Математическое моделирование управляемых процессов на основе статистических данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Каледин, Олег Евгеньевич

• Каледин, Олег Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каледин, Олег Евгеньевич

Введение

Глава 1. Построение динамической модели по известным статистическим данным.

1.1. Дифференциальные включения.

1.2. Построение конуса возможных решений по известным статистическим данным.

1.3. Конус возможных решений на управляемом участке.

1.4. Прогноз развития процесса с функционалом качества.

Глава 2. Алгоритмическая реализация математических моделей на основе теории дифференциальных включений.

2.1. Выбор средств для реализации математической модели.

2.2. Схема работы пакета Cone. 2.3. Визуализация результатов.

Глава 3. Исследование поведения механических систем.

3.1. Механические системы. Основные определения.

3.2. Построение конуса возможных решений для механических систем.

3.3. Управляемый конус возможных решений с заданным функционалом качества.

Глава 4. Математическое моделирование социально-экономических процессов.

4.1. Статистические модели в социологии.

4.2. Динамические модели в социологии.

4.3. Математическое управление динамикой безработицы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование управляемых процессов на основе статистических данных»

Моделирование является одним из основных методов познания мира: на идее моделирования, по существу, базируется любое научное исследование

- как теоретическое, так и экспериментальное. Математическое моделирование - это процесс, результаты которого используются во всех сферах жизни человека, от политики государств, опирающейся на математические модели экономики и стратегической стабильности, до медицины, осуществляющей компьютерное проектирование новых лекарственных средств.

В сфере деятельности, связанной с математическим моделированием, всё большую роль играют построение и -анализ математических моделей нелинейных явлений. Здесь находит применение новая технология научных исследований - вычислительный эксперимент. Он включает в себя построение и исследование математических моделей и связан с использованием больших серий расчетов на ЭВМ. Он опирается также на использование классических методов математики и теоретической физики, теории алгоритмов, на разработку новых подходов, на создание и применение адекватных программных средств. Новую технологию научных исследований - вычислительный эксперимент - наглядно можно представить в виде триады: математическая модель

- алгоритм - программа [1, 2]. В настоящее время ключевым звеном, определяющим эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели.

Под математической моделью понимают описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Формальная математическая конструкция становится моделью после «наполнения» ее «физическим» содержанием, указанием связи символов с характеристиками объекта. Поэтому при моделировании очень важно выбрать математический аппарат, наиболее соответствующий целям моделирования, и структуру формул, наиболее приспособленную к упомянутому «наполнению». Этот выбор делается на начальном этапе моделирования при исходном рассмотрении объекта или информации о нем и определяется целями моделирования. Так, если требуется однозначный прогноз и имеется возможность точного задания величин, характеризующих состояние объекта, конструируют динамические модели. Для этого обычно используют аппарат дифференциальных уравнений и однозначные отображения. Если от требования точного описания объекта отказываются и объявляют наблюдаемые процессы случайными (непредсказуемыми), строят статистические (вероятностные) модели. В классической постановке задач применение аппарата статистики и теории вероятностей возможно, если по условиям задачи достаточно указать вероятность того или иного из возможных состояний системы, или, если устраивает приближенное описание состояния системы с помощью усредненных величин. Более того, в ряде случаев динамическое описание с помощью дифференциальных уравнений даже не представляется возможным из-за сложности моделируемой системы и/или ее поведения. Следует добавить, что хаотические решения простых (малоразмерных) нелинейных динамических систем могут представлять собой весьма нерегулярные, беспорядочные зависимости от времени, так что для их описания тоже весьма уместны статистические характеристики. С другой стороны, для описания непредсказуемых однозначно явлений в системах с малыми шумами используют стохастические дифференциальные уравнения (с малыми случайными добавками). Эти представители вероятностных моделей в некотором смысле находятся на стыке с динамическими и рассмотрены в классических работах Б. Оксендаля [3], Р. Кашьяпа [4], George Adomian [5], А. Н. Ширяева [6] и других авторов.

В работах А. И. Орлова [7] и В. Н. Афанасьева [8] рассматривается статистическое прогнозирование процессов эволюции: определение зависимостей величин, характеризующих объект, от времени с целью прогноза их дальнейшего поведения. Для этого строятся эмпирические модели, которые конструируются непосредственно из экспериментальных данных, представленных в виде временных рядов (последовательностей чисел).

