Математическое моделирование температурных полей в составных конструкциях изменяющейся формы из композиционных материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Мурашов, Михаил Владимирович

• Мурашов, Михаил Владимирович
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мурашов, Михаил Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

2. АНАЛИЗ ПРОЦЕДУРЫ МКЭ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕЗ ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЫ.

2.1. Решение тестовой задачи теплопроводности.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Базовая процедура метода конечных элементов для осесимметричной задачи теплопроводности.

2.2. Результаты тестирования линейной задачи и выявленные погрешности.

2.3. Тестирование нелинейной задачи.

3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

3.1. Анализ численного решения одномерной задачи теплопроводности с подвижной границей.

3.1.1. Алгоритм решения одномерной задачи теплопроводности с подвижной границей.

3.1.2. Тестирование численного решения одномерной задачи.

3.2. Алгоритмическая реализация движения границы.

3.3. Генератор сетки.

3.3.1. Метод Делоне.

3.3.2. Методика генерации узлов в расчетной области.

3.3.3. Изменения процедур МКЭ, необходимые для расчета в областях произвольной геометрии.

-3стр.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ.

4.1. Свойства углерод-углеродных композиционных материалов.

4.2. Модели композиционных материалов.

4.3. Возникновение и развитие шероховатости в тракте соплового блока.

4.3.1. Постановка задачи моделирования развития шероховатости.

4.3.2. Результаты вычислительного эксперимента.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ.

5.1. Анализ теплового состояния гироблока.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование температурных полей в составных конструкциях изменяющейся формы из композиционных материалов»

В связи с развитием современной техники предъявляются все более высокие требования к работоспособности углерод-углеродных композиционных материалов (УУКМ) в условиях обтекания высокотемпературными потоками газа. При окислении углерода кислородсодержащими газовыми компонентами происходит абляция, или унос, УУКМ. При этом область, занимаемая конструкцией из УУКМ, деформируется. Это значительно затрудняет проектирование и моделирование таких конструкций. Описанные тепловые процессы имеют место в таких классах авиационно-космической техники, как ракетные двигатели твердого топлива (РДТТ), многоразовые транспортные космические системы, возвращаемые модули космических аппаратов, и других.

Математическое моделирование температурного состояния конструкций изменяющейся формы из аблирующих композиционных материалов (КМ) позволяет не только предсказывать поведение конструкции в тех или иных условиях, но и открывает широкие возможности для новых конструкторско-технологических решений.

В частности, факт наличия широкого диапазона варьирования технологических параметров при производстве конструкций из КМ позволяет по результатам математического моделирования проводить оптимизацию технологии производства конкретной конструкции. Такой подход возможен только при построении модели, учитывающей структуру композиционного материала. Указанное требование обусловлено значительной зависимостью свойств КМ от параметров создаваемой из него конструкции.

Ограниченность подходов для математического моделирования поведения композиционных материалов в экстремальных условиях работы является одним из основных препятствий к дальнейшему совершенствованию аэрокосмической техники.

Кроме того, в связи с постоянным повышением уровня температур и тепловых потоков на первый план выходит задача повышения точности результатов математического моделирования.

В настоящее время новые возможности для численного моделирования сложных теплофизических процессов открываются благодаря постоянному развитию вычислительных средств.

Актуальность проблемы.

Разработка более совершенных методов математического моделирования сложных процессов разрушения конструкций из КМ под воздействием высоких температур является актуальной проблемой. При этом существенное значение имеет построение и исследование моделей с учетом структуры и технологических свойств КМ, что значительно расширяет перспективы создания и применения аблирующих КМ.

Не менее важным вопросом является создание современных компьютерных программ и алгоритмов для решения задач теплопроводности с подвижными границами, дающих новые возможности в проведении научных и прикладных расчетов. .

Диссертация выполнена в МГТУ им.Н.Э.Баумана на кафедре «Космические аппараты и ракеты-носители» (СМ-1).

Обзор состояния проблемы.

Методы решения задач теплопроводности подразделяются на аналитические и численные.

Аналитическим методам решения задач теплопроводности посвящены работы А.В.Лыкова [1], Х.С.Карслоу и Д.К.Егера [2], Э.М.Карташова [3], В.С.Зарубина [4] и других.

