстройки критических частот. Варианты процесса отстройки. Постановка задачи снижения вибронагруженности валопровода

§ 3.2. Алгоритм решения задачи снижения вибронагруженности валопровода

§ 3.3. Выводы

Глава 4. Программные средства для решения задачи отстройки критических частот

§ 4.1. Численное решение задачи вынужденных колебаний. Программа "Валопровод"

§ 4.2. Определение параметров опорных подшипников скольжения с самоустанавливающимися подушками при индивидуальном подводе смазки с помощью программы "Bearings"

§ 4.3. Определение параметров опорных подшипников скольжения с самоустанавливающимися подушками конструкции ООО ТРИЗ с помощью программы "Bearings"

§ 4.4. Комплекс программных средств для решения задачи отстройки критических частот

§ 4.5. Практическая реализация - отстройка критических частот ГПА-16 "Волга"

§ 4.6. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А

Приложение Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование вибрационного состояния, отстройки критических частот и понижения уровня вибрации валопровода на сегментных подшипниках скольжения»

Введение

Актуальность темы исследования. Высокооборотные валопроводы являются одной из основ современной промышленности. На пути роста их единичной мощности встает ряд трудноразрешимых проблем, одна из которых -снижение уровня вибронагруженности. Одним из лучших решений этой задачи является отстройка критических частот от рабочего диапазона.

Степень разработанности. Анализ публикаций по этой теме говорит о том, что тематика отстройки критических частот роторной системы (далее понятие «роторная система» эквивалентно понятию «валопровод») представлена очень слабо, а работы носят характер частных решений или рекомендаций для специальных случаев.

Целью работы является разработка метода отстройки критических частот валопровода на сегментных подшипниках скольжения от рабочего диапазона с учетом ограничений на уровни вибронагруженности.

Достижение поставленной цели диссертационного исследования потребовало решения следующих задач:

а) Построение математической модели вынужденных колебаний валопровода в рамках сдвиговой модели с учетом начальных неправильностей валов, опор и дисков, упруго-демпферных характеристик опор и упругих характеристик муфт, зависящих от частоты вращения.

б) Определение жесткостных характеристик пластинчатых муфт.

в) Создание алгоритмов определения динамических упруго-демпферных характеристик опорных сегментных подшипников скольжения с индивидуальным подводом смазки и подшипников с маслосъемными скребками конструкции ООО ТРИЗ.

г) Разработка алгоритма, построение интерфейса и численная реализация математической модели вынужденных колебаний валопровода в рамках создания программы "Валопровод".

д) Разработка алгоритма, построение интерфейса и численная реализация математических моделей опорных подшипников в рамках создания программы "Bearings".

е) Разработка общего подхода поисковой оптимизации роторной системы для двух вариантов существования решения задачи отстройки критических частот, выбор параметров оптимизации.

ж) Реализация алгоритмов построения и выбора моделей наилучших регрессий на базе нейросетевых технологий.

и) Выбор и численная реализация алгоритма стохастической оптимизации в рамках рассматриваемых вариантов решений.

Объект исследования: валопроводы, подшипники скольжения гидродинамического типа, пластинчатые муфты.

Методология и методы исследования: математическое моделирование, использование конечно-элементных комплексов ANSYS Mechanical APDL и ANSYS Workbanch, системы компьютерной алгебры Maple, программы на языках программирования Fortran, C#, Python, пакет Scikit-learn.

Научная новизна исследования:

а) Разработана и реализована в виде программы математическая модель вынужденных колебаний валопровода в рамках кинематической гипотезы С. П. Тимошенко с учетом начальных неправильностей валов, опор и дисков, упруго-демпферных характеристик опор и упругих характеристик муфт, зависящих от частоты вращения.

б) Разработана и реализована в виде программы математическая модель для определения динамических упруго-демпферных характеристик опорных сегментных подшипников скольжения с индивидуальным подводом смазки и подшипников с маслосъемными скребками конструкции ООО ТРИЗ.

в) Разработаны подходы к вариантам реализации задачи отстройки критических частот от рабочего диапазона валопровода.

г) Разработаны и численно реализованы при помощи нейросетевых технологий на базе методов стохастической оптимизации алгоритмы определения параметров роторной системы для решения задачи отстройки критических частот.

Достоверность полученных результатов. Работоспособность программ "Валопровод" и "Bearings", подхода к определению жесткостных характеристик муфт были проверены при расчете реальных роторных систем в рамках выполнения договора № 234-ОКБ-01/19/5005 от 01.02.2019 между ОАО "Конструкторско-производственное предприятие Авиамотор" и КНИТУ-КАИ по теме "Проведение расчетов амплитудно-частотных характеристик, критических частот и форм поперечных колебаний валопровода роторной системы газоперекачивающего агрегата ГПА-16 Волга КС-22 Помарская с установленным двигателем НК-16-18СТ или НК-38СТ и муфтой пластинчатой 1111.03.10.000". Созданный алгоритм отстройки критических частот опирается на результаты работы этих программ и в качестве завершающего этапа осуществляется расчет оптимизированной системы с реальными параметрами.

Теоретическая значимость работы заключается в разработке математической модели вынужденных колебаний валопровода, инженерного способа определения динамических параметров гидродинамических подшипников скольжения двух типов, апробации методов стохастической оптимизации на базе нейросетевых технологий для отстройки критических частот при различных ограничениях на параметры вибронагруженности.

Практическая значимость работы. Достижение целей исследования было обусловлено созданием комплекса программ, реализующих разработанные вычислительные алгоритмы для реализации сформулированных в диссертации математических моделей, которые позволяют осуществлять проработку валопроводов на предмет решения задачи отстройки критических частот вращения на любом этапе существования изделий, от предварительного проектирования до модернизации, что может существенно снизить временные и материальные затраты.

Реализация и внедрение результатов работы представлены в рамках выполнения Государственного задания Минобрнауки России по Соглашению № 075-03-2020-051/3 от 09.06.2020 (номер темы fzsu-2020-0021).

Реализация работы в промышленности. Результаты работы были рассмотрены на XVIII Международной научно-технической конференции по компрессорной технике, проведенной в июне 2019 года и получили одобрение специалистов АО "НИИтурбокомпрессор им. В.Б. Шнеппа", ОАО "Казанькомпрессормаш" и ООО ТРИЗ (г.Сумы, Украина).