Впервые задача построения модели по временному ряду была поставлена в рамках статистики в связи с проблемой прогноза. На самом деле естественным представляется следующий вопрос: если известно поведение объекта до настоящего момента времени, то возможно ли предсказать его будущее, и насколько далеко? Сначала задача прогноза наблюдаемого процесса формулировалась как одна из наиболее распространенных задач статистического анализа и сводилась, в основном, к изучению связи между переменными. До 1920-х гг. она решалась методом экстраполяции наблюдаемой временной зависимости, затем появились и получили развитие другие методы, в которых авторы, главным образом, ограничивались линейными приближениями [9-14].

В последнее время активно развивается теория прогнозирования, основанная на нелинейной динамике. Она изложена в работах многочисленных авторов, среди которых выделим Г. Г. Малинецкого, С. П. Курдюмова [15], А. Ю. Лоскутова [16, 17], В.И. Арнольда [18]. Строгое математическое обоснование представлено в работах А. Ф. Филиппова, В. И. Благодатских [19], А.И. Панасюка [20], Е.В. Воскресенского [21] и других авторов. В области научных исследований, связанных с прогнозом, в центре внимания находятся описание и предсказание редких катастрофических событий, построение таких прогнозов, которые охватывали бы все возможные развития событий исследуемого явления. Возможности, которые дают нам сегодня информационные технологии, позволяют обратиться к анализу и прогнозу сложных систем учитывая именно все возможные варианты развития событий. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие, совершенно разные по сущности явления, развиваются по одним и тем же законам. Так, приведенные в работе [15] исследования роста фондового рынка и тектонического разлома, показывают, что они развиваются по одному и тому же закону. В этой же работе была предложена модель развития высшей школы. Таким образом, инструменты и методы нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов. Они особенно полезны при прогнозировании поведения социально-технологических систем, для которых пока не известны количественные законы, определяющие их динамику.

Классические варианты построения прогноза и анализа демографии и социальных систем широко представлены в литературе, например в монографии В.П. Тихомирова [22]. В работах Н'. Н. Моисеева [23], Ю. С. Куснера, И. Г. Царева [24], А.И. Москаленко [25] рассматривается изучение принципов управления экономическими системами. С использованием таких прогнозов открываются новые возможности в области управления прогнозируемыми системами, отличные от построенных вероятностными методами и методами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Развиваемый в настоящей работе метод исследования различных процессов привлекает аппарат теории дифференциальных включений и требует алгоритмической разработки и программной реализации. Для социальных систем компьютерные технологии могут служить своеобразным барометром: они «сворачивают» имеющуюся информацию в несколько показателей, которые помогают принять решение. В основу этих подходов легли методы, апробированные при прогнозе землетрясений [26]. При неизвестных уравнениях, решая которые можно прогнозировать катастрофу, однако имеется огромный массив данных, используя которые можно «научить» прогнозировать соответствующие компьютерные системы [27]. Работа над применением этих подходов в социологии ведется С. П. Кузнецовым и его коллегами из Международного института математической геофизики и теории прогноза землетрясений РАН, а также С. А. Кащенко [28] и исследователями из Ярославского государственного университета.

Для описания многих важных объектов у нас нет соответствующих уравнений, а если они и есть, то определение коэффициентов и настройка модели сами по себе представляют исключительно сложную задачу. Недостатком алгоритмов прогноза для социально-экономических систем и задач по управлению риском являются данные. Для того чтобы «научить» соответствующие компьютерные системы, нужно иметь длинные ряды достоверных и достаточно точных данных, характеризующих различные стороны изучаемого объекта. Очевидно, что восполнив этот пробел, можно повысить качество прогноза.

Численные методы решения экстремальных задач широко представлены в литературе [29-31]. Решение различных задач оптимального управления е требует создания специализированные пакеты прикладных программ. Недостатком существующего программного обеспечения является необходимость дополнительного программирования. Например, в Институте динамики систем и теории управления СО РАН создан и регулярно дорабатывается пакет прикладных программ КОНУС [32]. Использование данного пакета позволяет решать задачу оптимального управления и строить прогноз развития динамической модели. Однако, его применение требует от пользователя специальных навыков и заполнения соответствующим образом файла входных данных.