В настоящее время основные достижения в теоретических исследованиях связаны с использованием мощных вычислительных средств (компьютера и численных методов), тогда как аналитические методы прикладной математики носят вспомогательный характер [5].

Лидирующее положение среди численных методов в приложении к решению задач теплопроводности занимает метод конечных элементов (МКЭ).

Базовая процедура метода конечных элементов в вариационной формулировке описана в работах О.С.Зенкевича [6], Л.Дж.Сегерлинда [7], Д.Норри и Ж. де Фриза [8], Р.Галлагера [9], Г.Стренга и Дж.Фикса [10] и других [11-14]. Для решения нестационарных задач целесообразно применение метода конечных элементов в форме метода Бубнова-Галеркина [6,11,15-17].

Рассмотрению погрешностей, возникающих при решении задач теплопроводности методом конечных элементов, посвящены работы С.Патанкара [18], С.Э.Уманского [19], Г.Н.Кувыркина [20], В.С.Зарубина [21], В.Е.Трощиева и Р.М.Шагалиева [22], Дж.Майерса [23], Р.Ялманчили и С.Чжу [24] и других. Следует отметить, что в литературе погрешности описаны не полностью. Кроме того, отсутствует систематизация знаний о погрешностях.

Наиболее мощными и универсальными зарубежными пакетами прикладных программ для проведения конечно-элементного расчета температурных полей являются ANSYS и MSC/NASTRAN.

Методы решения одномерных нестационарных задач теплопроводности с подвижными границами предложены в работах Э.М.Карташова [3], В.С.Зарубина и Г.Н.Кувыркина [25], Ю.И.Димитриенко [26], Р.Е.Хогана, Б.Ф.Блэквелла и Р.Дж.Кочрена [27], А.М.Липанова и А.В.Алиева [28], И.К.Чена и Ф.С.Милоса [29] и других.

Существует достаточно много работ в области решения методом конечных элементов двумерных задач теплопроводности с подвижной границей. Ранее была предложена работа, в которой для проведения вычислений использовались фиксированные расчетные сетки [30]. Этому методу свойственна невысокая точность определения температуры на подвижной границе.

Другой подход основан на использовании сеток, трансформируемых в ходе расчета. В частности, в работе [31] узлы перемещаются по наперед заданным траекториям, что значительно сужает круг решаемых задач. В работе

32] для нахождения новых координат узлов сетки решается вспомогательная задача теории упругости. В этом случае возможно появление вырожденных элементов.

В работе [33] используется метод, когда рассматриваемая область заранее вручную разбивается на криволинейные четырехугольники-подобласти, внутри которых проводится автоматическая генерация сетки. Для этого применяется генератор [34], использующий отображение криволинейной области в квадрат, разбивку на четырехугольные конечные элементы и обратное отображение в криволинейную область. Такой генератор сетки требует равенства числа узлов на противоположных сторонах подобласти, что приводит к значительной разнице размеров элементов в разбиении, то есть к снижению качества сетки. В случае существенной разницы в скоростях разрушения материалов возможно появление вырожденных (с нулевой площадью или с самопересечением) конечных элементов на стыках материалов.

Последняя проблема решается в работе [35] применением несогласованных сеток. Рассматриваемая область разделяется на зоны, соответствующие различным материалам, и разрыв подвижной границы интерпретируется как смещение зон относительно друг друга. Для генерации сетки также используется метод отображения в квадратную подобласть в криволинейных координатах. Использование такого генератора при смещении зон приводит к появлению фиктивных узлов и построению несогласованной сетки. Поэтому далее применяется специальная процедура исключения фиктивных узлов из конечно-элементной модели.

Наиболее универсальная методика, изложенная в последней работе, имеет следующие недостатки: а) необходимость первоначального ручного разбиения области расчета на подобласти достаточно простой формы, что снижает уровень автоматизации процесса генерации и поэтому не позволяет решать задачи с произвольным изменением подвижной границы; б) разрыв границы может происходить только по заранее определенной линии соединения подобластей; в) при генерации сетки существует ограничение на равное число узлов на противоположных сторонах подобласти, приводящее к большой неравномерности сетки.

Все эти недостатки обусловлены применением для построения сетки метода преобразования координат.

Следует отметить, что возможность решения задач теплопроводности с подвижной границей при расчете абляции имеют очень немногие зарубежные программные комплексы, такие как SINDA, SAMCEF. Главным недостатком этих программ является одномерная постановка задачи. Кроме того, существует множество других ограничений (на число узлов, на модель абляции и т.п.).