Основные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель вынужденных колебаний валопровода;

- программный комплекс "Валопровод";

- математические модели определения динамических характеристик опорных сегментных подшипников скольжения с индивидуальным подводом смазки и подшипников с маслосъемными скребками конструкции ООО ТРИЗ;

- программный комплекс "Bearings";

- методы отстройки критических частот вращения валопровода при различных ограничениях на параметры вибронагруженности;

- программа для решения задачи отстройки критических частот вращения валопровода от рабочего диапазона.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы представлялись в виде докладов и обсуждались на следующих конференциях: XXXVIII Всероссийской конференции, посвященной 75-летию Южно-Уральского государственного университета (г. Миасс, 2018); XXXIX Всероссийской конференции (г. Миасс, 2019); XVIII Международной научно-технической конференции по компрессорной технике (г. Казань, 2019); XII Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Уфа, 2019); XL Всероссийской конференции, посвященной 75-летию Победы (г. Миасс, 2020).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 научных работ, в том числе 4 статьи в научных журналах рекомендованных ВАК МОН РФ.

В Федеральной службе по интеллектуальной собственности (РОСПАТЕНТ) зарегистрирована одна программа для электронно-вычислительных машин.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Работа содержит 145 страниц машинописного текста, 9 таблиц и 54 рисунка. Список литературы содержит 130 наименований.

В ведении сформулированы цели и задачи диссертации, обоснована актуальность работы, раскрыта научная новизна и практическая ценность исследования. Приведен краткий исторический обзор и анализ публикаций по теме работы. Кратко изложены основные этапы реализации поставленных задач.

В первой главе рассматривается построение общей математической модели валопровода на сегментных подшипниках, она включает в себя:

- модель вынужденных колебаний валопровода;

- математические модели определения упруго-демпферных характеристик опорных сегментных подшипников скольжения с индивидуальным подводом смазки и подшипников с маслосъемными скребками конструкции ООО ТРИЗ.

Во второй главе решается задача определения характеристик пластинчатых муфт, обосновывается их применение в работе, строятся зависимости для радиальных и угловых жесткостей.

В третьей главе рассматривается общая постановка и алгоритм решения задачи отстройки критических частот от рабочего диапазона с учетом ограничений на вибронагруженность.

В четвертой главе рассматриваются численная реализация разработанных методов и алгоритмов, программные средства и пример решения задачи отстройки критических частот для валопровода газоперекачивающего агрегата ГПА-16 "Волга".

Данная работа посвящена отстройке критических частот вращения валопровода от рабочего диапазона для широкого спектра роторных машин. Количество публикаций, связанных с тематикой отстройки, чрезвычайно мало. Так, в работе [57] для отстройки критических частот предлагается варьировать

диаметры вала ротора компрессора на части его длины. В работе [41] по отстройке критических частот авиационных двигателей предложена специальная опора роликового подшипника, которая меняет свою жесткость в зависимости от частоты вращения, но сама методика отстройки не описана. В диссертации [40] используются приближенные схемы анализа влияния изменения жесткостей опор на критические частоты по найденному решению для безопорной системы. В диссертации [63] предложен способ отстройки критических частот путем подбора упругих характеристик узлов соединения роторов, позволяющий многократно производить расчеты всей системы роторов, меняя характеристики узлов, при однократном расчете каждого ротора. Вариант, предложенный в работе [68], связан с агрегатами типа испытательных стендов и подразумевает использование дополнительной опоры, включающейся в работу в определенном диапазоне частот вращения, для большинства промышленных роторных машин такой способ неприемлем. В заключении здесь нужно отметить, что основная часть встречающихся сейчас публикаций, посвященных отстройке, типа работы [51], посвящена проблемам управления магнитными подшипниками компрессоров ГПА.

Для решения задачи отстройки нужно отдельно рассмотреть математические модели компонентов типичной роторной машины, всю систему в сборе, и после этого построить основу алгоритма поиска параметров валопровода. Такими компонентами, характеристики которых можно варьировать, являются муфты и опоры, для них требуется построить математические модели. Для муфт, жесткость которых нужно варьировать в широком диапазоне, используется простейший подход: численный эксперимент - аппроксимация характеристик. Поэтому в кратком историческом обзоре, который приводится ниже, сначала рассматриваются задачи роторной динамики, потом модели гидродинамической теории смазки, и в конце база для реализации алгоритма отстройки - методы аппроксимации и поиска решения.

Высокооборотные роторные машины находят широчайшее применение во всех областях народного хозяйства. Паровые и газовые турбины с

электрогенераторами, центробежные и ротационные компрессоры, нагнетатели, веретена, сепараторы, центрифуги, шлифовальные станки, современные высокоскоростные шпиндели, электродвигатели, гироскопические приборы - это далеко не полный перечень роторных машин, составляющих основу современной промышленности. Основной путь совершенствования этих машин - повышение частоты вращения, снижение массы и габаритов. Одним из основных препятствий на пути повышения частоты вращения служит динамика системы ротор-подшипники-корпус. Если раньше роторные машины проектировали исходя из рабочего диапазона, который находился до первой критической частоты, то сейчас современные машины иногда работают и за третьей критической скоростью. Для первых роторов динамический расчет сводился к определению первой критической частоты и отстройки от нее в сторону уменьшения. Этап балансировки заканчивал цикл изготовления. Свойства подшипников, переходные процессы, особенно переходы через критические скорости, податливость конструкции не рассматривались.

Первая статья по роторной динамике [115] появилась более 150 лет назад (1869 г.) и принадлежит известному теплотехнику В. Рэнкину, в которой он сделал вывод, что работа ротора за первой критической скоростью невозможна. Но в 1884 году такая турбина была создана шведским инженером Г. Лавалем. Проводя опытные работы с образцом паровой одноступенчатой турбины с рабочей частотой вращения 30000 об/мин, он пришел к парадоксальному на тот момент выводу, что только уменьшая диаметр вала "до толщины пальца" можно добиться ее работоспособности [119]. В 1895 году А. Феппль в статье [96] дал этому объяснение: рост угловой скорости приводит к совмещению центров инерции вращающихся масс с геометрической осью вращения. В послевоенной книге [44] Е.Л. Николаи распространил этот принцип на случай моментной неуравновешенности. Но все эти работы всё еще рассматривали поперечные колебания без учета сил сопротивления, т. к. основной задачей на тот момент была проблема определения первой критической частоты. С. Данкерли в 1894 году предложил эмпирическую формулу [89] для самой низкой критической