При построении управляемых прогнозов в нелинейной динамике возникает необходимость решать задачи оптимального управления, проводить объемные и рутинные вычисления. Математический аппарат теории оптимального управления для решения разного класса задач развит в работах В. И. Зубова и его учеников [33, 34], J1. С. Понтрягина [35], Н.Н.Красовского [36, 37], В.М. Алексеева, В.М. Тихомирова, C.B. Фомина, В.В. Александрова, В.Г. Болтянского [38, 39], Камачкина [40], А.П.Жабко [41]. Особый вклад в исследование данного математического аппарата был внесен школой Е. В. Воскресенского [21, 42-45]. Именно его идеи развиваются в этой работе.

В настоящей работе, в отличие от вероятностных методов, предлагается исследовать статистические данные как «показания» динамического процесса, фиксированные в определенные моменты времени. Это неуправляемый участок; на нем имеется статистическая база данных, которую мы изменить не можем. Однако, в динамической модели, начиная с определенного момента времени, процесс можно рассматривать как управляемый - это будущее. Управляемость в работе рассматривается с качеством в виде функционала, который пропорционален затратам по переводу точки за конечный промежуток времени. Такой подход к прогнозированию динамических процессов развивается в работах Е.В. Воскресенского и его учеников [21, 44, 45]. Под прогнозом здесь подразумевается база данных, содержащая максимальные и минимальные значения измеряемых величин в будущем промежутке времени.

Актуальность работы определена необходимостью прогнозирования и программирования разного рода процессов по имеющимся статистическим данным. Эти процессы, как правило, исследуются вероятностными методами, с помощью построения статистических или динамических моделей. Каждый из этих типов моделей имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-либо допущений и упрощений. Однако результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. И, главное, аналитические модели более приспособлены для поиска оптимальных решений. Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, т.е. не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (теоретически - неограниченно большое) число факторов. Но и у них есть свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное - крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать путем догадок и проб. Классические подходы к построению статистических моделей рассмотрены в работах Б. Оксендаля [3], А. Н. Ширяева [6] и многих других авторов. Довольно много работ посвящено изучению процессов через построение статистических моделей. Так, например, в работах А. И. Орлова [7] и В. Н. Афанасьева [8] рассматривается статистическое прогнозирование процессов эволюции. Для этого строятся эмпирические модели которые конструируются непосредственно из экспериментальных данных, представленных в виде временных рядов. В последнее время активно развивается теория прогнозирования различных явлений, основанная на нелинейной динамике. Она изложена в работах В.И. Арнольда [18], С.П. Крудюмова, Г.Г. Малинецкого [15] и многих других авторов. Строгое математическое обоснование подхода к обработке статистических данных, базирующегося на понятии дифференциального включения, представлено в работах А. Ф. Филиппова, В. И. Благодатских [19], Е. В. Воскресенского [44]. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие, совершенно разные по сущности явления, развиваются по одним и тем же законам. Таким образом инструменты и модели нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов. Поэтому необходима разработка методов прогнозирования, которые могли бы учитывать большое количество факторов и при этом позволяли строить управляемые прогнозы.

В качестве основного аппарата исследования в настоящей работе использована математическая теория управления динамическими процессами, которые описываются дифференциальными включениями. В настоящей работе развивается метод, предложенный Е. В. Воскресенским в работе [44]. Этот метод является универсальным, поскольку учитывает все значения в статистической базе данных и может быть применен к процессам различной природы. Эта его особенность чрезвычайно важна, так как существующие на сегодняшний день социальные исследования (в экономике, демографии) при прогнозировании не учитывают скачкообразные изменения статистических данных и, пренебрегая ими, искажают картину [46]. Стоит отметить, что основным недостатком предлагаемого метода является слишком «широкий» прогноз, то есть большой скачок между наименьшими и наибольшими значениями измеряемых величин. Во многих задачах требуется знать лишь поведение верхней или нижней границы интегральной воронки (либо некоторых компонент), либо повлиять только на одну из них в будущем. В работе приводятся базы данных, для которых построены интегральные воронки возможных решений, а сами решения лежат на их границах. В этом видится преимущество метода, основанного на построении дифференциального включения, перед статистическим прогнозированием: метод учитывает «крайние» — маловероятные кривые развития процессов. Отметим, что решения, полученные с помощью динамических методов (обыкновенных дифференциальных уравнений), методов математической статистики, лежат внутри конуса возможных решений. Конус возможных решений описывает всевозможные траектории, в том числе и маловероятные. Поэтому предлагаемые модели могут быть полезны при исследовании .социальных проблем, оценке и прогнозировании состояния некоторых процессов биосферы.