В рамках оговоренных выше отечественных работ по решению двумерной задачи теплопроводности с подвижной границей были созданы исследовательские программы [33,35], применить которые, как правило, можно лишь для узкого круга задач. Универсальных коммерческих пакетов программ для решения двумерных задач с подвижной границей нет. Отсутствие эффективной методики перегенерации сетки в произвольной области является основной проблемой на пути создания таких программ.

С начала 1990-х годов значительное развитие вычислительной техники обусловило появление более эффективных и универсальных геометрических методов построения сеток.

В нашей стране выпущено большое количество литературы на эту тему [36-40]. Достаточно полный обзор зарубежной литературы по методам генерации сеток можно найти в [41]. Для решения МКЭ модель наиболее часто разбивают на треугольные или четырехугольные конечные элементы. Эти два подхода являются практически равнозначными, однако генерация высококачественной четырехугольной сетки в произвольной области является задачей, значительно более трудной, чем триангуляция (построение треугольной сетки). Поэтому в данной работе рассматриваются только методы триангуляции.

Здесь мы рассмотрим существующие методы с точки зрения эффективности применения для решения двумерных задач с подвижными границами.

Методы триангуляции плоской области можно разделить на четыре подгруппы:

1. На основе «метода продвигающегося фронта»;

2. На основе метода Делоне;

3. На основе методов машинной графики для триангуляции многоугольника;

4. Различные авторские методы.

Рассмотрим каждую группу, определяя достоинства и недостатки методов.

1. На основе «метода продвигающегося фронта» [42-44].

Впервые предложен С.ХЛо в 1985 году. В работе [43] метод расширен до трехмерного варианта и получил свое название «метод продвигающегося фронта».

Основным достоинством является то, что методы этой группы дают наиболее качественную из всех рассмотренных групп сетку, главным образом состоящую из равносторонних элементов [45]. Недостатками являются: a) метод требует больше процессорного времени для построения триангуляции, чем метод Делоне [45]; b) необходимость создания вручную фоновой сетки как основы для выбора параметров преобразования координат для генерации треугольника [46] или введения сложной системы правил формирования треугольников [44].

2. На основе метода Делоне [36,37,47-49].

База для создания метода была положена советским математиком Б.Н.Делоне в 1934 году [47], однако эффективные алгоритмы появились только в начале 1980-х годов с работами Бауера, Д.Ф.Вотсона, и Ф.Хёмелайна [48,49]. За два последних десятилетия триангуляция Делоне получила очень широкое распространение. Метод позволяет полностью автоматически получать сетки приемлемого качества в сложных областях. В данной работе использован именно этот метод, который подробно обсуждается во второй главе.

3. На основе методов машинной графики для триангуляции многоугольника [36,38,39].

В этих методах соединением граничных узлов получают минимальное количество треугольников [36,38]. Если требуется более мелкая сетка, то полученные треугольники делятся на равные части [39]. Недостатками являются большое различие в габаритах и сильная вытянутость получаемых треугольных элементов.

4. Метод [40], предложенный Ю.В.Шехтманом в 1977г., представляет собой комбинацию «метода продвигающегося фронта» и метода Делоне, но при этом не избавляется от всех недостатков первого.

Таким образом, существующие методы (кроме метода Делоне) или требуют вмешательства расчетчика в процесс генерации, или дают некачественную сетку.

Рассматривая поверхность конструкции на уровне структуры композиционного материала и решая двумерную задачу теплопроводности с подвижной границей, можно проводить моделирование развития шероховатости поверхности.

В данной работе при решении задачи моделирования развития шероховатости в качестве базовых рассматривались конструкции соплового блока РДТТ и насадка соплового блока жидкостного ракетного двигателя (ЖРД). При этом разработанная методика может применяться и для других конструкций из УУКМ, разрушающихся под воздействием химически агрессивных сред.

После изготовления поверхность тракта соплового блока является гладкой. В начале работы поверхность под воздействием высокотемпературного химически активного двухфазного потока становится шероховатой.

Работы по оценке влияния шероховатой поверхности на коэффициент тепломассообмена — при внешнем обтекании были проведены

А.ГЪМельниковым, Ю.В.Полежаевым и другими [50,51]. Показано, что коэффициент тепломассообмена для шероховатой поверхности может быть в 2,7-3 раза выше, чем для гладкой [52].