скорости для системы из нескольких роторов, и, собственно, ввел этот термин. То же самое для собственных частот и мод крутильных колебаний в 1921 предложил Г. Хольцер [99]. Первая работа (1919 г.), заложившая базовые основы теории роторной динамики принадлежит Х. Джеффкотту [103], поэтому в США простейшая система из одного вала и диска в середине пролета называется "ротором Джеффкотта". Все, что было сделано в паротурбостроении до 1924 года, изложено в книге А. Стодолы [119], это динамика роторов как систем с конечным числом степеней свободы, так и систем с непрерывно распределенными параметрами, но без учета влияния гироскопического момента, методы балансировки жестких валопроводов, и весьма актуальные на тот момент приближенные методы определения критических скоростей для валов с меняющимся по длине поперечным сечением. В 1924 году В. Кэмпбелл предложил свою диаграмму [86], которая в отечественной практике называется частотной. В послевоенный период усилия ученых были направлены на более широкий учет всех действующих сил, поэтому задача собственных колебаний решалась уже для постановок, где она зависит от частоты вращения, здесь можно отметить работы В.Я. Натанзона [43], И. Богданова [83], Р. Грина [98], О. Феппля [97].

Развитие турбостроения привело к появлению роторов с частотами вращения, заметно выше первой критической, и на повестку дня вышел вопрос самовозбуждающихся колебаний. Б. Ньюкирк [111] и А. Кимбалл [105] в 1924 году опубликовали работы, в которых впервые было показано, что внутренне трение, которое обычно демпфирует виброперемещения, может вызвать неустойчивое движение. П.Л. Капица указал [29] на возможность неустойчивости гибкого вала вследствие условий трения в опорах. В 1925 году была опубликована работа Б. Ньюкирка и Х. Тейлора [109], в которой рассматривались колебания из-за слоя смазки в опорных подшипниках скольжения. В дальнейшем исследователи столкнулись и с другими типами колебаний, связанных с тепловыми эффектами в опорных устройствах, упомянутый выше Б. Ньюкирк в работе [110] описал (1926 г.) один из видов спиральных колебаний.

Доклад Д. Смита [118] в 1933 году ознаменовал старт работ, посвященных проблемам несимметричных систем, т. е. роторов или/и дисков, у которых в плоскости, перпендикулярной вращению, заметно отличаются жесткостные или/и инерционные характеристики. Такие системы с параметрическим возбуждением могут отличаться зонами неустойчивых колебаний в некоторых диапазонах частот вращений. Различные особенности таких систем исследовались Х. Тейлором [120] (1940 г.) и В. Футом, Х. Порицким и Дж. Слейдом (1943) [95], С. Брозенсом и С. Крандаллом (1961 г.) [85], а также Т. Ямамото и Х. Отой (1963 г.-64 г.) [127, 129, 128] и т.д.

Первая работа с анализом нестационарных явлений на роторе Джеффкотта при переходе через критические частоты [107] появилась в 1932 г. (Ф. Льюис). Как правило, работы такого типа можно разделить на две группы, в первой рассматривают явления, возникающие при постоянном ускорении, во второй -при ограниченном крутящем моменте, когда необходимо учитывать связь между ним и виброперемещениями вала. Аналитические решения в таких случаях можно получить только в ограниченном количестве случаев, поэтому асимптотические методы, разработанные отечественной школой Крылова-Боголюбова-Митропольского [32, 4], значительно активизировали работы в этом направлении. Здесь можно отметить работы В.Я. Натанзона [42], В.А. Громова [19, 20], И. Дика [88].

Переход к более сложным моделям роторов с непрерывно распределенной массой на примере балки Эйлера-Бернулли был отмечен в уже упоминавшейся выше книге А. Стодолы. В 1950-60-х годах последовала серия работ посвященных проблемам вынужденных колебаний и балансировки [80, 81, 82]. Более общие уравнения, включающие учет гироскопии и инерции вращения вышли в 1969 г. [94].

В это же время нашли свое дальнейшее развитие работы, связанные с изучением неустойчивого движения ротора в подшипниках скольжения гидродинамического типа [100] и исследованию нелинейных резонансов в них (А. Тондл [123], 1965 г.). К уже известным темам добавились исследования

неустойчивости в связи с утечками рабочих жидкостей через уплотнения. Особенности таких процессов освещались в работах А.А. Ломакина (1955 г.) [35] Дж. Томаса [121] (1958 г., турбины) и Дж. Алфорда [75] (компрессоры, 1965 г.)

По мере увеличения рабочих скоростей и облегчения роторов стали проявляться не встречавшиеся ранее явления нелинейных резонансов, такие как субгармонические (Т. Ямамото [125, 126]) и комбинированные. В дальнейшем появились работы (Ф. Эрих [92], 1966 г.), посвященные авиационным турбинам, где масляная демпфирующая пленка (типа демпфера П.Л. Капицы) между подшипником качения и корпусом приводит к различным типам субгармонических резонансов вплоть до очень высоких порядков (198 8 г., 1991 г.) [90, 91 ] и хаотическим колебаниям.

Отдельным современным направлением роторной динамики является обнаружение появления трещин с помощью систем диагностики по характеру изменения вибронагруженности.

Последним появившимся направлением роторной динамики являются магнитные подшипники. С первой работы Г. Швейцера ([116] 1975 г.) до практической реализации прошло 10 лет, когда К. Нонами [112] подавил отклик ротора от дисбаланса с помощью активно управляемого подшипника.

Даже небольшой обзор работ по роторной динамике указывает на то, какую важную роль в динамике вращающихся машин играют подшипники.

Конструкции подшипников скольжения, использующихся в роторных машинах, отличаются чрезвычайным разнообразием форм, их основной описательной характеристикой служит направление восприятия усилия со стороны вала. Но при всем разнообразии типов и форм, физической основой работы этих опорных устройств служат уравнения, описывающие течение смазки в полости подшипника.

Широчайший фронт исследований, учитывающих все многообразие постановок и методов решения задач динамики подшипников скольжения, позволяет выделить несколько направлений, связанных с исходными допущениями:

а) Изотермическое направление. Допущение о постоянстве температуры в слое смазки.

б) Изовязкое направление. Допущение о постоянстве вязкости смазки.

в) Адиабатическое направление. Допущение о том, что все тепло идет на подогрев смазки и она теплоизолирована.

г) Термогидродинамическое (ТГД) направление. Допущение о течении тепла через поверхности трения и совместное решение уравнений гидродинамики, теплопроводности и энергии. Слой смазки термосвязан с элементами подшипника.