Цель диссертационной работы состоит в построении математической модели, которая позволяла бы на основе статистических данных определять динамику исследуемого процесса. Статистические данные представляют собой некоторую базу данных за известный промежуток времени. Необходимо разработать алгоритм, реализующий модель в виде дифференциального включения, с помощью которого можно строить управляемый прогноз с различными функционалами качества и без них. Разработанный алгоритм должен быть реализован в виде комплекса программ, позволяющего обрабатывать статистические данные и строить на их основе управляемый прогноз. Необходимо разработать методы прогнозирования социально-экономических процессов с различными функционалами качества в виде базы данных ограничений компонент, описывающих исследуемый процесс.

Научная новизна.

Статистические данные, представляющие собой результаты наблюдений за вектором величин, характеризующих процесс, в фиксированные моменты времени задают базу данных (временной ряд). В предположении, что этот временной ряд является рядом значений некоторой абсолютно непрерывной вектор-функции х = х(1) в моменты времени строится дифференциальное включение. Функции х = х(Ь) являются его решениями. Учитывая то, что статистические данные имеют сезонный характер, прогноз строится на очередной сезон (или несколько сезонов) в предположении, что сезонность сохранится. Начиная с определенного момента времени, можно ввести управление. В работе исследуются временные ряды и строятся прогнозы как с управлением, так и без него.

Разработан и реализован в виде программного продукта метод обработки статистических данных и построения прогноза в виде программного движения управляемого процесса. Все результаты являются новыми.

Научная и практическая значимость.

Описанный в диссертации метод позволяет заменить статистическое исследование процесса построением модели, основанной на дифференциальных включениях. Здесь следует отметить, что все возможные решения дифференциального включения принадлежат интегральной воронке. Это дает право считать разработанный метод более адекватным, ибо он учитывает все возможные траектории поведения процесса.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• математическая модель процессов, задаваемых статистическими данными, основанная на построении интегральной воронки дифференциального включения;

• метод построения прогноза в виде интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества и без него;

• исследование математической модели безработицы;

• программное обеспечение Cone для построения конуса возможных решений и управляемых прогнозов;

• новый подход к обработке статистических данных в виде построения дифференциального включения на основе этих данных.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

• объединенных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского (Саранск, 2006-2010);

• Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009, 1-4 июня) [47];

• III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008, 15-16 октября) [48];

• XIII научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов. Секция №78 — «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2008) [49]

• IV Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2009, 19-21 октября) [50];

• Региональная научно-практическая конференция «Научный потенциал молодежи - будущему Мордовии». Секция №77 - «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2009) [51]

• IV Международная научная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2009, 1-12 августа) [52];

• VIII Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2008, 12-16 мая) [53, 54];

• Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010, 3-6 июня) [55];

• IX научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых (Саранск, 2010, 1-3 июля) [56].

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, из них 2 (работы [57, 58]) в изданиях, рекомендованных ВАК к публикации материалов диссертаций.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 127 листов. Список литературы содержит 105 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Каледин, Олег Евгеньевич

Основные результаты исследования:

• построена математическая модель процессов, задаваемых статистическими данными, основанная на построении интегральной воронки дифференциального включения;

• исследована возможность применения математической модели в социологии: предложен метод построения прогноза в виде интегральной воронки дифференциального включения при заданной функционале качества и без него;

• разработана математическая модель для механических систем, движение которых определяется дифференциальным включением: построено оптимальное управление границами конуса возможных решений;

• разработано программное обеспечение для построения конуса возможных решений в виде прикладного программного обеспечения Cone.

Возможные направления дальнейшего исследования: при построении дифференциального включения на управляемом участке можно строить его таким образом, чтобы его решения были устойчивыми(слабо устойчивыми) по определению (1.1.3)((1.1.4)) Среди нерешенных математических задач в данной работе остался вопрос о построении оптимальных уравнений сравнения. Учитывая, что реализация данной математической модели на практике возможна только на ЭВМ, здесь приемлемого результата можно добиться методом перебора. Кроме того, не исключено, что если задача построения оптимальных уравнений сравнения будет решена математически, то для практики этот алгоритм будет требовать слишком большого времени решения.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каледин, Олег Евгеньевич, 2011 год

1. Г. Г. Малинецкий. Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент.— М.: Книжный дом «ЛИБРО-КОМ», 2009.

2. А. А. Самарский, А. П. Михайлов. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры. — М:. ФИЗМАТЛИТ, 2005.