Вопрос получения более точных данных по шероховатости становится особенно актуальным с переходом РДТТ на топлива с температурой сгорания более 4000К и увеличением давления в камере сгорания. Увеличение давления приводит к уменьшению толщины пограничного слоя и, следовательно, к увеличению сил трения на стенке, и повышению механического воздействия на элементы шероховатости. Полученные математическим моделированием значения уровня шероховатости, образующейся «химическим» путем, могут быть использованы для коррекции расчетных уровней механического воздействия газового потока.

Решая поставленную задачу, можно рассматривать влияние на величину уноса и размер шероховатости доли содержания матрицы в УУКМ, технологии производства и характеристик исходных материалов.

Для проведения моделирования развития шероховатости необходимо построение модели конструкции с учетом структуры материала матрица-наполнитель, а также определение параметров процесса разрушения. Построению моделей КМ с учетом их структуры посвящены работы Ю.И.Димитриенко [26], Ю.М.Тарнопольского, И.Г.Жигуна и В.А.Полякова [53], Д.Б.Малько [54] и других. В этих работах описаны основные подходы к моделированию структуры КМ и даются модели для решения некоторых задач. Практически со времени появления КМ ведутся исследования процессов их разрушения под воздействием высоких температур. Основные результаты этих исследований приводятся в работе [55].

Цель работы. В соответствии с изложенным выше, целью настоящей диссертационной работы является разработка методики математического моделирования температурных полей в составных конструкциях изменяющейся формы из КМ на уровне структуры матрица-наполнитель.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие основные задачи исследования:

1. Разработка методики, математических моделей и алгоритмов для решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности в составных областях изменяющейся формы.

2. Постановка и решение задачи определения температурных полей в структуре КМ матрица-наполнитель и параметров процесса возникновения и развития шероховатости поверхности конструкции.

3. Создание на основе разработанных моделей и алгоритмов программы для решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности в областях изменяющейся формы.

Содержание работы. В соответствии с поставленными задачами исследования ЕГпервой главе сформулирована общая постановка двумерной нестационарной задачи теплопроводности с подвижной границей.

Во второй главе приведена постановка тестовой двумерной задачи теплопроводности без подвижной границы, рассмотрена стандартная конечноэлементная методика ее решения, тестированием на аналитических решениях выявлены и проанализированы погрешности МКЭ, определены пути снижения и устранения погрешностей.

В этой же главе приведены результаты тестирования разработанной программы при решении нелинейной задачи теплопроводности.

В третьей главе рассмотрена алгоритмическая реализация предлагаемой методики решения задач теплопроводности в областях изменяющейся формы.

Здесь приведены результаты проверки точности численного решения одномерной задачи теплопроводности с подвижной границей, рассмотрены особенности применения метода Делоне к решению двумерных задач с подвижными границами, разработаны алгоритмы равномерного расположения узлов и движения границы в сложных областях.

В четвертой главе проводится рассмотрение моделей и свойств современных и перспективных углеродных композиционных материалов, определен круг задач, в которых возможно проведение расчетов температурного состояния решением двумерной задачи теплопроводности с учетом структуры КМ.

В данной главе также сформулирована постановка задачи моделирования возникновения и развития шероховатости на поверхности конструкции из УУКМ, находящейся под воздействием высокотемпературного газового потока. Здесь проведено построение модели рассматриваемой части конструкции и проанализированы полученные в ходе вычислительного эксперимента результаты.

В пятой главе в качестве примера реализации разработанных методов, алгоритмов и программ представлены результаты расчетов теплового состояния сложной составной конструкции — гироблока.

Научную новизну диссертационной работы составляют разработанные и полученные:

- методика и алгоритмы решения двумерных задач теплопроводности в сложных составных областях изменяющейся формы, учитывающие произвольную форму области и произвольный характер движения границы;

- постановка задачи, модель и алгоритмы для определения температурных полей в КМ на уровне структуры матрица-наполнитель и параметров процесса развития шероховатости поверхности конструкций из углеграфитовых композиционных материалов, обтекаемых высокотемпературным газовым потоком;

- результаты исследования погрешности МКЭ для задач теплопроводности, обусловленной отсутствием непрерывности тепловых потоков на границах элементов, и рекомендации для снижения уровня этой погрешности.