д) Термоупругогидродинамическое (ТУГД) направление. Совместное решение задач гидродинамики, термоупругости и теплопроводности. К ТГД допущениям добавилось допущение об термоупругих деформациях элементов подшипника.

е) Упруготермогидродинамическое (УТГ) направление. Совместное решение контактной задачи теории упругости и гидродинамики для смазочного слоя.

ж) Периодическое упруготермогидродинамическое направление (ПУТГ). Это УТГ-подход с циклической симметрией.

и) Термоэластогидродинамическое (ТЭГД) направление. Совместное использование ТУГД и УТГ подходов. Самое молодое направление, которое в данное время проходит процесс становления.

В работе [37] приводится более подробная блок-схема из 12 подгрупп, которая позволяет ориентироваться во всем многообразии решенных и перспективных задач, подробный обзор развития теории на 1985 г. есть в работе [64].

Весь период исследований подшипников скольжения традиционно разбивают на три исторических этапа.

Первый этап (1880 г.-1915 г.) связан с развитием не турбинной техники, это опоры паровых двигателей, вагонных осей, гидроагрегаты. Зарождение гидродинамической теории смазки (ГТС) традиционно связывают с именами

Б. Тауэра (1883 г.), Н.П. Петрова (1883 г.), О. Рейнольдса (1886 г.), Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина (1904 г.), А. Зоммерфельда (1904 г.). В тот период была решена плоская задача Рейнольдса для цилиндрического подшипника. Тем не менее, разрыв между научными и практическими работами в то время оставался достаточно большим. Потребности практики требовали быстрых решений, но т.к. задача в полной постановке очень сложна, на первый план выходили эмпирические и теоретико-эмпирические модели.

Переход ко второму этапу (1915 г. - 1950 г.) обусловило появление паровых турбин. Новые проблемы, которые появлялись при создании быстроходных роторных машин, требовали проведения более широких исследований. Решаются задачи, связанные с подшипниками быстроходных ДВС и турбин, а также с проблемой торцевых утечек смазки.

Появление вычислительной техники привело к сближению теоретических и практических работ, что дало старт третьему этапу (с 1950 г.) исследовательских работ.

Решение первых задач, описывающих течение смазки в тонком слое, предусматривало постоянство температуры, а вследствие этого и вязкости масла, но эксперименты показывали, что делать этого нельзя. Далее в первых моделях использовался косвенный учет изменения температуры. Эти решения остро поставили вопросы границ применимости вариантов теории, т. к. проведенный эксперимент с плоскопараллельными подушками привел противоречию с ГТС, которая дает отрицательное давление. Парадоксы теплового ("эффект Фогга") и вязкостного ("эффект Камерона") клина показали насколько непростым может быть анализ явлений, происходящих в смазочном слое.

Переход к адиабатическому подходу являлся шагом вперед, но отсутствие теплообмена с элементами конструкции ограничило применение только для больших толщин смазочного слоя и высоких скоростей скольжения.

Другой, в некотором смысле альтернативный подход, когда все тепло из смазочного слоя отводится элементами конструкции, приводит к неучету

температуры смазки вдоль направления линейной скорости подвижной части. Это допустимо только при малых толщинах и малых скоростях скольжения.

Экспериментальная работа Д. Коула [31] утверждает, что учет распределения тепла по толщине и длине смазочного слоя необходим, что согласуется с работами В. Хантера и О. Зенкевича [102], Н. Мотоша [108], выполненными в рамках к ТГД-подхода. В этих же работах указывается на ошибочность подхода к осреднению вязкости, к чему так же пришел Р. Эззат в работе [74], рассматривая трехмерное распределение температуры в смазке и двумерное распределение температуры в теле подушки.

Более полные постановки с учетом уравнений теплопроводности в работах Х. Макколиона, Ф. Юсифа и Т. Ллойда [36], З. Сафара и А. Сери [52] указывают на перетоки тепла по неподвижным вкладышам, малое влияние материала втулки, окружающей среды и изменения теплопроводности масла. Но и этот подход не позволяет рассчитывать высоконагруженные подшипники, т. к. выделение тепла в масле велико, но при этом постулируется отсутствие его связи с давлением.

ТГД-подход позволяет учесть переток тепла через неподвижные части подшипника, точнее определяет интегральные характеристики, но для плоскопараллельных подушек дает отрицательное давление.

Полноценный ТУГТ-подход связан с решением нескольких связанных задач, поэтому процесс получения окончательных зависимостей сопряжен с большими математическими трудностями, из-за которых вводятся дополнительные допущения, которые очень часто приводят или к некорректным, или к малоценным решениям. В рамках этого направления также созданы и эмпирические методики, но они могут использоваться только в границах исследованных параметров, а их перенос на другие модели будет сопряжен с дорогостоящими экспериментами.

Для проведения исследований динамического поведения роторных систем необходимо знать величину и направление подъемной силы в подшипниках скольжения, коэффициенты их жесткости и демпфирования. Эти динамические коэффициенты обычно находят с помощью численного решения, в этой работе

предложен инженерный метод их определения, потому что в другом случае вычислительные затраты могут быть просто неприемлемыми.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Булашов Дмитрий Анатольевич, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аггарвал, Ч. Нейронные сети и глубокое обучение: учебный курс / Чару Аггарвал. - СПб.: ООО "Диалектика", 2020. - 752 с.

2. Басов, К.А. ANSYS: справочник пользователя / К.А. Басов. - М.: ДМК Пресс, 2005. - 640 с.

3. Бердичевский, В.Л. Об энергии упругого стержня / В.Л. Бердичевский // Прикладная математика и механика. - 1981. - Т. 45, вып. 4. - С. 704-718.

4. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. 3-е изд. - М.: Физматгиз, 1963. - 408 с.

5. Бруяка, В.А. Инженерный анализ в ANSYS Workbench. Учебное пособие. Часть 2. / В.А. Бруяка, В.Г. Фокин, Я.В. Кураева. - Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2013. - 149 с.

6. Бруяка, В.А. Инженерный анализ в Ansys Workbench. Учебное пособие. Часть 1. / В.А. Бруяка, В.Г. Фокин, Е.А. Солдусова, Н.А. Глазунова, И.Е. Адеянов. - Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2010. - 271 с.

7. Булашов, Д.А. Конструктивные решения для отстройки критических частот валопровода газоперекачивающего агрегата / Д.А. Булашов, И.Н. Сидоров // Труды XVIII Международной научно-технической конференции по компрессорной технике. - Казань: Издательство "Слово", 2019. - Стр.271-277.