3. Bernt К. Oksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — Berlin: Springer, 2003.

4. P. Л. Кашъяп, A. P. Pao. Построение динамических математических моделей по экспериментальным данным.— М:. Наука, 1983.

5. George Adomian. Nonlinear stochastic operator equations. — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.

6. A. H. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики В 2-х т.-М.: ФАЗИС, 1998.

7. А. И. Орлов. Устойчивость в социально-экономических моделях.— М.: Наука, 1979.

8. В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев. Анализ временных рядов и прогнозирование.— Москва: Финансы и статистика, 2001.

9. М. Федосеев. Экономико-математические методы и прикладные модели. -М.: ЮНИТИ, 1999.

10. G. U. Yule. On a method of investigating periodicities in disturbed series with special reference to wolfer's sunspot numbers // Phil. Trans.R.Soc.London A. — 1927. — Vol. 226. — Pp. 267 298.

11. Дж. Бокс, Т. Дженкинс. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. — М.: Мир, 1974.

12. Y. Liu, P. Cizeau, М. Meyer et al. Correlations in economic time series // Physica. 1997. — Vol. A245. — Pp. 437 - 440.

13. P. Turchin. Complex Population Dynamics. — Princeton University Press, 2003.

14. M. J. Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. — 1978. — Vol. 19.

15. P. P. Малинецкий, С. П. Курдюмов. Нелинейная динамика и проблемы прогнозирования // Вестник РАН. — 2001. Т. 71, № 3. - С. 210 - 232.

16. А.Н. Дерюгин, А.Ю. Лоскутов, В.М. Терешко. К проблеме стабилизации неустойчивого поведения неавтономных динамических систем // Теор. и матем, физика. — Vol. 104, по. 3. — Pp. 507 512.

17. A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko, К. A. Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. — Vol. 6, no. 4. — Pp. 725 735.

18. В.И. Арнольд. Теория катастроф. — M.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

19. В.И. Благодатских, А.Ф. Филиппов. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды, матем. ин-та им. Стеклова. — 1985. — Т. 169. — С. 194 252.

20. А.И. Панасюк. Качественная динамика множеств, определяемых дифференциальными включениями // Матем. заметки. — Vol. 45, по. 1, — Pp. 80 88.

21. E.B. Воскресенский. Локализация траекторий неуправляемых движений // Труды Средневолэюского математического общества. — 2007. — Т. 9, № 2.- С. 153 156.

22. Н. П. Тихомиров. Демография. Методы анализа и прогнозирования: Учебное пособие для вузов. — М:. «Экзамен», 2005.

23. H.H. Моисеев. Математические модели экономической науки. — М.: Знание, 1973.

24. Ю. С. Куснер, И. Г. Царев. Принципы движения экономической системы,- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

25. А.И. Москаленко. Динамические задачи оптимизации налоговой ставки // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения, Под ред. . Матросов, . Васильев, . Москаленко, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.- С. 218 246.

26. Н. М. Рыскин А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов. Нелинейные колебания.— М:. Издательсвто физико-математической литературы, 2002.

27. Г. Г. Малинецкий В. А. Владимиров, Ю. Л. Воробьев. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика.— М:. Наука, 2000.

28. С. А. Кащенко, В. В. Майоров. Модели волновой памяти.— М.: ЛИБ-РОКОМ, 2009.

29. А.Ф. Измаилов, М.В. Солодов. Численные методы оптимизации.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

30. Э. Хофер, Р. Лундерштедт. Численные методы оптимизации.— М:. Машиностроение, 1981.

31. А. И. Тятюшкин. Мультиметодные алгоритмы для численного решения задач оптимального управления // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения, Под ред. . Матросов, . Васильев, . Москаленко.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003,- С. 201 218.

32. А. И. Тятюшкин. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. — Новосибирск: Наука, 2006.

33. В.И. Зубов. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975.

34. В.И. Зубов. Динамика управляемых систем. — М.: Высшая школа, 1982.

35. Л.С.Понтрягин. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1976.

36. H.H. Красовский. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968.

37. H.H. Красовский. Управление динамической системой.— М.: Наука, 1985.

38. В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, C.B. Фомин. Оптимальное управление. М: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

39. В.В. Александров, В.Г. Болтянский, С.С. Лемак et al. Оптимальное управление движением. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

40. A.M. Камачкин С.Е. Михеев В.В. Евстафьева. Модели колебаний в нелинейных системах. — Спб., 2004.

41. А.П. Жабко В.Л. Харитонов. Методы линейно алгебры в задачах управления.— Спб.: Издательство С.-Петерб. ун-та, 1993.