Практическая ценность.

Применение предложенной методики и разработанной программы определения с учетом шероховатости температурных полей в структуре материала матрица-наполнитель позволяет получать более точные результаты, являющиеся исходными для расчета напряженно-деформированного состояния конструкции.

Получаемая по разработанной программе зависимость величины высоты бугорков шероховатости от времени может быть использована для более корректной оценки напряжения трения на поверхности конструкций из УУКМ.

Применение методики определения температурных полей позволяет проводить более глубокий анализ процессов в структуре композиционных материалов.

Разработанные методика и алгоритмы решения двумерной задачи с подвижной границей дают возможность создания автоматизированной программы для использования в инженерной практике, что позволяет значительно расширить круг решаемых задач с подвижными границами.

Обоснованность и достоверность результатов, представленных в диссертации, основана:

1) на строгости математического построения описанных моделей исследуемых теплофизических процессов;

2) на проведенном тестировании разработанных алгоритмов и программ на аналитических решениях известных тестовых задач;

3) на сравнении полученных результатов расчетов с данными других авторов.

Апробация работы. Материалы настоящей диссертационной работы докладывались на студенческой научной конференции «Студенческая научная весна — 2001» МГТУ им.НЗ.Баумана, Москва, 2001 г.; Второй международной научной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы», Москва, 2003г.; семинарах кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2003-2004 гг.; семинаре кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2004 г.; семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2005 г.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мурашов, Михаил Владимирович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена новая методика для решения методом конечных элементов двумерных задач теплопроводности с подвижной границей, в основе которой лежит комбинация из следующих трех методов: 1) метода конечных элементов, 2) метода Делоне, 3) равномерного распределения узлов при перегенерации сетки.

Преимуществом данной методики является возможность проводить расчеты в составных областях сложной формы и при произвольном характере движения границы. Генерация сетки в сложных областях выполняется полностью автоматически без необходимости вмешательства расчетчика, что позволяет использовать данную методику при разработке универсальных коммерческих программ для решения задач с подвижной границей.

2. На основе предложенной методики, разработанных математических моделей и алгоритмов создана программа для численного решения двумерной нелинейной задачи теплопроводности с подвижными границами.

3. Проведено тестирование программы на аналитических решениях, что подтвердило достоверность получаемых результатов. При этом были рассмотрены, систематизированы и устранены различные погрешности метода конечных элементов, возникающие при решении. Проведен анализ погрешности МКЭ для задач теплопроводности, обусловленной отсутствием непрерывности тепловых потоков на границах элементов. Определены рекомендации по оптимальному выбору шага по времени, размеров элементов и характера сеточного разбиения, применение которых позволило повысить точность результатов расчетов.

4. Предложена методика и математическая модель для определения температурных полей в однонаправленных КМ на уровне структуры матрица-наполнитель и параметров процесса развития шероховатости на поверхности конструкций из УУКМ при интенсивном тепловом нагружении.

5. Проведен вычислительный эксперимент и получены результаты для температурных полей и шероховатости в соплах ракетных двигателей для широкого класса скоростей уноса.

6. Для демонстрации возможностей разработанных алгоритмов и программы в первом приближении построена математическая модель гироскопа, представляющего собой сложную составную конструкцию. Проведен вычислительный эксперимент, в рамках которого выполнен анализ теплового состояния прибора.

-110

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мурашов, Михаил Владимирович, 2005 год

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 599 с.

2. Карслоу Х.С., Егер Д.К. Теплопроводность твердых тел. — М.: Наука, 1964.-488 с.

3. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высшая школа, 2001. — 549 с.

4. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.

5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. — М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. — 541 с.

7. Сегерлинд Л.Д. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979.-392 с.

8. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир, 1981.-304 с.

9. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984. — 428 с.

10. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977.-349 с.

11. Rao S.S. The finite element method in engineering. — Pergamon Press, 1982. — 625 p.

12. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986.-318 с.

13. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. — М.: Недра, 1974. — 239 с.

14. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. — М.: Мир, 1989.-190 с.

15. Власова E.A., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. — 700 с.

16. Станкевич И.В. Численный анализ нелинейных задач вычислительной термомеханики: Дис. докт. техн. наук. — М., 2001. — 359 с.

17. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1993. — 360 с.

18. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 150 с.

19. Уманский С.Э. Оптимизация приближенных методов решения краевых задач механики. — Киев: Наукова думка, 1983. — 168 с.

20. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. — М.: Изд-во МГТУ им. Н-Э.Баумана, 1993.-142 с.

21. Зарубин B.C. Математическое моделирование процессов теплопроводности в неоднородных телах сложной формы // Труды МВТУ. 1988. - №512. - С. 35-52.

22. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Консервативные узловые схемы методов конечных разностей и конечных элементов для двумерного уравнения теплопроводности // Численные методы механики сплошной среды. — 1984. -Т.15, № 4. — С.131-157.

23. Майерс Дж. Критическая величина шага по времени, используемая при решении двумерных нестационарных задач теплопроводности методом конечных элементов // Труды амер. общ. инж.-мех. Теплопередача. — 1978. Т.100, №1. - С. 130-139.

24. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Термопрочность конструкции ракетного двигателя твердого топлива. — М.: Машиностроение, 1985. — 200 с.

25. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. — М.: Машиностроение, 1997. — 368 с.

26. Hogan R.E., Blackwell B.F., Cochran RJ. Numerical solution of two-dimensional ablation problems using the finite control volume method with unstructured grids // AIAA Paper. 1994. - № 2085. - 10 p.

27. Липанов A.M., Алиев A.B. Проектирование ракетных двигателей твердого топлива. — М.: Машиностроение, 1995. — 400 с.

28. Chen Y.-K., Milos F.S. Ablation and thermal response program for spacecraft heatshield analysis // AIAA Paper. 1998. - № 273. - 14 p.

29. Chin J.H. Finite element analysis for conduction and ablation moving boundary // AIAA Paper. 1980. - №1488. - 8 p.

30. Hogge M., Gerrekens P. Two-dimensional deforming finite element methods for surface ablation // AIAA Paper. 1983. - №1555. - 9 p.

31. Кувыркин Г.Н., Шаров C.M. Решение двумерных задач теплопроводности с подвижной внешней границей методом конечных элементов // Известия вузов. Машиностроение. — 1985. — №7. — С.52-56.

32. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н., Цицин А.Г. Численное решение нестационарной осесимметричной задачи теплопроводности для анизотропного тела переменного объема // Проблемы прочности. — 1988. — №12. — С.105-108.

33. Zienkiewicz О.С., Phillips D.V. An automatic mesh generation scheme for plane and curved surfaces by "isoparametric" coordinates // Int. J. Numer. Methods Eng. 1971. - V.3, №4. - P.519-528.

34. Филатов А.Я. Разработка варианта МКЭ с использованием несогласованных сеток для решения задач теплопроводности в составныхтелах с подвижными границами: Дис. канд. физ.-мат. наук. — М., 1991. — 123 с.

35. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++. — М.: Бином, 1997. 302 с.

36. Шикин Е.В., Боресков А.В., Зайцев А.А. Начала компьютерной графики.- М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1993. 138 с.

37. Михашпок М.В. Математическое моделирование. Вычислительная геометрия. — М.: Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), 2001. — 68 с.

38. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики.- СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 560 с.

39. Шехтман Ю.В. Автоматическое разбиение плоской области на треугольные элементы // Труды ЦИАМ. — 1978. — №790. — 6 с.

40. Sullivan J.M., Charron G., Paulsen K.D. A three-dimensional mesh generator for arbitrary multiple material domains // Finite Elements in Analysis and Design. 1997. - V.25. - P.219-241.

41. Lo S.H. A new mesh generation scheme for arbitrary planar domains // Int. J. Numer. Methods Eng. 1985. - V.21. - P.1403-1426.

42. Lohner R., Parikh P. Generation of three dimensional unstructured grids by the advancing front method // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1988. - V.8. -P.l 135-1149.

43. Schoberl J. NETGEN. An advancing front 2D/3D-mesh generator based on abstract rules // Comput. Visual. Sci. 1997. - V. 1. - P.41 -52.

44. Liu C.Y., Hwang C.J. A new strategy for unstructured mesh generation // AIAA Paper. 2000. - №2249. - 11 p.

45. Brebbia C.A., Aliabadi M.H. Adaptive Finite and Boundary Element Methods.- London: Elsevier Applied Science, 1993. 319 pp.