8. Булашов, Д.А. Анализ конструктивных решений для отстройки критических частот валопровода газоперекачивающего агрегата / Д.А. Булашов, И.Н. Сидоров // Научно-технический вестник Поволжья. - 2019. №4. - С.118-124.

9. Булашов, Д.А. Выбор конструктивных решений для отстройки критических частот валопровода газоперекачивающего агрегата / Д.А. Булашов // Наука и технологии. Том 1. Материалы XXXIX Всероссийской конференции. - М.: РАН, 2019. - Стр.121-128.

10. Булашов, Д.А. Подбор коэффициентов жесткости подшипников газоперекачивающего агрегата по критерию подстройки критических скоростей вращения / Д.А. Булашов // Наука и технологии. Том 2. Материалы XXXVIII

Всероссийской конференции, посвященной 75-летию Южно-Уральского государственного университета. - М.: РАН, 2018. - Стр. 17-24.

11. Булашов, Д.А. Несколько подходов к выбору конструктивных решений для отстройки критических частот валопровода газоперекачивающего агрегата / Д.А. Булашов, Н.А. Шилин // Наука и технологии. Том 2. Материалы XL Всероссийской конференции, посвященной 75-летию Победы. - М.: РАН, 2020. -Стр.100-107.

12. Вапник, В.Н. Теория распознавания образов. Статистические проблемы обучения / В.Н. Вапник, А.Я. Червоненкис. - М.: Наука. - 1974. - 416 с.

13. Вахитов, М.Б. Интегрирующие матрицы - аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики / М.Б. Вахитов // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. - 1966. - № 3. - с. 50-61.

14. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Том 3. Колебания машин, конструкций и их элементов / Под ред. Ф.М. Диментберга и К.С. Колесникова. -М.: Машиностроение, 1980. - 544 с.

15. Вьюгин, В.В. Математические основы теории машинного обучения и прогнозирования / В.В. Вьюгин. - М.: - 2013. - 387 с.

16. Галушкин, А.И. Нейронные сети: история развития теории. Кн.5 из серии Нейрокомпьютеры и их применение / под ред. А.И. Галушкина и Я.З. Цыпкина. -М.: ИПРЖР, 2001. - 840 с.

17. Глубокова, С.В. Применение нейронных сетей в задачах выбора методов измерений отклонений ориентации геометрических элементов деталей / С.В. Глубокова // Вестник МГТУ "Станкин". - 2014. - № 2(29). - С.63-67.

18. Грас, Дж. Data Science. Наука о данных с нуля: Пер. с англ. / Дж. Грас. -СПб.: БХВ-Петербург, 2017. - 336 с.

19. Гробов, В.А. О поперечных колебаниях вращающегося вала при переменной угловой скорости вращения / В.А. Гробов // Сборник "Вопросы динамики и динамической прочности", вып. 1. - Рига: Изд-во АН Латв.ССР, 1953.

20. Гробов, В.А. О поперечных колебаниях ротора с распределенной по длине массой при переменной скорости вращения / В.А. Гробов // Изв. АН Латв.ССР, 1955. - Вып.5.

21. Гудфеллоу, Я. Глубокое обучение. пер. с англ. 2-е изд. / Я. Гудфеллоу, И. Бенджио, А.Курвилль. - М.: ДМК Пресс, 2018. - 652с.

22. Гуров, А.Ф. Изгибные колебания деталей и узлов авиационных газотурбинных двигателей / А.Ф. Гуров. - М.: Оборонгиз, 1969. - 360с.

23. Диментберг, Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов / Ф.М. Диментберг. - М.: Изд-во АН СССР, 1969. - 248с.

24. Дьяконов, А.Г. Анализ данных, обучение по прецедентам, логические игры, системы WEKA, RapidMiner и MatLab. Учебное пособие / А.Г. Дьяконов, - М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 2010. - 278 с.

25. Евгеньев, С.С. Уравнения движения ротора турбомашины с распределенными и сосредоточенными параметрами неуравновешенности / С.Е. Евгеньев, В.И. Савинов, С.Г. Коханов // Казань: Препринт 02П5 КГТУ им.

A.Н. Туполева, 2002. - 16 с.

26. Евгеньев, С.С. Математические модели, методы и программные средства для анализа поперечных колебаний роторных систем / С.С. Евгеньев,

B.И. Савинов, И.Н. Сидоров, В.В. Семенова // Энергетик. - 2010. - № 11. - С.36-39.

27. Иванов, М.Н. Детали машин: Учеб. для студентов высш. техн. учебн. заведений / М.Н. Иванов. - М.: Высш. шк., 1991. - 383 с.

28. Игнатьев, Н.А. Интеллектуальный анализ данных на базе непараметрических методов классификации и разделения выборок объектов поверхностями / Н.А. Игнатьев. - Ташкент: Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, 2010. - 140 с.

29. Капица, П.Л. Устойчивость и переход через критические обороты быстро вращающихся роторов при наличии трения / П.Л. Капица // Журнал технической физики. - 1939. - IX, вып.2

30. Ковалевский, С.В. Нейросети в управлении точностью обработки резанием / С.В. Ковалевский, Е.С. Ковалевская. - Краматорск: ДГМА, 2009. - 136 с.

31. Коул, Д.А. Экспериментальное исследование влияния температуры на работу опорных подшипников скольжения / Д.А. Коул // В кн.: Международная конференция по смазке и износу машин (Лондон, 1957). - М.: Изд-во Машгиз, 1962. - С. 108-113.

32. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику / Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. - Киев: Изд-во Академии Наук УССР, 1937. -352 с.

33. Курейчик, В.В. Теория эволюционных вычислений / В.В. Курейчик, В.М. Курейчик, С.И. Родзин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 260с.

34. Леонтьев, Н.В. Нелинейные задачи механики деформируемого твердого тела. Практикум / Н.В. Леонтьев. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2015. - 71 с.

35. Ломакин, А.А. Питательные насосы типа СПВ-220-280 турбоустановки сверхвысоких параметров / А.А. Ломакин // "Энергомашиностроение". - 1955. -Т. №2. - С. 1-10.

36. Макколион, Х. Анализ тепловых эффектов в полном радиальном подшипнике / X. Макколлион, Ф. Юсиф, Т. Ллойд // Проблемы трения и смазки. -1970. - Т. 92, № 4. - С. 42-51.

37. Максимов, В.А. Трибология подшипников и уплотнений жидкостного трения высокоскоростных турбомашин / В.А. Максимов, Г.С. Баткис. - Казань: Изд-во "Фэн", 1998. - 433 с.