42. Е.В. Воскресенский. Методы сравнений в нелинейном анализе. — Саранск: Изд-во Сарат. ун-та. Саран, фил., 1990.

43. Е.В. Воскресенский. Асимптотические методы: теория и приложения. — Саранск: СВМО, 2000.

44. Е.В. Воскресенский. Оптимальные программные движения управляемых дифференциальных включений // Труды Средневолжского математического общества. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 11 17.

45. Е.В. Воскресенский. Анализ динамики управляемых демографических процессов // Труды Средневолжского математического общества.— 2006. —Т. 8, № 2.- С. 11 22.

46. А. P. Levich. Variational theorems and algocoenosec functioning prince-pies // Ecological Modelling. — no. 2-3. — Pp. 207 227.

47. O.E. Каледин. Моделирование динамики безработицы // Материалы XIII научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. Секция №78 Прикладная математика и информатика. — Саранск: СВМО, 2008, — С. 20 - 31.

48. O.E. Каледин. Моделирование поведения механических систем на основе статистических данных // Труды Средневолоюского математического общества. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 122 128.

49. O.E. Каледин, Л. А. Сухарев. Программный пакет Сопе. Структура и реализация // Журнал Средневолэюского математического общества. — 2009. — Т. 11, № 2. С. 84 - 90.

50. Л.А. Сухарев O.E. Каледин. Математическая модель динамики безработицы // Труды Средневолэюского математического общества. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 122 128.

51. O.E. Каледин, JI.А. Сухарев. О построении конуса возможных решений для базы данных // Журнал Средневолжского математического общества. 2010. — Т. 12, № 2. — С. 61 - 66.

52. O.E. Каледин. Программная реализация одной динамической модели, построенной по статистическим данным // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2010. № 1(13). — С. 14 - 17.

53. O.E. Каледин, Л.А. Сухарев. Анализ поведения механических систем на основе известных статистических данных // Вестник Самарского государственного технического университета. — 2010. — № 5. — С. 114 121.

54. Н. Liu, J. Salerno; М. J. Young. Social Computing, Behavioral Modeling, and Prediction. — Springer, 2008.

55. Aghion P., P. Howitt. Growth and unemploymen // Review of Economic Studies. — 1994. — no. 61.

56. Caratheodore C. Vorlesungen über reelle Funktionen. 2. — Leipzig: Auflage, 1927.

57. A.X. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович. Устойчивость нелинейных систем с пеединственным состоянием равновесия.— М.: Наука, 1978.

58. В.М. Матросов, И.А. Финогенко. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением // Дифф. уравн. — Vol. 32, по. 5. — Pp. 606 614.

59. В.М. Матросов, И.А. Финогенко. К теории дифференциальныхуравнений, возникающих в динамике систем с трением // Дифф. уравн. — Vol. 32, по. 6. — Pp. 769 773.

60. D. Angeli, P. de Leenheer, E. D. Sontag. Chemical networks with inflows and outflows: A positive linear differential inclusions approach // Biotechnology Progress, — no. 25. — Pp. 632 642.

61. S. C. Zaremba. Sur les equations au paratingent // Bull, des Sci. Math. — 1936. — Vol. 60, no. 5. Pp. 139-160.

62. A. Marchaud. Sur les champs de demi-cones et les equations differentielles du premier ordre // Bull. Soc. Math. France. — 1934,— Vol. 62, no. 1.— Pp. 1-38.

63. А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями и дифференциальные включения // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения, Под ред. . . Треногин,. Филиппов, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — С. 265 - 288.

64. Kh. G. Guseinov, S. A. Duzce, О. Ozer. The Construction of Differential Inclusions with Proscribed Attainable Sets // Journal of Dynamical and Control Systems. — 2009. — Vol. 14.

65. А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестпик МГУ. Сер. мат., мех. — 1959.— № 2,— С. 25-32.

66. А. Ф. Филиппов. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений // Матем. заметки. — 1971. — Т. 10, № 3. — С. 307 313.

67. Е. Roxin. Stability in general control systems // Juorn. Dif. Equat. — 1965. Vol. 1, no. 2. — Pp. 115 - 150.