46. Делоне Б.Н. О пустоте сферы // Изв. АН СССР. ОМЕН. 1934. - №4. -С.793-800.-11448. Watson D.F. Computing the n-dimensional Delaunay tessellation with applications to Voronoi polytopes // Comput. J. — 1981. — V.24. — P. 167-172.

47. Hermeline F. Une methode automatique de mailage en dimension n. // Thesis lect. Universite Paris. 1980. - №6. - 28 p.

48. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. — М.: Энергия, 1976. — 391 с.

49. Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Рудько А.К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. — М.: Машиностроение, 1976. — 224 с.

50. Белов Г.В., Ерохин Б.Т., Киреев В.П. Композиционные материалы в двигателях летательных аппаратов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998.-344 с.

51. Тарнопольский Ю.М., Жигун И.Г., Поляков В.А. Пространственно-армированные композиционные материалы. — М.: Машиностроение, 1987.-225 с.

52. Малько Д.Б. Способы совершенствования технологии объемно-армированных углерод-углеродных композиционных материалов: Автореф. дис. канд. техн. наук. М., 2000. - 31 с.

53. Шишков А.А., Панин С.Д., Румянцев Б.В. Рабочие процессы в ракетных двигателях твердого топлива: Справочник. — М.: Машиностроение, 1988. -240 с.

54. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). СПб.: Лань, 2003. — 832 с.

55. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985. — 296 с.

56. Волков В.И., Каданер Я.С. Расчет осесимметричного температурного поля методом конечных элементов // Труды ЦИАМ. — 1982. — №1022.- 14 с.

57. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, Гл.ред.физ.-матлит., 1987. — 600 с.

58. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, Гл.ред.физ.-матлит., 1977. — 456 с.

59. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. — Л.: Машиностроение, 1983. —212 с.

60. Мяченков В.И. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. — М.: Машиностроение, 1989. — 520 с.

61. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса / А.Д. Полянин, А.В. Вязьмин, А.И. Журов и др. М.: Факториал, 1998. — 368 с.

62. Теория тепломассообмена / Под ред. А.И. Леонтьева. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1997. — 683 с.

63. Станкевич И.В. Сходимость метода простых итераций при решении нелинейных стационарных уравнений теплопроводности // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1995. -№3. - С.97-102.

64. George P.L. Improvements on Delaunay-based three-dimensional automatic mesh generator // Finite elements in analysis and design. — 1997. — V.25. -P.297-317.

65. Дайковский А.Г., Португалов Ю.И., Федосеев А.И. Минимизация ширины ленты матрицы в методе конечных элементов. — Серпухов, 1980. 16 с. (Препринт Ин-та физ. выс. энерг., №80-152).

66. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Наука, 1973. — 872 с.

67. Термо-, жаростойкие и негорючие волокна / Под ред. А.А. Конкина. — М.: Химия, 1978.-421 с.

68. Углеродные волокна / Под ред. С. Симамуры. М.: Мир, 1987. — 304 с.

69. Бушуев Ю.Г., Персии М.И., Соколов В.А. Углерод-углеродные композиционные материалы: Справочник. — М.: Металлургия, 1994. — 128 с.

70. Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций / Ю.В. Соколкин, A.M. Вотинов, А.А. Ташкинов и др. — М.: Наука: Физматлит, 1996. — 238 с.

71. Композиционные материалы: Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов,

72. B.В. Болотин и др. — М.: Машиностроение, 1990. — 512 с.

73. Бояринцев В.И., Звягин Ю.В. Исследование разрушения углеграфитовых материалов при высоких температурах // ТВТ. — 1975. — Т. 13, №5. —1. C.1045-1051.

74. Домбровский JI.A., Баркова Л.Г. Решение двухмерной задачи переноса теплового излучения в анизотропно рассеивающей среде с помощью метода конечных элементов // ТВТ. 1986. - Т.24, №4. - С.762-769.

75. Попов В.М. Теплообмен через соединения на клеях. — М.: Энергия, 1974. -304 с.

76. Гюнтер Б. Форматы данных. — Киев: Торгово-издательское бюро BHV, 1995.-472 с.

77. Климов А.С. Форматы графических файлов. — Киев: НИПФ ДиаСофт, 1995.-480 с.