38. Марцинковский, В.С. Расчётная оценка влияния маслосъёмных скребков на характеристики опорных подшипников с самоустанавливающимися колодками / В.С. Марцинковский, В.И. Юрко // Проектирование и исследование компрессорных машин. 2009г. - Сб. научных трудов. Выпуск 6., Казань. - С. 278287.

39. Марцинковский, В.С. Опыт разработки и перспективы использования упругих муфт в центробежных компрессорных агрегатах газовой и

нефтехимической промышленности / В.С. Марцинковский, И.В. Овсейко, В.И. Юрко // Газотурбинные технологии. 2007. - № 3. - С. 36-40.

40. Матвеев, А.В. Повышение эффективности отстройки критических частот вращения гибких роторов на основе создания специального метода расчёта частот: автореф. дис. ... канд. тех. наук: 01.02.06 / Андрей Евгеньевич Матвеев. -Рыбинск, 2005. - 18 с.

41. Назаренко, Ю.Б. Отстройка роторов газотурбинных двигателей от резонанса с помощью регулирования жесткости опоры / Ю.Б. Назаренко // Вестник двигателестроения. - 2014. - № 2. - с. 84-89.

42. Натанзон, В.Я. Движение гибкого вала на критической скорости / В.Я. Натанзон // Сб. "Динамика авиадвигателей", Оборонгиз. - 1952. - №8.

43. Натанзон, В.Я. Частоты изгибных колебаний вала при вращении / В.Я. Натанзон // Труды Института № 142, Оборонгиз. - 1948.

44. Николаи, Е.Л. Теория гироскопов / Е.Л. Николаи. - М.: Гостехиздат, 1948. -172 с.

45. Николенко, С.И Глубокое обучение. / С.И. Николенко, А. Кадурин, Е. Архангельская. - СПб.: Питер, 2018. - 480 с.

46.Ряховский, О.А. Расчет и конструирование компенсирующей муфты с промежуточным стальным гибким диском / О.А. Ряховский, Ф.Д. Сорокин, Б.А. Байков // Известия высших учебных заведений. - 2012. - № 8 - С.8-14.

47. Омельяненко, Я. Эволюционные нейросети на языке Python / Я. Омельяненко, пер. с анг. - М.: ДМК Пресс, 2020. - 310 с.

48. Подольский, М.Е. Упорные подшипники скольжения: теория и расчёт / М.Е. Подольский. - Л., Машиностроение, 1981. - 261с.

49. Рашка С. Python и машинное обучение / С. Рашка, пер. с англ. - М.: ДМК Пресс, 2017. - 418с.

50. Савинов В.И., Булашов Д.А. Свидетельство о государственной регистрации № 2016610276 программы для ЭВМ "Валопровод" / В.И. Савинов, Д.А. Булашов. - Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 11 января 2016 г.

51. Сарычев, А.П. Особенности управления активными электромагнитными подшипниками газоперекачивающих агрегатов с гибкими роторами /

A.П. Сарычев, И.Г. Руковицын // Вопросы электромеханики. - 2009. - Т. 113. -С.13-18.

52. Сафар, З. Термогидродинамическая смазка в ламинарном и турбулентном режимах / З. Сафар, А. Сери // Проблемы трения и смазки. - 1974. № 1. - С. 5263.

53. Светлицкий В.А., Нарайкин О.С. Упругие элементы машин /

B.А. Светлицкий, О.С. Нарайкин. - М.: Машиностроение, 1989. - 264 с.

54. Сидоров, И.Н. Вычисление и сравнительный анализ коэффициентов жесткости пластинчатых и мембранных соединений муфт газоперекачивающих агрегатов / И.Н. Сидоров, А.В. Горелов, Д.А. Булашов // Научно-технический вестник Поволжья. - 2017. №2. - С.28-35.

55. Сидоров, И.Н. Алгоритм и программные средства для расчета динамических характеристик опорных сегментных подшипников скольжения с индивидуальным подводом смазки. / И.Н. Сидоров, Д.А. Булашов, В.В. Туктарова // Вестник технологического университета. - 2017. Т.20. №23. - С.74-78.

56. Сидоров, И.Н. Математические модели, методы и программные комплексы для анализа и изменения вибросостояния роторных систем / И.Н. Сидоров, В.И. Савинов, Д.А. Булашов, В.В. Туктарова // Сборник трудов XII Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. - Уфа: РИЦ БашГУ. - 2019. Т.1. - 780 с.

57. Симоновский, В.И. Решение задачи отстройки роторов от критических частот с помощью симлекс-метода / В.И. Симоновский, А.С. Угничев // Сучасш технологи в промисловому виробництвг матерiали II Всеукрашсько! мiжвузiвськоl науково-техшчно! конференцй. СумДУ. - 2012. - Ч.2. - С. 188-189.

58. Скобцов Ю.А., Федоров Е.Е. Метаэвристики / Ю.А. Скобцов, Е.Е. Федоров - Донецк: "Ноулидж" (Донецкое отделение), 2013. - 426 с.

59. Тимошенко, С.П. Курс теории упругости / С.П. Тимошенко - Киев: Наукова думка, 1972. - 502 с.

60. Тимошенко, С.П. Сопротивление материалов. Том 1. Элементарная теория и задачи / С.П. Тимошенко - М.: Наука, 1965. - 364 с.

61. Ткачев, А.Н. Бессеточное моделирование потенциальных физических полей с использованием нейронных сетей / А.Н. Ткачев, А.С. Назаров // Известия вузов. Электромеханика. - 2015. - № 5(541). - С.12-16.

62. Тондл, А. Динамика роторов турбогенераторов / А. Тондл. - Л.: Энергия, 1971. - 388 с.

63. Трифонов, Ф.М. Обеспечение допустимого уровня вибраций системы связанных роторов на основе исследования критических частот вращения с использованием модульного принципа: автореф. дис. ... канд. тех. наук: 01.02.06 / Федор Михайлович Трифонов. - Рыбинск, 2003. - 20 с.

64. Усков, М.К. Гидродинамическая теория смазки: этапы развития, современное состояние, перспективы / М.К. Усков, В.А. Максимов. - М.: Наука, 1985. - 143 с.

65. Филин, А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела: в 3 т. / А.П. Филин. - М.: Наука, 1978. - Т. 2. - 616 с.

66. Филин, А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела: в 3 т. / А.П. Филин. - М.: Наука, 1981. - Т. 3. - 480с.