68. A. G. Ramm. Asymptotic Stability of Solutions to Abstract Differential Equations / / Journal of Abstract Differential Equations and Applications. — Vol. l.-Pp. 27-34.

69. J. L. Mancilla-Aguilar, R. Garcia, E. D. Sontag, Y. Wang. Uniform stability properties of switched systems with switchings governed by digraphs // Nonlinear Anal. — Vol. 63. — Pp. 472 490.

70. А. Ф. Филиппов. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями // Матем. заметки. — 1980.— Т. 27, № 2,— С. 255 266.

71. D. Angeli, В. Ingalls, Е. D. Sontag, Y. Wang. Uniform global asymptotic stability of differential inclusions // J. Dynam. Control Systems. — Vol. 10.- Pp. 391 412.

72. T. Yoshizawa. Stability theory by Liapounov's second method.— Tokyo.: Math. Soc. Japan, 1966.

73. B.B. Румянцев, А. С. Озиранер. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных, — М.: Наука, 1987.

74. Н. С. Бахвалов, Н. Г1. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы. — М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

75. Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости.—М.: Мир, 1980.

76. X. Fu. Controllability of neutral functional differential systems in abstract space // Appl. Math. Comput.— no. 141, — Pp. 281 296.

77. S. Guermah, S. Djennoune, M. Bettayeb. Controllability and Observabilityof Linear Discrete-Time Fractional-Order Systems // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. — Vol. 18. — Pp. 213 222.

78. Д.К. Егорова, И.В. Кузнецова. Анализ динамики промышленных выбросов вредных веществ // Труды Средневолжского математического общества. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 276 281.

79. Э. Троелсен. и платформа .NET. Библиотека программиста. — Спб: Питер, 2007.

80. J. Richter. Applied MS .NET Framework Programming. — Redmond: MS Press, 2002.86. http://www.codeproject.com. — The Code Project.

81. A. Mackey. Introducing .NET 4.0 With Visual Studio 2010. — Apress, 2010.88. http://blogs.msdn.com. — 2010. — Блоги разработчиков Microsoft.89. http://msdn.microsoft.com.— Ресурсы для разработчиков.

82. М. Мак-Дональд, М. Шпушта. Microsoft ASP.NET 3.5 с примерами на С# 2008 и Silverlight 2 для профессионалов, — М.: ООО "И.Д. Вильяме 2009.

83. Н. G. Lee, A. Arapostathis, S. I. Marcus. On the linearization of discrete time systems 11 Int. J. Control. — 1987. — no. 45. — Pp. 1103 1124.

84. E. M. Балдин. Компьютерная типография 1ЖЩХ. — Спб.: БХВ-Петер-бург, 2008.

85. И. А. Котельников, П. 3. Чеботаев. ЕТ^Хпо-русски. — Новосибирск: Сибирский хронограф, 2009.

86. В.И. Арнольд. Математические методы классической механики. — М.: УРСС, 2003.

87. Т. L. Saaty, J. М. Alexander. Thinking with models: Mathematical models in the Physical, Biological and Social Sciences.— N.Y.: Pergamon Press,1981.

88. J. Pickands. Statistical inference using extreme order statistics // Annals of Statistics. — no. 1.— Pp. 19 131.

89. T. Lux, M. Marchesi. Scalling and criticality in a stohastic multi-agent model of a financial market, // Nature. — Vol. 397. — Pp. 498 — 500.

90. E. Ю. Щетинин, А. С. Лапушкин. Статистические методы и математические модели оценивания финансовых рисков / / Математическое моделирование.— по. 5.— Pp. 40 — 54.

91. М. Basti. On asymptotic equivalence between two nonlinear parametric systems with a small parameter // J. Math. Anal, and Appl.— no. 1.— Pp. 65 79.

92. D. North. Structure and Change in Economic History.

93. J. H. Johnson. The logic of speculative discourse: time, prediction, and strategic planning // Environment and Planning B: Planning and Design. —1982. Vol. 9, no. 3. - Pp. 269-294.

94. M. Aoki. Optimal Control and System Theory in Dynamic Economic Analysis. — North Holland, 1976.

95. C.P. Моисеев. Взлет и падение монетаризма // Вопросы экономики.— по. 9. — Pp. 92 104.

96. М. Интриллигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: Прогресс, 1975.

97. В.Н. Тутубалин. Границы применимости (вероятностно-статистические методы и их возможности). — М.: Знание, 1977.