67. Флах, П. Машинное обучение. Наука и искусство построения алгоритмов, которые извлекают знания из данных / П. Флах. - М.: ДМК Пресс, 2015. - 400 с.

68. Фомина, О.Н. Управление динамическим поведением роторов ГТД посредством опоры с регулируемой жесткостью: автореф. дис. ... канд. тех. наук: 05.07.05 / Ольга Николаевна Фомина. - М., 2010. - 22 с.

69. Хамидуллин И.В. Исследование и расчет опорных подшипников скольжения с самоустанавливающимися подушками центробежных компрессоров: автореф. дис. ... канд. техн. наук / Ильдар Вагизович Хамидуллин. - Л.:ЛПИ им. М.И. Калинина, 1983. - 18 с.

70. Хамидуллин, И.В. Исследование и расчет опорных подшипников скольжения с самоустанавливающимися подушками центробежных

компрессоров: дис. ... канд. техн. наук / Ильдар Вагизович Хамидуллин. - Казань, 1983. - 229 с.

71. Хамидуллин, И.В. Алгоритм и программные средства для расчета параметров сегментного подшипника скольжения с самоустанавливающимися подушками на гидростатическом подвесе / И.В. Хамидуллин, И.Н. Сидоров, Д.А. Булашов, В.В. Туктарова // Вестник Технологического университета. - 2018. Т. 21. № 8. - С. 140-147.

72. Шалев - Шварц, Ш. Идеи машинного обучения: от теории к алгоритмам / Ш. Шалев - Шварц, Ш. Бен - Давид. - М.: ДМК-Пресс, 2019. - 436 с.

73. Шнепп В.Б. Конструкция и расчет центробежных компрессорных машин / В.Б. Шнепп. - М.: Машиностроение, 1995г. - 240с.

74. Эззат, Р. Исследование термогидродинамических характеристик ползунов конечной ширины / Р. Эззат // Проблемы трения и смазки. - 1973. - № 3. - С. 3746.

75. Alford, J.S. Protecting turbomachinery from self-excited rotor whirl / J.S. Alford // Trans. ASME, J. Eng. Power. - 1965. - № 87 (4). Р.333-344.

76. ANSYS Mechanical APDL Element Reference - Ansys Ink. - 2013. - 47p.

77. ANSYS Mechanical APDL Rotordynamic Analysis Guide - Ansys Ink. - 2012. -68p.

78. Axial and Centrifugal Compressors and Expander-compressors. API STANDARD 617. 8 Ed. - API Publishing Services. American Petroleum Institute. -SEPTEMBER 2014.

79. Bekda, G. Artificial Intelligence and Machine Learning Applications in Civil, Mechanical, and Industrial Engineering. Advances in ComputationalIntelligence and Robotics (ACIR) / G. Bekda (ed.) - IGI Global. Book Series. - 2020. - 328p.

80. Bishop, R.E.D., Gladwell G.M.L. The vibration and balancing of an unbalanced flexible rotor / R.E.D. Bishop, G.M.L. Gladwell // J. Mech. Eng. Sci., 1 (l). - 1959. -P.66-77.

81. Bishop, R.E.D. Second order vibration of flexible shafts / R.E.D. Bishop, A.G. Parkinson // Philos. Trans. R. Soc. Lond. - 1965. - Ser. A, 259 (1095). P.1-31.

82. Bishop, R.E.D. Vibration of rotating shafts / R.E.D. Bishop // J. Mech. Eng. Sci. -1959. - № 1 (1). - P.50-65.

83. Bogdanoff, J. A Method for Simplifying the Calculations of the Natural Frequencies for a System Consisting of n Rigid Rotating Discs Mounted on an Elastic Shaft / J. Bogdanoff // Journal of the Aeron. Sciences. - 1947. - 14, № 1.

84. Breiman, L. "Random forests" / L. Breiman // Mashine Learning. -2001. - № 45(1). - P.5-32.

85. Brosens, S.H. Whirling of unsymmetrical rotors / S.H. Brosens, S.H. Crandall // Trans. ASME, J. Appl. Mech. - 1961. - № 28 (3). - P.355-362.

86. Campbell, W. The Protection of steam-turbine disk wheels from axial vibration / W. Campbell // Trans. ASME. - 1924. - № 46. P. 31-160.

87. Deka, P.Ch. A Primer on Machine Learning Applications in Civil Engineering / P.Ch. Deka. - CRC Press, Taylor & Francis Group. - 2020. - 281p.

88. Dick, J. The Whirling of Shafts Having Section with Unequal Principal Bending Moduli / J. Dick // Phil. Mag. - 1948. - № 299.

89. Dunkerley, S. On the whirling and vibration of shaft / S. Dunkerley // Philos. Trans. R. Soc. Lond. - 1894. - Ser. A, № 185. - P.279-359.

90. Ehrich, F.F. High order subharmonic response of high speed rotors in bearing clearance / F.F. Ehrich // Trans. ASME, J. Vib. Acoust. Stress Reliab. Des. - 1988. - № 113 (1). - P.50-56.

91. Ehrich, F.F. Some observations of chaotic vibration phenomena in high-speed rotordynamics / F.F. Ehrich // Trans. ASME, J. Vib. Acoust. Stress Rehab. Des., - 1991. - 131 (1), P.50-56.

92. Ehrich, F.F. Subharmonic Vibration of Rotors in Bearing Clearance / F.F. Ehrich // ASME, New York. - 1966. - ASME paper 66-MD-I.

93. Ehrich, F.F. The influence of trapped fluids on high speed rotor vibration / F.F. Ehrich // Trans. ASME, J. Eng. Ind. - 1967. - 89B (4). - P.806-812.

94. Eshleman, R.L. On the critical speeds of a continuous rotor / R.L. Eshleman, R.A. Eubanks // Trans. ASME, J. Eng. Ind. - 1969. - № 91 (4). - P.1180-1188.

95. Foote W.R. Critical speeds of a rotor with unequal shaft flexibilities, mounted in bearings of unequal flexibility / W.R. Foote, H. Poritsky, J.J. Slade // I. Trans. ASME, J. Appl. Mech. - 1943. - № 10 (2). - P.77-84.

96. Föppl, A. Das Problems der Lavalschen Turbinenwelle / A. Föppl // Civilingenieur. - 1895. - S.333-342.

97. Föppl, O. Das Grunddiagram zur Bestimmung der zugeordneten Drehzahlen von Wellen mit mehrfacher Besetzung / O. Föppl // - Die Technik. - 1948. - № 6.

98. Green, R. Gyroscopic Effect on the Critical Speeds of Flexible Rotors / R. Green // Journ. of Appl. Mech. - 1948. - № 4, 15.

99. Holzer, H. Die Berechnung der Drehschwingungen / H. Holzer. - SpringerVerlag, Berlin. - 1921.

100. Hori, Y. A theory of oil whip / Y. Hori // Trans. ASME, J. Appl. Mech. - 1959. -№ 26 (2). - P.189-198.

101. https://scikit-learn.org

102. Hunter, W.B. Effect of the temperature variations across the lubricant films in the theory of hydrodynamic lubrication / W.B. Hunter, O.C. Zienkiewiez // Jorn. the Mech. Eng. Sci. - 1960. - vol. 2.

103. Jeffcott, H.H. The lateral vibration of loaded shafts in the neighborhood of a whirling speed: the effect of want of balance / H.H. Jeffcott // Philos. Mag. A. - 1919. -№ 37. - P.304-315.

104. Kaushik, K. Soft Computing Techniques for Engineering Optimization / K. Kaushik, J.P. Davim, R. Supriyo - CRC Press, Taylor & Francis Group. - 2019. -169p.

105. Kimball, A.L. Internal friction theory of shaft whirling / A.L. Kimball // Gen. Electric Rev. - 1924. - № 27 (4). - P.244-251.

106. Larranaga P. Industrial Applications of Machine Learning / P. Larranaga, D. Atienza, J. Rozo, A. Ogbechie, C. Santana-Puerto, C. Bielza. - Chapman & Hall / CRC. Data Mining and Knowledge Series. - 2019. - 349p.

107. Lewis, F.W. Vibrations during acceleration through a critical speed / F.W. Lewis // Trans. ASME. - 1932. - № 54 (3). - P.253-261.

108. Motosh, N. Der warmeaustausch zwischen Olschicht und Metallflachen in einem Gleitlager unter Berucksichtigung der Veranderlichkeit der Olviskositat / N. Motosh // Ingr. Arch. - 1964. - Bd. 33, № 3.

109. Newkirk, B.L. Shaft whirling due to oil action in journal bearings / B.L. Newkirk, H.D. Taylor // Gen. Electr. Rev. - 1925. - № 28 (7). - P.559-568.

110. Newkirk, B.L. Shaft rubbing / B.L. Newkirk // Mech. Eng. - 1926. - № 48 (8). -P.830-832.

111. Newkirk, B.L. Shaft whipping / B.L. Newkirk // Gen. Electr. Rev. - 1924. - № 27 (3). - P.169-178.

112. Nonami, K. Vibration control of a rotor by active bearings / K. Nonami // Trans. JSME. - 1985. - № 31 (470). P.2463-2472. (in Japanese).

113. Price, K.V. Differential Evolution. A Practical Approach to Global Optimization / K.V. Price, R.M. Storn, J.A. Lampinen. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg. - 2005. - 537p.

114. Proceedings of the 10th International Conference on Rotor Dynamics -IFToMM Vol. 2 / K.L.(ed.) Cavalca, H.I.(ed.) Weber. - Mechanisms and Machine Science, Vol. 61. - 2019. - 586p.

115. Rankine, W.J.M. On the centrifugal force of rotating shafts / W.J.M. Rankine // Engineering. - 1869. - № 27. - P.249-249.

116. Schweitzer, G. Stabilization of self-excited rotor vibrations by active dampers / G. Schweitzer // Dynamics of Rotors, Springer-Verlag, New York. - 1975. - P.472-493.

117. Scikit-learn user guide Release 0.21.3. - 2019. - Jul 29.

118. Smith, D.M. The motion of a rotor carried by a flexible shaft in flexible bearings / D.M. Smith // Proc. R. Soc. Lond. - 1933. - Ser. A, 142. - P.92-118.

119. Stodola, A. Dampf und Gas-Turbinen / A. Stodola. - Verlag von Julius Springer, Berlin. - 1924.

120. Taylor, H.D. Critical speed behavior of unsymmetrical shafts / H.D. Taylor // J. Appl. Mech. - 1940. - № 7 (2). P.71-79.

121. Thomas, J.J. Instabile Eigenschwingungeri von Turbinenlaufern, Angefacht durch die Spaltstromungen, in Stoptbuchsen und Beschauflungen / J.J. Thomas // AEG-Sonderdruck. - 1958. - P.1039-l063.

122. Thompson, M. ANSYS Mechanical APDL for Finite Element Analysis / M. Thompson, J. Thompson. - Butterworth-Heinemann. - 2017. - 466p.

123. Tondl A. Some Problems of Rotor Dynamics / A. Tondl. - Czechoslovak Academy of Sciences, Prague. - 1965.

124. Vendan, S.A. Welding and Cutting Case Studies with Supervised Machine Learning. Engineering Applications of Computational Methods, Vol.1./ S.A. Vendan, R. Kamal, A. Karan, L. Gao, X. Niu, A. Garg. - Springer. - 2020. - 256p.

125. Yamamoto, T. On the critical speed of a shaft of sub-harmonic oscillation / T. Yamamoto // Trans. JSME. - 1955. - № 21 (111). - P.853-858. (in Japanese).

126. Yamamoto, T. On the vibrations of a rotating shaft. Chapter II: non-linear and non-symmetrical spring characteristics of the shaft supported by single-row radial ball bearings; Chapter III: On the critical speed of a shaft of sub-harmonic oscillation and on sub-harmonic oscillation on rectilinear vibrations / T. Yamamoto. - Mem. Fac. Eng., Nagoya Univ., -1957. - № 9 (1). - P.25-40.

127. Yamamoto, T. Unstable vibrations of the shaft carrying an unsymmetrical rotating body / T. Yamamoto, H. Ota // Bull. JSME. - 1963. - № 6 (23). P.404-411.

128. Yamamoto, T. On the vibrations of a shaft carrying an unsymmetrical rotating body / T. Yamamoto, H. Ota // Bull. JSME. - 1963. - № 6 (21). P.29-36.

129. Yamamoto, T. On the dynamically unstable vibrations of a shaft carrying an unsymmetrical rotating body / T. Yamamoto, H. Ota // Bull. JSME. - 1964.- № 31 (3). P.515-552.

130. Young, S. Introduction to the ANSYS Parametric Design Language (APDL) / S. Young, T. Harris, E. Miller (Ed.). - PADT, Inc. - 2013. - 212p.

Приложение А

Свидетельство о государственной регистрации программы "Валопровод"

Приложение Б